Nadharia

Wacha kazi ifafanuliwe, kwa ukali wa monotonic na kuendelea kwa muda fulani, na iwe seti ya maadili yake. Kisha kazi ya inverse kwenye seti isiyo na utata, madhubuti ya monotonic na inayoendelea.

Ushahidi

Kwa uhakika, acha kazi huongezeka kwa, i.e. kwa yoyote , kukidhi hali , ukosefu wa usawa unashikilia:

(), ().

1. Hebu tuthibitishe upekee wa kazi ya kinyume.

Upekee wa chaguo la kukokotoa kinyume ifuatavyo kutokana na ukweli kwamba kutokana na ongezeko la kazi ukosefu wa usawa ni halali:

Saa ,

na, kwa hiyo, kwa kila mtu inalingana na thamani moja .

2. Hebu sasa tuthibitishe kwamba kazi ya kinyume huongezeka kwa.

Kweli, ikiwa , basi (Na ), kwa sababu ikiwa ni , kisha kutoka kuongezeka inapaswa kuwa hivyo , ambayo ingepingana na dhana . Hivyo, ukweli wa monotonicity kali ya kazi ya inverse imewekwa.

3. Na hatimaye, tunathibitisha kwamba kazi ya inverse inaendelea.

Kwa sababu huongezeka kwa usawa kwenye seti, basi imefungwa na inachukua maadili makubwa na madogo kwenye seti. Seti ni muda na miisho na, wapi , .

Hebu , . Hebu kwanza tufikirie kesi wakati . Katika kesi hii, uhakika ni wazi hatua ya mambo ya ndani ya muda.

Hebu tuchague thamani vile vile Na , na kuweka Na . Kisha, kutokana na kuongezeka tunapata:

.

Hebu tuchukue sasa ili kwamba ukosefu wa usawa ufuatao utimizwe:

Na .

Kisha, ikiwa inakidhi ukosefu wa usawa

,

Hiyo ,

na, kwa hiyo, kutokana na ongezeko hilo tunayo:

Kwa kuzingatia hilo na

tunapata: zinazotolewa
.

Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa kwa ndogo yoyote ya kutosha ipo kiasi kwamba kwa wote kutosheleza ukosefu wa usawa , ukosefu wa usawa unashikilia , i.e. utendaji wa kinyume ni endelevu kwa uhakika. Lakini - hatua ya kiholela ya muda . Hivyo kazi inverse kuendelea .

Kama au , kisha kwa kutumia hoja sawa tunaweza kuthibitisha mwendelezo upande wa kulia kwa uhakika na upande wa kushoto kwa uhakika. Kwa hivyo, ukweli wa mwendelezo wa kazi ya inverse haijathibitishwa.

Katika kesi ya kupungua kwa utendaji uthibitisho wa nadharia unafanywa vivyo hivyo.

Moduli

Mada nambari 5

Muendelezo wa kuu

Kazi za msingi. Mwendelezo sawa wa chaguo za kukokotoa kwenye seti

Mhadhara namba 17

1. Mwendelezo wa vitendakazi: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. Kazi ya kielelezo katika seti ya nambari za busara.

3. Kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi.

ﻫ Mwendelezo wa kazi za msingi

1. Thibitisha kwamba kazi ,

Ushahidi

1) Chagua hatua ya kiholela R, kwa sababu imedhamiriwa R.

2) Kwa hatua hii R Wacha tuamue kikomo na thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua:

A)
,

b) .

3) Kwa hivyo, , i.e. kazi kuendelea wakati wowote .

,

inaendelea katika kila nukta kwenye mstari wa nambari.

5) Uthibitisho unafanywa kwa misingi ya ufafanuzi Nambari 1 ya kuendelea kwa kazi katika hatua. Nk.

2. Thibitisha kwamba kazi inaendelea wakati wowote kwenye mstari wa nambari isipokuwa sifuri, i.e. R\0.

Ushahidi

R\0, kwa kuwa chaguo la kukokotoa limefafanuliwa kwenye R\0, na ueleze nyongeza ya kazi ndani yake:

.

