Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni kubwa zaidi, thamani ndogo zaidi ni ndogo zaidi ya thamani zake zote.

Chaguo la kukokotoa la kukokotoa linaweza kuwa na thamani moja tu kubwa na moja ndogo zaidi, au huenda lisiwe na yoyote kabisa. Kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi zinazoendelea ni msingi wa mali zifuatazo za kazi hizi:

1) Ikiwa katika muda fulani (wa mwisho au usio na mwisho) chaguo la kukokotoa y=f(x) ni endelevu na lina ncha moja tu na ikiwa hii ni kiwango cha juu (kiwango cha chini), basi itakuwa dhamana kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo hili la kukokotoa. katika kipindi hiki.

2) Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) linaendelea kwenye sehemu fulani, basi lazima iwe na maadili makubwa na madogo zaidi kwenye sehemu hii. Thamani hizi hufikiwa ama katika sehemu za juu kabisa zilizo ndani ya sehemu, au kwenye mipaka ya sehemu hii.

Ili kupata maadili makubwa na madogo kwenye sehemu, inashauriwa kutumia mpango ufuatao:

1. Tafuta derivative.

2. Pata pointi muhimu za kazi ambayo =0 au haipo.

3. Pata maadili ya chaguo la kukokotoa katika sehemu muhimu na mwisho wa sehemu na uchague kutoka kwao f max kubwa zaidi na ndogo zaidi ya f.

Wakati wa kuamua matatizo yaliyotumika, hasa uboreshaji, muhimu kuwa na majukumu ya kutafuta maadili makubwa na madogo zaidi (kiwango cha juu zaidi duniani na kima cha chini cha kimataifa) ya chaguo za kukokotoa kwenye muda wa X. Ili kutatua matatizo hayo, mtu anapaswa, kwa kuzingatia hali hiyo, kuchagua kigezo cha kujitegemea na kueleza thamani inayofanyiwa utafiti kupitia tofauti hii. Kisha pata thamani kubwa au ndogo inayohitajika ya chaguo la kukokotoa linalosababisha. Katika kesi hii, muda wa mabadiliko ya kutofautiana kwa kujitegemea, ambayo inaweza kuwa ya mwisho au isiyo na mwisho, pia imedhamiriwa kutoka kwa hali ya tatizo.

Mfano. Hifadhi yenye umbo la sehemu ya juu iliyo wazi parallelepiped ya mstatili na chini ya mraba, unahitaji bati ndani. Vipimo vya tank inapaswa kuwa nini ikiwa uwezo wake ni lita 108? maji ili gharama ya kuweka bati iwe ndogo?

Suluhisho. Gharama ya mipako ya tank na bati itakuwa ndogo ikiwa, kwa uwezo fulani, eneo lake la uso ni ndogo. Hebu tuonyeshe kwa dm upande wa msingi, b dm urefu wa tank. Kisha eneo la S la uso wake ni sawa na

NA

Uhusiano unaosababishwa huanzisha uhusiano kati ya eneo la hifadhi S (kazi) na upande wa msingi a (hoja). Wacha tuchunguze chaguo la kukokotoa S kwa kiwango cha juu zaidi. Wacha tupate derivative ya kwanza, tulinganishe na sifuri na tusuluhishe equation inayosababishwa:

Kwa hivyo a = 6. (a) > 0 kwa > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Mfano. Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa kwa muda.

Suluhisho: Utendakazi ulioainishwa inayoendelea kwenye mstari mzima wa nambari. Nyingi ya chaguo za kukokotoa

Derivative kwa na kwa. Hebu tuhesabu maadili ya kazi katika pointi hizi:

.

Thamani za chaguo za kukokotoa kwenye miisho ya muda uliotolewa ni sawa. Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni sawa na , thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni sawa na saa .

Maswali ya kujipima

1. Tengeneza sheria ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu. Orodha Aina mbalimbali kutokuwa na uhakika ambayo sheria ya L'Hopital inaweza kutumika.

2. Tengeneza ishara za kazi zinazoongezeka na zinazopungua.

3. Bainisha kiwango cha juu na cha chini cha chaguo za kukokotoa.

4. Tengeneza hali ya lazima kuwepo kwa uliokithiri.

5. Ni maadili gani ya hoja (ni pointi gani) zinazoitwa muhimu? Jinsi ya kupata pointi hizi?

6. Je, ni dalili gani za kutosha za kuwepo kwa mwisho wa kazi? Eleza mpango wa kusoma chaguo la kukokotoa kwa upeo kwa kutumia derivati ​​ya kwanza.

