Tatizo linahitaji kuamua muda inachukua kukamilisha kazi nzima katika tatu timu zinazofanya kazi pamoja, yaani, ukubwa1/ .

Ni wazi, ni rahisi zaidi kusuluhisha mfumo wa hesabu (1)-(3) ikiwa utaanzisha anuwai mpya: , Tunahitaji kupata thamani

l/(u + v+ w) .Kisha tuna mfumo sawa

Kutatua mfumo huu wa mstari, tunapata kwa urahisiu= Kisha thamani inayotakiwa ni 1/ HivyoKwa hivyo, kwa kufanya kazi kwa pamoja, timu zote tatu zitamaliza kazi yote kwa siku 16.

Jibu: ndani ya siku 16. Ikiwa tija ya kiwanda cha pili itaongezeka mara mbili, itakuwa sawa na karibu aina zote za kazi za tija zilizokutana.

Kazi

Wafanyakazi wawili kwa pamoja wanaweza kukamilisha baadhi ya kazi ndani ya siku 10. Baada ya siku 7 za kufanya kazi pamoja, mmoja wao aliugua, na mwingine akaacha kazi baada ya kufanya kazi kwa siku 9 nyingine. Saa ngapi kwa siku?Je, kila mfanyakazi peke yake anaweza kufanya kazi yote?

Wafanyakazi kadhaa walimaliza kazi hiyo kwa siku chache. Ikiwa idadi ya wafanyikazi itaongezekaIkiwa idadi ya wafanyakazi huongezeka kwa 3, basi kazi itafanyika siku 2 mapema, na ikiwa idadi ya wafanyakazi huongezeka kwa 12, basi siku 5 mapema. Amua idadi ya wafanyikazi na wakati unaohitajika kukamilisha kazi hii.

Pampu mbili za nguvu tofauti, zikifanya kazi pamoja, kujaza bwawa katika masaa 4 Ili kujaza nusu ya bwawa, pampu ya kwanza inahitaji muda wa saa 4 zaidi kuliko ya pili ili kujaza robo tatu ya bwawa. Inachukua muda gani kujaza bwawa kwa kila pampu kivyake?

10. Meli imepakiwa na korongo. Kwanza, cranes nne za nguvu sawa zilifanya kazi kwa saa 2, kisha ziliunganishwa na cranes mbili zaidi, lakini za nguvu za chini, na saa 3 baada ya hapo, upakiaji ulikamilishwa. Ikiwa cranes zote zilianza kufanya kazi kwa wakati mmoja, upakiaji utakuwa kazi iliyobaki. Uzalishaji wa brigade ya tatu ni sawa na nusu ya jumla ya tija ya brigade ya kwanza na ya pili. Je, tija ya timu ya pili ni kubwa mara ngapi kuliko tija ya timu ya tatu?

15. Vikundi viwili vya wapiga plasta, wakifanya kazi pamoja, walipiga lipu jengo la makazi kwa siku 6. Wakati mwingine walipiga plasta rungu na kufanya kazi mara tatu ya kazi ambayo wangefanya ya kupaka lipu jengo la makazi. Timu ya kwanza ilifanya kazi kwenye kilabu hapo kwanza, na kisha timu ya pili ikabadilisha na kumaliza kazi, na timu ya kwanza ilikamilisha idadi ya kazi mara mbili ya pili. Waliipiga kilabu ndani ya siku 35. Katika siku ngapi brigade ya kwanza ingewezakutembelea jengo la makazi ikiwa inajulikana kuwa timu ya pili ingetumia zaidi ya siku 14 juu yake?

Timu mbili zilianza kufanya kazi saa 8:00 Baada ya kutengeneza sehemu 72 pamoja, zilianza kufanya kazi kando. Saa 15:00 iliibuka kuwa wakati wa kazi tofauti, timu ya kwanza ilifanya sehemu 8 zaidi kuliko ya pili. Siku iliyofuata, timu ya kwanza ilifanya sehemu moja zaidi katika saa 1, na timu ya pili ilifanya sehemu moja ndogo katika saa 1 kuliko siku ya kwanza. Timu zilianza kufanya kazi pamoja saa 8 na, baada ya kukamilisha sehemu 72, zilianza kufanya kazi tofauti tena. Sasa, wakati wa kazi tofauti, timu ya kwanza ilifanya sehemu 8 zaidi kuliko ya pili, ifikapo saa 13:00 kila timu ilifanya sehemu ngapi kwa saa?

Wafanyikazi watatu lazima watengeneze sehemu 80 zinazofanana. Inajulikana kuwa zote tatu kwa pamoja hufanya sehemu 20 kwa saa moja. Wa kwanza alianza kazi kwanzakufanya kazi Alifanya sehemu 20, akitumia zaidi ya masaa 3 kwenye uzalishaji wao kazi iliyobaki ilifanywa pamoja na wafanyikazi wa pili na wa tatu. Kazi nzima ilichukua masaa 8. Je, mfanyakazi wa kwanza atamchukua saa ngapi kutengeneza sehemu zote 80?

Bwawa hujaa maji kupitia bomba la kwanza kwa masaa 5 haraka kuliko bomba la pili, na masaa 30 haraka kuliko bomba la tatu. Inajulikana kuwauwezo wa kubeba bomba la tatu ni mara 2.5 chini ya uwezo wa bomba la kwanza na 24 m 3 / h ni chini ya uwezo wa bomba la pili. Tafuta matokeo mabomba ya kwanza na ya tatu.

