Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logariti kupitia maadili maalum ya logariti zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja kile logarithm ni sawa - ni sawa na kielelezo. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kokotoa logariti logariti 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Hebu tuandike upya logariti ya tatu katika fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati kuna idadi kubwa ya asili ya kutosha chini ya ishara ya logarithm, haidhuru kuijumuisha katika sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya moja na sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na logi a=logi a a 1 =1. Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithms na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi ni sawa na moja, ambayo ni, lg10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kwamba hesabu ya logariti kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili katika aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logariti.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3 , na logariti ya awali, kutokana na sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·log 60 3 .
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. Katika aya inayofuata tutaonyesha jinsi hii inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia na jedwali la logarithm ya desimali. Wakati wa kufanya kazi katika mfumo wa nambari ya decimal, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi wa kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachambua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali kwa kutumia mfano maalum - ni wazi zaidi kwa njia hii. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Nambari ya tatu ya nambari 1.256 (tarakimu 5) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezunguka kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari katika seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima (nambari hizi zimeangaziwa kwa machungwa). Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari katika fomu ya kawaida: 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logariti ya desimali asili ni takriban sawa na logariti ya nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.
Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia fomula za logarithm kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:
Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.
Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.
Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (inayoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.
Kwa mujibu wa ufafanuzi, andika b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hiyo weka a x = x.
Logarithms, mifano:
logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8
logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49
logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5
Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.
logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100
Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida, logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828 ... - nambari isiyo na maana). Imetajwa kama ln.
Inashauriwa kukariri fomula au sifa za logariti, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logariti, milinganyo ya logarithmic na usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.
- Utambulisho wa msingi wa logarithmic
logi a b = b8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti
log a (bc) = log a b + log a cgogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
- Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
- Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kielelezo cha nambari ya logarithmic logi a b m = mlog a b
Kielelezo cha msingi wa logariti logi a n b =1/n*logi a b
logi a n b m = m/n*logi a b,
ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b
gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
- Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1
kisha weka b = 1/logi b a
gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1
Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!
Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.
Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.
Moja ya vipengele vya algebra ya kiwango cha awali ni logarithm. Jina linatokana na lugha ya Kigiriki kutoka kwa neno "nambari" au "nguvu" na linamaanisha nguvu ambayo nambari katika msingi lazima ifufuliwe ili kupata nambari ya mwisho.
Aina za logarithm
- logi a b - logarithm ya nambari b kuweka msingi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- logi b - logarithm ya decimal (logarithm hadi msingi 10, a = 10);
- ln b - logarithm asili (logarithm kwa msingi e, a = e).
Jinsi ya kutatua logarithms?
Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo kinachohitaji b kuinuliwa hadi msingi a. Matokeo yaliyopatikana yanatamkwa kama hii: "logarithm ya b hadi msingi a." Suluhisho la shida za logarithmic ni kwamba unahitaji kuamua nguvu uliyopewa kwa nambari kutoka kwa nambari maalum. Kuna baadhi ya sheria za msingi za kuamua au kutatua logariti, na pia kubadilisha nukuu yenyewe. Kwa kuzitumia, hesabu za logarithmic zinatatuliwa, derivatives hupatikana, viunga vinatatuliwa, na shughuli zingine nyingi hufanywa. Kimsingi, suluhisho la logarithm yenyewe ni nukuu iliyorahisishwa. Ifuatayo ni kanuni za msingi na sifa:
Kwa yoyote a; a> 0; a ≠ 1 na kwa x yoyote; y > 0.
- logi a b = b - kitambulisho cha msingi cha logarithmic
- andika 1 = 0
- alama a = 1
- logi a (x y) = logi a x + logi y
- logi a x/ y = weka x - andika y
- weka 1/x = -logi a x
- logi a x p = p logi a x
- logi a k x = 1/k logi a x , kwa k ≠ 0
- logi a x = logi a c x c
- logi a x = logi b x/ logi b a - fomula ya kuhamia msingi mpya
- logi a x = 1/logi x a
Jinsi ya kutatua logarithms - maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua
- Kwanza, andika equation inayohitajika.
Tafadhali kumbuka: ikiwa logarithm ya msingi ni 10, basi ingizo limefupishwa, na kusababisha logarithm ya desimali. Ikiwa kuna nambari ya asili e, basi tunaiandika, tukipunguza kwa logarithm ya asili. Hii ina maana kwamba matokeo ya logariti zote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inainuliwa ili kupata nambari b.
Moja kwa moja, suluhisho liko katika kuhesabu shahada hii. Kabla ya kusuluhisha usemi na logarithm, lazima iwe rahisi kulingana na sheria, ambayo ni, kwa kutumia fomula. Unaweza kupata utambulisho kuu kwa kurudi nyuma kidogo katika makala.
Unapoongeza na kutoa logariti zenye nambari mbili tofauti lakini kwa besi zile zile, badilisha na logariti moja na bidhaa au mgawanyo wa nambari b na c, mtawalia. Katika kesi hii, unaweza kutumia formula ya kuhamia msingi mwingine (tazama hapo juu).
Ikiwa unatumia misemo kurahisisha logariti, kuna mapungufu ya kuzingatia. Na hiyo ni: msingi wa logarithm a ni nambari chanya tu, lakini sio sawa na moja. Nambari b, kama a, lazima iwe kubwa kuliko sifuri.
