A)Ushirikiano wa moja kwa moja.
Kupata viambajengo vya utendakazi kulingana na utumizi wa moja kwa moja wa sifa za viambajengo visivyo na kikomo na jedwali la kanuni za msingi za ujumuishaji. Wacha tuchunguze mfano wa kupata kiunga cha kazi kwa ujumuishaji wa moja kwa moja.
Mfano:
∫(X-3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.
Katika idadi kubwa ya matukio, tunashughulika na vipengele muhimu vya kazi ambazo haziwezi kupatikana kwa ushirikiano wa moja kwa moja. Katika kesi hii, ni muhimu kufanya badala (badala ya kutofautiana).
b)Kuunganishwa kwa uingizwaji (uingizwaji wa kutofautiana).
Ujumuishaji kwa uingizwaji, au kama inavyoitwa mara nyingi, njia ya ubadilishanaji wa kubadilika, ni moja ya njia bora na za kawaida za ujumuishaji. Mbinu ya kubadilisha ni kuhama kutoka kwa kigezo fulani cha ujumuishaji hadi kigezo kingine ili kurahisisha usemi wa integrand na kuipunguza hadi mojawapo ya aina za jedwali za viambatanisho. Katika kesi hii, chaguo la uingizwaji huamuliwa na mtendaji mmoja mmoja, kwa sababu hakuna kanuni za jumla zinazoonyesha ni mbadala gani kwa kesi hii kuchukua.
Mfano: Tafuta kiungo ∫ e 2х+3 d X.
Wacha tuanzishe kigezo kipya cha t kinachohusishwa na X kufuatia utegemezi 2 X+ 3 = t.
Wacha tuchukue tofauti za pande za kushoto na kulia za usawa huu: 2d X=dt;d X=dt/2.
Sasa badala ya 2 X+ 3 na X Wacha tubadilishe maadili yao kwenye muunganisho. Kisha tunapata: ∫ e 2х+3 d X=∫e t dt= e t + C. Kurudi kwa tofauti iliyotangulia, hatimaye tunapata usemi:
∫e 2х+3 d X=e 2x+3 + C.
Ili kuhakikisha kuwa kiunga kinachukuliwa kwa usahihi, unahitaji kazi ya antiderivative e 2x+ 3 kutofautisha na kuangalia kama kutakuwa na Je, derivative yake ni sawa na kazi ya integrand:
(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .
3. Dhahiri muhimu na mali zake.
Wazo la kiunganishi dhahiri linatumika sana katika nyanja nyingi za sayansi na teknolojia. Kwa msaada wake, maeneo yaliyofungwa na curves, wingi wa sura ya kiholela, nguvu na kazi ya nguvu ya kutofautiana, njia ya mwili unaosonga, wakati wa inertia na idadi nyingine nyingi huhesabiwa.
KATIKA 
Katika idadi kubwa ya visa, wazo la muunganisho dhahiri huletwa wakati wa kutatua shida za kuamua eneo la trapezoid ya curvilinear. Acha kuwe na kazi inayoendelea y =f( X) kwenye sehemu [ a,c]. Kielelezo kilichofungwa na curve y=f( X) kuratibu A Oh, V A P na sehemu [ a,c] mhimili wa x unaitwa curvilinear trapezoid (Mchoro 1).
Hebu tujiwekee kazi: kuamua eneo S la trapezoid iliyopigwa A A o A P V. Ili kufanya hivyo, tunagawanya sehemu [ a,c] juu P sio lazima sehemu sawa na kuteua pointi za mgawanyiko kama ifuatavyo: A=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X P = ndani.
Kutoka kwa sehemu za mgawanyiko tunarejesha perpendiculars kwenye makutano na curve y = f ( X) Kwa hivyo, tuligawanya eneo lote lililofungwa na curve ndani P trapezoids ya msingi ya curvilinear. Hebu kurejesha kutoka pointi holela kila sehemu ∆ X i ratibuf (C i) hadi inapoingiliana na curve y =f( X) Ifuatayo, tutaunda takwimu iliyopigwa inayojumuisha mistatili yenye msingi ∆ X i na urefu f (C i) Mraba wa Msingi ith mstatili utakuwa S i =f(C i)(X i -X i -1 ), na eneo lote la S P takwimu iliyopigwa itakuwa sawa na jumla ya maeneo ya mstatili:
S P=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C P- 1)(X P -X P- 1).
Ili kufupisha kuingia kwa kiasi hiki, ingiza ishara 
(sigma) - ishara yenye maana ya majumuisho ya kiasi. Kisha
S P
=
.
