Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wake. Na kwa hivyo logarithm ya nambari b kulingana na A inafafanuliwa kama kipeo ambapo nambari lazima ipandishwe a ili kupata nambari b(logarithm ipo kwa nambari chanya pekee).
Kutoka kwa uundaji huu inafuata kwamba hesabu x=logi a b, ni sawa na kutatua mlinganyo x =b. Kwa mfano, logi 2 8 = 3 kwa sababu 8 = 2 3 . Uundaji wa logarithm hufanya iwezekane kuhalalisha kwamba ikiwa b=a c, kisha logariti ya nambari b kulingana na a sawa Na. Pia ni wazi kuwa mada ya logarithms inahusiana kwa karibu na mada ya nguvu za nambari.
Ukiwa na logariti, kama ilivyo kwa nambari yoyote, unaweza kufanya shughuli za kuongeza, kutoa na kubadilisha kwa kila njia iwezekanavyo. Lakini kutokana na ukweli kwamba logarithms sio nambari za kawaida kabisa, sheria zao maalum zinatumika hapa, ambazo huitwa mali kuu.
Kuongeza na kupunguza logariti.
Wacha tuchukue logariti mbili nazo kwa misingi hiyo hiyo: logi a x Na logi a y. Basi inawezekana kufanya shughuli za kuongeza na kutoa:
weka logi ya x+ a y= logi a (x·y);
logi a x - weka y = logi a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi a x 1 + logi a x 2 + logi a x 3 + ... + logi a x k.
Kutoka nadharia ya mgawo wa logarithm Mali moja zaidi ya logarithm inaweza kupatikana. Ni maarifa ya kawaida kwamba logi a 1= 0, kwa hivyo
logi a 1 /b=logi a 1 - logi a b= -logi a b.
Hii inamaanisha kuwa kuna usawa:
logi a 1 / b = - logi a b.
Logariti za nambari mbili zinazofanana kwa sababu hiyo hiyo itatofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa ishara. Kwa hivyo:
Mgogo 3 9= - logi 3 1 / 9; logi 5 1 / 125 = -logi 5 125.
Lengo la makala hii ni logarithm. Hapa tutatoa ufafanuzi wa logarithm, onyesha jina lililokubaliwa, tutatoa mifano ya logarithms, na kuzungumza juu ya logarithms asili na decimal. Baada ya hayo, tutazingatia kitambulisho cha msingi cha logarithmic.
Urambazaji wa ukurasa.
Ufafanuzi wa logarithm
Wazo la logarithm huibuka wakati wa kutatua shida katika kwa maana fulani kinyume, unapohitaji kupata kipeo cha thamani inayojulikana shahada na msingi unaojulikana.
Lakini utangulizi wa kutosha, ni wakati wa kujibu swali "logarithm ni nini"? Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.
Ufafanuzi.
Logariti ya b hadi msingi a, ambapo a>0, a≠1 na b>0 ni kielelezo ambacho unahitaji kuinua nambari a ili kupata b kama matokeo.
Katika hatua hii, tunaona kwamba neno linalozungumzwa "logarithm" linapaswa kuibua maswali mawili ya ufuatiliaji mara moja: "nambari gani" na "kwa msingi gani." Kwa maneno mengine, hakuna logariti, lakini logariti tu ya nambari kwa msingi fulani.
Hebu tuingie mara moja nukuu ya logarithm: logariti ya nambari b hadi msingi a kawaida huashiriwa kama logi a. Logariti ya nambari b hadi msingi e na logariti hadi msingi 10 ina majina yao maalum lnb na logb, mtawaliwa, ambayo ni kwamba, hawaandiki logi e b, lakini lnb, na sio logi 10 b, lakini lgb.
Sasa tunaweza kutoa:.
Na rekodi 
haina maana, kwa kuwa katika ya kwanza kuna nambari hasi chini ya ishara ya logarithm, kwa pili kuna nambari hasi kwenye msingi, na ya tatu kuna nambari hasi chini ya ishara ya logarithm na kitengo ndani. msingi.
