Ikiwezekana ya uhandisi - iliyo na kitufe kilicho na ishara ya mizizi: "√". Kawaida, ili kutoa mzizi, inatosha kuandika nambari yenyewe, na kisha bonyeza kitufe: "√".
Simu nyingi za kisasa za rununu zina programu ya kikokotoo na kazi ya uchimbaji wa mizizi. Utaratibu wa kutafuta mzizi wa nambari kwa kutumia calculator ya simu ni sawa na hapo juu.
Mfano.
Tafuta kutoka 2.
Washa kikokotoo (ikiwa kimezimwa) na ubonyeze vifungo mfululizo na picha ya mbili na mzizi ("2" "√"). Kama sheria, hauitaji kushinikiza kitufe cha "="". Kama matokeo, tunapata nambari kama 1.4142 (idadi ya nambari na "mviringo" inategemea kina kidogo na mipangilio ya kikokotoo.
Kumbuka: Unapojaribu kupata mzizi, kikokotoo kawaida hutoa hitilafu.
Ikiwa una upatikanaji wa kompyuta, basi kutafuta mzizi wa nambari ni rahisi sana.
1. Unaweza kutumia programu ya Calculator, inayopatikana karibu na kompyuta yoyote. Kwa Windows XP, programu hii inaweza kuzinduliwa kama ifuatavyo:
"Anza" - "Programu Zote" - "Vifaa" - "Kikokotoo".
Ni bora kuweka mtazamo kwa "kawaida". Kwa njia, tofauti na calculator halisi, kifungo cha kuchimba mzizi ni alama "sqrt" na si "√".
Ikiwa huwezi kufika kwenye kikokotoo kwa kutumia njia iliyoonyeshwa, unaweza kuendesha kikokotoo cha kawaida "kwa mikono":
"Anza" - "Run" - "calc".
2. Ili kupata mzizi wa nambari, unaweza pia kutumia baadhi ya programu zilizosakinishwa kwenye kompyuta yako. Kwa kuongeza, programu ina kikokotoo chake cha kujengwa ndani.
Kwa mfano, kwa programu ya MS Excel, unaweza kufanya mlolongo wa vitendo vifuatavyo:
Zindua MS Excel.
Tunaandika kwenye seli yoyote nambari ambayo tunahitaji kutoa mzizi.
Sogeza kiashiria cha seli hadi mahali tofauti
Bonyeza kitufe cha kuchagua chaguo la kukokotoa (fx)
Chagua kazi ya "ROOT".
Tunabainisha kisanduku chenye nambari kama hoja ya chaguo za kukokotoa
Bonyeza "Sawa" au "Ingiza"
Faida ya njia hii ni kwamba sasa inatosha kuingiza thamani yoyote kwenye seli na nambari, kama ilivyo kwenye kazi,.
Kumbuka.
Kuna njia zingine kadhaa, za kigeni zaidi za kupata mzizi wa nambari. Kwa mfano, katika "kona", kwa kutumia utawala wa slide au meza za Bradis. Walakini, njia hizi hazijajadiliwa katika nakala hii kwa sababu ya ugumu wao na kutokuwa na maana kwa vitendo.
Video kwenye mada
Vyanzo:
- jinsi ya kupata mzizi wa nambari
Wakati mwingine hali hutokea wakati unapaswa kufanya aina fulani ya hesabu za hisabati, ikiwa ni pamoja na kutoa mizizi ya mraba na mizizi kubwa zaidi ya nambari. Mzizi wa nth wa nambari ni nambari ambayo nguvu yake ya nth ni nambari a.
Maagizo
Ili kupata mzizi "n" wa , fanya yafuatayo.
Kwenye kompyuta yako, bofya "Anza" - "Programu Zote" - "Vifaa". Kisha nenda kwenye sehemu ya "Huduma" na uchague "Kikokotoo". Unaweza kufanya hivi kwa mikono: Bonyeza Anza, chapa "calk" kwenye kisanduku cha Run, na ubonyeze Ingiza. Itafungua. Ili kutoa mzizi wa mraba wa nambari, ingiza kwenye kikokotoo na ubonyeze kitufe kilichoandikwa "sqrt". Kikokotoo kitatoa mzizi wa shahada ya pili, unaoitwa mzizi wa mraba, kutoka kwa nambari iliyoingizwa.