Wachimbaji wawili, ambao wa kwanza wana tija kidogo, walichimba naokazi ya pamoja, shimo na kiasi cha 240 m 3 . Kisha wa kwanza akaanza kuchimba shimo la pili, na la pili akaendelea kuchimba la kwanza. Masaa 7 baada ya kuanza kwa kazi yao, kiasi cha shimo la kwanza kilikuwa 480 m 3 kubwa kuliko kiasi cha shimo la pili. Siku iliyofuata, mchimbaji wa pili aliongeza tija yake kwa mita 10 3 / h, na ya kwanza ilipungua kwa 10 m 3 /h. Kwanza, walichimba shimo pamoja kwa mita 240 3 , baada ya hapo wa kwanza akaanza kuchimba shimo lingine, na wa pili akaendelea kuchimba la kwanza. Sasa kiasi cha shimo la kwanza imekuwa 480 m 3 kubwa kuliko kiasi cha shimo la pili tayari saa 5 baada ya wachimbaji kuanza kufanya kazi. Wachimbaji waliondoa udongo kiasi gani kwa saa siku ya kwanza ya kazi?

Magari matatu husafirisha nafaka, zikiwa zimejaa kwa kila safari. Wakati wa ndege moja, gari la kwanza na la pili husafirishwa pamoja6 tani za nafaka, na ya kwanza na ya tatu kwa pamoja husafirisha katika ndege 2 kiasi sawa cha nafaka kama ya pili katika safari 3 za ndege. Gari la pili husafirisha nafaka kiasi gani katika safari moja, ikiwa inajulikana kuwa gari la pili na la tatu husafirisha kiasi fulani cha nafaka pamoja, nakufanya safari mara 3 chache kuliko inavyohitajika kwa gari la tatu kusafirisha kiasi sawa cha nafaka?

Wachimbaji wawili miundo tofauti lazima kuweka mitaro miwili ya upana sawaurefu wa sehemu nyembamba 960mi180 m kazi nzima ilidumu siku 22, wakati ambapo mchimbaji wa kwanza aliweka mfereji mkubwa. Mchimbaji wa pili alianza kufanya kazi siku 6 baadaye kuliko ya kwanza, akachimba mfereji mdogo, akarekebishwa kwa siku 3 na kisha akasaidia wa kwanza. Ikiwa hakukuwa na haja ya kupoteza muda katika ukarabati, kazi hiyo ingekamilika kwa siku 21. Je, kila mchimbaji anaweza kuchimba mita ngapi kwa siku?

Brigedi tatu zililima mashamba mawili na eneo la jumla hekta 120. Shamba la kwanza lililimwa kwa siku 3, na wafanyakazi wote watatu walifanya kazi pamoja. Shamba la pili lililimwa kwa siku 6 za shamba la kwanza na la piliigadami. Ikiwa timu zote tatu zilifanya kazi kwenye uwanja wa pili kwa siku 1, basi timu ya kwanza inaweza kulima sehemu iliyobaki ya shamba la pili katika siku 8. Timu ya pili ililima hekta ngapi kwa siku?

Mabomba mawili ya kipenyo sawa yanaunganishwa na mabwawa mawili(Kwakila bwawa lina bomba lake). Kiasi fulani cha maji kilimwagika kwenye bwawa la kwanza kupitia bomba la kwanza, na mara baada ya hapo kiasi sawa cha maji kilimwagika kwenye bwawa la pili kupitia bomba la pili, na yote haya yalichukua masaa 16 muda mwingi kama wa pili, na wa pili - muda mwingi kama wa kwanza, basi maji yangemiminwa kupitia bomba la kwanza kwa mita 320. 3 chini ya ya pili. Ikiwa kupitia ya kwanza itapita 10 m 3 chini, na baada ya pili - kwa 10 m 3 maji zaidi, basi ingechukua saa 20 kumwaga kiasi cha awali cha maji kwenye bwawa (kwanza hadi cha kwanza, na kisha hadi cha pili).

Misafara miwili ikijumuisha idadi sawa magari yanayosafirisha mizigo. Katika kila gariMagari yana uwezo sawa wa kubeba na hupakiwa kikamilifu wakati wa safari. Uwezo wa kubeba magari katika misafara tofauti ni tofauti, na katika safari moja msafara wa kwanza husafirisha tani 40 za mizigo zaidi ya msafara wa pili. Ikiwa tutapunguza idadi ya magari katika msafara wa kwanza kwa 2, na katika msafara wa pili na 10, basi msafara wa kwanza utasafirisha tani 90 za mizigo katika safari 1, na msafara wa pili utasafirisha tani 90 za mizigo katika safari 3. Je, ni uwezo gani wa kubeba magari katika msafara wa pili?

Mfanyakazi mmoja anaweza kutoa kundi la sehemu kwa saa 12 Mfanyakazi mmoja alianza kazi, saa moja baadaye mwingine alijiunga naye, saa nyingine baadaye ya tatu, nk, hadi kazi ikamilike. Mfanyakazi wa kwanza alifanya kazi kwa muda gani? (Tija ya kazi ya wafanyikazi wote ni sawa.)

Timu ya wafanyikazi walio na sifa sawa ililazimika kutoa kundi la sehemu. SnachKwanza, mfanyakazi mmoja alianza kazi, saa moja baadaye wa pili akajiunga naye, saa moja baadaye wa tatu, nk, hadi timu nzima ilipoanza kazi. Ikiwa washiriki wote wa timu wangefanya kazi tangu mwanzo, kazi hiyo ingekamilika kwa masaa 2 haraka. Ni wafanyikazi wangapi kwenye timu?

Wafanyakazi watatu walikuwa wakichimba mtaro. Mwanzoni mfanyakazi wa kwanza alifanya kazi nusu ya wakati, hapanailichukua wengine wawili kuchimba mtaro mzima, kisha mfanyakazi wa pili akafanya kazi nusu ya muda iliyowachukua wengine wawili kuchimba mtaro mzima, na hatimaye mfanyakazi wa tatu alifanya kazi nusu ya muda iliyowachukua wengine wawili kuchimba mtaro mzima. Matokeo yake, shimo lilichimbwa. Je, ni mara ngapi mtaro ungechimbwa ikiwa wafanyakazi wote watatu wangefanya kazi kwa wakati mmoja tangu mwanzo?

