Mfano wa suluhisho na haijulikani kwa kiwango. Kutatua milinganyo ya kielelezo

Kutatua milinganyo ya kielelezo. Mifano.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Nini kilitokea mlingano wa kielelezo? Huu ni mlinganyo ambamo zile zisizojulikana (x's) na misemo nazo zimo viashiria digrii fulani. Na hapo tu! Ni muhimu.

Hapo ulipo mifano ya milinganyo ya kielelezo:

3 x 2 x = 8 x+3

Kumbuka! Katika misingi ya digrii (chini) - nambari pekee. KATIKA viashiria digrii (hapo juu) - anuwai ya misemo yenye X. Ikiwa, ghafla, X inaonekana kwenye equation mahali pengine isipokuwa kiashiria, kwa mfano:

hii tayari itakuwa equation ya aina mchanganyiko. Equations kama hizo hazina sheria wazi za kuzitatua. Hatutazizingatia kwa sasa. Hapa tutashughulika kutatua milinganyo ya kielelezo katika hali yake safi.

Kwa kweli, hata milinganyo safi ya kielelezo haisuluhishi waziwazi kila wakati. Lakini kuna aina fulani za milinganyo ya kielelezo ambayo inaweza na inapaswa kutatuliwa. Hizi ndizo aina ambazo tutazingatia.

Kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo.

Kwanza, hebu tutatue jambo la msingi sana. Kwa mfano:

Hata bila nadharia yoyote, kwa uteuzi rahisi ni wazi kuwa x = 2. Hakuna zaidi, sawa!? Hakuna thamani nyingine ya X inafanya kazi. Sasa hebu tuangalie suluhisho la equation hii gumu ya kielelezo:

Tumefanya nini? Sisi, kwa kweli, tulitupa tu besi sawa (mara tatu). Imetupwa nje kabisa. Na, habari njema ni, tunapiga msumari kwenye kichwa!

Hakika, ikiwa katika equation ya kielelezo kuna kushoto na kulia sawa nambari kwa mamlaka yoyote, nambari hizi zinaweza kuondolewa na vielelezo vinaweza kusawazishwa. Hisabati inaruhusu. Inabakia kutatua equation rahisi zaidi. Kubwa, sawa?)

Walakini, tukumbuke kwa dhati: Unaweza kuondoa besi tu wakati nambari za msingi upande wa kushoto na kulia ziko katika kutengwa kwa hali ya juu! Bila majirani yoyote na coefficients. Wacha tuseme katika equations:

2 x +2 x+1 = 2 3, au

mbili haziwezi kuondolewa!

Kweli, tumejua jambo muhimu zaidi. Jinsi ya kuhama kutoka kwa vielezi viovu hadi kwa milinganyo rahisi.

"Nyakati ndio hizo!" - unasema. "Nani angetoa somo la zamani kama hilo juu ya mitihani na mitihani!?"

Lazima nikubali. Hakuna atakaye. Lakini sasa unajua mahali pa kulenga wakati wa kutatua mifano ya hila. Lazima iletwe kwa fomu ambapo nambari ya msingi sawa iko upande wa kushoto na kulia. Kisha kila kitu kitakuwa rahisi. Kwa kweli, hii ni classic ya hisabati. Tunachukua mfano wa asili na kuibadilisha kuwa inayotaka sisi akili. Kulingana na sheria za hisabati, bila shaka.

Hebu tuangalie mifano ambayo inahitaji jitihada za ziada ili kuzipunguza kwa rahisi zaidi. Hebu tuwaite milinganyo rahisi ya kielelezo.

Kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo. Mifano.

Wakati wa kutatua equations za kielelezo, sheria kuu ni vitendo na digrii. Bila ujuzi wa vitendo hivi hakuna kitu kitakachofanya kazi.

Kwa vitendo na digrii, mtu lazima aongeze uchunguzi wa kibinafsi na ustadi. Je, tunahitaji nambari za msingi sawa? Kwa hivyo tunazitafuta katika mfano kwa njia ya wazi au iliyosimbwa.

Hebu tuone jinsi hii inafanywa katika mazoezi?

Hebu tupe mfano:

2 2x - 8 x+1 = 0

mtazamo wa kwanza ni katika misingi. Wao... Ni tofauti! Mbili na nane. Lakini ni mapema sana kukata tamaa. Ni wakati wa kukumbuka hilo

Wawili na wanane ni jamaa katika shahada.) Inawezekana kabisa kuandika:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ikiwa tunakumbuka formula kutoka kwa shughuli na digrii:

(a) m = nm ,

hii inafanya kazi nzuri:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Mfano wa asili ulianza kuonekana kama hii:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Tunahamisha 2 3 (x+1) kulia (hakuna mtu aliyeghairi shughuli za msingi za hisabati!), Tunapata:

2 2x = 2 3(x+1)

Hiyo ni kivitendo yote. Kuondoa misingi:

Sisi kutatua monster hii na kupata

Hili ndilo jibu sahihi.

Katika mfano huu, kujua nguvu za wawili kulitusaidia. Sisi kutambuliwa katika nane kuna mbili zilizosimbwa. Mbinu hii (usimbaji besi za kawaida chini ya nambari tofauti) ni mbinu maarufu sana katika milinganyo ya kielelezo! Ndio, na katika logarithms pia. Lazima uweze kutambua nguvu za nambari zingine kwa nambari. Hii ni muhimu sana kwa kutatua milinganyo ya kielelezo.

Ukweli ni kwamba kuinua nambari yoyote kwa nguvu yoyote sio shida. Zidisha, hata kwenye karatasi, na ndivyo hivyo. Kwa mfano, mtu yeyote anaweza kuongeza 3 hadi nguvu ya tano. 243 itafanya kazi ikiwa unajua jedwali la kuzidisha.) Lakini katika milinganyo ya kielelezo, mara nyingi zaidi sio lazima kuongeza nguvu, lakini kinyume chake... Jua. namba ngapi kwa kiwango gani imefichwa nyuma ya nambari 243, au, sema, 343 ... Hakuna calculator itakusaidia hapa.

Unahitaji kujua nguvu za nambari fulani kwa kuona, sawa ... Hebu tufanye mazoezi?

Amua ni nguvu gani na nambari ni nambari gani:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Majibu (katika fujo, bila shaka!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ukiangalia kwa makini, unaweza kuona ukweli wa ajabu. Kuna majibu mengi zaidi kuliko majukumu! Kweli, hufanyika ... Kwa mfano, 2 6, 4 3, 8 2 - hiyo ni 64 tu.

Hebu tuchukulie kuwa umezingatia taarifa kuhusu kufahamiana na nambari.) Acha nikukumbushe pia kwamba kutatua milinganyo ya kielelezo tunayotumia. zote hisa ya maarifa ya hisabati. Ikiwa ni pamoja na wale kutoka madarasa ya chini na kati. Hukuenda shule ya upili moja kwa moja, sivyo?)

Kwa mfano, wakati wa kusuluhisha milinganyo ya kielelezo, kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano mara nyingi husaidia (hujambo kwa daraja la 7!). Hebu tuangalie mfano:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Na tena, mtazamo wa kwanza uko kwenye misingi! Misingi ya digrii ni tofauti ... Tatu na tisa. Lakini tunataka wawe sawa. Kweli, katika kesi hii hamu inatimizwa kabisa!) Kwa sababu:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Kutumia sheria sawa za kushughulika na digrii:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Hiyo ni nzuri, unaweza kuiandika:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Tulitoa mfano kwa sababu hizo hizo. Kwa hivyo, ni nini kinachofuata!? Huwezi kutupa nje tatu... Dead end?

Hapana kabisa. Kumbuka sheria ya uamuzi ya ulimwengu wote na yenye nguvu kila mtu kazi za hisabati:

Ikiwa hujui unachohitaji, fanya unachoweza!

Angalia, kila kitu kitafanya kazi).

Ni nini katika mlingano huu wa kielelezo Je! kufanya? Ndiyo, upande wa kushoto inaomba tu kuondolewa kwenye mabano! Kizidishi cha jumla cha 3 2x kinadokeza hili kwa uwazi. Wacha tujaribu, halafu tutaona:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Mfano unaendelea kuwa bora na bora!

Tunakumbuka kuwa ili kuondoa misingi tunahitaji digrii safi, bila coefficients yoyote. Nambari 70 inatusumbua. Kwa hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation na 70, tunapata:

Lo! Kila kitu kilikuwa bora!

Hili ndilo jibu la mwisho.

Inatokea, hata hivyo, kwamba teksi kwa msingi huo huo hupatikana, lakini uondoaji wao hauwezekani. Hii hutokea katika aina nyingine za milinganyo ya kielelezo. Hebu bwana aina hii.

Kubadilisha kigezo katika kutatua milinganyo ya kielelezo. Mifano.

Wacha tusuluhishe equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Kwanza - kama kawaida. Wacha tuendelee kwenye msingi mmoja. Kwa deu.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Tunapata equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Na hapa ndipo tunapokaa. Mbinu za awali hazitafanya kazi, bila kujali jinsi unavyoiangalia. Itabidi tutoe njia nyingine yenye nguvu na ya ulimwengu wote kutoka kwa safu yetu ya ushambuliaji. Inaitwa uingizwaji wa kutofautiana.

Kiini cha njia ni ya kushangaza rahisi. Badala ya icon moja ngumu (kwa upande wetu - 2 x) tunaandika nyingine, rahisi zaidi (kwa mfano - t). Uingizwaji huo unaoonekana usio na maana husababisha matokeo ya kushangaza!) Kila kitu kinakuwa wazi na kinaeleweka!

Basi basi

Kisha 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Katika equation yetu tunabadilisha nguvu zote na x kwa t:

Je, kumekucha?) Je, umesahau milinganyo ya quadratic bado? Kutatua kupitia ubaguzi, tunapata:

Jambo kuu hapa sio kuacha, kama inavyotokea ... Hili sio jibu bado, tunahitaji x, sio t. Hebu turudi kwa X, i.e. tunafanya uingizwaji wa nyuma. Kwanza kwa t 1:

Hiyo ni,

Mzizi mmoja ulipatikana. Tunatafuta ya pili kutoka t 2:

Hm... 2 x upande wa kushoto, 1 kulia... Tatizo? Hapana kabisa! Inatosha kukumbuka (kutoka kwa shughuli zilizo na nguvu, ndio ...) kwamba kitengo ni yoyote nambari hadi nguvu sifuri. Yoyote. Chochote kinachohitajika, tutaiweka. Tunahitaji mbili. Maana:

Hiyo ndiyo sasa. Tuna mizizi 2:

Hili ndilo jibu.