7. Eleza mpango wa kusoma chaguo la kukokotoa kwa upeo kwa kutumia derivative ya pili.

8. Bainisha upenyo na upenyo wa curve.

9. Ni nini kinachoitwa hatua ya inflection ya grafu ya kazi? Onyesha njia ya kupata alama hizi.

10. Tengeneza ishara zinazohitajika na za kutosha za msongamano na msongamano wa curve kwenye nyuma sehemu hii.

11. Bainisha asymptote ya curve. Jinsi ya kupata wima, usawa na asymptotes oblique kazi graphics?

12. Muhtasari mpango wa jumla kutafiti kazi na kuunda grafu yake.

13. Tengeneza sheria ya kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwa muda fulani.

Na ili kutatua utahitaji ujuzi mdogo wa mada. Inayofuata inaisha mwaka wa masomo, kila mtu anataka kwenda likizo, na ili kuleta wakati huu karibu, nitaenda moja kwa moja kwenye uhakika:

Wacha tuanze na eneo. Eneo linalotajwa katika hali hiyo ni mdogo imefungwa seti ya pointi kwenye ndege. Kwa mfano, seti ya pointi imefungwa na pembetatu, ikiwa ni pamoja na pembetatu nzima (ikiwa kutoka mipaka"chomoa" angalau nukta moja, basi eneo halitafungwa tena). Katika mazoezi, pia kuna maeneo ambayo ni mstatili, mviringo, na kubwa kidogo. maumbo changamano. Ikumbukwe kwamba katika nadharia uchambuzi wa hisabati ufafanuzi mkali hutolewa mapungufu, kutengwa, mipaka, nk., lakini nadhani kila mtu anafahamu dhana hizi kwa kiwango cha angavu, na sasa hakuna kitu zaidi kinachohitajika.

Eneo la gorofa linaonyeshwa kwa kawaida na barua, na, kama sheria, imeainishwa kwa uchanganuzi - kwa hesabu kadhaa. (sio lazima mstari); mara chache ukosefu wa usawa. Kitenzi cha kawaida: "eneo lililofungwa, iliyofungwa na mistari ».

Sehemu muhimu Kazi inayohusika ni kujenga eneo kwenye mchoro. Jinsi ya kufanya hivyo? Unahitaji kuchora mistari yote iliyoorodheshwa (in kwa kesi hii 3 moja kwa moja) na kuchambua kilichotokea. Eneo lililotafutwa kawaida huwa na kivuli kidogo, na mpaka wake umewekwa alama ya mstari mnene:


Eneo sawa linaweza pia kuweka usawa wa mstari: , ambayo kwa sababu fulani mara nyingi huandikwa kama orodha iliyoorodheshwa badala ya mfumo.
Kwa kuwa mpaka ni wa mkoa, basi usawa wote, kwa kweli, legelea.

Na sasa kiini cha kazi. Fikiria kwamba mhimili unatoka moja kwa moja kuelekea kwako kutoka asili. Fikiria kipengele ambacho kuendelea kwa kila eneo la uhakika. Grafu ya chaguo hili la kukokotoa inawakilisha baadhi uso, na furaha ndogo ni kwamba kutatua tatizo la leo hatuhitaji kujua jinsi uso huu unavyoonekana. Inaweza kuwa iko juu, chini, kuingilia ndege - yote haya haijalishi. Na yafuatayo ni muhimu: kulingana na Nadharia za Weierstrass, kuendelea V mdogo imefungwa eneo kazi hufikia thamani yake kubwa ("ya juu") na mdogo zaidi ("chini") maadili ambayo yanahitaji kupatikana. Maadili kama haya yanapatikana au V pointi stationary, mali ya mkoaD , au katika sehemu ambazo ziko kwenye mpaka wa eneo hili. Hii inasababisha algorithm rahisi na ya uwazi ya suluhisho:

Mfano 1

Katika mdogo eneo lililofungwa

Suluhisho: Kwanza kabisa, unahitaji kuonyesha eneo kwenye mchoro. Kwa bahati mbaya, ni vigumu kitaalam kwangu kufanya mfano wa mwingiliano wa tatizo, na kwa hiyo nitawasilisha mara moja kielelezo cha mwisho, ambacho kinaonyesha pointi zote za "tuhuma" zilizopatikana wakati wa utafiti. Kawaida zimeorodheshwa moja baada ya nyingine kama zinavyogunduliwa:

Kulingana na utangulizi, uamuzi unaweza kugawanywa kwa urahisi katika mambo mawili:

I) Tafuta sehemu za stationary. Hiki ni kitendo cha kawaida tulichofanya mara kwa mara darasani. kuhusu extrema ya vigezo kadhaa:

Kupatikana stationary uhakika ni mali maeneo: (weka alama kwenye mchoro), ambayo inamaanisha tunapaswa kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua fulani:

- kama katika makala Thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu, matokeo muhimu Nitaangazia kwa maandishi mazito. Ni rahisi kuwafuata kwenye daftari na penseli.

