Shahada na sifa zake. Mwongozo wa kina (2019)
Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?
Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni za nini, jinsi ya kutumia maarifa yako Maisha ya kila siku soma makala hii.
Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu na mafanikio kupita OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa chuo kikuu cha ndoto zako.
Twende... (Twende!)
Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).
NGAZI YA KWANZA
Ufafanuzi ni operesheni ya hisabati kama vile kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.
Sasa nitaelezea kila kitu lugha ya binadamu sana mifano rahisi. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.
Wacha tuanze na kuongeza.
Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.
Sasa kuzidisha.
Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.
Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…
Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.
Na nyingine, nzuri zaidi:
Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja za kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari hadi nguvu.
Kuinua nambari hadi nguvu
Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.
Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.
Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Sana swali zuri. Sasa utakuwa na mraba na cubes.
Mfano wa maisha halisi #1
Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.
Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.
Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana kuwa cm kwa cm Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().
Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. . Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.
Mfano wa maisha halisi #2
Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?
Mfano wa maisha halisi #3
Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Viwango na vinywaji, kwa njia, hupimwa ndani mita za ujazo. Haijatarajiwa, sawa?) Chora bwawa: sehemu ya chini inayopima mita na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni cubes ngapi za kupima mita kwa mita zitafaa kwenye bwawa lako.
Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?
Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.
Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.
Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii zilivumbuliwa na watu walioacha kazi na watu wenye hila kutatua wao wenyewe matatizo ya maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.
Mfano wa maisha halisi #4
Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umeketi sasa na "kuhesabu kwa kidole," inamaanisha wewe ni sana mtu mchapakazi na.. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?
Mfano wa maisha halisi #5
Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata mbili zaidi kwa kila milioni. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.
Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.
Masharti na dhana ... ili usichanganyike
Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...
Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.
Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.
Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka vizuri zaidi ... Shahada iliyo na msingi " ” na kielezi "" inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo.
Nguvu ya nambari c kiashiria cha asili
Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "zero nukta tano". Hizi sio nambari za asili. Unadhani hizi ni nambari gani?
Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.
Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa walikosa nambari za asili kwa kupima urefu, uzito, eneo n.k. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?
Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa mzunguko wa mduara umegawanywa na kipenyo chake, basi tunapata nambari isiyo na mantiki.
Muhtasari:
Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).
- Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
- Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
- Kuweka nambari ina maana ya kuizidisha yenyewe mara tatu:
Ufafanuzi. Pandisha nambari hadi shahada ya asili- inamaanisha kuzidisha nambari peke yake mara:
.
Tabia za digrii
Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.
Wacha tuone: ni nini Na ?
A-kipaumbele:
Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?
Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.
Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Mfano: Rahisisha usemi.
Suluhisho:
Mfano: Rahisisha usemi.
Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:
kwa mazao ya madaraka tu!
Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.
2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari
Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:
Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:
Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:
Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?
Lakini hii si kweli, baada ya yote.
Nguvu yenye msingi hasi
Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.
Lakini msingi unapaswa kuwa nini?
Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.
Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?
Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.
Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.
Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Je, uliweza?
Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.
Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).
Mfano 6) sio rahisi tena!
6 mifano ya kufanya mazoezi
Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano
Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:
Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria inaweza kutumika.
Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.
Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.
Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!
Hebu turudi kwenye mfano:
Na tena formula:
Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.
nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.
Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:
Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini hii ni hivyo?
Wacha tuzingatie kiwango fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:
Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.
Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:
Wacha turudie sheria:
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.
Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).
Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri kwa shahada ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.
Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye kama ilivyo mara ya mwisho: zidisha baadhi nambari ya kawaida sawa kwa kiwango hasi:
Kuanzia hapa ni rahisi kuelezea kile unachotafuta:
Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:
Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:
Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).
Hebu tufanye muhtasari:
I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.
II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .
III. Nambari isiyo sawa na sifuri hadi nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .
Kazi za suluhisho la kujitegemea:
Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:
Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:
Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!
Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.
Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?
Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.
Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:
Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:
Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":
Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?
Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.
Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.
Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume cha kuongeza kwa nguvu: .
Inageuka kuwa. Ni wazi hii kesi maalum inaweza kupanuliwa:.
Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:
Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.
Hakuna!
Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!
Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.
Vipi kuhusu usemi huo?
Lakini hapa tatizo linatokea.
Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.
Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni mbili tu maingizo tofauti idadi sawa.
Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).
Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia msingi chanya tu wa shahada c kiashiria cha sehemu .
Kwa hivyo ikiwa:
- - nambari ya asili;
- - nambari kamili;
Mifano:
Digrii na kiashiria cha busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:
5 mifano ya kufanya mazoezi
Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo
Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.
Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa
Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).
Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.
Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;
...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;
...shahada na nambari kamili kiashiria hasi - ni kana kwamba kitu kilitokea" mchakato wa kurudi nyuma", yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini iligawanywa.
Kwa njia, katika sayansi shahada na kiashiria changamano, yaani, kiashiria sio hata nambari halisi.
Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.
AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))
Kwa mfano:
Amua mwenyewe:
Uchambuzi wa suluhisho:
1. Wacha tuanze na sheria ya kuinua mamlaka kwa mamlaka, ambayo tayari ni kawaida kwetu:
Sasa angalia kiashiria. Je, hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:
Kwa kesi hii,
Inageuka kuwa:
Jibu: .
2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:
Jibu: 16
3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:
KIWANGO CHA JUU
Uamuzi wa shahada
Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:
- — msingi wa shahada;
- - kielelezo.
Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)
Kuinua nambari hadi kwa nguvu asilia n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)
Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:
Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:
Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.
Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:
(kwa sababu huwezi kugawanya).
Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.
Mifano:
Nguvu iliyo na kipeo cha busara
- - nambari ya asili;
- - nambari kamili;
Mifano:
Tabia za digrii
Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.
Wacha tuone: ni nini na?
A-kipaumbele:
Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:
Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:
Q.E.D.
Mfano : Rahisisha usemi.
Suluhisho : .
Mfano : Rahisisha usemi.
Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:
Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!
Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.
Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:
Wacha tupange upya kazi hii kama hii:
Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:
Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!
Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.
Nguvu yenye msingi hasi.
Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .
Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?
Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?
Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.
Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.
Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Tunaweza kuunda zifuatazo sheria rahisi:
- hata shahada, - nambari chanya.
- Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
- Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
- Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.
Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Je, uliweza? Hapa kuna majibu:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.
Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).
Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.
Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:
Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:
Kabla ya kuitenganisha kanuni ya mwisho, wacha tutatue mifano michache.
Kuhesabu maneno:
Ufumbuzi :
Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!
Tunapata:
Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, Sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.
Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:
Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!
Hebu turudi kwenye mfano:
Na tena formula:
Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:
Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:
Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:
Mfano:
Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki
Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).
Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari kwa nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.
Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Ni badala safi kitu cha hisabati, ambayo wanahisabati waliunda kupanua dhana ya shahada kwa nafasi nzima ya nambari.
Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.
Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kiashiria kisicho na mantiki digrii? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)
Kwa mfano:
Amua mwenyewe:
| 1) | 2) | 3) |
Majibu:
- Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
- Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
- Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:
MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI
Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:
Shahada yenye kipeo kamili
shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).
Nguvu iliyo na kipeo cha busara
shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.
Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki
shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.
Tabia za digrii
Vipengele vya digrii.
- Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
- Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
- Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
- Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
- Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.
SASA UNA NENO...
Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.
Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.
Labda una maswali. Au mapendekezo.
Andika kwenye maoni.
Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!
Katika makala hii tutajua ni nini shahada ya. Hapa tutatoa ufafanuzi wa nguvu ya nambari, wakati tutazingatia kwa undani wafadhili wote wanaowezekana, kuanzia na kielelezo asilia na kuishia na kisicho na mantiki. Katika nyenzo utapata mifano mingi ya digrii, inayofunika hila zote zinazotokea.
Urambazaji wa ukurasa.
Nguvu yenye kipeo asilia, mraba wa nambari, mchemraba wa nambari
Hebu tuanze na. Kuangalia mbele, wacha tuseme kwamba ufafanuzi wa nguvu ya nambari a na kielelezo cha asili n imetolewa kwa a, ambayo tutaita. msingi wa shahada, na n, ambayo tutaita kielelezo. Pia tunakumbuka kuwa shahada iliyo na kipeo asilia hubainishwa kupitia bidhaa, kwa hivyo ili kuelewa nyenzo hapa chini unahitaji kuwa na ufahamu wa kuzidisha nambari.
Ufafanuzi.