Katika kutatua milinganyo ya kielelezo mwisho wakati mwingine unaishia na aina fulani ya usemi mbaya. Aina:

Saba haiwezi kubadilishwa kuwa mbili kupitia nguvu rahisi. Sio jamaa... Tunawezaje kuwa? Mtu anaweza kuchanganyikiwa ... Lakini mtu ambaye alisoma kwenye tovuti hii mada "Logarithm ni nini?" , hutabasamu tu na kuandika kwa mkono thabiti jibu sahihi kabisa:

Hakuwezi kuwa na jibu kama hilo katika kazi "B" kwenye Mtihani wa Jimbo Umoja. Kuna nambari maalum inahitajika. Lakini katika kazi "C" ni rahisi.

Somo hili linatoa mifano ya kusuluhisha milinganyo ya kawaida ya kielelezo. Hebu tuangazie mambo makuu.

Vidokezo vya vitendo:

1. Kwanza kabisa, tunaangalia misingi digrii. Tunashangaa ikiwa inawezekana kuwafanya kufanana. Hebu jaribu kufanya hivyo kwa kutumia kikamilifu vitendo na digrii. Usisahau kwamba nambari zisizo na x pia zinaweza kubadilishwa kuwa nguvu!

2. Tunajaribu kuleta equation ya kielelezo kwa fomu wakati upande wa kushoto na wa kulia kuna sawa idadi katika mamlaka yoyote. Tunatumia vitendo na digrii Na factorization. Ni nini kinachoweza kuhesabiwa kwa nambari, tunahesabu.

3. Ikiwa ncha ya pili haifanyi kazi, jaribu kutumia uingizwaji wa kutofautiana. Matokeo yake inaweza kuwa equation ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Mara nyingi - mraba. Au sehemu, ambayo pia inapunguza mraba.

4. Ili kutatua equations za kielelezo kwa mafanikio, unahitaji kujua nguvu za nambari fulani kwa kuona.

Kama kawaida, mwishoni mwa somo unaalikwa kuamua kidogo.) Wewe mwenyewe. Kutoka rahisi hadi ngumu.

Tatua milinganyo ya kielelezo:

Ngumu zaidi:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Pata bidhaa ya mizizi:

2 3 + 2 x = 9

Imetokea?

Kweli, basi mfano mgumu sana (ingawa unaweza kutatuliwa akilini ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ni nini kinachovutia zaidi? Kisha hapa kuna mfano mbaya kwako. Inajaribu sana kwa ugumu ulioongezeka. Acha nidokeze kuwa katika mfano huu, kinachokuokoa ni werevu na sheria ya ulimwengu wote ya kutatua shida zote za hesabu.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Mfano rahisi, kwa kupumzika):

9 2 x - 4 3 x = 0

Na kwa dessert. Pata jumla ya mizizi ya equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ndiyo ndiyo! Huu ni mlinganyo wa aina mchanganyiko! Ambayo hatukuzingatia katika somo hili. Kwa nini uzizingatie, zinahitaji kutatuliwa!) Somo hili linatosha kabisa kutatua mlingano. Naam, unahitaji werevu... Na huenda darasa la saba likusaidie (hili ni dokezo!).

Majibu (katika mpangilio tofauti, yakitenganishwa na nusukoloni):

1; 2; 3; 4; hakuna suluhisho; 2; -2; -5; 4; 0.

Je, kila kitu kinafanikiwa? Kubwa.

Kuna tatizo? Hakuna shida! Sehemu Maalum ya 555 hutatua milinganyo hii yote ya kielelezo kwa maelezo ya kina. Nini, kwa nini, na kwa nini. Na, bila shaka, kuna maelezo ya ziada ya thamani juu ya kufanya kazi na kila aina ya equations ya kielelezo. Sio hizi tu.)

Swali moja la mwisho la kufurahisha kuzingatia. Katika somo hili tulifanya kazi na milinganyo ya kielelezo. Kwa nini sikusema neno kuhusu ODZ hapa? Katika equations, hii ni jambo muhimu sana, kwa njia ...

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Nenda kwenye chaneli ya youtube ya tovuti yetu ili usasishwe na masomo yote mapya ya video.

Kwanza, hebu tukumbuke kanuni za msingi za nguvu na mali zao.

Bidhaa ya nambari a hutokea yenyewe mara n, tunaweza kuandika usemi huu kama … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Nguvu au milinganyo ya kielelezo- hizi ni milinganyo ambayo vigezo viko katika mamlaka (au vielelezo), na msingi ni nambari.

Mifano ya milinganyo ya kielelezo:

Katika mfano huu, nambari ya 6 ni msingi; x shahada au kiashirio.

Wacha tutoe mifano zaidi ya milinganyo ya kielelezo.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya kielelezo hutatuliwa?

Wacha tuchukue equation rahisi:

2 x = 2 3

Mfano huu unaweza kutatuliwa hata katika kichwa chako. Inaweza kuonekana kuwa x=3. Baada ya yote, ili pande za kushoto na za kulia ziwe sawa, unahitaji kuweka nambari 3 badala ya x.
Sasa hebu tuone jinsi ya kurasimisha uamuzi huu:

2 x = 2 3
x = 3

Ili kutatua equation kama hiyo, tuliondoa misingi inayofanana(yaani wawili wawili) na kuandika yale yaliyobakia, hizi ni digrii. Tulipata jibu tulilokuwa tunatafuta.

Sasa hebu tufanye muhtasari wa uamuzi wetu.

Algorithm ya kutatua equation ya kielelezo:
1. Haja ya kuangalia sawa ikiwa equation ina misingi upande wa kulia na kushoto. Ikiwa sababu hazifanani, tunatafuta chaguzi za kutatua mfano huu.
2. Baada ya besi kuwa sawa, linganisha digrii na kutatua equation mpya inayosababisha.

Sasa hebu tuangalie mifano michache:

Wacha tuanze na kitu rahisi.

Misingi ya pande za kushoto na kulia ni sawa na nambari 2, ambayo inamaanisha tunaweza kutupa msingi na kusawazisha nguvu zao.

x+2=4 Mlinganyo rahisi zaidi unapatikana.
x=4 - 2
x=2
Jibu: x=2

Katika mfano ufuatao unaweza kuona kwamba besi ni tofauti: 3 na 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Kwanza, songa tisa upande wa kulia, tunapata:

Sasa unahitaji kufanya misingi sawa. Tunajua kuwa 9=3 2. Wacha tutumie fomula ya nguvu (n) m = nm.

3 3x = (3 2) x+8

Tunapata 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sasa ni wazi kwamba kwa upande wa kushoto na kulia besi ni sawa na sawa na tatu, ambayo ina maana tunaweza kuwatupa na kulinganisha digrii.

3x=2x+16 tunapata mlinganyo rahisi zaidi
3x - 2x=16
x=16
Jibu: x=16.

Hebu tuangalie mfano ufuatao:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Kwanza kabisa, tunaangalia besi, besi mbili na nne. Na tunahitaji wawe sawa. Tunabadilisha nne kwa kutumia formula (n) m = nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Na pia tunatumia fomula moja n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ongeza kwa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Tulitoa mfano kwa sababu hizo hizo. Lakini nambari zingine 10 na 24 zinatusumbua Nini cha kufanya nao? Ukiangalia kwa karibu unaweza kuona kuwa upande wa kushoto tuna 2 2x iliyorudiwa, hapa kuna jibu - tunaweza kuweka 2 2x nje ya mabano:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Wacha tuhesabu usemi kwenye mabano:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Tunagawanya equation nzima na 6:

Hebu fikiria 4=2 2:

2 2x = 2 2 besi ni sawa, tunatupa na kulinganisha digrii.
2x = 2 ndio mlinganyo rahisi zaidi. Gawanya kwa 2 na tunapata
x = 1
Jibu: x = 1.

Wacha tusuluhishe equation:

9 x – 12*3 x +27= 0

Wacha tubadilishe:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tunapata equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Misingi yetu ni sawa, sawa na tatu Katika mfano huu, unaweza kuona kwamba tatu za kwanza zina shahada mara mbili (2x) kuliko ya pili (x tu). Katika kesi hii, unaweza kutatua njia ya uingizwaji. Tunabadilisha nambari na digrii ndogo zaidi:

Kisha 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tunabadilisha nguvu zote za x kwenye equation na t:

t 2 - 12t+27 = 0
Tunapata equation ya quadratic. Kutatua kupitia ubaguzi, tunapata:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kurudi kwa kutofautiana x.

Chukua t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Hiyo ni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Mzizi mmoja ulipatikana. Tunatafuta ya pili kutoka t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jibu: x 1 = 2; x 2 = 1.

Kwenye wavuti unaweza kuuliza maswali yoyote ambayo unaweza kuwa nayo katika sehemu ya KUSAIDIA KUAMUA, bila shaka tutakujibu.

Jiunge na kikundi

Vifaa:

kompyuta,
projekta ya media titika,
skrini,
Kiambatisho cha 1(Onyesho la slaidi la PowerPoint) "Njia za kutatua milinganyo ya kielelezo"
Kiambatisho 2(Kutatua mlinganyo kama vile "Misingi Mitatu tofauti ya nguvu" katika Neno)
Kiambatisho cha 3(vijitabu katika Neno kwa kazi ya vitendo).
Kiambatisho cha 4(kitini katika Neno kwa kazi ya nyumbani).

Wakati wa madarasa

1. Hatua ya shirika

ujumbe wa mada ya somo (iliyoandikwa ubaoni),
hitaji la somo la jumla katika darasa la 10-11:

Hatua ya kuandaa wanafunzi kwa ajili ya kujifunza kwa vitendo

Kurudia

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa kielelezo ni mlinganyo ulio na kigezo chenye kipeo (majibu ya mwanafunzi).

Ujumbe wa mwalimu. Milinganyo ya kielelezo ni ya darasa la milinganyo inayovuka maumbile. Jina hili lisiloweza kutamkwa linapendekeza kwamba milinganyo kama hii, kwa ujumla, haiwezi kutatuliwa kwa njia ya fomula.