Sasa tuzungumzie sheria za kusoma logarithms. Logi a b inasomwa kama "logariti ya b hadi msingi a". Kwa mfano, logariti 2 3 ni logariti ya tatu hadi msingi 2, na ni logariti ya nukta mbili theluthi mbili hadi msingi 2. Kipeo kati ya watano. Logariti kwa msingi e inaitwa logarithm asili, na nukuu lnb inasomeka "logarithm asilia ya b". Kwa mfano, ln7 ni logariti asili ya saba, na tutaisoma kama logarithm asili ya pi. Logarithm ya msingi 10 pia ina jina maalum - logarithm ya desimali, na lgb inasomwa kama "decimal logarithm of b". Kwa mfano, lg1 ni logariti ya desimali ya moja, na lg2.75 ni logariti ya desimali ya nukta mbili ya mia tano.
Inafaa kukaa kando kwa masharti a>0, a≠1 na b>0, ambayo ufafanuzi wa logarithm hutolewa. Hebu tueleze vikwazo hivi vinatoka wapi. Usawa wa fomu inayoitwa , ambayo inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm iliyotolewa hapo juu, itatusaidia kufanya hivyo.
Wacha tuanze na a≠1. Kwa kuwa moja kwa mamlaka yoyote ni sawa na moja, usawa unaweza kuwa kweli tu wakati b=1, lakini logi 1 1 inaweza kuwa yoyote. nambari halisi. Ili kuepuka utata huu, a≠1 inachukuliwa.
Wacha tuthibitishe umuhimu wa sharti a>0. Na =0, kwa ufafanuzi wa logariti, tungekuwa na usawa, ambayo inawezekana tu na b=0. Lakini basi logi 0 0 inaweza kuwa nambari yoyote isiyo ya sifuri, kwani sifuri kwa nguvu yoyote isiyo ya sifuri ni sifuri. Hali a≠0 huturuhusu kuepuka utata huu. Na wakati a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирkiashiria cha busara hufafanuliwa tu kwa misingi isiyo hasi. Kwa hivyo, hali a>0 inakubaliwa.
Hatimaye, hali b>0 inafuata kutoka kwa ukosefu wa usawa a>0, kwani , na thamani ya nguvu iliyo na msingi chanya a daima ni chanya.
Kuhitimisha hatua hii, hebu sema kwamba ufafanuzi ulioelezwa wa logarithm inakuwezesha kuonyesha mara moja thamani ya logarithm wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm ni nguvu fulani ya msingi. Hakika, ufafanuzi wa logariti huturuhusu kusema kwamba ikiwa b=a p, basi logariti ya nambari b hadi msingi a ni sawa na p. Hiyo ni, logi ya usawa a p =p ni kweli. Kwa mfano, tunajua kwamba 2 3 =8, kisha ingia 2 8=3. Tutazungumzia zaidi kuhusu hili katika makala.
Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, vielelezo vyao kila wakati huongeza (a b *a c = a b+c). Sheria hii ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mwanahisabati Virasen aliunda jedwali la wafadhili kamili. Wao ndio waliotumikia kufunguka zaidi logarithmu. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Kwa lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.
Ufafanuzi katika hisabati
Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: logi a b=c, yaani, logariti ya yoyote. nambari isiyo hasi(yaani, chanya yoyote) "b" kwa msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu ya "c" ambayo msingi "a" lazima uinzwe ili hatimaye kupata thamani "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata nguvu kwamba kutoka 2 hadi nguvu zinazohitajika unapata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika kichwa chako, tunapata namba 3! Na hiyo ni kweli, kwa sababu 2 kwa uwezo wa 3 inatoa jibu kama 8.
Aina za logarithm
Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna tatu aina ya mtu binafsi maneno ya logarithmic:
- Logarithm ya asili ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
- Desimali a, ambapo msingi ni 10.
- Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.
Kila mmoja wao ameamua kwa njia ya kawaida, ambayo inajumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.
