Nadharia. Hebu kazi x=φ(t) kuendelea kwa hatua a, na kazi y=f(x) kuendelea kwa hatua b=φ(a). Kisha kazi ngumu y=f[φ(t)]=F(t) kuendelea kwa hatua a.

Hebu x=φ(t) Na y=f(x)- kazi rahisi zaidi za msingi, na maadili mengi (x) kazi x=φ(t) ni upeo wa kazi y=f(x). Kama tunavyojua, utendakazi wa kimsingi ni endelevu katika kila sehemu ya kikoa kilichotolewa. Kwa hiyo, kwa mujibu wa nadharia ya awali, kazi ngumu y=f(φ(t)), yaani, nafasi ya juu ya kazi mbili za msingi, ni ya kuendelea. Kwa mfano, kipengele cha kukokotoa kinaendelea wakati wowote x ≠ 0, kama kazi changamano ya vitendaji viwili vya msingi x=t -1 Na y = dhambi x. Pia kazi y=n dhambi x kuendelea katika hatua yoyote katika vipindi (kπ 2,(2k+1)π), k ∈ Z (dhambi x>0).

Ufafanuzi. Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika sehemu ya x0 na baadhi ya ujirani wake. Chaguo y = f (x) inaitwa kuendelea kwa uhakika x0, Kama:

1. ipo
2. kikomo hiki ni sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa katika nukta x0:

Wakati wa kufafanua kikomo, ilisisitizwa kuwa f(x) inaweza isifafanuliwe katika hatua x0, na ikiwa imefafanuliwa katika hatua hii, basi thamani ya f(x0) haishiriki kwa njia yoyote katika kuamua kikomo. Wakati wa kubainisha mwendelezo, ni muhimu kwamba f(x0) ipo, na thamani hii lazima iwe sawa na lim f(x).

Ufafanuzi. Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika sehemu ya x0 na baadhi ya ujirani wake. Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea katika nukta x0 ikiwa kwa zote ε>0 kuna nambari chanya δ hivi kwamba kwa zote x katika δ-kitongoji cha nukta x0 (yaani |x-x0|
Hapa inazingatiwa kuwa thamani ya kikomo lazima iwe sawa na f (x0), kwa hiyo, kwa kulinganisha na ufafanuzi wa kikomo, hali ya kuchomwa kwa δ-jirani 0 imeondolewa.
Wacha tutoe ufafanuzi mmoja zaidi (sawa na uliopita) kwa suala la nyongeza. Wacha tuonyeshe Δх = x - x0 tutaita thamani hii nyongeza ya hoja. Tangu x->x0, kisha Δx->0, yaani Δx - b.m. (infinitesimal) wingi. Hebu tuashiria Δу = f(x)-f(x0), tutaita thamani hii nyongeza ya chaguo la kukokotoa, kwani |Δу| inapaswa kuwa (kwa udogo wa kutosha |Δх|) chini ya nambari ya kiholela ε>0, kisha Δу- pia ni b.m. thamani, kwa hiyo

Ufafanuzi. Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika sehemu ya x0 na baadhi ya ujirani wake. Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kwa uhakika x0, ikiwa nyongeza isiyo na kikomo katika hoja inalingana na nyongeza isiyo na kikomo katika chaguo za kukokotoa.

Ufafanuzi. Chaguo la kukokotoa f(x), ambalo haliendelei kwa uhakika x0, inayoitwa kutoendelea katika hatua hii.

Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kwenye seti ya X ikiwa ni endelevu katika kila nukta ya seti hii.

Nadharia juu ya mwendelezo wa jumla, bidhaa, mgawo

Nadharia juu ya kifungu hadi kikomo chini ya ishara ya kazi inayoendelea

Nadharia juu ya mwendelezo wa usimamiaji wa kazi zinazoendelea

Acha kazi f(x) ifafanuliwe kwa muda na iwe monotonic kwenye muda huu. Kisha f(x) inaweza kuwa na alama za kutoendelea tu za aina ya kwanza kwenye sehemu hii.

Nadharia ya thamani ya kati. Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) linaendelea kwenye sehemu na kwa nukta mbili a na b (a ni chini ya b) inachukua maadili yasiyolingana A = f(a) ≠ B = f(b), basi kwa nambari yoyote C. iko kati ya A na B, kuna uhakika c ∈ ambapo thamani ya chaguo la kukokotoa ni sawa na C: f(c) = C.

Nadharia juu ya mipaka ya chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwa muda. Ikiwa kitendakazi f(x) kinaendelea kwa muda, basi kimefungwa kwa muda huu.

Nadharia ya kufikia viwango vya chini na vya juu zaidi. Ikiwa kazi ya f(x) inaendelea kwa muda, basi inafikia mipaka yake ya chini na ya juu kwenye muda huu.

Nadharia juu ya mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume. Acha chaguo za kukokotoa y=f(x) ziwe endelevu na ziongezeke (kupungua) kwa muda [a,b]. Halafu kwenye sehemu kuna kitendakazi kinyume cha x = g(y), pia kinaongezeka kwa hali ya juu (kinapungua) na kuendelea.

Mwendelezo wa utendakazi. Pointi za kuvunja.

Fahali anatembea, anayumba, anapumua anapoenda:
- Ah, bodi inaisha, sasa nitaanguka!

Katika somo hili tutachunguza dhana ya mwendelezo wa kazi, uainishaji wa pointi za kuacha na tatizo la kawaida la vitendo. masomo ya mwendelezo wa kazi. Kutoka kwa jina la mada, wengi kwa intuitively nadhani nini kitajadiliwa na kufikiria kuwa nyenzo ni rahisi sana. Hii ni kweli. Lakini ni kazi rahisi ambazo mara nyingi huadhibiwa kwa kupuuza na njia ya juu juu ya kuzitatua. Kwa hivyo, ninapendekeza usome kifungu hicho kwa uangalifu sana na upate hila na mbinu zote.