Nguvu ya nambari yenye kipeo asilia n ni usemi wa umbo a n, thamani ambayo ni sawa na bidhaa ya mambo n, ambayo kila moja ni sawa na a, yaani, .
Hasa, nguvu ya nambari a yenye kipeo 1 ni nambari a yenyewe, yaani, 1 =a.
Inastahili kutaja mara moja kuhusu sheria za kusoma digrii. Mbinu ya Universal kusoma ingizo n ni: "a kwa nguvu ya n". Katika baadhi ya matukio, chaguo zifuatazo pia zinakubalika: "a kwa nguvu ya nth" na "nth nguvu ya a". Kwa mfano, hebu tuchukue mamlaka 8 12, hii ni "nane kwa uwezo wa kumi na mbili", au "nguvu nane hadi kumi na mbili", au "nguvu ya kumi na mbili ya nane".
Nguvu ya pili ya nambari, pamoja na nguvu ya tatu ya nambari, ina majina yao wenyewe. Nguvu ya pili ya nambari inaitwa mraba nambari, kwa mfano, 7 2 inasomwa kama "saba ya mraba" au "mraba wa nambari saba." Nguvu ya tatu ya nambari inaitwa nambari za mraba, kwa mfano, 5 3 inaweza kusomwa kama "cubed tano" au unaweza kusema "mchemraba wa nambari 5".
Ni wakati wa kuleta mifano ya digrii na vielelezo asilia. Wacha tuanze na digrii 5 7, hapa 5 ndio msingi wa digrii, na 7 ndio kielelezo. Wacha tutoe mfano mwingine: 4.32 ndio msingi, na nambari asilia 9 ndio kielezi (4.32) 9 .
Tafadhali kumbuka kuwa katika mfano wa mwisho Msingi wa shahada ya 4.32 imeandikwa kwa mabano: ili kuepuka kutofautiana, tutaweka kwenye mabano misingi yote ya shahada ambayo ni tofauti na namba za asili. Kwa mfano, tunatoa digrii zifuatazo na vielelezo asilia 
, besi zao sio nambari za asili, kwa hiyo zimeandikwa kwenye mabano. Kweli, kwa uwazi kamili, katika hatua hii tutaonyesha tofauti zilizomo katika rekodi za fomu (-2) 3 na -2 3. Usemi (−2) 3 ni nguvu ya -2 yenye kipeo asili cha 3, na usemi -2 3 (unaweza kuandikwa kama -(2 3) ) unalingana na nambari, thamani ya nguvu 2 3. .
Kumbuka kuwa kuna nukuu ya nguvu ya nambari a iliyo na kipeo n cha umbo a^n. Zaidi ya hayo, ikiwa n ni nambari ya asili yenye thamani nyingi, basi kielelezo huchukuliwa kwenye mabano. Kwa mfano, 4^9 ni nukuu nyingine ya nguvu ya 4 9 . Na hapa kuna mifano zaidi ya digrii za uandishi kwa kutumia ishara “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Katika kile kinachofuata, tutatumia kimsingi nukuu ya digrii ya fomu n .
Mojawapo ya matatizo yanayopingana na kuinua mamlaka yenye kielelezo asilia ni tatizo la kupata msingi wa nguvu kwa thamani inayojulikana digrii na kiashiria kinachojulikana. Kazi hii inaongoza kwa.
Inajulikana kuwa wengi nambari za busara inajumuisha nambari kamili na sehemu, na kila nambari ya sehemu inaweza kuwakilishwa kama chanya au hasi sehemu ya kawaida. Tulifafanua digrii yenye kipeo kamili kama aya iliyotangulia, kwa hivyo, ili kukamilisha ufafanuzi wa digrii na kipeo cha busara, unahitaji kutoa maana kwa kiwango cha nambari a na kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia. Hebu tufanye.
Wacha tuzingatie digrii iliyo na kipeo cha sehemu ya fomu . Ili mali ya nguvu-kwa-nguvu ibaki halali, usawa lazima ushikilie 
. Ikiwa tutazingatia usawa unaotokana na jinsi tulivyoamua , basi ni busara kuikubali, mradi tu kupewa m, n na a, usemi huo una maana.
