Hypermarket of knowledge >> Hisabati >> Hisabati daraja la 10 >>
Kazi ya kielelezo, mali zake na grafu
Wacha tuzingatie usemi 2x na tupate maadili yake kwa maadili anuwai ya anuwai ya x, kwa mfano, kwa x = 2;
Kwa ujumla, haijalishi ni maana gani ya kimantiki tunayoweka kwa mabadiliko ya x, tunaweza kuhesabu thamani inayolingana ya nambari ya usemi 2 x kila wakati. Kwa hivyo, tunaweza kuzungumza juu ya kielelezo kazi y=2 x, imefafanuliwa kwenye seti ya Q ya nambari za busara:
Hebu tuangalie baadhi ya sifa za kipengele hiki.
Mali 1.- kuongeza kazi. Tunafanya uthibitisho katika hatua mbili.
Hatua ya kwanza. Hebu tuthibitishe kwamba ikiwa r ni nambari chanya ya busara, basi 2 r > 1.
Matukio mawili yanawezekana: 1) r ni nambari ya asili, r = n; 2) kawaida isiyoweza kupunguzwa sehemu,
Upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa wa mwisho tunao, na upande wa kulia 1. Hii ina maana kwamba ukosefu wa usawa wa mwisho unaweza kuandikwa upya katika fomu.
Kwa hivyo, kwa hali yoyote, usawa 2 r> 1 unashikilia, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Awamu ya pili. Acha x 1 na x 2 ziwe nambari, na x 1 na x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(Tuliashiria tofauti x 2 - x 1 na herufi r).
Kwa kuwa r ni nambari nzuri ya busara, basi kwa kile kilichothibitishwa katika hatua ya kwanza, 2 r> 1, i.e. 2 r -1 >0. Nambari 2x" pia ni chanya, ambayo ina maana kwamba bidhaa 2 x-1 (2 Г -1) pia ni chanya. Hivyo, tumethibitisha kwamba ukosefu wa usawa 2 Xg -2x" >0.
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Mali 2. mdogo kutoka chini na sio mdogo kutoka juu.
Mipaka ya chaguo za kukokotoa kutoka chini inafuata kutoka kwa ukosefu wa usawa 2 x >0, ambayo ni halali kwa thamani zozote za x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Wakati huo huo, haijalishi ni nambari gani chanya ya M unayochukua, unaweza kuchagua kipeo x kila wakati ili ukosefu wa usawa 2 x >M utosheke - ambayo ni sifa ya kutokuwa na kikomo cha chaguo la kukokotoa kutoka juu. Hebu tutoe mifano kadhaa.
Mali 3. haina thamani ndogo wala kubwa zaidi.
Kwamba kazi hii sio ya umuhimu mkubwa ni dhahiri, kwani, kama tulivyoona hivi punde, haijafungwa hapo juu. Lakini ni mdogo kutoka chini, kwa nini haina thamani ya chini?
Wacha tufikirie kuwa 2 r ndio dhamana ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa (r ni kiashiria fulani cha busara). Wacha tuchukue nambari ya busara q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Yote hii ni nzuri, unasema, lakini kwa nini tunazingatia kazi y-2 x tu kwenye seti ya nambari za busara, kwa nini hatuzingatii kama kazi zingine zinazojulikana kwenye safu nzima ya nambari au kwa muda fulani unaoendelea wa nambari. mstari wa nambari? Nini kinatuzuia? Hebu tufikirie hali hiyo.
Mstari wa nambari hauna tu mantiki, lakini pia nambari zisizo na maana. Kwa kazi zilizosomwa hapo awali hii haikutusumbua. Kwa mfano, tulipata maadili ya chaguo za kukokotoa y = x2 kwa urahisi sawa kwa maadili ya busara na yasiyo ya maana ya x: ilitosha kuweka mraba thamani iliyotolewa ya x.
Lakini kwa kazi y = 2 x hali ni ngumu zaidi. Ikiwa hoja x inapewa maana ya busara, basi kwa kanuni x inaweza kuhesabiwa (kurudi tena mwanzoni mwa aya, ambapo tulifanya hivyo hasa). Je, ikiwa hoja x inapewa maana isiyo na maana? Jinsi, kwa mfano, kuhesabu? Hatujui hili bado.
Wanahisabati wamepata njia ya kutokea; ndivyo walivyofikiri.
Inajulikana kuwa 
Fikiria mlolongo wa nambari za busara - makadirio ya desimali ya nambari kwa hasara:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Ni wazi kwamba 1.732 = 1.7320, na 1.732050 = 1.73205. Ili kuzuia marudio kama haya, tunatupa washiriki wa mlolongo unaoisha na nambari 0.
