Nyingine ya chaguo za kukokotoa ni mojawapo ya mada ngumu V mtaala wa shule. Sio kila mhitimu atajibu swali la nini derivative ni.
Makala hii inaelezea kwa njia rahisi na wazi kile derivative ni na kwa nini inahitajika.. Hatutajitahidi sasa kwa ukali wa hesabu katika uwasilishaji. Jambo kuu ni kuelewa maana.
Wacha tukumbuke ufafanuzi:
Derivative ni kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa.
Takwimu inaonyesha grafu za kazi tatu. Je, unadhani ni ipi inakua kwa kasi?
Jibu ni dhahiri - la tatu. Ina kiwango cha juu zaidi cha mabadiliko, yaani, derivative kubwa zaidi.
Hapa kuna mfano mwingine.
Kostya, Grisha na Matvey walipata kazi wakati huo huo. Wacha tuone jinsi mapato yao yalibadilika katika mwaka:
Grafu inaonyesha kila kitu mara moja, sivyo? Mapato ya Kostya yaliongezeka zaidi ya mara mbili katika miezi sita. Na mapato ya Grisha pia yaliongezeka, lakini kidogo tu. Na mapato ya Matvey yalipungua hadi sifuri. Hali ya kuanzia ni sawa, lakini kiwango cha mabadiliko ya kazi, yaani derivative, - tofauti. Kama kwa Matvey, derivative ya mapato yake kwa ujumla ni hasi.
Intuitively, tunakadiria kwa urahisi kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa. Lakini tunafanyaje hili?
Tunachoangalia sana ni jinsi grafu ya kitendakazi inavyopanda juu (au chini). Kwa maneno mengine, je, y hubadilika kwa haraka jinsi x inavyobadilika? Ni wazi, kazi sawa katika pointi tofauti inaweza kuwa maana tofauti derivative - yaani, inaweza kubadilika kwa kasi au polepole.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa inaashiria .
Tutakuonyesha jinsi ya kuipata kwa kutumia grafu.
Grafu ya baadhi ya chaguo za kukokotoa imechorwa. Wacha tuchukue hoja na abscissa juu yake. Wacha tuchore tangent kwa grafu ya kazi katika hatua hii. Tunataka kukadiria jinsi grafu ya chaguo za kukokotoa inavyopanda juu. Thamani inayofaa kwa hii ni tangent ya pembe ya tangent.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua moja ni sawa na tanjenti ya pembe ya tanjiti inayochorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii.
Tafadhali kumbuka kuwa kama pembe ya mwelekeo wa tangent tunachukua angle kati ya tangent na mwelekeo mzuri wa mhimili.
Wakati mwingine wanafunzi huuliza tanjiti kwa grafu ya kipengele cha kukokotoa ni nini. Huu ni mstari ulionyooka ambao una moja tu hatua ya kawaida na grafu, na kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu yetu. Inaonekana kama tangent kwa mduara.
Hebu tupate. Tunakumbuka kwamba tangent ya pembe ya papo hapo ndani pembetatu ya kulia sawa na uwiano mguu wa kinyume kwa ile iliyo karibu. Kutoka kwa pembetatu:
Tulipata derivative kwa kutumia grafu bila hata kujua fomula ya chaguo la kukokotoa. Shida kama hizo mara nyingi hupatikana katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati chini ya nambari.
Kuna uhusiano mwingine muhimu. Kumbuka kwamba mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation
Kiasi katika equation hii inaitwa mteremko wa mstari wa moja kwa moja. Ni sawa na tangent ya angle ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja kwa mhimili.
.
Tunapata hilo
Tukumbuke formula hii. Inaonyesha maana ya kijiometri ya derivative.
Derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na mteremko wa tanjenti inayotolewa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua hiyo.
Kwa maneno mengine, derivative ni sawa na tangent ya tangent angle.
Tayari tumesema kwamba kazi sawa inaweza kuwa na derivatives tofauti katika pointi tofauti. Hebu tuone jinsi derivative inahusiana na tabia ya kazi.