Kuna matukio ambapo, kwa kurahisisha usemi, hutaweza kukokotoa logariti kwa nambari. Inatokea kwamba usemi kama huo hauna maana, kwa sababu nguvu nyingi ni nambari zisizo na maana. Chini ya hali hii, acha nguvu ya nambari kama logarithm.
Maagizo
Andika usemi uliopewa wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikiwa kazi ngumu inapewa, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya moja ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Ushauri wa manufaa
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hivyo, ni tofauti gani kati ya equation isiyo na mantiki na ya busara? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara ya mizizi ya mraba, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x. Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo, 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo equation hii haina mizizi.
Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kusuluhisha equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya asili.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mizizi ya mraba, kwa upande wa kulia na kisha kutumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, equation ya kawaida ya quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kufanya mabadiliko sawa hadi lengo lililowekwa lifikiwe. Kwa hiyo, kwa msaada wa shughuli rahisi za hesabu, tatizo lililowekwa litatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupi wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna fomula nyingi za trigonometric, ambazo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili ni sawa na mraba wa kwanza na mara mbili ya bidhaa ya kwanza kwa pili na kuongeza mraba wa pili, yaani, (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kutoka kwa kitabu cha kiada cha uchanganuzi wa hisabati au hisabati ya juu zaidi ni nini kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho la kiunganishi dhahiri ni kazi ambayo derivative yake itatoa muunganisho. Kazi hii inaitwa antiderivative. Kulingana na kanuni hii, viungo kuu vinajengwa.Kuamua kwa aina ya integrand ambayo ya viungo vya meza yanafaa katika kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa integrand ni kazi ya trigonometric ambayo hoja yake ni ya polynomial, basi jaribu kutumia mabadiliko ya mbinu ya vigezo. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Kwa kutofautisha usemi huu, pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo, utapata fomu mpya ya kiunga cha awali, karibu au hata inayolingana na tabular fulani.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii inaturuhusu kuhama kutoka kwa mtiririko wa rotor wa kazi fulani ya vekta hadi sehemu tatu muhimu juu ya tofauti ya uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza, badilisha thamani ya kikomo cha juu kwenye usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kwenye kazi ya antiderivative, ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile ambacho usemi huelekea.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.
Na video hii ninaanza mfululizo mrefu wa masomo kuhusu milinganyo ya logarithmic. Sasa una mifano mitatu mbele yako, kwa msingi ambao tutajifunza kutatua matatizo rahisi zaidi, ambayo huitwa - protozoa.
logi 0.5 (3x - 1) = -3
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe kuwa equation rahisi zaidi ya logarithmic ni ifuatayo:
logi a f(x) = b
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba variable x iko tu ndani ya hoja, yaani, tu katika kazi f (x). Na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna vitendaji vyenye mabadiliko ya x.
Njia za msingi za suluhisho
Kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Kwa mfano, walimu wengi shuleni hutoa mbinu hii: Eleza mara moja chaguo la kukokotoa f (x) ukitumia fomula f ( x) = a b. Hiyo ni, unapokutana na ujenzi rahisi zaidi, unaweza kuendelea mara moja kwenye suluhisho bila vitendo vya ziada na ujenzi.
Ndiyo, bila shaka, uamuzi utakuwa sahihi. Walakini, shida ya fomula hii ni kwamba wanafunzi wengi sielewi, inatoka wapi na kwa nini tunainua herufi a hadi herufi b.
Matokeo yake, mara nyingi mimi huona makosa ya kukasirisha sana wakati, kwa mfano, barua hizi zinabadilishwa. Njia hii lazima ieleweke au ijazwe, na njia ya pili husababisha makosa kwa wakati usiofaa na muhimu zaidi: wakati wa mitihani, majaribio, nk.
Ndio maana ninapendekeza kwa wanafunzi wangu wote kuachana na fomula ya kawaida ya shule na kutumia mbinu ya pili kutatua milinganyo ya logarithmic, ambayo, kama unavyokisia kutoka kwa jina, inaitwa. fomu ya kisheria.
Wazo la fomu ya kisheria ni rahisi. Wacha tuangalie shida yetu tena: upande wa kushoto tuna logi a, na kwa herufi a tunamaanisha nambari, na kwa hali yoyote hakuna kazi iliyo na nambari ya x. Kwa hiyo, barua hii inakabiliwa na vikwazo vyote vinavyowekwa kwa msingi wa logarithm. yaani:
1 ≠ a > 0
Kwa upande mwingine, kutoka kwa equation sawa tunaona kwamba logarithm lazima iwe sawa na nambari b, na hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa barua hii, kwa sababu inaweza kuchukua thamani yoyote - chanya na hasi. Yote inategemea ni maadili gani kazi f(x) inachukua.
Na hapa tunakumbuka sheria yetu nzuri kwamba nambari yoyote b inaweza kuwakilishwa kama logariti hadi msingi wa a hadi nguvu ya b:
b = logi a b
Jinsi ya kukumbuka formula hii? Ndiyo, rahisi sana. Wacha tuandike muundo ufuatao:
b = b 1 = b logi a
Bila shaka, katika kesi hii vikwazo vyote ambavyo tuliandika mwanzoni hutokea. Sasa hebu tutumie sifa ya msingi ya logarithm na tutambulishe kizidishi b kama nguvu ya a. Tunapata:
b = b 1 = b logi a = logi a b
Kama matokeo, equation ya asili itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a b → f (x) = a b
Ni hayo tu. Chaguo jipya la kukokotoa halina logariti na linaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu za kawaida za aljebra.