Kisha tunapata mlolongo unaoongezeka:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Ipasavyo, mlolongo huongezeka
Masharti yote ya mlolongo huu ni nambari chanya chini ya 22, i.e. mlolongo huu ni mdogo. Kulingana na nadharia ya Weierstrass (ona § 30), ikiwa mfuatano unaongezeka na kuwekewa mipaka, basi huungana. Kwa kuongeza, kutoka kwa § 30 tunajua kwamba ikiwa mlolongo unaunganishwa, hufanya hivyo kwa kikomo kimoja tu. Ilikubaliwa kuwa kikomo hiki kimoja kinapaswa kuzingatiwa kuwa thamani ya usemi wa nambari. Na haijalishi kuwa ni vigumu sana kupata hata thamani ya takriban ya kujieleza kwa nambari 2; ni muhimu kwamba hii ni nambari maalum (baada ya yote, hatukuogopa kusema kwamba, kwa mfano, ni mzizi wa equation ya busara, 
mzizi wa equation ya trigonometric, bila kufikiria kabisa juu ya nambari hizi ni nini: 
Kwa hivyo, tumegundua ni maana gani wanahisabati waliweka kwenye ishara 2^. Vile vile, unaweza kuamua ni nini na kwa ujumla a ni nini, wapi a ni nambari isiyo na mantiki na > 1.
Lakini vipi ikiwa 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Sasa tunaweza kuzungumza sio tu juu ya mamlaka na wafadhili wa busara wa kiholela, lakini pia juu ya nguvu zilizo na wafadhili wa kweli wa kiholela. Imethibitishwa kuwa digrii zilizo na wasaidizi wowote wa kweli zina mali yote ya kawaida ya digrii: wakati wa kuzidisha nguvu na misingi sawa, wasaidizi huongezwa, wakati wa kugawanyika, hutolewa, wakati wa kuinua kiwango kwa nguvu, huongezeka. na kadhalika. Lakini jambo muhimu zaidi ni kwamba sasa tunaweza kuzungumza juu ya kazi ya y-ax iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari zote halisi.
Wacha turudi kwenye kazi y = 2 x na tujenge grafu yake. Ili kufanya hivyo, wacha tuunde jedwali la maadili ya kazi y=2x:
Hebu tuweke alama kwenye ndege ya kuratibu (Mchoro 194), wanaashiria mstari fulani, hebu tuchore (Mchoro 195).
Sifa za chaguo za kukokotoa y - 2 x:
1)
2) sio hata au isiyo ya kawaida; 248
3) kuongezeka;
5) haina maadili makubwa zaidi au madogo;
6) kuendelea;
7)
8) convex kwenda chini.
Uthibitisho mkali wa sifa zilizoorodheshwa za kazi y-2 x hutolewa katika mwendo wa hisabati ya juu. Tulijadili baadhi ya mali hizi kwa shahada moja au nyingine mapema, baadhi yao yanaonyeshwa wazi na grafu iliyojengwa (tazama Mchoro 195). Kwa mfano, ukosefu wa usawa au hali isiyo ya kawaida ya chaguo za kukokotoa inahusiana kijiometri na ukosefu wa ulinganifu wa grafu, mtawalia, kuhusiana na mhimili wa y au kuhusiana na asili.
Utendakazi wowote wa umbo y = a x, ambapo > 1, ina sifa zinazofanana. Katika Mtini. 196 katika mfumo mmoja wa kuratibu zilijengwa, grafu za kazi y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Wacha tuzingatie kazi hiyo na tuunde jedwali la maadili yake:
Hebu tuweke alama kwenye ndege ya kuratibu (Mchoro 197), wanaashiria mstari fulani, hebu tuchore (Mchoro 198).
Sifa za Kazi
1)
2) sio hata au isiyo ya kawaida;
3) kupungua;
4) sio mdogo kutoka juu, mdogo kutoka chini;
5) hakuna thamani kubwa au ndogo;
6) kuendelea;
7)
8) convex kwenda chini.
Utendaji wowote wa fomu y = a x ina sifa zinazofanana, ambapo O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Tafadhali kumbuka: grafu za kazi 
hizo. y = 2 x, ulinganifu kuhusu mhimili y (Mchoro 201). Haya ni matokeo ya taarifa ya jumla (ona § 13): grafu za chaguo za kukokotoa y = f(x) na y = f(-x) zina ulinganifu kuhusu mhimili wa y. Vile vile, grafu za kazi y = 3 x na
Kwa muhtasari wa kile ambacho kimesemwa, tutatoa ufafanuzi wa kazi ya kielelezo na kuonyesha sifa zake muhimu zaidi.
Ufafanuzi. Kitendaji cha fomu kinaitwa kitendakazi cha kielelezo.
Sifa za kimsingi za kitendakazi cha kipeo y = a x
Grafu ya chaguo za kukokotoa y=a x kwa a> 1 imeonyeshwa kwenye Mtini. 201, na kwa 0<а < 1 - на рис. 202.
Mzunguko unaoonyeshwa kwenye Mtini. 201 au 202 inaitwa kielelezo. Kwa kweli, wanahisabati kawaida huita kazi ya kielelezo yenyewe y = a x. Kwa hivyo neno "kielelezo" linatumika kwa maana mbili: zote kutaja kazi ya kielelezo na kutaja grafu ya chaguo za kukokotoa. Kawaida maana ni wazi ikiwa tunazungumza juu ya kazi ya kielelezo au grafu yake.
