Kadiri jamii inavyoendelea na uzalishaji ukawa mgumu zaidi, hisabati pia ilikuzwa. Harakati kutoka rahisi hadi ngumu. Kutoka kwa uhasibu wa kawaida kwa njia ya kuongeza na kutoa, na wao kurudiwa mara nyingi, ilikuja kwenye dhana ya kuzidisha na kugawanya. Kupunguza utendakazi unaorudiwa wa kuzidisha ikawa dhana ya ufafanuzi. Jedwali la kwanza la utegemezi wa nambari kwenye msingi na idadi ya ufafanuzi zilikusanywa nyuma katika karne ya 8 na mwanahisabati wa Kihindi Varasena. Kutoka kwao unaweza kuhesabu wakati wa tukio la logarithms.
Mchoro wa kihistoria
Uamsho wa Ulaya katika karne ya 16 pia ulichochea maendeleo ya mechanics. T ilihitaji kiasi kikubwa cha hesabu kuhusiana na kuzidisha na kugawanya nambari za tarakimu nyingi. Meza za kale zilikuwa za utumishi mkubwa. Walifanya iwezekane kuchukua nafasi ya shughuli ngumu na rahisi zaidi - kuongeza na kutoa. Hatua kubwa Kazi ya mwanahisabati Michael Stiefel, iliyochapishwa mnamo 1544, iliongoza, ambayo aligundua wazo la wanahisabati wengi. Hii ilifanya iwezekane kutumia meza sio tu kwa digrii katika fomu nambari kuu, lakini pia kwa zile za kiholela.
Mnamo 1614, Mskoti John Napier, akiendeleza mawazo haya, alianzisha kwanza muhula mpya"logariti ya nambari." Mpya meza tata kwa kuhesabu logarithms ya sines na cosines, pamoja na tangents. Hii ilipunguza sana kazi ya wanaastronomia.
Jedwali mpya zilianza kuonekana, ambazo zilitumiwa kwa mafanikio na wanasayansi kote karne tatu. Muda mwingi ulipita kabla ya operesheni mpya katika algebra kupata fomu yake ya kumaliza. Ufafanuzi wa logarithm ulitolewa na sifa zake zilichunguzwa.
Ni katika karne ya 20 tu, na ujio wa kikokotoo na kompyuta, ambapo ubinadamu uliacha meza za zamani ambazo zilifanya kazi kwa mafanikio katika karne zote za 13.
Leo tunaita logariti ya b kuweka msingi wa nambari x ambayo ni nguvu ya a kutengeneza b. Hii imeandikwa kama fomula: x = logi a(b).
Kwa mfano, logi 3(9) itakuwa sawa na 2. Hii ni dhahiri ukifuata ufafanuzi. Ikiwa tutainua 3 kwa nguvu ya 2, tunapata 9.
Kwa hivyo, ufafanuzi ulioundwa huweka kizuizi kimoja tu: nambari a na b lazima ziwe halisi.
Aina za logarithm
Ufafanuzi wa kitamaduni unaitwa logarithm halisi na ndio suluhisho la mlinganyo a x = b. Chaguo a = 1 ni la mpaka na halipendezi. Tahadhari: 1 kwa nguvu yoyote ni sawa na 1.
Thamani halisi ya logarithm hufafanuliwa tu wakati msingi na hoja ni kubwa kuliko 0, na msingi lazima usiwe sawa na 1.
Mahali maalum katika uwanja wa hisabati cheza logariti, ambazo zitapewa jina kulingana na saizi ya msingi wao:
Sheria na vikwazo
Sifa ya kimsingi ya logariti ni kanuni: logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logarithmic. log abp = logi a(b) + logi a(p).
Kama lahaja ya taarifa hii itakuwa: logi c(b/p) = logi c(b) - logi c(p), kipengele cha kukokotoa cha mgawo ni sawa na tofauti ya vitendakazi.
Kutoka kwa sheria mbili zilizopita ni rahisi kuona kwamba: logi a(b p) = p * logi a(b).
Tabia zingine ni pamoja na:
Maoni. Usifanye makosa ya kawaida - logarithm ya jumla sio sawa na jumla logarithmu.
Kwa karne nyingi, operesheni ya kutafuta logarithm ilikuwa kazi inayotumia wakati. Wanahisabati walitumia formula inayojulikana nadharia ya logarithmic ya upanuzi wa polynomial:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ambapo n - nambari ya asili zaidi ya 1, ambayo huamua usahihi wa hesabu.