Bila shaka, mtu sasa atapinga: kwa nini ilikuwa ni lazima kuja na aina fulani ya fomula ya kisheria kabisa, kwa nini kufanya hatua mbili za ziada zisizohitajika ikiwa inawezekana kuondoka mara moja kutoka kwa muundo wa awali hadi kwa fomula ya mwisho? Ndiyo, ikiwa tu kwa sababu wanafunzi wengi hawaelewi fomula hii inatoka wapi na, kwa sababu hiyo, hufanya makosa mara kwa mara wanapoitumia.
Lakini mlolongo huu wa vitendo, unaojumuisha hatua tatu, hukuruhusu kutatua equation ya asili ya logarithmic, hata ikiwa hauelewi fomula ya mwisho inatoka wapi. Kwa njia, kiingilio hiki kinaitwa formula ya kisheria:
logi a f (x) = logi a a b
Urahisi wa fomu ya kisheria pia iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika kutatua darasa pana sana la equations za logarithmic, na sio tu rahisi zaidi tunayozingatia leo.
Mifano ya ufumbuzi
Sasa tuangalie mifano halisi. Kwa hivyo, wacha tuamue:
logi 0.5 (3x - 1) = -3
Wacha tuiandike tena kama hii:
gogo 0.5 (3x − 1) = logi 0.5 0.5 -3
Wanafunzi wengi wana haraka na wanajaribu kuinua mara moja nambari 0.5 kwa nguvu ambayo ilitujia kutoka kwa shida ya asili. Hakika, wakati tayari umefunzwa vizuri katika kutatua shida kama hizo, unaweza kufanya hatua hii mara moja.
Walakini, ikiwa sasa unaanza kusoma mada hii, ni bora usikimbilie popote ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha. Kwa hivyo, tunayo fomu ya kisheria. Tuna:
3x − 1 = 0.5 -3
Huu sio tena mlinganyo wa logarithmic, lakini ni mstari kuhusiana na mabadiliko ya x. Ili kuitatua, hebu kwanza tuangalie nambari 0.5 kwa nguvu ya -3. Kumbuka kuwa 0.5 ni 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Badilisha sehemu zote za desimali kuwa sehemu za kawaida wakati wa kusuluhisha mlinganyo wa logarithmic.
Tunaandika tena na kupata:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ni hayo tu, tumepata jibu. Tatizo la kwanza limetatuliwa.
Jukumu la pili
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kama tunavyoona, equation hii sio rahisi zaidi. Ikiwa tu kwa sababu kuna tofauti upande wa kushoto, na sio logarithm moja kwa msingi mmoja.
Kwa hiyo, tunahitaji kwa namna fulani kuondokana na tofauti hii. Katika kesi hii, kila kitu ni rahisi sana. Wacha tuangalie kwa karibu besi: upande wa kushoto ni nambari iliyo chini ya mzizi:
Mapendekezo ya jumla: katika milinganyo yote ya logarithmic, jaribu kuondoa radicals, i.e., kutoka kwa maingizo yaliyo na mizizi na kuendelea na kazi za nguvu, kwa sababu wawakilishi wa nguvu hizi hutolewa kwa urahisi kutoka kwa ishara ya logarithm na, mwishowe, kama hizo. kiingilio hurahisisha sana na kuharakisha mahesabu. Hebu tuandike kama hii:
Sasa hebu tukumbuke mali ya ajabu ya logarithm: nguvu zinaweza kupatikana kutoka kwa hoja, na pia kutoka kwa msingi. Katika kesi ya msingi, yafuatayo hufanyika:
logi a k b = 1/k nembo b
Kwa maneno mengine, nambari iliyokuwa kwenye nguvu ya msingi inaletwa mbele na wakati huo huo kugeuzwa, ambayo ni, inakuwa nambari ya kubadilishana. Kwa upande wetu, shahada ya msingi ilikuwa 1/2. Kwa hivyo, tunaweza kuiondoa kama 2/1. Tunapata:
5 2 logi 5 x - -gogo 5 x = 18
logi 10 5 x - -logi 5 x = 18
Tafadhali kumbuka: kwa hali yoyote unapaswa kuondoa logarithms katika hatua hii. Kumbuka hesabu ya daraja la 4-5 na utaratibu wa shughuli: kuzidisha hufanywa kwanza, na kisha tu kuongeza na kutoa. Katika kesi hii, tunaondoa moja ya vitu sawa kutoka kwa vitu 10:
9 kumbukumbu 5 x = 18
logi 5 x = 2
Sasa equation yetu inaonekana kama inavyopaswa. Huu ndio ujenzi rahisi zaidi, na tunasuluhisha kwa kutumia fomu ya kisheria:
kumbukumbu 5 x = kumbukumbu 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ni hayo tu. Tatizo la pili limetatuliwa.
