41.1. Mipango ya kutumia kiunganishi dhahiri
Wacha iwe muhimu kupata thamani ya kiasi fulani cha kijiometri au kimwili A (eneo la takwimu, kiasi cha mwili, shinikizo la maji kwenye sahani ya wima, nk) inayohusishwa na sehemu ya mabadiliko katika kutofautiana kwa kujitegemea x. Inachukuliwa kuwa kiasi hiki A ni cha ziada, yaani, kwamba wakati wa kugawa sehemu [a; b] nukta yenye є (a; b) kwenye sehemu [a; s] na [s; b] thamani ya A inayolingana na sehemu nzima [a; b], sawa na jumla ya maadili yake yanayolingana na [a; s] na [s; b].
Ili kupata thamani hii A, unaweza kuongozwa na moja ya mipango miwili: I mpango (au njia ya hesabu muhimu) na II mpango (au njia ya tofauti).
Mpango wa kwanza unategemea ufafanuzi wa kiunganishi dhahiri.
1. Kutumia pointi x 0 = a, x 1 ,..., x n = b, gawanya sehemu [a;b] katika sehemu za n. Kwa mujibu wa hili, kiasi A ambacho kinatuvutia kitagawanywa katika n "maneno ya msingi" ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.
2. Wasilisha kila "neno la msingi" kama bidhaa ya baadhi ya chaguo za kukokotoa (zilizofafanuliwa kutokana na hali ya tatizo) inayokokotolewa katika sehemu isiyo ya kawaida ya sehemu inayolingana kwa urefu wake: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.
Wakati wa kupata thamani ya takriban ya ΔA i, baadhi ya kurahisisha inaruhusiwa: arc katika eneo ndogo inaweza kubadilishwa na chord kuambukizwa mwisho wake; kasi ya kutofautiana juu ya eneo ndogo inaweza kuwa takriban kuchukuliwa mara kwa mara, nk.
Tunapata thamani ya takriban ya kiasi A katika mfumo wa jumla kamili:
3. Thamani inayotakiwa A ni sawa na kikomo cha jumla muhimu, i.e.
"Njia ya kujumlisha" iliyoonyeshwa, kama tunavyoona, inategemea uwakilishi wa muhtasari kama jumla ya idadi kubwa ya maneno yasiyo na kikomo.
Mpango niliotumiwa kufafanua maana ya kijiometri na kimwili ya kiunganishi dhahiri.
Mpango wa pili ni mpango uliobadilishwa kidogo wa I na unaitwa "mbinu ya kutofautisha" au "mbinu ya kutupa maagizo ya juu zaidi":
1) kwenye sehemu [a;b] tunachagua thamani ya kiholela x na kuzingatia sehemu inayobadilika [a; X]. Kwenye sehemu hii, idadi A inakuwa kazi ya x: A = A(x), yaani, tunadhania kuwa sehemu ya kiasi kinachohitajika A ni kazi isiyojulikana A(x), ambapo x є ni mojawapo ya vigezo vya kiasi A;
2) tunapata sehemu kuu ya nyongeza ΔA wakati x inabadilika kwa kiasi kidogo Δx = dx, yaani, tunapata dA tofauti ya kazi A = A(x): dA = ƒ(x) dx, ambapo ƒ(x) ), imedhamiriwa kutoka kwa hali ya shida , kazi ya kutofautiana x (kurahisisha mbalimbali pia kunawezekana hapa);
3) kwa kudhani kuwa dA ≈ ΔA kwa Δx → 0, tunapata thamani inayotakiwa kwa kuunganisha dA katika safu kutoka kwa hadi b:
41.2. Uhesabuji wa maeneo ya takwimu za ndege
Kuratibu za mstatili
Kama ambavyo tayari imeanzishwa (tazama "maana ya kijiometri ya kiunganishi dhahiri"), eneo la trapezoid ya curvilinear iliyoko "juu" ya mhimili wa x (ƒ(x) ≥ 0) ni sawa na kiunganishi kinacholingana:
Mfumo (41.1) ulipatikana kwa kutumia mpango wa I - njia ya jumla. Hebu tuhalalishe fomula (41.1) kwa kutumia mpango II. Hebu trapezoid iliyopigwa imefungwa na mistari y = ƒ (x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (ona Mchoro 174).
Ili kupata eneo S la trapezoid hii, tunafanya shughuli zifuatazo:
1. Chukua x О [a; b] na tutadhani kuwa S = S (x).
2. Hebu tupe hoja x nyongeza Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Kazi S = S (x) itapokea nyongeza ya ΔS, ambayo ni eneo la "trapezoid ya msingi ya curvilinear" (imeonyeshwa kwenye takwimu).
Tofauti ya eneo dS ndio sehemu kuu ya nyongeza ya ΔS katika Δx → 0, na ni wazi ni sawa na eneo la mstatili na msingi dx na urefu y: dS = y dx.
3. Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka kwa x = a hadi x = b, tunapata
Kumbuka kwamba ikiwa trapezoid iliyopinda iko "chini" ya mhimili wa Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Fomula (41.1) na (41.2) zinaweza kuunganishwa kuwa moja:
Eneo la kielelezo linalopakana na mikunjo y = fι(x) na y = ƒг(x), mistari iliyonyooka x = a na x = b (zinazotolewa ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (ona Mtini. 175), inaweza kupatikana kwa kutumia fomula
Ikiwa takwimu ya gorofa ina sura "ngumu" (angalia Mchoro 176), basi inapaswa kugawanywa katika sehemu na mistari ya moja kwa moja sambamba na mhimili wa Oy ili formula zinazojulikana tayari zitumike.
Ikiwa trapezoid ya curvilinear imepunguzwa na mistari ya moja kwa moja y = c na y = d, mhimili wa Oy na curve inayoendelea x = φ (y) ≥ 0 (angalia Mchoro 177), basi eneo lake linapatikana kwa formula. 
Na mwishowe, ikiwa trapezoid iliyopindika imepunguzwa na curve iliyofafanuliwa parametrically
mistari ya moja kwa moja x = aix = b na mhimili wa Ox, basi eneo lake linapatikana kwa formula
ambapo a na β huamuliwa kutoka kwa usawa x(a) = a na x(β) = b.
Mfano 41.1. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mhimili wa Ox na grafu ya kazi y = x 2 - 2x kwa x є.
Suluhisho: Kielelezo kina fomu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 178. Tafuta eneo lake S:
Mfano 41.2. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na duaradufu x = a cos t, y = b sin t.
