Kikokotoo hukusaidia kuongeza nambari haraka ili kuongeza nguvu mtandaoni. Msingi wa digrii unaweza kuwa nambari yoyote (nambari kamili na halisi). Kipeo kinaweza pia kuwa nambari kamili au halisi, na pia kinaweza kuwa chanya au hasi. Kumbuka kwamba kwa nambari hasi, kuongeza kwa nguvu isiyo ya nambari kamili haijafafanuliwa, kwa hivyo kikokotoo kitaripoti hitilafu ikiwa utajaribu.
Kikokotoo cha shahada
Inua madarakani
Ufafanuzi: 20880
Nguvu ya asili ya nambari ni nini?
Nambari p inaitwa nguvu ya nth ya nambari ikiwa p ni sawa na nambari iliyozidishwa yenyewe n mara: p = a n = a·...·a
n - kuitwa kielelezo, na nambari a ni msingi wa shahada.
Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ya asili?
Ili kuelewa jinsi ya kuongeza idadi mbalimbali kwa nguvu za asili, fikiria mifano michache:
Mfano 1. Inua nambari tatu hadi nguvu ya nne. Hiyo ni, ni muhimu kuhesabu 3 4
Suluhisho: kama ilivyotajwa hapo juu, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Jibu: 3 4 = 81 .
Mfano 2. Inua nambari tano hadi nguvu ya tano. Hiyo ni, ni muhimu kuhesabu 5 5
Suluhisho: vile vile, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Jibu: 5 5 = 3125 .
Kwa hivyo, ili kuongeza nambari kwa nguvu ya asili, unahitaji tu kuizidisha yenyewe n mara.
Nguvu hasi ya nambari ni nini?
Nguvu hasi -n ya a ni moja iliyogawanywa na a kwa nguvu ya n: a -n = .Katika kesi hii, nguvu hasi ipo tu kwa nambari zisizo za sifuri, kwani vinginevyo mgawanyiko na sifuri ungetokea.
Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi kamili?
Ili kuongeza nambari isiyo ya sifuri kwa nguvu hasi, unahitaji kuhesabu thamani ya nambari hii kwa nguvu sawa nzuri na ugawanye moja kwa matokeo.
Mfano 1. Inua nambari mbili hadi nguvu hasi ya nne. Hiyo ni, unahitaji kuhesabu 2 -4
Suluhisho: kama ilivyoelezwa hapo juu, 2 -4 = = = 0.0625.Jibu: 2 -4 = 0.0625 .
Katika makala hii tutajua ni nini shahada ya. Hapa tutatoa ufafanuzi wa nguvu ya nambari, wakati tutazingatia kwa undani wafadhili wote wanaowezekana, kuanzia na kielelezo asilia na kuishia na kisicho na mantiki. Katika nyenzo utapata mifano mingi ya digrii, inayofunika hila zote zinazotokea.
Urambazaji wa ukurasa.
Nguvu yenye kipeo asilia, mraba wa nambari, mchemraba wa nambari
Hebu tuanze na. Kuangalia mbele, wacha tuseme kwamba ufafanuzi wa nguvu ya nambari a na kielelezo asilia n imetolewa kwa a, ambayo tutaita. msingi wa shahada, na n, ambayo tutaita kielelezo. Pia tunakumbuka kuwa shahada yenye kipeo asilia hubainishwa kupitia bidhaa, kwa hivyo ili kuelewa nyenzo hapa chini unahitaji kuwa na uelewa wa kuzidisha nambari.
Ufafanuzi.
Nguvu ya nambari yenye kipeo asilia n ni usemi wa umbo a n, thamani ambayo ni sawa na bidhaa ya mambo n, ambayo kila moja ni sawa na a, yaani, .
Hasa, nguvu ya nambari a yenye kipeo 1 ni nambari a yenyewe, yaani, 1 =a.
Inastahili kutaja mara moja kuhusu sheria za kusoma digrii. Njia ya jumla ya kusoma nukuu a n ni: "a kwa nguvu ya n". Katika baadhi ya matukio, chaguo zifuatazo pia zinakubalika: "a kwa nguvu ya nth" na "nth nguvu ya a". Kwa mfano, hebu tuchukue mamlaka 8 12, hii ni "nane kwa uwezo wa kumi na mbili", au "nguvu nane hadi kumi na mbili", au "nguvu ya kumi na mbili ya nane".
Nguvu ya pili ya nambari, pamoja na nguvu ya tatu ya nambari, ina majina yao wenyewe. Nguvu ya pili ya nambari inaitwa mraba nambari, kwa mfano, 7 2 inasomwa kama "saba ya mraba" au "mraba wa nambari saba." Nguvu ya tatu ya nambari inaitwa nambari za mraba, kwa mfano, 5 3 inaweza kusomwa kama "cubed tano" au unaweza kusema "mchemraba wa nambari 5".
Ni wakati wa kuleta mifano ya digrii na vielelezo asilia. Wacha tuanze na digrii 5 7, hapa 5 ndio msingi wa digrii, na 7 ndio kielelezo. Wacha tutoe mfano mwingine: 4.32 ndio msingi, na nambari asilia 9 ndio kielezi (4.32) 9 .
Tafadhali kumbuka kuwa katika mfano wa mwisho, msingi wa nguvu 4.32 umeandikwa kwa mabano: ili kuepuka kutofautiana, tutaweka kwenye mabano besi zote za nguvu ambazo ni tofauti na namba za asili. Kama mfano, tunatoa digrii zifuatazo na vielelezo asilia 
, besi zao sio nambari za asili, kwa hiyo zimeandikwa kwenye mabano. Kweli, kwa uwazi kamili, katika hatua hii tutaonyesha tofauti zilizomo katika rekodi za fomu (-2) 3 na -2 3. Usemi (−2) 3 ni nguvu ya -2 yenye kipeo asili cha 3, na usemi -2 3 (unaweza kuandikwa kama -(2 3) ) unalingana na nambari, thamani ya nguvu 2 3. .