Mfano wa tatu
Wacha tuendelee kwenye kazi ya tatu:
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
logi b = gogo 10 b
Ikiwa kwa sababu fulani umechanganyikiwa na logi ya nukuu b , basi wakati wa kufanya mahesabu yote unaweza kuandika tu logi 10 b . Unaweza kufanya kazi na logariti za desimali kwa njia sawa na zingine: chukua mamlaka, ongeza na uwakilishe nambari zozote katika fomu lg 10.
Ni mali hizi ambazo tutatumia sasa kutatua shida, kwani sio rahisi zaidi ambayo tuliandika mwanzoni mwa somo letu.
Kwanza, kumbuka kuwa kipengele cha 2 mbele ya lg 5 kinaweza kuongezwa na kuwa nguvu ya msingi 5. Kwa kuongeza, neno la bure la 3 linaweza pia kuwakilishwa kama logarithm - hii ni rahisi sana kuchunguza kutoka kwa nukuu yetu.
Jaji mwenyewe: nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama logi kwa msingi wa 10:
3 = kumbukumbu 10 10 3 = kumbukumbu 10 3
Wacha tuandike tena shida ya asili kwa kuzingatia mabadiliko yaliyopatikana:
logi (x - 3) = logi 1000 + logi 25
logi (x - 3) = logi 1000 25
logi (x - 3) = gogo 25,000
Tunayo fomu ya kisheria tena, na tuliipata bila kupitia hatua ya mabadiliko, yaani, mlinganyo rahisi wa logarithmic haukuonekana popote.
Hivi ndivyo nilivyozungumza mwanzoni kabisa mwa somo. Fomu ya kisheria hukuruhusu kutatua darasa pana la matatizo kuliko fomula ya kawaida ya shule ambayo walimu wengi wa shule hutoa.
Kweli, ndivyo hivyo, tunaondoa ishara ya logarithm ya decimal, na tunapata muundo rahisi wa mstari:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Wote! Tatizo linatatuliwa.
Ujumbe juu ya upeo
Hapa ningependa kutoa maoni muhimu kuhusu wigo wa ufafanuzi. Hakika sasa kutakuwa na wanafunzi na waalimu ambao watasema: "Tunapotatua misemo kwa logariti, lazima tukumbuke kwamba hoja f (x) lazima iwe kubwa kuliko sufuri!" Katika suala hili, swali la mantiki linatokea: kwa nini hatukuhitaji usawa huu kuridhika katika matatizo yoyote yaliyozingatiwa?
Usijali. Katika kesi hizi, hakuna mizizi ya ziada itaonekana. Na hii ni hila nyingine nzuri ambayo inakuwezesha kuharakisha suluhisho. Jua tu kwamba ikiwa katika shida kutofautisha x kunatokea katika sehemu moja tu (au tuseme, katika hoja moja ya logarithm moja), na hakuna mahali pengine katika kesi yetu tofauti x inaonekana, basi andika kikoa cha ufafanuzi. hakuna haja, kwa sababu itatekelezwa kiotomatiki.
Jaji mwenyewe: katika equation ya kwanza tulipata kwamba 3x - 1, yaani hoja inapaswa kuwa sawa na 8. Hii ina maana moja kwa moja kwamba 3x - 1 itakuwa kubwa kuliko sifuri.
Kwa mafanikio sawa tunaweza kuandika kwamba katika kesi ya pili x inapaswa kuwa sawa na 5 2, i.e. hakika ni kubwa kuliko sifuri. Na katika kesi ya tatu, ambapo x + 3 = 25,000, yaani, tena, ni wazi zaidi kuliko sifuri. Kwa maneno mengine, wigo huridhika kiotomatiki, lakini tu ikiwa x hutokea tu katika hoja ya logarithm moja tu.
Hiyo ndiyo yote unayohitaji kujua ili kutatua matatizo rahisi zaidi. Sheria hii pekee, pamoja na sheria za mabadiliko, itawawezesha kutatua darasa kubwa sana la matatizo.
Lakini hebu tuwe waaminifu: ili hatimaye kuelewa mbinu hii, kujifunza jinsi ya kutumia fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic, haitoshi tu kutazama somo moja la video. Kwa hiyo, hivi sasa, pakua chaguo kwa ufumbuzi wa kujitegemea ambao umeunganishwa kwenye somo hili la video na uanze kutatua angalau moja ya kazi hizi mbili za kujitegemea.
Itakuchukua dakika chache halisi. Lakini matokeo ya mafunzo kama haya yatakuwa ya juu zaidi kuliko ikiwa utatazama somo hili la video tu.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa milinganyo ya logarithmic. Tumia fomu ya kisheria, kurahisisha misemo kwa kutumia sheria za kufanya kazi na logarithms - na hautaogopa shida zozote. Hiyo ndiyo yote niliyo nayo kwa leo.
Kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi
Sasa hebu tuzungumze juu ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya logarithmic, na jinsi hii inathiri suluhisho la milinganyo ya logarithmic. Fikiria muundo wa fomu
logi a f (x) = b
Usemi kama huo unaitwa rahisi zaidi - una kazi moja tu, na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna kazi ambayo inategemea kutofautisha x. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana. Unahitaji tu kutumia formula:
b = logi a b
Fomula hii ni moja wapo ya sifa kuu za logarithm, na tunapobadilisha usemi wetu wa asili tunapata yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
f (x) = a b
Hii ni fomula inayojulikana kutoka kwa vitabu vya kiada vya shule. Wanafunzi wengi labda watakuwa na swali: kwa kuwa katika usemi wa asili kazi f (x) iko chini ya ishara ya kumbukumbu, vizuizi vifuatavyo vimewekwa juu yake:
f(x) > 0
Kizuizi hiki kinatumika kwa sababu logariti ya nambari hasi haipo. Kwa hivyo, labda, kama matokeo ya kizuizi hiki, ukaguzi wa majibu unapaswa kuletwa? Labda zinahitaji kuingizwa kwenye chanzo?
Hapana, katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic ukaguzi wa ziada sio lazima. Na ndiyo maana. Angalia fomula yetu ya mwisho:
f (x) = a b
Ukweli ni kwamba nambari a kwa hali yoyote ni kubwa kuliko 0 - hitaji hili pia linawekwa na logarithm. Nambari A ndio msingi. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari b. Lakini hii haijalishi, kwa sababu haijalishi tunainua nambari chanya kwa nguvu gani, bado tutapata nambari chanya kwenye pato. Kwa hivyo, hitaji la f (x) > 0 linaridhika kiotomatiki.
Kinachostahili kuangaliwa ni kikoa cha chaguo za kukokotoa chini ya ishara ya kumbukumbu. Kunaweza kuwa na miundo ngumu kabisa, na hakika unahitaji kuiangalia wakati wa mchakato wa suluhisho. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Hatua ya kwanza: badilisha sehemu iliyo kulia. Tunapata:
Tunaondoa ishara ya logarithm na kupata equation ya kawaida isiyo na maana:
Kati ya mizizi iliyopatikana, ya kwanza tu inafaa kwetu, kwani mzizi wa pili ni chini ya sifuri. Jibu pekee litakuwa namba 9. Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa. Hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika ili kuhakikisha kuwa usemi chini ya ishara ya logarithm ni kubwa kuliko 0, kwa sababu sio tu zaidi ya 0, lakini kulingana na hali ya equation ni sawa na 2. Kwa hiyo, mahitaji "kubwa kuliko sifuri." ” inaridhika kiotomatiki.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kila kitu ni sawa hapa. Tunaandika upya ujenzi, kuchukua nafasi ya tatu:
Tunaondoa ishara za logarithm na kupata equation isiyo na maana:
Tunaweka pande zote mbili kwa kuzingatia vikwazo na kupata:
4 − 6x − x 2 = (x -4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Tunatatua equation inayotokana na kibaguzi:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Lakini x = −6 haitufai, kwa sababu tukibadilisha nambari hii kwa usawa wetu, tunapata:
−6 + 4 = −2 < 0
Kwa upande wetu, inahitajika kuwa kubwa kuliko 0 au, katika hali mbaya, sawa. Lakini x = −1 inatufaa:
−1 + 4 = 3 > 0
Jibu pekee katika kesi yetu litakuwa x = -1. Hilo ndilo suluhisho. Hebu turejee mwanzo kabisa wa mahesabu yetu.
Jambo kuu la kuchukua kutoka kwa somo hili ni kwamba hauitaji kuangalia vizuizi kwenye chaguo la kukokotoa katika milinganyo rahisi ya logarithmic. Kwa sababu wakati wa mchakato wa ufumbuzi vikwazo vyote ni kuridhika moja kwa moja.
Walakini, hii haimaanishi kuwa unaweza kusahau juu ya kuangalia kabisa. Katika mchakato wa kufanya kazi kwenye equation ya logarithmic, inaweza kugeuka kuwa isiyo na maana, ambayo itakuwa na vikwazo na mahitaji yake kwa upande wa kulia, ambayo tumeona leo katika mifano miwili tofauti.
Jisikie huru kutatua matatizo kama haya na uwe mwangalifu haswa ikiwa kuna mzizi katika mabishano.
Milinganyo ya logarithmic yenye misingi tofauti
Tunaendelea kusoma hesabu za logarithmic na kuangalia mbinu mbili za kuvutia zaidi ambazo ni mtindo wa kutatua miundo ngumu zaidi. Lakini kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa:
logi a f (x) = b
Katika ingizo hili, a na b ni nambari, na katika kazi f (x) kigezo x lazima kiwepo, na pale tu, yaani, x lazima iwe tu kwenye hoja. Tutabadilisha milinganyo kama hii ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, kumbuka
b = logi a b
Aidha, b ni hoja haswa. Wacha tuandike tena usemi huu kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Hili ndilo hasa tunalojaribu kufikia, ili kuwe na logarithm ya msingi wa kushoto na kulia. Katika kesi hii, tunaweza, kwa kusema kwa mfano, kuvuka ishara za logi, na kutoka kwa maoni ya hesabu tunaweza kusema kwamba tunasawazisha hoja:
f (x) = a b
Matokeo yake, tutapata usemi mpya ambao utakuwa rahisi sana kutatua. Wacha tuitumie sheria hii kwa shida zetu leo.
Kwa hivyo, muundo wa kwanza:
Kwanza kabisa, ninaona kuwa upande wa kulia ni sehemu ambayo dhehebu lake ni logi. Unapoona usemi kama huu, ni wazo nzuri kukumbuka sifa nzuri ya logarithms:
Ikitafsiriwa katika Kirusi, hii ina maana kwamba logariti yoyote inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logariti mbili na msingi wowote c. Bila shaka 0< с ≠ 1.