Aina za kazi

Aina za kazi.

Kusoma shida kwenye mada "Nambari za asili"

Nyangumi 6 waliokomaa wenye uzito wa wastani wa tani 150 kila mmoja waliinuliwa kwenye meli ya kuvua nyangumi, na vichwa vyao vilikatwa kwa msumeno. Je, mizoga yote 6 ya nyangumi bila vichwa ingefunika umbali gani ikiwa urefu wa nyangumi mzima ni mita 18 na urefu wa kichwa ni 1/3 ya nyangumi mzima?

Ili kutoa kilo 1 ya maziwa, kilo 500 za damu lazima zitiririke kupitia kiwele cha ng'ombe. Ili kupata kilo 20 za maziwa kutoka kwa ng'ombe kwa siku, ni tani ngapi za damu zitapita kwenye kiwele chake? Ni mara ngapi kwa siku damu itapita kwenye kiwele cha ng'ombe ikiwa ng'ombe ana kilo 40 za damu?

Meta moja ya ujazo isiyosafishwa Maji machafu kwa wastani huchafua 12.5 m3 za zile safi. Piga hesabu ni mita ngapi za ujazo za maji machafu ambayo hayajatibiwa zinatosha kuchafua kidimbwi cha maji katika bustani yako ya shule.

Kuongeza na kupunguza nambari za asili

Kazi zinalenga kurudia uhusiano kati ya mahusiano "kwa ... zaidi" na "kwa ... chini" na shughuli za kuongeza na kutoa.

Mwanafunzi wa kugeuza aligeuza sehemu 120 kwa zamu, na kigeuza akageuza sehemu 36 zaidi. Ni sehemu ngapi ziligeuzwa pamoja?

Mkusanyiko una mihuri 128. Kati ya hizi, 93 ni Warusi, na wengine ni wageni. Ni mihuri ngapi zaidi ya Kirusi iliyo kwenye mkusanyiko kuliko ya kigeni?

Tulifikiria nambari, tukaiongeza kwa 45 na tukapata 66. Tafuta nambari uliyofikiria.

Ili kutatua tatizo hili unaweza kutumia kuchora schematic 4, ambayo husaidia kuibua uhusiano kati ya shughuli za kuongeza na kutoa. Hasa msaada wa ufanisi mchoro utakuwa saa zaidi vitendo na ukubwa usiojulikana.

Mtini.4 Kutatua tatizo kwa michoro.

Tulifikiria nambari, tukaiongeza kwa 120, tukapunguza matokeo kwa 49. Tulipata 200. Tafuta nambari tuliyofikiria.

Kuna wasichana 44 katika madarasa matatu, ambayo ni 8 chini ya wavulana. Kuna wavulana wangapi katika madarasa matatu?

Mnunuzi kutoka 50 kusugua. Nilitoa rubles 30 kama malipo ya bidhaa zilizonunuliwa. na kupokea rubles 2. mabadiliko. Ana pesa ngapi?

Kuzidisha na mgawanyiko wa nambari za asili

Shida zimeundwa kukagua uunganisho wa uhusiano "zaidi katika ..." na "chini katika ..." na shughuli za kuzidisha na kugawanya. Katika baadhi yao, suluhisho ni ngumu kwa kuongeza hatua zinazohusiana na mahusiano ya "zaidi na ..." na "chini na ...".

Ongeza nambari 48 kwa 3, ongeza matokeo kwa mara 3. (Tatizo la zamani.)

Mikokoteni 9 yenye sahani zilitumwa kutoka kiwandani, kila moja ikiwa na masanduku 2, na kila sanduku na sahani 45 kadhaa. Je! ni sahani ngapi zilizobaki kiwandani?

Mwendesha baiskeli aliendesha kilomita 36 kwa kila siku 10. Je, anahitaji kusafiri kilomita ngapi kwa siku ili kurudi ndani ya siku 9?

Matatizo katika sehemu

Ili kutengeneza jam, chukua sehemu 2 za raspberries na sehemu 3 za sukari. Ni kilo ngapi za sukari unapaswa kuchukua kwa kilo 2 600 g ya matunda?

Kulikuwa na mara 4 kwenye rafu ya kwanza vitabu zaidi kuliko ya pili. Hii ni vitabu 12 zaidi kuliko kwenye rafu ya pili. Ni vitabu vingapi kwenye kila rafu?

Jumla ya nambari mbili ni 230. Ikiwa wa kwanza wao hupunguzwa na 20, basi nambari zinakuwa sawa.

Matatizo ya harakati za mto

Ili kufanikiwa kwa nyenzo hii, unapaswa kuelewa kwamba kasi kando ya sasa na dhidi ya sasa ni jumla na tofauti ya kasi ya mtu mwenyewe na kasi ya sasa.

Meli ilitumia saa 1 dakika 40 katika safari kutoka hatua A hadi B, na saa 2 katika safari ya kurudi mto unapita upande gani?

Moto wenye kasi yake ya kilomita 15 kwa saa ulielea kwa saa 2 kando ya mto na kwa saa 3 dhidi ya mto. Aliogelea umbali gani wakati wote ikiwa kasi ya mtiririko wa mto ni 2 km / h?

Boti yenye injini ilisafiri kilomita 48 kwenda chini kwa saa 3 na dhidi ya mkondo katika masaa 4 Tafuta kasi ya mkondo.

Aina tofauti za kazi za harakati

Shida za harakati kwa jadi ni ngumu kwa wanafunzi. Ili kuwaleta kwa dhana ya kasi ya kuondolewa katika tatizo, unapaswa: kupata umbali kati ya washiriki katika harakati katika hatua 3, kuandika. usemi wa nambari(kwa mfano, 3-4 + 3-5), toa sababu ya kawaida kutoka kwa mabano, uulize swali: je, jumla ya 4 + 5 inaonyesha nini?