Ili kutoa mzizi ambao shahada yake ni ya juu kuliko ya pili, unahitaji kutumia aina nyingine ya calculator. Ili kufanya hivyo, kwenye kiolesura cha calculator, bofya kitufe cha "Angalia" na uchague mstari wa "Uhandisi" au "Kisayansi" kutoka kwenye menyu. Kikokotoo cha aina hii kina kitendakazi kinachohitajika kukokotoa mzizi wa nth.
Ili kutoa mzizi wa shahada ya tatu (), kwenye kihesabu cha "uhandisi", ingiza nambari inayotakiwa na bonyeza kitufe cha "3√". Ili kupata mzizi ambao digrii yake ni kubwa kuliko 3, ingiza nambari inayotaka, bonyeza kitufe na ikoni ya "y√x" na kisha ingiza nambari - kipeo. Baada ya hayo, bonyeza ishara sawa (kifungo "=") na utapata mzizi unaotaka.
Ikiwa kikokotoo chako hakina kitendakazi cha "y√x", kifuatacho.
Ili kutoa mzizi wa mchemraba, ingiza usemi mkali, kisha uweke alama ya hundi kwenye kisanduku cha kuangalia, ambacho kiko karibu na uandishi "Inv". Kwa hatua hii, utageuza kazi za vifungo vya calculator, yaani, kwa kubofya kifungo cha mchemraba, utatoa mizizi ya mchemraba. Kwenye kitufe ambacho wewe
Jinsi ya kuchimba mizizi kutoka kwa nambari. Katika makala hii tutajifunza jinsi ya kuchukua mizizi ya mraba ya nambari nne na tano za tarakimu.
Wacha tuchukue mzizi wa mraba wa 1936 kama mfano.
Kwa hivyo, 
.
Nambari ya mwisho katika nambari ya 1936 ni namba 6. Mraba wa namba 4 na namba 6 huisha saa 6. Kwa hiyo, 1936 inaweza kuwa mraba wa namba 44 au namba 46. Inabakia kuangalia kwa kutumia kuzidisha.
Ina maana,
Wacha tuchukue mzizi wa mraba wa nambari 15129.
Kwa hivyo, 
.
Nambari ya mwisho katika nambari 15129 ni nambari 9. Mraba wa nambari 3 na nambari 7 huisha kwa 9. Kwa hivyo, 15129 inaweza kuwa mraba wa nambari 123 au nambari 127. Hebu tuangalie kwa kutumia kuzidisha.
Ina maana, 
Jinsi ya kuchimba mizizi - video
Na sasa ninapendekeza uangalie video ya Anna Denisova - "Jinsi ya kuchimba mizizi ", mwandishi wa tovuti" Fizikia rahisi", ambayo anaelezea jinsi ya kupata mizizi ya mraba na mchemraba bila Calculator.
Video inajadili njia kadhaa za kuchimba mizizi:
1. Njia rahisi zaidi ya kuchimba mizizi ya mraba.
2. Kwa uteuzi kwa kutumia mraba wa jumla.
3. Mbinu ya Babeli.
4. Mbinu ya kuchimba mzizi wa mraba wa safu.
5. Njia ya haraka ya kuchimba mzizi wa mchemraba.
6. Njia ya kuchimba mizizi ya mchemraba kwenye safu.
Ukweli 1.
\(\bullet\) Hebu tuchukue nambari isiyo hasi \(a\) (yaani, \(a\geqslant 0\) ). Kisha (hesabu) kipeo kutoka kwa nambari \(a\) inaitwa nambari isiyo hasi \(b\) , ikiwa mraba tunapata nambari \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sawa na )\quad a=b^2\] Kutoka kwa ufafanuzi inafuata hiyo \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Vikwazo hivi ni hali muhimu kwa kuwepo kwa mizizi ya mraba na inapaswa kukumbukwa!
Kumbuka kwamba nambari yoyote ikiwa mraba inatoa matokeo yasiyo hasi. Yaani, \(100^2=10000\geqslant 0\) na \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\ bullet\) \(\sqrt(25)\) ni sawa na nini? Tunajua kwamba \(5^2=25\) na \((-5)^2=25\) . Kwa kuwa kwa ufafanuzi lazima tupate nambari isiyo hasi, basi \(-5\) haifai, kwa hiyo, \(\sqrt(25)=5\) (tangu \(25=5^2\) ).