Kiasi hiki S P, ambayo inaitwa jumla kamili, inaweza kuwa kubwa au chini ya thamani halisi ya eneo fulani. Thamani ya karibu zaidi kwa thamani ya kweli ya eneo itakuwa kikomo cha jumla, mradi tu sehemu za msingi zitakandamizwa ( p→
), na urefu yenyewe sehemu kubwa ∆X max itaelekea sifuri, yaani:
S=
(4)
Kikomo hiki cha jumla cha jumla (ikiwa kipo) kinaitwa uhakika muhimu kutoka kwa kazif( X) kwenye sehemu [ A,V] na kuashiria: 
=
(5)
(husoma “muhimu dhahiri wa A kabla V ef kutoka x de x").
Nambari A Na V huitwa mipaka ya chini na ya juu ya ujumuishaji, mtawaliwa, f( X) - kazi ndogo; X- Tofauti ya ujumuishaji. Kwa kutumia fomula (4) na (5) tunaweza kuandika. Kwamba eneo la trapezoid ya curvilinear ni nambari sawa na kiunganishi cha kazi inayozuia trapezoid, iliyochukuliwa juu ya muda wa ujumuishaji. [A,V]:
.
Ukweli huu unaonyesha maana ya kijiometri ya kiunganishi dhahiri.
Wacha tuchunguze mali ya kiunga fulani.
1. Kiunganishi dhahiri haitegemei uteuzi wa kutofautisha, yaani: 
=
.
2. Muunganisho dhahiri wa jumla wa aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya viambatanisho dhahiri vya kila neno:
=
f 1 ( X)d x +
f 2 ( X)d X+ ….
Tumeona kwamba derivative ina matumizi mengi: derivative ni kasi ya harakati (au, kwa ujumla, kasi ya mchakato wowote); derivative ni mteremko tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa; kwa kutumia derivative, unaweza kuchunguza kazi kwa monotonicity na extrema; derivative husaidia kutatua matatizo ya utoshelezaji.
Lakini katika maisha halisi kuwa na kuamua na matatizo kinyume: kwa mfano, pamoja na tatizo la kutafuta kasi kwa mujibu wa sheria inayojulikana ya mwendo, pia kuna tatizo la kurejesha sheria ya mwendo kulingana na kasi inayojulikana. Hebu tuchunguze mojawapo ya matatizo haya.
Mfano 1. Husonga kwa mstari ulionyooka nyenzo uhakika, kasi ya harakati zake kwa wakati t inatolewa na formula u = tg. Tafuta sheria ya mwendo.
Suluhisho. Hebu s = s(t) iwe sheria inayotakiwa ya mwendo. Inajulikana kuwa s"(t) = u"(t). Hii ina maana kwamba kutatua tatizo unahitaji kuchagua kazi s = s(t), ambayo derivative yake ni sawa na tg. Si vigumu kukisia hilo
Hebu tuangalie mara moja kwamba mfano unatatuliwa kwa usahihi, lakini haujakamilika. Tuligundua kuwa, kwa kweli, shida ina suluhisho nyingi sana: kazi yoyote ya fomu 
mara kwa mara ya kiholela inaweza kutumika kama sheria ya mwendo, tangu
Ili kufanya kazi iwe maalum zaidi, tulihitaji kurekebisha hali ya awali: onyesha uratibu wa hatua ya kusonga kwa wakati fulani, kwa mfano, kwa t = 0. Ikiwa, tuseme, s(0) = s 0, basi kutoka kwa usawa tunapata s(0) = 0 + C, yaani S 0 = C. Sasa sheria ya mwendo imefafanuliwa kipekee:
Katika hisabati, shughuli za kubadilishana hupewa majina tofauti, kuja na nukuu maalum: kwa mfano, squaring (x 2) na kuchimba kipeo sine(sinх) na arcsine(arcsin x), nk. Mchakato wa kutafuta derivative ya kazi iliyotolewa inaitwa tofauti, na uendeshaji wa inverse, i.e. mchakato wa kutafuta kazi kutoka kwa derivative fulani - ushirikiano.
Neno "derivative" lenyewe linaweza kuhesabiwa haki "katika maneno ya kila siku": kazi y - f(x) "huzalisha kuwepo" kipengele kipya y"= f"(x) Chaguo za kukokotoa y = f(x) hufanya kama "mzazi", lakini wanahisabati, kwa kawaida, hawaiiti "mzazi" au "mtayarishaji", wanasema ni, kuhusiana na chaguo za kukokotoa y"=f"(x), picha ya msingi, au, kwa ufupi, kizuia derivative.
