au kutumia tofauti ya fomula ya mraba kama hii:
- (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.
Bidhaa ya mambo mawili ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri.
Usemi x 2 +4 hauwezi kuwa sifuri, kwa hivyo kilichobaki ni (x 2 -4)=0.
Tunatatua na kupata majibu mawili.
Jibu: x=-2 na x=2.
Tuligundua kwamba equation x 4 =16 ina mizizi 2 tu halisi. Hizi ni mizizi ya shahada ya nne kutoka namba 16. Zaidi ya hayo, mzizi mzuri unaitwa mzizi wa hesabu wa shahada ya 4 kutoka namba 16. Na huteuliwa 4√16. Yaani, 4√16=2.
Ufafanuzi
- Mzizi wa hesabu wa nguvu asilia n>=2 ya nambari isiyo hasi a ni nambari fulani isiyo hasi, inapoinuliwa kwa nguvu n, nambari a hupatikana.
Inaweza kuthibitishwa kuwa kwa n yoyote isiyo hasi a na asilia, mlinganyo x n =a utakuwa na mzizi mmoja usio hasi. Ni mzizi huu unaoitwa mzizi wa hesabu wa shahada ya nth ya nambari a.
Mzizi wa hesabu wa shahada ya nth ya nambari umebainishwa kama ifuatavyo: n√a.
Nambari a katika kesi hii inaitwa usemi mkali.
Katika kesi wakati n=2, hawaandiki mbili, lakini andika tu √a.
Mizizi ya hesabu ya digrii ya pili na ya tatu ina majina yao maalum.
Mzizi wa hesabu wa shahada ya pili unaitwa mzizi wa mraba, na mzizi wa hesabu wa shahada ya tatu unaitwa mchemraba.
Kwa kutumia tu ufafanuzi wa mzizi wa hesabu, mtu anaweza kuthibitisha kuwa n√a ni sawa na b. Ili kufanya hivyo tunahitaji kuonyesha kwamba:
- 1. b ni kubwa kuliko au sawa na sifuri.
- 2. b n =a.
Kwa mfano, 3√(64) = 4, tangu 1. 4>0, 2. 4 3 =64.
Sambamba na ufafanuzi wa mzizi wa hesabu.
- (n√a) n = a.
- n√(a n) = a.
Kwa mfano, (5√2) 5 = 2.
Kuchimba mzizi wa nth
Kuchimba mzizi wa nth ni kitendo kinachotumika kupata mzizi wa nth. Kuchukua mzizi wa nth ni kinyume cha kuinua kwa nguvu ya nth.
Hebu tuangalie mfano.
Tatua mlingano x 3 = -27.
Hebu tuandike tena mlingano huu katika fomu (-x) 3 =27.
Hebu tuweke y=-x, kisha y 3 =27. Mlinganyo huu una mzizi mmoja chanya y= 3√27 = 3.
Mlinganyo huu hauna mizizi hasi, kwani y 3
Tunaona kwamba equation 3 =27 ina mzizi mmoja tu.
Tukirudi kwenye mlinganyo wa asili, tunapata kwamba pia ina mzizi mmoja tu x=-y=-3.
Katika makala hii tutaanzisha dhana ya mzizi wa nambari. Tutaendelea kwa sequentially: tutaanza na mizizi ya mraba, kutoka hapo tutaendelea kwenye maelezo ya mizizi ya ujazo, baada ya hapo tutaongeza dhana ya mizizi, kufafanua mzizi wa nth. Wakati huo huo, tutaanzisha ufafanuzi, nukuu, kutoa mifano ya mizizi na kutoa maelezo na maoni muhimu.
Mzizi wa mraba, mzizi wa mraba wa hesabu
Ili kuelewa ufafanuzi wa mzizi wa nambari, na mzizi wa mraba haswa, unahitaji kuwa na . Katika hatua hii mara nyingi tutakutana na nguvu ya pili ya nambari - mraba wa nambari.
Hebu tuanze na ufafanuzi wa mizizi ya mraba.
Ufafanuzi
Mzizi wa mraba wa a ni nambari ambayo mraba wake ni sawa na a.