Kwa hivyo: formula hii ina kesi moja ya ajabu, wakati variable c ni sawa na kutofautiana b. Katika kesi hii, tunapata muundo kama huu:
Huu ndio hasa ujenzi tunaouona kutoka kwa ishara upande wa kulia katika equation yetu. Wacha tubadilishe ujenzi huu na log a b , tunapata:
Kwa maneno mengine, kwa kulinganisha na kazi ya awali, tulibadilisha hoja na msingi wa logarithm. Badala yake, ilibidi tubadilishe sehemu hiyo.
Tunakumbuka kuwa digrii yoyote inaweza kutolewa kutoka kwa msingi kulingana na sheria ifuatayo:
Kwa maneno mengine, mgawo k, ambayo ni nguvu ya msingi, inaonyeshwa kama sehemu iliyogeuzwa. Wacha tuitoe kama sehemu iliyogeuzwa:
Sababu ya sehemu haiwezi kuachwa mbele, kwa sababu katika kesi hii hatutaweza kuwakilisha nukuu hii kama fomu ya kisheria (baada ya yote, katika fomu ya kisheria hakuna sababu ya ziada kabla ya logarithm ya pili). Kwa hivyo, wacha tuongeze sehemu 1/4 kwenye hoja kama nguvu:
Sasa tunalinganisha hoja ambazo misingi yake ni sawa (na misingi yetu ni sawa), na andika:
x + 5 = 1
x = -4
Ni hayo tu. Tulipata jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic. Tafadhali kumbuka: katika tatizo la awali, kutofautiana x inaonekana katika logi moja tu, na inaonekana katika hoja yake. Kwa hivyo, hakuna haja ya kuangalia kikoa, na nambari yetu x = -4 ndio jibu.
Sasa hebu tuendelee kwenye usemi wa pili:
gogo 56 = logi 2 logi 2 7 − 3logi (x + 4)
Hapa, pamoja na logarithms ya kawaida, tutalazimika kufanya kazi na logi f (x). Jinsi ya kutatua equation kama hiyo? Kwa mwanafunzi ambaye hajajitayarisha inaweza kuonekana kama hii ni aina fulani ya kazi ngumu, lakini kwa kweli kila kitu kinaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi.
Angalia kwa karibu neno lg 2 logi 2 7. Tunaweza kusema nini kuhusu hilo? Misingi na hoja za logi na lg ni sawa, na hii inapaswa kutoa maoni kadhaa. Wacha tukumbuke tena jinsi nguvu zinatolewa kutoka chini ya ishara ya logarithm:
log a b n = nlog a b
Kwa maneno mengine, nini ilikuwa nguvu ya b katika hoja inakuwa sababu mbele ya logi yenyewe. Hebu tutumie fomula hii kwa kujieleza lg 2 logi 2 7. Usiogope na lg 2 - hii ndiyo usemi wa kawaida zaidi. Unaweza kuiandika tena kama ifuatavyo:
Sheria zote zinazotumika kwa logarithm nyingine yoyote ni halali kwake. Hasa, jambo lililo mbele linaweza kuongezwa kwa kiwango cha hoja. Hebu tuandike:
Mara nyingi, wanafunzi hawaoni hatua hii moja kwa moja, kwa sababu si vizuri kuingiza logi moja chini ya ishara ya mwingine. Kwa kweli, hakuna kitu cha uhalifu kuhusu hili. Kwa kuongezea, tunapata fomula ambayo ni rahisi kuhesabu ikiwa unakumbuka sheria muhimu:
Fomula hii inaweza kuzingatiwa kama ufafanuzi na kama moja ya sifa zake. Kwa hali yoyote, ikiwa unabadilisha equation ya logarithmic, unapaswa kujua fomula hii kama vile ungejua uwakilishi wa logi wa nambari yoyote.
Wacha turudi kwenye kazi yetu. Tunaiandika upya kwa kuzingatia ukweli kwamba muhula wa kwanza upande wa kulia wa ishara sawa itakuwa sawa na lg 7. Tuna:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Wacha tuhamishe lg 7 kwenda kushoto, tunapata:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tunatoa misemo iliyo upande wa kushoto kwa sababu ina msingi sawa:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sasa hebu tuangalie kwa karibu equation tuliyopata. Ni kivitendo fomu ya kisheria, lakini kuna kipengele -3 upande wa kulia. Wacha tuiongeze kwa hoja sahihi ya lg:
gogo 8 = gogo (x + 4) −3
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlinganyo wa logarithmic, kwa hivyo tunavuka alama za lg na kusawazisha hoja:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Ni hayo tu! Tulitatua mlingano wa pili wa logarithmic. Katika kesi hii, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika, kwa sababu katika tatizo la awali x lilikuwepo katika hoja moja tu.
Acha niorodheshe mambo muhimu ya somo hili tena.
Fomula kuu ambayo inafunzwa katika masomo yote kwenye ukurasa huu yaliyowekwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya logarithmic ni fomu ya kisheria. Na usiogope na ukweli kwamba vitabu vingi vya shule vinakufundisha kutatua matatizo hayo tofauti. Chombo hiki hufanya kazi kwa ufanisi sana na hukuruhusu kutatua darasa pana zaidi la shida kuliko zile rahisi ambazo tulisoma mwanzoni mwa somo letu.