Baada ya hayo, unahitaji kuonyesha suluhisho la tatizo katika hatua mbili kwa kutumia kiwango cha kuondolewa. Dhana ya -kasi ya mkabala imeanzishwa vivyo hivyo.

Watembea kwa miguu wawili walitoka kwa wakati mmoja maelekezo kinyume kutoka hatua moja. Kasi ya kwanza ni 4 km / h, kasi ya pili ni 5 km / h. Je, itakuwa umbali gani kati yao baada ya saa 3? Je, watembea kwa miguu husogea umbali wa kilomita ngapi kwa saa? (Idadi hii inaitwa kiwango cha uondoaji.)

Kutoka kwa vijiji viwili, umbali kati ya ambayo ni kilomita 36, ​​watembea kwa miguu wawili walitoka kwa wakati mmoja kuelekea kila mmoja. Kasi yao ni 4 km/h na 5 km/h. Watembea kwa miguu wanakaribiana kilomita ngapi kwa saa? (Kiasi hiki kinaitwa kasi ya kufunga).

Shida kwenye mada "Nambari za busara"

Matatizo ya sehemu ni ya zamani zaidi ambayo yametufikia. vyanzo vilivyoandikwa; suluhisho lao lilikuwa shida gumu sana hadi nukuu za sehemu za kawaida zilivumbuliwa na sheria za kushughulika nazo zilitengenezwa. KATIKA Misri ya Kale, kwa mfano, kulikuwa na hieroglyphs tu kwa

nukuu za sehemu zilizo na nambari 1. Isipokuwa ni

2 ilikuwa sehemu ya 3 9 ambayo kulikuwa na jina linalolingana.

Kwa kumalizia, tunaona kuwa wakati wa kutatua shida za msingi za sehemu, utumiaji wa sehemu za decimal hauanzishi chochote kipya, kwani. desimali ni nukuu nyingine kwa baadhi ya sehemu za kawaida.

Matatizo ya sehemu:

Tatizo 1. Kulikuwa na rubles 600, kiasi 4 kilitumiwa. Umetumia pesa ngapi? Suluhisho:

Ili kupata 4 kutoka rubles 600, unahitaji kugawanya kiasi hiki na 4:

600:4=150(kusugua)

2 Tatizo 2. Kulikuwa na rubles 1000, 5 ya kiasi hiki kilitumiwa. Ngapi

ulitumia pesa yoyote?

Suluhisho:

Kwanza, hebu tupate moja ya tano ya rubles 1000, na kisha tano mbili:

1) 1000: 5 = 200 (sugua.),

2) 200 2 = 400 (kusugua.)

Vitendo hivi viwili vinaweza kuunganishwa:

1000: 5-2 = 400 (rub.) 2

Ili kupata ya 5 ya 1000, unaweza kugawanya 1000 kwa denominator.

sehemu na kuzidisha matokeo kwa nambari yake.

Shida ya 2 inaweza kutatuliwa kulingana na sheria:

Ikiwa sehemu ya nzima imeonyeshwa kama sehemu, basi kupata sehemu hii,

Unaweza kugawanya nambari nzima na denominator ya sehemu na kuzidisha matokeo

kwa nambari yake.

Tatizo 3. Tulitumia rubles 50, ambazo zilifikia 6 ya kiasi cha awali cha fedha. Tafuta kiasi halisi cha pesa. Suluhisho:

50 kusugua. Mara 6 chini ya kiasi cha awali, ambayo ni mara 6 zaidi ya 50 rubles. Ili kupata kiasi hiki, unahitaji rubles 50. zidisha kwa 6:

50 6 = 300 (r.).

2 Tatizo 4. Tulitumia rubles 600, hii ilifikia 3

kiasi cha awali cha fedha. Tafuta kiasi halisi cha pesa.

Suluhisho:

sharti kwamba theluthi mbili ni sawa na 600. Kwanza, hebu tutafute theluthi moja

kiasi cha awali, na kisha theluthi tatu:

600: 2 - 300 (r.),

300 3 = 900 (r.).

Vitendo hivi viwili vinaweza kuunganishwa: 600: 2 3 = 900 (r.).

Ili kupata nambari ambayo 3 ni sawa na 600, unaweza kugawanya 600 kwa nambari ya sehemu na kuzidisha matokeo kwa denominator yake. Shida ya 4 inaweza kutatuliwa kulingana na sheria:

Ikiwa sehemu ya jumla inayotaka imeonyeshwa kama sehemu, basi unaweza kupata hii yote sehemu hii gawanya kwa nambari ya sehemu na kuzidisha matokeo kwa denominator yake.

Matatizo yanayohusisha kuongeza na kutoa sehemu za kawaida

Tutazingatia zaidi shida ambazo idadi nzima inachukuliwa kama moja, na kwanza ni bora

wakilisha kama 2 y s, nk. kiasi.

2 3_

Tatizo 1. Je, dereva wa trekta ya kwanza alilima? mashamba, ya pili -? mashamba.

Kwa pamoja walilima hekta 10. Kuamua eneo la shamba.

Kazi ya 2. Mashomoro walikuwa wamekaa kwenye tawi. Wakati sehemu ya tatu iliruka,

kisha kuna 6 kati yao waliobaki Je! walikuwa shomoro wangapi hapo mwanzoni?

Ili kutatua tatizo hili, ni vyema kutoa wanafunzi

mchoro ufuatao:

Kazi ya 3. Kabla ya chakula cha mchana, turner alikamilisha kazi 8, baada ya chakula cha mchana - kazi 8, baada ya hapo alikuwa na sehemu 24 zilizoachwa kugeuka. Alikuwa na sehemu ngapi za kuchonga?

Matatizo yanayohusisha kuzidisha na kugawanya sehemu za kawaida

Tatizo 1. Kila siku mtalii hutembea kwenye njia iliyokusudiwa.

Mimi Ni kiasi gani cha njia atatumia kwa siku 2; katika siku 2; ndani ya siku 4?