Kupata thamani ya \(\sqrt a\) inaitwa kuchukua mzizi wa mraba wa nambari \(a\) , na nambari \(a\) inaitwa usemi mkali.
\(\ bullet\) Kulingana na ufafanuzi, usemi \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), n.k. haina maana.
Ukweli wa 2.
Kwa mahesabu ya haraka, itakuwa muhimu kujifunza jedwali la miraba ya nambari asilia kutoka \(1\) hadi \(20\) : \[\anza(safu)(|ll|) \ mstari 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \mstari \mwisho(safu)\]
Ukweli wa 3.
Ni shughuli gani unaweza kufanya na mizizi ya mraba?
\(\ risasi\) Jumla au tofauti ya mizizi ya mraba SI SAWA na mzizi wa mraba wa jumla au tofauti, yaani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kuhesabu, kwa mfano, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , basi mwanzoni lazima upate maadili ya \(\sqrt(25)\) na \(\ sqrt(49)\ ) kisha uzikunja. Kwa hivyo, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ikiwa maadili \(\sqrt a\) au \(\sqrt b\) hayawezi kupatikana wakati wa kuongeza \(\sqrt a+\sqrt b\), basi usemi kama huo haujabadilishwa zaidi na unabaki kama ulivyo. Kwa mfano, katika jumla \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) tunaweza kupata \(\sqrt(49)\) ni \(7\) , lakini \(\sqrt 2\) haiwezi kubadilishwa katika kwa vyovyote vile, ndiyo maana \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Kwa bahati mbaya, usemi huu hauwezi kurahisishwa zaidi\(\ bullet\) Bidhaa/mgawo wa mizizi ya mraba ni sawa na mzizi wa mraba wa bidhaa/mgawo, yaani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ili mradi pande zote mbili za usawa zina maana)
Mfano: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Kwa kutumia sifa hizi, ni rahisi kupata mizizi ya mraba ya idadi kubwa kwa kuziweka.
Hebu tuangalie mfano. Wacha tupate \(\sqrt(44100)\) . Tangu \(44100:100=441\) , basi \(44100=100\cdot 441\) . Kulingana na kigezo cha mgawanyiko, nambari \(441\) inaweza kugawanywa na \(9\) (kwa kuwa jumla ya nambari zake ni 9 na inaweza kugawanywa na 9), kwa hivyo, \(441:9=49\), yaani, \(441=9\ cdot 49\) .
Kwa hivyo tulipata: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Hebu tuangalie mfano mwingine: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt(\ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\ bullet\) Hebu tuonyeshe jinsi ya kuingiza nambari chini ya alama ya mzizi wa mraba kwa kutumia mfano wa usemi \(5\sqrt2\) (nukuu fupi ya usemi \(5\cdot \sqrt2\)). Kwa kuwa \(5=\sqrt(25)\) , basi \
Kumbuka pia kwamba, kwa mfano,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Kwanini hivyo? Wacha tueleze kwa kutumia mfano 1). Kama unavyoelewa tayari, hatuwezi kubadilisha nambari \(\sqrt2\). Wacha tufikirie kuwa \(\sqrt2\) ni nambari fulani \(a\) . Ipasavyo, usemi \(\sqrt2+3\sqrt2\) sio kitu zaidi ya \(a+3a\) (nambari moja \(a\) pamoja na nambari tatu zaidi za nambari sawa \(a\)). Na tunajua kwamba hii ni sawa na nambari nne kama hizo \(a\) , yaani, \(4\sqrt2\) .
Ukweli wa 4.
\(\ bullet\) Mara nyingi husema "huwezi kutoa mzizi" wakati huwezi kuondoa ishara \(\sqrt () \\) ya mzizi (radical) unapopata thamani ya nambari. . Kwa mfano, unaweza kuchukua mzizi wa nambari \(16\) kwa sababu \(16=4^2\) , kwa hivyo \(\sqrt(16)=4\) . Lakini haiwezekani kutoa mzizi wa nambari \(3\), yaani, kupata \(\sqrt3\), kwa sababu hakuna nambari ambayo mraba itatoa \(3\) .
Nambari kama hizo (au misemo iliyo na nambari kama hizo) haina mantiki. Kwa mfano, nambari \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) Nakadhalika. hawana akili.