Logariti na besi nyingine zilikokotolewa kwa kutumia nadharia kuhusu mpito kutoka msingi mmoja hadi mwingine na sifa ya logariti ya bidhaa.
Kwa kuwa njia hii ni ya kazi sana na wakati wa kuamua matatizo ya vitendo vigumu kutekeleza, tulitumia meza zilizopangwa tayari za logarithms, ambazo ziliharakisha kazi yote kwa kiasi kikubwa.
Katika baadhi ya matukio, grafu maalum za logarithm zilitumiwa, ambazo zilitoa usahihi mdogo, lakini ziliharakisha utafutaji. thamani inayotakiwa. Curve ya kazi y = logi a(x), iliyojengwa juu ya alama kadhaa, hukuruhusu kutumia mtawala wa kawaida kupata thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua nyingine yoyote. Wahandisi muda mrefu Kwa madhumuni haya, karatasi inayoitwa grafu ilitumiwa.
Katika karne ya 17, hali ya kwanza ya kompyuta ya msaidizi ya analog ilionekana, ambayo Karne ya 19 alipata sura ya kumaliza. Kifaa kilichofanikiwa zaidi kiliitwa sheria ya slaidi. Licha ya unyenyekevu wa kifaa, kuonekana kwake kuharakisha mchakato wa mahesabu yote ya uhandisi, na hii ni vigumu kuzidi. Hivi sasa, ni watu wachache wanaofahamu kifaa hiki.
Ujio wa vikokotoo na kompyuta ulifanya matumizi ya vifaa vingine vyovyote kuwa bure.
Equations na kutofautiana
Kwa ufumbuzi milinganyo tofauti na kukosekana kwa usawa kwa kutumia logarithm, fomula zifuatazo hutumiwa:
- Kuhama kutoka msingi mmoja hadi mwingine: logi a(b) = logi c(b) / logi c(a);
- Kama matokeo ya chaguo la awali: logi a(b) = 1 / logi b(a).
Ili kutatua ukosefu wa usawa ni muhimu kujua:
- Thamani ya logariti itakuwa chanya ikiwa tu msingi na hoja ni kubwa au chini ya moja; ikiwa angalau sharti moja limekiukwa, thamani ya logarithm itakuwa hasi.
- Ikiwa kazi ya logarithm inatumiwa kwa pande za kulia na za kushoto za usawa, na msingi wa logarithm ni kubwa zaidi kuliko moja, basi ishara ya usawa inahifadhiwa; V vinginevyo anabadilika.
Matatizo ya sampuli
Hebu fikiria chaguzi kadhaa za kutumia logarithms na mali zao. Mifano ya kutatua equations:
Fikiria chaguo la kuweka logarithm kwa nguvu:
- Tatizo 3. Kokotoa 25^logi 5(3). Suluhisho: katika hali ya tatizo, kuingia ni sawa na zifuatazo (5 ^ 2) ^ log5 (3) au 5 ^ (2 * logi 5 (3)). Hebu tuandike kwa njia tofauti: 5^logi 5(3*2), au mraba wa nambari kama hoja ya chaguo za kukokotoa inaweza kuandikwa kama mraba wa chaguo la kukokotoa lenyewe (5^logi 5(3))^2. Kwa kutumia sifa za logariti, usemi huu ni sawa na 3^2. Jibu: kama matokeo ya hesabu tunapata 9.
Matumizi ya vitendo
Kuwa zana ya hesabu tu, inaonekana mbali na maisha halisi kwamba logarithm ilipata ghafla umuhimu mkubwa kuelezea vitu ulimwengu halisi. Ni vigumu kupata sayansi ambapo haitumiki. Hii inatumika kikamilifu sio tu kwa asili, bali pia kwa nyanja za kibinadamu za ujuzi.
Utegemezi wa logarithmic
Hapa kuna mifano ya utegemezi wa nambari:
Mechanics na fizikia
Kihistoria, mechanics na fizikia zimekua kila wakati kwa kutumia mbinu za hisabati utafiti na wakati huo huo ulitumika kama motisha kwa maendeleo ya hisabati, pamoja na logarithms. Nadharia ya sheria nyingi za fizikia imeandikwa katika lugha ya hisabati. Hebu tutoe mifano miwili tu ya maelezo sheria za kimwili kwa kutumia logarithm.
Tatua tatizo la hesabu kama hili saizi ngumu Jinsi kasi ya roketi inaweza kuamua kwa kutumia formula ya Tsiolkovsky, ambayo iliweka msingi wa nadharia ya uchunguzi wa nafasi:
V = I * ln (M1/M2), wapi
- V - kasi ya mwisho Ndege.