2 Tatizo 2. Tafuta nambari ya 5 60.

3_ 4

Tatizo 3. Je, ni kubwa kuliko 5 kutoka 45 m au 5 kutoka 30 m?

Tatizo la 4. Tafuta nambari ambayo 5 ni sawa na 60.

Kazi za ushirikiano

Tatizo 1. Malisho yaliletwa kwenye shamba la kuku, ambayo yangetosha kwa bata kwa siku 30, na kwa bukini kwa siku 45. Hesabu ni siku ngapi chakula kilicholetwa kitadumu kwa bata na bata bukini pamoja?

Tatizo 2. (Kutoka "Hesabu" na L.F. Magnitsky.) Mwanamume mmoja atakunywa kad katika siku 14, na pamoja na mke wake atakunywa kad sawa katika siku 10. Swali ni je, mke wake atakunywa Kad sawa kwa siku ngapi?

Kazi ya 3. Brigades ya kwanza na ya pili inaweza kukamilisha kazi katika siku 9; brigades ya pili na ya tatu - katika siku 18; Brigade ya kwanza na ya tatu - katika siku 12. Je, ni kwa siku ngapi timu tatu zinazofanya kazi pamoja zinaweza kukamilisha kazi hii?

Treni ya mizigo ilisafiri kilomita 720 kwa kasi ya 80 km/h. Treni ya abiria itasafiri umbali gani kwa wakati mmoja kwa kasi ya 60 km/h? Njia ni sawia na kasi wakati wa harakati mara kwa mara,

80 80

Hii inamaanisha kuwa kwa kupungua kwa kasi kwa mara 60, umbali utapungua kwa mara 60.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (km).

Mbinu hiyo hiyo hutumiwa kutatua tatizo ikiwa kasi haijapungua, lakini imeongezeka, ikiwa wingi sio moja kwa moja, lakini kinyume chake.

Matatizo kwa uwiano.

Matatizo ya uwiano rahisi

Tatizo 1. Walilipa rubles 8 kwa penseli kadhaa zinazofanana. Je, unapaswa kulipa kiasi gani kwa penseli sawa ikiwa umeinunua kwa mara 2 chini?

Tatizo 2. Walilipa rubles 8 kwa penseli kadhaa zinazofanana. Ni kiasi gani unapaswa kulipa kwa penseli sawa, ambayo kila mmoja ni mara 2 zaidi ya gharama kubwa?

Tatizo 3. Kuna pesa za kununua penseli 30. Ni madaftari ngapi unaweza kununua kwa pesa sawa ikiwa daftari ni nusu ya bei ya penseli?

Tatizo 4. Mwendesha baiskeli alisafiri kilomita 36 kwa saa chache. Je, mtembea kwa miguu atasafiri umbali gani kwa wakati mmoja ikiwa kasi ni mara 3 chini ya kasi ya mwendesha baiskeli?

Tatizo la 5. Mwendesha baiskeli alisafiri umbali fulani kwa saa 3. Je, itamchukua mwendesha pikipiki ambaye kasi yake ni mara 5 ya mwendesha baiskeli kufikia umbali huu kwa saa ngapi? Wacha tuendelee kutatua shida kwa kutumia idadi.

Tatizo 6. Katika saa 6 treni ilisafiri kilomita 480. Treni ilisafiri umbali gani katika saa 2 za kwanza ikiwa kasi yake ilikuwa thabiti? Utahitaji rekodi fupi ya hali ya shida:

Wakati wa majadiliano ya mdomo, ilibainika kuwa wakati na umbali ulipungua kwa idadi sawa ya nyakati, tangu lini kasi ya mara kwa mara idadi hizi ni sawia moja kwa moja.

Tatizo la 7. Treni ya abiria ilifunika umbali kati ya miji miwili kwa kasi ya kilomita 80 kwa saa kwa saa 3. Itachukua saa ngapi kwa treni ya mizigo kufikia umbali sawa na kasi ya 40 km/h?

Tatizo 8. 12 crucian carp walikamatwa katika 2 masaa. Ni carp ngapi ya crucian itakamatwa kwa masaa 3?

Tatizo 9. Jogoo watatu waliamka watu 6. Jogoo 5 wataamka watu wangapi?

Tatizo la 10. Wakati Vasya amesoma kurasa 10 za kitabu hicho, bado ana kurasa 90 zaidi za kusoma. Je, atakuwa amebakisha kurasa ngapi za kusoma akiwa amesoma kurasa 30?

Uhusiano kati ya idadi ya kurasa za kitabu kilichosomwa na idadi ya kurasa zilizobaki mara nyingi huchukuliwa kuwa uwiano wa kinyume: kurasa nyingi zikisomwa, chini ya kushoto kusoma.

Lakini upanuzi wa ukurasa mmoja na kupunguzwa kwa mwingine haufanyiki kwa idadi sawa ya nyakati.

Kazi ngumu kwa uwiano

Kazi ya zamani. Timu ya wachimbaji 26, wanaofanya kazi na mashine kwa saa 12 kwa siku, wanaweza kuchimba mfereji wa urefu wa m 96, upana wa mita 20 na kina cha cm 12 ndani ya siku 40. Mfereji unaweza kuchimbwa kwa muda gani na wachimbaji 39, wakifanya kazi kwa siku 80, masaa 10 kwa siku, ikiwa upana wa mfereji ni 10 m na kina ni 18 dm?

Urefu wa kituo utaongezeka kutoka kwa ongezeko la idadi ya watu kwa mara 26, kutoka

30 18-

kuongeza idadi ya siku kwa mara 40 na kupunguza upana kwa mara 12.

P£ 39 80 20 12 18

x = 96: -: -

26 40 10 10 12

Hatimaye tunayo x = 320.

Kutafuta asilimia ya nambari

Tatizo 11. Gharama ya bidhaa 5000 rubles. Bei yake imeongezeka kwa 20%. Bei iliongezeka kwa rubles ngapi? Bei mpya ya bidhaa ni nini?