Suluhisho: Hebu kwanza tupate 1/4 ya eneo S. Hapa x inabadilika kutoka 0 hadi a, kwa hiyo, t inabadilika kutoka kwa 0 (angalia Mchoro 179). Tunapata:
Hivyo. Hii ina maana S = π аВ.
Kuratibu za polar
Hebu tutafute eneo S la sekta ya curvilinear, yaani takwimu bapa iliyopakana na mstari unaoendelea r=r(φ) na miale miwili φ=a na φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - mbinu tofauti.
1. Tutazingatia sehemu ya eneo linalohitajika S kama kitendakazi cha pembe φ, yaani S = S(φ), ambapo a ≤
φ ≤
β (ikiwa φ = a, basi S (a) = 0, ikiwa φ=β, basi S (β) = S).
2. Ikiwa pembe ya sasa ya polar φ inapokea nyongeza Δφ = dφ, basi ongezeko katika eneo la AS ni sawa na eneo la "sekta ya msingi ya curvilinear" OAB.
dS tofauti inawakilisha sehemu kuu ya nyongeza ya ΔS katika dφ →
0 na ni sawa na eneo la sekta ya mviringo O AC (iliyotiwa kivuli kwenye takwimu) ya radius r na pembe ya kati dφ. Ndiyo maana 
3. Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka φ = a hadi φ = β, tunapata eneo linalohitajika.
Mfano 41.3. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na "rose-petalled rose" r = acos3φ (ona Mchoro 181).
Suluhisho: Wacha kwanza tupate eneo la nusu ya petal moja ya "rose", i.e. 1/6 ya jumla ya eneo la takwimu:
yaani kwa hiyo,
Ikiwa takwimu ya gorofa ina sura "ngumu", basi mionzi inayotoka kwenye pole inapaswa kuigawanya katika sekta za curvilinear, ambayo formula inayotokana inapaswa kutumika ili kupata eneo hilo. Kwa hivyo, kwa takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 182, tunayo:
41.3. Kuhesabu urefu wa arc ya curve ya ndege
Kuratibu za mstatili
Ruhusu mkunjo wa ndege AB itolewe katika viwianishi vya mstatili, mlinganyo ambao ni y=ƒ(x), ambapo a≤x≤ b.
Urefu wa arc AB unaeleweka kama kikomo ambacho urefu wa mstari uliovunjika ulioandikwa katika arc hii huelekea wakati idadi ya viungo vya mstari uliovunjika huongezeka kwa muda usiojulikana, na urefu wa kiungo chake kikubwa zaidi huwa na sifuri. Hebu tuonyeshe kwamba ikiwa chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) na derivative yake y" = ƒ"(x) zinaendelea kwenye muda [a; b], kisha curve AB ina urefu sawa na
Wacha tutumie mpango wa I (njia ya jumla).
1. Pointi x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. Urefu wa chord (au kiungo cha mstari uliovunjika) ΔL 1 inaweza kupatikana kwa kutumia nadharia ya Pythagorean kutoka kwa pembetatu yenye miguu Δx i na Δу i:
Kulingana na nadharia ya Lagrange juu ya nyongeza ya kikomo ya chaguo za kukokotoa Δу i =ƒ"(с i) Δх i, ambapo ci є (x i-1;x i). Kwa hivyo
na urefu wa mstari mzima uliovunjika M 0 M 1 ... M n ni sawa na
3.Urefu l curve AB, kwa ufafanuzi, ni sawa na
.
Kumbuka kwamba kwa ΔL i →
0 pia Δx i →
0 ΔLi = 
na kwa hivyo |Δx i |<ΔL i).
Kazi 
inaendelea kwa muda [a; b], kwa kuwa, kwa hali, chaguo za kukokotoa ƒ"(x) ni endelevu. Kwa hivyo, kuna kikomo cha jumla kamili (41.4), wakati max Δx i →
0
:
Hivyo, 
au kwa kifupi l =
Ikiwa equation ya curve ya AB imetolewa kwa fomu ya parametric
ambapo x(t) na y(t) ni utendakazi endelevu na viambajengo vinavyoendelea na x(a) = a, x(β) = b, kisha urefu l curve AB hupatikana kwa fomula
Fomula (41.5) inaweza kupatikana kutoka kwa fomula (41.3) kwa kubadilisha x = x(t),dx = x"(t)dt, 
Mfano 41.4. Tafuta mduara wa radius R. 
Suluhisho: Hebu tupate 1/4 ya urefu wake kutoka kwa uhakika (0; R) hadi uhakika (R;0) (ona Mchoro 184). Kwa sababu 
Hiyo
Ina maana, l= 2π R. Ikiwa mlinganyo wa duara umeandikwa kwa fomu ya parametric x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), basi
Hesabu ya urefu wa arc inaweza kutegemea matumizi ya njia ya kutofautisha. Hebu tuonyeshe jinsi fomula (41.3) inaweza kupatikana kwa kutumia mpango II (mbinu tofauti).
1. Chukua thamani ya kiholela x є [a; b] na uzingatie sehemu inayobadilika [a;x]. Ukubwa juu yake l inakuwa kazi ya x, i.e. l = l(X) ( l(a) = 0 na l(b) = l).
2. Tafuta tofauti dl kazi l = l(x) x inapobadilika kwa kiasi kidogo Δx = dx: dl = l"(x)dx. Hebu tutafute l"(x), ikibadilisha safu isiyo na kikomo ya MN na chord Δ l, kuambukizwa arc hii (ona Mchoro 185):
3. Kuunganisha dl katika safu kutoka kwa hadi b, tunapata 
Usawa 
inaitwa formula ya tofauti ya arc katika kuratibu za mstatili.
Kwa kuwa y" x = -dy/dx, basi
Fomula ya mwisho ni nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu isiyo na kikomo MST (ona Mchoro 186).
Kuratibu za polar
Acha mkunjo AB itolewe na mlinganyo katika viwianishi vya polar r = r(φ), a≤φ≤β. Wacha tuchukue kuwa r(φ) na r"(φ) ni endelevu kwa muda [a;β].
Ikiwa katika usawa x = rcosφ, y = rsinφ, kuunganisha kuratibu za polar na Cartesian, angle φ inachukuliwa kuwa parameter, basi curve ya AB inaweza kutajwa parametrically.
Kutumia formula (41.5), tunapata
Mfano 41.5. Pata urefu wa cardioid r = = a (1 + cosφ).
Suluhisho: Cardioid r = a (1 + cosφ) ina fomu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 187. Ina ulinganifu kuhusu mhimili wa polar. Wacha tupate nusu ya urefu wa cardioid:
Hivyo, 1/2l= 4a. Hii ina maana l=8a.