Kumbuka kuwa kuna nukuu ya nguvu ya nambari a iliyo na kipeo n cha umbo a^n. Zaidi ya hayo, ikiwa n ni nambari ya asili yenye thamani nyingi, basi kielelezo huchukuliwa kwenye mabano. Kwa mfano, 4^9 ni nukuu nyingine ya nguvu ya 4 9 . Na hapa kuna mifano zaidi ya digrii za uandishi kwa kutumia ishara “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Katika kile kinachofuata, tutatumia kimsingi nukuu ya digrii ya fomu n .
Mojawapo ya matatizo yanayopingana na kuinua mamlaka yenye kipeo asilia ni tatizo la kupata msingi wa nguvu kutoka kwa thamani inayojulikana ya nguvu na kipeo kinachojulikana. Kazi hii inaongoza kwa.
Inajulikana kuwa seti ya nambari za busara ina nambari kamili na sehemu, na kila sehemu inaweza kuwakilishwa kama sehemu chanya au hasi ya kawaida. Tulifafanua digrii yenye kipeo kamili katika aya iliyotangulia, kwa hivyo, ili kukamilisha ufafanuzi wa digrii na kipeo cha busara, tunahitaji kutoa maana ya kiwango cha nambari a na kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia. Hebu tufanye.
Wacha tuzingatie digrii iliyo na kipeo cha sehemu ya fomu . Ili mali ya nguvu-kwa-nguvu ibaki halali, usawa lazima ushikilie 
. Ikiwa tutazingatia usawa unaotokana na jinsi tulivyoamua , basi ni jambo la busara kuikubali mradi tu kwa kupewa m, n na usemi unaeleweka.
Ni rahisi kuangalia kuwa kwa sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili ni halali (hii ilifanyika katika sifa za sehemu ya digrii iliyo na kipeo busara).
Hoja iliyo hapo juu inaturuhusu kufanya yafuatayo hitimisho: ikipewa m, n na usemi unaeleweka, basi nguvu ya a yenye kipeo mgawanyiko m/n inaitwa mzizi wa nth wa a hadi nguvu ya m.
Kauli hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa shahada yenye kipeo cha sehemu. Kinachobaki ni kuelezea kile m, n na usemi unaleta maana. Kulingana na vikwazo vilivyowekwa kwenye m, n na a, kuna mbinu mbili kuu.
Njia rahisi ni kuweka kizuizi kwa a kwa kuchukua a≥0 kwa m chanya na a>0 kwa m hasi (kwani kwa m≤0 digrii 0 ya m haijafafanuliwa). Kisha tunapata ufafanuzi ufuatao wa digrii na kielelezo cha sehemu.
Ufafanuzi.
Nguvu ya nambari chanya A yenye kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia, inaitwa mzizi wa nth wa nambari a hadi nguvu m, yaani, .
Nguvu ya sehemu ya sifuri pia imedhamiriwa na pango pekee kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.
Ufafanuzi.
Nguvu ya sifuri yenye kipeo chanya cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari chanya na n ni nambari asilia, inafafanuliwa kama 
.
Wakati digrii haijaamuliwa, yaani, kiwango cha nambari sifuri na kipeo cha sehemu hasi haileti maana.
Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi huu wa shahada yenye kielelezo cha sehemu, kuna tahadhari moja: kwa baadhi hasi a na baadhi ya m na n, usemi huo una maana, na tulitupilia mbali kesi hizi kwa kuanzisha hali a≥0. Kwa mfano, maingizo yana maana 
au , na ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatulazimisha kusema kwamba mamlaka yenye kipeo cha sehemu ya fomu 
usiwe na maana, kwani msingi haupaswi kuwa mbaya.
Njia nyingine ya kuamua digrii na kipeo cha sehemu m/n ni kuzingatia kando vielelezo hata na visivyo vya kawaida vya mzizi. Njia hii inahitaji hali ya ziada: nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni , inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni sehemu inayolingana isiyoweza kupunguzwa (tutaelezea umuhimu wa hali hii hapa chini. ) Hiyo ni, ikiwa m/n ni sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi kwa nambari yoyote ya asili k shahada inabadilishwa kwanza na .
Kwa hata n na chanya m, usemi huo una mantiki kwa yoyote isiyo hasi a (mzizi hata wa nambari hasi hauna maana); kwa m hasi, nambari a lazima bado iwe tofauti na sifuri (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko. kwa sifuri). Na kwa n isiyo ya kawaida na m chanya, nambari a inaweza kuwa yoyote (mzizi wa digrii isiyo ya kawaida hufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa m hasi, nambari a lazima iwe tofauti na sifuri (ili kusiwe na mgawanyiko na sufuri).
Hoja iliyo hapo juu inatuelekeza kwenye ufafanuzi huu wa digrii yenye kipeo cha sehemu.
Ufafanuzi.