Unahitaji kujua nini na kuweza kufanya? Sio sana. Ili kujifunza somo vizuri, unahitaji kuelewa ni nini kikomo cha chaguo la kukokotoa. Kwa wasomaji wenye kiwango cha chini cha maandalizi, inatosha kuelewa makala Vikomo vya kazi. Mifano ya ufumbuzi na uangalie maana ya kijiometri ya kikomo katika mwongozo Grafu na mali ya kazi za msingi. Inashauriwa pia kujitambulisha mabadiliko ya kijiometri ya grafu, kwa kuwa mazoezi katika hali nyingi huhusisha kujenga kuchora. Matarajio ni matumaini kwa kila mtu, na hata kettle kamili itaweza kukabiliana na kazi hiyo peke yake katika saa moja au mbili ijayo!

Mwendelezo wa utendakazi. Breakpoints na uainishaji wao

Dhana ya mwendelezo wa utendakazi

Wacha tuchunguze utendaji fulani ambao unaendelea kwenye safu nzima ya nambari:

Au, ili kuiweka kwa ufupi zaidi, kazi yetu inaendelea (seti ya nambari halisi).

Je, kigezo cha “mfilisti” cha mwendelezo ni kipi? Kwa wazi, grafu ya kazi inayoendelea inaweza kuchorwa bila kuinua penseli kutoka kwenye karatasi.

Katika kesi hii, dhana mbili rahisi zinapaswa kutofautishwa wazi: kikoa cha chaguo la kukokotoa Na mwendelezo wa utendakazi. Kwa ujumla si kitu kimoja. Kwa mfano:

Kazi hii inafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, yaani, kwa kila mtu Maana ya "x" ina maana yake ya "y". Hasa, ikiwa, basi. Kumbuka kwamba nukta nyingine imeakibishwa, kwa sababu kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa, thamani ya hoja lazima ilingane na kitu pekee thamani ya kazi. Hivyo, kikoa kazi yetu:.

Hata hivyo kipengele hiki hakiendelei! Ni dhahiri kabisa kwamba wakati huo anateseka pengo. Neno hili pia linaeleweka na linaonekana kabisa, hapa penseli italazimika kung'olewa kwenye karatasi. Baadaye kidogo tutaangalia uainishaji wa vituo vya kuvunja.

Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa katika hatua na kwa muda

Katika tatizo fulani la hisabati, tunaweza kuzungumza juu ya mwendelezo wa chaguo la kukokotoa katika hatua fulani, mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kwa muda, muda wa nusu, au mwendelezo wa kipengele cha kukokotoa kwenye sehemu. Hiyo ni, hakuna "mwendelezo tu"- kazi inaweza kuendelea MAHALI. Na "kizuizi cha ujenzi" cha msingi cha kila kitu kingine ni mwendelezo wa utendakazi kwa uhakika .

Nadharia ya uchambuzi wa hisabati inatoa ufafanuzi wa kuendelea kwa kazi kwa hatua kwa kutumia vitongoji vya "delta" na "epsilon", lakini katika mazoezi kuna ufafanuzi tofauti katika matumizi, ambayo tutazingatia kwa makini.

Kwanza tukumbuke mipaka ya upande mmoja ambao waliingia katika maisha yetu katika somo la kwanza kuhusu grafu za kazi. Fikiria hali ya kila siku:

Ikiwa tunakaribia mhimili kwa uhakika kushoto(mshale mwekundu), basi maadili yanayolingana ya "michezo" yataenda kwenye mhimili hadi kwa uhakika (mshale mwekundu). Kihisabati, ukweli huu umewekwa kwa kutumia kikomo cha mkono wa kushoto:

Zingatia ingizo (linasomeka "x huwa na ka upande wa kushoto"). "Ziada" "minus zero" inaashiria , kimsingi hii ina maana kwamba tunakaribia nambari kutoka upande wa kushoto.

Vile vile, ikiwa unakaribia hatua "ka" kulia(mshale wa bluu), basi "michezo" itakuja kwa thamani sawa, lakini pamoja na mshale wa kijani, na kikomo cha mkono wa kulia itaundwa kama ifuatavyo:

"Ziada" inaashiria , na ingizo linasema: "x huwa na ka upande wa kulia."

Ikiwa mipaka ya upande mmoja ni ya mwisho na sawa(kama ilivyo kwetu): , basi tutasema kwamba kuna kikomo cha JUMLA. Ni rahisi, kikomo cha jumla ni "kawaida" yetu. kikomo cha chaguo la kukokotoa, sawa na nambari yenye kikomo.

Kumbuka kwamba ikiwa chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa kwa (chomoa kitone cheusi kwenye tawi la grafu), basi hesabu zilizo hapo juu zinasalia kuwa halali. Kama ilivyoonyeshwa mara kadhaa, haswa katika kifungu hicho juu ya utendaji usio na ukomo, maneno yanamaanisha kuwa "x" karibu sana inakaribia hatua, wakati HAIJALISHI, ikiwa kitendakazi chenyewe kimefafanuliwa katika sehemu fulani au la. Mfano mzuri utapatikana katika aya inayofuata, kazi inapochambuliwa.

Ufafanuzi: chaguo la kukokotoa ni endelevu katika hatua fulani ikiwa kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua fulani ni sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua hiyo: .

Ufafanuzi umeelezewa kwa kina katika maneno yafuatayo:

1) Kazi lazima ifafanuliwe kwa uhakika, yaani, thamani lazima iwepo.

2) Lazima kuwe na kikomo cha jumla cha chaguo la kukokotoa. Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, hii inamaanisha uwepo na usawa wa mipaka ya upande mmoja: .

3) Kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua fulani lazima iwe sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii: .

Ikiwa imekiukwa hata moja ya hali tatu, basi kazi inapoteza mali ya kuendelea katika hatua.

Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kwa muda imeundwa kwa ustadi na kwa urahisi sana: chaguo za kukokotoa ni endelevu kwa muda ikiwa ni endelevu katika kila hatua ya muda uliotolewa.

Hasa, kazi nyingi zinaendelea kwa muda usio na kipimo, yaani, kwenye seti ya nambari halisi. Hii ni kazi ya mstari, polynomials, kielelezo, sine, cosine, nk. Na kwa ujumla, yoyote kazi ya msingi kuendelea juu yake uwanja wa ufafanuzi, kwa mfano, kitendakazi cha logarithmic kinaendelea kwa muda. Tunatumahi kufikia sasa una wazo zuri la jinsi grafu za utendaji wa kimsingi zinavyoonekana. Maelezo zaidi juu ya kuendelea kwao yanaweza kupatikana kutoka kwa mtu mkarimu anayeitwa Fichtenholtz.

Kwa mwendelezo wa kazi kwenye sehemu na vipindi vya nusu, kila kitu pia sio ngumu, lakini inafaa zaidi kuzungumza juu ya hili darasani. kuhusu kupata maadili ya chini na ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu, lakini kwa sasa tusijali kuhusu hilo.

Uainishaji wa pointi za mapumziko

Maisha ya kuvutia ya kazi ni matajiri katika kila aina ya pointi maalum, na pointi za mapumziko ni moja tu ya kurasa za wasifu wao.

Kumbuka : ikiwa tu, nitakaa juu ya jambo la msingi: hatua ya kuvunja ni daima pointi moja- hakuna "pointi kadhaa za mapumziko mfululizo", yaani, hakuna kitu kama "muda wa mapumziko".

Pointi hizi, kwa upande wake, zimegawanywa katika vikundi viwili vikubwa: mipasuko ya aina ya kwanza Na mipasuko ya aina ya pili. Kila aina ya pengo ina sifa zake za tabia, ambazo tutaangalia hivi sasa:

Hatua ya kutoendelea ya aina ya kwanza

Ikiwa hali ya kuendelea inakiukwa kwa uhakika na mipaka ya upande mmoja yenye mwisho , basi inaitwa hatua ya kutoendelea ya aina ya kwanza.

Wacha tuanze na kesi yenye matumaini zaidi. Kulingana na wazo la asili la somo, nilitaka kusema nadharia "kwa jumla," lakini ili kuonyesha ukweli wa nyenzo hiyo, nilitatua chaguo na wahusika maalum.

Inasikitisha, kama picha ya waliooa hivi karibuni dhidi ya mandhari ya Moto wa Milele, lakini picha ifuatayo inakubaliwa kwa ujumla. Wacha tuonyeshe grafu ya kazi kwenye mchoro:


Kazi hii inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari, isipokuwa kwa uhakika. Na kwa kweli, denominator haiwezi kuwa sawa na sifuri. Hata hivyo, kwa mujibu wa maana ya kikomo, tunaweza karibu sana karibia "sifuri" kutoka kushoto na kulia, ambayo ni, mipaka ya upande mmoja iko na, kwa kweli, sanjari:
(Sharti Na. 2 ya mwendelezo imeridhika).

Lakini kazi haijafafanuliwa kwa uhakika, kwa hiyo, Hali ya 1 ya kuendelea inakiuka, na kazi inakabiliwa na kutokuwepo kwa hatua hii.

Mapumziko ya aina hii (na zilizopo kikomo cha jumla) zinaitwa pengo linaloweza kurekebishwa. Kwa nini inaweza kuondolewa? Kwa sababu kazi inaweza fafanua upya katika hatua ya kuvunja:

Je, inaonekana ajabu? Labda. Lakini nukuu kama hiyo ya utendaji haipingani na chochote! Sasa pengo limefungwa na kila mtu anafurahi:


Wacha tufanye ukaguzi rasmi:

2) - kuna kikomo cha jumla;
3)

Kwa hivyo, hali zote tatu zimeridhika, na kazi inaendelea kwa uhakika kwa ufafanuzi wa kuendelea kwa kazi katika hatua.

Hata hivyo, wachukia wa matan wanaweza kufafanua kazi kwa njia mbaya, kwa mfano :


Inafurahisha kwamba hali mbili za kwanza za mwendelezo zimeridhika hapa:
1) - kazi imefafanuliwa kwa hatua fulani;
2) - kuna kikomo cha jumla.

Lakini mpaka wa tatu haujapitishwa:, yaani, kikomo cha kazi kwa uhakika si sawa thamani ya chaguo la kukokotoa katika sehemu fulani.

Kwa hivyo, wakati fulani kazi inakabiliwa na kutoendelea.

Kesi ya pili, ya kusikitisha zaidi inaitwa kupasuka kwa aina ya kwanza kwa kuruka. Na huzuni inaibuliwa na mipaka ya upande mmoja kwamba kikomo na tofauti. Mfano unaonyeshwa katika mchoro wa pili wa somo. Pengo kama hilo kawaida hufanyika ndani vipengele vilivyofafanuliwa vipande vipande, ambayo tayari imetajwa katika makala hiyo kuhusu mabadiliko ya grafu.

Zingatia utendakazi wa vipande na tutakamilisha kuchora kwake. Jinsi ya kutengeneza grafu? Rahisi sana. Kwa muda wa nusu tunatoa kipande cha parabola (kijani), kwa muda - sehemu ya mstari wa moja kwa moja (nyekundu) na kwa muda wa nusu - mstari wa moja kwa moja (bluu).

Zaidi ya hayo, kwa sababu ya ukosefu wa usawa, thamani imedhamiriwa kwa kazi ya quadratic (doti ya kijani), na kwa sababu ya ukosefu wa usawa, thamani imedhamiriwa kwa kazi ya mstari (nukta ya bluu):

Katika hali ngumu zaidi, unapaswa kuamua ujenzi wa hatua kwa hatua wa kila kipande cha grafu (tazama ya kwanza. somo kuhusu grafu za utendaji).