Zingatia furaha yetu ya pili - hakuna maana katika kuangalia hali ya kutosha kwa hali ya juu. Kwa nini? Hata kama kwa hatua kazi inafikia, kwa mfano, kima cha chini cha ndani, basi hii HAIMAANISHI kuwa thamani inayotokana itakuwa Ndogo mkoa mzima (tazama mwanzo wa somo kuhusu kupindukia bila masharti) .

Nini cha kufanya ikiwa eneo la stationary SI mali ya mkoa? Karibu hakuna chochote! Ikumbukwe kwamba na kuendelea na hatua inayofuata.

II) Tunachunguza mpaka wa kanda.

Kwa kuwa mpaka una pande za pembetatu, ni rahisi kugawanya utafiti katika vifungu 3. Lakini ni bora kutofanya hivyo hata hivyo. Kwa mtazamo wangu, ni faida zaidi kwanza kuzingatia sehemu zinazofanana kuratibu shoka, na kwanza kabisa, wale wanaolala kwenye shoka wenyewe. Ili kufahamu mlolongo mzima na mantiki ya vitendo, jaribu kusoma mwisho "kwa pumzi moja":

1) Hebu tushughulike na upande wa chini wa pembetatu. Ili kufanya hivyo, badilisha moja kwa moja kwenye kitendakazi:

Vinginevyo, unaweza kuifanya kama hii:

Kijiometri hii ina maana kwamba kuratibu ndege (ambayo pia hutolewa na equation)"huchonga" nje ya nyuso parabola "ya anga", ambayo juu yake mara moja inakuja chini ya tuhuma. Hebu tujue yuko wapi:

- thamani iliyosababishwa "ilianguka" kwenye eneo hilo, na inaweza kugeuka kuwa kwa uhakika (iliyowekwa alama kwenye mchoro) kazi hufikia upeo wake au thamani ya chini katika mkoa mzima. Njia moja au nyingine, wacha tufanye mahesabu:

"Wagombea" wengine ni, bila shaka, mwisho wa sehemu. Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye vidokezo (iliyowekwa alama kwenye mchoro):

Hapa, kwa njia, unaweza kufanya ukaguzi mdogo wa mdomo kwa kutumia toleo la "kuvuliwa":

2) Kwa utafiti upande wa kulia tunabadilisha pembetatu kwenye kazi na "kuweka vitu kwa mpangilio":

Hapa tutafanya ukaguzi mbaya mara moja, "tukipigia" mwisho uliochakatwa wa sehemu:
, Kubwa.

Hali ya kijiometri inahusiana hatua iliyotangulia:

- thamani inayosababishwa pia "ilikuja katika nyanja ya masilahi yetu," ambayo inamaanisha tunahitaji kuhesabu ni kazi gani katika sehemu inayoonekana ni sawa na:

Wacha tuchunguze mwisho wa pili wa sehemu:

Kwa kutumia kipengele , wacha tufanye ukaguzi wa udhibiti:

3) Pengine kila mtu anaweza nadhani jinsi ya kuchunguza upande uliobaki. Tunaibadilisha katika kazi na kufanya kurahisisha:

Mwisho wa sehemu tayari zimefanyiwa utafiti, lakini katika rasimu bado tunaangalia kama tumepata kazi kwa usahihi :
- sanjari na matokeo ya kifungu kidogo cha 1;
- sanjari na matokeo ya aya ndogo ya 2.

Inabakia kujua ikiwa kuna kitu cha kufurahisha ndani ya sehemu hiyo:

- Kuna! Kubadilisha mstari wa moja kwa moja kwenye equation, tunapata uratibu wa "kuvutia" hii:

Tunaweka alama kwenye mchoro na kupata thamani inayolingana ya kazi:

Hebu tuangalie mahesabu kwa kutumia toleo la "bajeti". :
, agizo.