41.4. Kuhesabu kiasi cha mwili
Kuhesabu kiasi cha mwili kutoka kwa maeneo yanayojulikana ya sehemu zinazofanana
Hebu iwe muhimu kupata kiasi cha V cha mwili, na eneo la S la sehemu za mwili huu kwa ndege perpendicular kwa mhimili fulani, kwa mfano mhimili wa Ox, inajulikana: S = S (x), a ≤ x ≤ b .
1. Kupitia hatua ya kiholela x є tunachora ndege ∏ perpendicular kwa mhimili wa Ox (ona Mchoro 188). Wacha tuonyeshe kwa S(x) eneo la sehemu ya mwili kwa ndege hii; S(x) inachukuliwa kuwa inajulikana na inabadilika kila mara kama mabadiliko ya x. Hebu v(x) ionyeshe kiasi cha sehemu ya mwili iliyo upande wa kushoto wa ndege P. Tunadhania kuwa kwenye sehemu [a; x] thamani v ni chaguo za kukokotoa za x, yaani v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Pata dV tofauti ya kazi v = v (x). Inawakilisha "safu ya msingi" ya mwili, iliyofungwa kati ya ndege sambamba zinazokatiza mhimili wa Ox kwa pointi x na x+Δx, ambayo inaweza takriban kuchukuliwa kama silinda yenye msingi S(x) na urefu wa dx. Kwa hiyo, tofauti ya kiasi dV = S(x) dx.
3. Pata thamani inayohitajika V kwa kuunganisha dA katika masafa kutoka a hadi B:
Njia inayosababishwa inaitwa formula ya kiasi cha mwili na eneo la sehemu zinazofanana.
Mfano 41.6. Tafuta kiasi cha ellipsoid 
Suluhisho: Kukata ellipsoid na ndege sambamba na ndege ya Oyz na kwa umbali x kutoka kwayo (-a ≤х≤ a), tunapata duaradufu (ona Mchoro 189):
Eneo la duaradufu hii ni 
Kwa hiyo, kulingana na formula (41.6), tunayo
Kiasi cha mwili wa mapinduzi
Hebu trapezoid iliyopotoka izunguke karibu na mhimili wa Ox, imefungwa na mstari unaoendelea y = ƒ (x) 0, sehemu ya ≤ x ≤ b, na mistari ya moja kwa moja x = a na x = b (ona Mchoro 190). Takwimu iliyopatikana kutoka kwa mzunguko inaitwa mwili wa mapinduzi. Sehemu ya mwili huu kwa ndege inayoelekea kwenye mhimili wa Ox, inayotolewa kupitia sehemu ya kiholela x ya mhimili wa Ox (x Î [A; b]), kuna mduara wenye radius y= ƒ(x). Kwa hivyo S(x)= π y 2.
Kuomba formula (41.6) kwa kiasi cha mwili kulingana na eneo la sehemu zinazofanana, tunapata
Ikiwa trapezoidi ya curvilinear imepunguzwa na grafu ya kazi inayoendelea x = φ(y) ≥ 0 na mistari iliyonyooka x = 0, y = c,
y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
Mfano 41.7. Pata kiasi cha mwili kilichoundwa na mzunguko wa takwimu iliyofungwa na mistari karibu na mhimili wa Oy (ona Mchoro 191).
Suluhisho: Kwa kutumia formula (41.8) tunapata:
41.5. Kuhesabu eneo la uso wa mapinduzi
Acha mkunjo AB uwe grafu ya chaguo za kukokotoa y = ƒ(x) ≥ 0, ambapo x є [a;b], na fomula y = ƒ(x) na derivative yake y"=ƒ"(x) ni endelevu kwenye sehemu hii.
Hebu tutafute eneo S la uso linaloundwa kwa kuzungusha mkunjo AB kuzunguka mhimili wa Ox.
Wacha tutumie mpango II (mbinu tofauti).
1. Kupitia hatua ya kiholela x є [a; b] chora ndege ∏ pembeni mwa mhimili wa Ox. Ndege ∏ inakatiza uso wa mapinduzi pamoja na duara yenye radius y = ƒ(x) (ona Mchoro 192). Thamani S ya uso wa sehemu ya takwimu ya mapinduzi iko upande wa kushoto wa ndege ni kazi ya x, yaani s = s (x) (s (a) = 0 na s (b) = S).
2. Hebu tupe hoja x nyongeza Δх = dx. Kupitia hatua x + dx є [a; b] sisi pia kuchora ndege perpendicular kwa mhimili Ox. Chaguo za kukokotoa s=s(x) zitapokea nyongeza ya Az, iliyoonyeshwa kwenye mchoro kama "mkanda".
Wacha tupate tofauti ya eneo la ds kwa kubadilisha takwimu iliyoundwa kati ya sehemu na koni iliyokatwa, jenereta ambayo ni sawa na dl, na radii ya besi ni sawa na y na y + dy. Eneo la uso wake wa upande ni ds= π (y+y+ dy) dl=2π katika dl + π dydl. Kukataa bidhaa ya dydl kama isiyo na kikomo ya mpangilio wa juu kuliko ds, tunapata ds=2 π katika dl, au, tangu
3. Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka kwa x = a hadi x = b, tunapata
Ikiwa curve ya AB imetolewa na milinganyo ya parametric x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2, basi fomula (41.9) ya eneo la uso wa mzunguko inachukua fomu.
Mfano 41.8. Pata eneo la uso wa mpira wa radius R.
Mfano 41.9. Kutokana na cycloid
Tafuta eneo linaloundwa kwa kuzungusha karibu na mhimili wa Ox.
Suluhisho: Wakati nusu ya safu ya cycloid inapozunguka mhimili wa Ox, eneo la uso wa mzunguko ni sawa na
41.6. Utumizi wa mitambo ya kiunganishi dhahiri
Kazi ya nguvu inayobadilika
Hebu nyenzo ya uhakika M isogee kando ya mhimili wa Ox chini ya hatua ya nguvu ya kutofautiana F = F (x), iliyoelekezwa sambamba na mhimili huu. Kazi inayofanywa na nguvu wakati wa kusonga hatua M kutoka nafasi x = a hadi nafasi x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).
Mfano 41.10 Ni kazi ngapi lazima ifanyike ili kunyoosha chemchemi kwa 0.05 m ikiwa nguvu ya 100 N inyoosha chemchemi kwa 0.01 m?