3) Kuhesabu kikomo

,

kwa sababu . Hivyo kazi

4) Kwa kuwa hatua ilichaguliwa kiholela, basi kazi kuendelea wakati wowote R\0. Nk.

3. Thibitisha kwamba kazi inaendelea wakati wowote katika seti ya nambari halisi.

Ushahidi

1) Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti ya nambari halisi.

2) Chagua hatua ya kiholela R na fafanua ongezeko la kazi ndani yake:

3) Kuhesabu kikomo
. Hivyo kazi kuendelea wakati wowote .

4) Kwa kuwa hatua ilichaguliwa kiholela, basi kazi kuendelea katika hatua yoyote katika seti ya nambari halisi .

5) Uthibitisho ulifanyika kwa misingi ya ufafanuzi Nambari 5 ya kuendelea kwa kazi katika hatua katika lugha ya nyongeza. Nk.

4. Thibitisha kuwa kitendakazi kinaendelea wakati wowote kwenye seti R.

Ushahidi

Uthibitisho unafuata kutoka kwa nadharia ya kuendelea kwa jumla ya aljebra, bidhaa na sehemu ya vitendaji endelevu na mwendelezo wa chaguo la kukokotoa. wakati wowote kwenye mhimili wa nambari. Nk.

5. Thibitisha kwamba kazi
inaendelea wakati wowote katika seti ya nambari halisi, isipokuwa kwa pointi hizo ambapo denominator ya sehemu inatoweka.

Ushahidi

Uthibitisho unafuata kutoka kwa nadharia juu ya mwendelezo wa jumla ya aljebra, bidhaa na sehemu ya utendakazi endelevu na mwendelezo wa utendakazi.

Na .

Hii inamaanisha kuwa kitendakazi kilichopewa kinaendelea wakati wowote kwenye seti R, bila kujumuisha pointi hizo ambazo kiashiria ni sifuri. Nk.

6. Thibitisha kwamba kazi inaendelea wakati wowote kwenye mstari wa nambari.

Ushahidi

1) Tutafanya uthibitisho kwa misingi ya ufafanuzi Nambari 5 ya kuendelea kwa kazi katika hatua katika lugha ya nyongeza.

2) Kazi hufafanuliwa wakati wowote kwenye mstari wa nambari.

3) Chagua hatua ya kiholela R na kuamua ongezeko la chaguo la kukokotoa katika hatua hii:

4) Wacha tuhesabu kikomo juu ya nyongeza ya kazi:

Hivyo kazi inaendelea katika hatua ya kiholela.

5) Kwa kuwa hatua ilichaguliwa kiholela, basi kazi inaendelea wakati wowote kwenye mstari wa nambari. Nk.

7. Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa unathibitishwa kwa njia sawa wakati wowote kwenye mhimili wa nambari. Fanya uthibitisho mwenyewe.

8. Kutoka kwa mwendelezo wa kazi Na wakati wowote kwenye mstari wa nambari, kulingana na nadharia juu ya mwendelezo wa mgawo wa kazi zinazoendelea kwa hatua, mwendelezo wa kazi hufuata.

A) ; katika pointi zote kwenye mstari wa nambari, isipokuwa pointi

, - nambari yoyote;

b) pamoja na kuendelea kwa kazi Na kwa pointi zote isipokuwa pointi , nambari kamili iko wapi.

9. Thibitisha kwamba kazi inayoendelea kwenye mstari mzima wa nambari.

Ushahidi

1) Kwa muda kazi inaonekana kama , kwa sababu . Na kazi hii ni endelevu katika kila nukta kwenye mstari wa nambari.

2) Kwa muda kazi inaonekana kama , kwa sababu . Na kazi hii ni endelevu kama bidhaa ya kazi mbili zinazoendelea na .