Wanaweza tu kutatuliwa takriban kwa njia za nambari kwenye kompyuta. Lakini vipi kuhusu kazi za mitihani? Ujanja ni kwamba mtahini hutengeneza shida kwa njia ambayo inaruhusu suluhisho la uchambuzi. Kwa maneno mengine, unaweza (na unapaswa!) kufanya mabadiliko yanayofanana ambayo hupunguza mlingano huu wa kielelezo hadi mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo. Equation hii rahisi zaidi inaitwa: mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo. Inatatuliwa kwa logarithm.

Hali ya kutatua equation ya kielelezo ni kukumbusha kusafiri kupitia labyrinth, ambayo ilibuniwa haswa na mwandishi wa shida. Kutoka kwa hoja hizi za jumla hufuata mapendekezo maalum sana.

Ili kusuluhisha milinganyo ya kielelezo kwa mafanikio lazima:

1. Sio tu kujua kikamilifu vitambulisho vyote vya kielelezo, lakini pia pata seti za maadili tofauti ambayo vitambulisho hivi vinafafanuliwa, ili wakati wa kutumia vitambulisho hivi usipate mizizi isiyo ya lazima, na hata zaidi, usipoteze ufumbuzi. kwa equation.

2. Jua kikamilifu vitambulisho vyote vya kielelezo.

3. Kwa wazi, kwa undani na bila makosa, fanya mabadiliko ya hisabati ya equations (kuhamisha maneno kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, bila kusahau kubadilisha ishara, kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida, nk). Hii inaitwa utamaduni wa hisabati. Wakati huo huo, mahesabu yenyewe yanapaswa kufanyika moja kwa moja kwa mkono, na kichwa kinapaswa kufikiri juu ya thread ya jumla ya mwongozo wa suluhisho. Mabadiliko lazima yafanywe kwa uangalifu na kwa undani iwezekanavyo. Hii tu itahakikisha uamuzi sahihi, usio na makosa. Na kumbuka: hitilafu ndogo ya hesabu inaweza tu kuunda equation ya transcendental ambayo, kimsingi, haiwezi kutatuliwa kwa uchambuzi. Inatokea kwamba umepoteza njia yako na umepiga ukuta wa labyrinth.

4. Jua mbinu za kutatua matatizo (yaani, kujua njia zote kupitia maze ya suluhisho). Ili kuzunguka kwa usahihi katika kila hatua, itabidi (kwa uangalifu au angavu!):

fafanua aina ya equation;
kumbuka aina inayolingana njia ya suluhisho kazi.

Hatua ya jumla na utaratibu wa nyenzo zilizosomwa.

Mwalimu, pamoja na wanafunzi wanaotumia kompyuta, hufanya hakiki ya aina zote za hesabu za kielelezo na njia za kuzitatua, na kuchora mchoro wa jumla. (Programu ya kompyuta ya elimu ya L.Ya. Borevsky "Kozi ya Hisabati - 2000" inatumiwa, mwandishi wa uwasilishaji wa PowerPoint ni T.N. Kuptsova.)

Mchele. 1. Kielelezo kinaonyesha mchoro wa jumla wa aina zote za milinganyo ya kielelezo.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mchoro huu, mkakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo ni kupunguza mlinganyo wa kielelezo uliotolewa kwa mlinganyo, kwanza kabisa, na misingi sawa ya digrii , na kisha - na na viashiria vya shahada sawa.

Baada ya kupokea mlinganyo wenye misingi sawa na viambajengo, unabadilisha kipeo hiki na kigezo kipya na kupata mlinganyo rahisi wa aljebra (kawaida ni wa kimantiki au wa quadratic) kuhusiana na kigezo hiki kipya.

Baada ya kusuluhisha mlingano huu na kufanya ubadilishaji wa kinyume, unaishia na seti ya milinganyo rahisi ya kielelezo ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia ya jumla kwa kutumia logariti.

Milinganyo ambayo bidhaa za nguvu (sehemu) pekee ndizo zinazopatikana zinajitokeza. Kwa kutumia vitambulisho vya kielelezo, inawezekana kupunguza milinganyo hii mara moja hadi msingi mmoja, hasa, hadi mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo.

Wacha tuangalie jinsi ya kutatua equation ya kielelezo na besi tatu tofauti.

(Ikiwa mwalimu ana programu ya kompyuta ya kielimu na L. Ya. Borevsky "Kozi ya Hisabati - 2000", basi kwa asili tunafanya kazi na diski, ikiwa sivyo, unaweza kufanya uchapishaji wa aina hii ya equation kutoka kwake kwa kila dawati, iliyotolewa hapa chini.)

Mchele. 2. Mpango wa kutatua equation.

Mchele. 3. Anza kutatua equation

Mchele. 4. Maliza kutatua equation.

Kufanya kazi kwa vitendo

Amua aina ya equation na usuluhishe.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Kwa muhtasari wa somo

Kuweka alama kwa somo.

Mwisho wa somo

Kwa mwalimu

Fanya mpango wa kujibu.

Zoezi: kutoka kwa orodha ya hesabu, chagua hesabu za aina maalum (ingiza nambari ya jibu kwenye jedwali):

Misingi mitatu ya digrii tofauti
Misingi miwili tofauti - vielelezo tofauti
Misingi ya nguvu - nguvu za nambari moja
Misingi sawa - vielelezo tofauti
Misingi sawa ya digrii - viashiria sawa vya digrii
Bidhaa ya mamlaka
Misingi miwili tofauti ya digrii - viashiria sawa
Milinganyo rahisi zaidi ya kielelezo

1. (bidhaa ya mamlaka)

2. (misingi sawa - vielezi tofauti)

Somo hili limekusudiwa wale ambao ndio wanaanza kujifunza milinganyo ya kielelezo. Kama kawaida, wacha tuanze na ufafanuzi na mifano rahisi.

Ikiwa unasoma somo hili, basi ninashuku kwamba tayari una uelewa mdogo wa milinganyo rahisi zaidi - ya mstari na ya quadratic: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, n.k. Kuwa na uwezo wa kutatua ujenzi kama huo ni muhimu kabisa ili "usishike" katika mada ambayo sasa itajadiliwa.

Kwa hivyo, milinganyo ya kielelezo. Ngoja nikupe mifano michache:

\[(2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x)))=- 3\]

Baadhi yao wanaweza kuonekana kuwa ngumu zaidi kwako, wakati wengine, kinyume chake, ni rahisi sana. Lakini zote zina kipengele kimoja muhimu kwa pamoja: nukuu yao ina kazi ya kielelezo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Kwa hivyo, wacha tuanzishe ufafanuzi:

Mlinganyo wa kielelezo ni mlinganyo wowote ulio na utendaji wa kielelezo, i.e. usemi wa fomu $((a)^(x))$. Mbali na kazi iliyoonyeshwa, hesabu kama hizo zinaweza kuwa na muundo mwingine wowote wa algebra - polynomials, mizizi, trigonometry, logarithms, nk.

Sawa basi. Tumepanga ufafanuzi. Sasa swali ni: jinsi ya kutatua ujinga huu wote? Jibu ni rahisi na ngumu.

Wacha tuanze na habari njema: kutokana na uzoefu wangu wa kufundisha wanafunzi wengi, naweza kusema kwamba wengi wao huona milinganyo ya kielelezo rahisi zaidi kuliko logarithms sawa, na hata zaidi trigonometry.

Lakini kuna habari mbaya: wakati mwingine waandishi wa shida za kila aina ya vitabu vya kiada na mitihani hupigwa na "msukumo", na ubongo wao uliojaa dawa huanza kutoa hesabu za kikatili ambazo kuzitatua huwa shida sio kwa wanafunzi tu - hata waalimu wengi. kukwama kwenye matatizo kama haya.

Hata hivyo, tusizungumze kuhusu mambo ya kusikitisha. Na turudi kwenye milinganyo hiyo mitatu iliyotolewa mwanzoni kabisa mwa hadithi. Hebu jaribu kutatua kila mmoja wao.

Mlinganyo wa kwanza: $((2)^(x))=4$. Kweli, ni kwa nguvu gani unapaswa kuinua nambari 2 ili kupata nambari 4? Labda ya pili? Baada ya yote, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - na tulipata usawa sahihi wa nambari, i.e. kweli $x=2$. Kweli, asante, Cap, lakini equation hii ilikuwa rahisi sana hata paka yangu inaweza kuitatua :)

Wacha tuangalie equation ifuatayo:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Lakini hapa ni ngumu zaidi. Wanafunzi wengi wanajua kuwa $((5)^(2))=25$ ndio jedwali la kuzidisha. Wengine pia wanashuku kuwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ kimsingi ni ufafanuzi wa nguvu hasi (sawa na fomula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Hatimaye, ni wateule wachache tu wanaotambua kwamba ukweli huu unaweza kuunganishwa na kutoa matokeo yafuatayo:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2))))=((5)^(-2))\]

Kwa hivyo, equation yetu ya asili itaandikwa upya kama ifuatavyo:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Mshale wa Kulia ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Lakini hii tayari inaweza kutatuliwa kabisa! Kwa upande wa kushoto katika equation kuna kazi ya kielelezo, upande wa kulia katika equation kuna kazi ya kielelezo, hakuna kitu kingine popote isipokuwa wao. Kwa hivyo, tunaweza "kutupa" besi na kwa ujinga kusawazisha viashiria:

Tumepata mlinganyo rahisi zaidi wa mstari ambao mwanafunzi yeyote anaweza kutatua katika mistari michache tu. Sawa, katika mistari minne:

\[\anza(panga)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\malizia(panga)\]

Ikiwa huelewi kilichotokea katika mistari minne iliyopita, hakikisha kurudi kwenye mada "equations linear" na uirudie. Kwa sababu bila ufahamu wazi wa mada hii, ni mapema sana kwako kuchukua milinganyo ya kielelezo.

\[(9)^(x))=-3\]

Kwa hiyo tunawezaje kutatua hili? Wazo la kwanza: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kwa hivyo mlingano wa asili unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

\[((\ kushoto((3)^(2)) \kulia))^(x))=-3\]

Kisha tunakumbuka kwamba wakati wa kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:

\[((\kushoto((3)^(2)) \kulia))^(x))=((3)^(2x))\Mshale wa Kulia ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\anza(linganisha)&2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\malizia(panga)\]

Na kwa uamuzi kama huo tutapokea mbili zinazostahili kwa uaminifu. Kwa maana, kwa usawa wa Pokemon, tulituma ishara ya minus mbele ya watatu kwa uwezo wa watatu hawa. Lakini huwezi kufanya hivyo. Na ndiyo maana. Angalia nguvu tofauti za tatu:

\[\anza(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& (3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\mwisho(matrix)\]

Wakati wa kuandaa kibao hiki, sikupotosha chochote: niliangalia nguvu chanya, na hasi, na hata zile za sehemu ... vizuri, iko wapi angalau nambari moja hasi hapa? Ameondoka! Na haiwezi kuwa, kwa sababu kazi ya kielelezo $y=((a)^(x))$, kwanza, daima inachukua tu maadili chanya (haijalishi ni kiasi gani cha kuzidisha au kugawanywa na mbili, bado itakuwa a nambari chanya), na pili, msingi wa kazi kama hiyo - nambari $a$ - ni kwa ufafanuzi nambari chanya!