Ili kuleta mifano ya mizizi ya mraba, chukua nambari kadhaa, kwa mfano, 5, -0.3, 0.3, 0, na mraba, tunapata nambari 25, 0.09, 0.09 na 0, mtawaliwa (5 2 =5 · 5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 na 0 2 =0·0=0 ). Kisha, kwa ufafanuzi uliotolewa hapo juu, nambari 5 ni mzizi wa mraba wa nambari 25, nambari -0.3 na 0.3 ni mizizi ya mraba ya 0.09, na 0 ni mzizi wa mraba wa sifuri.
Ikumbukwe kwamba sio kwa nambari yoyote kuna a ambayo mraba wake ni sawa na a. Yaani, kwa nambari yoyote hasi a hakuna nambari halisi b ambayo mraba wake ni sawa na a. Kwa kweli, usawa a=b 2 hauwezekani kwa hasi yoyote a, kwani b 2 ni nambari isiyo hasi kwa b yoyote. Hivyo, hakuna mzizi wa mraba wa nambari hasi kwenye seti ya nambari halisi. Kwa maneno mengine, kwenye seti ya nambari halisi mizizi ya mraba ya nambari hasi haijafafanuliwa na haina maana.
Hii inasababisha swali la kimantiki: "Je, kuna mzizi wa mraba wa a kwa yoyote isiyo hasi a"? Jibu ni ndiyo. Ukweli huu unaweza kuthibitishwa na njia ya kujenga inayotumiwa kutafuta thamani ya mzizi wa mraba.
Kisha swali linalofuata la kimantiki linatokea: "Ni nambari gani ya mizizi yote ya mraba ya nambari isiyo ya hasi - moja, mbili, tatu, au hata zaidi"? Hili hapa jibu: ikiwa a ni sifuri, basi mizizi pekee ya mraba ya sifuri ni sifuri; ikiwa a ni nambari chanya, basi idadi ya mizizi ya mraba ya nambari a ni mbili, na mizizi ni . Hebu kuhalalisha hili.
Wacha tuanze na kesi a=0 . Kwanza, hebu tuonyeshe kwamba sifuri ni mzizi wa mraba wa sifuri. Hii inafuatia kutoka kwa usawa dhahiri 0 2 =0·0=0 na ufafanuzi wa mzizi wa mraba.
Sasa hebu tuthibitishe kuwa 0 ndio mzizi wa mraba wa sifuri. Wacha tutumie njia iliyo kinyume. Tuseme kuna nambari ya nonzero b ambayo ni mzizi wa mraba wa sifuri. Kisha hali b 2 = 0 lazima itimizwe, ambayo haiwezekani, kwa kuwa kwa yoyote isiyo ya sifuri b thamani ya kujieleza b 2 ni chanya. Tumefika kwenye utata. Hii inathibitisha kuwa 0 ndio mzizi wa mraba wa sifuri.
Wacha tuendelee kwenye hali ambapo a ni nambari chanya. Tulisema hapo juu kuwa kila mara kuna mzizi wa mraba wa nambari yoyote isiyo hasi, acha mzizi wa mraba wa a uwe nambari b. Wacha tuseme kwamba kuna nambari c, ambayo pia ni mzizi wa mraba wa a. Halafu, kwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba, usawa b 2 =a na c 2 =a ni kweli, ambayo inafuata kwamba b 2 -c 2 =a-a=0, lakini kwa kuwa b 2 -c 2 =( b−c)·( b+c) , kisha (b−c)·(b+c)=0 . Usawa unaotokana ni halali mali ya shughuli na nambari halisi inawezekana tu wakati b−c=0 au b+c=0 . Kwa hivyo, nambari b na c ni sawa au kinyume.
Ikiwa tunachukulia kuwa kuna nambari d, ambayo ni mzizi mwingine wa mraba wa nambari a, basi kwa hoja sawa na zile zilizotolewa tayari, inathibitishwa kuwa d ni sawa na nambari b au nambari c. Kwa hivyo, idadi ya mizizi ya mraba ya nambari chanya ni mbili, na mizizi ya mraba ni nambari tofauti.
Kwa urahisi wa kufanya kazi na mizizi ya mraba, mizizi hasi "imetengwa" kutoka kwa chanya. Kwa kusudi hili, huletwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba wa hesabu.
Ufafanuzi
Mzizi wa mraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo mraba wake ni sawa na a.