Zingatia kipengele cha kijiometri cha grafu ya utendaji wa kielelezo y=ax: mhimili wa x ni dalili ya mlalo ya grafu. Ukweli, taarifa hii kawaida hufafanuliwa kama ifuatavyo.
Mhimili wa x ni asymptote ya mlalo ya grafu ya chaguo za kukokotoa
Kwa maneno mengine
Ujumbe muhimu wa kwanza. Watoto wa shule mara nyingi huchanganya maneno: kazi ya nguvu, kazi ya kielelezo. Linganisha:
Hii ni mifano ya kazi za nguvu; 
Hii ni mifano ya kazi za kielelezo.
Kwa ujumla, y = x r, ambapo r ni nambari maalum, ni kazi ya nguvu (hoja x iko katika msingi wa shahada);
y = a", ambapo a ni nambari maalum (chanya na tofauti na 1), ni kazi ya kielelezo (hoja x iko katika kipeo).
Chaguo za kukokotoa "za kigeni" kama y = x" hazizingatiwi kielelezo au nguvu (wakati mwingine huitwa kielelezo).
Jambo la pili muhimu. Kawaida mtu hazingatii kazi ya kielelezo yenye msingi a = 1 au yenye msingi wa kutosheleza usawa a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 na a Ukweli ni kwamba ikiwa a = 1, basi kwa thamani yoyote ya x usawa Ix = 1 inashikilia. Kwa hivyo, kazi ya kielelezo y = a" na = 1 "hupungua" katika utendaji wa kudumu y = 1 - hii haipendezi. Ikiwa a = 0, basi 0x = 0 kwa thamani yoyote chanya ya x, yaani, tunapata fomula y = 0, iliyofafanuliwa kwa x > 0 - hii pia haipendezi. Ikiwa, hatimaye, a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Kabla ya kuendelea na kutatua mifano, kumbuka kuwa kazi ya kielelezo ni tofauti sana na kazi zote ambazo umesoma hadi sasa. Ili kujifunza vizuri kitu kipya, unahitaji kuzingatia kutoka kwa pembe tofauti, katika hali tofauti, kwa hiyo kutakuwa na mifano mingi.
Mfano 1.
Suluhisho, a) Baada ya kujenga grafu za kazi y = 2 x na y = 1 katika mfumo mmoja wa kuratibu, tunaona (Mchoro 203) kwamba wana hatua moja ya kawaida (0; 1). Hii ina maana kwamba equation 2x = 1 ina mzizi mmoja x =0.
Kwa hivyo, kutoka kwa equation 2x = 2 ° tunapata x = 0.
b) Baada ya kujenga grafu za kazi y = 2 x na y = 4 katika mfumo mmoja wa kuratibu, tunaona (Mchoro 203) kwamba wana hatua moja ya kawaida (2; 4). Hii ina maana kwamba equation 2x = 4 ina mzizi mmoja x = 2.
Kwa hivyo, kutoka kwa equation 2 x = 2 2 tunapata x = 2.
c) na d) Kwa kuzingatia mambo sawa, tunahitimisha kuwa equation 2 x = 8 ina mizizi moja, na kuipata, grafu za kazi zinazofanana hazihitaji kujengwa;
ni wazi kuwa x = 3, kwani 2 3 = 8. Vile vile, tunapata mzizi pekee wa equation
Kwa hivyo, kutoka kwa equation 2x = 2 3 tulipata x = 3, na kutoka kwa equation 2 x = 2 x tulipata x = -4.
e) Grafu ya kazi y = 2 x iko juu ya grafu ya kazi y = 1 kwa x > 0 - hii inasomeka wazi katika Mtini. 203. Hii ina maana kwamba suluhu la kukosekana kwa usawa 2x > 1 ni muda
f) Grafu ya chaguo za kukokotoa y = 2 x iko chini ya grafu ya chaguo za kukokotoa y = 4 kwa x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Labda umegundua kuwa msingi wa hitimisho zote zilizofanywa wakati wa kusuluhisha mfano 1 ulikuwa mali ya monotonicity (ongezeko) ya kazi y = 2 x. Hoja sawia huturuhusu kuthibitisha uhalali wa nadharia mbili zifuatazo.
Suluhisho. Unaweza kuendelea kama hii: tengeneza grafu ya kazi ya y-3 x, kisha inyoosha kutoka kwa mhimili wa x kwa sababu ya 3, na kisha uinue grafu inayotokana na vitengo 2 vya mizani. Lakini ni rahisi zaidi kutumia ukweli kwamba 3- 3 * = 3 * + 1, na, kwa hiyo, kujenga grafu ya kazi y = 3 x * 1 + 2.