Ufafanuzi 1. Chaguo za kukokotoa y = F(x) huitwa kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye muda fulani X ikiwa kwa zote x kutoka X usawa F"(x)=f(x) hushikilia.
Kwa mazoezi, muda wa X kawaida haujabainishwa, lakini huonyeshwa (kama kikoa asili cha ufafanuzi wa kazi).
Hapa kuna baadhi ya mifano:
1) Chaguo za kukokotoa y = x 2 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 2x, kwani kwa wote x usawa (x 2)" = 2x ni kweli.
2) kitendakazi y - x 3 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y-3x 2, kwani kwa wote x usawa (x 3)" = 3x 2 ni kweli.
3) Chaguo za kukokotoa y-sinх ni kizuia chaguo za kukokotoa y = cosx, kwani kwa wote x usawa (sinx)" = cosx ni kweli.
4) Kitendakazi ni kizuia derivative kwa kitendakazi kwenye muda kwani kwa wote x > 0 usawa ni kweli.
Kwa ujumla, kujua fomula za kupata derivatives, si ngumu kuunda jedwali la fomula za kutafuta vizuia derivatives.
Tunatumahi unaelewa jinsi jedwali hili limeundwa: derivative ya kazi, ambayo imeandikwa kwenye safu ya pili, ni sawa na kazi iliyoandikwa kwenye safu inayolingana ya safu ya kwanza ( angalia, usiwe wavivu, ni muhimu sana). Kwa mfano, kwa kazi y = x 5 antiderivative, kama utaanzisha, ni kazi (angalia safu ya nne ya jedwali).
Vidokezo: 1. Hapo chini tutathibitisha nadharia kwamba ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x), basi chaguo la kukokotoa y = f(x) lina vizuia derivative nyingi sana na zote zina umbo y = F(x ) + C. Kwa hiyo, itakuwa sahihi zaidi kuongeza neno C kila mahali kwenye safu wima ya pili ya jedwali, ambapo C ni nambari halisi ya kiholela.
2. Kwa ajili ya ufupi, wakati mwingine badala ya kifungu cha maneno "tendakazi y = F(x) ni kipingamizi cha chaguo za kukokotoa y = f(x)," wanasema F(x) ni kizuia derivative cha f(x) .”
2. Kanuni za kutafuta antiderivatives
Wakati wa kutafuta antiderivatives, pamoja na wakati wa kutafuta derivatives, sio tu kanuni zinazotumiwa (zimeorodheshwa kwenye jedwali kwenye ukurasa wa 196), lakini pia baadhi ya sheria. Zinahusiana moja kwa moja na sheria zinazolingana za kuhesabu derivatives.
Tunajua kwamba derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives yake. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 1. Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives.
Tunatoa mawazo yako kwa "wepesi" wa muundo huu. Kwa kweli, mtu anapaswa kuunda nadharia: ikiwa kazi y = f (x) na y = g (x) zina antiderivatives kwenye muda X, kwa mtiririko huo y-F (x) na y-G (x), basi jumla ya kazi y. = f(x)+g(x) ina kizuia derivative kwenye kipindi cha X, na kizuia derivative hiki ndicho kitendakazi y = F(x)+G(x). Lakini kwa kawaida, wakati wa kuunda sheria (na sio nadharia), huondoka tu maneno muhimu- hii inafanya kuwa rahisi zaidi kutumia sheria katika mazoezi
Mfano 2. Pata kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa y = 2x + cos x.
Suluhisho. Kizuia derivative cha 2x ni x"; kinza derivative cha cox ni sin x. Hii ina maana kwamba kizuia derivative cha kazi y = 2x + cos x itakuwa kazi y = x 2 + sin x (na kwa ujumla utendakazi wowote wa fomu. Y = x 1 + sinx + C) .
Tunajua kwamba sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 2. Kuzidisha mara kwa mara inaweza kuchukuliwa kama ishara ya antiderivative.
Mfano 3.
Suluhisho. a) Kizuia derivative cha sin x ni -soz x; Hii ina maana kwamba kwa kazi y = 5 dhambi x kazi ya antiderivative itakuwa kazi y = -5 cos x.
b) Kizuia derivative cha cos x ni sin x; Hii ina maana kwamba kizuia derivative cha chaguo la kukokotoa ndicho kitendakazi
c) Kizuia derivative cha x 3 ni kizuia derivative cha x, kizuia derivative kwa kazi y = 1 ni kazi y = x. Kwa kutumia sheria ya kwanza na ya pili ya kutafuta vizuia derivatives, tunaona kwamba kizuia derivative kwa kazi y = 12x 3 + 8x-1 ni kazi.