Nukuu ya mzizi wa mraba wa hesabu wa a ni . Ishara inaitwa ishara ya mizizi ya mraba ya hesabu. Pia inaitwa ishara kali. Kwa hiyo, wakati mwingine unaweza kusikia "mizizi" na "radical", ambayo ina maana ya kitu kimoja.
Nambari iliyo chini ya ishara ya mzizi wa mraba wa hesabu inaitwa nambari kali, na usemi chini ya ishara ya mizizi ni usemi mkali, ilhali neno "idadi kali" mara nyingi hubadilishwa na "usemi mkali". Kwa mfano, katika nukuu nambari 151 ni nambari kali, na katika nukuu usemi a ni usemi mkali.
Wakati wa kusoma, neno "hesabu" mara nyingi huachwa, kwa mfano, ingizo linasomwa kama "mzizi wa mraba wa alama saba ishirini na tisa." Neno "hesabu" hutumiwa tu wakati wanataka kusisitiza kwamba tunazungumza haswa juu ya mzizi chanya wa nambari.
Kwa kuzingatia nukuu iliyoletwa, inafuata kutoka kwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba wa hesabu kwamba kwa nambari yoyote isiyo hasi a .
Mizizi ya mraba ya nambari chanya a imeandikwa kwa kutumia alama ya mzizi wa hesabu kama na . Kwa mfano, mizizi ya mraba ya 13 ni na. Mzizi wa mraba wa hesabu wa sifuri ni sifuri, yaani,. Kwa nambari hasi a, hatutaambatisha maana kwenye nukuu hadi tujifunze nambari ngumu. Kwa mfano, maneno na hayana maana.
Kulingana na ufafanuzi wa mizizi ya mraba, tunathibitisha mali ya mizizi ya mraba, ambayo hutumiwa mara nyingi katika mazoezi.
Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kwamba mizizi ya mraba ya nambari a ni suluhu za fomu x 2 =a kuhusiana na mabadiliko ya x.
Mzizi wa mchemraba wa nambari
Ufafanuzi wa mizizi ya mchemraba ya nambari a imetolewa sawa na ufafanuzi wa mzizi wa mraba. Inategemea tu dhana ya mchemraba wa nambari, sio mraba.
Ufafanuzi
Mzizi wa mchemraba wa a ni nambari ambayo mchemraba wake ni sawa na a.
Hebu tupe mifano ya mizizi ya mchemraba. Ili kufanya hivyo, chukua nambari kadhaa, kwa mfano, 7, 0, -2/3, na uziweke mchemraba: 7 3 = 7 · 7 · 7 = 343, 0 3 = 0 · 0 · 0 = 0. 
. Kisha, kwa kuzingatia ufafanuzi wa mizizi ya mchemraba, tunaweza kusema kwamba nambari 7 ni mzizi wa mchemraba wa 343, 0 ni mzizi wa mchemraba wa sifuri, na -2/3 ni mzizi wa mchemraba wa -8/27.
Inaweza kuonyeshwa kuwa mzizi wa mchemraba wa nambari, tofauti na mzizi wa mraba, daima upo, sio tu kwa zisizo hasi a, lakini pia kwa nambari yoyote halisi a. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia njia ile ile tuliyotaja wakati wa kusoma mizizi ya mraba.
Kwa kuongezea, kuna mzizi mmoja tu wa mchemraba wa nambari fulani a. Hebu tuthibitishe kauli ya mwisho. Ili kufanya hivyo, zingatia visa vitatu tofauti: a ni nambari chanya, a=0 na a ni nambari hasi.
Ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa a ni chanya, mzizi wa mchemraba wa a hauwezi kuwa nambari hasi au sifuri. Hakika, basi b iwe mzizi wa mchemraba wa a, basi kwa ufafanuzi tunaweza kuandika usawa b 3 =a. Ni wazi kwamba usawa huu hauwezi kuwa kweli kwa b hasi na kwa b=0, kwani katika hali hizi b 3 = b·b·b itakuwa nambari hasi au sifuri, mtawalia. Kwa hivyo mzizi wa mchemraba wa nambari chanya a ni nambari chanya.