Kweli, jinsi ya kutatua equation $((9)^(x))=-3$? Lakini hakuna njia: hakuna mizizi. Na kwa maana hii, equations kielelezo ni sawa na equations quadratic - kunaweza pia kuwa hakuna mizizi. Lakini ikiwa katika hesabu za quadratic idadi ya mizizi imedhamiriwa na kibaguzi (kibaguzi chanya - mizizi 2, hasi - hakuna mizizi), basi katika hesabu za kielelezo kila kitu kinategemea kile kilicho kwa haki ya ishara sawa.

Kwa hivyo, hebu tutengeneze hitimisho muhimu: mlingano rahisi zaidi wa kielelezo wa fomu $((a)^(x))=b$ ina mzizi ikiwa na ikiwa tu $b>0$. Kujua ukweli huu rahisi, unaweza kuamua kwa urahisi ikiwa equation iliyopendekezwa kwako ina mizizi au la. Wale. Je, ni thamani ya kutatua kabisa au mara moja kuandika kwamba hakuna mizizi.

Ujuzi huu utatusaidia mara nyingi wakati tunapaswa kutatua matatizo magumu zaidi. Kwa sasa, maneno ya kutosha - ni wakati wa kusoma algoriti ya msingi ya kutatua milinganyo ya kielelezo.

Jinsi ya Kutatua Milinganyo ya Kielelezo

Kwa hivyo, wacha tutengeneze shida. Inahitajika kutatua equation ya kielelezo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Kulingana na kanuni ya "kutojua" ambayo tulitumia hapo awali, ni muhimu kuwakilisha nambari $b$ kama nguvu ya nambari $a$:

Kwa kuongeza, ikiwa badala ya kutofautiana $x$ kuna usemi wowote, tutapata equation mpya ambayo inaweza tayari kutatuliwa. Kwa mfano:

\[\anza(linganisha)& ((2)^(x))=8\Mshale wa Kulia ((2)^(x))=((2)^(3))\Mshale wa Kulia x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Mshale wa Kulia ((3)^(-x))=((3)^(4))\Mshale wa Kulia -x=4\Mshale x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Mshale wa Kulia ((5)^(2x))=((5)^(3))\Mshale wa Kulia 2x=3\Mshale wa Kulia x=\frac(3)( 2). \\\mwisho(linganisha)\]

Na cha kushangaza, mpango huu unafanya kazi katika takriban 90% ya kesi. Vipi basi 10% iliyobaki? 10% iliyobaki ni milinganyo ya kielelezo cha "schizophrenic" kidogo ya fomu:

\[(2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Kweli, unahitaji kuinua 2 kwa nguvu gani ili kupata 3? Kwanza? Lakini hapana: $((2)^(1))=2$ haitoshi. Pili? Hapana: $((2)^(2))=4$ ni nyingi mno. Ipi basi?

Wanafunzi wenye ujuzi labda tayari wamekisia: katika hali kama hizi, wakati haiwezekani kuitatua "kwa uzuri", "sanaa nzito" - logarithms - inakuja. Acha nikukumbushe kwamba kwa kutumia logariti, nambari yoyote chanya inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya nambari nyingine yoyote chanya (isipokuwa moja):

Je, unakumbuka fomula hii? Ninapowaambia wanafunzi wangu kuhusu logariti, mimi huonya kila wakati: fomula hii (ambayo pia ni kitambulisho cha msingi cha logarithmic au, ukipenda, ufafanuzi wa logariti) itakutesa kwa muda mrefu sana na "kujitokeza" zaidi. maeneo yasiyotarajiwa. Naam, alijitokeza. Wacha tuangalie equation yetu na formula hii:

\[\anza(align)&(2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\logi )_(b))a)) \\\malizia(panga) \]

Ikiwa tutachukua $a=3$ ndio nambari yetu asili iliyo upande wa kulia, na $b=2$ ndio msingi kabisa wa utendaji wa kielelezo ambao tunataka kupunguza upande wa kulia, tunapata yafuatayo:

\[\anza(linganisha)& a=((b)^(((\logi )_(b))a))\Mshale wa kulia 3=((2)^(((\logi )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Mshale wa Kulia ((2)^(x))=((2)^(((\logi )_(2))3))\Mshale wa Kulia x=( (\logi )_(2))3. \\\mwisho(patanisha)\]

Tulipokea jibu geni kidogo: $x=((\logi )_(2))3$. Katika kazi nyingine, wengi wangekuwa na mashaka na jibu kama hilo na wangeanza kuangalia mara mbili suluhisho lao: vipi ikiwa kosa limeingia mahali fulani? Ninaharakisha kukupendeza: hakuna hitilafu hapa, na logarithms katika mizizi ya equations kielelezo ni hali ya kawaida kabisa. Kwa hivyo zoea :)

Sasa hebu tusuluhishe milinganyo miwili iliyobaki kwa mlinganisho:

\[\anza(linganisha)& ((5)^(x))=15\Mshale wa Kulia ((5)^(x))=((5)^(((\logi )_(5))15)) \Mshale wa kulia x=((\logi )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Mshale wa Kulia ((4)^(2x))=((4)^(((\logi )_(4))11))\Kulia 2x=( (\logi )_(4))11\Mshale wa kulia x=\frac(1)(2)((\logi )_(4))11. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Kwa njia, jibu la mwisho linaweza kuandikwa tofauti:

Tulianzisha kizidishi kwa hoja ya logariti. Lakini hakuna mtu anayetuzuia kuongeza sababu hii kwa msingi:

Kwa kuongezea, chaguzi zote tatu ni sahihi - ni aina tofauti za kuandika nambari sawa. Ni ipi ya kuchagua na kuandika katika suluhisho hili ni juu yako kuamua.

Kwa hivyo, tumejifunza kutatua milinganyo yoyote ya kielelezo cha fomu $((a)^(x))=b$, ambapo nambari $a$ na $b$ ni chanya kabisa. Walakini, ukweli mkali wa ulimwengu wetu ni kwamba kazi rahisi kama hizo zitakutana mara chache sana. Mara nyingi zaidi utakutana na kitu kama hiki:

\[\anza(linganisha)& ((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\mwisho(linganisha)\]

Kwa hiyo tunawezaje kutatua hili? Je, hili linaweza kutatuliwa kabisa? Na ikiwa ndivyo, jinsi gani?

Usiwe na wasiwasi. Milinganyo hii yote hupunguzwa haraka na kwa urahisi hadi fomula rahisi ambazo tumezingatia tayari. Unahitaji tu kukumbuka hila kadhaa kutoka kwa kozi ya algebra. Na kwa kweli, hakuna sheria za kufanya kazi na digrii. Nitakuambia juu ya haya yote sasa :)

Kubadilisha Milinganyo ya Kielelezo

Jambo la kwanza kukumbuka: equation yoyote ya kielelezo, haijalishi ni ngumu kiasi gani, njia moja au nyingine lazima ipunguzwe kwa milinganyo rahisi - ambayo tumezingatia tayari na ambayo tunajua jinsi ya kutatua. Kwa maneno mengine, mpango wa kutatua equation yoyote ya kielelezo inaonekana kama hii:

Andika mlinganyo wa asili. Kwa mfano: $((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fanya mambo ya ajabu. Au hata ujinga fulani unaoitwa "badilisha equation";
Kwenye pato, pata misemo rahisi zaidi ya fomu $((4)^(x))=4$ au kitu kingine kama hicho. Kwa kuongezea, equation moja ya awali inaweza kutoa misemo kadhaa kama hiyo mara moja.

Kila kitu ni wazi na hatua ya kwanza - hata paka yangu inaweza kuandika equation kwenye kipande cha karatasi. Hoja ya tatu pia inaonekana kuwa wazi zaidi au chini - tayari tumetatua rundo zima la milinganyo kama hii hapo juu.

Lakini vipi kuhusu jambo la pili? Ni aina gani ya mabadiliko? Badilisha nini kuwa nini? Na Jinsi gani?

Naam, hebu tujue. Kwanza kabisa, ningependa kutambua yafuatayo. Equations zote za kielelezo zimegawanywa katika aina mbili:

Mlinganyo huu unajumuisha chaguo za kukokotoa za kielelezo na msingi sawa. Mfano: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fomula ina vipengele vya kukokotoa vilivyo na misingi tofauti. Mifano: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ na $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

Wacha tuanze na hesabu za aina ya kwanza - ndio rahisi kutatua. Na katika kuyatatua, tutasaidiwa na mbinu kama vile kuangazia misemo thabiti.

Kutenga usemi thabiti

Wacha tuangalie equation hii tena:

\[((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Tunaona nini? Wanne wameinuliwa kwa viwango tofauti. Lakini nguvu hizi zote ni hesabu rahisi za kutofautisha $x$ na nambari zingine. Kwa hivyo, ni muhimu kukumbuka sheria za kufanya kazi na digrii:

\[\anza(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a) )^(y))). \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa ufupi, nyongeza inaweza kubadilishwa kuwa bidhaa ya mamlaka, na kutoa kunaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa mgawanyiko. Wacha tujaribu kutumia fomula hizi kwa digrii kutoka kwa equation yetu:

\[\anza(linganisha)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\mwisho(patanisha)\]

Wacha tuandike upya mlinganyo wa asili kwa kuzingatia ukweli huu, na kisha tukusanye masharti yote upande wa kushoto:

\[\anza(align)&(4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -kumi na moja; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\mwisho(patanisha)\]

Maneno manne ya kwanza yana kipengele $((4)^(x))$ - tuyatoe kwenye mabano:

\[\anza(align)& ((4)^(x))\cdot \kushoto(1+\frac(1)(4)-4 \kulia)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \kushoto(-\frac(11)(4) \kulia)=-11. \\\mwisho(patanisha)\]

Inabakia kugawanya pande zote mbili za equation kwa sehemu $-\frac(11)(4)$, i.e. kimsingi zidisha kwa sehemu iliyogeuzwa - $-\frac(4)(11)$. Tunapata:

\[\anza(align)& ((4)^(x))\cdot \kushoto(-\frac(11)(4) \kulia)\cdot \kushoto(-\frac(4)(11) \kulia )=-11\cdot \kushoto(-\frac(4)(11) \kulia); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Tumepunguza mlinganyo wa asili kwa umbo lake rahisi na kupata jibu la mwisho.