Na hatua ya mwisho: Tunaangalia kwa uangalifu nambari zote "za ujasiri", ninapendekeza kwamba wanaoanza hata watengeneze orodha moja:

ambayo tunachagua maadili makubwa na madogo zaidi. Jibu Hebu tuandike kwa mtindo wa tatizo la kutafuta thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu:

Ikiwezekana, nitatoa maoni tena maana ya kijiometri matokeo:
- hapa ndio zaidi hatua ya juu nyuso katika eneo hilo;
- hapa ndio zaidi kiwango cha chini nyuso katika eneo hilo.

Katika kazi iliyochambuliwa, tulitambua pointi 7 za "tuhuma", lakini idadi yao inatofautiana kutoka kwa kazi hadi kazi. Kwa eneo la pembetatu, kiwango cha chini cha "seti ya utafiti" kinajumuisha pointi tatu. Hii hutokea wakati kazi, kwa mfano, inabainisha ndege- ni wazi kabisa kuwa hakuna alama za kusimama, na kazi inaweza kufikia maadili yake ya juu / ndogo tu kwenye wima ya pembetatu. Lakini kuna mfano mmoja tu au mbili zinazofanana - kawaida lazima ushughulike na zingine uso wa utaratibu wa 2.

Ikiwa utajaribu kutatua kazi kama hizo kidogo, basi pembetatu zinaweza kugeuza kichwa chako, na ndiyo sababu nilikuandalia. mifano isiyo ya kawaida ili iwe mraba :))

Mfano 2

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa katika eneo lililofungwa lililofungwa na mistari

Mfano 3

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo dogo lililofungwa.

Tahadhari maalum Zingatia utaratibu wa busara na mbinu ya kusoma mpaka wa mkoa, na pia kwa mlolongo wa ukaguzi wa kati, ambao karibu utaepuka kabisa makosa ya hesabu. Kwa ujumla, unaweza kuitatua kwa njia yoyote unayopenda, lakini katika shida zingine, kwa mfano, katika Mfano wa 2, kuna kila nafasi ya kufanya maisha yako kuwa magumu zaidi. Sampuli ya takriban kumaliza kazi mwishoni mwa somo.

Wacha tupange algorithm ya suluhisho, vinginevyo kwa bidii yangu kama buibui, kwa njia fulani ilipotea kwenye safu ndefu ya maoni ya mfano wa 1:

- Katika hatua ya kwanza, tunajenga eneo, ni vyema kuifanya kivuli na kuonyesha mpaka kwa mstari wa ujasiri. Wakati wa suluhisho, pointi zitaonekana ambazo zinahitajika kuweka alama kwenye kuchora.

- Pata alama za stationary na uhesabu maadili ya kazi tu katika hao ambayo ni ya mkoa. Tunaangazia maadili yanayotokana katika maandishi (kwa mfano, duru kwa penseli). Iwapo sehemu tuliyosimama SI ya eneo, basi tunatia alama ukweli huu kwa ikoni au kwa maneno. Kama pointi stationary sio kabisa, basi tunatoa hitimisho lililoandikwa kwamba hawapo. Kwa hali yoyote, hatua hii haiwezi kuruka!

- Tunachunguza mpaka wa mkoa. Kwanza, ni vyema kuelewa mistari iliyonyooka ambayo ni sambamba na shoka za kuratibu (ikiwa kuna yoyote). Pia tunaangazia maadili ya kazi yaliyohesabiwa katika sehemu za "tuhuma". Mengi yamesemwa hapo juu juu ya mbinu ya suluhisho na kitu kingine kitasemwa hapa chini - soma, soma tena, chunguza ndani yake!

- Kutoka kwa nambari zilizochaguliwa, chagua maadili makubwa na madogo na upe jibu. Wakati mwingine hutokea kwamba kazi hufikia maadili hayo kwa pointi kadhaa mara moja - katika kesi hii, pointi hizi zote zinapaswa kuonyeshwa kwenye jibu. Hebu, kwa mfano, na ikawa kwamba hii ndiyo thamani ndogo zaidi. Kisha tunaandika hilo

Mifano ya mwisho imejitolea kwa wengine mawazo yenye manufaa ambayo itakuwa muhimu katika mazoezi:

Mfano 4

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo lililofungwa .