Pia zisizo na mantiki ni nambari \(\pi\) (nambari "pi", takriban sawa na \(3.14\)), \(e\) (nambari hii inaitwa nambari ya Euler, ni takriban sawa na \(2.7) \)) na kadhalika.
\(\ bullet\) Tafadhali kumbuka kuwa nambari yoyote itakuwa ya kimantiki au isiyo na maana. Na kwa pamoja nambari zote za busara na zisizo na maana huunda seti inayoitwa seti ya nambari halisi. Seti hii inaonyeshwa kwa herufi \(\mathbb(R)\) .
Hii inamaanisha kuwa nambari zote ambazo tunajua kwa sasa zinaitwa nambari halisi.
Ukweli wa 5.
\(\ bullet\) Moduli ya nambari halisi \(a\) ni nambari isiyo hasi \(|a|\) sawa na umbali kutoka kwa nukta \(a\) hadi \(0\) kwenye mstari halisi. Kwa mfano, \(|3|\) na \(|-3|\) ni sawa na 3, kwani umbali kutoka kwa pointi \(3\) na \(-3\) hadi \(0\) ni sawa na sawa na \(3 \) .
\(\bullet\) Ikiwa \(a\) ni nambari isiyo hasi, basi \(|a|=a\) .
Mfano: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ikiwa \(a\) ni nambari hasi, basi \(|a|=-a\) .
Mfano: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Wanasema kwamba kwa nambari hasi moduli "hula" minus, wakati nambari chanya, pamoja na nambari \(0\), zimeachwa bila kubadilishwa na moduli.
LAKINI Sheria hii inatumika tu kwa nambari. Ikiwa chini ya ishara yako ya moduli kuna kitu kisichojulikana \(x\) (au kingine kisichojulikana), kwa mfano, \(|x|\) , ambacho hatujui ikiwa ni chanya, sifuri au hasi, basi ondoa. ya moduli hatuwezi. Katika kesi hii, usemi huu unabaki kuwa sawa: \(|x|\) . \(\bullet\) Fomula zifuatazo zinashikilia: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\kubwa((\sqrt(a))^2=a)), \text( zinazotolewa ) a\geqslant 0\] Mara nyingi sana kosa lifuatalo hufanywa: wanasema kwamba \(\sqrt(a^2)\) na \((\sqrt a)^2\) ni kitu kimoja. Hii ni kweli ikiwa \(a\) ni nambari chanya au sifuri. Lakini ikiwa \(a\) ni nambari hasi, basi hii si kweli. Inatosha kuzingatia mfano huu. Wacha tuchukue badala ya \(a\) nambari \(-1\) . Kisha \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lakini usemi \((\sqrt (-1)))^2\) haupo kabisa (baada ya yote, haiwezekani kutumia ishara ya mizizi kuweka nambari hasi!).
Kwa hivyo, tunatoa mawazo yako kwa ukweli kwamba \(\sqrt(a^2)\) si sawa na \((\sqrt a)^2\) ! Mfano: 1) \(\sqrt(\kushoto(-\sqrt2\kulia)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), kwa sababu \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Tangu \(\sqrt(a^2)=|a|\) , basi \[\sqrt(a^(2n)))=|a^n|\] (maneno \(2n\) yanaashiria nambari sawa)
Hiyo ni, wakati wa kuchukua mzizi wa nambari ambayo ni kwa kiwango fulani, shahada hii imepunguzwa kwa nusu.
Mfano:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (kumbuka kuwa ikiwa moduli haijatolewa, inageuka kuwa mzizi wa nambari ni sawa na \(-25\). ) ; lakini tunakumbuka, kwamba kwa ufafanuzi wa mzizi hii haiwezi kutokea: wakati wa kutoa mzizi, tunapaswa kupata nambari chanya au sifuri kila wakati)
3) \(\sqrt(x^(16)))=|x^8|=x^8\) (kwa kuwa nambari yoyote hadi nguvu sawia sio hasi)
Ukweli wa 6.
Jinsi ya kulinganisha mizizi miwili ya mraba?
\(\ bullet\) Kwa mizizi ya mraba ni kweli: ikiwa \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) linganisha \(\sqrt(50)\) na \(6\sqrt2\) . Kwanza, hebu tubadilishe usemi wa pili kuwa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kwa hivyo, kwa kuwa \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) \(\sqrt(50)\) iko kati ya nambari gani kamili?