Wakati huo huo, katika mchakato wa kutatua tuligundua (na hata tukaiondoa kwenye mabano) jambo la kawaida $((4)^(x))$ - hii ni usemi thabiti. Inaweza kuteuliwa kama kigezo kipya, au unaweza kuieleza kwa makini na kupata jibu. Kwa hali yoyote, kanuni kuu ya suluhisho ni kama ifuatavyo.

Tafuta katika mlinganyo wa asili usemi thabiti ulio na kigezo ambacho kinaweza kutofautishwa kwa urahisi na vitendaji vyote vya kielelezo.

Habari njema ni kwamba karibu kila mlinganyo wa kielelezo hukuruhusu kutenga usemi thabiti kama huu.

Lakini habari mbaya ni kwamba misemo hii inaweza kuwa gumu sana na inaweza kuwa vigumu kutambua. Kwa hivyo, wacha tuangalie shida moja zaidi:

\[(5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdoti ((5)^(x+1))=2\]

Labda mtu sasa atakuwa na swali: "Pasha, umepigwa mawe? Kuna misingi tofauti hapa - 5 na 0.2." Lakini wacha tujaribu kubadilisha nguvu kuwa msingi 0.2. Kwa mfano, hebu tuondoe sehemu ya decimal kwa kuipunguza hadi ya kawaida:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(2)(10) ) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)) )\]

Kama unaweza kuona, nambari ya 5 bado ilionekana, ingawa iko kwenye dhehebu. Wakati huo huo, kiashiria kiliandikwa tena kuwa hasi. Sasa hebu tukumbuke moja ya sheria muhimu zaidi za kufanya kazi na digrii:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Mshale wa Kulia ((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^( -\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(5)(1) \kulia))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hapa, bila shaka, nilikuwa nikilala kidogo. Kwa sababu kwa ufahamu kamili, formula ya kuondoa viashiria hasi ilipaswa kuandikwa kama hii:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n))))=((\kushoto(\frac(1)(a) \kulia))^(n ))\Mshale wa Kulia ((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(5)(1)\ kulia))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Kwa upande mwingine, hakuna kitu kilituzuia kufanya kazi na sehemu ndogo tu:

\[((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(((5)^(-1))\ kulia))^(-\left(x+1 \kulia)))=((5)^(\left(-1 \kulia)\cdot \kushoto(-\left(x+1 \kulia) \kulia) ))=(5)^(x+1))\]

Lakini katika kesi hii, unahitaji kuwa na uwezo wa kuinua nguvu kwa nguvu nyingine (hebu nikumbushe: katika kesi hii, viashiria vinaongezwa pamoja). Lakini sikulazimika "kugeuza" sehemu - labda hii itakuwa rahisi kwa wengine :)

Kwa vyovyote vile, mlinganyo wa asili wa kielelezo utaandikwa upya kama:

\[\anza(align)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1)))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo zinageuka kuwa equation ya asili inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi kuliko ile iliyozingatiwa hapo awali: hapa hauitaji hata kuchagua usemi thabiti - kila kitu kimepunguzwa peke yake. Inabakia tu kukumbuka kuwa $1=((5)^(0))$, ambayo tunapata:

\[\anza(linganisha)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\mwisho(patanisha)\]

Ndio suluhisho! Tulipata jibu la mwisho: $x=-2$. Wakati huo huo, ningependa kutambua mbinu moja ambayo imerahisisha sana mahesabu yote kwetu:

Katika hesabu za kielelezo, hakikisha kuwa umeondoa sehemu za desimali na kuzibadilisha kuwa za kawaida. Hii itawawezesha kuona misingi sawa ya digrii na kurahisisha sana suluhisho.

Wacha sasa tuendelee kwenye milinganyo ngumu zaidi ambayo ndani yake kuna misingi tofauti ambayo haiwezi kupunguzwa kwa kila mmoja kwa kutumia nguvu hata kidogo.

Kwa kutumia Mali ya Digrii

Acha nikukumbushe kwamba tuna milinganyo miwili mikali zaidi:

\[\anza(align)&(7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\mwisho(patanisha)\]

Ugumu kuu hapa ni kwamba haijulikani ni nini cha kutoa na kwa msingi gani. misemo thabiti iko wapi? Viwango sawa viko wapi? Hakuna haya.

Lakini hebu tujaribu kwenda kwa njia tofauti. Ikiwa hakuna besi zinazofanana zilizotengenezwa tayari, unaweza kujaribu kuzipata kwa kuzingatia misingi iliyopo.

Wacha tuanze na equation ya kwanza:

\[\anza(align)&(7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Mshale wa Kulia ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \kulia))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\mwisho(patanisha)\]

Lakini unaweza kufanya kinyume - fanya nambari 21 kutoka kwa nambari 7 na 3. Hii ni rahisi sana kufanya upande wa kushoto, kwani viashiria vya digrii zote mbili ni sawa:

\[\anza(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \kulia))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Ulichukua kipeo nje ya bidhaa na mara moja ukapata mlingano mzuri ambao unaweza kutatuliwa katika mistari kadhaa.

Sasa hebu tuangalie equation ya pili. Kila kitu ni ngumu zaidi hapa:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kushoto(\frac(27)(10) \kulia))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Katika kesi hii, sehemu ziligeuka kuwa haziwezi kupunguzwa, lakini ikiwa kitu kinaweza kupunguzwa, hakikisha kuipunguza. Mara nyingi, sababu za kuvutia zitaonekana ambazo unaweza tayari kufanya kazi.

Kwa bahati mbaya, hakuna kitu maalum kilionekana kwetu. Lakini tunaona kwamba vielelezo upande wa kushoto wa bidhaa ni kinyume:

Acha nikukumbushe: ili kuondoa ishara ya minus kwenye kiashiria, unahitaji tu "kupindua" sehemu hiyo. Kweli, wacha tuandike tena mlinganyo wa asili:

\[\anza(linganisha)& ((100)^(x-1))\cdot ((\kushoto(\frac(10)(27) \kulia))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\kushoto(100\cdot \frac(10)(27) \kulia))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\kushoto(\frac(1000)(27)\kulia))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\mwisho(patanisha)\]

Katika mstari wa pili, tulichukua kipeo jumla kutoka kwa bidhaa kutoka kwa mabano kulingana na sheria $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \kulia))^ (x))$, na katika ya mwisho walizidisha tu nambari 100 kwa sehemu.

Sasa kumbuka kuwa nambari za kushoto (chini) na kulia zinafanana. Vipi? Ndiyo, ni dhahiri: ni nguvu za idadi sawa! Tuna:

\[\anza(linganisha)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kulia))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))))=((\left(\frac(3)(10)) \kulia))^(2)). \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo, equation yetu itaandikwa upya kama ifuatavyo:

\[((\kushoto((\\kushoto(\frac(10)(3))\kulia))^(3)) \kulia))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\kulia))^(2))\]

\[((\kushoto(((\kushoto(\frac(10)(3))\kulia))^(3)) \kulia))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \kulia))^(3\kushoto(x-1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(3x-3))\]

Katika kesi hii, upande wa kulia unaweza pia kupata digrii na msingi sawa, ambayo inatosha "kugeuza" sehemu tu:

\[((\kushoto(\frac(3)(10) \kulia))^(2))=((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(-2))\]

Equation yetu hatimaye itachukua fomu:

\[\anza(linganisha)& ((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(3x-3))=((\kushoto(\frac(10)(3)\kulia)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\mwisho(patanisha)\]

Hilo ndilo suluhisho. Wazo lake kuu linatoka kwa ukweli kwamba hata kwa misingi tofauti tunajaribu, kwa ndoano au kwa kota, kupunguza besi hizi kwa kitu kimoja. Mabadiliko ya kimsingi ya milinganyo na sheria za kufanya kazi na mamlaka hutusaidia na hili.

Lakini ni sheria gani na wakati wa kutumia? Unaelewaje kwamba katika equation moja unahitaji kugawanya pande zote mbili na kitu, na kwa mwingine unahitaji kuzingatia msingi wa kazi ya kielelezo?

Jibu la swali hili litakuja na uzoefu. Jaribu mkono wako kwa hesabu rahisi kwanza, na kisha ugumu matatizo polepole - na hivi karibuni ujuzi wako utatosha kutatua mlinganyo wowote wa kielelezo kutoka kwa Mtihani huo wa Jimbo la Umoja au kazi yoyote ya kujitegemea/ya majaribio.

Na ili kukusaidia katika kazi hii ngumu, napendekeza kupakua seti ya equations kutoka kwenye tovuti yangu kwa ajili ya kutatua mwenyewe. Milinganyo yote ina majibu, kwa hivyo unaweza kujijaribu kila wakati.

Kiwango cha kwanza

Milinganyo ya kielelezo. Mwongozo wa Mwisho (2019)

Habari! Leo tutajadili na wewe jinsi ya kutatua equations ambazo zinaweza kuwa za msingi (na natumai kwamba baada ya kusoma nakala hii, karibu zote zitakuwa hivyo kwako), na zile ambazo kawaida hupewa "kwa kujaza". Inaonekana hatimaye kulala. Lakini nitajaribu kufanya kila linalowezekana ili sasa usipate shida wakati unakabiliwa na aina hii ya equations. Sitapiga tena msituni, lakini nitakuambia siri kidogo mara moja: leo tutasoma. milinganyo ya kielelezo.