Kwa kuongeza, kutatua equations za logarithmic itakuwa muhimu kujua mali ya msingi. Yaani:
- Njia ya kuhamia kwenye msingi mmoja na kesi maalum wakati tunabadilisha logi (hii ilikuwa muhimu sana kwetu katika tatizo la kwanza);
- Mfumo wa kuongeza na kupunguza nguvu kutoka kwa ishara ya logariti. Hapa, wanafunzi wengi hukwama na hawaoni kwamba shahada iliyotolewa na kuletwa inaweza kuwa na logi f (x). Hakuna ubaya kwa hilo. Tunaweza kuanzisha logi moja kulingana na ishara ya nyingine na wakati huo huo kurahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho la tatizo, ambalo ndilo tunaloona katika kesi ya pili.
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza kwamba si lazima kuangalia uwanja wa ufafanuzi katika kila kesi hizi, kwa sababu kila mahali kutofautiana x iko katika ishara moja tu ya logi, na wakati huo huo ni katika hoja yake. Kama matokeo, mahitaji yote ya wigo yanatimizwa kiatomati.
Matatizo na msingi wa kutofautiana
Leo tutaangalia equations za logarithmic, ambazo kwa wanafunzi wengi zinaonekana zisizo za kawaida, ikiwa haziwezi kutatuliwa kabisa. Tunazungumza juu ya misemo kulingana na sio nambari, lakini kwa anuwai na hata kazi. Tutasuluhisha ujenzi kama huo kwa kutumia mbinu yetu ya kawaida, ambayo ni kupitia fomu ya kisheria.
Kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa, kwa kuzingatia namba za kawaida. Kwa hiyo, ujenzi rahisi zaidi unaitwa
logi a f (x) = b
Ili kutatua shida kama hizo, tunaweza kutumia formula ifuatayo:
b = logi a b
Tunaandika upya usemi wetu wa asili na kupata:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja, i.e. tunaandika:
f (x) = a b
Kwa hivyo, tunaondoa ishara ya logi na kutatua shida ya kawaida. Katika kesi hii, mizizi iliyopatikana kutoka kwa suluhisho itakuwa mizizi ya equation ya awali ya logarithmic. Kwa kuongeza, rekodi wakati kushoto na kulia ziko katika logarithm sawa na msingi sawa inaitwa kwa usahihi fomu ya kisheria. Ni kwa rekodi kama hiyo kwamba tutajaribu kupunguza miundo ya leo. Kwa hiyo, twende.
Jukumu la kwanza:
logi x - 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Badilisha 1 kwa logi x - 2 (x - 2) 1 . Kiwango tunachoona katika hoja ni nambari b iliyosimama upande wa kulia wa ishara sawa. Kwa hivyo, wacha tuandike tena usemi wetu. Tunapata:
gogo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = gogo x - 2 (x - 2)
Tunaona nini? Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic, kwa hivyo tunaweza kusawazisha hoja kwa usalama. Tunapata:
2x 2 - 13x + 18 = x -2
Lakini suluhisho haliishii hapo, kwa sababu mlinganyo huu sio sawa na ule wa asili. Baada ya yote, ujenzi unaozalishwa unajumuisha kazi ambazo zinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na logarithms yetu ya awali haijafafanuliwa kila mahali na si mara zote.
Kwa hivyo, lazima tuandike kikoa cha ufafanuzi tofauti. Wacha tusigawanye nywele na kwanza tuandike mahitaji yote:
Kwanza, hoja ya kila logariti lazima iwe kubwa kuliko 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Pili, msingi lazima sio tu kuwa mkubwa kuliko 0, lakini pia tofauti na 1:
x − 2 ≠ 1
Kama matokeo, tunapata mfumo:
Lakini usifadhaike: wakati wa kusindika hesabu za logarithmic, mfumo kama huo unaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa.
Jaji mwenyewe: kwa upande mmoja, tunatakiwa kwamba kazi ya quadratic iwe kubwa kuliko sifuri, na kwa upande mwingine, kazi hii ya quadratic inalinganishwa na usemi fulani wa mstari, ambayo pia inahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri.
Katika kesi hii, ikiwa tunahitaji kwamba x - 2 > 0, basi hitaji la 2x 2 - 13x + 18 > 0 litatoshelezwa moja kwa moja. Kwa hiyo, tunaweza kuvuka usawa ulio na kazi ya quadratic kwa usalama. Kwa hivyo, idadi ya misemo iliyo katika mfumo wetu itapunguzwa hadi tatu.
Bila shaka, kwa mafanikio yaleyale tunaweza kuvuka usawa wa mstari, yaani, kuvuka x - 2 > 0 na kuhitaji kwamba 2x 2 - 13x + 18 > 0. Lakini utakubali kwamba kutatua usawa rahisi zaidi wa mstari ni haraka zaidi. na rahisi, kuliko quadratic, hata chini ya hali ya kwamba kama matokeo ya kutatua mfumo huu wote tunapata mizizi sawa.