Maoni. Kama inavyojulikana, derivative ya bidhaa si sawa na bidhaa ya derivatives (kanuni ya kutofautisha bidhaa ni ngumu zaidi) na derivative ya mgawo si sawa na mgawo wa derivatives. Kwa hiyo, hakuna sheria za kutafuta antiderivative ya bidhaa au antiderivative ya mgawo wa kazi mbili. Kuwa mwangalifu!
Wacha tupate sheria nyingine ya kutafuta antiderivatives. Tunajua kwamba derivative ya chaguo za kukokotoa y = f(kx+m) huhesabiwa kwa fomula
Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 3. Iwapo y = F(x) ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x), basi kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y=f(kx+m) ndicho kitendakazi.
Hakika,
Hii ina maana kwamba ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(kx+m).
Maana ya kanuni ya tatu ni kama ifuatavyo. Ikiwa unajua kuwa kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x) ni chaguo la kukokotoa y = F(x), na unahitaji kupata kipingamizi cha chaguo za kukokotoa y = f(kx+m), kisha endelea kama hii: chukua. kazi sawa F, lakini badala ya hoja x, badilisha usemi kx+m; kwa kuongeza, usisahau kuandika "sababu ya kusahihisha" kabla ya ishara ya kazi
Mfano 4. Tafuta vizuia derivative kwa vitendaji vilivyotolewa:
Suluhisho, a) Kizuia derivative cha sin x ni -soz x; Hii ina maana kwamba kwa kazi y = sin2x antiderivative itakuwa kazi
b) Kizuia derivative cha cos x ni sin x; Hii ina maana kwamba kizuia derivative cha chaguo la kukokotoa ndicho kitendakazi
c) Kizuia derivative cha x 7 inamaanisha kuwa kwa kazi y = (4-5x) 7 kizuia derivative ndicho kitendakazi.
3. Muhimu usio na kipimo
Tayari tumeona hapo juu kwamba tatizo la kutafuta kizuia derivative kwa kazi fulani y = f(x) ina zaidi ya suluhisho moja. Hebu tujadili suala hili kwa undani zaidi.
Ushahidi. 1. Acha y = F(x) iwe kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye kipindi cha X. Hii ina maana kwamba kwa kila x kutoka X, usawa x"(x) = f(x) unashikilia. pata toleo la kukokotoa la fomula y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Kwa hiyo, (F(x)+C) = f(x). Hii ina maana kwamba y = F(x) + C ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x).
Kwa hivyo, tumethibitisha kwamba ikiwa kazi y = f(x) ina kizuia derivative y=F(x), basi kitendakazi (f = f(x) kina vizuia derivatives nyingi sana, kwa mfano, kazi yoyote ya fomu y = F(x) +C ni kizuia derivative.
2. Hebu sasa tuthibitishe hilo aina maalum kazi, seti nzima ya antiderivatives imechoka.
Acha y=F 1 (x) na y=F(x) ziwe vizuia derivative mbili za chaguo za kukokotoa Y = f(x) kwenye kipindi cha X. Hii ina maana kwamba kwa x zote kutoka kwa muda X mahusiano yafuatayo yanashikilia: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Hebu tuzingatie chaguo za kukokotoa y = F 1 (x) -.F(x) na tutafute derivative yake: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Inajulikana kuwa ikiwa derivative ya chaguo za kukokotoa kwenye muda X ni sawa sawa na sufuri, basi chaguo la kukokotoa ni thabiti kwenye kipindi cha X (angalia Nadharia ya 3 kutoka § 35). Hii ina maana kwamba F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.
Nadharia imethibitishwa.
Mfano 5. Sheria ya mabadiliko ya kasi na wakati imetolewa: v = -5sin2t. Pata sheria ya mwendo s = s (t), ikiwa inajulikana kuwa wakati t = 0 uratibu wa hatua ulikuwa sawa na namba 1.5 (yaani s (t) = 1.5).