Wacha tuchore mchoro wa utendaji fulani. Hebu kazi hii iongezeke katika baadhi ya maeneo, na kupungua kwa wengine, na kwa kwa kasi tofauti. Na wacha kazi hii iwe na alama za juu na za chini.
Wakati fulani kazi huongezeka. Tanje kwa grafu iliyochorwa kwenye fomu za uhakika kona kali; yenye mwelekeo chanya wa mhimili. Hii ina maana kwamba derivative katika hatua ni chanya.
Wakati kazi yetu inapungua. Tangent katika hatua hii huunda pembe ya obtuse; yenye mwelekeo chanya wa mhimili. Tangu tangent angle butu ni hasi, kwa uhakika derivative ni hasi.
Hiki ndicho kinachotokea:
Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaongezeka, derivative yake ni chanya.
Ikiwa itapungua, derivative yake ni hasi.
Nini kitatokea kwa pointi za juu na za chini? Tunaona kwamba katika pointi (kiwango cha juu) na (kiwango cha chini) tangent ni ya usawa. Kwa hiyo, tangent ya tangent angle katika pointi hizi sawa na sifuri, na derivative pia ni sifuri.
Uhakika - kiwango cha juu. Katika hatua hii, ongezeko la kazi linabadilishwa na kupungua. Kwa hiyo, ishara ya mabadiliko ya derivative katika hatua kutoka "plus" hadi "minus".
Kwa uhakika - kiwango cha chini - derivative pia ni sifuri, lakini ishara yake inabadilika kutoka "minus" hadi "plus".
Hitimisho: kwa kutumia derivative tunaweza kujua kila kitu kinachotuvutia kuhusu tabia ya chaguo la kukokotoa.
Ikiwa derivative ni chanya, basi kazi huongezeka.
Ikiwa derivative ni hasi, basi kazi hupungua.
Katika hatua ya juu, derivative ni sifuri na hubadilisha ishara kutoka "plus" hadi "minus".
Katika hatua ya chini, derivative pia ni sifuri na hubadilisha ishara kutoka "minus" hadi "plus".
Wacha tuandike hitimisho hili kwa namna ya jedwali:
| huongezeka | kiwango cha juu | hupungua | kiwango cha chini | huongezeka | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hebu tufanye ufafanuzi mbili ndogo. Utahitaji mmoja wao wakati wa kutatua tatizo. Mwingine - katika mwaka wa kwanza, na utafiti mkubwa zaidi wa kazi na derivatives.
Inawezekana kwamba derivative ya kazi wakati fulani ni sawa na sifuri, lakini kazi haina upeo au kiwango cha chini katika hatua hii. Hii ndio inayoitwa :
Kwa uhakika, tangent kwa grafu ni ya usawa na derivative ni sifuri. Hata hivyo, kabla ya hatua ya kazi iliongezeka - na baada ya hatua inaendelea kuongezeka. Ishara ya derivative haibadilika - inabaki kuwa chanya kama ilivyokuwa.
Pia hutokea kwamba katika hatua ya kiwango cha juu au cha chini derivative haipo. Kwenye grafu, hii inafanana na mapumziko mkali, wakati haiwezekani kuteka tangent katika hatua fulani.
Jinsi ya kupata derivative ikiwa kazi haipewi na grafu, lakini kwa formula? Katika kesi hii inatumika
Kazi.
Chaguo za kukokotoa y=f(x) hufafanuliwa kwa muda (-5; 6). Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x). Pata kati ya pointi x 1, x 2, ..., x 7 pointi hizo ambapo derivative ya kazi f(x) ni sawa na sifuri. Kwa kujibu, andika idadi ya pointi zilizopatikana.
Suluhisho:
Kanuni katika kutatua tatizo hili ni hii: kuna tatu tabia inayowezekana kazi kwa muda huu:
1) kazi inapoongezeka (derivative hapo ni kubwa kuliko sifuri)
2) wakati kazi inapungua (ambapo derivative ni chini ya sifuri)
3) wakati chaguo za kukokotoa haziongezeki au kupungua (ambapo derivative ni sifuri au haipo)
Tunavutiwa na chaguo la tatu.