Acha m/n iwe sehemu isiyoweza kupunguzwa, m nambari kamili, na n nambari asilia. Kwa sehemu yoyote inayoweza kupunguzwa, digrii inabadilishwa na . Nguvu ya nambari iliyo na kipeo cha sehemu isiyoweza kupunguzwa m/n ni ya
Hebu tueleze ni kwa nini shahada iliyo na kipeo cha sehemu inayoweza kupunguzwa inabadilishwa kwanza na digrii na kipeo kikuu kisichoweza kupunguzwa. Ikiwa tungefafanua tu digrii kama , na hatukufanya uhifadhi juu ya kutoweza kubadilika kwa sehemu m/n, basi tungekabiliwa na hali sawa na zifuatazo: kwani 6/10 = 3/5, basi usawa lazima ushikilie. 
, Lakini 
, A.
Lini nambari inajizidisha yenyewe kwangu, kazi kuitwa shahada.
Kwa hivyo 2.2 = 4, nguvu ya mraba au ya pili ya 2
2.2.2 = 8, mchemraba au nguvu ya tatu.
2.2.2.2 = 16, shahada ya nne.
Pia, 10.10 = 100, nguvu ya pili ya 10.
10.10.10 = 1000, nguvu ya tatu.
10.10.10.10 = 10000 nguvu ya nne.
Na a.a = aa, nguvu ya pili ya a
a.a.a = aaa, nguvu ya tatu ya a
a.a.a.a = aaaa, nguvu ya nne ya a
Nambari ya asili inaitwa mzizi nguvu za nambari hii kwa sababu ni nambari ambayo nguvu ziliundwa.
Hata hivyo, si rahisi kabisa, hasa katika kesi ya mamlaka ya juu, kuandika mambo yote yanayounda mamlaka. Kwa hivyo, njia ya kuashiria kwa njia fupi hutumiwa. Mzizi wa digrii umeandikwa mara moja tu, na kulia na juu kidogo karibu nayo, lakini kwa fonti ndogo kidogo, imeandikwa mara ngapi. mzizi hufanya kama sababu. Nambari hii au barua inaitwa kielelezo au shahada nambari. Kwa hivyo, 2 ni sawa na a.a au aa, kwa sababu mzizi lazima uzidishwe na yenyewe mara mbili ili kupata nguvu aa. Pia, 3 ina maana aaa, yaani, hapa a inarudiwa mara tatu kama kizidishi.
Kielelezo cha shahada ya kwanza ni 1, lakini si kawaida kuandikwa. Kwa hivyo, 1 imeandikwa kama a.
Haupaswi kuchanganya digrii na mgawo. Mgawo unaonyesha ni mara ngapi thamani inachukuliwa kama Sehemu yote. Nguvu inaonyesha ni mara ngapi kiasi kinachukuliwa kama sababu katika kazi.
Kwa hivyo, 4a = a + a + a + a. Lakini 4 = a.a.a.a
Mpango wa nukuu za nguvu una faida ya kipekee ya kuturuhusu kuelezea haijulikani shahada. Kwa kusudi hili, kielelezo kimeandikwa badala ya nambari barua. Katika mchakato wa kutatua tatizo, tunaweza kupata kiasi ambacho tunajua ni baadhi shahada ya ukubwa mwingine. Lakini hadi sasa hatujui ikiwa ni mraba, mchemraba au nyingine, shahada ya juu. Kwa hivyo, katika usemi a x, kielezi kinamaanisha kuwa usemi huu una baadhi shahada, ingawa haijafafanuliwa shahada gani. Kwa hivyo, b m na d n huinuliwa kwa mamlaka ya m na n. Wakati kipeo kinapatikana, nambari inabadilishwa badala ya barua. Kwa hiyo, ikiwa m = 3, basi b m = b 3; lakini ikiwa m = 5, basi b m =b 5.
Njia ya kuandika maadili kwa kutumia nguvu pia ni faida kubwa wakati wa kutumia maneno. Hivyo, (a + b + d) 3 ni (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), yaani, mchemraba wa utatu (a + b + d) . Lakini ikiwa tutaandika usemi huu baada ya kuuinua hadi mchemraba, utaonekana kama
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3.
Ikiwa tutachukua msururu wa mamlaka ambayo vipeo vyake huongezeka au kupungua kwa 1, tunapata kwamba bidhaa huongezeka kwa kizidishi cha kawaida au inapungua kwa mgawanyiko wa kawaida, na kipengele hiki au kigawanyaji ni nambari asili ambayo imeinuliwa kwa nguvu.
Kwa hiyo, katika mfululizo aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
au 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
viashiria, ikiwa vinahesabiwa kutoka kulia kwenda kushoto, ni 1, 2, 3, 4, 5; na tofauti kati ya maadili yao ni 1. Ikiwa tutaanza kulia zidisha kwa a, tutafaulu kupata thamani nyingi.
Kwa hivyo a.a = a 2 , muhula wa pili. Na 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, awamu ya tatu. a 4 .a = a 5 .
Ikiwa tutaanza kushoto kugawanya kwa,
tunapata 5:a = a 4 na a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Lakini mchakato huu wa mgawanyiko unaweza kuendelea zaidi, na tunapata seti mpya ya maadili.
Kwa hiyo, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Safu kamili itakuwa: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Au 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.
Hapa kuna maadili kulia kutoka kwa moja kuna kinyume maadili upande wa kushoto wa moja. Kwa hivyo digrii hizi zinaweza kuitwa nguvu kinyume a. Tunaweza pia kusema kwamba mamlaka upande wa kushoto ni inverses ya mamlaka ya kulia.
Kwa hivyo, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Na 1:(1/a 3) = a 3.
Mpango sawa wa kurekodi unaweza kutumika kwa polynomials. Kwa hivyo, kwa + b, tunapata seti,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .
Kwa urahisi, njia nyingine ya kuandika nguvu za kubadilishana hutumiwa.