Sheria na baadhi ya vikwazo
Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni ukweli. Kwa mfano, haiwezekani kugawanya nambari kwa sifuri, na pia haiwezekani kutoa mizizi hata kutoka nambari hasi. Logarithms pia ina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:
- Msingi "a" lazima iwe kubwa zaidi kuliko sifuri, na si sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
- ikiwa > 0, kisha b > 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.
Jinsi ya kutatua logarithms?
Kwa mfano, kazi inapewa kupata jibu la equation 10 x = 100. Hii ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kwa kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, ni 10 2 = 100.
Sasa hebu tuwakilishe usemi huu katika muundo wa logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logariti, vitendo vyote huungana ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuanzisha msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyopewa.
Ili kuamua thamani kwa usahihi shahada isiyojulikana unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Inaonekana kama hii:
Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa angavu ikiwa una akili ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Hata hivyo kwa maadili makubwa utahitaji meza ya digrii. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu tata mada za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli zina nambari za nambari ambazo ni jibu (a c = b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kwamba hata mwanadamu wa kweli zaidi ataelewa!
Equations na kutofautiana
Inabadilika kuwa chini ya hali fulani kielelezo ni logarithm. Kwa hiyo, hisabati yoyote maneno ya nambari inaweza kuandikwa kama mlinganyo wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 =81 inaweza kuandikwa kama logariti msingi 3 ya 81 sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32 tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutaangalia mifano na ufumbuzi wa equations hapa chini, mara baada ya kujifunza mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.
Kwa kuzingatia usemi wa fomu ifuatayo: logi 2 (x-1) > 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logariti. Na pia katika usemi idadi mbili zinalinganishwa: logarithm ya nambari inayotakiwa kwa msingi wa pili ni kubwa kuliko nambari tatu.
Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa ni kwamba milinganyo yenye logariti (kwa mfano, logariti 2 x = √9) inaashiria jibu moja au zaidi mahususi. maadili ya nambari, wakati wa kutatua kukosekana kwa usawa hufafanuliwa kama eneo maadili yanayokubalika, na vizuizi vya chaguo hili la kukokotoa. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari za mtu binafsi, kama katika jibu la equation, lakini badala yake. mfululizo endelevu au seti ya nambari.
Nadharia za msingi kuhusu logarithms
Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani za kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutaangalia mifano ya milinganyo baadaye; wacha kwanza tuangalie kila mali kwa undani zaidi.
- Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB =B. Inatumika tu wakati a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
- Logariti ya bidhaa inaweza kuwakilishwa ndani formula ifuatayo: logi d (s 1 *s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii sharti ni: d, s 1 na s 2 > 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithmic, kwa mifano na suluhisho. Hebu tuandikie s 1 = f 1 na uweke s 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata kwamba s 1 * s 2 = a f1 * f2 = f1 + f2 (sifa za digrii ), na kisha kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka s1 + logi a s 2, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
- Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1/ s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
- Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua mtazamo unaofuata: logi a q b n = n/q logi a b.
Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm." Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote zinategemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.
Hebu tuandikie b = t, inageuka t =b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu m: a tn = b n;
lakini kwa kuwa tn = (a q) nt/q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n*t)/t, kisha weka q b n = n/q logi a b. Nadharia imethibitishwa.
Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa
Aina za kawaida za matatizo kwenye logariti ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia zimejumuishwa sehemu ya lazima mitihani ya hisabati. Kwa ajili ya kujiunga na chuo kikuu au kupita mitihani ya kuingia katika hisabati unahitaji kujua jinsi ya kutatua matatizo hayo kwa usahihi.
Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana Hakuna kitu kama logarithm, lakini unaweza kuitumia kwa kila usawa wa hisabati au mlinganyo wa logarithmic. sheria fulani. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi unaweza kurahisishwa au kusababisha muonekano wa jumla. Rahisisha ndefu maneno ya logarithmic inawezekana ikiwa unatumia mali zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu haraka.