- I - msukumo maalum wa injini.
- M 1 - wingi wa awali wa roketi.
- M2 - misa ya mwisho.
Mwingine mfano muhimu - hii hutumiwa katika formula ya mwanasayansi mwingine mkubwa Max Planck, ambayo hutumikia kutathmini hali ya usawa katika thermodynamics.
S = k * ln (Ω), wapi
- S - mali ya thermodynamic.
- k - Boltzmann mara kwa mara.
- Ω ni uzito wa takwimu wa majimbo tofauti.
Kemia
Jambo lisilo wazi zaidi ni matumizi ya fomula katika kemia iliyo na uwiano wa logariti. Hebu tutoe mifano miwili tu:
- Nernst equation, hali ya uwezekano wa redox wa kati kuhusiana na shughuli za dutu na usawa wa mara kwa mara.
- Hesabu ya viunga kama vile index ya autolysis na asidi ya suluhisho pia haiwezi kufanywa bila kazi yetu.
Saikolojia na biolojia
Na si wazi kabisa saikolojia ina uhusiano gani nayo. Inageuka kuwa nguvu ya hisia inaelezewa vizuri na kazi hii kama uhusiano wa kinyume maadili ya nguvu ya kichocheo hadi thamani ya chini ya kiwango.
Baada ya mifano hapo juu, haishangazi tena kwamba mada ya logarithms hutumiwa sana katika biolojia. Majalada yote yanaweza kuandikwa kuhusu fomu za kibayolojia zinazolingana na ond za logarithmic.
Maeneo mengine
Inaonekana kwamba kuwepo kwa dunia haiwezekani bila uhusiano na kazi hii, na inatawala sheria zote. Hasa wakati sheria za asili zinahusiana na maendeleo ya kijiometri. Inafaa kugeukia tovuti ya MatProfi, na kuna mifano mingi kama hii katika maeneo yafuatayo ya shughuli:
Orodha inaweza kutokuwa na mwisho. Baada ya kujua kanuni za msingi za kazi hii, unaweza kutumbukia katika ulimwengu wa hekima isiyo na kikomo.
Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logarithms kupitia awali kuweka maadili logarithmu zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja ni nini logarithm ni sawa - ni. sawa na kiashiria digrii. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kukokotoa logariti logi 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Wacha tuandike upya logarithm ya tatu ndani fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati kuna nambari ya asili ya kutosha chini ya ishara ya logarithm, hainaumiza kuipanua ndani sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya kitengo na sifa ya logariti ya nambari, sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na uweke a=logi a a 1 =1 . Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithms na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi. sawa na moja, yaani, log10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kuwa hesabu ya logarithm kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili ndani aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logarithms.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3 , na logariti ya awali, kutokana na sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·log 60 3 .
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. KATIKA hatua inayofuata tutakuonyesha jinsi inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumiwa sana ni jedwali logarithms asili na jedwali la logariti za desimali. Wakati wa kufanya kazi ndani mfumo wa desimali Kwa calculus, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachanganua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali mfano maalum- ni wazi zaidi kwa njia hiyo. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Tunapata tarakimu ya tatu ya 1.256 (tarakimu 5) katika kwanza au mstari wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungushwa kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari kwenye seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima zilizowekwa alama (nambari hizi zimeangaziwa. machungwa) Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa logarithm ya desimali sahihi kwa nafasi ya nne ya decimal, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari ndani fomu ya kawaida : 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logarithm asili ya desimali ni takriban sawa na logarithm nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Kuhusiana na
kazi ya kutafuta nambari yoyote kati ya hizo tatu kutoka kwa hizo mbili zilizopewa inaweza kuwekwa. Ikiwa a na kisha N zinatolewa, zinapatikana kwa ufafanuzi. Ikiwa N na kisha a hutolewa kwa kuchukua mzizi wa digrii x (au kuinua kwa nguvu). Sasa fikiria kesi wakati, ukipewa a na N, tunahitaji kupata x.
Acha nambari N iwe chanya: nambari a iwe chanya na isiwe sawa na moja: .