3) Inabakia kuanzisha mwendelezo wa kazi kwa uhakika .

4) Ili kufanya hivyo, tunahesabu mipaka ya upande mmoja kwa uhakika :

A); b) .

5) Tangu
Na , kisha kazi kuendelea kwa hatua . Na, kwa hiyo, inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari.

Hitimisho:

1. Kazi zote zinazozingatiwa ni endelevu katika nyanja zao za kuwepo.

2. Kulingana na nadharia za kuendelea kwa jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa kazi zinazoendelea, inaweza kusema kuwa kazi zilizopatikana kwa kutumia idadi ya mwisho ya shughuli za hesabu kwenye kazi zinazoendelea pia ni kazi zinazoendelea katika uwanja wa kuwepo kwao.

Utendakazi wa kielelezo katika nambari nyingi

Ufafanuzi 1. Let , basi kwa nambari yoyote ya busara thamani itajulikana. Hii inafafanua kazi. Chaguo hili la kukokotoa linaitwa kielelezo kwenye seti ya nambari za mantiki.

Sifa za Kazi ya Kielelezo

Mimi.... yaani. , wapi , .1.Hebu . Kisha:a) kama , basi ;b) kama , basi .2.a) ;b) ;c) .3. .4. .5. , kwa nambari yoyote ya busara:.

Hati: Mali ya 5 1. Ikiwa na, basi kwa mujibu wa mali ya kwanza:.

2. Kwa kuwa , a , basi .3. Kulingana na mali ya pili:, na, kwa hiyo, .4. Kutokuwepo kwa usawa kunathibitishwa kwa njia sawa.

II. Lemma 1. Hebu . Halafu ipo kwamba kwa idadi zote za kimantiki zinazokidhi ukosefu wa usawa usawa ufuatao unashikilia: . Msaada: saa.

Hati: I.1. Hebu .

2. Tangu , basi: na .3. Kwa kuwa , basi kulingana na mali ya kwanza, kwa hivyo, usawa mbili mbili zinaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

4. Hebu iwe nambari ya kimantiki kiasi kwamba , yaani, .5 Kisha, kwa kuzingatia sifa ya kwanza ya kipengele cha kukokotoa, tunaweza kuandika: au .II. Lema ni dhahiri.III. Wakati lemma imethibitishwa kwa njia sawa, tu kwa mujibu wa usawa wa mali ya kwanza ishara lazima ibadilishwe na kinyume chake (kesi 1b).

2 Kitendaji cha kipeo katika seti ya nambari halisi

Ufafanuzi 2. Hebu iwe nambari halisi ya kiholela, yaani, . Wacha iwe mfuatano wa nambari za mantiki zinazobadilika hadi . Kwa wazi, mlolongo kama huo upo kila wakati. Kisha , , daima ipo na haitegemei uchaguzi wa mlolongo.

Kesi hiyo sio ya kupendeza kwa masomo, kwani.

Nadharia 1. Kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi , ina mali zifuatazo: 1) kuendelea kwa kila hatua kwenye mstari wa nambari 2) kwa kuongezeka kwa madhubuti, na kwa madhubuti hupungua kwenye mstari wa namba 3); 4) , ; 5) a) saa ;b) saa ;6)a) saa ;b) saa.

Hati: Mali ya 1. Inajulikana kuwa: .2. Kauli hii pia ni kweli kwa nambari halisi.3. Hebu iwe nambari halisi ya kiholela, , na , , iwe kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi.4. Wacha tupate nyongeza ya chaguo la kukokotoa wakati hoja inabadilika kuwa: .

5. Kulingana na lemma kwa kazi ya kielelezo katika seti ya nambari za busara: , kutosheleza ukosefu wa usawa ), ukosefu wa usawa ufuatao umeridhika: , na kwa , .6. Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa katika nukta 5 kwa nambari chanya: .7. Hebu tulinganishe ongezeko la kazi na usawa wa mwisho, ni dhahiri kwamba kwa , i.e. , yaani, kulingana na ufafanuzi Nambari 5 wa kuendelea kwa kazi katika hatua, kazi inaendelea katika hatua .8. Kwa kuwa hatua ilichaguliwa kiholela, kazi inaendelea wakati wowote kwenye mstari wa nambari.