Sasa tutavutiwa tu na uhakika. Wacha tuichunguze kwa mwendelezo:

2) Hebu tuhesabu mipaka ya upande mmoja.

Upande wa kushoto tuna sehemu ya mstari mwekundu, kwa hivyo kikomo cha upande wa kushoto ni:

Upande wa kulia ni mstari wa moja kwa moja wa bluu, na kikomo cha mkono wa kulia:

Matokeo yake, tulipokea nambari zenye kikomo, na wao si sawa. Tangu mipaka ya upande mmoja kikomo na tofauti: , basi kazi yetu inavumilia kutoendelea kwa aina ya kwanza kwa kuruka.

Ni sawa kwamba pengo haliwezi kuondolewa - kazi kweli haiwezi kufafanuliwa zaidi na "kuunganishwa pamoja", kama katika mfano uliopita.

Pointi za kutoendelea za aina ya pili

Kwa kawaida, visa vingine vyote vya mpasuko vimeainishwa kwa ustadi katika kategoria hii. Sitaorodhesha kila kitu, kwa sababu katika mazoezi, katika 99% ya matatizo utakayokutana nayo pengo lisilo na mwisho- wakati mkono wa kushoto au wa kulia, na mara nyingi zaidi, mipaka yote miwili haina mwisho.

Na, bila shaka, picha iliyo wazi zaidi ni hyperbola katika hatua ya sifuri. Hapa mipaka yote ya upande mmoja haina kikomo: , kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa aina ya pili kwa uhakika.

Ninajaribu kujaza nakala zangu na yaliyomo anuwai iwezekanavyo, kwa hivyo wacha tuangalie grafu ya chaguo la kukokotoa ambalo bado halijapatikana:

kulingana na mpango wa kawaida:

1) Chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa katika hatua hii kwa sababu kiashiria huenda hadi sifuri.

Bila shaka, tunaweza kuhitimisha mara moja kwamba kazi inakabiliwa na kutokuwepo kwa uhakika, lakini itakuwa nzuri kuainisha asili ya kutokuwepo, ambayo mara nyingi inahitajika na hali hiyo. Kwa hii; kwa hili:

Nikukumbushe kwamba kwa kurekodi tunamaanisha nambari hasi isiyo na kikomo, na chini ya kiingilio - nambari chanya isiyo na kikomo.

Vikomo vya upande mmoja havina kikomo, ambayo ina maana kwamba chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa aina ya 2 kwa uhakika. Mhimili wa y ni asymptote ya wima kwa grafu.

Sio kawaida kwa mipaka yote ya upande mmoja kuwepo, lakini ni moja tu ambayo haina mwisho, kwa mfano:

Hii ni grafu ya chaguo la kukokotoa.

Tunachunguza hatua kwa mwendelezo:

1) Chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa katika hatua hii.

2) Wacha tuhesabu mipaka ya upande mmoja:

Tutazungumza juu ya njia ya kuhesabu mipaka ya upande mmoja katika mifano miwili ya mwisho ya hotuba, ingawa wasomaji wengi tayari wameona na kukisia kila kitu.

Kikomo cha mkono wa kushoto ni kikomo na ni sawa na sifuri ("hatuendi kwa uhakika yenyewe"), lakini kikomo cha mkono wa kulia hakina kikomo na tawi la machungwa la grafu linakaribia sana asymptote ya wima, iliyotolewa na mlinganyo (mstari wa nukta nyeusi).

Kwa hivyo kazi inateseka aina ya pili ya kutoendelea kwa uhakika.

Kuhusu kutoendelea kwa aina ya 1, chaguo la kukokotoa linaweza kufafanuliwa katika sehemu ya kutoendelea yenyewe. Kwa mfano, kwa kazi ya kipande Jisikie huru kuweka nukta nyeusi iliyokoza kwenye asili ya viwianishi. Upande wa kulia ni tawi la hyperbola, na kikomo cha mkono wa kulia ni usio. Nadhani karibu kila mtu ana wazo la jinsi grafu hii inaonekana.

Ambayo kila mtu alikuwa akitarajia:

Jinsi ya kuchunguza kazi kwa mwendelezo?

Utafiti wa kazi ya mwendelezo katika hatua unafanywa kulingana na mpango wa kawaida ulioanzishwa, ambao unajumuisha kuangalia hali tatu za mwendelezo:

Mfano 1

Chunguza chaguo za kukokotoa

Suluhisho:

1) Sehemu pekee ndani ya wigo ni mahali ambapo kazi haijafafanuliwa.

2) Wacha tuhesabu mipaka ya upande mmoja:

Mipaka ya upande mmoja ni ya mwisho na sawa.

Kwa hivyo, katika hatua ya kazi inakabiliwa na kutoendelea kuondolewa.

Je! Grafu ya chaguo hili la kukokotoa inaonekanaje?

Ningependa kurahisisha , na inaonekana kama parabola ya kawaida inapatikana. LAKINI kazi asilia haijafafanuliwa kwa uhakika, kwa hivyo kifungu kifuatacho kinahitajika:

Wacha tufanye mchoro:

Jibu: chaguo la kukokotoa ni endelevu kwenye mstari mzima wa nambari isipokuwa mahali ambapo kuna hali ya kutoendelea kutolewa.

Kazi inaweza kufafanuliwa zaidi kwa njia nzuri au sio nzuri, lakini kulingana na hali hii haihitajiki.

Unasema huu ni mfano wa mbali? Hapana kabisa. Hii imetokea mara kadhaa katika mazoezi. Takriban kazi zote za tovuti hutoka kwa kazi halisi ya kujitegemea na majaribio.

Wacha tuondoe moduli zetu tunazopenda:

Mfano 2

Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo. Amua asili ya kutoendelea kwa chaguo za kukokotoa, ikiwa zipo. Tekeleza mchoro.