Suluhisho: Kwa mujibu wa sheria ya Hooke, nguvu ya elastic kunyoosha spring ni sawia na kunyoosha hii x, yaani F = kx, ambapo k ni mgawo wa uwiano. Kwa mujibu wa hali ya tatizo, nguvu F = 100 N inyoosha spring kwa x = 0.01 m; kwa hiyo, 100 = k * 0.01, hivyo k = 10000; kwa hiyo, F = 10000x.
Kazi inayohitajika kulingana na fomula (41.10) ni sawa na
Mfano 41.11. Pata kazi inayohitajika kusukuma kioevu juu ya ukingo kutoka kwa tanki ya wima ya silinda ya urefu wa N m na radius ya msingi R m.
Suluhisho: Kazi inayohitajika kuinua mwili wa uzito p hadi urefu wa h ni sawa na p. Lakini tabaka tofauti za kioevu kwenye hifadhi ziko kwa kina tofauti na urefu wa kupanda (hadi kando ya hifadhi) ya tabaka tofauti sio sawa.
Ili kutatua tatizo, tunatumia mpango II (njia tofauti). Hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 193.
1. Kazi iliyotumika kusukuma nje safu ya kioevu ya unene x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. Tunapata sehemu kuu ya ongezeko la ΔA wakati x inabadilika kwa kiasi Δx = dx, yaani, tunapata tofauti ya dA ya kazi A (x).
Kutokana na udogo wa dx, tunadhani kwamba safu ya "msingi" ya kioevu iko kwenye kina sawa x (kutoka kwenye ukingo wa hifadhi) (tazama Mchoro 193). Kisha dA = dp*x, ambapo dp ni uzito wa safu hii; ni sawa na g *g dv, ambapo g ni kuongeza kasi ya mvuto, g ni msongamano wa kioevu, dv ni kiasi cha safu ya "msingi" ya kioevu (imeonyeshwa kwenye takwimu), yaani dp = gg dv. Kiasi cha safu iliyoonyeshwa ya kioevu ni dhahiri sawa na π R 2 dx, ambapo dx ni urefu wa silinda (safu), π R 2 ndio eneo la msingi wake, i.e. dv= π R2 dx.
Kwa hivyo dp=gg π R 2 dx na dA = gg π R 2 dx*x.
3) Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka x = 0 hadi x = H, tunapata
Njia iliyosafirishwa na mwili
Acha sehemu ya nyenzo isogee kwa mstari ulionyooka na kasi inayobadilika v=v(t). Hebu tutafute njia S iliyosafirishwa nayo wakati wa muda kutoka t 1 hadi t 2.
Suluhisho: Kutoka kwa maana ya kimwili ya derivative inajulikana kuwa wakati hatua inakwenda katika mwelekeo mmoja, "kasi ya mwendo wa rectilinear ni sawa na derivative ya wakati wa njia," yaani, inafuata kwamba dS = v (t) dt. Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka t 1 hadi t 2, tunapata 
Kumbuka kuwa fomula sawa inaweza kupatikana kwa kutumia mpango wa I au II kwa kutumia kiunganishi dhahiri.
Mfano 41.12. Pata njia iliyosafirishwa na mwili katika sekunde 4 tangu mwanzo wa harakati, ikiwa kasi ya mwili ni v (t) = 10t + 2 (m / s).
Suluhisho: Ikiwa v(t)=10t+2 (m/s), basi njia iliyosafirishwa na mwili kutoka mwanzo wa harakati (t=0) hadi mwisho wa sekunde ya 4 ni sawa na
Shinikizo la maji kwenye sahani ya wima
Kwa mujibu wa sheria ya Pascal, shinikizo la kioevu kwenye sahani ya usawa ni sawa na uzito wa safu ya kioevu hiki, ambacho kina sahani kama msingi wake, na urefu wake ni kina cha kuzamishwa kwake kutoka kwa uso wa bure wa kioevu. , yaani P = g*g* S* h, ambapo g ni kuongeza kasi ya mvuto, g ni msongamano wa kioevu, S ni eneo la sahani, h ni kina cha kuzamishwa kwake.
Kutumia fomula hii, haiwezekani kutafuta shinikizo la maji kwenye sahani iliyozama kwa wima, kwani pointi zake tofauti ziko kwa kina tofauti.
Hebu sahani iingizwe kwa wima kwenye kioevu, imefungwa na mistari x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) na y 2 = ƒ 2 (x); mfumo wa kuratibu umechaguliwa kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 194. Ili kupata shinikizo la maji P kwenye sahani hii, tunatumia mpango wa II (njia tofauti).
1. Acha sehemu ya thamani inayotakiwa P iwe kazi ya x: p=p(x), yaani p=p(x) ni shinikizo kwenye sehemu ya bati inayolingana na sehemu [a; x] maadili ya mabadiliko ya x, ambapo x є [a; b] (p(a)=0,p(b) = P).
2. Hebu tupe hoja x nyongeza Δх = dx. Chaguo za kukokotoa p(x) zitapokea nyongeza Δр (kwenye kielelezo kuna safu ya unene dx). Wacha tupate dp tofauti ya chaguo hili la kukokotoa. Kwa sababu ya udogo wa dx, takriban tutazingatia ukanda huo kuwa mstatili, pointi zote ambazo ziko kwa kina sawa x, i.e. sahani hii ni ya mlalo.
Kisha kwa mujibu wa sheria ya Pascal 
3. Kuunganisha usawa unaotokana katika safu kutoka kwa x = a hadi x = B, tunapata
Mfano 41.13. Tambua kiasi cha shinikizo la maji kwenye semicircle iliyoingizwa kwa wima kwenye kioevu ikiwa radius yake ni R na kituo chake cha O iko kwenye uso wa bure wa maji (ona Mchoro 195).
Wakati tuli S y wa mfumo huu kuhusiana na mhimili imedhamiriwa vile vile 
Iwapo misa itasambazwa mfululizo kwenye mkunjo fulani, basi ujumuishaji utahitajika ili kueleza wakati tuli.
Acha y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) iwe mlinganyo wa curve nyenzo AB. Tutazingatia kuwa sawa na wiani wa mstari wa mara kwa mara g (g = const).
Kwa kiholela x є [a; b] kwenye curve AB kuna uhakika na kuratibu (x;y). Wacha tuchague sehemu ya msingi ya urefu wa dl kwenye curve iliyo na nukta (x;y). Kisha wingi wa sehemu hii ni sawa na g dl. Wacha tuchukue sehemu hii dl takriban kama sehemu iliyo umbali y kutoka kwa mhimili wa Ox. Kisha tofauti ya wakati tuli dS x ("wakati wa msingi") itakuwa sawa na g dly, yaani dS x = g dlу (ona Mchoro 196).