Tatizo 12. Benki hulipa mapato kwa kiwango cha 2% ya kiasi kilichowekezwa kwa mwaka. Ni rubles ngapi zilikuwa kwenye akaunti baada ya mwaka ikiwa waliweka: rubles 100; 200 kusugua.; 1000 kusugua.; RUR 12,000?

Tatizo 13. Akitaka kuonyesha ujuzi wake wa asilimia, Vasya alisema kwamba alisoma 60% ya kitabu wiki iliyopita, na 50% iliyobaki wiki hii. Je, Vasya alifanya makosa?

Tatizo 14. Kuna wanafunzi 400 shuleni, 52% ya idadi hii ni wasichana.

Tatizo 15. Ongeza nambari 200 kwa 10%. Punguza nambari inayotokana na 10%. Je, nambari itakuwa 200 tena? Kwa nini?

Kupata nambari kwa asilimia yake

Tatizo 16. Balbu za mwanga zililetwa kwenye duka la bidhaa za umeme. Miongoni mwao kulikuwa na balbu 16 zilizovunjika, ambazo zilichangia 2% ya idadi yao. Ulileta balbu ngapi dukani?

Tatizo 17. Tafuta nambari ambayo 110% ni 33.

Tatizo 18.60% ya darasa walikwenda kwenye sinema, na watu 12 waliobaki walikwenda kwenye maonyesho. Je! kuna wanafunzi wangapi darasani?

Tatizo 19. Wakati kavu, nyasi hupoteza 80% ya wingi wake. Ni tani ngapi za nyasi zitatolewa kutoka kwa tani 4 za nyasi safi? Ni tani ngapi za nyasi zinahitaji kukatwa ili kukausha tani 4 za nyasi? 100 - 80 - 20 (%) - wingi wa nyasi ni wingi wa nyasi; 4 0.2 = 0.8 (t) - nyasi itapatikana kutoka kwa tani 4 za nyasi; 4: 0.2 = 20 (t) - nyasi inahitaji kukatwa.

Kupata Asilimia

Tatizo 20. Kutoka kilo 16 za peari safi tunapata kilo 4 za kavu. Ni sehemu gani ya wingi wa pears safi ni wingi wa kavu? Eleza sehemu hii kama asilimia. Ni asilimia ngapi ya wingi hupotea wakati wa kukausha?

Tatizo 21. Ni asilimia ngapi ya nambari 50 ni nambari 40? Ni asilimia ngapi ya nambari 40 ni nambari 50?

Tatizo 22. Kulikuwa na siku 12 za jua na 18 za mawingu katika mwezi. Ni asilimia ngapi ya mwezi ni siku za jua? siku za mawingu?

Tatizo 23. Bei ya bidhaa imepungua kutoka rubles 40. hadi 30 kusugua. Bei ilipungua kwa rubles ngapi? Bei ilipungua kwa asilimia ngapi?

Kutatua matatizo Muhtasari wa somo Maendeleo ya somo la I. Wakati wa kuandaa- ukurasa No. 1/1

Matatizo juu ya uwiano wa moja kwa moja na kinyume wa kiasi tatu au zaidi

Kusudi la somo: Kukuza maarifa juu ya njia za kutatua shida za uwiano wa moja kwa moja na wa kinyume

Malengo ya somo:

• 
  Kukuza uppdatering wa haraka na matumizi ya vitendo ujuzi uliopatikana hapo awali, ujuzi na mbinu za hatua katika hali isiyo ya kawaida
• 
  Unda masharti ya kupanua upeo wa wanafunzi wakati wa kutatua matatizo ya zamani ya vitendo

1. 
   Wakati wa kuandaa
2. 
   Kuhesabu kwa maneno
3. 
   Kutatua tatizo
4. 
   Kwa muhtasari wa somo

Maendeleo ya somo

I. Wakati wa shirika

1. Kubishana jambo sahihi,

Ili usijue kushindwa maishani,

Tunaenda kwenye safari kwa ujasiri

Katika ulimwengu wa siri na kazi ngumu.

Haijalishi ni safari ndefu,

Hatuogopi kwamba njia itakuwa ngumu.

Mafanikio makubwa kwa watu

Haikuwa rahisi kamwe.

2. Kauli mbiu ya somo la leo itakuwa maneno "Bila unga hakuna sayansi."

3. Sasa suluhisha fumbo

UWIANO
II. Kuhesabu kwa maneno

1 . Kwa. Ni kiasi gani unapaswa kulipa kwa penseli sawa ikiwa ni:

a) mara 2 zaidi? b) mara 2 chini?

2. Kwa penseli kadhaa zinazofanana walilipa 80 Kwa. Ni kiasi gani unapaswa kulipa kwa idadi sawa ya penseli, ambayo kila moja:

a) ghali mara 2 zaidi? b) nafuu mara 2?

3. Kuna pesa ya kununua penseli 30.

a) Unaweza kununua daftari ngapi kwa pesa sawa, ikiwa daftari ni nafuu mara 2 kuliko penseli?

b) Ni kalamu ngapi zinaweza kununuliwa kwa pesa sawa, ikiwa kalamu ghali zaidi kuliko penseli Mara 10?

III. Kutatua tatizo

Katika nyakati za kale, kutatua aina nyingi za matatizo, kulikuwa na sheria maalum za kuzitatua. Shida zinazojulikana za usawa wa moja kwa moja na wa kinyume, ambayo tunahitaji kupata ya nne kutoka kwa maadili matatu ya idadi mbili, iliitwa shida za "sheria tatu".

Ikiwa, kwa idadi tatu, maadili matano yalitolewa, na ilihitajika kupata ya sita, basi sheria hiyo iliitwa "quintuple." Vile vile, kwa kiasi cha nne kulikuwa na "kanuni ya septenary". Matatizo yanayohusu utumiaji wa sheria hizi pia yaliitwa matatizo ya "kanuni tata ya mara tatu".