Ufafanuzi. Logariti ya nambari N hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata nambari N; logarithm inaonyeshwa na
Kwa hivyo, katika usawa (26.1) kipeo kinapatikana kama logariti ya N hadi msingi a. Machapisho
kuwa na maana sawa. Usawa (26.1) wakati mwingine huitwa utambulisho mkuu wa nadharia ya logarithmu; kwa uhalisia inaeleza ufafanuzi wa dhana ya logariti. Na ufafanuzi huu Msingi wa logarithm a daima ni chanya na tofauti na umoja; nambari ya logarithmic N ni chanya. Nambari hasi na sifuri hazina logariti. Inaweza kuthibitishwa kuwa nambari yoyote iliyo na msingi fulani ina logarithm iliyofafanuliwa vizuri. Kwa hivyo usawa unajumuisha. Kumbuka kuwa hali ni muhimu hapa; vinginevyo, hitimisho halingehesabiwa haki, kwani usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya x na y.
Mfano 1. Tafuta
Suluhisho. Ili kupata nambari, lazima uinue msingi 2 kwa nguvu Kwa hivyo.
Unaweza kuandika maelezo wakati wa kutatua mifano kama hii katika fomu ifuatayo:
Mfano 2. Tafuta .
Suluhisho. Tuna
Katika mifano ya 1 na 2, tulipata logariti tunayotaka kwa urahisi kwa kuwakilisha nambari ya logariti kama nguvu ya msingi na kiashiria cha busara. KATIKA kesi ya jumla, kwa mfano, kwa nk, hii haiwezi kufanywa, kwani logarithm ina maana isiyo na maana. Hebu tuzingatie suala moja linalohusiana na kauli hii. Katika aya ya 12 tulitoa dhana ya uwezekano wa kuamua yoyote shahada halisi kupewa nambari chanya. Hii ilikuwa muhimu kwa kuanzishwa kwa logarithms, ambayo, kwa ujumla, inaweza kuwa nambari zisizo na maana.
Wacha tuangalie sifa zingine za logarithm.
Mali 1. Ikiwa nambari na msingi ni sawa, basi logarithm ni sawa na moja, na, kinyume chake, ikiwa logarithm ni sawa na moja, basi nambari na msingi ni sawa.
Ushahidi. Hebu Kwa ufafanuzi wa logarithm tunayo na wapi
Kinyume chake, basi basi kwa ufafanuzi
Mali 2. Logarithm ya moja hadi msingi wowote sawa na sifuri.
Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa logarithm ( shahada ya sifuri msingi wowote chanya ni sawa na moja, ona (10.1)). Kutoka hapa
Q.E.D.
Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi N = 1. Hakika, tunayo.
Kabla ya kuunda sifa inayofuata ya logariti, tukubaliane kusema kwamba nambari mbili a na b ziko upande uleule wa nambari ya tatu c ikiwa zote ni kubwa kuliko c au chini ya c. Ikiwa moja ya nambari hizi ni kubwa kuliko c, na nyingine ni chini ya c, basi tutasema kwamba wanalala pamoja pande tofauti kutoka kijijini
Mali 3. Ikiwa nambari na msingi ziko upande mmoja wa moja, basi logarithm ni chanya; Ikiwa nambari na msingi ziko pande tofauti za moja, basi logarithm ni hasi.
Uthibitisho wa mali 3 unatokana na ukweli kwamba nguvu ya a ni kubwa kuliko moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni chanya au msingi ni chini ya moja na kielelezo ni hasi. Nguvu ni chini ya moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni hasi au msingi ni chini ya moja na kipeo ni chanya.
Kuna kesi nne za kuzingatia:
Tutajiwekea kikomo cha kuchambua ya kwanza; msomaji atazingatia mengine peke yake.
Hebu basi katika usawa kielelezo kinaweza kuwa si hasi wala sawa na sifuri, kwa hiyo, ni chanya, yaani, inavyotakiwa kuthibitishwa.
Mfano 3. Jua ni ipi kati ya logariti zilizo hapa chini ni chanya na zipi ni hasi:
Suluhisho, a) kwa kuwa nambari 15 na msingi 12 ziko upande mmoja wa moja;
b) tangu 1000 na 2 ziko upande mmoja wa kitengo; katika kesi hii, sio muhimu kwamba msingi ni mkubwa kuliko nambari ya logarithmic;
c) tangu 3.1 na 0.8 hulala pande tofauti za umoja;
G); Kwa nini?
d); Kwa nini?
Sifa zifuatazo 4-6 mara nyingi huitwa sheria za logarithmation: huruhusu, kujua logarithms za nambari fulani, kupata logarithms ya bidhaa zao, quotient, na kiwango cha kila mmoja wao.