Suluhisho: Kwa sababu fulani, wanafunzi wanaogopa na hawapendi utendakazi na moduli, ingawa hakuna chochote ngumu kuzihusu. Tayari tumegusia mambo kama haya kidogo kwenye somo. Mabadiliko ya kijiometri ya grafu. Kwa kuwa moduli sio hasi, inapanuliwa kama ifuatavyo: , ambapo “alfa” ni usemi fulani. Katika kesi hii, na kazi yetu inapaswa kuandikwa vipande vipande:

Lakini sehemu za vipande vyote viwili lazima zipunguzwe kwa . Kupunguza, kama katika mfano uliopita, hautafanyika bila matokeo. Chaguo za kukokotoa asilia hazijafafanuliwa kwa uhakika kwani kiashiria kinakwenda hadi sifuri. Kwa hivyo, mfumo unapaswa kutaja zaidi hali hiyo, na kufanya usawa wa kwanza kuwa mkali:

Sasa kuhusu mbinu MUHIMU SANA ya uamuzi: kabla ya kukamilisha kazi kwenye rasimu, ni faida kufanya kuchora (bila kujali ikiwa inahitajika na masharti au la). Hii itasaidia, kwanza, kuona mara moja pointi za kuendelea na pointi za kuacha, na, pili, itakulinda kwa 100% kutokana na makosa wakati wa kupata mipaka ya upande mmoja.

Hebu tufanye kuchora. Kwa mujibu wa mahesabu yetu, upande wa kushoto wa hatua ni muhimu kuteka kipande cha parabola (rangi ya bluu), na kulia - kipande cha parabola (rangi nyekundu), wakati kazi haijafafanuliwa. point yenyewe:

Ikiwa una shaka, chukua thamani chache za x na uzichome kwenye chaguo la kukokotoa (ukikumbuka kuwa moduli inaharibu ishara inayowezekana ya kuondoa) na angalia grafu.

Wacha tuchunguze kitendakazi kwa mwendelezo kwa uchanganuzi:

1) Kazi haijafafanuliwa kwa uhakika, kwa hivyo tunaweza kusema mara moja kuwa sio kuendelea nayo.

2) Wacha tuanzishe asili ya kutoendelea kufanya hivi, tunahesabu mipaka ya upande mmoja:

Vikomo vya upande mmoja vina ukomo na tofauti, ambayo inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa aina ya 1 kwa kuruka kwa uhakika. Kumbuka tena kwamba wakati wa kutafuta mipaka, haijalishi ikiwa kazi katika hatua ya mapumziko imefafanuliwa au la.

Sasa kilichobaki ni kuhamisha mchoro kutoka kwa rasimu (ilifanywa kana kwamba kwa msaada wa utafiti ;-)) na kukamilisha kazi:

Jibu: kipengele cha kukokotoa kinaendelea kwenye mstari mzima wa nambari isipokuwa pale ambapo kuna tatizo la kutoendelea kwa aina ya kwanza kwa kuruka.

Wakati mwingine zinahitaji dalili ya ziada ya kuruka kuacha. Imehesabiwa kwa urahisi - kutoka kwa kikomo cha kulia unahitaji kuondoa kikomo cha kushoto: , yaani, katika hatua ya mapumziko kazi yetu iliruka vitengo 2 chini (kama ishara ya minus inavyotuambia).

Mfano 3

Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo. Amua asili ya kutoendelea kwa chaguo za kukokotoa, ikiwa zipo. Fanya mchoro.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako, sampuli ya suluhisho mwishoni mwa somo.

Wacha tuendelee kwenye toleo maarufu na lililoenea la kazi, wakati kazi ina sehemu tatu:

Mfano 4

Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo na upange grafu ya chaguo za kukokotoa .

Suluhisho: ni dhahiri kwamba sehemu zote tatu za kazi zinaendelea kwenye vipindi vinavyofanana, hivyo inabakia kuangalia pointi mbili tu za "makutano" kati ya vipande. Kwanza, wacha tufanye mchoro wa rasimu; nilitoa maoni juu ya mbinu ya ujenzi kwa undani wa kutosha katika sehemu ya kwanza ya kifungu hicho. Jambo pekee ni kwamba tunahitaji kufuata kwa uangalifu vidokezo vyetu vya umoja: kwa sababu ya usawa, dhamana ni ya mstari wa moja kwa moja (doti ya kijani), na kwa sababu ya usawa, thamani ni ya parabola (doti nyekundu):


Kweli, kwa kanuni, kila kitu ni wazi =) Kinachobaki ni kurasimisha uamuzi. Kwa kila moja ya alama mbili za "kujiunga", tunaangalia kwa kawaida masharti 3 ya mwendelezo:

mimi) Tunachunguza hatua kwa mwendelezo

1)

Vikomo vya upande mmoja vina ukomo na tofauti, ambayo inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa aina ya 1 kwa kuruka kwa uhakika.

Wacha tuhesabu kuruka kwa kutoendelea kama tofauti kati ya kikomo cha kulia na kushoto:
, yaani, grafu ilitikisa kitengo kimoja.

II) Tunachunguza hatua kwa mwendelezo

1) - kazi imefafanuliwa katika hatua fulani.

2) Tafuta mipaka ya upande mmoja:

- mipaka ya upande mmoja ni ya mwisho na sawa, ambayo ina maana kuna kikomo cha jumla.

3) - kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na thamani ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua fulani.

Katika hatua ya mwisho, tunahamisha mchoro kwa toleo la mwisho, baada ya hapo tunaweka chord ya mwisho:

Jibu: kazi ni ya kuendelea kwenye mstari mzima wa nambari, isipokuwa kwa hatua ambayo inakabiliwa na kutoendelea kwa aina ya kwanza kwa kuruka.

Mfano 5

Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo na uunde grafu yake .

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea, suluhisho fupi na sampuli ya takriban ya shida mwishoni mwa somo.