Tujaribu!!!

Kazi1. Kuku watatu walitaga mayai 3 kwa siku 3. Je, kuku 12 watataga mayai mangapi kwa siku 12?

Jibu la tatizo ni………?

Wacha tuchambue suluhisho la shida kwa pamoja, tukiandika kwa ufupi hali ya shida:

Je, idadi ya kuku imeongezeka mara ngapi? (mara 4)

Je, idadi ya mayai ilibadilikaje ikiwa idadi ya siku haikubadilika? (imeongezeka mara 4)

Idadi ya siku imeongezeka mara ngapi? (mara 4)

Idadi ya mayai ilibadilikaje? (imeongezeka mara 4)

X = 3*4*4 =48(mayai)

Tatizo 2(Kutoka "Hesabu ya Ulimwenguni" na I. Newton)
Isaac Newton - Mwanafizikia wa Kiingereza, mtaalamu wa hisabati na astronomia, mmoja wa waundaji fizikia ya classical. Kwanza uvumbuzi wa hisabati Newton alirudi ndani miaka ya mwanafunzi. Katika hesabu yake ya Universal Arithmetic, Newton alionyesha imani kwamba “katika uchunguzi wa sayansi, mifano ni yenye manufaa zaidi kuliko kanuni.” Hesabu ya Newton ya ulimwengu wote ikawa kitabu kilichotumiwa sana nchini Urusi katika nusu ya pili ya karne ya 18.

Ikiwa mwandishi anaweza kuandika majani 15 kwa siku 8, itachukua waandishi wangapi kuandika majani 405 kwa siku 9?

Wanafunzi hujaribu kujibu maswali kwa pamoja.

(idadi ya waandishi huongezeka kwa kuongezeka kwa karatasi kwa nyakati na kupungua

kutokana na kuongezeka kwa siku za kazi (waandishi)).

Hebu fikiria tatizo ngumu zaidi na kiasi nne.

Ili kuangazia vyumba 18, tani 120 za mafuta ya taa zilitumiwa kwa siku 48, na taa 4 zikiwaka katika kila chumba. Je, pauni 125 za mafuta ya taa zitadumu kwa siku ngapi ikiwa vyumba 20 vitaangazwa na taa 3 zinawashwa katika kila chumba?
Kiselev Andrey Petrovich - Kirusi, mwalimu wa Soviet, mbunge hisabati ya shule. "Hesabu" na Kiselyov - ya kwanza kitabu cha shule kuhusu hesabu, kilichochapishwa mwaka wa 1884. Mnamo 1938, kiliidhinishwa kuwa kitabu cha hesabu cha darasa la 5-6. sekondari. Kitabu cha hesabu cha Kiselev kilipitia matoleo 29 ​​kabla ya mapinduzi (zaidi ya nakala milioni), pamoja na nakala zingine milioni 10 zilizochapishwa wakati wa uhai wa Kiselev. Tangu 2002, shirika la uchapishaji la Fizmatlit limekuwa likichapisha tena vitabu vya kiada vya A.P. Kiselyov.

Imerekodiwa hali fupi tatizo na hoja imetolewa, sambamba na ambayo ingizo la kuongeza hatua kwa hatua X = ..... linaweza kuandikwa ubaoni.

Idadi ya siku za kutumia mafuta ya taa huongezeka kutoka kwa ongezeko la kiasi cha mafuta ya taa kwa nyakati na kutoka kwa kupungua kwa taa kwa wakati mmoja.

Idadi ya siku za kutumia mafuta ya taa hupungua na ongezeko la vyumba ndani 20 nyakati.

X = 48 * * : = 60 (siku)

Thamani ya mwisho ni X = 60. Hii ina maana kwamba pauni 125 za mafuta ya taa hudumu kwa siku 60.

Tatizo la 4(Kutoka kwa "Hesabu" na L. F. Magnitsky) Mtu alikuwa na 100 R. katika darasa la mfanyabiashara kwa mwaka 1 na nilinunua 7 tu R. Na nilipotoa 1000 kwa wafanyabiashara R. kwa miaka 5 watanunua ngapi?
Leonty Filippovich Magnitsky ni mwanahisabati na mwalimu wa Urusi. Mwalimu, mwandishi wa kwanza nchini Urusi ensaiklopidia ya elimu hisabati. Alizaliwa familia ya wakulima, kwenye ufuo wa Ziwa Seliger. "Hesabu" na Leonty Filippovich Magnitsky hapo awali iliundwa kama kitabu cha maandishi kwa maafisa wa jeshi na wanamaji wa siku zijazo. Magnitsky katika kitabu chake cha maandishi hakutafuta tu kuelezea wazi sheria za hisabati, lakini pia ili kuchochea shauku ya wanafunzi katika kujifunza. Yeye huendelea kila wakati mifano maalum kutoka maisha ya kila siku, kijeshi na mazoezi ya baharini alisisitiza umuhimu wa ujuzi wa hisabati.

Jukumu la 5. Timu ya wachimbaji 26, wanaofanya kazi na mashine kwa saa 12 kwa siku, wanaweza kuchimba mfereji wa urefu wa m 96, upana wa mita 20 na kina cha mita 12 ndani ya siku 40. Mfereji unaweza kuchimbwa kwa muda gani na wachimbaji 30, wakifanya kazi kwa siku 80, masaa 10 kwa siku, ikiwa upana ni 10 m na kina ni 18 dm?

X = 320

Kazi ya 6: Soma maandishi ya kazi zilizopendekezwa. Amua ikiwa ni sawia moja kwa moja au kinyume utegemezi sawia kati ya wingi. Katika safu ya "P, O" ya jedwali hapa chini, weka barua "P" ikiwa utegemezi ni wa moja kwa moja, barua "O" ikiwa utegemezi ni kinyume, na dashi ikiwa hakuna utegemezi.