Inafuata kwamba wakati tuli S x wa curve ya AB inayohusiana na mhimili wa Ox ni sawa na
Vile vile tunapata S y:
Nyakati tuli S x na S y ya curve hurahisisha kubainisha nafasi ya kituo chake cha mvuto (katikati ya misa).
Katikati ya mvuto wa curve ya ndege ya nyenzo y = ƒ(x), x Î ni sehemu kwenye ndege ambayo ina mali ifuatayo: ikiwa misa yote ya m ya curve fulani imejilimbikizia katika hatua hii, basi wakati tuli wa hatua hii inayohusiana na mhimili wowote wa kuratibu itakuwa sawa na wakati tuli wa mkunjo mzima y = ƒ (x) kuhusiana na mhimili sawa. Hebu tuashiria kwa C(x c;y c) kitovu cha mvuto wa curve AB.
Kutoka kwa ufafanuzi wa kituo cha mvuto usawa hufuata 
Kutoka hapa
Uhesabuji wa muda tuli na viwianishi vya katikati ya mvuto wa takwimu ya ndege
Hebu takwimu ya gorofa ya nyenzo (sahani) itolewe, imefungwa na curve y = ƒ (x) 0 na mistari ya moja kwa moja y = 0, x = a, x = b (angalia Mchoro 198).
Tutafikiri kwamba wiani wa uso wa sahani ni mara kwa mara (g = const). Kisha wingi wa sahani nzima ni sawa na g * S, i.e. 
Wacha tuchague sehemu ya msingi ya sahani kwa namna ya ukanda wa wima mwembamba usio na kikomo na takriban tuichukue kama mstatili.
Kisha wingi wake ni sawa na g ydx. Katikati ya mvuto C wa mstatili iko kwenye makutano ya diagonals ya mstatili. Hatua hii C iko 1/2*y kutoka kwa mhimili wa Ox, na x kutoka kwa mhimili wa Oy (takriban; kwa usahihi zaidi, kwa umbali x+ 1/2 ∆x). Halafu kwa wakati tuli wa kimsingi kuhusiana na shoka za Ox na Oy mahusiano yafuatayo yanaridhika:
Kwa hivyo, katikati ya mvuto ina kuratibu
1. Eneo la takwimu ya gorofa.
Eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na kazi isiyo hasi f(x), mhimili wa x na mistari iliyonyooka x = a, x = b, inafafanuliwa kuwa S = ∫ a b f x d x .
Eneo la trapezoid iliyopotoka
Eneo la takwimu lililofungwa na chaguo la kukokotoa f(x), inayokatiza mhimili wa abscissa, imedhamiriwa na fomula S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где Xi- zero za kazi. Kwa maneno mengine, kuhesabu eneo la takwimu hii, unahitaji kugawanya sehemu kazi sufuri f(x) katika sehemu, kuunganisha kazi f kwa kila vipindi vinavyotokana na ishara ya kudumu, ongeza kando viambatanisho juu ya sehemu ambazo utendakazi f inachukua ishara tofauti, na kutoa ya pili kutoka kwa kwanza.
2. Eneo la sekta iliyopinda.
Eneo la sekta iliyopinda Fikiria Curve ρ = ρ (φ) katika mfumo wa kuratibu polar, wapi ρ (φ) - inayoendelea na isiyo hasi kwenye [α; β] kazi. Kielelezo kimefungwa na curve ρ (φ) na miale φ = α , φ = β , inaitwa sekta ya curvilinear. Eneo la sekta ya curvilinear ni S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .
3. Kiasi cha mwili wa mzunguko.
Kiasi cha mwili wa mapinduzi
Acha mwili uundwe kwa kuzunguka kwa mhimili wa OX wa trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na mstari unaoendelea kwenye sehemu. kazi f(x). Kiasi chake kinaonyeshwa na formula V = π ∫ a b f 2 x d x.
Kwa shida ya kupata kiasi cha mwili kutoka kwa sehemu yake ya msalaba Hebu mwili umefungwa kati ya ndege x = a Na x = b, na eneo la sehemu yake na ndege inayopita kwenye uhakika x, - inayoendelea kwenye sehemu kazi σ(x). Kisha kiasi chake ni sawa na V = ∫ a b σ x d x .
4. Urefu wa arc ya curve.
Acha curve r → t = x t , y t , z itolewe. Kisha urefu wa sehemu yake upunguzwe na maadili. t = alpha Na t = b inaonyeshwa na fomula S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .
Urefu wa safu ya safu ya ndege Hasa, urefu wa curve ya ndege hufafanuliwa kwenye ndege ya kuratibu. OXY mlingano y = f(x), a ≤ x ≤ b, inaonyeshwa na fomula S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .
5. Eneo la uso wa mzunguko.
Sehemu ya uso wa mapinduzi Acha uso ufafanuliwe kwa kuzunguka kwa mhimili wa OX wa grafu ya chaguo la kukokotoa. y = f(x), a ≤ x ≤ b, na kazi f ina derivative inayoendelea kwenye muda huu. Kisha eneo la uso wa mapinduzi imedhamiriwa na formula Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .
Mhadhara wa 21 Matumizi ya muunganisho dhahiri (saa 2)
Maombi ya kijiometri
A) Eneo la takwimu
Kama ilivyoonyeshwa tayari katika Hotuba ya 19, kwa nambari ni sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na curve. katika = f(x), moja kwa moja X = A, X = b na sehemu [ a, b] OX mhimili. Aidha, kama f(x£ 0 kwa [ a, b], basi kiungo kinapaswa kuchukuliwa kwa ishara ya kutoa.
Ikiwa kwa muda fulani kazi katika = f(x) mabadiliko ya ishara, kisha kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa kati ya grafu ya kazi hii na mhimili wa OX, unapaswa kugawanya sehemu hiyo katika sehemu, ambayo kila kazi huhifadhi ishara yake, na kupata eneo la kila sehemu ya takwimu. Eneo linalohitajika katika kesi hii ni jumla ya algebraic ya viambatanisho juu ya sehemu hizi, na viunga vinavyolingana na maadili hasi ya kazi huchukuliwa kwa jumla hii na ishara ya minus.
Ikiwa takwimu imefungwa na curves mbili katika = f 1 (x) Na katika = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), basi, kama ifuatavyo kutoka kwa Mchoro 9, eneo lake ni sawa na tofauti katika maeneo ya trapezoids ya curvilinear. A Jua b Na A AD b, ambayo kila moja ni sawa kiidadi na kiunganishi. Ina maana,
 |
Kumbuka kuwa eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 10a hupatikana kwa kutumia fomula sawa: S = 
(Thibitisha!). Fikiria jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 10b?