Unaweza kupata maoni kwamba kwa wakati mmoja kazi lazima iendelee, na kwa mwingine lazima kuwe na kutoendelea. Katika mazoezi, hii sio wakati wote. Jaribu kutopuuza mifano iliyobaki - kutakuwa na sifa kadhaa za kupendeza na muhimu:

Mfano 6

Imepewa kazi . Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo katika pointi. Tengeneza grafu.

Suluhisho: na tena fanya mchoro mara moja kwenye rasimu:

Upekee wa grafu hii ni kwamba kazi ya kukokotoa inatolewa na mlinganyo wa mhimili wa abscissa. Hapa eneo hili limechorwa kwa kijani kibichi, lakini kwenye daftari kawaida huangaziwa kwa ujasiri na penseli rahisi. Na, bila shaka, usisahau kuhusu kondoo waume wetu: thamani ni ya tawi la tangent (dot nyekundu), na thamani ni ya mstari wa moja kwa moja.

Kila kitu ni wazi kutoka kwa mchoro - kazi inaendelea kwenye safu nzima ya nambari, kilichobaki ni kurasimisha suluhisho, ambalo huletwa kwa otomatiki kamili baada ya mifano 3-4 kama hiyo:

mimi) Tunachunguza hatua kwa mwendelezo

1) - kazi imefafanuliwa katika hatua fulani.

2) Wacha tuhesabu mipaka ya upande mmoja:

, ambayo ina maana kuna kikomo cha jumla.

Ikiwezekana, napenda kukukumbusha ukweli usio na maana: kikomo cha mara kwa mara ni sawa na mara kwa mara yenyewe. Katika kesi hii, kikomo cha sifuri ni sawa na sifuri yenyewe (kikomo cha mkono wa kushoto).

3) - kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na thamani ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua fulani.

Kwa hivyo, kipengele cha kukokotoa kinaendelea katika hatua kwa ufafanuzi wa mwendelezo wa chaguo la kukokotoa katika hatua moja.

II) Tunachunguza hatua kwa mwendelezo

1) - kazi imefafanuliwa katika hatua fulani.

2) Tafuta mipaka ya upande mmoja:

Na hapa - kikomo cha moja ni sawa na kitengo yenyewe.

- kuna kikomo cha jumla.

3) - kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na thamani ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua fulani.

Kwa hivyo, kipengele cha kukokotoa kinaendelea katika hatua kwa ufafanuzi wa mwendelezo wa chaguo la kukokotoa katika hatua moja.

Kama kawaida, baada ya utafiti tunahamisha mchoro wetu hadi toleo la mwisho.

Jibu: kazi ni endelevu katika pointi.

Tafadhali kumbuka kuwa katika hali ambayo hatukuulizwa chochote kuhusu kusoma kazi nzima kwa mwendelezo, na inachukuliwa kuwa fomu nzuri ya hisabati kuunda. sahihi na wazi jibu la swali lililoulizwa. Kwa njia, ikiwa hali hazihitaji kujenga grafu, basi una kila haki ya kuijenga (ingawa baadaye mwalimu anaweza kukulazimisha kufanya hivyo).

"Kisoto cha ulimi" kidogo cha kihesabu cha kusuluhisha mwenyewe:

Mfano 7

Imepewa kazi . Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo katika pointi. Panga sehemu za kuvunja, ikiwa zipo. Tekeleza mchoro.

Jaribu "kutamka" "maneno" yote kwa usahihi =) Na chora grafu kwa usahihi zaidi, kwa usahihi, haitakuwa ya kupita kiasi kila mahali;-)

Kama unavyokumbuka, nilipendekeza mara moja kukamilisha mchoro kama rasimu, lakini mara kwa mara unakutana na mifano ambayo huwezi kujua mara moja jinsi grafu inaonekana. Kwa hiyo, katika baadhi ya matukio, ni faida kwanza kupata mipaka ya upande mmoja na kisha tu, kulingana na utafiti, kuonyesha matawi. Katika mifano miwili ya mwisho tutajifunza pia mbinu ya kuhesabu baadhi ya mipaka ya upande mmoja:

Mfano 8

Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo na utengeneze grafu yake ya mpangilio.

Suluhisho: pointi mbaya ni dhahiri: (hupunguza denominator ya kielelezo hadi sifuri) na (hupunguza denominator ya sehemu nzima hadi sifuri). Haijulikani wazi jinsi grafu ya chaguo hili la kukokotoa inavyoonekana, ambayo inamaanisha ni bora kufanya utafiti kwanza.

Ufafanuzi
Kazi f (x) kuitwa kuendelea katika hatua x 0 ujirani wa hatua hii, na ikiwa kikomo kama x huelekea x 0 sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa katika x 0 :
.

Kwa kutumia ufafanuzi wa Cauchy na Heine wa kikomo cha chaguo za kukokotoa, tunaweza kutoa ufafanuzi uliopanuliwa wa mwendelezo wa chaguo za kukokotoa katika hatua moja .

Tunaweza kuunda dhana ya mwendelezo katika kwa upande wa nyongeza. Ili kufanya hivyo, tunaanzisha tofauti mpya, ambayo inaitwa ongezeko la kutofautiana x kwa uhakika. Kisha kazi ni kuendelea katika hatua kama
.
Wacha tuanzishe kazi mpya:
.
Wanamwita ongezeko la kazi kwa uhakika. Kisha kazi ni kuendelea katika hatua kama
.

Ufafanuzi wa mwendelezo upande wa kulia (kushoto)
Kazi f (x) kuitwa kuendelea kulia (kushoto) kwa uhakika x 0 , ikiwa imefafanuliwa kwenye kitongoji cha upande wa kulia (upande wa kushoto) wa hatua hii, na ikiwa kikomo cha kulia (kushoto) kwenye nukta x. 0 sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa katika x 0 :
.

Nadharia juu ya mipaka ya kazi inayoendelea
Acha kitendakazi f (x) inaendelea katika hatua x 0 . Kisha kuna kitongoji cha U (x0), ambayo utendaji ni mdogo.