Kabla ya kuendelea na kuchambua njia za kuyatatua, mara moja nitakuelezea maswali kadhaa (madogo kabisa) ambayo unapaswa kurudia kabla ya kukimbilia kushambulia mada hii. Kwa hivyo, kwa matokeo bora, tafadhali kurudia:

Mali na
Suluhisho na milinganyo

Imerudiwa? Inashangaza! Halafu haitakuwa ngumu kwako kugundua kuwa mzizi wa equation ni nambari. Unaelewa jinsi nilivyofanya? Ni ukweli? Kisha tuendelee. Sasa jibu swali langu, ni nini sawa na nguvu ya tatu? Uko sahihi kabisa:. Nguvu gani ya mbili ni nane? Hiyo ni kweli - ya tatu! Kwa sababu. Naam, sasa hebu tujaribu kutatua tatizo lifuatalo: Acha nizidishe nambari yenyewe mara moja na kupata matokeo. Swali ni je, nilizidisha mara ngapi peke yangu? Bila shaka unaweza kuangalia hii moja kwa moja:

\anza(pangilia) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\\mwisho( panga)

Kisha unaweza kuhitimisha kuwa nilijizidisha mara. Unawezaje kuangalia hii tena? Hivi ndivyo jinsi: moja kwa moja kwa ufafanuzi wa digrii: . Lakini, lazima ukubali, ikiwa ningeuliza ni mara ngapi mbili zinahitaji kuzidishwa na yenyewe ili kupata, sema, ungeniambia: sitajidanganya na kuzidisha peke yangu hadi niwe bluu usoni. Na atakuwa sahihi kabisa. Kwa sababu unawezaje andika hatua zote kwa ufupi(na ufupi ni dada wa talanta)

wapi - hizi ni zile zile "nyakati", unapozidisha peke yake.

Nadhani unajua (na ikiwa haujui, kwa haraka, kurudia digrii haraka sana!) basi shida yangu itaandikwa kwa fomu:

Unawezaje kuhitimisha kuwa:

Kwa hivyo, bila kutambuliwa, niliandika rahisi zaidi mlingano wa kielelezo:

Na hata nilimpata mzizi. Je, hufikiri kwamba kila kitu ni kidogo kabisa? Nadhani sawa kabisa. Hapa kuna mfano mwingine kwako:

Lakini nini cha kufanya? Baada ya yote, haiwezi kuandikwa kama nguvu ya nambari (ya busara). Wacha tusikate tamaa na kumbuka kuwa nambari hizi zote mbili zimeonyeshwa kikamilifu kupitia nguvu ya nambari sawa. Gani? Haki: . Kisha equation ya asili inabadilishwa kuwa fomu:

Ambapo, kama ulivyoelewa tayari,. Tusikawie tena tuandike ufafanuzi:

Kwa upande wetu:.

Equations hizi zinatatuliwa kwa kuzipunguza kwa fomu:

ikifuatiwa na kutatua equation

Kwa kweli, katika mfano uliopita tulifanya hivyo tu: tulipata yafuatayo: Na tulitatua equation rahisi zaidi.

Inaonekana kama hakuna kitu ngumu, sawa? Wacha tufanye mazoezi kwenye zile rahisi kwanza mifano:

Tunaona tena kwamba pande za kulia na kushoto za equation zinahitaji kuwakilishwa kama nguvu za nambari moja. Kweli, upande wa kushoto hii tayari imefanywa, lakini upande wa kulia kuna nambari. Lakini ni sawa, kwa sababu equation yangu itabadilika kimiujiza kuwa hii:

Nilipaswa kutumia nini hapa? Kanuni gani? Kanuni ya "digrii ndani ya digrii" ambayo inasomeka:

Nini kama:

Kabla ya kujibu swali hili, hebu tujaze jedwali lifuatalo:

Ni rahisi kwetu kugundua kuwa thamani ndogo, ndogo, lakini hata hivyo, maadili haya yote ni kubwa kuliko sifuri. NA ITAKUWA HIVYO DAIMA!!! Mali hiyo hiyo ni kweli KWA MSINGI WOWOTE NA KIASHIRIA CHOCHOTE!! (kwa yoyote na). Kisha tunaweza kuhitimisha nini kuhusu equation? Hivi ndivyo ilivyo: ni haina mizizi! Kama vile equation yoyote haina mizizi. Sasa hebu tufanye mazoezi na Wacha tusuluhishe mifano rahisi:

Hebu tuangalie:

1. Hapa hakuna chochote kitakachohitajika kwako isipokuwa ujuzi wa mali ya digrii (ambayo, kwa njia, nilikuuliza kurudia!) Kama sheria, kila kitu kinaongoza kwa msingi mdogo zaidi: , . Halafu equation ya asili itakuwa sawa na ifuatayo: Ninachohitaji ni kutumia mali ya nguvu: Wakati wa kuzidisha nambari na besi sawa, nguvu huongezwa, na wakati wa kugawanya, hutolewa. Kisha nitapata: Kweli, sasa kwa dhamiri safi nitahama kutoka kwa equation ya kielelezo hadi ile ya mstari: \anza(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\mwisho (panga)

2. Katika mfano wa pili, tunahitaji kuwa makini zaidi: shida ni kwamba upande wa kushoto hatuwezi uwezekano wa kuwakilisha idadi sawa na nguvu. Katika kesi hii, wakati mwingine ni muhimu inawakilisha nambari kama bidhaa ya mamlaka yenye misingi tofauti, lakini wawakilishi sawa:

Upande wa kushoto wa mlinganyo utaonekana kama: Je, hii ilitupa nini? Hapa ni nini: Nambari zilizo na besi tofauti lakini vielezi sawa vinaweza kuzidishwa.Katika kesi hii, besi zinazidishwa, lakini kiashiria hakibadilika:

Katika hali yangu hii itatoa:

\anza(linganisha)
& 4\cdoti ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\mwisho (panga)

Sio mbaya, sawa?

3. Siipendi wakati, bila ya lazima, nina masharti mawili kwa upande mmoja wa equation na hakuna kwa upande mwingine (wakati mwingine, bila shaka, hii ni haki, lakini sasa sio kesi hiyo). Nitahamisha neno la minus kwenda kulia:

Sasa, kama hapo awali, nitaandika kila kitu kulingana na nguvu za tatu:

Ninaongeza digrii upande wa kushoto na kupata equation sawa

Unaweza kupata mizizi yake kwa urahisi:

4. Kama katika mfano wa tatu, neno minus lina nafasi upande wa kulia!

Kwa upande wangu wa kushoto, karibu kila kitu ni sawa, isipokuwa kwa nini? Ndiyo, "shahada isiyo sahihi" ya wawili hao inanisumbua. Lakini naweza kurekebisha hii kwa urahisi kwa kuandika: . Eureka - upande wa kushoto besi zote ni tofauti, lakini digrii zote ni sawa! Hebu tuzidishe mara moja!

Hapa tena, kila kitu kiko wazi: (ikiwa hauelewi jinsi nilivyopata usawa wa mwisho kichawi, pumzika kwa dakika, pumzika na usome sifa za digrii tena kwa uangalifu sana. Nani alisema kuwa unaweza kuruka a digrii na kipeo hasi, hapa niko sawa na hakuna mtu). Sasa nitapata:

\anza(linganisha)
& ((2)^(4\kushoto((x) -9 \kulia)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\mwisho (panga)

Hapa kuna shida kadhaa kwako kufanya mazoezi, ambayo nitatoa majibu tu (lakini kwa fomu "iliyochanganywa"). Yatatue, yaangalie, na wewe na mimi tutaendelea na utafiti wetu!

Tayari? Majibu kama hizi:

nambari yoyote

Sawa, sawa, nilikuwa natania! Hapa kuna michoro kadhaa za suluhisho (baadhi fupi sana!)

Je, unafikiri si bahati kwamba sehemu moja upande wa kushoto ni nyingine "inverted"? Itakuwa dhambi kutotumia fursa hii:

Sheria hii hutumiwa mara nyingi sana wakati wa kusuluhisha hesabu za kielelezo, kumbuka vizuri!

Kisha equation ya asili itakuwa kama hii:

Kwa kutatua equation hii ya quadratic, utapata mizizi ifuatayo:

2. Suluhisho lingine: kugawanya pande zote mbili za equation kwa usemi wa kushoto (au kulia). Gawanya na kile kilicho upande wa kulia, kisha ninapata:

Wapi (kwa nini?!)

3. Sitaki hata kurudia mwenyewe, kila kitu tayari "kimetafunwa" sana.

4. sawa na equation ya quadratic, mizizi

5. Unahitaji kutumia fomula uliyopewa katika tatizo la kwanza, kisha utapata hiyo:

Mlinganyo umegeuka kuwa utambulisho usio na maana ambao ni kweli kwa yoyote. Kisha jibu ni nambari yoyote halisi.

Kweli, sasa umefanya mazoezi ya kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo. Sasa nataka kukupa mifano michache ya maisha ambayo itakusaidia kuelewa kwa nini zinahitajika kwa kanuni. Hapa nitatoa mifano miwili. Mmoja wao ni wa kila siku, lakini mwingine ana uwezekano mkubwa wa kuwa wa kisayansi badala ya maslahi ya vitendo.

Mfano 1 (mercantile) Hebu uwe na rubles, lakini unataka kuibadilisha kuwa rubles. Benki inakupa kuchukua pesa hizi kutoka kwako kwa kiwango cha kila mwaka na mtaji wa kila mwezi wa riba (mapato ya kila mwezi). Swali ni, ni miezi mingapi unahitaji kufungua amana ili kufikia kiasi cha mwisho kinachohitajika? Kazi ya kawaida kabisa, sivyo? Walakini, suluhisho lake linahusishwa na ujenzi wa equation inayolingana ya kielelezo: Hebu - kiasi cha awali, - kiasi cha mwisho, - kiwango cha riba kwa kipindi hicho, - idadi ya vipindi. Kisha:

Kwa upande wetu (ikiwa kiwango ni cha kila mwaka, basi kinahesabiwa kwa mwezi). Kwa nini imegawanywa na? Ikiwa hujui jibu la swali hili, kumbuka mada ""! Kisha tunapata equation hii:

Equation hii ya kielelezo inaweza tayari kutatuliwa tu kwa msaada wa calculator (muonekano wake unaonyesha hili, na hii inahitaji ujuzi wa logarithms, ambayo tutafahamiana nayo baadaye kidogo), ambayo ni nini nitafanya: ... , ili kupata milioni, tutahitaji kutoa mchango kwa mwezi (sio haraka sana, sawa?).