Wacha tuendelee, kama tulivyofanya mara nyingi katika visa kama hivyo, kwa mfumo wa kuratibu msaidizi na asili katika hatua (-1; 2) - mistari yenye alama x = - 1 na 1x = 2 kwenye Mtini. 207. Hebu "tuunganishe" kazi y = 3 * kwenye mfumo mpya wa kuratibu. Ili kufanya hivyo, chagua pointi za udhibiti kwa kazi 
, lakini tutawajenga sio zamani, lakini katika mfumo mpya wa kuratibu (pointi hizi zimewekwa kwenye Mchoro 207). Kisha tutajenga kielelezo kutoka kwa pointi - hii itakuwa grafu inayohitajika (tazama Mchoro 207).
Ili kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi fulani kwenye sehemu [-2, 2], tunachukua fursa ya ukweli kwamba kazi iliyotolewa inaongezeka, na kwa hiyo inachukua maadili yake madogo na makubwa zaidi, kwa mtiririko huo, katika kushoto na kulia mwisho wa sehemu.
Kwa hivyo:
Mfano 4. Tatua usawa na usawa:
Suluhisho, a) Hebu tujenge grafu za kazi y = 5 * na y = 6-x katika mfumo mmoja wa kuratibu (Mchoro 208). Wanaingiliana kwa wakati mmoja; kuhukumu kwa kuchora, hii ni uhakika (1; 5). Cheki inaonyesha kwamba kwa kweli hatua (1; 5) inatosheleza equation y = 5* na equation y = 6-x. Abscissa ya hatua hii hutumika kama mzizi pekee wa equation iliyotolewa.
Kwa hivyo, equation 5 x = 6 - x ina mzizi mmoja x = 1.
b) na c) Kipeo y-5x kiko juu ya mstari ulionyooka y=6-x, ikiwa x>1, hii inaonekana wazi katika Mtini. 208. Hii ina maana kwamba suluhu la kukosekana kwa usawa 5*>6 linaweza kuandikwa kama ifuatavyo: x>1. Na suluhisho la usawa 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Jibu: a) x = 1; b) x>1; c) x<1.
Mfano 5. Imepewa kazi 
Thibitisha hilo 
Suluhisho. Kulingana na hali tuliyo nayo.
Utendakazi wa kielelezo
Kazi ya fomu y = a x , ambapo a ni kubwa kuliko sifuri na a si sawa na moja inaitwa kitendakazi cha kielelezo. Sifa za kimsingi za kitendakazi cha kielelezo:
1. Kikoa cha ufafanuzi wa kipengele cha kukokotoa kitakuwa seti ya nambari halisi.
2. Aina mbalimbali za chaguo za kukokotoa za kipeo zitakuwa seti ya nambari zote chanya. Wakati mwingine seti hii inaashiriwa kama R+ kwa ufupi.
3. Ikiwa katika kipengele cha kukokotoa cha kukokotoa msingi a ni mkubwa zaidi ya moja, basi chaguo za kukokotoa zitakuwa zinaongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Ikiwa katika kitendakazi cha kielelezo kwa msingi a hali ifuatayo inatimizwa 0
4. Sifa zote za msingi za digrii zitakuwa halali. Sifa kuu za digrii zinawakilishwa na usawa ufuatao:
a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x * y) .
Usawa huu utakuwa halali kwa thamani zote halisi za x na y.
5. Grafu ya kipengele cha kukokotoa kila mara hupitia nukta kwa kuratibu (0;1)
6. Kulingana na ikiwa utendaji wa kipeo huongezeka au hupungua, grafu yake itakuwa na mojawapo ya aina mbili.
Kielelezo kifuatacho kinaonyesha grafu ya utendaji unaoongezeka wa kipeo: a>0.
Kielelezo kifuatacho kinaonyesha grafu ya utendaji unaopungua wa kielelezo: 0
Grafu ya utendaji wa kielelezo unaoongezeka na grafu ya utendaji kazi wa kielelezo unaopungua, kulingana na sifa iliyofafanuliwa katika aya ya tano, hupitia nukta (0;1).
7. Kazi ya kielelezo haina pointi za juu, yaani, kwa maneno mengine, haina pointi za chini na za juu za kazi. Ikiwa tutazingatia chaguo la kukokotoa kwenye sehemu yoyote maalum, basi chaguo la kukokotoa litachukua maadili ya chini na ya juu mwishoni mwa muda huu.
8. Kazi si hata au isiyo ya kawaida. Kitendaji cha kielelezo ni kitendakazi cha umbo la jumla. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa grafu; hakuna hata moja ambayo ni ya ulinganifu kwa heshima na mhimili wa Oy au kwa heshima na asili ya kuratibu.
Logarithm
Logarithms daima imekuwa kuchukuliwa kuwa mada ngumu katika kozi za hisabati shuleni. Kuna ufafanuzi mwingi tofauti wa logarithm, lakini kwa sababu fulani vitabu vingi vya kiada hutumia ngumu zaidi na ambayo haikufaulu.