Kulingana na fomu hii, 1/a au 1/a 1 = a -1. Na 1/aaa au 1/a 3 = a -3 .
1/aa au 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa au 1/a 4 = a -4 .
Na ili kufanya mfululizo kamili na 1 kama tofauti kamili na vielezi, a/a au 1 inachukuliwa kuwa kitu ambacho hakina digrii na kimeandikwa kama 0 .
Kisha, kwa kuzingatia nguvu za moja kwa moja na za kinyume
badala ya aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
unaweza kuandika 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Au +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Na safu ya digrii za mtu binafsi tu itaonekana kama:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Mzizi wa shahada unaweza kuonyeshwa kwa zaidi ya herufi moja.
Hivyo, aa.aa au (aa) 2 ni nguvu ya pili ya aa.
Na aa.aa.aa au (aa) 3 ni nguvu ya tatu ya aa.
Nguvu zote za nambari 1 ni sawa: 1.1 au 1.1.1. itakuwa sawa na 1.
Ufafanuzi ni kutafuta thamani ya nambari yoyote kwa kuzidisha nambari hiyo peke yake. Kanuni ya udhihirisho:
Zidisha wingi peke yake mara nyingi kama inavyoonyeshwa katika uwezo wa nambari.
Sheria hii ni ya kawaida kwa mifano yote ambayo inaweza kutokea wakati wa mchakato wa ufafanuzi. Lakini ni sawa kutoa maelezo ya jinsi inavyotumika kwa kesi fulani.
Iwapo neno moja tu litainuliwa kuwa mamlaka, basi linazidishwa lenyewe mara nyingi kama inavyoonyeshwa na kipeo.
Nguvu ya nne ya a ni 4 au aaaa. (Kifungu cha 195.)
Nguvu ya sita ya y ni y 6 au yyyyyy.
Nguvu ya Nth ya x ni x n au xxx..... n mara kwa mara.
Ikiwa ni muhimu kuinua usemi wa maneno kadhaa kwa mamlaka, kanuni hiyo nguvu ya bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mambo haya yaliyotolewa kwa nguvu.
Kwa hivyo (ay) 2 =a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Lakini ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Kwa hiyo, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Kwa hivyo, katika kupata nguvu ya bidhaa, tunaweza kufanya kazi na bidhaa nzima mara moja, au tunaweza kufanya kazi na kila sababu kando, na kisha kuzidisha maadili yao kwa nguvu.
Mfano 1. Nguvu ya nne ya dhy ni (dhy) 4, au d 4 h 4 y 4.
Mfano 2. Nguvu ya tatu ni 4b, kuna (4b) 3, au 4 3 b 3, au 64b 3.
Mfano 3. Nguvu ya Nth ya 6ad ni (6ad) n au 6 n a n d n.
Mfano 4. Nguvu ya tatu ya 3m.2y ni (3m.2y) 3, au 27m 3 .8y 3.
Kiwango cha binomial, inayojumuisha maneno yaliyounganishwa na + na -, huhesabiwa kwa kuzidisha masharti yake. Ndiyo,
(a + b) 1 = a + b, shahada ya kwanza.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, nguvu ya pili (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, nguvu ya tatu.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, nguvu ya nne.
Mraba wa a -b ni 2 - 2ab + b 2.
Mraba wa + b + h ni 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
Zoezi la 1. Tafuta mchemraba a + 2d + 3
Zoezi 2. Tafuta nguvu ya nne ya b + 2.
Zoezi la 3. Tafuta nguvu ya tano ya x + 1.
Zoezi 4. Pata nguvu ya sita 1 - b.
Jumla ya mraba kiasi Na tofauti binomials hutokea mara nyingi katika algebra kwamba ni muhimu kuzijua vizuri sana.
Ikiwa tutazidisha + h peke yake au a -h peke yake,
tunapata: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 pia, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2.
Hii inaonyesha kwamba katika kila kisa, maneno ya kwanza na ya mwisho ni miraba ya a na h, na neno la kati ni mara mbili ya bidhaa ya a na h. Kuanzia hapa, mraba wa jumla na tofauti ya binomials inaweza kupatikana kwa kutumia sheria ifuatayo.
Mraba wa binomial, masharti yote mawili ambayo ni chanya, ni sawa na mraba wa muhula wa kwanza + mara mbili ya bidhaa ya maneno yote mawili + mraba wa muhula wa mwisho.
Mraba tofauti binomia ni sawa na mraba wa muhula wa kwanza kutoa mara mbili ya bidhaa ya maneno yote mawili pamoja na mraba wa muhula wa pili.
Mfano 1. Mraba 2a + b, kuna 4a 2 + 4ab + b 2.
Mfano 2. Mraba ab + cd, kuna 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.
Mfano 3. Mraba 3d - h, kuna 9d 2 + 6dh + h 2.
Mfano 4. Mraba a - 1 ni 2 - 2a + 1.
Kwa njia ya kupata nguvu za juu za binomials, angalia sehemu zifuatazo.
Katika hali nyingi ni bora kuandika digrii bila kuzidisha.
Kwa hivyo, mraba wa + b ni (a + b) 2.
Nguvu ya Nth ya bc + 8 + x ni (bc + 8 + x) n
Katika hali kama hizi, mabano hufunika Wote wanachama walio chini ya shahada.
Lakini ikiwa mzizi wa shahada unajumuisha kadhaa vizidishio, mabano yanaweza kufunika usemi mzima, au yanaweza kutumika kando kwa vipengele kulingana na urahisi.
Kwa hivyo, mraba (a + b)(c + d) ni ama [(a + b).(c + d)] 2 au (a + b) 2 .(c + d) 2.