Nimehifadhi uundaji wa mwandishi, ambapo eneo limetolewa kwa njia ya usawa mara mbili. Hali hii inaweza kuandikwa na mfumo sawa au katika hali ya kitamaduni zaidi kwa tatizo hili:

Nakukumbusha na isiyo ya mstari tulikumbana na ukosefu wa usawa, na ikiwa huelewi maana ya kijiometri ya nukuu, basi tafadhali usicheleweshe na ueleze hali sasa hivi;-)

Suluhisho, kama kawaida, huanza na kujenga eneo ambalo linawakilisha aina ya "pekee":

Hmm, wakati mwingine lazima utafuna sio tu granite ya sayansi ...

I) Tafuta sehemu za stationary:

Mfumo ni ndoto ya idiot :)

Sehemu ya stationary ni ya mkoa, ambayo ni, iko kwenye mpaka wake.

Na kwa hivyo, ni sawa ... somo lilienda vizuri - hii ndio inamaanisha kunywa chai inayofaa =)

II) Tunachunguza mpaka wa kanda. Bila ado zaidi, wacha tuanze na mhimili wa x:

1) Ikiwa, basi

Wacha tupate ambapo vertex ya parabola iko:
- thamini wakati kama huo - "umepiga" hadi mahali ambapo kila kitu kiko wazi. Lakini bado hatusahau kuhusu kuangalia:

Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu:

2) C chini Wacha tuchunguze "chini" "katika kikao kimoja" - tunazibadilisha kwa kazi bila muundo wowote, na tutapendezwa tu na sehemu hiyo:

Udhibiti:

Hili tayari huleta msisimko fulani kwa kuendesha gari kwa njia isiyo ya kawaida kwenye njia iliyosonga. Hebu tupate pointi muhimu:

Hebu tuamue mlinganyo wa quadratic, unakumbuka kitu kingine chochote kuhusu hili? ...Hata hivyo, kumbuka, bila shaka, vinginevyo haungekuwa unasoma mistari hii =) Ikiwa katika mifano miwili iliyopita mahesabu katika desimali(ambayo, kwa njia, ni nadra), basi wale wa kawaida wanatungojea hapa sehemu za kawaida. Tunapata mizizi ya "X" na kutumia mlinganyo ili kubainisha viwianishi vya "mchezo" vinavyolingana vya pointi za "mgombea":


Wacha tuhesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizopatikana:

Angalia utendaji mwenyewe.

Sasa tunasoma kwa uangalifu nyara zilizoshinda na kuandika jibu:

Hawa ni "wagombea", hawa ni "wagombea"!

Ili kutatua mwenyewe:

Mfano 5

Tafuta ndogo na thamani ya juu kazi katika eneo lililofungwa

Ingizo lililo na brashi zilizopinda husomeka kama hii: "seti ya vidokezo kama hivyo."

Wakati mwingine ndani mifano inayofanana kutumia Njia ya kuzidisha lagrange, lakini kuna uwezekano wa kuwa na hitaji la kweli la kuitumia. Kwa hiyo, kwa mfano, ikiwa kazi yenye eneo sawa "de" inatolewa, basi baada ya kuingizwa ndani yake - na derivative kutoka kwa matatizo hakuna; Kwa kuongezea, kila kitu kimeundwa kwa "mstari mmoja" (na ishara) bila hitaji la kuzingatia semicircle za juu na chini kando. Lakini, bila shaka, kuna zaidi kesi ngumu, ambapo bila kazi ya Lagrange (ambapo, kwa mfano, ni mlinganyo sawa wa duara) Ni vigumu kupata - kama vile ni vigumu kupata bila kupumzika vizuri!

Kuwa na wakati mzuri kila mtu na kukuona hivi karibuni msimu ujao!

Suluhisho na majibu:

Mfano 2: Suluhisho: Wacha tuonyeshe eneo kwenye mchoro:

Mchakato wa kutafuta maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi kwenye sehemu ni ukumbusho wa ndege ya kuvutia karibu na kitu (graph ya kazi) kwenye helikopta, ikifyatua risasi kwa sehemu fulani kutoka kwa kanuni ya masafa marefu na kuchagua sana. pointi maalum kutoka kwa pointi hizi kwa risasi za udhibiti. Pointi huchaguliwa kwa njia fulani na kulingana na sheria fulani. Kwa kanuni zipi? Tutazungumza juu ya hili zaidi.