Derivative ni sawa na sifuri ambapo kazi ni laini na haipo kwenye pointi za mapumziko. Hebu tuangalie pointi hizi zote.
x 1 - kazi huongezeka, ambayo ina maana derivative f′(x) >0
x 2 - chaguo la kukokotoa huchukua kiwango cha chini na ni laini, ambayo inamaanisha derivative f ′(x) = 0
x 3 - kazi inachukua kiwango cha juu, lakini katika hatua hii kuna mapumziko, ambayo ina maana derivative f (x) haipo
x 4 - kazi inachukua kiwango cha juu, lakini katika hatua hii kuna mapumziko, ambayo ina maana derivative f (x) haipo
x 5 - derivative f ′(x) = 0
x 6 - kazi huongezeka, ambayo ina maana derivative f(x) >0
x 7 - kazi inachukua kiwango cha chini na ni laini, ambayo ina maana derivative f ′(x) = 0
Tunaona kwamba f ’(x) = 0 kwa pointi x 2, x 5 na x 7, jumla ya pointi 3.
Kusoma chaguo za kukokotoa kwa kutumia derivative yake. Katika nakala hii tutachambua kazi zingine zinazohusiana na usomaji wa grafu ya kazi. Katika matatizo hayo, grafu ya kazi y = f (x) inatolewa na maswali yanafufuliwa kuhusiana na kuamua idadi ya pointi ambazo derivative ya kazi ni chanya (au hasi), pamoja na wengine. Zimeainishwa kama kazi za kutumia derivatives katika utafiti wa kazi.
Kutatua matatizo hayo, na kwa ujumla matatizo yanayohusiana na utafiti, inawezekana tu kwa ufahamu kamili wa mali ya derivative kwa kusoma grafu za kazi na derivative. Kwa hiyo, ninapendekeza sana kwamba usome nadharia husika. Unaweza kusoma na pia kutazama (lakini ina muhtasari mfupi).
Pia tutazingatia matatizo ambapo grafu ya derivative inatolewa katika makala zijazo, usikose! Kwa hivyo, majukumu:
Takwimu inaonyesha grafu ya kazi y = f (x), iliyofafanuliwa kwa muda (-6; 8). Bainisha:
1. Idadi ya pointi kamili ambapo derivative ya kazi ni hasi;
2. Idadi ya pointi ambazo tangent kwa grafu ya kazi ni sawa na mstari wa moja kwa moja y = 2;
1. Derivative ya chaguo za kukokotoa ni hasi kwa vipindi ambavyo utendaji hupungua, yaani, kwa vipindi (-6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8). Zina alama kamili −5, −4, 1, 2, 3, 4, na 7. Tunapata pointi 7.
2. Moja kwa moja y= 2 sambamba na mhimiliOhy= 2 tu kwa alama za juu (katika sehemu ambazo grafu hubadilisha tabia yake kutoka kuongezeka hadi kupungua au kinyume chake). Kuna mambo manne kama haya: -3; 0; 4.2; 6.9
Amua mwenyewe:
Amua idadi ya alama kamili ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa ni chanya.
Takwimu inaonyesha grafu ya kazi y = f (x), iliyofafanuliwa kwa muda (-5; 5). Bainisha:
2. Idadi ya pointi kamili ambapo tangent kwa grafu ya kazi ni sawa na mstari wa moja kwa moja y = 3;
3. Idadi ya pointi ambapo derivative ni sifuri;
1. Kutoka kwa mali ya derivative ya kazi inajulikana kuwa ni chanya juu ya vipindi ambavyo kazi huongezeka, yaani kwa vipindi (1.4; 2.5) na (4.4; 5). Zina moja tu hatua nzima x = 2.
2. Moja kwa moja y= 3 sambamba na mhimiliOh. Tangent itakuwa sambamba na mstariy= 3 tu kwa alama za juu (katika sehemu ambazo grafu hubadilisha tabia yake kutoka kuongezeka hadi kupungua au kinyume chake).