Tutafafanua logarithm kwa urahisi na kwa uwazi. Ili kufanya hivyo, tengeneza meza:
Kwa hivyo, tuna nguvu mbili. Ikiwa unachukua nambari kutoka kwa mstari wa chini, unaweza kupata kwa urahisi nguvu ambayo itabidi kuinua mbili ili kupata nambari hii. Kwa mfano, kupata 16, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi nne. Na kupata 64, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi sita. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza.
Na sasa - kwa kweli, ufafanuzi wa logarithm:
Ufafanuzi
Logarithm kwa msingi wa hoja x ni nguvu ambayo idadi lazima iongezwe a kupata namba x.
Uteuzi
logi a x = b
Ambapo ni msingi, x ni hoja, b - kwa kweli, logarithm ni sawa na nini.
Kwa mfano, 2 3 = 8 ⇒ logi 2 8 = 3 (msingi 2 logarithm ya 8 ni tatu kwa sababu 2 3 = 8). Kwa mafanikio sawa, ingia 2 64 = 6, tangu 2 6 = 64.
Operesheni ya kutafuta logariti ya nambari kwa msingi fulani inaitwalogarithm . Kwa hivyo, wacha tuongeze mstari mpya kwenye meza yetu:
Kwa bahati mbaya, sio logarithm zote zinahesabiwa kwa urahisi sana. Kwa mfano, jaribu kutafuta logi 2 5. Nambari 5 haipo kwenye jedwali, lakini mantiki inasema kwamba logarithm italala mahali fulani kwenye muda. Kwa sababu 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana: nambari baada ya nukta ya desimali zinaweza kuandikwa ad infinitum, na hazirudiwi kamwe. Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, ni bora kuiacha kwa njia hiyo: logi 2 5, logi 3 8, logi 5 100.
Ni muhimu kuelewa kwamba logarithm ni usemi wenye vigezo viwili (msingi na hoja). Mara ya kwanza, watu wengi huchanganya wapi msingi ulipo na wapi hoja. Ili kuzuia kutokuelewana kukasirisha, angalia tu picha:
Kabla yetu hakuna chochote zaidi ya ufafanuzi wa logarithm. Kumbuka: logarithm ni nguvu , ambayo msingi lazima ujengwe ili kupata hoja. Ni msingi ambao umeinuliwa hadi nguvu - imeangaziwa kwa rangi nyekundu kwenye picha. Inatokea kwamba msingi ni daima chini! Ninawaambia wanafunzi wangu sheria hii nzuri katika somo la kwanza kabisa - na hakuna mkanganyiko unaotokea.
Tumegundua ufafanuzi - kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuhesabu logarithms, i.e. ondoa ishara ya "logi". Kuanza na, tunaona kwamba Mambo mawili muhimu yanafuata kutoka kwa ufafanuzi:
Hoja na msingi lazima iwe kubwa kuliko sufuri kila wakati. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa shahada na kipeo busara cha kimantiki, ambapo ufafanuzi wa logariti hupunguzwa.
Msingi lazima uwe tofauti na moja, kwa kuwa moja kwa shahada yoyote bado inabaki moja. Kwa sababu hii, swali "ni kwa nguvu gani mtu anapaswa kuinuliwa ili kupata mbili" haina maana. Hakuna degree kama hiyo!
Vikwazo vile zinaitwa anuwai ya maadili yanayokubalika(ODZ). Inabadilika kuwa ODZ ya logarithm inaonekana kama hii: logi a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Tafadhali kumbuka kuwa hakuna vikwazo kwa nambari b (thamani ya logarithm) haiingiliani. Kwa mfano, logarithm inaweza kuwa hasi: log 2 0.5 = -1, kwa sababu 0.5 = 2 -1.
Walakini, sasa tunazingatia maneno ya nambari tu, ambapo haihitajiki kujua VA ya logarithm. Vikwazo vyote tayari vimezingatiwa na waandishi wa matatizo. Lakini wakati milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa unapoanza kutumika, mahitaji ya DL yatakuwa ya lazima. Baada ya yote, msingi na hoja inaweza kuwa na miundo yenye nguvu sana ambayo si lazima yanahusiana na vikwazo hapo juu.
Sasa fikiria jumla mpango wa kuhesabu logarithms. Inajumuisha hatua tatu:
Toa sababu a na hoja x kwa namna ya nguvu yenye msingi wa chini unaowezekana zaidi ya moja. Njiani, ni bora kuondokana na decimals;
Tatua kwa heshima na kigezo b equation: x = a b;
Nambari inayotokana b itakuwa jibu.
Ni hayo tu! Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, hii itaonekana tayari katika hatua ya kwanza. Mahitaji ya kuwa msingi ni mkubwa zaidi kuliko moja ni muhimu sana: hii inapunguza uwezekano wa makosa na kurahisisha mahesabu kwa kiasi kikubwa. Ni sawa na sehemu za decimal: ikiwa utazibadilisha mara moja kuwa za kawaida, kutakuwa na makosa mengi machache.
Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:
Kukokotoa logariti: logi 5 25
Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tano: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tulipata jibu: 2.