Ikiwa kazi y = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] , kisha inafikia kwenye sehemu hii angalau Na maadili ya juu . Hii inaweza kutokea ama katika pointi kali, au mwisho wa sehemu. Kwa hivyo, kupata angalau Na maadili makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa , inayoendelea kwa muda [ a, b] , unahitaji kuhesabu maadili yake kwa yote pointi muhimu na mwisho wa sehemu, na kisha chagua ndogo na kubwa zaidi kutoka kwao.

Hebu, kwa mfano, unataka kuamua thamani kubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa f(x) kwenye sehemu [ a, b] . Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata pointi zake zote muhimu ziko kwenye [ a, b] .

Jambo muhimu aliita hatua ambayo kazi imefafanuliwa, na yeye derivative ama sawa na sifuri au haipo. Kisha maadili ya kazi katika pointi muhimu inapaswa kuhesabiwa. Na mwishowe, mtu anapaswa kulinganisha maadili ya kazi katika sehemu muhimu na mwisho wa sehemu ( f(a) Na f(b)). Nambari kubwa zaidi ya hizi itakuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu [a, b] .

Matatizo ya kutafuta thamani ndogo za utendakazi .

Tunatafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa pamoja

Mfano 1. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu [-1, 2] .

Suluhisho. Tafuta derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Wacha tulinganishe derivative na sifuri () na tupate alama mbili muhimu: na . Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi kwenye sehemu fulani, inatosha kuhesabu maadili yake mwishoni mwa sehemu na kwa uhakika, kwani hatua hiyo sio ya sehemu [-1, 2]. Thamani hizi za utendakazi ni: , , . Inafuata hiyo thamani ndogo ya utendakazi(iliyoonyeshwa kwa rangi nyekundu kwenye grafu hapa chini), sawa na -7, inafikiwa mwisho wa kulia wa sehemu - kwa uhakika, na kubwa zaidi(pia nyekundu kwenye grafu), ni sawa na 9, - katika hatua muhimu.

Ikiwa kitendakazi kinaendelea katika muda fulani na muda huu sio sehemu (lakini ni, kwa mfano, muda; tofauti kati ya muda na sehemu: pointi za mpaka za muda hazijumuishwa katika muda, lakini alama za mpaka za sehemu zimejumuishwa kwenye sehemu), basi kati ya maadili ya kazi kunaweza kusiwe na ndogo na kubwa zaidi. Kwa hivyo, kwa mfano, chaguo la kukokotoa lililoonyeshwa kwenye mchoro hapa chini ni endelevu kwenye ]-∞, +∞[ na haina thamani kubwa zaidi.

Hata hivyo, kwa muda wowote (uliofungwa, wazi au usio na mwisho), sifa zifuatazo za kazi zinazoendelea ni kweli.

Mfano 4. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu [-1, 3] .

Suluhisho. Tunapata derivative ya chaguo hili la kukokotoa kama derivative ya mgawo:

.

Tunalinganisha derivative kwa sifuri, ambayo inatupa jambo moja muhimu:. Ni ya sehemu [-1, 3] . Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Hebu tulinganishe maadili haya. Hitimisho: sawa na -5/13, kwa uhakika na thamani ya juu sawa na 1 kwa uhakika.

Tunaendelea kutafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa pamoja

Kuna waalimu ambao, juu ya mada ya kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi, hawawapi wanafunzi mifano ya kutatua ambayo ni ngumu zaidi kuliko ile iliyojadiliwa hivi karibuni, ambayo ni, zile ambazo kazi ni polynomial au a. sehemu, nambari na denominator ambayo ni polynomia. Lakini hatutajiwekea kikomo kwa mifano kama hii, kwani kati ya waalimu kuna wale ambao wanapenda kulazimisha wanafunzi kufikiria kamili (meza ya derivatives). Kwa hiyo, kazi ya logarithm na trigonometric itatumika.

Mfano 6. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu .

Suluhisho. Tunapata derivative ya chaguo hili la kukokotoa kama derivative ya bidhaa :

Tunalinganisha derivative kwa sifuri, ambayo inatoa hatua moja muhimu:. Ni ya sehemu. Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Matokeo ya vitendo vyote: kazi hufikia thamani yake ya chini, sawa na 0, kwa uhakika na kwa uhakika na thamani ya juu, sawa e², kwa uhakika.

Mfano 7. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu .

Suluhisho. Tafuta derivative ya chaguo hili la kukokotoa:

Tunalinganisha derivative kwa sifuri:

Sehemu muhimu pekee ni ya sehemu. Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Hitimisho: kazi hufikia thamani yake ya chini, sawa na , kwa uhakika na thamani ya juu, sawa, kwa uhakika.