Ni rahisi kuangalia kuwa kwa sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili ni halali (hii ilifanyika katika sifa za sehemu ya digrii iliyo na kipeo busara).
Hoja iliyo hapo juu inaturuhusu kufanya yafuatayo hitimisho: ikipewa m, n na usemi unaeleweka, basi nguvu ya a yenye kipeo mgawanyiko m/n inaitwa mzizi wa nth wa a hadi nguvu ya m.
Kauli hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa shahada yenye kipeo cha sehemu. Kinachobaki ni kuelezea kile m, n na usemi unaleta maana. Kulingana na vikwazo vilivyowekwa kwenye m, n na a, kuna mbinu mbili kuu.
Njia rahisi ni kuweka kizuizi kwa a kwa kuchukua a≥0 kwa m chanya na a>0 kwa m hasi (kwani kwa m≤0 digrii 0 ya m haijafafanuliwa). Kisha tunapata ufafanuzi ufuatao digrii zenye kipeo cha sehemu.
Ufafanuzi.
Shahada nambari chanya a yenye kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia, inaitwa mzizi wa nth wa nambari a hadi nguvu ya m, yaani, .
Nguvu ya sehemu ya sifuri pia imedhamiriwa na pango pekee kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.
Ufafanuzi.
Nguvu ya sifuri na sehemu kiashiria chanya m/n, ambapo m ni nambari chanya na n ni nambari asilia, inafafanuliwa kama 
.
Wakati digrii haijaamuliwa, yaani, kiwango cha nambari sifuri na kipeo cha sehemu hasi haileti maana.
Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi huu wa shahada yenye kielelezo cha sehemu, kuna tahadhari moja: kwa baadhi hasi a na baadhi ya m na n, usemi huo una maana, na tulitupilia mbali kesi hizi kwa kuanzisha hali a≥0. Kwa mfano, maingizo yana maana 
au , na ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatulazimisha kusema kwamba mamlaka yenye kipeo cha sehemu ya fomu 
usiwe na maana, kwani msingi haupaswi kuwa mbaya.
Njia nyingine ya kuamua digrii na kipeo cha sehemu m/n ni kuzingatia kando vielelezo hata na visivyo vya kawaida vya mzizi. Mbinu hii inahitaji hali ya ziada: nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni, inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari a, kielelezo chake ambacho kinalingana. sehemu isiyoweza kupunguzwa(Umuhimu wa hali hii utaelezwa hapa chini). Hiyo ni, ikiwa m/n ni sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi kwa nambari yoyote ya asili k shahada inabadilishwa kwanza na .
Kwa hata n na chanya m, usemi huo una mantiki kwa yoyote isiyo hasi a (hata mzizi wa nambari hasi haina maana), kwa hasi m nambari lazima bado iwe tofauti na sifuri (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko kwa sifuri). Na kwa n isiyo ya kawaida na m chanya, nambari a inaweza kuwa yoyote (mzizi wa digrii isiyo ya kawaida hufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa m hasi, nambari a lazima iwe tofauti na sifuri (ili kusiwe na mgawanyiko na sufuri).
Hoja iliyo hapo juu inatuelekeza kwenye ufafanuzi huu wa digrii yenye kipeo cha sehemu.
Ufafanuzi.
Acha m/n iwe sehemu isiyoweza kupunguzwa, m nambari kamili, na n nambari asilia. Kwa sehemu yoyote inayoweza kupunguzwa, digrii inabadilishwa na . Nguvu ya nambari iliyo na kipeo cha sehemu isiyoweza kupunguzwa m/n ni ya
Hebu tueleze ni kwa nini shahada iliyo na kipeo cha sehemu inayoweza kupunguzwa inabadilishwa kwanza na digrii na kipeo kikuu kisichoweza kupunguzwa. Ikiwa tungefafanua tu digrii kama , na hatukufanya uhifadhi juu ya kutoweza kubadilika kwa sehemu m/n, basi tungekabiliwa na hali sawa na zifuatazo: kwani 6/10 = 3/5, basi usawa lazima ushikilie. 
,Lakini 
, A.
Fomula za digrii kutumika katika mchakato wa kupunguza na kurahisisha semi tata, katika kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa.
Nambari c ni n- nguvu ya nambari a Lini:
Operesheni na digrii.