Kwa kwanza ya maneno haya, matokeo ni mraba wa bidhaa ya mambo mawili, na kwa pili, matokeo ni bidhaa ya mraba wao. Lakini wao ni sawa kwa kila mmoja.
Mchemraba a.(b + d), ni 3, au 3.(b + d) 3.
Ishara mbele ya wanachama wanaohusika lazima pia izingatiwe. Ni muhimu kukumbuka kuwa wakati mzizi wa digrii ni chanya, nguvu zake zote chanya pia ni chanya. Lakini wakati mzizi ni hasi, maadili na isiyo ya kawaida nguvu ni hasi, wakati maadili hata digrii ni chanya.
Shahada ya pili (- a) ni +a 2
Shahada ya tatu (-a) ni -a 3
Nguvu ya nne (-a) ni +a 4
Nguvu ya tano (-a) ni -a 5
Kwa hivyo yoyote isiyo ya kawaida shahada ina ishara sawa na nambari. Lakini hata shahada ni chanya bila kujali kama nambari ina ishara hasi au chanya.
Kwa hivyo, +a+a = +a2
Na -a.-a = +a 2
Kiasi ambacho tayari kimepandishwa kwa nguvu kinapandishwa hadi kwenye nguvu tena kwa kuzidisha vipeo.
Nguvu ya tatu ya 2 ni 2.3 = a 6.
Kwa 2 = aa; mchemraba aa ni aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; ambayo ni nguvu ya sita ya a, lakini nguvu ya tatu ya 2.
Nguvu ya nne ya 3 b 2 ni 3.4 b 2.4 = a 12 b 8
Nguvu ya tatu ya 4a 2 x ni 64a 6 x 3.
Nguvu ya tano ya (a + b) 2 ni (a + b) 10.
Nguvu ya Nth ya 3 ni 3n
Nguvu ya Nth ya (x - y) m ni (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Sheria inatumika kwa usawa hasi digrii.
Mfano 1. Nguvu ya tatu ya -2 ni -3.3 =a -6.
Kwa -2 = 1/aa, na nguvu ya tatu ya hii
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6
Nguvu ya nne ya 2 b -3 ni 8 b -12 au 8 /b 12.
Mraba ni b 3 x -1, kuna b 6 x -2.
Nguvu ya Nth ya shoka -m ni x -mn au 1/x.
Hata hivyo, ni lazima kukumbuka hapa kwamba kama ishara uliopita shahada ni "-", basi lazima ibadilishwe hadi "+" wakati wowote digrii ni nambari sawa.
Mfano 1. Mraba -a 3 ni +a 6. Mraba wa -a 3 ni -a 3 .-a 3, ambayo, kulingana na sheria za ishara katika kuzidisha, ni +a 6.
2. Lakini mchemraba -a 3 ni -a 9. Kwa -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. Nguvu ya Nth -a 3 ni 3n.
Hapa matokeo yanaweza kuwa chanya au hasi kulingana na ikiwa n ni sawa au isiyo ya kawaida.
Kama sehemu inapandishwa hadi kwenye nguvu, kisha nambari na dhehebu huinuliwa kwa nguvu.
Mraba wa a/b ni 2 /b 2 . Kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
Nguvu ya pili, ya tatu na ya nth ya 1/a ni 1/a 2, 1/a 3 na 1/a n.
Mifano binomials, ambapo moja ya maneno ni sehemu.
1. Pata mraba wa x + 1/2 na x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. Mraba wa + 2/3 ni 2 + 4a/3 + 4/9.
3. Mraba x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.
4 Mraba wa x - b/m ni x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2.
Hapo awali ilionyeshwa hivyo mgawo wa sehemu inaweza kuhamishwa kutoka kwa nambari hadi kwa denominator au kutoka kwa nambari hadi kwa nambari. Kwa kutumia mpango wa kuandika mamlaka ya kubadilishana, ni wazi kwamba kizidishi chochote inaweza pia kuhamishwa, ikiwa ishara ya digrii imebadilishwa.
Kwa hivyo, katika shoka ya sehemu -2 /y, tunaweza kuhamisha x kutoka kwa nambari hadi kwa denominator.
Kisha shoka -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
Katika sehemu a/kwa 3, tunaweza kuhamisha y kutoka kwa kiashiria hadi kwa nambari.
Kisha a/kwa 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kuhamisha kipengele ambacho kina kipeo chanya kwa nambari au kipengele kilicho na kipeo hasi kwa dhehebu.
Kwa hivyo, shoka 3 /b = a/bx -3. Kwa x 3 kinyume ni x -3 , ambayo ni x 3 = 1/x -3 .
Kwa hivyo, denominator ya sehemu yoyote inaweza kuondolewa kabisa, au nambari inaweza kupunguzwa hadi moja, bila kubadilisha maana ya usemi.
Kwa hivyo, a/b = 1/ba -1 , au ab -1 .
Tuligundua nguvu ya nambari ni nini. Sasa tunahitaji kuelewa jinsi ya kuhesabu kwa usahihi, i.e. kuongeza idadi kwa mamlaka. Katika nyenzo hii tutachambua sheria za msingi za kuhesabu digrii katika kesi ya watoaji kamili, wa asili, wa sehemu, wa busara na wasio na maana. Ufafanuzi wote utaonyeshwa kwa mifano.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dhana ya ufafanuzi
Wacha tuanze kwa kuunda ufafanuzi wa kimsingi.
Ufafanuzi 1
Ufafanuzi- hii ni hesabu ya thamani ya nguvu ya nambari fulani.