Katika shida kubwa zinazotumika, kupata maadili madogo zaidi (ya juu) ya kazi, kama sheria, inakuja kupata kiwango cha chini (kiwango cha juu). Lakini sio kiwango cha chini au upeo wenyewe ambao ni wa kupendeza zaidi wa vitendo, lakini maadili yale ya hoja ambayo yanafikiwa. Wakati wa kutatua matatizo yaliyotumiwa, hutokea ugumu wa ziada- mkusanyiko wa vipengele vinavyoelezea jambo au mchakato unaozingatiwa.

Mfano 8. Hifadhi yenye uwezo wa 4, yenye umbo la parallelepiped na msingi wa mraba na ufungue juu, unahitaji kuiweka bati. Ni nini kinapaswa kuwa vipimo vya tank ili inachukua kiasi kidogo nyenzo?

Suluhisho. Hebu x- upande wa msingi, h- urefu wa tank, S- eneo la uso wake bila kifuniko; V- kiasi chake. Sehemu ya uso wa tank inaonyeshwa na formula, i.e. ni kazi ya vigezo viwili. Kueleza S kama kazi ya kigezo kimoja, tunatumia ukweli kwamba , kutoka wapi . Kubadilisha usemi uliopatikana h kwenye formula kwa S:

Hebu tuchunguze kazi hii kwa upeo wake. Inafafanuliwa na kutofautishwa kila mahali katika ]0, +∞[ , na

.

Tunalinganisha derivative kwa sifuri () na kupata uhakika muhimu. Kwa kuongeza, wakati derivative haipo, lakini thamani hii haijajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi na kwa hiyo haiwezi kuwa hatua kali. Kwa hiyo, hii ndiyo hatua pekee muhimu. Wacha tuiangalie kwa uwepo wa mtu aliyekithiri kwa kutumia ishara ya pili ya kutosha. Hebu tutafute derivative ya pili. Wakati derivative ya pili ni kubwa kuliko sifuri (). Hii ina maana kwamba wakati kazi inafikia kiwango cha chini . Tangu hii kiwango cha chini ni upeo wa pekee wa chaguo hili la kukokotoa, ni thamani yake ndogo zaidi. Kwa hiyo, upande wa msingi wa tank unapaswa kuwa m 2, na urefu wake unapaswa kuwa.

Mfano 9. Kutoka kwa uhakika A iko kwenye njia ya reli, kwa uhakika NA, iko mbali kutoka kwake l, mizigo lazima isafirishwe. Gharama ya kusafirisha kitengo cha uzito kwa kila kitengo cha umbali kwa reli ni sawa na, na kwa barabara kuu ni sawa na. Kwa uhakika gani M mistari reli barabara kuu ijengwe kusafirisha mizigo kutoka A V NA ilikuwa ya kiuchumi zaidi (sehemu AB reli inachukuliwa kuwa sawa)?

Algorithm ya kawaida ya kutatua matatizo hayo inahusisha, baada ya kupata zero za kazi, kuamua ishara za derivative kwenye vipindi. Kisha hesabu ya maadili kwa kiwango cha juu (au cha chini) kilichopatikana na kwenye mpaka wa muda, kulingana na swali gani liko katika hali hiyo.

Nakushauri ufanye mambo tofauti kidogo. Kwa nini? Niliandika kuhusu hili.

Ninapendekeza kutatua shida kama hizo kwa njia ifuatayo:

1. Tafuta derivative.
2. Tafuta zero za derivative.
3. Amua ni nani kati yao muda huu.
4. Tunahesabu maadili ya kazi kwenye mipaka ya muda na pointi za hatua ya 3.
5. Tunatoa hitimisho (jibu swali lililoulizwa).

Wakati wa kutatua mifano iliyowasilishwa, suluhisho halikuzingatiwa kwa undani milinganyo ya quadratic, lazima uweze kufanya hivi. Wanapaswa pia kujua.

Hebu tuangalie mifano:

77422. Tafuta thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y=x 3 –3x+4 kwenye sehemu [–2;0].

Wacha tupate sufuri za derivative:

Pointi x = -1 ni ya muda uliobainishwa katika hali.

Tunahesabu maadili ya chaguo la kukokotoa katika pointi -2, -1 na 0:

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 6.

Jibu: 6

77425. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - 3x 2 + 2 kwenye sehemu.

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative:

Hatua x = 2 ni ya muda uliowekwa katika hali.