Tulikuwa tunazungumza tu juu ya trapezoids ya curvilinear karibu na mhimili wa OX. Lakini fomula zinazofanana pia ni halali kwa takwimu zilizo karibu na mhimili wa OU. Kwa mfano, eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 11 hupatikana kwa fomula
Wacha mstari y=f(x), inayofunga trapezoid iliyopindika, inaweza kutolewa na hesabu za parametric, tО , na j(a)= A, j(b) = b, i.e. katika= . Kisha eneo la trapezoid hii ya curvilinear ni sawa na
.
b) Urefu wa safu ya curve
Acha Curve itolewe katika = f(x) Wacha tuzingatie safu ya curve hii inayolingana na mabadiliko X kwenye sehemu [ a, b]. Wacha tupate urefu wa safu hii. Ili kufanya hivyo, tunagawanya arc AB ndani P sehemu kwa pointi A = M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (Mchoro 14), sambamba na pointi X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].
 |
Wacha tukumbuke D l i urefu wa arc, basi l= . Ikiwa arc urefu wa D l i ni ndogo vya kutosha, basi zinaweza kuzingatiwa takriban sawa na urefu wa sehemu zinazolingana za kuunganisha pointi M i-1, M i. Pointi hizi zina kuratibu M i -1 (Xi -1, f (Xi-1)), M i(Xi, f(Xi)). Kisha urefu wa makundi ni sawa, kwa mtiririko huo
Njia ya Lagrange hutumiwa hapa. Hebu tuweke Xi – Xi-1 =D Xi, tunapata
Kisha l = 
, wapi
l = 
.
Hivyo, urefu wa arc ya curve katika = f(x), sambamba na mabadiliko X kwenye sehemu [ a, b], kupatikana kwa fomula
l = 
, (1)
Ikiwa Curve imeainishwa parametrically, tО, i.e. y(t) = f(x(t)), kisha kutoka kwa formula (1) tunapata:
l= 
.
Hii inamaanisha kuwa ikiwa curve imepewa parametrically, basi urefu wa arc ya curve hii inalingana na mabadiliko. tО, hupatikana kwa fomula
V) Kiasi cha mwili wa mzunguko.
|
Fikiria trapezoid iliyopinda A AB b, iliyofungwa na mstari katika = f(x), moja kwa moja X = A, X = b na sehemu [ a,b] Mhimili wa OX (Mchoro 15). Hebu trapezoid hii izunguke karibu na mhimili wa OX, matokeo yatakuwa mwili wa mzunguko. Inaweza kuthibitishwa kuwa kiasi cha mwili huu kitakuwa sawa na 
Vile vile, tunaweza kupata fomula ya kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoid ya curvilinear kuzunguka mhimili OU, iliyopunguzwa na grafu ya chaguo la kukokotoa. X= j( katika), moja kwa moja y = c , y = d na sehemu [ c,d] mhimili wa op-amp (Kielelezo 15):
Matumizi ya kimwili ya kiungo dhahiri
Katika Hotuba ya 19 tulithibitisha kwamba kwa mtazamo wa kimaumbile, kiunga hicho ni sawa na hesabu na wingi wa fimbo nyembamba ya rectilinear isiyo na usawa ya urefu. l= b – a, yenye msongamano wa mstari unaobadilika r = f(x), f(x) ³ 0, wapi X- umbali kutoka hatua ya fimbo hadi mwisho wake wa kushoto.
Hebu tuzingatie matumizi mengine ya kimwili ya kiunganishi hakika.
Tatizo 1. Pata kazi inayohitajika kusukuma mafuta kutoka kwa tank ya wima ya cylindrical yenye urefu wa H na radius ya msingi R. Uzito wa mafuta ni r.
Suluhisho. Wacha tujenge mfano wa hisabati wa shida hii. Hebu mhimili wa OX upite kwenye mhimili wa ulinganifu wa silinda ya urefu wa H na radius R, asili iko katikati ya msingi wa juu wa silinda (Mchoro 17). Wacha tugawanye silinda ndani P sehemu ndogo za usawa. Kisha wapi A i- kazi ya kusukuma maji i safu ya th. Mgawanyiko huu wa silinda unafanana na mgawanyiko wa sehemu ya mabadiliko katika urefu wa safu ndani P sehemu. Hebu fikiria moja ya tabaka hizi ziko kwa mbali Xi kutoka kwa uso, upana D X(au mara moja dx) Kusukuma safu hii kunaweza kuzingatiwa kama "kuinua" safu hadi urefu Xi.
Kisha kazi ya kusukuma safu hii ni sawa na
A i"R mimi x i, 
,
ambapo P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i- uzito, V i- kiasi cha safu. Kisha A i"R mimi x i= rgpR 2 dx.x mimi, wapi
, na kwa hiyo 
.
Tatizo 2. Tafuta wakati wa hali
a) silinda yenye kuta nyembamba yenye mashimo inayohusiana na mhimili unaopita kwenye mhimili wake wa ulinganifu;
b) silinda imara inayohusiana na mhimili unaopita kwenye mhimili wake wa ulinganifu;
c) fimbo nyembamba ya urefu l kuhusiana na mhimili unaopita katikati yake;
d) urefu wa fimbo nyembamba l kuhusiana na mhimili unaopita mwisho wake wa kushoto.
Suluhisho. Kama inavyojulikana, wakati wa inertia ya hatua inayohusiana na mhimili ni sawa na J=Bwana 2, na mifumo ya pointi.
a) Silinda ni nyembamba-ukuta, ambayo ina maana kwamba unene wa kuta inaweza kupuuzwa. Hebu radius ya msingi wa silinda iwe R, urefu wake H, na wiani wa wingi kwenye kuta ni sawa na r.
Wacha tugawanye silinda ndani P sehemu na kupata wapi J i- wakati wa inertia i kipengele cha kizigeu.
Hebu tuzingatie i kipengele cha kizigeu (silinda isiyo na kikomo). Pointi zake zote ziko umbali wa R kutoka kwa mhimili l. Hebu wingi wa silinda hii t i, Kisha t i= rV i»rS upande= 2 prR dx mimi, Wapi Xi O. Kisha J i»R 2 prR dx mimi, wapi
.