Hati: Mali ya 21. Hebu kwa uhakika na .2. Kwa sababu ya msongamano wa nambari za busara katika seti ya nambari halisi, kuna nambari za busara na vile vile

3. Hebu tuchague baadhi ya mifuatano miwili ya nambari za kimantiki na hivyo kwamba na , na hivyo kwa .4. Wakati, kwa kuzingatia mali ya kwanza ya kazi ya kielelezo katika seti ya nambari za busara, tunaweza kuandika:

5. Wacha tuendelee hadi kikomo katika (katika vielelezo) katika ukosefu wa usawa wa mwisho:; ; ; , kwa hiyo, kulingana na ufafanuzi wa kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi:; ; .6. Ukosefu wa usawa katika nukta ya 4 utachukua fomu: au saa .7. Na kwa kuzingatia ufafanuzi wa kazi inayoongezeka kwa , kwa hivyo, huongezeka madhubuti kwa .

Kumbuka 1. Kesi inachukuliwa sawa.

Kumbuka 2. Grafu za kukokotoa zinaonekana kama:

Hati: Mali ya 31. Acha kuwe na mfuatano wa nambari za kimantiki kama vile , na, kwa hivyo, kulingana na nadharia juu ya kikomo cha jumla ya mifuatano miwili ya kuunganika.2. Kisha, kwa mujibu wa ufafanuzi wa kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi, .3. Kwa sifa Nambari 2 ya kazi ya kielelezo katika seti ya nambari za busara, kwa hiyo, a>0.

Ujazo 1. Kwa nambari zozote halisi usawa ufuatao unashikilia: , kwa hiyo, . 2. Kwa hiyo.

Hati: Mali ya 4

I.1. Hebu iwe integer chanya, i.e. .2. Hebu tutumie tena mali Nambari 2 ya kazi ya kielelezo katika seti ya nambari za busara: Kwa hiyo,.

II.1. Hebu , , nambari kamili chanya iko wapi, .2. Hebu tuthibitishe kwamba:, i.e. ambayo ndiyo mzizi wa nguvu ya nambari: .3. Kulingana na usawa na kwa ufafanuzi wa mzizi: ikiwa , basi . Au . Kwa hivyo,.

III.1. Hebu , , wapi .2. Kulingana na kile kilichothibitishwa hapo awali, tunaweza kuandika:. Kwa hivyo,.

IV. Hebu sasa, basi. Kwa hivyo,.

V. Ni dhahiri kwamba .Hitimisho: hivyo, inathibitishwa kuwa , :.

VI.1. Hebu .2. Fikiria mfuatano wa kiholela wa nambari za kimantiki zinazobadilika kuwa: .3. Kisha, kwa sababu ya usawa, yafuatayo yatatokea:

4. Kwa kuwa , basi, kwa mujibu wa ufafanuzi wa kazi ya kielelezo katika seti ya nambari halisi, tunaweza kuandika: a) b) , tangu .5. Wacha tuendelee hadi kikomo katika usawa wa nukta 3 kwa:

6. Kwa mujibu wa aya ya 4, tunaandika upya usawa wa maandishi:,.

Hati: Mali ya 5I.1. Hebu tuthibitishe hilo kwa .2. Hebu .3. Kisha , .4.Kwa kuwa , basi (kwa mujibu wa usawa wa Bernoulli).5. Kwa , hiyo .6. Ikiwa , a , basi saa , kwa hivyo, ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kubwa sana katika (kikomo kisicho na kikomo cha chaguo za kukokotoa kwa infinity) ni sawa na .