Kuhesabu logarithm:
Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tatu: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;
Wacha tuunda na kutatua equation:
Tulipokea jibu: -4.
−4
Kukokotoa logariti: logi 4 64
Wacha tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Wacha tuunda na kutatua equation:
gogo 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Tulipata jibu: 3.
Kukokotoa logariti: logi 16 1
Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Wacha tuunda na kutatua equation:
gogo 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Tulipokea jibu: 0.
Kokotoa logariti: logi 7 14
Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya saba: 7 = 7 1 ; 14 haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya saba, kwani 7 1< 14 < 7 2 ;
Kutoka kwa aya iliyotangulia inafuata kwamba logarithm haihesabu;
Jibu sio mabadiliko: logi 7 14.
Somo la 714
Ujumbe mdogo kwenye mfano wa mwisho. Unawezaje kuwa na uhakika kwamba nambari sio nguvu kamili ya nambari nyingine? Ni rahisi sana - ifafanue tu katika mambo kuu. Ikiwa upanuzi una angalau mambo mawili tofauti, nambari sio nguvu halisi.
Jua ikiwa nambari ni nguvu kamili: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shahada halisi, kwa sababu kuna kizidishi kimoja tu;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - sio nguvu halisi, kwa kuwa kuna mambo mawili: 3 na 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shahada halisi;
35 = 7 · 5 - tena si nguvu halisi;
14 = 7 · 2 - tena si shahada halisi;
8, 81 - shahada halisi; 48, 35, 14 - hapana.
Kumbuka pia kwamba nambari kuu zenyewe huwa ni nguvu zenyewe kila wakati.
Logariti ya decimal
Baadhi ya logariti ni ya kawaida sana kwamba wana jina maalum na ishara.
Ufafanuzi
Logariti ya decimal kutoka kwa hoja x ni logariti kwa msingi 10, i.e. nguvu ambayo nambari 10 inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari x.
Uteuzi
lg x
Kwa mfano, logi 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - nk.
Kuanzia sasa na kuendelea, wakati kifungu kama "Pata lg 0.01" kinapoonekana kwenye kitabu cha kiada, ujue kuwa hii sio kosa la kuandika. Hii ni logariti ya desimali. Hata hivyo, ikiwa hufahamu nukuu hii, unaweza kuiandika upya kila wakati:
logi x = logi 10 x
Kila kitu ambacho ni kweli kwa logariti za kawaida pia ni kweli kwa logariti za desimali.
Logarithm ya asili
Kuna logarithm nyingine ambayo ina jina lake. Kwa njia fulani, ni muhimu zaidi kuliko decimal. Tunazungumza juu ya logarithm ya asili.
Ufafanuzi
Logarithm ya asili kutoka kwa hoja x ni logariti kwa msingi e , i.e. nguvu ambayo idadi inapaswa kuinuliwa e kupata namba x.
Uteuzi
ln x
Watu wengi watauliza: nambari e ni nini? Hii ni nambari isiyo na mantiki; thamani yake halisi haiwezi kupatikana na kuandikwa. Nitatoa takwimu za kwanza tu:
e = 2.718281828459...
Hatutaingia kwa undani juu ya nambari hii ni nini na kwa nini inahitajika. Kumbuka tu kwamba e - msingi wa logarithm ya asili:
ln x = logi e x
Hivyo ln e = 1; ln e 2 = 2; ln 16 = 16 - nk. Kwa upande mwingine, ln 2 ni nambari isiyo na maana. Kwa ujumla, logarithm asili ya nambari yoyote ya busara haina mantiki. Isipokuwa, kwa kweli, kwa moja: ln 1 = 0.
Kwa logarithms asili, sheria zote ambazo ni kweli kwa logarithm za kawaida ni halali.
Mali ya msingi ya logarithms
Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio nambari za kawaida, zina sheria zao, ambazo huitwa mali ya msingi.
Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.
Kuongeza na kupunguza logariti
Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi a x na andika y . Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:
logi a x + logi a y =logi a ( x · y );
logi a x − logi a y =logi a ( x : y ).
Kwa hiyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logariti ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi sawa. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!
Njia hizi zitakusaidia kuhesabu usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake za kibinafsi hazizingatiwi (tazama somo " "). Angalia mifano na uone:
Pata thamani ya usemi: logi 6 4 + logi 6 9.
Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
gogo 6 4 + logi 6 9 = gogo 6 (4 9) = gogo 6 36 = 2.
Tafuta thamani ya usemi: logi 2 48 - logi 2 3.
Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
gogo 2 48 - gogo 2 3 = gogo 2 (48: 3) = logi 2 16 = 4.
Tafuta thamani ya usemi: logi 3 135 - logi 3 5.
Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
gogo 3 135 - gogo 3 5 = gogo 3 (135: 5) = logi 3 27 = 3.
Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.
Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti
Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha shahada hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:
Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.
Bila shaka Sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake, i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.
Pata thamani ya usemi: logi 7 49 6 .
Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
kumbukumbu 7 49 6 = 6 kumbukumbu 7 49 = 6 2 = 12
Tafuta maana ya usemi:
Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu halisi: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tuna:
Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama pale katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".
Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: logi 2 7. Tangu logi 2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.
Mpito kwa msingi mpya
Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?
Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:
Nadharia
Acha logi ya logarithm itolewe a x . Kisha kwa nambari yoyote c vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:
Hasa, ikiwa tunaweka c = x, tunapata:
Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.
Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.
Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:
Tafuta thamani ya usemi: logi 5 16 logi 2 25.
Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: logi 5 16 = logi 5 2 4 = 4log 5 2; logi 2 25 = logi 2 5 2 = 2logi 2 5;
Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:
Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.
Pata thamani ya usemi: logi 9 100 lg 3.
Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:
Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:
Utambulisho wa msingi wa logarithmic
Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:
Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kiashirio cha shahada inayosimama katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.
Njia ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hii ndio inaitwa:kitambulisho cha msingi cha logarithmic.
Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.
Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.
Kazi
Tafuta maana ya usemi:
Suluhisho
Kumbuka kuwa logi 25 64 = logi 5 8 - alichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:
200
Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)
Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri
Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".
logi a = 1 ni kitengo cha logarithmic. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote a kutoka kwa msingi huu ni sawa na moja.
logi a 1 = 0 ni logarithmic sifuri. Msingi a inaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logarithm ni sawa na sifuri! Kwa sababu a 0 = 1 ni matokeo ya moja kwa moja ya ufafanuzi.
Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo!
Mkazo wa umakini:
Ufafanuzi. Kazi aina inaitwa utendaji wa kielelezo .
Maoni. Kutengwa kutoka kwa maadili ya msingi a nambari 0; 1 na maadili hasi a inaelezewa na hali zifuatazo:
Usemi wa uchambuzi wenyewe a x katika hali hizi, huhifadhi maana yake na inaweza kutumika katika kutatua matatizo. Kwa mfano, kwa usemi x y nukta x = 1; y = 1 iko ndani ya anuwai ya maadili yanayokubalika.
Jenga grafu za kazi: na.
 |
 |
| Grafu ya Kazi ya Kipengele | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Sifa za Kazi ya Kielelezo
| Sifa za Kazi ya Kielelezo | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Upeo wa kazi | ||
| 3. Vipindi vya kulinganisha na kitengo | katika x> 0, a x > 1 | katika x > 0, 0< a x < 1 |
| katika x < 0, 0< a x < 1 | katika x < 0, a x > 1 | |
| 4. Hata, isiyo ya kawaida. | Chaguo la kukokotoa si hata wala lisilo la kawaida (kazi ya fomu ya jumla). | |
| 5.Monotony. | monotonically huongezeka kwa R | hupungua monotonically kwa R |
| 6. Uliokithiri. | Chaguo za kukokotoa za kipeo kikuu hazina ukomo. | |
| 7.Asymptote | O-mhimili x ni asymptote mlalo. | |
| 8. Kwa maadili yoyote halisi x Na y; |  |
|
Wakati meza imejazwa, kazi zinatatuliwa kwa sambamba na kujaza.
Kazi No. 1. (Ili kupata kikoa cha ufafanuzi wa kazi).
Ni maadili gani ya hoja ni halali kwa chaguo za kukokotoa:
Kazi Nambari 2. (Ili kupata anuwai ya maadili ya chaguo la kukokotoa).
Takwimu inaonyesha grafu ya chaguo la kukokotoa. Bainisha kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya maadili ya chaguo la kukokotoa:
 |
 |
 |
 |
Kazi Nambari 3. (Ili kuonyesha vipindi vya kulinganisha na moja).
Linganisha kila moja ya mamlaka zifuatazo na moja:
Kazi No. 4. (Ili kujifunza kazi kwa monotonicity).
Linganisha nambari halisi kwa saizi m Na n Kama:
Kazi No. 5. (Ili kujifunza kazi kwa monotonicity).
Chora hitimisho kuhusu msingi a, Kama:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
Je, grafu za vipengee vya kukokotoa zinahusiana vipi kwa x > 0, x = 0, x< 0?
Grafu zifuatazo za kazi zimepangwa katika ndege moja ya kuratibu:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .
Je, grafu za vipengee vya kukokotoa zinahusiana vipi kwa x > 0, x = 0, x< 0?
| Nambari
moja ya vipengele muhimu zaidi katika hisabati. Kwa ufafanuzi, ni sawa na kikomo cha mlolongo
na ukomo
kuongezeka n
. Uteuzi e aliingia Leonard Euler
mnamo 1736. Alihesabu tarakimu 23 za kwanza za nambari hii katika nukuu ya desimali, na nambari yenyewe iliitwa kwa heshima ya Napier "nambari isiyo ya Pierre."
Nambari e ina jukumu maalum katika uchambuzi wa hisabati. Utendakazi wa kielelezo yenye msingi e, inayoitwa kielelezo na imeteuliwa y = e x. Ishara za kwanza nambari e rahisi kukumbuka: mbili, comma, saba, mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Tolstoy - mara mbili, arobaini na tano, tisini, arobaini na tano. |
 |
Kazi ya nyumbani:
Kolmogorov aya ya 35; Nambari 445-447; 451; 453.