Suluhisho. Kwa kuwa kasi ni derivative ya kuratibu kama kazi ya wakati, tunahitaji kwanza kupata antiderivative ya kasi, i.e. kizuia derivative kwa kazi v = -5sin2t. Mojawapo ya antiderivatives kama hizo ni kazi , na seti ya antiderivatives zote ina fomu:
Kutafuta maana maalum mara kwa mara C, wacha tuitumie masharti ya awali, kulingana na ambayo, s(0) = 1.5. Kubadilisha maadili t=0, S = 1.5 kuwa fomula (1), tunapata:
Kubadilisha thamani iliyopatikana ya C kuwa fomula (1), tunapata sheria ya mwendo ambayo inatuvutia:
Ufafanuzi 2. Ikiwa kazi y = f (x) ina kizuia derivative y = F (x) kwenye muda wa X, basi seti ya antiderivatives zote, i.e. seti ya kazi za fomu y = F(x) + C inaitwa kiunganishi kisichojulikana cha chaguo za kukokotoa y = f(x) na inaonyeshwa na:
(soma: "indefinite integral ef from x de x").
Katika aya inayofuata tutajua ni nini maana iliyofichwa jina lililoonyeshwa.
Kulingana na jedwali la antiderivatives inayopatikana katika sehemu hii, tutaunda jedwali la viunga kuu visivyo na kikomo:
Kulingana na sheria tatu zilizo hapo juu za kutafuta vizuia derivatives, tunaweza kuunda sheria zinazolingana za ujumuishaji.
Kanuni ya 1. Muhtasari wa jumla ya kazi sawa na jumla viungo vya kazi hizi:
Kanuni ya 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara muhimu:
Kanuni ya 3. Kama
Mfano 6. Pata viambatanisho visivyo na kikomo:
Suluhisho, a) Kutumia sheria ya kwanza na ya pili ya ujumuishaji, tunapata:
Sasa hebu tutumie fomula za ujumuishaji za 3 na 4:
Kama matokeo, tunapata:
b) Kwa kutumia kanuni ya tatu ya ujumuishaji na formula 8, tunapata:
c) Kwa eneo la haraka Kwa muunganisho fulani, hatuna fomula inayolingana wala kanuni inayolingana. Katika hali kama hizi, kabla ya kunyongwa mabadiliko ya utambulisho usemi uliomo chini ya ishara muhimu.
Hebu kuchukua faida fomula ya trigonometric Kupunguza shahada:
Kisha tunapata sequentially:
A.G. Mordkovich Algebra daraja la 10
Upangaji wa mada ya kalenda katika hisabati, video katika hisabati mtandaoni, Hisabati shuleni
Somo hili ni la kwanza katika mfululizo wa video kuhusu ujumuishaji. Ndani yake tutachambua kizuia derivative ya kazi ni nini, na pia tutasoma njia za kimsingi za kuhesabu antiderivatives hizi.
Kwa kweli, hakuna chochote ngumu hapa: kimsingi yote yanakuja kwa wazo la derivative, ambayo unapaswa kuwa tayari kuifahamu. :)
Nitatambua mara moja kwamba kwa kuwa hili ni somo la kwanza katika yetu mada mpya, hakutakuwa na yoyote leo mahesabu magumu na fomula, lakini kile tutakachosoma leo kitakuwa msingi wa hesabu ngumu zaidi na ujenzi wakati wa kuhesabu. viungo tata na viwanja.
Kwa kuongezea, tunapoanza kusoma ujumuishaji na viambatanisho haswa, tunadhania kabisa kwamba mwanafunzi tayari angalau anafahamu dhana za derivatives na ana angalau ujuzi wa kimsingi katika kuzihesabu. Bila ufahamu wazi wa hili, hakuna chochote cha kufanya katika ushirikiano.
Hata hivyo, hapa kuna moja ya matatizo ya kawaida na ya siri. Ukweli ni kwamba, wakati wa kuanza kuhesabu antiderivatives zao za kwanza, wanafunzi wengi huwachanganya na derivatives. Matokeo yake, katika mitihani na kazi ya kujitegemea makosa ya kijinga na ya kukera yanafanywa.
Kwa hivyo, sasa sitatoa ufafanuzi wazi wa antiderivative. Kwa kurudi, napendekeza uone jinsi inavyohesabiwa kwa kutumia mfano maalum maalum.
Antiderivative ni nini na inahesabiwaje?