Sasa tuseme kwamba pamoja na nambari b kuna mzizi mwingine wa mchemraba wa nambari a, wacha tuonyeshe c. Kisha c 3 =a. Kwa hiyo, b 3 -c 3 =a−a=0, lakini b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(hii ndio fomula iliyofupishwa ya kuzidisha tofauti ya cubes), imetoka wapi (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Usawa unaotokana unawezekana tu wakati b−c=0 au b 2 +b·c+c 2 =0. Kutoka usawa wa kwanza tuna b=c, na usawa wa pili hauna suluhu, kwani upande wake wa kushoto ni nambari chanya kwa nambari zozote chanya b na c kama jumla ya maneno matatu chanya b 2, b·c na c 2. Hii inathibitisha upekee wa mzizi wa mchemraba wa nambari chanya a.
Wakati a=0, mzizi wa mchemraba wa nambari a ni nambari sifuri tu. Hakika, ikiwa tunadhania kuwa kuna namba b, ambayo ni mizizi isiyo ya sifuri ya mchemraba wa sifuri, basi usawa b 3 =0 lazima ushikilie, ambayo inawezekana tu wakati b = 0.
Kwa hasi a, hoja zinazofanana na kesi ya chanya a zinaweza kutolewa. Kwanza, tunaonyesha kwamba mzizi wa mchemraba wa nambari hasi hauwezi kuwa sawa na nambari chanya au sifuri. Pili, tunadhania kuwa kuna mzizi wa pili wa mchemraba wa nambari hasi na tunaonyesha kuwa itaendana na ya kwanza.
Kwa hivyo, daima kuna mzizi wa mchemraba wa nambari yoyote halisi a, na ya kipekee.
Hebu tupe ufafanuzi wa mzizi wa mchemraba wa hesabu.
Ufafanuzi
Mzizi wa mchemraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo mchemraba wake ni sawa na a.
Mzizi wa mchemraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a huonyeshwa kama , ishara inaitwa ishara ya mzizi wa mchemraba wa hesabu, nambari 3 katika nukuu hii inaitwa. index ya mizizi. Nambari iliyo chini ya ishara ya mizizi ni nambari kali, usemi chini ya ishara ya mizizi ni usemi mkali.
Ingawa mzizi wa mchemraba wa hesabu hufafanuliwa kwa nambari zisizo hasi a, pia ni rahisi kutumia nukuu ambamo nambari hasi hupatikana chini ya ishara ya mchemraba wa hesabu. Tutazielewa kama ifuatavyo: , ambapo a ni nambari chanya. Kwa mfano, 
.
Tutazungumzia kuhusu mali ya mizizi ya mchemraba katika makala ya jumla. mali ya mizizi.
Kuhesabu thamani ya mizizi ya mchemraba inaitwa kuchimba mizizi ya mchemraba, hatua hii inajadiliwa katika makala kuchimba mizizi: mbinu, mifano, ufumbuzi.
Kuhitimisha hatua hii, hebu tuseme kwamba mzizi wa mchemraba wa nambari a ni suluhisho la fomu x 3 =a.
mzizi wa nth, mzizi wa hesabu wa shahada n
Wacha tufanye jumla ya dhana ya mzizi wa nambari - tunaanzisha ufafanuzi wa mzizi wa nth kwa n.
Ufafanuzi
mzizi wa a ni nambari ambayo nguvu ya nth ni sawa na a.
Kutokana na ufafanuzi huu ni wazi kwamba mzizi wa shahada ya kwanza wa nambari a ni nambari a yenyewe, kwani wakati wa kusoma shahada na kielelezo asilia tulichukua 1 =a.
Hapo juu tuliangalia kesi maalum za mzizi wa nth kwa n = 2 na n = 3 - mizizi ya mraba na mizizi ya mchemraba. Hiyo ni, mzizi wa mraba ni mzizi wa shahada ya pili, na mzizi wa mchemraba ni mzizi wa shahada ya tatu. Kusoma mizizi ya digrii ya nth kwa n = 4, 5, 6, ..., ni rahisi kugawanya katika vikundi viwili: kikundi cha kwanza - mizizi ya digrii hata (ambayo ni, kwa n = 4, 6, 8 , ...), kundi la pili - mizizi digrii isiyo ya kawaida (yaani, na n = 5, 7, 9, ...). Hii ni kutokana na ukweli kwamba mizizi ya nguvu hata ni sawa na mizizi ya mraba, na mizizi ya nguvu isiyo ya kawaida ni sawa na mizizi ya ujazo. Hebu tushughulike nao mmoja baada ya mwingine.