Mali 4 (kanuni ya logarithm ya bidhaa). Logarithm ya bidhaa ya nambari kadhaa chanya kwa msingi huu sawa na jumla ya logariti za nambari hizi kwa msingi sawa.
Ushahidi. Acha nambari ulizopewa ziwe chanya.
Kwa logariti ya bidhaa zao, tunaandika usawa (26.1) ambayo inafafanua logariti:
Kutoka hapa tutapata
Kulinganisha vielelezo vya kwanza na maneno ya mwisho, tunapata usawa unaohitajika:
Kumbuka kwamba hali ni muhimu; logarithm ya bidhaa mbili nambari hasi ina maana, lakini katika kesi hii tunapata
Kwa ujumla, ikiwa bidhaa ya mambo kadhaa ni chanya, basi logarithm yake ni sawa na jumla ya logarithms ya maadili kamili ya mambo haya.
Mali 5 (kanuni ya kuchukua logarithms ya quotients). Logariti ya mgawo wa nambari chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko, zilizochukuliwa kwa msingi sawa. Ushahidi. Tunapata mara kwa mara
Q.E.D.
Mali 6 (sheria ya logarithm ya nguvu). Logariti ya nguvu ya nambari yoyote chanya ni sawa na logariti ya nambari hiyo inayozidishwa na kipeo.
Ushahidi. Wacha tuandike tena kitambulisho kikuu (26.1) cha nambari:
Q.E.D.
Matokeo. Logariti ya mzizi wa nambari chanya ni sawa na logariti ya radical iliyogawanywa na kipeo cha mzizi:
Uhalali wa mfululizo huu unaweza kuthibitishwa kwa kuwazia jinsi na kutumia kipengele 6.
Mfano 4. Chukua logariti kuweka msingi wa:
a) (inadhaniwa kuwa maadili yote b, c, d, e ni chanya);
b) (inadhaniwa kuwa).
Suluhisho, a) Ni rahisi kwenda usemi huu kwa nguvu za sehemu:
Kulingana na usawa (26.5)-(26.7), sasa tunaweza kuandika:
Tunaona kwamba shughuli rahisi zaidi zinafanywa kwa logarithms ya nambari kuliko nambari zenyewe: wakati wa kuzidisha nambari, logarithms zao huongezwa, wakati wa kugawanya, hutolewa, nk.
Ndiyo maana logariti hutumika katika mazoezi ya kompyuta (tazama aya ya 29).
Kitendo cha kinyume cha logarithm kinaitwa potentiation, yaani: potentiation ni kitendo ambacho nambari yenyewe hupatikana kutoka kwa logarithm fulani ya nambari. Kimsingi, uwezekano sio hatua yoyote maalum: inakuja kwa kuinua msingi kwa nguvu (sawa na logarithm ya nambari). Neno "uwezo" linaweza kuchukuliwa kuwa sawa na neno "ufafanuzi".
Wakati wa kuimarisha, lazima utumie sheria kinyume na sheria za logarithmation: badala ya jumla ya logarithms na logarithm ya bidhaa, tofauti ya logarithms na logarithm ya quotient, nk. Hasa, ikiwa kuna sababu mbele. ya ishara ya logarithm, basi wakati wa potentiation lazima ihamishwe kwa digrii za kielelezo chini ya ishara ya logarithm.
Mfano 5. Tafuta N ikiwa inajulikana hivyo
Suluhisho. Kuhusiana na kanuni iliyoelezwa tu ya uwezekano, tutahamisha vipengele 2/3 na 1/3 vilivyosimama mbele ya ishara za logarithmu upande wa kulia wa usawa huu kuwa vielelezo chini ya ishara za logarithms hizi; tunapata
Sasa tunabadilisha tofauti ya logarithm na logarithm ya quotient:
ili kupata sehemu ya mwisho katika mlolongo huu wa usawa, tuliachilia sehemu iliyotangulia kutoka kwa kutokuwa na akili katika dhehebu (kifungu cha 25).
Mali 7. Ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja, basi idadi kubwa zaidi ina logarithm kubwa (na nambari ndogo ina ndogo), ikiwa msingi ni chini ya moja, basi nambari kubwa ina logarithm ndogo (na nambari ndogo ina kubwa zaidi).
Mali hii pia imeundwa kama sheria ya kuchukua logarithms ya usawa, pande zote mbili ambazo ni chanya:
Wakati wa kuchukua logariti za usawa kwa msingi, zaidi ya moja, ishara ya usawa imehifadhiwa, na wakati wa kuchukua logarithm kwa msingi chini ya moja, ishara ya kutofautiana inabadilika kinyume chake (tazama pia aya ya 80).