1. Nguvu za kuzidisha za c msingi huo huo viashiria vyao vinajumlisha:
m·a n = a m + n .
2. Wakati wa kugawanya digrii kwa msingi sawa, vielelezo vyao vinatolewa:
3. Nguvu ya bidhaa ya 2 au zaidi mambo ni sawa na bidhaa ya nguvu ya mambo haya:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Kiwango cha sehemu ni sawa na uwiano wa digrii za mgao na mgawanyiko:
(a/b) n = a n /b n.
5. Kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:
(a m) n = a m n .
Kila fomula hapo juu ni kweli katika mwelekeo kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.
Kwa mfano. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operesheni na mizizi.
1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:
2. Mzizi wa mtazamo sawa na uwiano mgawanyiko na mgawanyiko wa mizizi:
3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua nambari kali kwa nguvu hii:
4. Ikiwa unaongeza kiwango cha mizizi ndani n mara moja na wakati huo huo kujenga ndani n th power ni nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:
5. Ikiwa unapunguza kiwango cha mizizi ndani n toa mzizi kwa wakati mmoja n-th nguvu ya nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:
Shahada yenye kipeo hasi. Nguvu ya nambari fulani iliyo na kipeo kisicho chanya (jumla) inafafanuliwa kama ile iliyogawanywa kwa nguvu ya nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili kiashirio kisicho chanya:
Mfumo m:a n =a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m> n, lakini pia na m< n.
Kwa mfano. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Kwa formula m:a n =a m - n ikawa haki wakati m=n, uwepo wa shahada ya sifuri inahitajika.
Shahada yenye faharasa ya sifuri. Nguvu ya nambari yoyote, sio sawa na sifuri, yenye kipeo sifuri ni sawa na moja.
Kwa mfano. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Shahada yenye kipeo cha sehemu. Ili kuongeza idadi halisi A kwa kiwango m/n, unahitaji kuchimba mzizi n shahada ya m- Nguvu ya nambari hii A.
Moja ya sifa kuu katika aljebra, na katika hisabati yote, ni shahada. Bila shaka, katika karne ya 21, mahesabu yote yanaweza kufanywa kwenye calculator online, lakini ni bora kwa maendeleo ya ubongo kujifunza jinsi ya kufanya hivyo mwenyewe.
Katika makala hii tutaangalia zaidi maswali muhimu kuhusiana na ufafanuzi huu. Yaani, hebu tuelewe ni nini kwa ujumla na ni nini kazi zake kuu, ni mali gani katika hisabati.
Wacha tuangalie mifano ya jinsi hesabu inavyoonekana na kanuni za msingi ni nini. Wacha tuangalie aina kuu za idadi na jinsi zinavyotofautiana na kazi zingine.
Hebu tuelewe jinsi ya kutatua kwa kutumia wingi huu kazi mbalimbali. Tutaonyesha kwa mifano jinsi ya kuongeza nguvu ya sifuri, isiyo na maana, hasi, nk.
Kikokotoo cha upanuzi mtandaoni
Nguvu ya nambari ni nini
Ni nini kinachomaanishwa na usemi “kupandisha nambari kwa nguvu”?
Nguvu n ya nambari ni zao la vipengele vya ukubwa wa mara n mfululizo.
Kihesabu inaonekana kama hii:
a n = a * a * a * …a n .
Kwa mfano:
- 2 3 = 2 katika shahada ya tatu. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 kwa hatua. mbili = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 kwa hatua. nne = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 katika hatua 5. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 = 10 katika hatua 4. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Chini ni meza ya mraba na cubes kutoka 1 hadi 10.
Jedwali la digrii kutoka 1 hadi 10
Chini ni matokeo ya kuongeza nambari za asili kwa nguvu chanya - "kutoka 1 hadi 100".
| Ch-lo | 2 st. | Hatua ya 3 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Tabia za digrii
Ni nini tabia kama hiyo kazi ya hisabati? Hebu tuangalie mali za msingi.
Wanasayansi wameanzisha yafuatayo ishara tabia ya digrii zote:
- a n * a m = (a) (n+m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Wacha tuangalie na mifano:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kwa upande mwingine, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Vile vile: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Vinginevyo 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Je, ikiwa ni tofauti? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kama unaweza kuona, sheria zinafanya kazi.