Wacha tuanze na mizizi ambayo nguvu zake ni nambari 4, 6, 8, ... Kama tulivyokwisha sema, zinafanana na mzizi wa mraba wa nambari a. Hiyo ni, mzizi wa digrii yoyote sawa ya nambari a ipo tu kwa isiyo hasi a. Zaidi ya hayo, ikiwa a=0, basi mzizi wa a ni wa kipekee na ni sawa na sifuri, na ikiwa a>0, basi kuna mizizi miwili ya kiwango sawa cha nambari a, na ni nambari zinazopingana.
Hebu tuthibitishe kauli ya mwisho. Acha b iwe mzizi sawa (tunaashiria kama 2 · m, ambapo m ni nambari ya asili) ya nambari a. Tuseme kuwa kuna nambari c - mzizi mwingine wa digrii 2 · m kutoka nambari a. Kisha b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Lakini tunajua umbo b 2 m −c 2 m = (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), kisha (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Kutoka kwa usawa huu inafuata kwamba b−c=0, au b+c=0, au b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Sawa mbili za kwanza zinamaanisha kuwa nambari b na c ni sawa au b na c ni kinyume. Na usawa wa mwisho ni halali kwa b=c=0 pekee, kwani upande wake wa kushoto kuna usemi ambao sio hasi kwa b na c yoyote kama jumla ya nambari zisizo hasi.
Kuhusu mizizi ya shahada ya nth kwa n isiyo ya kawaida, ni sawa na mzizi wa ujazo. Hiyo ni, mzizi wa digrii yoyote isiyo ya kawaida ya nambari a ipo kwa nambari yoyote halisi a, na kwa nambari fulani ni ya kipekee.
Upekee wa mzizi wa shahada isiyo ya kawaida 2 m+1 ya nambari a unathibitishwa na mlinganisho na uthibitisho wa upekee wa mzizi wa mchemraba wa a. Hapa tu badala ya usawa a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) usawa wa fomu b 2 m+1 -c 2 m+1 = hutumiwa (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Usemi katika mabano ya mwisho unaweza kuandikwa upya kama b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Kwa mfano, na m=2 tunayo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). A na b zikiwa chanya au zote mbili hasi, bidhaa yake ni nambari chanya, kisha usemi b 2 +c 2 +b·c katika mabano ya juu kabisa yaliyowekwa ni chanya kama jumla ya nambari chanya. Sasa, tukisogea kwa mfuatano kwa misemo katika mabano ya digrii za awali za nesting, tuna hakika kwamba wao pia ni chanya kama jumla ya nambari chanya. Matokeo yake, tunapata kwamba usawa b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 inawezekana tu wakati b−c=0, yaani, wakati nambari b ni sawa na nambari c.
Ni wakati wa kuelewa nukuu ya mizizi ya nth. Kwa kusudi hili hutolewa ufafanuzi wa mzizi wa hesabu wa shahada ya nth.
Ufafanuzi
Mzizi wa hesabu wa shahada ya nth ya nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo nguvu yake ya nth ni sawa na a.
Shahada ya mizizi n kutoka kwa nambari halisi a, Wapi n- nambari ya asili, nambari halisi kama hiyo inaitwa x, n shahada ya th ambayo ni sawa na a.
Shahada ya mizizi n kutoka kwa nambari a inaonyeshwa na ishara. Kulingana na ufafanuzi huu.
Kutafuta mizizi n-th shahada kutoka miongoni mwa a inayoitwa uchimbaji wa mizizi. Nambari A inaitwa nambari kali (maneno), n- kiashiria cha mizizi. Kwa isiyo ya kawaida n kuna mzizi n-th nguvu kwa nambari yoyote halisi a. Wakati hata n kuna mzizi n-th nguvu tu kwa nambari zisizo hasi a. Ili kutenganisha mizizi n-th shahada kutoka miongoni mwa a, dhana ya mzizi wa hesabu huletwa n-th shahada kutoka miongoni mwa a.