Wakati wa kuamua milinganyo ya logarithmic, tunapaswa kubainisha ni aina gani ya logariti tuliyo nayo: usemi wa mfano unaweza kuwa na logariti asilia au desimali.
Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba wanahitaji kuamua nguvu ambayo msingi 10 itakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Kwa ufumbuzi logarithms asili haja ya kuomba vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Wacha tuangalie suluhisho kwa mifano matatizo ya logarithmic aina tofauti.
Jinsi ya Kutumia Fomula za Logarithm: Pamoja na Mifano na Suluhisho
Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia za kimsingi kuhusu logarithms.
- Mali ya logarithm ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kupanua umuhimu mkubwa nambari b kuwa sababu rahisi. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4*128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
- logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, tuliweza kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuangazia msingi na kisha kuchukua maadili ya kielelezo nje ya ishara ya logarithm.
Kazi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Logarithms mara nyingi hupatikana ndani mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika Mtihani wa Jimbo la Umoja ( Mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kwa kawaida, kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (sehemu rahisi ya mtihani wa mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na kubwa). Mtihani unahitaji maarifa sahihi na kamili ya mada "Logarithms asili".
Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka rasmi Chaguo za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.
Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
hebu tuandike upya usemi huo, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.
- Ni bora kupunguza logarithms zote kwa msingi sawa ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
- Semi zote zilizo chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo, wakati kipeo cha usemi kilicho chini ya ishara ya logariti na msingi wake unapotolewa kama kizidishi, usemi unaosalia chini ya logariti lazima kiwe chanya.
1.1. Kubainisha kipeo kwa kipeo kamili
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N mara
1.2. Shahada ya sifuri.
Kwa ufafanuzi, inakubaliwa kwa ujumla kuwa shahada ya sifuri nambari yoyote ni sawa na 1:1.3. Shahada mbaya.
X -N = 1/X N1.4. Nguvu ya sehemu, mizizi.
X 1/N = N mzizi wa X.Kwa mfano: X 1/2 = √X.
1.5. Mfumo wa kuongeza nguvu.
X (N+M) = X N *X M1.6.Mfumo wa kutoa mamlaka.
X (N-M) = X N /X M1.7. Mfumo wa nguvu za kuzidisha.
X N*M = (X N) M1.8. Mfumo wa kuongeza sehemu hadi nguvu.
(X/Y) N = X N /Y N2. Nambari e.
Thamani ya nambari e ni sawa na kikomo kifuatacho:E = lim(1+1/N), kama N → ∞.
Kwa usahihi wa tarakimu 17, nambari e ni 2.71828182845904512.
3. Usawa wa Euler.
Usawa huu unaunganisha nambari tano ambazo zina jukumu maalum katika hisabati: 0, 1, e, pi, kitengo cha kufikiria.E (i*pi) + 1 = 0
4. Utendakazi wa kipeo exp(x)
exp(x) = e x5. Inayotokana na utendaji wa kielelezo
Kitendaji cha kielelezo kina mali ya ajabu: Nyingi ya chaguo za kukokotoa ni sawa na chaguo za kukokotoa zenyewe:(exp(x))" = exp(x)
6. Logarithm.
6.1. Ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la logariti
Ikiwa x = b y, basi logarithm ndio kaziY = Ingia b(x).
Logariti inaonyesha ni kwa nguvu gani nambari inapaswa kuinuliwa - msingi wa logariti (b) ili kupata nambari fulani (X). Chaguo za kukokotoa za logariti hufafanuliwa kwa X kubwa kuliko sifuri.
Kwa mfano: Nambari 10 (100) = 2.
6.2. Logariti ya decimal
Hii ndio logarithm ya msingi 10:Y = Log 10 (x) .
Imebainishwa na Ingia(x): Ingia(x) = Ingia 10 (x).
Mfano wa matumizi logarithm ya desimali- decibel.
6.3. Decibel
Kipengee kimeangaziwa kwenye ukurasa tofauti wa Decibel6.4. Logarithm ya binary
Hii ndio msingi wa logarithm 2:Y = Logi 2 (x).