Lakini vipi kwa kuongeza na kutoa? Ni rahisi. Ufafanuzi unafanywa kwanza, na kisha kuongeza na kutoa.
Hebu tuangalie mifano:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Tafadhali kumbuka: sheria haitashikilia ikiwa utaondoa kwanza: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.
Lakini katika kesi hii, unahitaji kuhesabu nyongeza kwanza, kwa kuwa kuna vitendo katika mabano: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Jinsi ya kuzalisha mahesabu zaidi kesi ngumu ? Utaratibu ni sawa:
- ikiwa kuna mabano, unahitaji kuanza nao;
- kisha ufafanuzi;
- kisha fanya shughuli za kuzidisha na kugawanya;
- baada ya kuongeza, kutoa.
Kula mali maalum, sio kawaida kwa digrii zote:
- Mzizi wa nth wa nambari a hadi digrii m utaandikwa kama: a m / n.
- Wakati wa kuongeza sehemu kwa nguvu: nambari zote mbili na denominator yake ziko chini ya utaratibu huu.
- Wakati wa kujenga kazi nambari tofauti kwa nguvu, usemi utalingana na bidhaa ya nambari hizi kwa nguvu uliyopewa. Yaani: (a * b) n = a n * b n .
- Wakati wa kuinua nambari kwa nguvu hasi, unahitaji kugawanya 1 kwa nambari katika karne hiyo hiyo, lakini kwa ishara "+".
- Ikiwa denominator ya sehemu ni kwa nguvu hasi, basi usemi huu utakuwa sawa na bidhaa ya nambari na denominator kwa nguvu nzuri.
- Nambari yoyote kwa nguvu 0 = 1, na kwa nguvu. 1 = kwako mwenyewe.
Sheria hizi ni muhimu katika baadhi ya matukio, tutazingatia kwa undani zaidi hapa chini.
Shahada yenye kipeo hasi
Nini cha kufanya wakati minus shahada, yaani wakati kiashiria ni hasi?
Kulingana na mali 4 na 5(tazama nukta hapo juu), inageuka:
A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
Na kinyume chake:
1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
Nini ikiwa ni sehemu?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Shahada yenye kiashiria cha asili
Inaeleweka kama digrii yenye vielezio sawa na nambari kamili.
Mambo ya kukumbuka:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... nk.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...nk.
Kwa kuongeza, ikiwa (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... basi matokeo yatakuwa na ishara "+". Ikiwa nambari hasi imeinuliwa kwa nguvu isiyo ya kawaida, basi kinyume chake.
Tabia za jumla na ndivyo hivyo ishara maalum, iliyoelezwa hapo juu, pia ni tabia yao.
Shahada ya sehemu
Aina hii inaweza kuandikwa kama mpango: A m / n. Soma kama: mzizi wa nth wa nambari A hadi nguvu m.
Unaweza kufanya chochote unachotaka na kiashiria cha sehemu: punguza, ugawanye katika sehemu, uinue kwa nguvu nyingine, nk.
Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki
Acha α iwe nambari isiyo na mantiki na A ˃ 0.
Ili kuelewa kiini cha digrii na kiashiria kama hicho, Wacha tuangalie kesi tofauti zinazowezekana:
- A = 1. Matokeo yatakuwa sawa na 1. Kwa kuwa kuna axiom - 1 katika nguvu zote ni sawa na moja;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - nambari za busara;
- 0˂А˂1.
Katika kesi hii, ni kinyume chake: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 chini ya hali sawa na katika aya ya pili.
Kwa mfano, kipeo ni nambari π. Ni mantiki.
r 1 - katika kesi hii ni sawa na 3;
r 2 - itakuwa sawa na 4.
Kisha, kwa A = 1, 1 π = 1.
A = 2, kisha 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, kisha (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Digrii kama hizo zina sifa ya kila mtu shughuli za hisabati na sifa maalum zilizoelezwa hapo juu.
Hitimisho
Hebu tufanye muhtasari - ni kiasi gani kinachohitajika, ni faida gani za kazi hizo? Kwa kweli, kwanza kabisa, hurahisisha maisha ya wanahisabati na waandaaji wa programu wakati wa kutatua mifano, kwani wanawaruhusu kupunguza mahesabu, kufupisha algorithms, kuratibu data, na mengi zaidi.