Wazo la mzizi wa hesabu wa digrii N
Kama n- nambari ya asili, kubwa zaidi 1 , basi kuna, na nambari moja tu, isiyo hasi X, kiasi kwamba usawa umeridhika. Nambari hii X inayoitwa mzizi wa hesabu n nguvu ya nambari isiyo hasi A na imeteuliwa. Nambari A inaitwa nambari kali, n- kiashiria cha mizizi.
Kwa hiyo, kwa mujibu wa ufafanuzi, nukuu , wapi, ina maana, kwanza, hiyo na, pili, kwamba, i.e. .
Dhana ya shahada yenye kipeo cha busara
Shahada yenye kipeo asilia: let A ni nambari halisi, na n- nambari ya asili zaidi ya moja; n- Nguvu ya nambari A piga kazi n sababu, ambayo kila moja ni sawa A, i.e. . Nambari A- msingi wa shahada, n- kielelezo. Nguvu iliyo na kipeo sifuri: kwa ufafanuzi, ikiwa , basi . Nguvu sifuri ya nambari 0 haina maana. Digrii yenye kipeo kamili cha nambari hasi: kinachochukuliwa kwa ufafanuzi ikiwa na n ni nambari ya asili, basi. Digrii iliyo na kipeo cha sehemu: inachukuliwa kwa ufafanuzi ikiwa na n- nambari ya asili, m ni nambari kamili, basi.
Operesheni na mizizi.
Katika fomula zote hapa chini, ishara inamaanisha mzizi wa hesabu (maneno makubwa ni chanya).
1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:
2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mizizi ya gawio na mgawanyiko:
3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuongeza nambari kali kwa nguvu hii: 
4. Ikiwa unaongeza kiwango cha mzizi n mara na wakati huo huo kuongeza nambari ya radical kwa nguvu ya nth, basi thamani ya mizizi haitabadilika: 
5. Ikiwa unapunguza kiwango cha mzizi kwa mara n na wakati huo huo kutoa mzizi wa nth wa nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:
Kupanua dhana ya shahada. Hadi sasa tumezingatia digrii tu na vielelezo vya asili; lakini utendakazi wenye nguvu na mizizi pia unaweza kusababisha vipeo vya hasi, sifuri na sehemu. Vielezi hivi vyote vinahitaji ufafanuzi wa ziada.
Shahada yenye kipeo hasi. Nguvu ya nambari fulani iliyo na kipeo hasi (jumla) inafafanuliwa kama ile iliyogawanywa na nguvu ya nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili ya kipeo hasi: 
Sasa formula a m: a n = a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m kubwa kuliko n, lakini pia kwa m chini ya n.
MFANO a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Ikiwa tunataka fomula a m: a n = a m - n iwe halali kwa m = n, tunahitaji ufafanuzi wa digrii sifuri.
Shahada yenye faharasa ya sifuri. Nguvu ya nambari yoyote isiyo ya sifuri iliyo na kipeo sifuri ni 1.
MIFANO. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Shahada yenye kipeo cha sehemu. Ili kuongeza nambari halisi a kwa nguvu m / n, unahitaji kutoa mzizi wa nth wa nguvu ya mth ya nambari hii a:
Kuhusu misemo ambayo haina maana. Kuna maneno kadhaa kama haya.
Kesi ya 1.
Ambapo ≠ 0 haipo.
Kwa kweli, ikiwa tunadhani kwamba x ni nambari fulani, basi kwa mujibu wa ufafanuzi wa operesheni ya mgawanyiko tunayo: a = 0 x, i.e. a = 0, ambayo inakinzana na hali: a ≠ 0
Kesi ya 2.
Nambari yoyote.
Kwa kweli, ikiwa tunadhani kwamba usemi huu ni sawa na nambari fulani x, basi kulingana na ufafanuzi wa operesheni ya mgawanyiko tunayo: 0 = 0 · x. Lakini usawa huu unashikilia kwa nambari yoyote x, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Kweli,
Suluhisho. Hebu tuzingatie kesi tatu kuu:
1) x = 0 - thamani hii haikidhi usawa huu
2) kwa x > 0 tunapata: x / x = 1, i.e. 1 = 1, ambayo ina maana kwamba x ni nambari yoyote; lakini kwa kuzingatia kwamba kwa upande wetu x > 0, jibu ni x > 0;
3) kwa x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
katika kesi hii hakuna suluhisho. Kwa hivyo x> 0.