Tunajua formula hii:
\[((\kushoto(((x)^(n))) \kulia))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Derivative hii imehesabiwa kwa urahisi:
\[(f)"\kushoto(x \kulia)=((\kushoto(((x)^(3)) \kulia))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Wacha tuangalie kwa uangalifu usemi unaosababishwa na tueleze $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3))) \kulia))^(\prime ))))(3)\]
Lakini tunaweza kuiandika kwa njia hii, kulingana na ufafanuzi wa derivative:
\[((x)^(2))=((\kushoto(\frac(((x)^(3))))(3) \kulia))^(\prime))\]
Na sasa tahadhari: kile tulichoandika tu ni ufafanuzi wa antiderivative. Lakini ili kuiandika kwa usahihi, unahitaji kuandika yafuatayo:
Wacha tuandike usemi ufuatao kwa njia ile ile:
Ikiwa tunarekebisha sheria hii kwa jumla, tunaweza kupata fomula ifuatayo:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Sasa tunaweza kuunda ufafanuzi wazi.
Kipinga derivative ya chaguo za kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo kinyambulisho chake ni sawa na kitendakazi asilia.
Maswali kuhusu kazi ya antiderivative
Inaweza kuonekana kuwa ufafanuzi rahisi na unaoeleweka. Walakini, baada ya kuisikia, mwanafunzi anayesikiliza atakuwa na maswali kadhaa mara moja:
- Wacha tuseme, sawa, fomula hii ni sahihi. Hata hivyo, katika kesi hii, na $ n = 1 $, tuna matatizo: "zero" inaonekana katika denominator, na hatuwezi kugawanya na "sifuri".
- Fomula imezuiwa kwa digrii pekee. Jinsi ya kuhesabu antiderivative, kwa mfano, ya sine, cosine na trigonometry nyingine yoyote, pamoja na constants.
- Swali linalowezekana: inawezekana kila wakati kupata kizuia derivative? Ikiwa ndio, basi vipi kuhusu kizuia derivative ya jumla, tofauti, bidhaa, nk?
Washa swali la mwisho Nitajibu mara moja. Kwa bahati mbaya, antiderivative, tofauti na derivative, si mara zote kuchukuliwa. Hakuna kitu kama hicho fomula zima, ambayo kutokana na ujenzi wowote wa awali tutapata kazi ambayo itakuwa sawa na ujenzi huu sawa. Kuhusu nguvu na mara kwa mara, tutazungumza juu yake sasa.
Kutatua matatizo na kazi za nguvu
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1))))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Kama tunavyoona, formula hii kwa $((x)^(-1))$ haifanyi kazi. Swali linatokea: ni nini kinachofanya kazi basi? Je, hatuwezi kuhesabu $((x)^(-1))$? Bila shaka tunaweza. Hebu tukumbuke hili kwanza:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Sasa hebu tufikirie: derivative ya ambayo chaguo la kukokotoa ni sawa na $\frac(1)(x)$. Ni wazi, mwanafunzi yeyote ambaye amesoma mada hii angalau kidogo atakumbuka kuwa usemi huu ni sawa na derivative ya logarithm asili:
\[((\kushoto(\ln x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Kwa hivyo, tunaweza kuandika yafuatayo kwa ujasiri:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\kwa \ln x\]
Unahitaji kujua fomula hii, kama tu derivative ya chaguo za kukokotoa nguvu.
Kwa hivyo kile tunachojua hadi sasa:
- Kwa kitendakazi cha nguvu - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)$
- Kwa mara kwa mara - $=const\to \cdot x$
- Kesi maalum ya chaguo za kukokotoa nishati ni $\frac(1)(x)\to \ln x$
Na ikiwa tutaanza kuzidisha na kugawanya kazi rahisi zaidi, tunawezaje kuhesabu antiderivative ya bidhaa au mgawo. Kwa bahati mbaya, mlinganisho na derivative ya bidhaa au quotient haifanyi kazi hapa. Yoyote fomula ya kawaida haipo. Kwa visa vingine, kuna fomula maalum za hila - tutafahamiana nazo katika masomo ya video yajayo.
Walakini, kumbuka: formula ya jumla, fomula sawa ya kukokotoa derivative ya mgawo na bidhaa haipo.
Kutatua matatizo ya kweli
Kazi nambari 1
Hebu kila mmoja kazi za nguvu Wacha tuhesabu tofauti:
\[((x)^(2))\kwa \frac(((x)^(3))))(3)\]
Kurudi kwa usemi wetu, tunaandika ujenzi wa jumla:
Tatizo namba 2
Kama nilivyokwisha sema, mifano ya kazi na "haki kupitia" ya kibinafsi hazizingatiwi. Walakini, hapa unaweza kufanya yafuatayo:
Tuligawanya sehemu hiyo kwa jumla ya sehemu mbili.