Tangu \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , na \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Hebu tulinganishe \(\sqrt 2-1\) na \(0.5\) . Wacha tuchukue kwamba \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\anza(iliyopangwa) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ongeza moja kwa pande zote mbili))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kuweka pande zote mbili))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \mwisho(zinazopangiliwa)\] Tunaona kwamba tumepata usawa usio sahihi. Kwa hivyo, dhana yetu haikuwa sahihi na \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Kumbuka kuwa kuongeza nambari fulani kwa pande zote mbili za usawa hakuathiri ishara yake. Kuzidisha/kugawanya pande zote mbili za usawa kwa nambari chanya pia hakuathiri ishara yake, lakini kuzidisha / kugawanya kwa nambari hasi kunarudisha nyuma ishara ya usawa!
Unaweza mraba pande zote mbili za equation/kukosekana kwa usawa TU IWAPO pande zote mbili si hasi. Kwa mfano, katika kukosekana kwa usawa kutoka kwa mfano uliopita unaweza mraba pande zote mbili, kwa usawa \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Ikumbukwe kwamba \[\anza(zilizopangiliwa) &\sqrt 2\takriban 1.4\\ &\sqrt 3\takriban 1.7 \mwisho(zilizopangiliwa)\] Kujua takriban maana ya nambari hizi itakusaidia wakati wa kulinganisha nambari! \(\ bullet\) Ili kutoa mzizi (ikiwa unaweza kutolewa) kutoka kwa idadi kubwa ambayo haipo kwenye jedwali la mraba, lazima kwanza uamue kati ya "mamia" ambayo iko, kisha - kati ya ambayo " makumi”, na kisha uamue tarakimu ya mwisho ya nambari hii. Wacha tuonyeshe jinsi hii inavyofanya kazi na mfano.
Wacha tuchukue \(\sqrt(28224)\) . Tunajua kwamba \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), n.k. Kumbuka kuwa \(28224\) ni kati ya \(10\,000\) na \(40\,000\) . Kwa hivyo, \(\sqrt(28224)\) ni kati ya \(100\) na \(200\) .
Sasa hebu tubainishe kati ya "makumi" nambari yetu iko (ambayo ni, kwa mfano, kati ya \(120\) na \(130\)). Pia kutoka kwa jedwali la miraba tunajua kwamba \(11^2=121\) , \(12^2=144\) nk., kisha \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kwa hivyo tunaona kuwa \(28224\) ni kati ya \(160^2\) na \(170^2\) . Kwa hivyo, nambari \(\sqrt(28224)\) ni kati ya \(160\) na \(170\) .
Hebu jaribu kuamua tarakimu ya mwisho. Hebu tukumbuke ni nambari gani za tarakimu moja, zikiwekwa mraba, toa \(4\) mwishoni? Hizi ni \(2^2\) na \(8^2\) . Kwa hivyo, \(\sqrt(28224)\) itaisha kwa 2 au 8. Wacha tuangalie hii. Hebu tupate \(162^2\) na \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Kwa hivyo, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Ili kutatua vya kutosha Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kwanza unahitaji kusoma nyenzo za kinadharia, ambayo inakuletea nadharia nyingi, fomula, algorithms, n.k. Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa hii ni rahisi sana. Walakini, kutafuta chanzo ambacho nadharia ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa katika hisabati inawasilishwa kwa njia rahisi na inayoeleweka kwa wanafunzi walio na kiwango chochote cha mafunzo kwa kweli ni kazi ngumu. Vitabu vya shule haviwezi kuwekwa karibu kila wakati. Na kupata fomula za kimsingi za Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati inaweza kuwa ngumu hata kwenye mtandao.
Kwa nini ni muhimu sana kusoma nadharia katika hisabati sio tu kwa wale wanaofanya Mtihani wa Jimbo la Umoja?
- Kwa sababu inapanua upeo wako. Kusoma nyenzo za kinadharia katika hisabati ni muhimu kwa mtu yeyote ambaye anataka kupata majibu ya anuwai ya maswali yanayohusiana na maarifa ya ulimwengu unaowazunguka. Kila kitu katika maumbile kimeamriwa na kina mantiki wazi. Hii ndio hasa inavyoonekana katika sayansi, ambayo kwa njia hiyo inawezekana kuelewa ulimwengu.