Kuna mambo manne kama haya: -4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. Derivative ni sifuri saa pointi nne(katika pointi kali), tayari tumezionyesha.
Amua mwenyewe:
Amua idadi ya alama kamili ambapo derivati ya chaguo za kukokotoa f(x) ni hasi.
Takwimu inaonyesha grafu ya kazi y = f (x), iliyofafanuliwa kwa muda (-2; 12). Tafuta:
1. Idadi ya pointi kamili ambapo derivative ya kazi ni chanya;
2. Idadi ya pointi kamili ambapo derivative ya kazi ni hasi;
3. Idadi ya pointi kamili ambayo tangent kwa grafu ya kazi ni sawa na mstari wa moja kwa moja y = 2;
4. Idadi ya pointi ambapo derivative ni sifuri.
1. Kutoka kwa sifa za derivative ya chaguo la kukokotoa inajulikana kuwa ni chanya kwa vipindi ambavyo utendakazi huongezeka, yaani kwa vipindi (–2; 1), (2; 4), (7; 9) na ( 10; 11). Zina alama kamili: -1, 0, 3, 8. Kuna nne kati yao kwa jumla.
2. Derivative ya chaguo za kukokotoa ni hasi kwa vipindi ambavyo utendaji hupungua, yaani, kwa vipindi (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Zina alama kamili 5 na 6. Tunapata alama 2.
3. Moja kwa moja y= 2 sambamba na mhimiliOh. Tangent itakuwa sambamba na mstariy= 2 tu kwa alama za juu (katika sehemu ambazo grafu hubadilisha tabia yake kutoka kuongezeka hadi kupungua au kinyume chake). Kuna mambo saba kama haya: 1; 2; 4; 7; 9; 10; kumi na moja.
4. Derivative ni sawa na sifuri kwa pointi saba (kwa pointi za juu), tayari tumezionyesha.
Wakati wa kuamua kazi mbalimbali jiometri, mechanics, fizikia na matawi mengine ya maarifa yakawa muhimu kwa kutumia mchakato sawa wa uchanganuzi kutoka kwa kazi hii y=f(x) kupokea kipengele kipya ambayo inaitwa kazi ya derivative(au kwa urahisi derivative) ya chaguo za kukokotoa f(x) na huteuliwa na ishara
Mchakato ambao kutoka kwa kitendakazi ulichopewa f(x) pata kipengele kipya f" (x), kuitwa utofautishaji na lina hatua tatu zifuatazo: 1) toa hoja x ongezeko
x na kuamua nyongeza inayolingana ya chaguo za kukokotoa
y = f(x+
x) -f(x); 2) kuunda uhusiano 
3) kuhesabu x mara kwa mara na
x0, tunapata 
, ambayo tunaashiria nayo f" (x), kana kwamba inasisitiza kwamba kazi inayotokana inategemea tu thamani x, ambayo tunaenda hadi kikomo. Ufafanuzi:
Nyingi y " =f" (x)
kazi iliyopewa y=f(x)
kwa x iliyotolewa inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, isipokuwa kwamba ongezeko la hoja huwa na sifuri, ikiwa, bila shaka, kikomo hiki kipo, i.e. yenye mwisho. Hivyo, 
, au 
Kumbuka kwamba ikiwa kwa thamani fulani x, kwa mfano wakati x=a, mtazamo 
katika
x0 haielekei kikomo cha mwisho, basi katika kesi hii wanasema kwamba kazi f(x) katika x=a(au kwa uhakika x=a) haina derivative au haiwezi kutofautishwa katika uhakika x=a.
2. Maana ya kijiometri ya derivative.
Fikiria grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x), inayoweza kutofautishwa katika eneo la nukta x 0
f(x)
Wacha tuchunguze mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye nukta kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa - nukta A(x 0, f (x 0)) na kukatiza grafu wakati fulani B(x;f(x)). Mstari kama huo (AB) unaitwa secant. Kutoka ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Tangu AC | Ng'ombe, kisha ALO = BAC = β (kama inavyolingana kwa sambamba). Lakini ALO ni pembe ya mwelekeo wa secant AB hadi mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox. Hii ina maana tanβ = k - mteremko moja kwa moja AB.