II.1. Ikiwa , basi .2 imeridhika. Kwa kuwa, basi, i.e. .3. Kwa hiyo .4. Ikiwa na, basi, kwa hivyo, haswa kwa msingi wa nadharia ya kutofautisha iliyoshinikwa.

Hati: Mali ya 6 1. Saa .2. Wakati .Uthibitisho unafanywa sawa na uthibitisho wa mali Na. 5.

Moduli

MWENDELEZO WA KAZI YA INVERSE

Ufafanuzi 1. Hebu f- mawasiliano kati ya seti X Na Y. Seti ya jozi zote (( y,x)| (x,y)Î f) inaitwa mawasiliano inverse kwa kufuata f na imeteuliwa f –1 .

Ufafanuzi 2. Ikiwa inalingana f Na f-1 ni vitendaji, kisha kitendakazi f kuitwa inayoweza kugeuzwa, A f –1 –kinyume kwa utendaji f .

Kazi f Na f-1 ni kinyume, kwa sababu ( f –1) –1 = f, na onyesho

f: X Y ni moja kwa moja.

Sifa za utendakazi kinyume:

1. D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).

2. f –1 (f(x)) = x "x OD( f); f(f –1 (y)) = y "yÎ E(f).

3. Grafu za kazi f Na f-1 - ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka y = x.

Wacha tukubali nadharia ifuatayo bila uthibitisho

Nadharia 1. Ikiwa kazi f ni ramani ya moja kwa moja ya kikoa cha ufafanuzi D(f) kwa anuwai ya maadili E(f), kisha mawasiliano yake ya kinyume f-1 - kazi.

Nadharia 2 ( juu ya uwepo na mwendelezo wa utendaji wa kinyume). Acha chaguo la kukokotoa f liongezeke (kupungua) na kuendelea kwenye kikoa cha ufafanuzi D(f), ambacho ni muda. Kisha mawasiliano kinyume f -1 ni kazi ya kuongeza (kupungua) na kuendelea katika kikoa chake cha ufafanuzi D(f. –1 ) = E(f), ambayo pia ni muda.

Kumbuka, kwamba kulingana na ufuataji wa nadharia ya Bolzano-Cauchy II, anuwai ya maadili ya kazi inayoendelea kwa muda. E(f) = D(f-1) - muda.

Ushahidi Tutafanya hili kwa utendaji unaoongezeka katika hatua 3.

Hatua ya 1. Hebu f- kuongezeka, tuthibitishe kwamba f –1 - kazi, i.e. tutaonyesha hilo kwa kila mtu

yÎ D(f –1) = E(f) inalingana na thamani moja XÎ E(f-1) = D( f).

Wacha tuchukue kinyume chake, kwa wengine y oÎ E(f) yanahusiana na mbili x 1, x 2Î D(f) vile vile f(x 1) = y o і f(x 2)= y o, Lakini x 1 ≠ x 2. Wacha kwa uhakika x 1< x 2. Kutoka kwa hali ya kuongezeka kwa kazi f inafuata hiyo f(x 1) < f(x 2)Û y o< y o , lakini hii haiwezekani.

Hatua ya 2.Hebu tuthibitishe kwamba f –1 - kuongezeka kazi katika kikoa D(f –1) = E(f) Kwa wingi E(f) tuchukue yoyote saa 1 Na saa 2 vile vile saa 1 < saa 2 na kuonyesha kwamba f –1 (saa 1)< f –1 (saa 2).

Wacha tufikirie kinyume: f –1 (saa 1) ³ f –1 (saa 2). Kutokana na kazi inayoongezeka f tutaweka alama

f(f –1 (y 1)) ³ f(f –1 (saa 2) Þ y 1³ y 2, ambayo inapingana na hali hiyo saa 1 < saa 2. Hii inathibitisha kuongezeka kwa kazi f –1 .

Hatua ya 3.Hebu tuseme kwamba kazi f –1 kuendelea kwa E(f).