Inaonyeshwa na Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Logarithm ya asili
Hii ndio logariti ya msingi e:Y = Ingia e (x) .
Imeonyeshwa na Ln(x): Ln(x) = Logi e (X)
Logarithm ya asili - utendaji wa kinyume kwa kielelezo kazi exp(X).
6.6. Pointi za tabia
Loga(1) = 0Rekodi a (a) = 1
6.7. Fomula ya logarithm ya bidhaa
Rekodi a (x*y) = Rekodi a (x)+Regi a (y)6.8. Mfumo wa logarithm ya mgawo
Rekodi a (x/y) = Rekodi a (x)-Andika a (y)6.9. Logarithm ya fomula ya nguvu
Rekodi a (x y) = y*Andika (x)6.10. Mfumo wa kubadilisha hadi logariti yenye msingi tofauti
Logi b (x) = (Namba a (x))/logi a (b)Mfano:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Mifumo muhimu katika maisha
Mara nyingi kuna matatizo ya kubadilisha kiasi katika eneo au urefu na tatizo kinyume-- ubadilishaji wa eneo hadi kiasi. Kwa mfano, bodi zinauzwa kwa cubes (mita za ujazo), na tunahitaji kuhesabu ni kiasi gani eneo la ukuta linaweza kufunikwa na bodi zilizomo ndani. kiasi fulani, angalia hesabu ya bodi, ni bodi ngapi kwenye mchemraba. Au, ikiwa vipimo vya ukuta vinajulikana, unahitaji kuhesabu idadi ya matofali, angalia hesabu ya matofali.
Inaruhusiwa kutumia nyenzo za tovuti mradi kiungo kinachotumika kwa chanzo kimesakinishwa.
Kuhusiana na
kazi ya kutafuta nambari yoyote kati ya hizo tatu kutoka kwa hizo mbili zilizopewa inaweza kuwekwa. Ikiwa a na kisha N zinatolewa, zinapatikana kwa ufafanuzi. Ikiwa N na kisha a hutolewa kwa kuchukua mzizi wa digrii x (au kuinua kwa nguvu). Sasa fikiria kesi wakati, ukipewa a na N, tunahitaji kupata x.
Acha nambari N iwe chanya: nambari a iwe chanya na isiwe sawa na moja: .
Ufafanuzi. Logariti ya nambari N hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata nambari N; logarithm inaonyeshwa na
Kwa hivyo, katika usawa (26.1) kipeo kinapatikana kama logariti ya N hadi msingi a. Machapisho
kuwa na maana sawa. Usawa (26.1) wakati mwingine huitwa utambulisho mkuu wa nadharia ya logarithmu; kwa uhalisia inaeleza ufafanuzi wa dhana ya logariti. Na ufafanuzi huu Msingi wa logarithm a daima ni chanya na tofauti na umoja; nambari ya logarithmic N ni chanya. Nambari hasi na sifuri hazina logariti. Inaweza kuthibitishwa kuwa nambari yoyote iliyo na msingi fulani ina logarithm iliyofafanuliwa vizuri. Kwa hivyo usawa unajumuisha. Kumbuka kuwa hali muhimu hapa ni vinginevyo hitimisho halingehesabiwa haki, kwani usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya x na y.
Mfano 1. Tafuta
Suluhisho. Ili kupata nambari, lazima uinue msingi 2 kwa nguvu Kwa hivyo.
Unaweza kuandika maelezo wakati wa kutatua mifano kama hii katika fomu ifuatayo:
Mfano 2. Tafuta .
Suluhisho. Tuna
Katika mifano ya 1 na 2, tulipata logariti tunayotaka kwa urahisi kwa kuwakilisha nambari ya logariti kama nguvu ya msingi yenye kipeo mantiki. KATIKA kesi ya jumla, kwa mfano, kwa nk, hii haiwezi kufanywa, kwani logarithm ina maana isiyo na maana. Hebu tuzingatie suala moja linalohusiana na kauli hii. Katika aya ya 12 tulitoa dhana ya uwezekano wa kuamua kiwango chochote halisi cha kitu fulani nambari chanya. Hii ilikuwa muhimu kwa kuanzishwa kwa logarithms, ambayo, kwa ujumla, inaweza kuwa nambari zisizo na maana.