Mfano 2 (badala ya kisayansi). Licha ya "kujitenga" kwake fulani, ninapendekeza kwamba umsikilize: yeye mara kwa mara "huingia kwenye Uchunguzi wa Jimbo la Umoja!! (tatizo linachukuliwa kutoka kwa toleo la "halisi") Wakati wa kuoza kwa isotopu ya mionzi, wingi wake hupungua kwa mujibu wa sheria, ambapo (mg) ni molekuli ya awali ya isotopu, (min.) ni wakati uliopita kutoka kwa wakati wa mwanzo, (min.) ni nusu ya maisha. Katika wakati wa awali wa wakati, wingi wa isotopu ni mg. Nusu ya maisha yake ni min. Baada ya dakika ngapi uzito wa isotopu utakuwa sawa na mg? Ni sawa: tunachukua tu na kubadilisha data yote katika fomula iliyopendekezwa kwetu:

Wacha tugawanye sehemu zote mbili kwa, "kwa tumaini" kwamba upande wa kushoto tutapata kitu kinachoweza kuyeyuka:

Kweli, tuna bahati sana! Iko upande wa kushoto, kisha tuendelee kwenye equation sawa:

Yuko wapi min.

Kama unaweza kuona, milinganyo ya kielelezo ina matumizi halisi katika mazoezi. Sasa nataka kukuonyesha njia nyingine (rahisi) ya kusuluhisha milinganyo ya kielelezo, ambayo inategemea kuchukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano na kisha kuweka masharti. Usiogope maneno yangu, tayari umekutana na njia hii katika darasa la 7 wakati ulisoma polynomials. Kwa mfano, ikiwa ulihitaji kuangazia usemi:

Wacha tufanye kikundi: muhula wa kwanza na wa tatu, na vile vile la pili na la nne. Ni wazi kuwa ya kwanza na ya tatu ni tofauti za mraba:

na ya pili na ya nne yana sababu ya kawaida ya tatu:

Kisha usemi wa asili ni sawa na huu:

Mahali pa kupata sababu ya kawaida sio ngumu tena:

Kwa hivyo,

Hivi ndivyo tutafanya wakati wa kusuluhisha milinganyo ya kielelezo: tafuta "kawaida" kati ya masharti na uiondoe kwenye mabano, halafu - iweje, ninaamini kuwa tutakuwa na bahati =)) Kwa mfano:

Upande wa kulia ni mbali na kuwa na nguvu ya saba (niliangalia!) Na upande wa kushoto - ni bora zaidi, unaweza, kwa kweli, "kukata" sababu kutoka kwa pili kutoka kwa muhula wa kwanza, na kisha kushughulikia. na ulicho nacho, lakini hebu tuwe na busara zaidi na wewe. Sitaki kushughulika na sehemu ambazo haziepukiki wakati wa "kuchagua" , kwa hivyo sipaswi kuiondoa? Basi sitakuwa na sehemu yoyote: kama wanasema, mbwa mwitu hulishwa na kondoo wako salama:

Kokotoa usemi katika mabano. Kichawi, kichawi, zinageuka kuwa (kwa kushangaza, ingawa ni nini kingine tunapaswa kutarajia?).

Kisha tunapunguza pande zote mbili za equation kwa sababu hii. Tunapata:, kutoka.

Hapa kuna mfano ngumu zaidi (kidogo, kweli):

Tatizo lililoje! Hatuna msingi mmoja hapa! Sio wazi kabisa cha kufanya sasa. Wacha tufanye kile tunachoweza: kwanza, songa "nne" upande mmoja, na "tano" hadi nyingine:

Sasa hebu tutoe "jumla" upande wa kushoto na kulia:

Basi nini sasa? Ni nini faida ya kikundi cha wajinga kama hicho? Kwa mtazamo wa kwanza haionekani kabisa, lakini wacha tuangalie kwa undani zaidi:

Kweli, sasa tutahakikisha kuwa upande wa kushoto tuna usemi c tu, na kulia - kila kitu kingine. Je, tunafanyaje hili? Hivi ndivyo jinsi: Gawanya pande zote mbili za equation kwanza kwa (kwa hivyo tunaondoa kielelezo upande wa kulia), na kisha ugawanye pande zote mbili kwa (kwa hivyo tunaondoa sababu ya nambari upande wa kushoto). Hatimaye tunapata:

Ajabu! Upande wa kushoto tuna usemi, na upande wa kulia tuna usemi rahisi. Kisha tunahitimisha mara moja

Hapa kuna mfano mwingine wa wewe kuimarisha:

Nitatoa suluhisho lake fupi (bila kujisumbua sana na maelezo), jaribu kuelewa "hila" zote za suluhisho mwenyewe.

Sasa kwa uimarishaji wa mwisho wa nyenzo zilizofunikwa. Jaribu kutatua matatizo yafuatayo mwenyewe. Nitatoa tu mapendekezo mafupi na vidokezo vya kuyatatua:

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano: Wapi:
Wacha tuwasilishe usemi wa kwanza katika fomu: , gawanya pande zote mbili na upate hiyo
, basi equation ya asili inabadilishwa kuwa fomu: Naam, sasa kidokezo - tafuta ambapo wewe na mimi tayari tumetatua equation hii!
Hebu fikiria jinsi, jinsi, ah, vizuri, kisha ugawanye pande zote mbili, ili upate equation rahisi zaidi ya kielelezo.
Itoe nje ya mabano.
Itoe nje ya mabano.

EQUATION EXPONENTARY. KIWANGO CHA WASTANI

Nadhani baada ya kusoma makala ya kwanza, ambayo ilizungumzia equations kielelezo ni nini na jinsi ya kuzitatua, umepata ujuzi wa chini unaohitajika ili kutatua mifano rahisi zaidi.

Sasa nitaangalia njia nyingine ya kutatua hesabu za kielelezo, hii ni

"njia ya kutambulisha kigezo kipya" (au uingizwaji). Anatatua shida nyingi "ngumu" kwenye mada ya hesabu za kielelezo (na sio hesabu tu). Njia hii ni mojawapo ya mara nyingi kutumika katika mazoezi. Kwanza, ninapendekeza ujitambulishe na mada.

Kama vile ulivyoelewa tayari kutoka kwa jina, kiini cha njia hii ni kuanzisha mabadiliko kama haya ya kutofautisha ambayo equation yako ya kielelezo itabadilika kimiujiza kuwa ile ambayo unaweza kutatua kwa urahisi. Yote ambayo inabaki kwako baada ya kutatua "equation iliyorahisishwa" sana ni kufanya "uingizwaji wa nyuma": yaani, kurudi kutoka kwa kubadilishwa hadi kubadilishwa. Wacha tuonyeshe kile tulichosema hivi karibuni kwa mfano rahisi sana:

Mfano 1:

Mlinganyo huu unatatuliwa kwa kutumia "ubadala rahisi," kama wanahisabati wanavyoiita kwa dharau. Kwa kweli, uingizwaji hapa ni dhahiri zaidi. Mtu anapaswa kuona tu

Kisha equation ya asili itageuka kuwa hii:

Ikiwa tunafikiria kwa kuongeza jinsi, basi ni wazi kabisa kile kinachohitaji kubadilishwa: bila shaka,. Nini basi inakuwa equation asili? Hapa ni nini:

Unaweza kupata mizizi yake kwa urahisi peke yako: . Tufanye nini sasa? Ni wakati wa kurudi kutofautisha asili. Nimesahau kutaja nini? Yaani: wakati wa kuchukua nafasi ya digrii fulani na kutofautisha mpya (ambayo ni, wakati wa kubadilisha aina), nitavutiwa nayo. mizizi chanya tu! Wewe mwenyewe unaweza kujibu kwa urahisi kwa nini. Kwa hivyo, wewe na mimi hatupendi, lakini mzizi wa pili unafaa sana kwetu:

Kisha kutoka wapi.

Jibu:

Kama unaweza kuona, katika mfano uliopita, uingizwaji ulikuwa ukiuliza tu mikono yetu. Kwa bahati mbaya, hii sio wakati wote. Walakini, tusiende moja kwa moja kwa mambo ya kusikitisha, lakini wacha tufanye mazoezi na mfano mmoja zaidi na uingizwaji rahisi.

Mfano 2.

Ni wazi kwamba uwezekano mkubwa tutalazimika kufanya uingizwaji (hii ni ndogo zaidi ya mamlaka iliyojumuishwa katika equation yetu), lakini kabla ya kuanzisha uingizwaji, equation yetu inahitaji "kuwa tayari" kwa ajili yake, yaani: , . Basi unaweza kuchukua nafasi, kama matokeo ninapata usemi ufuatao:

Hofu kubwa: equation ya ujazo na fomula mbaya kabisa za kuisuluhisha (vizuri, ukizungumza kwa jumla). Lakini tusikate tamaa mara moja, lakini hebu tufikirie kile tunachopaswa kufanya. Nitapendekeza kudanganya: tunajua kwamba ili kupata jibu "nzuri", tunahitaji kupata katika mfumo wa baadhi ya nguvu ya tatu (kwa nini hiyo itakuwa, eh?). Wacha tujaribu kukisia angalau mzizi mmoja wa equation yetu (nitaanza kubahatisha na nguvu za tatu).

Kwanza nadhani. Sio mzizi. Ole na ah...

.
Upande wa kushoto ni sawa.
Sehemu ya kulia:!
Kula! Nadhani mzizi wa kwanza. Sasa mambo yatakuwa rahisi!

Je! unajua kuhusu mpango wa mgawanyiko wa "kona"? Bila shaka unafanya, unaitumia unapogawanya nambari moja na nyingine. Lakini watu wachache wanajua kuwa sawa inaweza kufanywa na polynomials. Kuna nadharia moja ya ajabu:

Kwa kutumia hali yangu, hii inaniambia kuwa inaweza kugawanywa bila kubaki. Mgawanyiko unafanywaje? Hivyo ndivyo:

Ninaangalia ni monomia gani ninapaswa kuzidisha ili kupata Kwa Uwazi, basi:

Ninaondoa usemi unaotokana, napata:

Sasa, ninahitaji kuzidisha kwa nini ili kupata? Ni wazi kuwa, basi nitapata:

na tena uondoe usemi unaotokana na ile iliyobaki:

Kweli, hatua ya mwisho ni kuzidisha na kutoa kutoka kwa usemi uliobaki:

Hurray, mgawanyiko umekwisha! Tumekusanya nini kwa faragha? Pekee yake: .