Ikiwa r ni ya kudumu, basi J= 2prR 3 N, na kwa kuwa wingi wa silinda ni sawa na M = 2prRН, basi J=BWANA 2.
b) Ikiwa silinda ni imara (imejaa), basi tunaigawanya ndani P vlo mitungi nyembamba iliyounganishwa moja ndani ya nyingine. Kama P ni kubwa, kila moja ya mitungi hii inaweza kuchukuliwa kuwa nyembamba-ukuta. Sehemu hii inalingana na kizigeu cha sehemu kuwa P sehemu zilizo na alama R i. Hebu tupate misa i silinda yenye kuta nyembamba: t i= rV i, Wapi
V i= pR i 2 H - pR i- 1 2 H = pH(R i 2 –R i -1 2) =
PH (R i-R i-1)(R i+R i -1).
Kwa sababu ya ukweli kwamba kuta za silinda ni nyembamba, tunaweza kudhani kuwa R i+R i-1 »2R i, na R i-R i-1 = DR i, kisha V i» pH2R i D.R. i, wapi t i»rpN×2R i D.R. i,
Kisha hatimaye 
c) Fikiria fimbo ya urefu l, ambao msongamano wa wingi ni sawa na r. Acha mhimili wa mzunguko upite katikati yake.
Tunatoa mfano wa fimbo kama sehemu ya mhimili wa OX, kisha mhimili wa mzunguko wa fimbo ni mhimili wa OU. Wacha tuzingatie sehemu ya msingi, misa yake, umbali wa mhimili unaweza kuzingatiwa takriban sawa r i= Xi. Kisha wakati wa hali ya sehemu hii ni sawa na , ambapo wakati wa hali ya fimbo nzima ni sawa na 
. Kwa kuzingatia kwamba wingi wa fimbo ni sawa na, basi
d) Hebu sasa mhimili wa mzunguko upite mwisho wa kushoto wa fimbo, i.e. Mfano wa fimbo ni sehemu ya mhimili wa OX. Kisha vivyo hivyo, r i= Xi,, wapi 
, na tangu , basi .
Jukumu la 3. Pata nguvu ya shinikizo la kioevu na wiani r kwenye pembetatu ya kulia na miguu A Na b, kuzama kwa wima kwenye kioevu ili mguu A iko juu ya uso wa kioevu.
Suluhisho.
Wacha tujenge mfano wa shida. Hebu vertex ya pembe ya kulia ya pembetatu iwe kwenye asili, mguu A sanjari na sehemu ya mhimili wa OU (mhimili wa OU huamua uso wa kioevu), mhimili wa OX unaelekezwa chini, mguu. b sanjari na sehemu ya mhimili huu. Hypotenuse ya pembetatu hii ina mlinganyo , au .
Inajulikana kuwa ikiwa kwenye eneo la usawa la eneo S, iliyoingizwa kwenye kioevu cha wiani r, inakabiliwa na safu ya kioevu ya urefu h, basi nguvu ya shinikizo ni sawa (sheria ya Pascal). Tuitumie sheria hii.
Eneo la curvilinear trapezoid iliyopakana juu na grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x), kushoto na kulia - moja kwa moja x=a Na x=b ipasavyo, kutoka chini - mhimili Ng'ombe, iliyohesabiwa kwa fomula
Eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa upande wa kulia na grafu ya chaguo la kukokotoa x=φ(y), juu na chini - moja kwa moja y=d Na y=c ipasavyo, upande wa kushoto - mhimili Oy:
Eneo la kielelezo cha curvilinear kinachopakana juu na grafu ya chaguo za kukokotoa y 2 =f 2 (x), chini - grafu ya kazi y 1 =f 1 (x), kushoto na kulia - moja kwa moja x=a Na x=b:
Eneo la takwimu ya curvilinear iliyofungwa kushoto na kulia na grafu za kazi x 1 =φ 1 (y) Na x 2 =φ 2 (y), juu na chini - moja kwa moja y=d Na y=c kwa mtiririko huo:
Wacha tuzingatie kesi wakati mstari unaopunguza trapezoid ya curvilinear kutoka juu inatolewa na hesabu za parametric. x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Wapi α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Milinganyo hii inafafanua baadhi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye sehemu [ a, b]. Eneo la trapezoid iliyopindika huhesabiwa na formula
Wacha tuendelee kwenye muundo mpya x = φ 1 (t), Kisha dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), kwa hivyo \anza(displaymath)
Eneo katika kuratibu za polar
Fikiria sekta ya curvilinear OAB, iliyofungwa na mstari uliotolewa na equation ρ=ρ(φ) katika kuratibu za polar, mionzi miwili O.A. Na O.B., kwa ajili yake φ=α , φ=β .
Tutaigawanya sekta katika sekta za msingi OM k-1 M k ( k=1, ..., n, M 0 =A, M n =B) Wacha tuonyeshe kwa Δφk pembe kati ya miale OM k-1 Na Ok, kutengeneza pembe na mhimili wa polar φ k-1 Na φ k kwa mtiririko huo. Kila moja ya sekta ya msingi OM k-1 M k badala yake na sekta ya mviringo yenye radius ρ k =ρ(φ" k), Wapi φ"k- thamani ya pembe φ
kutoka kwa muda [ φ k-1 , φ k], na pembe ya kati Δφk. Eneo la sekta ya mwisho linaonyeshwa na formula 
.
inaelezea eneo la sekta "iliyopigwa hatua" ambayo takriban inachukua nafasi ya sekta fulani OAB.
Eneo la sekta OAB inaitwa kikomo cha eneo la sekta "iliyopigwa". n → ∞ Na λ=kiwango cha juu zaidi Δφ k → 0:
Kwa sababu 
, Hiyo
Urefu wa safu ya curve
Wacha kwenye sehemu [ a, b] kazi inayoweza kutofautishwa imetolewa y=f(x), grafu ambayo ni arc. Sehemu ya mstari [ a,b] tuigawanye n sehemu zenye dots x 1, x 2, …, xn-1. Pointi hizi zitalingana na alama M 1, M 2, …, Mn-1 arcs, tunawaunganisha na mstari uliovunjika, unaoitwa mstari uliovunjika ulioandikwa kwenye arc. Mzunguko wa mstari huu uliovunjika utaonyeshwa na s n, hiyo ni
Ufafanuzi. Urefu wa arc ya mstari ni kikomo cha mzunguko wa mstari uliovunjika ulioandikwa ndani yake, wakati idadi ya viungo. M k-1 M k huongezeka kwa muda usiojulikana, na urefu wa kubwa zaidi huelekea sifuri:
ambapo λ ndio urefu wa kiunga kikubwa zaidi.
Tutahesabu urefu wa arc kutoka hatua fulani, kwa mfano, A. Hebu katika uhakika M(x,y) urefu wa arc ni s, na kwa uhakika M"(x+Δ x,y+Δy) urefu wa arc ni s+Δs, ambapo,i>Δs ni urefu wa arc. Kutoka kwa pembetatu MNM" tafuta urefu wa chord:.