Wacha tuangalie sifa zingine za logarithm.
Mali 1. Ikiwa nambari na msingi ni sawa, basi logarithm sawa na moja, na, kinyume chake, ikiwa logarithm ni sawa na moja, basi nambari na msingi ni sawa.
Ushahidi. Hebu Kwa ufafanuzi wa logarithm tunayo na wapi
Kinyume chake, basi basi kwa ufafanuzi
Mali 2. Logariti ya moja hadi msingi wowote ni sawa na sifuri.
Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa logarithm (nguvu ya sifuri ya msingi wowote mzuri ni sawa na moja, ona (10.1)). Kutoka hapa
Q.E.D.
Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi N = 1. Hakika, tunayo.
Kabla ya kuunda sifa inayofuata ya logariti, tukubaliane kusema kwamba nambari mbili a na b ziko upande uleule wa nambari ya tatu c ikiwa zote ni kubwa kuliko c au chini ya c. Ikiwa moja ya nambari hizi ni kubwa kuliko c, na nyingine ni chini ya c, basi tutasema kwamba wanalala pamoja pande tofauti kutoka kijijini
Mali 3. Ikiwa nambari na msingi ziko upande mmoja wa moja, basi logarithm ni chanya; Ikiwa nambari na msingi ziko pande tofauti za moja, basi logarithm ni hasi.
Uthibitisho wa mali 3 unatokana na ukweli kwamba nguvu ya a ni kubwa kuliko moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni chanya au msingi ni chini ya moja na kielelezo ni hasi. Nguvu ni chini ya moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni hasi au msingi ni chini ya moja na kipeo ni chanya.
Kuna kesi nne za kuzingatia:
Tutajiwekea kikomo cha kuchambua ya kwanza; msomaji atazingatia mengine peke yake.
Hebu basi katika usawa kielelezo kinaweza kuwa si hasi wala sawa na sifuri, kwa hiyo, ni chanya, yaani, inavyotakiwa kuthibitishwa.
Mfano 3. Jua ni ipi kati ya logariti zilizo hapa chini ni chanya na zipi ni hasi:
Suluhisho, a) kwa kuwa nambari 15 na msingi 12 ziko upande mmoja wa moja;
b) tangu 1000 na 2 ziko upande mmoja wa kitengo; katika kesi hii, sio muhimu kwamba msingi ni mkubwa kuliko nambari ya logarithmic;
c) tangu 3.1 na 0.8 hulala pande tofauti za umoja;
G); Kwa nini?
d); Kwa nini?
Sifa zifuatazo 4-6 mara nyingi huitwa sheria za logarithmation: huruhusu, kujua logarithms za nambari fulani, kupata logarithms ya bidhaa zao, quotient, na kiwango cha kila mmoja wao.
Mali 4 (kanuni ya logarithm ya bidhaa). Logarithm ya bidhaa ya nambari kadhaa chanya kwa msingi huu sawa na jumla logariti za nambari hizi kwa msingi sawa.
Ushahidi. Acha nambari ulizopewa ziwe chanya.
Kwa logariti ya bidhaa zao, tunaandika usawa (26.1) ambayo inafafanua logariti:
Kutoka hapa tutapata
Kulinganisha vielelezo vya kwanza na maneno ya mwisho, tunapata usawa unaohitajika:
Kumbuka kwamba hali ni muhimu; logarithm ya bidhaa ya nambari mbili hasi ina maana, lakini katika kesi hii tunapata
Kwa ujumla, ikiwa bidhaa ya mambo kadhaa ni chanya, basi logarithm yake ni sawa na jumla ya logarithms ya maadili kamili ya mambo haya.