- Kwa sababu inakuza akili. Kwa kusoma nyenzo za kumbukumbu za Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, na pia kutatua shida kadhaa, mtu hujifunza kufikiria na kufikiria kimantiki, kuunda mawazo kwa ustadi na wazi. Anakuza uwezo wa kuchanganua, kujumlisha, na kufikia hitimisho.
Tunakualika utathmini binafsi faida zote za mbinu yetu ya kuweka utaratibu na uwasilishaji wa vifaa vya elimu.
Katika utangulizi wa toleo lake la kwanza, "Katika Ufalme wa Ingenuity" (1908), E. I. Ignatiev anaandika: "... mpango wa kiakili, akili ya haraka na "ustadi" hauwezi "kupigwa ndani" au "kuweka" kichwa cha mtu yeyote. Matokeo yanategemeka tu wakati utangulizi wa uwanja wa maarifa ya hisabati unafanywa kwa njia rahisi na ya kupendeza, kwa kutumia vitu na mifano kutoka kwa hali ya kawaida na ya kila siku, iliyochaguliwa kwa busara na burudani inayofaa.
Katika utangulizi wa toleo la 1911 "Jukumu la Kumbukumbu katika Hisabati" E.I. Ignatiev anaandika "... katika hisabati sio fomula ambazo zinapaswa kukumbukwa, lakini mchakato wa kufikiria."
Ili kutoa mzizi wa mraba, kuna majedwali ya miraba ya nambari za tarakimu mbili; unaweza kuainisha nambari katika vipengele muhimu na kutoa mzizi wa mraba wa bidhaa. Jedwali la mraba wakati mwingine haitoshi; kuchimba mzizi kwa kutengeneza ni kazi inayotumia wakati, ambayo pia haileti matokeo unayotaka kila wakati. Ungependa kujaribu kuchukua mzizi wa mraba wa 209764? Kuzingatia mambo makuu hutoa bidhaa 2 * 2 * 52441. Kwa jaribio na kosa, uteuzi - hii, bila shaka, inaweza kufanyika ikiwa una uhakika kwamba hii ni integer. Njia ninayotaka kupendekeza hukuruhusu kuchukua mizizi ya mraba kwa hali yoyote.
Mara moja katika taasisi (Perm State Pedagogical Institute) tulitambulishwa kwa njia hii, ambayo sasa nataka kuzungumza juu yake. Sikuwahi kujiuliza ikiwa njia hii ilikuwa na uthibitisho, kwa hivyo sasa ilibidi nipate uthibitisho fulani mwenyewe.
Msingi wa njia hii ni muundo wa nambari =.
=&, yaani. & 2 =596334.
1. Gawa nambari (5963364) katika jozi kutoka kulia kwenda kushoto (5`96`33`64)
2. Futa mzizi wa mraba wa kikundi cha kwanza upande wa kushoto ( - nambari 2). Hivi ndivyo tunavyopata tarakimu ya kwanza ya &.
3. Tafuta mraba wa tarakimu ya kwanza (2 2 =4).
4. Tafuta tofauti kati ya kundi la kwanza na mraba wa tarakimu ya kwanza (5-4=1).
5. Tunachukua tarakimu mbili zifuatazo (tunapata namba 196).
6. Mara mbili tarakimu ya kwanza tuliyoipata na kuiandika upande wa kushoto nyuma ya mstari (2 * 2 = 4).
7. Sasa tunahitaji kupata nambari ya pili ya nambari &: mara mbili nambari ya kwanza tuliyopata inakuwa nambari ya kumi ya nambari, ambayo inapozidishwa na idadi ya vitengo, unahitaji kupata nambari chini ya 196 (hii ni namba 4, 44*4=176). 4 ni tarakimu ya pili ya &.
8. Tafuta tofauti (196-176=20).
9. Tunabomoa kikundi kinachofuata (tunapata nambari 2033).
10. Mara mbili nambari 24, tunapata 48.
Kuna makumi 11.48 katika nambari, inapozidishwa na idadi ya hizo, tunapaswa kupata nambari chini ya 2033 (484*4=1936). Nambari zile tulizopata (4) ni nambari ya tatu ya nambari &.