Hiyo ni, maneno "kuhesabu thamani ya nguvu" na "kuinua kwa nguvu" yanamaanisha kitu kimoja. Kwa hivyo, ikiwa shida inasema "Pandisha nambari 0, 5 hadi nguvu ya tano," hii inapaswa kueleweka kama "hesabu thamani ya nguvu (0, 5) 5.
Sasa tunawasilisha sheria za msingi ambazo zinapaswa kufuatiwa wakati wa kufanya mahesabu hayo.
Hebu tukumbuke nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia ni nini. Kwa nguvu iliyo na msingi a na kipeo n, hii itakuwa bidhaa ya nambari ya nth ya mambo, ambayo kila moja ni sawa na a. Hii inaweza kuandikwa kama hii:
Ili kuhesabu thamani ya digrii, unahitaji kufanya hatua ya kuzidisha, yaani, kuzidisha besi za digrii idadi maalum ya nyakati. Wazo lenyewe la digrii iliyo na kielelezo asilia inategemea uwezo wa kuzidisha haraka. Hebu tutoe mifano.
Mfano 1
Hali: kuinua - 2 kwa nguvu 4.
Suluhisho
Kwa kutumia ufafanuzi hapo juu, tunaandika: (− 2) 4 = (- 2) · (- 2) · (- 2) · (- 2) . Ifuatayo, tunahitaji tu kufuata hatua hizi na kupata 16.
Hebu tuchukue mfano mgumu zaidi.
Mfano 2
Kuhesabu thamani 3 2 7 2
Suluhisho
Ingizo hili linaweza kuandikwa upya kama 3 2 7 · 3 2 7 . Hapo awali, tuliangalia jinsi ya kuzidisha kwa usahihi nambari zilizochanganywa zilizotajwa katika hali hiyo.
Wacha tutekeleze hatua hizi na tupate jibu: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Ikiwa shida inaonyesha hitaji la kuongeza nambari zisizo na maana kwa nguvu ya asili, tutahitaji kwanza kuzunguka besi zao kwa nambari ambayo itaturuhusu kupata jibu la usahihi unaohitajika. Hebu tuangalie mfano.
Mfano 3
Tekeleza mraba wa π.
Suluhisho
Kwanza, wacha tuizungushe hadi mia. Kisha π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ikiwa π ≈ 3. 14159, basi tunapata matokeo sahihi zaidi: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Kumbuka kwamba hitaji la kuhesabu nguvu za nambari zisizo na mantiki hutokea mara chache katika mazoezi. Kisha tunaweza kuandika jibu kama nguvu (ln 6) 3 yenyewe, au kubadilisha ikiwezekana: 5 7 = 125 5 .
Kando, inapaswa kuonyeshwa nguvu ya kwanza ya nambari ni nini. Hapa unaweza kukumbuka tu kwamba nambari yoyote iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza itabaki yenyewe:
Hii ni wazi kutoka kwa rekodi 
.
Haitegemei msingi wa digrii.
Mfano 4
Kwa hivyo, (− 9) 1 = − 9, na 7 3 iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza itabaki sawa na 7 3.
Kwa urahisi, tutachunguza kesi tatu tofauti: ikiwa kipeo ni nambari chanya, ikiwa ni sifuri na ikiwa ni nambari hasi.
Katika kesi ya kwanza, hii ni sawa na kuinua kwa nguvu ya asili: baada ya yote, nambari chanya ni za seti ya nambari za asili. Tayari tumezungumza juu ya jinsi ya kufanya kazi na digrii kama hizo.
Sasa hebu tuone jinsi ya kuongeza kwa usahihi hadi nguvu ya sifuri. Kwa msingi mwingine zaidi ya sifuri, hesabu hii daima hutoa 1. Hapo awali tulielezea kuwa nguvu ya 0 ya a inaweza kufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi isiyo sawa na 0, na 0 = 1.
Mfano 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - haijafafanuliwa.
Tumebakiwa na kesi ya shahada pekee yenye kipeo kamili cha hasi. Tayari tumejadili kwamba digrii kama hizo zinaweza kuandikwa kama sehemu 1 a z, ambapo a ni nambari yoyote, na z ni nambari hasi. Tunaona kwamba dhehebu la sehemu hii sio kitu zaidi ya nguvu ya kawaida na kielelezo chanya kamili, na tayari tumejifunza jinsi ya kuhesabu. Wacha tutoe mifano ya kazi.
Mfano 6
Inua 3 kwa nguvu - 2.
Suluhisho
Kwa kutumia ufafanuzi hapo juu, tunaandika: 2 - 3 = 1 2 3
Wacha tuhesabu dhehebu la sehemu hii na tupate 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Kisha jibu ni: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Mfano 7
Ongeza 1.43 hadi -2 nguvu.
Suluhisho
Wacha tufanye upya: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Tunahesabu mraba katika denominator: 1.43 · 1.43. Desimali zinaweza kuzidishwa kwa njia hii: 
Kama matokeo, tulipata (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Tunachotakiwa kufanya ni kuandika matokeo haya kwa namna ya sehemu ya kawaida, ambayo tunahitaji kuizidisha kwa elfu 10 (tazama nyenzo za kubadilisha sehemu).
Jibu: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Kesi maalum ni kuongeza nambari hadi toa nguvu ya kwanza. Thamani ya shahada hii ni sawa na uwiano wa thamani ya awali ya msingi: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Mfano 8
Mfano: 3 − 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ya sehemu
Ili kufanya operesheni hiyo, tunahitaji kukumbuka ufafanuzi wa msingi wa shahada na kielelezo cha sehemu: m n = a m n kwa chanya yoyote a, integer m na asili n.