Tumethibitisha hilo f-1 - kuongezeka kwa muda E(f) kazi, seti ya maadili yake E(f -1) = D(f) kulingana na masharti ya nadharia - muda. Kisha kwa T.2 §4 f-1 - utendakazi endelevu umewashwa E(f). ◄

Mfano 1. Tafuta kitendakazi kinyume cha chaguo za kukokotoa f (X) = 2x - 4.

Suluhisho. Kazi f (X) = 2x- 4 - kuendelea na kuongezeka kwa D(f) = R. Kulingana na T. 2, kuna kazi ya inverse, ambayo pia inaendelea na kuongezeka kwa E(f) = R. Wacha tupate fomula ya chaguo la kukokotoa f –1 (saa), kwa hili tunaeleza X = saa/2 + 2, au

y = x/2 + 2 (X Na saa maeneo yaliyobadilishwa).

Mfano 2. Tafuta kitendakazi kinyume cha chaguo za kukokotoa

na kujenga grafu yake.

Suluhisho. D(f) = R - pengo. Hebu tuandike upya chaguo la kukokotoa (1) katika umbo Þ Þ e y-e-y= 2xÞ e y - 1/e y= 2x Þ e 2y - 2xe y- 1 = 0 ½ kuashiria e y = t> 0½Þ

Nadharia(juu ya uwepo na mwendelezo wa utendaji wa kinyume). Acha kazi inayoendelea ya kuongezeka (inayopungua) y=f(x) ifafanuliwe kwenye muda (a,b). Hebu kuashiria

Kisha kwa muda (A, B) kazi ya inverse inafafanuliwa, ambayo huongeza (hupungua) kwa muda huu na inaendelea kwa kila hatua ya muda huu.

SWALI Nambari 22: Kazi zinazotofautiana. Kigezo cha kutofautisha

Ufafanuzi . Kazi f, hufafanuliwa katika kitongoji cha uhakika x, kuitwa kutofautishwa kwa wakati huu, ikiwa fomula ni kweli

f (x kiharusi+ ▲ x kiharusi)- f (x mkuu)=S Ai▲ xi+Sai (▲ x kiharusi)▲ xi (3)

Wapi mimi A ni nambari, na vitendaji ai (▲ x kiharusi) kukidhi hali

ai (▲ x kiharusi)→ 0 (i=1,2 ,…, n) kwa ▲ x→0 . (4)

Nadharia . Hebu kazi f kutofautishwa katika hatua x . Kisha katika hatua hii ina derivatives sehemu na usawa ni kuridhika

(df(x mkuu))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Ushahidi . Kutoka kwa formula (3) inafuata hiyo

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,..., x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

Inapita hadi kikomo kwa ▲x mimi → 0, tunapata usawa (5).

Nadharia (hali ya kutosha ya kutofautisha kwa kazi). Ikiwa kazi f ina baadhi ya derivatives kwa heshima na vigezo vyote katika baadhi ya jirani ya uhakika x kiharusi , na derivatives hizi zote za sehemu ni endelevu katika sana

uhakika x kiharusi , basi kazi iliyoainishwa inaweza kutofautishwa katika hatua hii.

Nadharia ( kigezo cha kutofautisha kwa chaguo za kukokotoa). Kazi f(x), iliyofafanuliwa katika kitongoji cha uhakika x, inaweza kutofautishwa katika hatua hii ikiwa na ikiwa tu derivative ipo f׳( x) Wakati huo huo F= f׳( x).

Ushahidi . Hebu kuwe na derivative f׳( x) Hebu kuashiria

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - f(x)

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

Hebu sasa usawa (1) utosheke. Kisha

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0.

Kwa hiyo, kuna derivative f׳( x)= F.

SWALI Nambari 23: Inatokana na jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa kazi mbili.