Nadharia juu ya uhifadhi wa ishara ya kazi inayoendelea
Acha kazi iwe endelevu kwa uhakika. Na iwe na thamani chanya (hasi) katika hatua hii:
.
Halafu kuna kitongoji cha mahali ambapo chaguo la kukokotoa lina thamani chanya (hasi):
katika .

Mali ya hesabu ya kazi zinazoendelea
Wacha vitendaji na viendelee kwa uhakika .
Kisha vitendaji , na vinaendelea kwa uhakika .
Kama , basi kipengele cha kukokotoa kinaendelea katika hatua hiyo.

Sifa ya mwendelezo wa kushoto-kulia
Chaguo la kukokotoa ni endelevu katika hatua ikiwa tu ikiwa ni endelevu upande wa kulia na kushoto.

Uthibitisho wa mali hutolewa kwenye ukurasa "Sifa za kazi zinazoendelea kwa uhakika".

Kuendelea kwa kazi changamano

Nadharia ya mwendelezo kwa kazi changamano
Acha kazi iwe endelevu kwa uhakika. Na wacha kazi iwe endelevu kwa uhakika.
Kisha kazi ngumu inaendelea kwa uhakika.

Kikomo cha kazi changamano

Nadharia juu ya kikomo cha chaguo za kukokotoa zinazoendelea
Acha kuwe na kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa , na ni sawa na:
.
Hapa kuna uhakika t 0 inaweza kuwa na mwisho au mbali sana:.
Na wacha kazi iwe endelevu kwa uhakika.
Halafu kuna kikomo cha kazi ngumu, na ni sawa na:
.

Nadharia juu ya kikomo cha chaguo za kukokotoa changamano
Acha kipengele cha kukokotoa kiwe na kikomo na upange kitongoji kilichotobolewa cha uhakika kwenye kitongoji kilichotobolewa cha uhakika. Acha kazi ifafanuliwe kwenye mtaa huu na uwe na kikomo juu yake.
Hapa kuna pointi za mwisho au za mbali sana:. Majirani na mipaka yao inayolingana inaweza kuwa ya pande mbili au upande mmoja.
Halafu kuna kikomo cha kazi ngumu na ni sawa na:
.

Kuvunja pointi

Kuamua hatua ya mapumziko
Acha chaguo la kukokotoa lifafanuliwe kwenye eneo fulani lililotobolewa la uhakika. Hatua inaitwa sehemu ya mapumziko ya kazi, ikiwa moja ya masharti mawili yametimizwa:
1) haijafafanuliwa katika;
2) imefafanuliwa kwa , lakini haipo katika hatua hii.

Uamuzi wa hatua ya kutoendelea ya aina ya 1
Hatua inaitwa hatua ya kutoendelea ya aina ya kwanza, ikiwa ni sehemu ya mapumziko na kuna mipaka ya upande mmoja upande wa kushoto na kulia:
.

Ufafanuzi wa kazi ya kuruka
Rukia kitendakazi cha Δ kwa uhakika ni tofauti kati ya mipaka ya kulia na kushoto
.

Kuamua hatua ya mapumziko
Hatua inaitwa sehemu ya mapumziko inayoweza kutolewa, ikiwa kuna kikomo
,
lakini chaguo la kukokotoa katika hatua halijafafanuliwa au si sawa na thamani ya kikomo: .

Kwa hivyo, hatua ya kutoendelea inayoondolewa ni hatua ya kutokuwepo kwa aina ya 1, ambayo kuruka kwa kazi ni sawa na sifuri.

Uamuzi wa hatua ya kutoendelea ya aina ya 2
Hatua inaitwa hatua ya kutoendelea ya aina ya pili, ikiwa sio sehemu ya kutoendelea ya aina ya 1. Hiyo ni, ikiwa hakuna angalau kikomo cha upande mmoja, au angalau kikomo cha upande mmoja katika hatua ni sawa na infinity.

Sifa za utendaji zinazoendelea kwa muda

Ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwa muda
Chaguo za kukokotoa huitwa kuendelea kwa muda (saa) ikiwa ni endelevu katika sehemu zote za muda uliofunguliwa (saa) na kwa pointi a na b, mtawalia.

Nadharia ya kwanza ya Weierstrass kuhusu upakuaji wa chaguo za kukokotoa unaoendelea kwa muda
Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaendelea kwa muda, basi kimefungwa kwa muda huu.

Kuamua ufikiaji wa kiwango cha juu (kiwango cha chini)
Chaguo za kukokotoa hufikia upeo wake (kiwango cha chini) kwenye seti ikiwa kuna hoja ambayo kwayo
kwa wote.

Kuamua ufikiaji wa uso wa juu (chini).
Kazi hufikia juu (chini) iliyofungwa kwenye seti ikiwa kuna hoja ambayo
.

Nadharia ya pili ya Weierstrass juu ya upeo na kiwango cha chini zaidi cha chaguo la kukokotoa endelevu
Kazi inayoendelea kwenye sehemu hufikia mipaka yake ya juu na ya chini juu yake au, ambayo ni sawa, hufikia kiwango cha juu na cha chini kwenye sehemu.

Nadharia ya thamani ya kati ya Bolzano-Cauchy
Acha kazi iendelee kwenye sehemu. Na acha C iwe nambari ya kiholela iliyo kati ya maadili ya chaguo la kukokotoa kwenye miisho ya sehemu: na . Kisha kuna hatua ambayo
.

Muhimu 1
Acha kazi iendelee kwenye sehemu. Na acha maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu yawe na ishara tofauti: au . Halafu kuna hatua ambayo thamani ya chaguo la kukokotoa ni sawa na sifuri:
.

Muhimu 2
Acha kazi iendelee kwenye sehemu. Wacha iende.
katika .