Sasa tutapunguza ∆х, i.e. ∆х→ 0. Katika kesi hii, hatua B itakaribia hatua A kulingana na grafu, na secant AB itazunguka. Nafasi ya kuzuia ya sekanti AB katika ∆x→ 0 itakuwa mstari ulionyooka (a), unaoitwa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x) katika hatua A.
Ikiwa tutaenda kwa kikomo kama ∆x → 0 katika usawa tgβ =∆y/∆x, tunapata 
ortg =f "(x 0), tangu 
-pembe ya mwelekeo wa tangent kwa mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox 
, kwa ufafanuzi wa derivative. Lakini tg = k ni mgawo wa angular wa tangent, ambayo ina maana k = tg = f "(x 0).
Kwa hivyo, maana ya kijiometri ya derivative ni kama ifuatavyo.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika nukta x 0 sawa na mteremko wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa iliyochorwa kwenye hatua na abscissa x 0 .
3. Maana ya kimwili ya derivative.
Fikiria harakati ya hatua kwenye mstari wa moja kwa moja. Acha uratibu wa nukta wakati wowote x(t) itolewe. Inajulikana (kutoka kwa kozi ya fizikia) kwamba kasi ya wastani katika kipindi cha muda ni sawa na uwiano wa umbali uliosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi wakati, i.e.
Vav = ∆x/∆t. Wacha tufikie kikomo katika usawa wa mwisho kama ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - kasi ya papo hapo kwa wakati t 0, ∆t → 0.
na lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (kwa ufafanuzi wa derivative).
Kwa hivyo, (t) =x"(t).
Maana ya kimwili ya derivative ni kama ifuatavyo: derivative ya kaziy = f(x) kwa uhakikax 0 ni kiwango cha mabadiliko ya chaguo la kukokotoaf(x) kwa uhakikax 0
Derivative hutumiwa katika fizikia kupata kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kuratibu dhidi ya wakati, kuongeza kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kasi dhidi ya wakati.
(t) = x"(t) - kasi,
a(f) = "(t) - kuongeza kasi, au
Ikiwa sheria ya mwendo wa hatua ya nyenzo kwenye mduara inajulikana, basi mtu anaweza kupata kasi ya angular na kuongeza kasi ya angular wakati wa harakati za mzunguko:
φ = φ(t) - mabadiliko ya pembe kwa wakati,
ω = φ"(t) - kasi ya angular,
ε = φ"(t) - kuongeza kasi ya angular, au ε = φ"(t).
Ikiwa sheria ya usambazaji wa wingi wa fimbo ya inhomogeneous inajulikana, basi wiani wa mstari wa fimbo ya inhomogeneous inaweza kupatikana:
m = m(x) - wingi,
x , l - urefu wa fimbo,
p = m"(x) - msongamano wa mstari.
Kutumia derivative, matatizo kutoka kwa nadharia ya elasticity na vibrations harmonic ni kutatuliwa. Kwa hivyo, kulingana na sheria ya Hooke
F = -kx, x - kuratibu kutofautiana, k - mgawo wa elasticity ya spring. Kuweka ω 2 = k/m, tunapata usawa wa tofauti wa pendulum ya spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
ambapo ω = √k/√m mzunguko wa oscillation (l/c), k - ugumu wa spring (H/m).
Equation ya fomu y" + ω 2 y = 0 inaitwa equation ya oscillations harmonic (mitambo, umeme, sumakuumeme). Suluhisho la milinganyo hiyo ni kazi.
y = Asin(ωt + φ 0) au y = Acos(ωt + φ 0), ambapo
A - amplitude ya oscillations, ω - mzunguko wa mzunguko,
φ 0 - awamu ya awali.
Inaonyesha uhusiano kati ya ishara ya derivative na asili ya monotonicity ya kazi.
Tafadhali kuwa makini sana kuhusu yafuatayo. Tazama, ratiba ya NINI umepewa! Kazi au derivative yake
Ikipewa grafu ya derivative, basi tutapendezwa tu na ishara za kazi na zero. Hatupendezwi na "milima" au "mashimo" kwa kanuni!
