Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logarithms kupitia awali kuweka maadili logarithmu zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja ni nini logarithm ni sawa - ni. sawa na kiashiria digrii. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kukokotoa logariti logi 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Wacha tuandike upya logarithm ya tatu ndani fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati chini ya ishara ya logarithm kuna kubwa ya kutosha nambari ya asili, basi haitaumiza kuitenganisha ndani sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya kitengo na sifa ya logariti ya nambari, sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na uweke a=logi a a 1 =1 . Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithms na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari ya 10 chini ya ishara ya logarithm inafanana na msingi wake, hivyo logarithm ya desimali kumi sawa na moja, yaani, log10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kuwa hesabu ya logarithm kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili ndani aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logarithms.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3 , na logariti ya awali, kutokana na sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·log 60 3 .
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. KATIKA hatua inayofuata tutakuonyesha jinsi inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia na jedwali la logarithm ya desimali. Wakati wa kufanya kazi ndani mfumo wa desimali Kwa calculus, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachanganua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali mfano maalum- ni wazi zaidi kwa njia hiyo. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Tunapata tarakimu ya tatu ya 1.256 (tarakimu 5) katika kwanza au mstari wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungushwa kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari kwenye seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima zilizowekwa alama (nambari hizi zimeangaziwa. machungwa) Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari ndani fomu ya kawaida : 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logarithm asili ya desimali ni takriban sawa na logarithm nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.
Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia fomula za logarithm kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:
Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.
Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.
Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (inayoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.
Kulingana na ufafanuzi wa logi a b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hivyo andika a x = x.
Logarithm, mifano:
logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8
logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49
logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5
Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.
logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100
Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida ya logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828... - nambari isiyo na mantiki) Imetajwa kama ln.
Inashauriwa kukariri fomula au mali ya logarithm, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logarithms, milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.
- Misingi kitambulisho cha logarithmic
logi a b = b8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithmu
log a (bc) = log a b + log a cgogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
- Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
- Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kipeo cha logarithm nambari za kumbukumbu a b m = mlog a b
Kielelezo cha msingi wa logariti logi a n b =1/n*logi a b
logi a n b m = m/n*logi a b,
ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b
gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
- Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1
kisha weka b = 1/logi b a
gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1
Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!
Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.
Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.
Maagizo
Andika uliyopewa usemi wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikitolewa kazi ngumu, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya ile ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika kupewa point y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hiyo, kuna tofauti gani? ir mlinganyo wa busara kutoka kwa mantiki? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara kipeo, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x. Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo kupewa equation haina mizizi.
Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kusuluhisha equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya asili.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, kwa upande wa kulia na kisha kutumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, kawaida mlinganyo wa quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Hivyo, kwa msaada wa rahisi zaidi shughuli za hesabu kazi iliyopo itatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupisho wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi na fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili sawa na mraba ya kwanza ikijumlisha mara mbili bidhaa ya ya kwanza kwa ya pili na kujumlisha mraba wa ya pili, yaani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kulingana na kitabu cha maandishi uchambuzi wa hisabati au hisabati ya juu, ambayo ni kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho uhakika muhimu kuna kazi ambayo derivative yake inatoa integrand. Kazi hii inaitwa antiderivative. Na kanuni hii na huunda viambajengo vikuu.Amua kwa umbo la kiunganishi ni kipi kati ya viambatanisho vya jedwali vinafaa kwa kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa kazi ya integrand ni kazi ya trigonometric, ambaye hoja yake ina polynomial, basi jaribu kutumia njia ya uingizwaji ya kutofautisha. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Utofautishaji kujieleza pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo utapata aina mpya ya kiungo cha awali, karibu na au hata kinacholingana na jedwali lolote.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii hukuruhusu kwenda kutoka kwa mtiririko wa rotor wa utendakazi fulani wa vekta hadi kiunganishi cha tatu juu ya mgawanyiko wa uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza badilisha thamani kikomo cha juu katika usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kazi ya antiderivative ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile usemi unajitahidi.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.
Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wake. Na kwa hivyo logarithm ya nambari b kulingana na A inafafanuliwa kama kipeo ambapo nambari lazima ipandishwe a kupata namba b(logarithm ipo kwa nambari chanya pekee).
Kutoka kwa uundaji huu inafuata kwamba hesabu x=logi a b, ni sawa na kutatua mlinganyo x =b. Kwa mfano, kumbukumbu 2 8 = 3 kwa sababu 8 = 2 3 . Uundaji wa logarithm hufanya iwezekane kuhalalisha kwamba ikiwa b=a c, kisha logariti ya nambari b kulingana na a sawa Na. Pia ni wazi kuwa mada ya logarithms inahusiana kwa karibu na mada ya nguvu za nambari.