Rudia algorithm ya kuunda grafu za chaguo za kukokotoa zilizo na kigezo chini ya ishara ya moduli.
1. Kitendaji cha kielelezo ni kitendakazi cha umbo y(x) = a x, kutegemea kipeo x, chenye thamani ya mara kwa mara ya msingi wa shahada a, ambapo a > 0, a ≠ 0, xϵR (R ni seti ya nambari halisi).
Hebu tuzingatie grafu ya chaguo za kukokotoa ikiwa msingi hauridhishi hali: a>0
a) a< 0
Ikiwa a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ikiwa a = 0, chaguo la kukokotoa y = limefafanuliwa na lina thamani ya mara kwa mara ya 0
c) a =1
Ikiwa a = 1, chaguo la kukokotoa y = limefafanuliwa na lina thamani isiyobadilika ya 1
Kikoa cha Utendaji (DOF) Masafa ya thamani za utendakazi zinazoruhusiwa (APV) 3. Sufuri za chaguo za kukokotoa (y = 0) 4. Pointi za makutano na mhimili wa kuratibu oy (x = 0) 5. Kuongezeka, kupungua kwa kazi Ikiwa , basi kazi f(x) huongezeka 6. Hata, kazi isiyo ya kawaida Kazi y = haina ulinganifu kwa heshima na mhimili wa 0y na kwa heshima na asili ya viwianishi, kwa hivyo sio hata au isiyo ya kawaida. (Kazi ya jumla) 7. Kazi y = haina extrema 8. Sifa za digrii iliyo na kielelezo halisi: Acha > 0; a≠1 Kisha kwa xϵR; YϵR: Tabia za monotonicity ya digrii: kama, basi Ikiwa a> 0, basi . 9. Nafasi ya jamaa ya kazi Msingi mkubwa a, karibu na shoka x na oy a > 1, a = 20 Mfano 1. Hebu kwanza tujulishe ufafanuzi wa kazi ya kielelezo. Kitendaji kielelezo $f\left(x\right)=a^x$, ambapo $a >1$. Hebu tujulishe sifa za chaguo za kukokotoa za $a >1$. \ \[hakuna mizizi\] \ Makutano na shoka za kuratibu. Chaguo za kukokotoa haziingiliani na mhimili wa $Ox$, lakini hukatiza mhimili wa $Oy$ katika uhakika $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\kulia))"=a^x(ln)^2a$ \ \[hakuna mizizi\] \ Grafu (Mchoro 1). Mchoro 1. Grafu ya chaguo za kukokotoa $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$. Wacha tuanzishe sifa za kazi ya kielelezo, kwa $0 Kikoa cha ufafanuzi ni nambari zote halisi. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- chaguo la kukokotoa si hata wala la kawaida. $f(x)$ inaendelea kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi. Aina mbalimbali za thamani ni muda $(0+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\kulia)"=a^xlna$ \\[hakuna mizizi\] \[hakuna mizizi\] \ Chaguo za kukokotoa ni laini juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Tabia katika miisho ya kikoa: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Grafu (Mchoro 2). Chunguza na upange chaguo la kukokotoa $y=2^x+3$. Suluhisho. Wacha tufanye utafiti kwa kutumia mchoro wa mfano hapo juu: Kikoa cha ufafanuzi ni nambari zote halisi. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- chaguo la kukokotoa si la kawaida wala si la kawaida. $f(x)$ inaendelea kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi. Aina mbalimbali za thamani ni muda $(3+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Chaguo za kukokotoa huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. $f(x)\ge 0$ katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Makutano na shoka za kuratibu. Chaguo hili la kukokotoa haliingiliani na mhimili wa $Ox$, lakini linakatiza mhimili wa $Oy$ kwenye uhakika ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Chaguo za kukokotoa ni laini juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Tabia katika miisho ya kikoa: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Grafu (Mchoro 3). Mchoro 3. Grafu ya kazi $f\left(x\right)=2^x+3$
2. Hebu tuangalie kwa karibu utendaji wa kielelezo:
0
Ikiwa , basi kazi f(x) inapungua
Kazi y= , kwa 0
Hii inafuata kutoka kwa sifa za monotonicity ya nguvu iliyo na kielelezo halisi.
b> 0; b≠1
Kwa mfano:
Kitendaji cha kielelezo ni endelevu wakati wowote ϵ R.
Ikiwa a0, basi kitendakazi cha kielelezo huchukua fomu karibu na y = 0.
Ikiwa a1, basi zaidi kutoka kwa shoka za ng'ombe na oy na grafu inachukua fomu karibu na kazi y = 1.
Tengeneza grafu ya y =
Kitendaji kielelezo $f\left(x\right)=a^x$, ambapo $0
Mfano wa tatizo la kuunda utendaji wa kielelezo