Wacha tufanye hesabu:
Habari njema ni kwamba kujua fomula za kuhesabu vizuia derivatives, tayari unaweza kuhesabu zaidi miundo tata. Hata hivyo, wacha tuende mbali zaidi na kupanua ujuzi wetu zaidi kidogo. Ukweli ni kwamba miundo na misemo mingi, ambayo, kwa mtazamo wa kwanza, haina uhusiano wowote na $((x)^(n))$, inaweza kuwakilishwa kama nguvu na kiashiria cha busara, yaani:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n))))=((x)^(-n))\]
Mbinu hizi zote zinaweza na zinapaswa kuunganishwa. Maneno ya nguvu Je!
- kuzidisha (kuongeza digrii);
- kugawanya (digrii zinatolewa);
- kuzidisha kwa mara kwa mara;
- na kadhalika.
Kutatua vielezi vya nguvu kwa kutumia kipeo cha busara
Mfano #1
Wacha tuhesabu kila mzizi kando:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Kwa jumla, muundo wetu wote unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Mfano Nambari 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \kulia))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \kulia))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Kwa hivyo tunapata:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Kwa jumla, kukusanya kila kitu kwa usemi mmoja, tunaweza kuandika:
Mfano Nambari 3
Kuanza, tunaona kuwa tayari tumehesabu $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4)))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Hebu tuandike upya:
Natumai sitamshangaza mtu yeyote nikisema kwamba tuliyosoma hivi punde ndiyo zaidi mahesabu rahisi primitive, miundo ya msingi zaidi. Hebu sasa tuangalie zaidi mifano tata, ambayo, pamoja na antiderivatives ya tabular, utahitaji pia kukumbuka mtaala wa shule, yaani, fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Kutatua mifano ngumu zaidi
Kazi nambari 1
Wacha tukumbuke fomula ya tofauti ya mraba:
\[((\kushoto(a-b \kulia))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Wacha tuandike tena kazi yetu:
Sasa tunapaswa kupata mfano wa kazi kama hii:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\kwa \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Wacha tuweke kila kitu pamoja katika muundo wa kawaida:
Tatizo namba 2
Katika kesi hii, tunahitaji kupanua mchemraba tofauti. Hebu tukumbuke:
\[((\ kushoto(a-b \kulia))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Kwa kuzingatia ukweli huu, tunaweza kuandika kama hii:
Wacha tubadilishe utendaji wetu kidogo:
Tunahesabu kama kawaida - kwa kila muhula kando:
\[((x)^(-3))\kwa \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\kwa \frac(((x)^(-1))))(-1)\]
\[((x)^(-1))\kwa \ln x\]
Wacha tuandike muundo unaosababisha:
Tatizo namba 3
Hapo juu tunayo mraba wa jumla, wacha tuipanue:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x)) \kulia))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kushoto(\sqrt(x)\kulia))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))))(3)\]
Wacha tuandike suluhisho la mwisho:
Sasa tahadhari! Sana jambo muhimu, ambayo imeunganishwa nayo sehemu ya simba makosa na kutokuelewana. Ukweli ni kwamba hadi sasa, kuhesabu antiderivatives kwa kutumia derivatives na kuleta mabadiliko, hatukufikiri juu ya nini derivative ya mara kwa mara ni sawa. Lakini derivative ya mara kwa mara ni sawa na "sifuri". Hii ina maana kwamba unaweza kuandika chaguzi zifuatazo:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+C$
Hii ni muhimu sana kuelewa: ikiwa derivative ya kazi daima ni sawa, basi kazi sawa ina idadi isiyo na kipimo ya antiderivatives. Tunaweza tu kuongeza nambari zozote zisizobadilika kwa vizuia derivatives zetu na kupata mpya.
Sio bahati mbaya kwamba katika maelezo ya shida ambazo tumetatua hivi punde iliandikwa "Andika fomu ya jumla wa zamani." Wale. Tayari imechukuliwa mapema kuwa hakuna hata mmoja wao, lakini umati mzima. Lakini, kwa kweli, hutofautiana tu katika $C $ mara kwa mara mwishoni. Kwa hivyo, katika kazi zetu tutasahihisha kile ambacho hatukukamilisha.
Kwa mara nyingine tena tunaandika upya miundo yetu:
Katika hali kama hizi, unapaswa kuongeza kuwa $C$ ni mara kwa mara - $C=const$.
Katika kazi yetu ya pili tunapata ujenzi ufuatao:
Na ya mwisho:
Na sasa tulipata kile kilichohitajika kwetu katika hali ya asili ya shida.