Kisha kazi inachukua muda maadili yote kutoka na tu maadili haya:

Vitendaji kinyume
Ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume
kwa wote.
Acha chaguo la kukokotoa liwe na kikoa cha ufafanuzi X na seti ya thamani Y. Na iwe na mali: Halafu kwa kipengee chochote kutoka kwa seti ya Y mtu anaweza kuhusisha kipengee kimoja tu cha seti ya X ambayo . Mawasiliano haya yanafafanua kazi inayoitwa utendaji wa kinyume
.

Kwa .
;
Kitendaji cha kinyume kinaonyeshwa kama ifuatavyo:
kwa wote.

Kutoka kwa ufafanuzi inafuata hiyo
kwa wote;

Lemma juu ya monotonicity ya pande zote ya kazi za moja kwa moja na kinyume
Grafu za kazi za moja kwa moja na za kinyume zina ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja.

Nadharia ya kuwepo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda
Wacha kazi iendelee na kuongezeka kwa nguvu (kupungua) kwenye sehemu. Kisha kazi ya inverse inafafanuliwa na inaendelea kwenye sehemu, ambayo huongezeka kwa ukali (hupungua).

Kwa utendaji unaoongezeka. Kwa kupungua -.

Nadharia ya kuwepo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda
Wacha utendakazi uendelee na kuongezeka kwa uthabiti (kupungua) kwa muda wazi wa kikomo au usio na kipimo. Kisha kazi ya inverse inafafanuliwa na inaendelea kwa muda, ambayo huongezeka kwa ukali (hupungua).

Kwa utendaji unaoongezeka.
Kwa kupungua:.

Vivyo hivyo, tunaweza kuunda nadharia juu ya uwepo na mwendelezo wa kitendakazi cha kinyume katika kipindi cha nusu.

Sifa na mwendelezo wa kazi za kimsingi

Vitendaji vya msingi na vinyume vyake vinaendelea katika kikoa chao cha ufafanuzi. Hapo chini tunawasilisha uundaji wa nadharia zinazolingana na kutoa viungo kwa uthibitisho wao.

Utendakazi wa kielelezo

Utendakazi wa kielelezo f (x) = a x, yenye msingi a > 0 ni kikomo cha mlolongo
,
iko wapi mlolongo wa kiholela wa nambari za busara zinazoelekea x:
.

Nadharia. Sifa za Kazi ya Kielelezo
Kitendaji cha kielelezo kina sifa zifuatazo:
(Uk.0) imefafanuliwa, kwa, kwa wote;
(Uk.1) kwa ≠ 1 ina maana nyingi;
(Uk.2) madhubuti huongezeka saa, madhubuti hupungua saa, ni mara kwa mara saa;
(Uk.3) ;
(Uk.3*) ;
(Uk.4) ;
(Uk.5) ;
(Uk.6) ;
(Uk.7) ;
(Uk.8) kuendelea kwa wote;
(Uk.9) katika ;
katika .

Logarithm

Utendakazi wa logarithmic, au logarithm, y = shoka la magogo, yenye msingi a ni kinyume cha chaguo za kukokotoa kielezio na msingi a.

Nadharia. Tabia za logarithm
Kitendaji cha logarithmic chenye msingi a, y = logi a x, ina sifa zifuatazo:
(L.1) imefafanuliwa na inayoendelea, kwa na, kwa maadili chanya ya hoja;
(L.2) ina maana nyingi;
(L.3) madhubuti huongezeka kama, madhubuti hupungua kama;
(L.4) katika ;
katika ;
(L.5) ;
(L.6) katika ;
(L.7) katika ;
(L.8) katika ;
(L.9) katika .

Kipeo na logarithm asili

Katika ufafanuzi wa kazi ya kielelezo na logarithm, mara kwa mara inaonekana, ambayo inaitwa msingi wa nguvu au msingi wa logarithm. Katika uchanganuzi wa hisabati, katika idadi kubwa ya visa, mahesabu rahisi zaidi hupatikana ikiwa nambari e inatumiwa kama msingi:
.
Kitendaji kielelezo chenye msingi e huitwa kipeo: , na logariti yenye msingi e inaitwa logariti asilia: .

Sifa za kielelezo na logarithm asili zinawasilishwa kwenye kurasa
"Kielelezo, e kwa nguvu ya x",
"Logariti ya asili, kazi ya ln x"

Kazi ya nguvu

Kitendaji cha nguvu chenye kipeo uk ni kazi f (x) = xp, thamani ambayo katika nukta x ni sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa za kipeo na msingi x katika ncha uk.
Aidha, f (0) = 0 p = 0 kwa p > 0 .

Hapa tutazingatia sifa za kazi ya nguvu y = x p kwa maadili yasiyo hasi ya hoja. Kwa m ya busara, kwa m isiyo ya kawaida, kazi ya nguvu pia inafafanuliwa kwa hasi x. Katika kesi hii, mali zake zinaweza kupatikana kwa kutumia hata au isiyo ya kawaida.
Matukio haya yanajadiliwa kwa undani na kuonyeshwa kwenye ukurasa "Kazi ya Nguvu, mali zake na grafu".

Nadharia. Sifa za kitendakazi cha nguvu (x ≥ 0)
Kitendaji cha nguvu, y = x p, chenye kipeo p kina sifa zifuatazo:
(C.1) imefafanuliwa na inayoendelea kwenye seti
katika ,
katika ".

Kazi za Trigonometric

Nadharia juu ya mwendelezo wa kazi za trigonometric
Kazi za trigonometric: sine ( dhambi x), kosini ( kwani x), tangent ( tg x) na cotangent ( ctg x

Nadharia juu ya mwendelezo wa vitendakazi kinyume cha trigonometriki
Utendaji kinyume cha trigonometric: arcsine ( arcsin x), arc cosine ( arccos x), arctangent ( arctan x) na arccotangent ( arcctg x), ni endelevu katika nyanja zao za ufafanuzi.

Marejeleo:
O.I. Besov. Mihadhara juu ya uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya 1. Moscow, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 2003.
SENTIMITA. Nikolsky. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 1983.