Tatizo la zamani 7. Timu ya wachimbaji 26, wanaofanya kazi na mashine kwa saa 12 kwa siku, wanaweza kuchimba mfereji wa urefu wa m 96, upana wa mita 20 na kina cha cm 12 ndani ya siku 40. Wachimbaji 39 wanaweza kuchimba mfereji kwa muda gani, wakifanya kazi kwa siku 80, masaa 10 kwa siku, ikiwa upana wa mfereji ni 10 m na kina ni 18 dm?

Tatizo 290 S.I. Shokhor-Trotsky aliona kuwa haifai hali ya maisha na haifai kwa mazoezi ya shule, aliiona katika “Methods of Arithmetic” yake (1935) “kwa ajili yake mwenyewe.” Wacha tutumie "fomula ya mwisho" ambayo tumeboresha. KATIKA darasa lenye nguvu njia hii inaweza kuonyeshwa kwa wanafunzi, lakini tu kwa ushiriki wao wa kazi katika uamuzi - katika vinginevyo kazi itakuwa haina maana. Taarifa fupi ya tatizo imeandikwa hapa chini na hoja inatolewa, sambamba na ambayo rekodi iliyoongezwa hatua kwa hatua inaweza kuwekwa kwenye ubao, iliyoonyeshwa upande wa kulia.

Dl. Mtu Siku Saa. Shir. Ch.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

Urefu wa kituo utaongezeka kutoka

kuongeza idadi ya watu kwa mara 39/26, x = 96 · 39/26

kutoka kwa kuongeza idadi ya siku kwa mara 80/40 x = 96 39/26 80/40

na kutoka kwa kupunguza upana kwa mara 20/10; x = 96 · 39/26 · 80/40.

Urefu wa kituo utapungua kutoka

kupunguza idadi ya saa kwa mara 12/10 na x = 96 39/26 80/40 20/10: 12/10

na kutoka kwa ongezeko la kina kwa mara 18/12: x = 96 · 39/26 · 80/40 · 20/10: 12/10: 18/12.

Hatimaye tuna: x = 320. Hii ina maana kwamba wachimbaji 39 wanaweza kuchimba mfereji wa urefu wa 320 m.
IV. Kwa muhtasari wa somo. Tafakari
Wacha kila siku na kila saa

Atakuletea kitu kipya.

Akili yako iwe nzuri,

Na moyo utakuwa mwerevu.

Kazi zote kutoka sehemu hii ni za hiari kwa maana kwamba wanafunzi wote hawahitaji kuwa na uwezo wa kuzitatua. Zitumie kadri inavyowavutia wanafunzi wako.

1. 
   Kuku watatu walitaga mayai 3 kwa siku 3. Je, kuku 12 watataga mayai mangapi kwa siku 12?

Wanafunzi watashangaa sana kujua kwamba jibu la "dhahiri" "mayai 12" sio sahihi. Ni bora kuchambua suluhisho la shida ya kwanza kutoka kwa sehemu hii kwa pamoja, labda baada ya kufikiria nyumbani, kwa kuandika kwa ufupi hali ya shida:

Kuku Siku Mayai

3 33
12 12 x

Wakati wa mazungumzo, unahitaji kujua ni mara ngapi idadi ya kuku imeongezeka (mara 4); Idadi ya mayai ilibadilikaje ikiwa idadi ya siku haikubadilika (iliongezeka mara 4); ni mara ngapi idadi ya siku imeongezeka (mara 4); jinsi idadi ya mayai ilibadilika (iliongezeka mara 4). Idadi ya mayai ni: x = 3 4 4 = 48.

2. Wachoraji watatu wanaweza kupaka madirisha 60 kwa siku 5. Ni wachoraji wangapi wanapaswa kuajiriwa kupaka madirisha ili waweze kupaka madirisha 64 kwa siku 2?

3. Kozi za lugha ya kigeni hukodisha nafasi ya darasa shuleni. Katika nusu ya kwanza ya mwaka, shule ilipokea rubles 336 kwa kukodisha madarasa manne kwa siku 6 kwa wiki. kwa mwezi. Je, itakuwaje kodi ya kila mwezi katika nusu ya pili ya mwaka kwa madarasa 5, siku 5 kwa wiki chini ya hali sawa?

4. (Kutoka kwa “Universal Hesabu” na I. Newton.) Ikiwa mwandishi anaweza kuandika majani 15 kwa siku 8, itachukua waandishi wangapi kuandika majani 405 kwa siku 9?

5. (Tatizo la zamani.) Rubles 2040 zilitumika kwa matengenezo ya watu 45 kwa siku 56. Je, inapaswa kugharimu kiasi gani kusaidia watu 75 kwa siku 70?

Wacha tuchunguze shida ngumu zaidi na idadi nne na hata sita. Wanaweza kuwekwa kama chaguo kazi ya nyumbani wanafunzi hodari ambao wanafurahiya kutatua shida za kutatanisha.

6. (Kutoka kwa “Hesabu” ya AL. Kiselev.) Ili kuangazia vyumba 18, pauni 120 za mafuta ya taa zilitumiwa kwa siku 48, na taa 4 zikiwaka katika kila chumba. Je, pauni 125 za mafuta ya taa zitadumu kwa siku ngapi ikiwa vyumba 20 vitaangazwa na kuna taa 3 katika kila chumba?

7. (Tatizo la zamani.) Timu ya wachimbaji 26, wanaofanya kazi na mashine kwa saa 12 kwa siku, wanaweza kuchimba mfereji wa urefu wa m 96, upana wa mita 20 na kina cha cm 12 ndani ya siku 40. Wachimbaji 39 wanaweza kuchimba mfereji kwa muda gani, wakifanya kazi kwa siku 80, masaa 10 kwa siku, ikiwa upana wa mfereji ni 10 m na kina ni 18 dm?