Nimetoa uthibitisho kwa kesi zifuatazo:
1. Kuchimba mzizi wa mraba wa nambari ya tarakimu tatu;
2. Kuchimba mzizi wa mraba wa nambari ya tarakimu nne.
Mbinu takriban za kuchimba mizizi ya mraba (bila kutumia kikokotoo).
1. Wababiloni wa kale walitumia njia ifuatayo ili kupata takriban thamani ya mzizi wa mraba wa nambari yao x. Waliwakilisha nambari x kama jumla ya 2 + b, ambapo 2 ndio mraba kamili wa nambari asilia (a 2? x) iliyo karibu zaidi na nambari x, na wakatumia fomula. 
. (1)
Kutumia formula (1), tunatoa mzizi wa mraba, kwa mfano, kutoka kwa nambari 28:
Matokeo ya kuchimba mzizi wa 28 kwa kutumia MK ni 5.2915026.
Kama unavyoona, njia ya Babeli inatoa makadirio mazuri kwa thamani kamili ya mzizi.
2. Isaac Newton alibuni mbinu ya kuchukua mizizi ya mraba ambayo ni ya Heron wa Alexandria (karibu 100 AD). Njia hii (inayojulikana kama njia ya Newton) ni kama ifuatavyo.
Hebu a 1- makadirio ya kwanza ya nambari (kama 1 unaweza kuchukua maadili ya mzizi wa mraba wa nambari asilia - mraba halisi usiozidi X).
Ifuatayo, makadirio sahihi zaidi a 2 nambari
kupatikana kwa formula 
.
Mara nyingi, wakati wa kutatua shida, tunakabiliwa na idadi kubwa ambayo tunahitaji kutoa Kipeo. Wanafunzi wengi huamua kuwa hili ni kosa na kuanza kusuluhisha tena mfano mzima. Kwa hali yoyote usifanye hivi! Kuna sababu mbili za hii:
- Mizizi ya idadi kubwa huonekana katika matatizo. Hasa katika maandishi;
- Kuna algorithm ambayo mizizi hii huhesabiwa karibu kwa mdomo.
Tutazingatia algorithm hii leo. Labda baadhi ya mambo yataonekana kutoeleweka kwako. Lakini ukizingatia somo hili, utapokea silaha yenye nguvu dhidi ya mizizi ya mraba.
Kwa hivyo, algorithm:
- Punguza mzizi unaohitajika juu na chini kwa nambari ambazo ni zidishi za 10. Kwa hivyo, tutapunguza safu ya utafutaji hadi nambari 10;
- Kutoka kwa nambari hizi 10, ondoa zile ambazo hakika haziwezi kuwa mizizi. Matokeo yake, nambari 1-2 zitabaki;
- Mraba nambari hizi 1-2. Yule ambaye mraba wake ni sawa na nambari ya asili itakuwa mzizi.
Kabla ya kuweka algorithm hii katika vitendo, hebu tuangalie kila hatua ya mtu binafsi.
Kizuizi cha mizizi
Kwanza kabisa, tunahitaji kujua kati ya nambari gani mizizi yetu iko. Inastahili sana kwamba nambari ziwe nyingi za kumi:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Tunapata mfululizo wa nambari:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Nambari hizi zinatuambia nini? Ni rahisi: tunapata mipaka. Chukua, kwa mfano, nambari 1296. Iko kati ya 900 na 1600. Kwa hiyo, mzizi wake hauwezi kuwa chini ya 30 na zaidi ya 40:
[Maelezo ya picha]
Jambo hilo hilo linatumika kwa nambari nyingine yoyote ambayo unaweza kupata mzizi wa mraba. Kwa mfano, 3364:
[Maelezo ya picha]Kwa hivyo, badala ya nambari isiyoeleweka, tunapata safu maalum ambayo mzizi wa asili uko. Ili kupunguza zaidi eneo la utafutaji, nenda kwenye hatua ya pili.
Kuondoa idadi dhahiri isiyo ya lazima
Kwa hivyo, tuna nambari 10 - wagombea wa mzizi. Tulizipata kwa haraka sana, bila kufikiri na kuzidisha changamano katika safu. Ni wakati wa kuendelea.