Kisha tulipata upanuzi ufuatao wa polynomial asili:

Wacha tusuluhishe equation ya pili:

Ina mizizi:

Kisha equation ya asili:

ina mizizi mitatu:

Kwa kweli, tutatupa mzizi wa mwisho, kwani ni chini ya sifuri. Na mbili za kwanza baada ya uingizwaji wa nyuma zitatupa mizizi miwili:

Jibu:..

Kwa mfano huu, sikutaka kukutisha kabisa; badala yake, lengo langu lilikuwa kuonyesha kwamba ingawa tulikuwa na uingizwaji rahisi, hata hivyo ilisababisha equation ngumu, suluhisho ambalo lilihitaji ujuzi maalum kutoka kwetu. Naam, hakuna mtu aliye salama kutokana na hili. Lakini uingizwaji katika kesi hii ulikuwa wazi kabisa.

Hapa kuna mfano na uingizwaji usio wazi kidogo:

Haijulikani kabisa nini tunapaswa kufanya: tatizo ni kwamba katika equation yetu kuna misingi miwili tofauti na msingi mmoja hauwezi kupatikana kutoka kwa mwingine kwa kuinua kwa nguvu yoyote (ya busara, ya kawaida). Hata hivyo, tunaona nini? Besi zote mbili hutofautiana kwa ishara tu, na bidhaa zao ni tofauti ya mraba sawa na moja:

Ufafanuzi:

Kwa hivyo, nambari ambazo ni msingi katika mfano wetu ni za kuunganisha.

Katika kesi hii, hatua ya busara itakuwa zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari ya mnyambuliko.

Kwa mfano, juu ya, basi upande wa kushoto wa equation utakuwa sawa na, na kulia. Ikiwa tutabadilisha, basi equation yetu ya asili itakuwa kama hii:

mizizi yake, basi, na kukumbuka kwamba, sisi kupata kwamba.

Jibu:,.

Kama sheria, njia ya uingizwaji inatosha kutatua hesabu nyingi za "shule" za kielelezo. Kazi zifuatazo zinachukuliwa kutoka kwa Uchunguzi wa Jimbo la Umoja C1 (kuongezeka kwa kiwango cha ugumu). Tayari umesoma vya kutosha kutatua mifano hii peke yako. Nitatoa tu uingizwaji unaohitajika.

Tatua mlinganyo:
Tafuta mizizi ya equation:
Tatua mlingano:. Pata mizizi yote ya equation hii ambayo ni ya sehemu:

Na sasa maelezo mafupi na majibu:

Hapa inatosha tutambue kuwa... Kisha equation asili itakuwa sawa na hii: Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kubadilisha Fanya mahesabu zaidi mwenyewe. Mwishowe, kazi yako itapunguzwa kwa kutatua shida rahisi za trigonometric (kulingana na sine au cosine). Tutaangalia suluhisho kwa mifano kama hiyo katika sehemu zingine.
Hapa unaweza hata kufanya bila uingizwaji: sogeza tu subtrahend kulia na uwakilishe misingi yote miwili kupitia mamlaka ya mbili: , na kisha nenda moja kwa moja kwenye mlinganyo wa quadratic.
Equation ya tatu pia inatatuliwa kwa kawaida kabisa: hebu fikiria jinsi gani. Kisha, kuchukua nafasi, tunapata equation ya quadratic: basi,
Tayari unajua logarithm ni nini, sivyo? Hapana? Kisha soma mada kwa haraka!

Mzizi wa kwanza ni wazi sio wa sehemu, lakini wa pili haueleweki! Lakini tutajua hivi karibuni! Kwa kuwa, basi (hii ni mali ya logarithm!) Hebu tulinganishe:

Ondoa kutoka pande zote mbili, kisha tunapata:

Upande wa kushoto unaweza kuwakilishwa kama:

zidisha pande zote mbili kwa:

inaweza kuzidishwa na, basi

Kisha kulinganisha:

tangu wakati huo:

Kisha mzizi wa pili ni wa muda unaohitajika

Jibu:

Kama unavyoona, uteuzi wa mizizi ya equations kielelezo inahitaji ujuzi wa kina wa sifa za logarithms, kwa hivyo nakushauri kuwa mwangalifu iwezekanavyo wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo. Kama unavyoelewa, katika hisabati kila kitu kimeunganishwa! Kama vile mwalimu wangu wa hesabu alivyosema: “hisabati, kama historia, haiwezi kusomwa mara moja.”

Kama sheria, wote Ugumu wa kutatua matatizo C1 ni hasa uteuzi wa mizizi ya equation. Wacha tufanye mazoezi na mfano mmoja zaidi:

Ni wazi kwamba equation yenyewe inatatuliwa kwa urahisi kabisa. Kwa kubadilisha, tunapunguza mlinganyo wetu wa asili kuwa ufuatao:

Kwanza tuangalie mzizi wa kwanza. Hebu tulinganishe na: tangu, basi. (mali ya kitendakazi cha logarithmic, saa). Kisha ni wazi kwamba mzizi wa kwanza sio wa muda wetu. Sasa mzizi wa pili:. Ni wazi kwamba (kwa kuwa kazi inaongezeka). Inabaki kulinganisha na ...

tangu, basi, wakati huo huo. Kwa njia hii naweza "kuendesha kigingi" kati ya na. Kigingi hiki ni nambari. Usemi wa kwanza ni mdogo na wa pili ni mkubwa zaidi. Kisha usemi wa pili ni mkubwa kuliko wa kwanza na mzizi ni wa muda.

Jibu:.

Mwishowe, wacha tuangalie mfano mwingine wa equation ambapo uingizwaji sio wa kawaida kabisa:

Hebu tuanze mara moja na kile kinachoweza kufanywa, na nini - kwa kanuni, kinaweza kufanywa, lakini ni bora si kufanya hivyo. Unaweza kufikiria kila kitu kupitia nguvu za tatu, mbili na sita. Inaongoza wapi? Haitaongoza kwa chochote: mkusanyiko wa digrii, ambayo baadhi yao itakuwa vigumu sana kujiondoa. Nini basi kinahitajika? Hebu tukumbuke kwamba a Na hii itatupa nini? Na ukweli kwamba tunaweza kupunguza suluhisho la mfano huu kwa suluhisho la equation rahisi ya kielelezo! Kwanza, hebu tuandike tena equation yetu kama:

Sasa wacha tugawanye pande zote mbili za equation inayosababishwa na:

Eureka! Sasa tunaweza kuchukua nafasi, tunapata:

Naam, sasa ni zamu yako kutatua matatizo ya maandamano, na nitawapa maoni mafupi tu ili usipotee! Bahati njema!

1. Ngumu zaidi! Ni ngumu sana kuona mbadala hapa! Lakini hata hivyo, mfano huu unaweza kutatuliwa kabisa kwa kutumia kuonyesha mraba kamili. Ili kutatua, inatosha kutambua kwamba:

Kisha hapa kuna mbadala wako:

(Tafadhali kumbuka kuwa hapa wakati wa uingizwaji wetu hatuwezi kutupa mzizi hasi!!! Kwa nini unafikiria?)

Sasa ili kutatua mfano lazima utatue hesabu mbili tu:

Zote mbili zinaweza kutatuliwa na "badala ya kawaida" (lakini ya pili katika mfano mmoja!)

2. Angalia hilo na ufanye mbadala.

3. Tengeneza nambari katika vipengele vya coprime na kurahisisha usemi unaotokana.

4. Gawanya nambari na denominator ya sehemu na (au, ikiwa unapendelea) na ufanye badala au.

5. Angalia kwamba nambari na zinaunganishwa.

EQUATIONS ZA KIELELEZO. KIWANGO CHA JUU

Kwa kuongeza, hebu tuangalie njia nyingine - kutatua milinganyo ya kielelezo kwa kutumia mbinu ya logariti. Siwezi kusema kwamba kutatua equations kielelezo kwa kutumia njia hii ni maarufu sana, lakini katika baadhi ya matukio tu inaweza kutuongoza kwa ufumbuzi sahihi wa equation yetu. Inatumika mara nyingi kutatua kile kinachojulikana kama " milinganyo mchanganyiko": Hiyo ni, zile ambazo kazi za aina tofauti hufanyika.

Kwa mfano, equation ya fomu:

kwa hali ya jumla, inaweza kutatuliwa tu kwa kuchukua logarithm za pande zote mbili (kwa mfano, kwa msingi), ambayo equation ya asili itageuka kuwa ifuatayo:

Hebu tuangalie mfano ufuatao:

Ni wazi kwamba kulingana na ODZ ya kazi ya logarithmic, tunavutiwa tu. Walakini, hii haifuati tu kutoka kwa ODZ ya logarithm, lakini kwa sababu moja zaidi. Nadhani haitakuwa vigumu kwako kukisia ni ipi.

Wacha tuchukue logariti ya pande zote mbili za equation yetu hadi msingi:

Kama unavyoona, kuchukua logariti ya mlingano wetu wa asili haraka kulituongoza kwenye jibu sahihi (na zuri!). Wacha tufanye mazoezi na mfano mmoja zaidi:

Hakuna chochote kibaya hapa pia: wacha tuchukue logarithm ya pande zote mbili za equation kwenye msingi, kisha tunapata:

Wacha tufanye mbadala:

Hata hivyo, tumekosa kitu! Umeona ni wapi nilifanya makosa? Baada ya yote, basi:

ambayo haikidhi hitaji (fikiria ilitoka wapi!)

Jibu:

Jaribu kuandika suluhisho la milinganyo ya kielelezo hapa chini:

Sasa linganisha uamuzi wako na hii:

1. Wacha tuweke logariti pande zote mbili hadi msingi, kwa kuzingatia kwamba:

(mzizi wa pili haufai kwetu kwa sababu ya uingizwaji)

2. Logarithm kwa msingi:

Wacha tubadilishe usemi unaosababishwa kuwa fomu ifuatayo:

EQUATION EXPONENTARY. MAELEZO MAFUPI NA MFUMO WA MSINGI

Mlingano wa kielelezo

Mlinganyo wa fomu:

kuitwa mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo.

Tabia za digrii

Mbinu za suluhisho

Kupunguzwa kwa msingi sawa
Kupunguzwa kwa kipeo sawa
Uingizwaji unaobadilika
Kurahisisha usemi na kutumia mojawapo ya yaliyo hapo juu.