Ukiwa na logariti, kama ilivyo kwa nambari yoyote, unaweza kufanya shughuli za kuongeza, kutoa na kubadilisha kila njia iwezekanavyo. Lakini kutokana na ukweli kwamba logarithms sio nambari za kawaida kabisa, sheria zao maalum zinatumika hapa, ambazo huitwa mali kuu.
Kuongeza na kupunguza logariti.
Wacha tuchukue logariti mbili nazo kwa misingi hiyo hiyo: logi a x Na logi a y. Basi inawezekana kufanya shughuli za kuongeza na kutoa:
weka logi ya x+ a y= logi a (x·y);
logi a x - weka y = logi a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi a x 1 + logi a x 2 + logi a x 3 + ... + logi a x k.
Kutoka nadharia ya mgawo wa logarithm Mali moja zaidi ya logarithm inaweza kupatikana. Ni maarifa ya kawaida kwamba logi a 1= 0, kwa hivyo
logi a 1 /b= logi a 1 - logi a b= -logi a b.
Hii inamaanisha kuwa kuna usawa:
logi a 1 / b = - logi a b.
Logariti za nambari mbili zinazofanana kwa sababu hiyo hiyo itatofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa ishara. Kwa hivyo:
Mgogo 3 9= - logi 3 1 / 9; logi 5 1 / 125 = -logi 5 125.
Moja ya vipengele vya algebra ya kiwango cha awali ni logarithm. Jina linatoka Lugha ya Kigiriki kutoka kwa neno "nambari" au "nguvu" na inamaanisha kiwango ambacho nambari katika msingi lazima iongezwe ili kupata nambari ya mwisho.
Aina za logarithm
- logi a b - logarithm ya nambari b kuweka msingi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- logi b - logarithm ya decimal (logarithm hadi msingi 10, a = 10);
- ln b - logarithm asili (logarithm kwa msingi e, a = e).
Jinsi ya kutatua logarithms?
Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo kinachohitaji b kuinuliwa hadi msingi a. Matokeo yaliyopatikana yanatamkwa kama hii: "logarithm ya b hadi msingi a." Suluhisho matatizo ya logarithmic ni kwamba unahitaji kuamua shahada hii kwa nambari na nambari zilizoonyeshwa. Kuna baadhi ya sheria za msingi za kuamua au kutatua logariti, na pia kubadilisha nukuu yenyewe. Kwa kuzitumia, hesabu za logarithmic zinatatuliwa, derivatives hupatikana, viunga vinatatuliwa, na shughuli zingine nyingi hufanywa. Kimsingi, suluhisho la logarithm yenyewe ni nukuu iliyorahisishwa. Ifuatayo ni kanuni za msingi na sifa:
Kwa yoyote a; a> 0; a ≠ 1 na kwa x yoyote; y > 0.
- logi a b = b - kitambulisho cha msingi cha logarithmic
- andika 1 = 0
- alama a = 1
- logi a (x y) = logi a x + logi y
- logi a x/ y = weka x - andika y
- weka 1/x = -logi a x
- logi a x p = p logi a x
- logi a k x = 1/k logi a x , kwa k ≠ 0
- logi a x = logi a c x c
- logi a x = logi b x/ logi b a - fomula ya kuhamia msingi mpya
- logi a x = 1/logi x a
Jinsi ya kutatua logarithms - maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua
- Kwanza, andika equation inayohitajika.
Tafadhali kumbuka: ikiwa logarithm msingi ni 10, basi ingizo limefupishwa, na kusababisha logarithm ya desimali. Ikiwa kuna nambari ya asili e, basi tunaiandika, tukipunguza logarithm asili. Hii ina maana kwamba matokeo ya logariti zote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inainuliwa ili kupata nambari b.
Moja kwa moja, suluhisho liko katika kuhesabu shahada hii. Kabla ya kusuluhisha usemi na logarithm, lazima iwe rahisi kulingana na sheria, ambayo ni, kwa kutumia fomula. Unaweza kupata utambulisho kuu kwa kurudi nyuma kidogo katika makala.
Kuongeza na kutoa logariti na mbili nambari tofauti, lakini kwa besi sawa, badala ya logarithm moja na bidhaa au mgawanyiko wa namba b na c, kwa mtiririko huo. Katika kesi hii, unaweza kutumia formula ya kuhamia msingi mwingine (tazama hapo juu).
Ikiwa unatumia misemo kurahisisha logariti, kuna mapungufu ya kuzingatia. Na hiyo ni: msingi wa logarithm a ni tu nambari chanya, lakini sivyo sawa na moja. Nambari b, kama a, lazima iwe kubwa kuliko sifuri.
Kuna matukio ambapo, kwa kurahisisha usemi, hutaweza kukokotoa logariti ndani fomu ya nambari. Inatokea kwamba usemi kama huo hauna maana, kwa sababu nguvu nyingi ni nambari zisizo na maana. Chini ya hali hii, acha nguvu ya nambari kama logarithm.