Ufafanuzi 2
Kwa hivyo, hesabu ya nguvu ya sehemu lazima ifanywe kwa hatua mbili: kuinua kwa nguvu kamili na kutafuta mzizi wa nguvu ya nth.
Tuna usawa a m n = a m n , ambayo, kwa kuzingatia mali ya mizizi, kwa kawaida hutumiwa kutatua matatizo katika fomu m n = a n m . Hii inamaanisha kwamba ikiwa tutainua nambari hadi kwa nguvu ya sehemu m / n, basi kwanza tunachukua mzizi wa nth wa a, kisha tunainua matokeo kwa nguvu iliyo na kipeo kamili cha m.
Hebu tuonyeshe kwa mfano.
Mfano 9
Hesabu 8 - 2 3 .
Suluhisho
Njia ya 1: Kulingana na ufafanuzi wa kimsingi, tunaweza kuwakilisha hii kama: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Sasa hebu tuhesabu shahada chini ya mzizi na tuondoe mzizi wa tatu kutoka kwa matokeo: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Njia ya 2. Badilisha usawa wa kimsingi: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Baada ya hayo, tunatoa mzizi 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 na mraba matokeo: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Tunaona kwamba ufumbuzi ni sawa. Unaweza kuitumia kwa njia yoyote unayopenda.
Kuna matukio wakati shahada ina kiashirio kilichoonyeshwa kama nambari iliyochanganywa au sehemu ya desimali. Ili kurahisisha mahesabu, ni bora kuibadilisha na sehemu ya kawaida na kuhesabu kama ilivyoonyeshwa hapo juu.
Mfano 10
Inua 44, 89 kwa uwezo wa 2, 5.
Suluhisho
Wacha tubadilishe thamani ya kiashiria kuwa sehemu ya kawaida - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Sasa tunafanya kwa utaratibu vitendo vyote vilivyoonyeshwa hapo juu: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1007 = 1350 = 1350 = 1307 501, 25107
Jibu: 13 501, 25107.
Ikiwa nambari na denominator ya kipeo cha sehemu ina idadi kubwa, basi kuhesabu vielelezo kama hivyo na vielelezo vya busara ni kazi ngumu sana. Kawaida inahitaji teknolojia ya kompyuta.
Wacha tukae kando juu ya nguvu zilizo na msingi wa sifuri na kielelezo cha sehemu. Usemi wa fomu 0 m n unaweza kupewa maana ifuatayo: ikiwa m n > 0, basi 0 m n = 0 m n = 0; ikiwa m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu isiyo na maana
Haja ya kukokotoa thamani ya nguvu ambayo kipeo chake ni nambari isiyo na mantiki haitokei mara kwa mara. Katika mazoezi, kazi kawaida ni mdogo kwa kuhesabu thamani ya takriban (hadi idadi fulani ya maeneo ya decimal). Kawaida hii huhesabiwa kwenye kompyuta kutokana na utata wa mahesabu hayo, kwa hiyo hatuwezi kukaa juu ya hili kwa undani, tutaonyesha tu masharti makuu.
Ikiwa tunahitaji kukokotoa thamani ya nguvu a iliyo na kipeo kisicho na mantiki a, basi tunachukua ukadiriaji wa desimali wa kipeo na kuhesabu kutoka kwayo. Matokeo yake yatakuwa jibu la takriban. Kadiri ukadiriaji wa desimali unavyokuwa sahihi zaidi, ndivyo jibu lilivyo sahihi zaidi. Wacha tuonyeshe kwa mfano:
Mfano 11
Piga hesabu ya takriban thamani ya 21, 174367....
Suluhisho
Wacha tujiwekee kikomo kwa ukadiriaji wa desimali a n = 1, 17. Wacha tufanye mahesabu kwa kutumia nambari hii: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ikiwa tutachukua, kwa mfano, makadirio ya n = 1, 1743, basi jibu litakuwa sahihi zaidi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Ufafanuzi ni operesheni inayohusiana kwa karibu na kuzidisha; operesheni hii ni matokeo ya kuzidisha nambari yenyewe mara kwa mara. Wacha tuwakilishe kwa fomula: a1 * a2 * … * an = an.
Kwa mfano, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Kwa ujumla, ufafanuzi mara nyingi hutumiwa katika fomula mbalimbali katika hisabati na fizikia. Kazi hii ina madhumuni ya kisayansi zaidi kuliko yale manne kuu: Kuongeza, Kutoa, Kuzidisha, Mgawanyiko.
Kuinua nambari hadi nguvu
Kuinua nambari hadi kwa nguvu sio kazi ngumu. Inahusiana na kuzidisha kwa njia sawa na uhusiano kati ya kuzidisha na kuongeza. Nukuu an ni nukuu fupi ya nambari ya nth ya nambari "a" iliyozidishwa kwa kila moja.
Fikiria ufafanuzi kwa kutumia mifano rahisi zaidi, ukienda kwenye ngumu.
Kwa mfano, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Nne za mraba (kwa nguvu ya pili) ni sawa na kumi na sita. Ikiwa hauelewi kuzidisha 4 * 4, basi soma nakala yetu kuhusu kuzidisha.
Hebu tuangalie mfano mwingine: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Michemraba mitano (hadi nguvu ya tatu) ni sawa na mia moja ishirini na tano.
Mfano mwingine: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Mchemraba tisa ni sawa na mia saba ishirini na tisa.
Fomula za maelezo
Ili kuongeza nguvu kwa usahihi, unahitaji kukumbuka na kujua fomula zilizopewa hapa chini. Hakuna kitu cha ziada cha asili katika hili, jambo kuu ni kuelewa kiini na kisha hawatakumbukwa tu, lakini pia itaonekana kuwa rahisi.