Mali 5 (kanuni ya kuchukua logarithms ya quotients). Logariti ya mgawo wa nambari chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko, zilizochukuliwa kwa msingi sawa. Ushahidi. Tunapata mara kwa mara
Q.E.D.
Mali 6 (sheria ya logarithm ya nguvu). Logariti ya nguvu ya nambari fulani chanya sawa na logarithm nambari hii ilizidishwa na kipeo.
Ushahidi. Wacha tuandike tena kitambulisho kikuu (26.1) cha nambari:
Q.E.D.
Matokeo. Logariti ya mzizi wa nambari chanya ni sawa na logariti ya radical iliyogawanywa na kipeo cha mzizi:
Uhalali wa mfululizo huu unaweza kuthibitishwa kwa kuwazia jinsi na kutumia kipengele 6.
Mfano 4. Chukua logariti kuweka msingi wa:
a) (inadhaniwa kuwa maadili yote b, c, d, e ni chanya);
b) (inadhaniwa kuwa).
Suluhisho, a) Ni rahisi kwenda usemi huu kwa nguvu za sehemu:
Kulingana na usawa (26.5)-(26.7), sasa tunaweza kuandika:
Tunaona kwamba shughuli rahisi zaidi zinafanywa kwa logarithms ya nambari kuliko nambari zenyewe: wakati wa kuzidisha nambari, logarithms zao huongezwa, wakati wa kugawanya, hutolewa, nk.
Ndiyo maana logariti hutumika katika mazoezi ya kompyuta (tazama aya ya 29).
Kitendo cha kinyume cha logarithm kinaitwa potentiation, yaani: potentiation ni kitendo ambacho nambari yenyewe hupatikana kutoka kwa logarithm fulani ya nambari. Kimsingi, uwezo sio hatua yoyote maalum: inakuja kwa kuinua msingi kwa nguvu ( sawa na logarithm nambari). Neno "uwezo" linaweza kuchukuliwa kuwa sawa na neno "ufafanuzi".
Wakati wa uwezekano, lazima utumie sheria kinyume na sheria za logarithmation: badala ya jumla ya logarithms na logarithm ya bidhaa, tofauti ya logarithms na logarithm ya quotient, nk Hasa, ikiwa kuna sababu mbele. ya ishara ya logarithm, basi wakati wa potentiation lazima ihamishwe kwa digrii za kielelezo chini ya ishara ya logarithm.
Mfano 5. Tafuta N ikiwa inajulikana hivyo
Suluhisho. Kuhusiana na kanuni iliyoelezwa tu ya uwezekano, tutahamisha vipengele 2/3 na 1/3 vilivyosimama mbele ya ishara za logarithmu upande wa kulia wa usawa huu kuwa vielelezo chini ya ishara za logarithms hizi; tunapata
Sasa tunabadilisha tofauti ya logarithm na logarithm ya quotient:
ili kupata sehemu ya mwisho katika mlolongo huu wa usawa, tuliachilia sehemu iliyotangulia kutoka kwa kutokuwa na akili katika dhehebu (kifungu cha 25).
Mali 7. Ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja, basi idadi kubwa zaidi ina logarithm kubwa (na nambari ndogo ina ndogo), ikiwa msingi ni chini ya moja, basi nambari kubwa ina logarithm ndogo (na nambari ndogo ina kubwa zaidi).
Mali hii pia imeundwa kama sheria ya kuchukua logarithms ya usawa, pande zote mbili ambazo ni chanya:
Wakati wa kuchukua logariti za usawa kwa msingi, zaidi ya moja, ishara ya usawa imehifadhiwa, na wakati wa kuchukua logarithm kwa msingi chini ya moja, ishara ya kutofautiana inabadilika kinyume chake (tazama pia aya ya 80).
Uthibitisho unategemea sifa 5 na 3. Zingatia kesi wakati Ikiwa, basi na, kwa kuchukua logarithm, tunapata.
(a na N/M wanalala upande mmoja wa umoja). Kutoka hapa
Kisa kifuatacho, msomaji atajitambua mwenyewe.