Tunahesabu maadili ya kazi katika pointi 1, 2 na 4:

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni -2.

Jibu: -2

77426. Pata thamani kubwa zaidi ya kazi y = x 3 - 6x 2 kwenye sehemu [-3;3].

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative:

Muda ulioainishwa katika hali una uhakika x = 0.

Tunahesabu maadili ya kazi katika pointi -3, 0 na 3:

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 0.

Jibu: 0

77429. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - 2x 2 + x +3 kwenye sehemu.

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Tunapata mizizi: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Muda uliobainishwa katika hali una x = 1 pekee.

Wacha tupate maadili ya kazi katika alama 1 na 4:

Tuligundua kuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 3.

Jibu: 3

77430. Pata thamani kubwa zaidi ya kazi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 kwenye sehemu [- 4; -1].

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative na tutatue equation ya quadratic:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Wacha tupate mizizi:

Muda uliobainishwa katika hali una mzizi x = -1.

Tunapata maadili ya chaguo la kukokotoa katika pointi -4, -1, -1/3 na 1:

Tuligundua kuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 3.

Jibu: 3

77433. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - x 2 - 40x +3 kwenye sehemu.

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative na tutatue equation ya quadratic:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Wacha tupate mizizi:

Muda ulioainishwa katika hali una mzizi x = 4.

Pata maadili ya kazi katika pointi 0 na 4:

Tuligundua kuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni -109.

Jibu: -109

Wacha tuchunguze njia ya kuamua maadili makubwa na madogo ya kazi bila derivative. Njia hii inaweza kutumika ikiwa unayo matatizo makubwa. Kanuni ni rahisi - tunabadilisha maadili yote kamili kutoka kwa muda hadi kazini (ukweli ni kwamba katika prototypes zote kama hizo jibu ni nambari kamili).

77437. Pata thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=7+12x–x 3 kwenye sehemu [-2;2].

Alama mbadala kutoka -2 hadi 2: Tazama suluhisho

77434. Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y=x 3 + 2x 2 - 4x + 4 kwenye sehemu [-2;0].

Ni hayo tu. Bahati nzuri kwako!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Mara nyingi katika fizikia na hisabati inahitajika kupata thamani ndogo zaidi ya kazi. Sasa tutakuambia jinsi ya kufanya hivyo.

Jinsi ya kupata thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa: maagizo

1. Ili kuhesabu thamani ndogo zaidi kazi inayoendelea kwenye sehemu fulani, unahitaji kufuata algorithm ifuatayo:
2. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa.
3. Pata kwenye sehemu fulani pointi ambazo derivative ni sawa na sifuri, pamoja na pointi zote muhimu. Kisha ujue maadili ya kazi katika pointi hizi, yaani, kutatua equation ambapo x ni sawa na sifuri. Jua ni thamani gani iliyo ndogo zaidi.
4. Tambua thamani ya chaguo za kukokotoa pointi za mwisho. Amua thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa katika sehemu hizi.
5. Linganisha data iliyopatikana na thamani ya chini kabisa. Nambari ndogo zaidi ya matokeo itakuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa.

Kumbuka kuwa ikiwa kitendakazi kwenye sehemu hakina pointi ndogo zaidi, hii ina maana kwamba katika sehemu fulani huongezeka au hupungua. Kwa hivyo, thamani ndogo zaidi inapaswa kuhesabiwa kwenye sehemu za mwisho za chaguo la kukokotoa.

Katika visa vingine vyote, thamani ya kazi huhesabiwa kulingana na algorithm fulani. Katika kila hatua ya algorithm utahitaji kutatua rahisi mlinganyo wa mstari na mzizi mmoja. Tatua mlinganyo kwa kutumia picha ili kuepuka makosa.

Jinsi ya kupata thamani ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu iliyofunguliwa nusu? Katika kipindi cha nusu-wazi au wazi cha chaguo la kukokotoa, thamani ndogo inapaswa kupatikana kama ifuatavyo. Katika sehemu za mwisho za thamani ya chaguo la kukokotoa, hesabu kikomo cha upande mmoja cha chaguo za kukokotoa. Kwa maneno mengine, suluhisha equation ambayo pointi za kutunza zimetolewa na maadili a+0 na b+0, ambapo a na b ni majina. pointi muhimu.

Sasa unajua jinsi ya kupata thamani ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa. Jambo kuu ni kufanya mahesabu yote kwa usahihi, kwa usahihi na bila makosa.