Inatokana na jumla na tofauti

Acha chaguo za kukokotoa f(x) na g(x) zitolewe ambazo viasili vyake vinajulikana kwetu. Kwa mfano, unaweza kuchukua kazi za msingi zilizojadiliwa hapo juu. Basi unaweza kupata derivative ya jumla na tofauti ya kazi hizi:

1. (f + g)’ = f ’ + g’

2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kwa hivyo, derivative ya jumla (tofauti) ya kazi mbili ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives. Kunaweza kuwa na masharti zaidi. Kwa mfano, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

Kwa kusema kweli, hakuna dhana ya "kutoa" katika algebra. Kuna dhana ya "kipengele hasi". Kwa hivyo, tofauti f - g inaweza kuandikwa upya kama jumla f + (−1) g, na kisha fomula moja tu inabaki - derivative ya jumla.

· Kazi . Pata derivatives ya kazi: f (x) = x 2 + dhambi x; g(x) = x 4 + 2x 2 - 3.

Suluhisho. Kazi f(x) ni jumla ya kazi mbili za kimsingi, kwa hivyo:

f ’(x) = (x 2 + dhambi x)’ = (x 2)’ + (dhambi x)’ = 2x + cos x;

Tunasababu vivyo hivyo kwa chaguo la kukokotoa g(x). Tayari kuna maneno matatu tu (kutoka kwa mtazamo wa algebra):

g '(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)' = (x 4 + 2x 2 + (−3))' = (x 4)' + (2x 2)' + (−3)' = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Jibu:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

Derivative ya bidhaa

Derivative ya bidhaa huhesabiwa kwa kutumia fomula tofauti kabisa. Yaani:

(f g) ’ = f ’ g + f g’

Fomu ni rahisi, lakini mara nyingi husahaulika. Na sio watoto wa shule tu, bali pia wanafunzi. Matokeo yake ni matatizo yaliyotatuliwa kimakosa.

· Kazi . Pata derivatives ya kazi: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) e x.

Suluhisho

Jibu:
g ’(x) = x(x + 9) e x .

Tafadhali kumbuka kuwa katika hatua ya mwisho derivative ni factorized. Rasmi, hii haihitaji kufanywa, lakini derivatives nyingi hazihesabiwa peke yao, lakini kuchunguza kazi. Hii ina maana kwamba zaidi derivative itakuwa sawa na sifuri, ishara zake zitatambuliwa, na kadhalika. Kwa kesi kama hiyo, ni bora kuwa na usemi uliowekwa.

Derivative ya mgawo

Ikiwa kuna chaguo mbili za kukokotoa f(x) na g(x), na g(x) ≠ 0 kwenye seti tunayopendezwa nayo, tunaweza kufafanua chaguo mpya za kukokotoa h(x) = f(x)/g(x) . Kwa kazi kama hiyo unaweza pia kupata derivative:

Sio dhaifu, sawa? Minus ilitoka wapi? Kwa nini g 2? Na hivyo! Hii ni moja ya fomula ngumu zaidi - huwezi kuijua bila chupa. Kwa hivyo, ni bora kuisoma kwa mifano maalum.

Kazi. Pata derivatives ya kazi: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) e x.

Suluhisho. Kazi f(x) ni bidhaa ya kazi mbili za kimsingi, kwa hivyo kila kitu ni rahisi:

f '(x) = (x 3 cos x)' = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)' = 3x 2 cos x + x 3 (− dhambi x) = x 2 · (3cos x - x · dhambi x)

Chaguo za kukokotoa g(x) ina kipengele cha kwanza kilicho ngumu zaidi, lakini hii haibadilishi mpango wa jumla. Ni wazi, kipengele cha kwanza cha chaguo za kukokotoa g(x) ni polynomial, na derivative yake ni derivative ya jumla. Tunayo:

g '(x) = ((x 2 + 7x - 7) e x)' = (x 2 + 7x − 7)' e x + (x 2 + 7x - 7) (e x)' = (2x + 7 ) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x.

Jibu:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · dhambi x);
g ’(x) = x(x + 9) e x