Kuinua monomial kwa nguvu
Monomial ni nini? Hii ni bidhaa ya nambari na vigezo kwa wingi wowote. Kwa mfano, mbili ni monomial. Na nakala hii inahusu kuinua monomia kama hao kwa mamlaka.
Kwa kutumia fomula za ufafanuzi, haitakuwa vigumu kuhesabu upanuzi wa monomial.
Kwa mfano, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ikiwa utainua monomial kwa nguvu, basi kila sehemu ya monomial inainuliwa kwa nguvu.
Kwa kuinua kigezo ambacho tayari kina nguvu kwa mamlaka, mamlaka yanazidishwa. Kwa mfano, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Kuinua kwa nguvu hasi
Nguvu hasi ni ulinganifu wa nambari. Nambari ya kubadilishana ni nini? Uwiano wa nambari yoyote X ni 1/X. Hiyo ni, X-1=1/X. Hiki ndicho kiini cha daraja hasi.
Fikiria mfano (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Kwanini hivyo? Kwa kuwa kuna minus katika digrii, tunahamisha usemi huu kwa dhehebu, na kisha tuinua kwa nguvu ya tatu. Rahisi sivyo?
Kuinua kwa nguvu ya sehemu
Wacha tuanze kwa kuangalia suala hilo kwa mfano maalum. 43/2. Shahada ya 3/2 inamaanisha nini? 3 - nambari, inamaanisha kuinua nambari (katika kesi hii 4) hadi mchemraba. Nambari ya 2 ni dhehebu; ni uchimbaji wa mzizi wa pili wa nambari (katika kesi hii, 4).
Kisha tunapata mzizi wa mraba wa 43 = 2^3 = 8. Jibu: 8.
Kwa hivyo, dhehebu la nguvu ya sehemu inaweza kuwa 3 au 4 au hadi infinity nambari yoyote, na nambari hii huamua kiwango cha mzizi wa mraba uliochukuliwa kutoka nambari fulani. Bila shaka, denominator haiwezi kuwa sifuri.
Kuinua mzizi kwa nguvu
Ikiwa mzizi umeinuliwa kwa kiwango sawa na kiwango cha mzizi yenyewe, basi jibu litakuwa usemi mkali. Kwa mfano, (√x)2 = x. Na hivyo kwa hali yoyote, kiwango cha mzizi na kiwango cha kuinua mzizi ni sawa.
Ikiwa (√x)^4. Kisha (√x)^4=x^2. Ili kuangalia suluhisho, tunabadilisha usemi kuwa usemi na nguvu ya sehemu. Kwa kuwa mzizi ni mraba, dhehebu ni 2. Na ikiwa mzizi umeinuliwa kwa nguvu ya nne, basi nambari ni 4. Tunapata 4/2=2. Jibu: x = 2.
Kwa hali yoyote, chaguo bora ni kubadilisha tu usemi kuwa usemi na nguvu ya sehemu. Ikiwa sehemu haina kufuta, basi hii ndiyo jibu, mradi mzizi wa nambari iliyotolewa haujatengwa.
Kuongeza nambari changamano kwa nguvu
Nambari changamano ni nini? Nambari changamano ni usemi ambao una fomula a + b * i; a, b ni nambari halisi. i ni nambari ambayo, ikiwa mraba, inatoa nambari -1.
Hebu tuangalie mfano. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Jisajili kwa kozi "Harakisha hesabu ya akili, SI hesabu ya kiakili" ili ujifunze jinsi ya kuongeza, kutoa, kuzidisha, kugawanya, kugawanya, nambari za mraba na hata kutoa mizizi haraka na kwa usahihi. Baada ya siku 30, utajifunza jinsi ya kutumia mbinu rahisi ili kurahisisha utendakazi wa hesabu. Kila somo lina mbinu mpya, mifano wazi na kazi muhimu.
Ufafanuzi mtandaoni
Kwa kutumia kikokotoo chetu, unaweza kuhesabu kuinua nambari hadi nguvu:
Ufafanuzi wa daraja la 7
Watoto wa shule huanza kuinua nguvu katika darasa la saba tu.
Ufafanuzi ni operesheni inayohusiana kwa karibu na kuzidisha; operesheni hii ni matokeo ya kuzidisha nambari yenyewe mara kwa mara. Wacha tuwakilishe kwa fomula: a1 * a2 * … * an=an.
Kwa mfano, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Mifano ya suluhisho:
Uwasilishaji wa ufafanuzi
Wasilisho kuhusu kuongeza madaraka, iliyoundwa kwa ajili ya wanafunzi wa darasa la saba. Uwasilishaji unaweza kufafanua baadhi ya mambo yasiyoeleweka, lakini mambo haya labda hayatafutwa kutokana na makala yetu.
Mstari wa chini
Tumeangalia tu ncha ya barafu, ili kuelewa hisabati vyema - jiandikishe kwa kozi yetu: Kuongeza kasi ya hesabu ya akili - SI hesabu ya akili.
Kutoka kwa kozi hiyo hautajifunza tu mbinu kadhaa za kuzidisha rahisi na haraka, kuongeza, kuzidisha, mgawanyiko, na kuhesabu asilimia, lakini pia utazifanyia mazoezi katika kazi maalum na michezo ya kielimu! Hesabu ya akili pia inahitaji tahadhari nyingi na mkusanyiko, ambayo ni mafunzo kikamilifu wakati wa kutatua matatizo ya kuvutia.