Kutatua matatizo ya kupata antiderivatives na uhakika fulani
Sasa kwa kuwa tunajua juu ya viunga na upekee wa kuandika antiderivatives, ni sawa kabisa kwamba aina inayofuata matatizo wakati, kutoka kwa seti ya antiderivatives zote, inahitajika kupata moja ambayo itapita kupewa point. Kazi hii ni nini?
Ukweli ni kwamba antiderivatives zote za kazi fulani hutofautiana tu kwa kuwa zinahamishwa kwa wima na nambari fulani. Na hii inamaanisha kuwa haijalishi ni hatua gani kuratibu ndege hatukuichukua, antiderivative moja hakika itapita, na, zaidi ya hayo, moja tu.
Kwa hivyo, kazi ambazo tutatatua sasa zimeundwa kama ifuatavyo: si rahisi kupata antiderivative, kujua formula ya kazi ya awali, lakini kuchagua hasa moja ambayo hupitia hatua fulani, kuratibu ambazo zitatolewa katika taarifa ya tatizo.
Mfano #1
Kwanza, hebu tuhesabu kila neno:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5))))(5)\]
\[((x)^(3))\kwa \frac(((x)^(4))))(4)\]
Sasa tunabadilisha misemo hii katika muundo wetu:
Chaguo hili la kukokotoa lazima lipitie hatua $M\left(-1;4 \kulia)$. Inamaanisha nini kwamba inapita kwa uhakika? Hii inamaanisha kuwa ikiwa badala ya $x$ tutaweka $-1$ kila mahali, na badala ya $F\left(x \kulia)$ tunaweka $-4$, basi tunapaswa kupata sahihi. usawa wa nambari. Hebu tufanye hivi:
Tunaona kuwa tunayo mlinganyo wa $C$, kwa hivyo wacha tujaribu kuitatua:
Wacha tuandike suluhisho ambalo tulikuwa tunatafuta:
Mfano Nambari 2
Kwanza kabisa, ni muhimu kufunua mraba wa tofauti kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:
\[((x)^(2))\kwa \frac(((x)^(3))))(3)\]
Ujenzi wa asili utaandikwa kama ifuatavyo:
Sasa wacha tupate $C$: badala ya kuratibu za uhakika $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Tunatoa $C$:
Inabakia kuonyesha usemi wa mwisho:
Kutatua matatizo ya trigonometric
Kama chord ya mwisho Mbali na yale ambayo tumezungumza hivi punde, napendekeza kuzingatia mawili zaidi kazi ngumu, ambazo zina trigonometry. Ndani yao, kwa njia ile ile, utahitaji kupata antiderivatives kwa kazi zote, kisha uchague kutoka kwa seti hii pekee ambayo hupitia hatua ya $ M$ kwenye ndege ya kuratibu.
Kuangalia mbele, ningependa kutambua kwamba mbinu ambayo tutatumia sasa kupata antiderivatives kazi za trigonometric, kwa kweli, ni mbinu ya ulimwengu wote ya kujipima.
Kazi nambari 1
Wacha tukumbuke formula ifuatayo:
\[((\left(\text(tg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Kulingana na hili, tunaweza kuandika:
Wacha tubadilishe kuratibu za point $M$ kwenye usemi wetu:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Hebu tuandike upya usemi huo kwa kuzingatia ukweli huu:
Tatizo namba 2
Hii itakuwa ngumu zaidi kidogo. Sasa utaona kwa nini.
Wacha tukumbuke formula hii:
\[((\ kushoto(\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Ili kuondoa "minus", unahitaji kufanya yafuatayo:
\[((\kushoto(-\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Hapa kuna muundo wetu
Wacha tubadilishe kuratibu za uhakika $M$:
Kwa jumla, tunaandika ujenzi wa mwisho:
Hiyo ndiyo yote nilitaka kukuambia kuhusu leo. Tulisoma neno antiderivatives yenyewe, jinsi ya kuhesabu kutoka kazi za msingi, pamoja na jinsi ya kupata kizuia derivative kinachopita kwenye sehemu maalum kwenye ndege ya kuratibu.
Natumaini somo hili litakusaidia angalau kidogo kuelewa hili mada tata. Kwa hali yoyote, ni juu ya antiderivatives kwamba integrals usio na ukomo na usiojulikana hujengwa, kwa hiyo ni muhimu kabisa kuhesabu. Hiyo yote ni kwangu. Tuonane tena!