Maarifa haya yanaweza kuwa na manufaa wapi pengine? Katika utaalam wowote wa kufanya kazi: dawa, pharmacology, daktari wa meno, ujenzi, teknolojia, uhandisi, muundo, nk.
Ujenzi katika shahada hasi- moja ya mambo ya msingi ya hisabati, ambayo mara nyingi hukutana wakati wa kutatua matatizo ya algebraic. Chini ni maagizo ya kina.
Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nadharia
Tunapoinua nambari kwa nguvu ya kawaida, tunazidisha thamani yake mara kadhaa. Kwa mfano, 3 3 = 3×3×3 = 27. C sehemu hasi ni kinyume chake. Fomu ya jumla kulingana na formula itakuwa nayo mtazamo unaofuata: a -n = 1/a n. Kwa hivyo, ili kuongeza nambari kwa nguvu hasi, unahitaji kugawanya moja kwa moja nambari iliyopewa, lakini kwa kiwango chanya.
Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - mifano kwenye nambari za kawaida
Kuzingatia sheria hapo juu, wacha tutatue mifano michache.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jibu: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jibu -4 -2 = 1/16.
Lakini kwa nini majibu katika mfano wa kwanza na wa pili yanafanana? Ukweli ni kwamba wakati nambari hasi inapoinuliwa kwa nguvu sawa (2, 4, 6, nk), ishara inakuwa chanya. Ikiwa digrii ingekuwa sawa, basi minus ingebaki:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Jinsi ya kuongeza nambari kutoka 0 hadi 1 hadi nguvu hasi
Kumbuka kwamba wakati wa kuongeza nambari katika safu kutoka 0 hadi 1 in shahada chanya, thamani hupungua kadri digrii inavyoongezeka. Kwa hivyo kwa mfano, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Mfano 3: Hesabu 0.5 -2
Suluhisho: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jibu: 0.5 -2 = 4
Uchambuzi (mlolongo wa vitendo):
- Tunatafsiri Nukta 0.5 hadi sehemu 1/2. Ni rahisi kwa njia hiyo.
Inua 1/2 kwa nguvu hasi. 1/(2) -2 . Gawanya 1 kwa 1/(2) 2, tunapata 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Mfano 4: Hesabu 0.5 -3
Suluhisho: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Mfano 5: Hesabu -0.5 -3
Suluhisho: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jibu: -0.5 -3 = -8
Kulingana na mfano wa 4 na wa 5, tunaweza kupata hitimisho kadhaa:
- Kwa nambari chanya katika safu kutoka 0 hadi 1 (mfano 4), iliyoinuliwa hadi nguvu hasi, ikiwa nguvu ni sawa au isiyo ya kawaida sio muhimu, thamani ya usemi itakuwa chanya. Wakati huo huo, kuliko shahada zaidi, thamani kubwa zaidi.
- Kwa nambari hasi katika safu kutoka 0 hadi 1 (mfano 5), iliyoinuliwa hadi nguvu hasi, ikiwa nguvu ni sawa au isiyo ya kawaida sio muhimu, thamani ya usemi itakuwa hasi. Katika kesi hii, kiwango cha juu, thamani ya chini.
Jinsi ya kuinua kwa nguvu hasi - nguvu katika mfumo wa nambari ya sehemu
Maneno wa aina hii kuwa na fomu ifuatayo: a -m/n, ambapo a- nambari ya kawaida, m ni nambari ya shahada, n ni denominator ya shahada.
Hebu tuangalie mfano:
Hesabu: 8 -1/3
Suluhisho (mlolongo wa vitendo):
- Wacha tukumbuke sheria ya kuongeza nambari hadi nguvu hasi. Tunapata: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Ona kwamba dhehebu ina nambari 8 katika nguvu ya sehemu. Njia ya jumla ya kuhesabu nguvu ya sehemu ni kama ifuatavyo: m/n = n √8 m.
- Hivyo, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Tunapata mizizi ya mchemraba kati ya nane, ambayo ni sawa na 2. Kutoka hapa, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Jibu: 8 -1/3 = 2