Uthibitisho unategemea sifa 5 na 3. Zingatia kesi wakati Ikiwa, basi na, kwa kuchukua logarithm, tunapata.
(a na N/M wanalala upande mmoja wa umoja). Kutoka hapa
Kisa kifuatacho, msomaji atajitambua mwenyewe.
Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.
Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia fomula za logarithm kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:
Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.
Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.
Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (inayoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.
Kulingana na ufafanuzi wa logi a b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hivyo andika a x = x.
Logarithms, mifano:
logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8
logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49
logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5
Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.
logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100
Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida ya logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828... - nambari isiyo na mantiki) Inajulikana kama ln.
Inashauriwa kukariri fomula au mali ya logarithms, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logarithms, milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.
- Misingi kitambulisho cha logarithmic
logi a b = b8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti
log a (bc) = log a b + log a cgogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
- Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
- Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kielelezo cha nambari ya logarithmic logi a b m = mlog a b
Kielelezo cha msingi wa logariti logi a n b =1/n*logi a b
logi a n b m = m/n*logi a b,
ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b
gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
- Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1
kisha weka b = 1/logi b a
gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1
Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!
Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.
Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.
Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio sawa nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo zinaitwa mali kuu.
Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao hakuna shida moja kubwa inayoweza kutatuliwa. tatizo la logarithmic. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.
Kuongeza na kupunguza logariti
Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi a x na logi a y. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:
- logi a x+ logi a y=logi a (x · y);
- logi a x− logi a y=logi a (x : y).
Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Kumbuka: wakati muhimu Hapa - misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!
Fomula hizi zitakusaidia kuhesabu usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake za kibinafsi hazihesabiwi (tazama somo "Logarithm ni nini"). Angalia mifano na uone:
Nambari 6 4 + logi 6 9.
Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
gogo 6 4 + logi 6 9 = gogo 6 (4 9) = gogo 6 36 = 2.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 2 48 - logi 2 3.
Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
gogo 2 48 - gogo 2 3 = gogo 2 (48: 3) = logi 2 16 = 4.
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 3 135 - logi 3 5.
Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
gogo 3 135 - gogo 3 5 = gogo 3 (135: 5) = logi 3 27 = 3.
Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko yanageuka kabisa nambari za kawaida. Wengi wamejengwa juu ya ukweli huu karatasi za mtihani. Vipi kuhusu vidhibiti? maneno yanayofanana kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) hutolewa kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.
Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti
Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:
Ni rahisi kutambua hilo kanuni ya mwisho hufuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.
Kwa kweli, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake, i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.
Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 7 49 6 .
Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
kumbukumbu 7 49 6 = 6 kumbukumbu 7 49 = 6 2 = 12
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]
Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu halisi: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tuna:
[Maelezo ya picha] Nadhani mfano wa mwisho ufafanuzi unahitajika. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama pale katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".
Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: logi 2 7. Tangu logi 2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.
Mpito kwa msingi mpya
Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?
Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:
Acha logi ya logarithm itolewe a x. Kisha kwa nambari yoyote c vile vile c> 0 na c≠ 1, usawa ni kweli:
[Maelezo ya picha]
Hasa, ikiwa tunaweka c = x, tunapata:
[Maelezo ya picha]
Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.
Fomula hizi hazipatikani kwa kawaida maneno ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.
Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:
Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 5 16 logi 2 25.
Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: logi 5 16 = logi 5 2 4 = 4log 5 2; logi 2 25 = logi 2 5 2 = 2logi 2 5;
Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:
[Maelezo ya picha]Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.
Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 9 100 lg 3.
Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:
[Maelezo ya picha]Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:
[Maelezo ya picha]Utambulisho wa msingi wa logarithmic
Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:
Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kiashirio cha shahada inayosimama katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.
Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa: kitambulisho cha msingi cha logarithmic.
Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b kuongeza nguvu kiasi kwamba idadi b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: unapata nambari hii sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.
Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.
Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]
Kumbuka kwamba logi 25 64 = logi 5 8 - ilichukua tu mraba kutoka msingi na hoja ya logarithm. Kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi huo huo, tunapata:
[Maelezo ya picha]Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)
Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri
Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".
- logi a a= 1 ni kitengo cha logarithmic. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote a kutoka kwa msingi huu ni sawa na moja.
- logi a 1 = 0 ni logarithmic sifuri. Msingi a inaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logarithm ni sawa na sifuri! Kwa sababu a 0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.
Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.