Amini usiamini, sasa tutapunguza idadi ya watahiniwa hadi wawili - tena bila hesabu ngumu! Inatosha kujua sheria maalum. Hii hapa:
Nambari ya mwisho ya mraba inategemea tu nambari ya mwisho nambari ya asili.
Kwa maneno mengine, angalia tu tarakimu ya mwisho ya mraba na tutaelewa mara moja ambapo nambari ya awali inaisha.
Kuna tarakimu 10 pekee zinazoweza kuja mahali pa mwisho. Wacha tujaribu kujua wanageuka kuwa nini wakati wa mraba. Angalia meza:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Jedwali hili ni hatua nyingine kuelekea kuhesabu mzizi. Kama unavyoona, nambari kwenye safu ya pili ziligeuka kuwa za ulinganifu kwa zile tano. Kwa mfano:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Kama unaweza kuona, nambari ya mwisho ni sawa katika visa vyote viwili. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, mzizi wa 3364 lazima uishie kwa 2 au 8. Kwa upande mwingine, tunakumbuka kizuizi kutoka kwa aya iliyotangulia. Tunapata:
[Maelezo ya picha] Mraba nyekundu zinaonyesha kuwa bado hatujui takwimu hii. Lakini mzizi uko katika safu kutoka 50 hadi 60, ambayo kuna nambari mbili tu zinazoisha kwa 2 na 8:
[Maelezo ya picha]Ni hayo tu! Kati ya mizizi yote inayowezekana, tuliacha chaguzi mbili tu! Na hii ni katika kesi ngumu zaidi, kwa sababu tarakimu ya mwisho inaweza kuwa 5 au 0. Na kisha kutakuwa na mgombea mmoja tu wa mizizi!
Mahesabu ya mwisho
Kwa hivyo, tumebakiza nambari 2 za wagombea. Unajuaje mizizi ni ipi? Jibu ni dhahiri: mraba nambari zote mbili. Ile yenye mraba inatoa nambari asilia itakuwa mzizi.
Kwa mfano, kwa nambari 3364 tulipata nambari mbili za watahiniwa: 52 na 58. Wacha tuziweke mraba:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.
Ni hayo tu! Ilibadilika kuwa mzizi ni 58! Wakati huo huo, ili kurahisisha mahesabu, nilitumia fomula ya mraba wa jumla na tofauti. Shukrani kwa hili, sikuhitaji hata kuzidisha nambari kwenye safu! Hii ni kiwango kingine cha uboreshaji wa hesabu, lakini, kwa kweli, ni hiari kabisa :)
Mifano ya kuhesabu mizizi
Nadharia ni, bila shaka, nzuri. Lakini hebu tuangalie kwa vitendo.
[Maelezo ya picha]
Kwanza, hebu tujue kati ya nambari gani nambari 576 iko:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Sasa hebu tuangalie nambari ya mwisho. Ni sawa na 6. Hii inatokea lini? Ikiwa tu mzizi unaisha kwa 4 au 6. Tunapata nambari mbili:
Kilichobaki ni kuweka mraba kila nambari na kuilinganisha na asili:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Kubwa! Mraba wa kwanza uligeuka kuwa sawa na nambari asili. Kwa hivyo hii ndio mzizi.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
1369 → 9;
33; 37.
Mraba:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.
Jibu ni hili: 37.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
2704 → 4;
52; 58.
Mraba:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Tulipokea jibu: 52. Nambari ya pili haitahitaji tena kuwa mraba.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
4225 → 5;
65.
Kama unaweza kuona, baada ya hatua ya pili kuna chaguo moja tu iliyobaki: 65. Huu ndio mzizi unaotaka. Lakini wacha tuifanye mraba na tuangalie:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Kila kitu ni sahihi. Tunaandika jibu.
Hitimisho
Ole, hakuna bora. Hebu tuangalie sababu. Kuna mawili kati yao:
- Katika mtihani wowote wa kawaida wa hisabati, uwe Mtihani wa Jimbo au Mtihani wa Jimbo la Umoja, matumizi ya vikokotoo ni marufuku. Na ukileta kikokotoo darasani, unaweza kufukuzwa kwa urahisi nje ya mtihani.
- Usiwe kama Wamarekani wajinga. Ambayo sio kama mizizi - haiwezi kuongeza nambari mbili kuu. Na wanapoona sehemu, kwa ujumla huwa na wasiwasi.