Kwa ujumla, jaribu kuongeza mahesabu kila inapowezekana. Na katika kesi ya milinganyo ya logarithmic, ondoa tofauti ngumu zaidi.
Wacha tuandike upya mfumo wetu:
Hapa kuna mfumo wa maneno matatu, mawili ambayo sisi, kwa kweli, tayari tumeshughulikia. Wacha tuandike equation ya quadratic kando na tuitatue:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Mbele yetu kuna utatu uliopunguzwa wa quadratic na, kwa hivyo, tunaweza kutumia fomula za Vieta. Tunapata:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sasa tunarudi kwenye mfumo wetu na kupata kwamba x = 2 haitufai, kwa sababu tunatakiwa kwamba x iwe kubwa zaidi kuliko 2.
Lakini x = 5 inatufaa kikamilifu: nambari ya 5 ni kubwa kuliko 2, na wakati huo huo 5 si sawa na 3. Kwa hiyo, suluhisho pekee la mfumo huu litakuwa x = 5.
Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa, ikiwa ni pamoja na kuzingatia ODZ. Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili. Mahesabu zaidi ya kuvutia na ya kuelimisha yanatungojea hapa:
Hatua ya kwanza: kama mara ya mwisho, tunaleta suala hili lote katika mfumo wa kisheria. Ili kufanya hivyo, tunaweza kuandika nambari 9 kama ifuatavyo.
Sio lazima kugusa msingi na mzizi, lakini ni bora kubadilisha hoja. Wacha tuhame kutoka kwa mzizi hadi kwa nguvu na kielelezo cha busara. Hebu tuandike:
Acha nisiandike upya mlinganyo wetu wote mkubwa wa logarithmic, lakini nisawazishe hoja mara moja:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Mbele yetu kuna utatu mpya uliopunguzwa wa quadratic, hebu tutumie fomula za Vieta na tuandike:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kwa hivyo, tulipata mizizi, lakini hakuna mtu aliyetuhakikishia kwamba ingefaa mlinganyo wa asili wa logarithmic. Baada ya yote, ishara za logi zinaweka vikwazo vya ziada (hapa tunapaswa kuandika mfumo, lakini kutokana na hali mbaya ya muundo mzima, niliamua kuhesabu uwanja wa ufafanuzi tofauti).
Kwanza kabisa, kumbuka kuwa hoja lazima ziwe kubwa kuliko 0, ambazo ni:
Haya ni mahitaji yaliyowekwa na upeo wa ufafanuzi.
Wacha tuangalie mara moja kwamba kwa kuwa tunalinganisha maneno mawili ya kwanza ya mfumo kwa kila mmoja, tunaweza kuvuka yoyote kati yao. Hebu tuchunguze ya kwanza kwa sababu inaonekana ya kutisha kuliko ya pili.
Kwa kuongezea, kumbuka kuwa suluhisho la usawa wa pili na wa tatu litakuwa seti sawa (mchemraba wa nambari fulani ni kubwa kuliko sifuri, ikiwa nambari hii yenyewe ni kubwa kuliko sifuri; vivyo hivyo, na mzizi wa digrii ya tatu - usawa huu. zinafanana kabisa, kwa hivyo tunaweza kuiondoa).
Lakini kwa usawa wa tatu hii haitafanya kazi. Wacha tuondoe ishara kali upande wa kushoto kwa kuinua sehemu zote mbili hadi mchemraba. Tunapata:
Kwa hivyo tunapata mahitaji yafuatayo:
− 2 ≠ x > −3
Ni ipi kati ya mizizi yetu: x 1 = −3 au x 2 = −1 inakidhi mahitaji haya? Ni wazi, ni x = −1 pekee, kwa sababu x = −3 haikidhi usawa wa kwanza (kwani ukosefu wetu wa usawa ni mkali). Kwa hivyo, tukirudi kwenye shida yetu, tunapata mzizi mmoja: x = -1. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mambo muhimu ya kazi hii:
- Jisikie huru kutumia na kutatua milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Wanafunzi wanaoandika nukuu kama hiyo, badala ya kuhama moja kwa moja kutoka kwa tatizo la awali hadi kwenye ujenzi kama vile logi a f (x) = b, hufanya makosa machache sana kuliko wale wanaokimbilia mahali fulani, wakiruka hatua za kati za hesabu;
- Mara tu msingi wa kutofautisha unapoonekana kwenye logarithm, shida huacha kuwa rahisi zaidi. Kwa hivyo, wakati wa kuisuluhisha, ni muhimu kuzingatia kikoa cha ufafanuzi: hoja lazima ziwe kubwa kuliko sifuri, na misingi haipaswi kuwa kubwa kuliko 0 tu, lakini pia haipaswi kuwa sawa na 1.
Mahitaji ya mwisho yanaweza kutumika kwa majibu ya mwisho kwa njia tofauti. Kwa mfano, unaweza kutatua mfumo mzima ulio na mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi. Kwa upande mwingine, unaweza kwanza kutatua tatizo yenyewe, na kisha kumbuka kikoa cha ufafanuzi, ufanyie kazi tofauti katika mfumo wa mfumo na uitumie kwenye mizizi iliyopatikana.
Ni njia gani ya kuchagua wakati wa kusuluhisha mlinganyo fulani wa logarithmic ni juu yako. Kwa hali yoyote, jibu litakuwa sawa.