Jukumu la 1.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Amua idadi ya alama kamili ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa ni hasi.
Suluhisho:
Katika takwimu, maeneo ya kazi ya kupungua yanaonyeshwa kwa rangi:
Maeneo haya yanayopungua ya chaguo za kukokotoa yana nambari 4 kamili.
Jukumu la 2.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Tafuta idadi ya pointi ambapo tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni sambamba na au sanjari na mstari.
Suluhisho:
Mara tu tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa ni sambamba (au sanjari) na mstari ulionyooka (au, ambayo ni kitu sawa), kuwa na mteremko , sawa na sifuri, basi tangent pia ina mgawo wa angular.
Hii kwa upande ina maana kwamba tangent ni sambamba na mhimili, kwa kuwa mteremko ni tangent ya angle ya mwelekeo wa tangent kwa mhimili.
Kwa hivyo, tunapata alama za juu (kiwango cha juu na cha chini) kwenye grafu - ni katika sehemu hizi ambapo kazi za tangent kwenye grafu zitakuwa sawa na mhimili.
Kuna pointi 4 kama hizo.
Jukumu la 3.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya derivative ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Tafuta idadi ya pointi ambapo tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni sambamba na au sanjari na mstari.
Suluhisho:
Kwa kuwa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni sambamba (au sanjari) na mstari ambao una mteremko, basi tanjiti pia ina mteremko.
Hii kwa upande ina maana kwamba katika pointi kugusa.
Kwa hivyo, tunaangalia ni alama ngapi kwenye grafu zilizo na mpangilio sawa na .
Kama unaweza kuona, kuna pointi nne kama hizo.
Jukumu la 4.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Tafuta idadi ya alama ambazo derivative ya chaguo za kukokotoa ni 0.
Suluhisho:
Derivative ni sawa na sifuri katika pointi za juu. Tunayo 4 kati yao:
Jukumu la 5.
Takwimu inaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa na pointi kumi na moja kwenye mhimili wa x:. Je, ni ngapi kati ya nukta hizi ni derivative ya chaguo za kukokotoa?
Suluhisho:
Katika vipindi vya kazi vinavyopungua, derivative yake inachukua maadili hasi. Na kazi hupungua kwa pointi. Kuna pointi 4 kama hizo.
Jukumu la 6.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Pata jumla ya alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa.
Suluhisho:
Pointi za hali ya juu- hizi ni pointi za juu (-3, -1, 1) na pointi za chini (-2, 0, 3).
Jumla ya pointi kali: -3-1+1-2+0+3=-2.
Jukumu la 7.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya derivative ya chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwenye muda. Pata vipindi vya ongezeko la kazi. Katika jibu lako, onyesha jumla ya alama kamili zilizojumuishwa katika vipindi hivi.
Suluhisho:
Kielelezo kinaonyesha vipindi ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa si hasi.
Hakuna alama kamili kwenye muda mdogo unaoongezeka; kwa muda unaoongezeka kuna maadili manne kamili: , , na .
Jumla yao:
Jukumu la 8.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa lililofafanuliwa kwenye muda. Pata vipindi vya ongezeko la kazi. Katika jibu lako, onyesha urefu wa kubwa zaidi kati yao.
Suluhisho:
Katika takwimu, vipindi vyote ambavyo derivative ni chanya vinaonyeshwa kwa rangi, ambayo ina maana kwamba kazi yenyewe huongezeka kwa vipindi hivi.
Urefu wa kubwa zaidi kati yao ni 6.
Kazi ya 9.
Kielelezo kinaonyesha grafu ya toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa lililofafanuliwa kwenye muda. Ni wakati gani kwenye sehemu inachukua thamani kubwa zaidi?
Suluhisho:
Wacha tuone jinsi grafu inavyofanya kwenye sehemu, ambayo ndio tunavutiwa nayo ishara tu ya derivative .
Ishara ya derivative kwenye ni minus, kwani grafu kwenye sehemu hii iko chini ya mhimili.