Kutoka kwa kuzingatia kijiometri inafuata hiyo
yaani, safu isiyo na kikomo ya mstari na chord inayoipunguza ni sawa.
Wacha tubadilishe fomula inayoonyesha urefu wa chord:
Kupitia kikomo katika usawa huu, tunapata fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa s=s(x):
ambayo tunapata
Fomula hii inaelezea tofauti ya safu ya curve ya ndege na ina rahisi maana ya kijiometri: inaelezea nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu isiyo na kikomo MTN (ds=MT, ).
Tofauti ya arc ya curve ya anga imedhamiriwa na formula
Fikiria safu ya mstari wa anga iliyofafanuliwa na milinganyo ya parametric
Wapi α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - kazi zinazoweza kutofautishwa za hoja t, Hiyo
Kuunganisha usawa huu kwa muda [ α, β ], tunapata fomula ya kuhesabu urefu wa safu hii ya mstari
Ikiwa mstari uko kwenye ndege Oksi, Hiyo z=0 mbele ya kila mtu t∈[α, β], Ndiyo maana
Katika kesi ambapo mstari wa gorofa hutolewa na equation y=f(x) (a≤x≤b), Wapi f(x) ni kazi inayoweza kutofautishwa, fomula ya mwisho inachukua fomu
Hebu mstari wa ndege upewe na equation ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) katika kuratibu za polar. Katika kesi hii tuna equations parametric ya mstari x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) dhambi φ, ambapo pembe ya polar inachukuliwa kama kigezo φ . Kwa sababu ya
kisha fomula inayoonyesha urefu wa safu ya mstari ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) katika kuratibu za polar, ina fomu
Kiasi cha mwili
Wacha tupate kiasi cha mwili ikiwa eneo la sehemu yoyote ya msalaba ya mwili huu kwa mwelekeo fulani inajulikana.
Wacha tugawanye mwili huu katika tabaka za kimsingi na ndege zinazolingana na mhimili Ng'ombe na kufafanuliwa kwa milinganyo x=const. Kwa fasta yoyote x∈ eneo linalojulikana S=S(x) sehemu ya msalaba ya mwili fulani.
Safu ya msingi iliyokatwa na ndege x=x k-1, x=x k (k=1, ..., n, x 0 =a, x n =b), badala yake na silinda yenye urefu Δx k =x k -x k-1 na eneo la msingi S(ξ k), ξ k ∈.
Kiasi cha silinda ya msingi iliyoonyeshwa inaonyeshwa na formula Δv k =E(ξ k)Δx k. Wacha tujumuishe bidhaa zote kama hizo
ambayo ni jumla ya jumla ya chaguo za kukokotoa S=S(x) kwenye sehemu [ a, b]. Inaonyesha kiasi cha mwili ulioinuka unaojumuisha silinda za kimsingi na takriban kuchukua nafasi ya mwili huu.
Kiasi cha mwili uliopewa ni kikomo cha kiasi cha mwili uliopigiwa uliowekwa λ→0 , Wapi λ - urefu wa sehemu kubwa zaidi ya msingi Δx k. Wacha tuonyeshe kwa V kiasi cha mwili uliopewa, basi kwa ufafanuzi
Upande mwingine,
Kwa hivyo, kiasi cha mwili juu ya sehemu tofauti huhesabiwa na fomula
Ikiwa mwili umeundwa kwa kuzunguka kwa mhimili Ng'ombe trapezoid iliyopinda iliyofungwa juu na safu ya mstari unaoendelea y=f(x), Wapi a≤x≤b, Hiyo S(x)=πf 2 (x) na formula ya mwisho inachukua fomu:
Maoni. Kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoidi iliyopinda iliyopakana upande wa kulia na grafu ya chaguo la kukokotoa. x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), kuzunguka mhimili Oy kuhesabiwa kwa formula
Eneo la uso wa mzunguko
Fikiria uso uliopatikana kwa kuzunguka arc ya mstari y=f(x) (a≤x≤b) kuzunguka mhimili Ng'ombe(fikiria kwamba kazi y=f(x) ina derivative inayoendelea). Kurekebisha thamani x∈, tutatoa nyongeza kwa hoja ya kazi dx, ambayo inalingana na "pete ya msingi" iliyopatikana kwa kuzunguka arc ya msingi Δl. Wacha tubadilishe "pete" hii na pete ya silinda - uso wa nyuma wa mwili unaoundwa na kuzunguka kwa mstatili na msingi sawa na tofauti ya arc. dl, na urefu h=f(x). Kwa kukata pete ya mwisho na kuifungua, tunapata kamba na upana dl na urefu 2py, Wapi y=f(x).
Kwa hiyo, tofauti ya eneo la uso inaonyeshwa na formula
Fomula hii inaonyesha eneo la uso lililopatikana kwa kuzungusha arc ya mstari y=f(x) (a≤x≤b) kuzunguka mhimili Ng'ombe.
Mada 6.10. Utumizi wa kijiometri na kimwili wa kiunganishi dhahiri
1. Eneo la curvilinear trapezoid linalopakana na curve y =f(x)(f(x)>0), mistari iliyonyooka x = a, x = b na sehemu [a, b] ya mhimili wa Ox, inahesabiwa kwa formula
2. Eneo la kielelezo linalopakana na mikunjo y = f (x) na y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. Ikiwa curve inatolewa na equations parametric x = x (t), y = y (t), basi eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na curve hii na mistari ya moja kwa moja x = a, x = b hupatikana na. fomula
4. Acha S (x) iwe eneo la sehemu ya mwili kwa ndege inayoelekea kwenye mhimili wa Ox, kisha kiasi cha sehemu ya mwili iliyofungwa kati ya ndege x = a na x = b perpendicular kwa mhimili hupatikana kwa fomula
5. Hebu trapezoid ya curvilinear, imefungwa na curve y = f (x) na mistari ya moja kwa moja y = 0, x = a na x = b, izunguke karibu na mhimili wa Ox, kisha kiasi cha mwili wa mzunguko huhesabiwa na fomula
6. Hebu trapezoid iliyopigwa imefungwa na curve x = g (y) na
mistari ya moja kwa moja x = 0, y = c na y = d, inazunguka karibu na mhimili wa O y, basi kiasi cha mwili wa mzunguko huhesabiwa na formula.
7. Ikiwa curve ya ndege inahusiana na mfumo wa kuratibu wa mstatili na iliyotolewa na equation y = f (x) (au x = F (y)), basi urefu wa arc imedhamiriwa na formula.
