Leo, marafiki, hakutakuwa na snot au sentimentality. Badala yake, nitakutumia, bila maswali yoyote, kwenye vita na mmoja wa wapinzani wa kutisha katika kozi ya aljebra ya daraja la 8-9.
Ndio, umeelewa kila kitu kwa usahihi: tunazungumza juu ya usawa na moduli. Tutaangalia mbinu nne za msingi ambazo utajifunza kutatua kuhusu 90% ya matatizo hayo. Vipi kuhusu 10% iliyobaki? Kweli, tutazungumza juu yao katika somo tofauti. :)
Hata hivyo, kabla ya kuchambua mbinu zozote, ningependa kukukumbusha mambo mawili ambayo tayari unahitaji kujua. Vinginevyo, una hatari ya kutoelewa nyenzo za somo la leo hata kidogo.
Nini tayari unahitaji kujua
Uwazi wa Kapteni unaonekana kudokeza kuwa ili kutatua kukosekana kwa usawa na moduli unahitaji kujua mambo mawili:
- Jinsi ukosefu wa usawa unatatuliwa;
- Moduli ni nini?
Hebu tuanze na hoja ya pili.
Ufafanuzi wa Moduli
Kila kitu ni rahisi hapa. Kuna ufafanuzi mbili: algebraic na graphical. Kuanza na - algebraic:
Ufafanuzi. Moduli ya nambari $x$ ni nambari yenyewe, ikiwa sio hasi, au nambari iliyo kinyume nayo, ikiwa $x$ asili bado ni hasi.
Imeandikwa hivi:
\[\kushoto| x \kulia|=\kushoto\( \anza(panga) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\mwisho(panga) \kulia.\]
Kwa maneno rahisi, moduli ni "nambari isiyo na minus." Na ni katika uwili huu (katika sehemu zingine sio lazima ufanye chochote na nambari asilia, lakini kwa zingine lazima uondoe aina fulani ya minus) hapo ndipo ugumu wote upo kwa wanafunzi wanaoanza.
Pia kuna ufafanuzi wa kijiometri. Ni muhimu pia kujua, lakini tutaigeukia tu katika hali ngumu na zingine maalum, ambapo mbinu ya kijiometri ni rahisi zaidi kuliko ile ya algebraic (spoiler: sio leo).
Ufafanuzi. Acha alama $a$ iwekwe alama kwenye mstari wa nambari. Kisha moduli $\left| x-a \kulia|$ ni umbali kutoka kwa uhakika $x$ hadi kuelekeza $a$ kwenye mstari huu.
Ukichora picha, utapata kitu kama hiki:
Ufafanuzi wa moduli ya picha Njia moja au nyingine, kutoka kwa ufafanuzi wa moduli mali yake muhimu hufuata mara moja: moduli ya nambari daima ni wingi usio hasi. Ukweli huu utakuwa uzi mwekundu unaopitia simulizi letu zima leo.
Kutatua ukosefu wa usawa. Mbinu ya muda
Sasa hebu tuangalie ukosefu wa usawa. Kuna mengi yao, lakini kazi yetu sasa ni kuwa na uwezo wa kutatua angalau rahisi zaidi yao. Wale ambao hupunguza usawa wa mstari, na vile vile kwa njia ya muda.
Nina masomo mawili makubwa juu ya mada hii (kwa njia, muhimu sana, ni muhimu sana - ninapendekeza kuyasoma):
- Njia ya muda kwa usawa (hasa tazama video);
- Ukosefu wa usawa wa kimantiki ni somo pana sana, lakini baada yake hautakuwa na maswali yoyote.
Ikiwa unajua haya yote, ikiwa kifungu "wacha tuondoke kutoka kwa usawa hadi equation" haifanyi kuwa na hamu isiyo wazi ya kujigonga dhidi ya ukuta, basi uko tayari: karibu kuzimu kwa mada kuu ya somo. :)
1. Kutokuwepo kwa usawa kwa fomu "Modulus ni chini ya kazi"
Hili ni mojawapo ya matatizo ya kawaida na moduli. Inahitajika kutatua usawa wa fomu:
\[\kushoto| f\kulia| \ltg\]
Kazi $f$ na $g$ zinaweza kuwa chochote, lakini kwa kawaida ni polynomials. Mifano ya usawa kama huo:
\[\anza(linganisha) & \kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7; \\ & \kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia|+3\kushoto(x+1 \kulia) \lt 0; \\ & \kushoto| ((x)^(2))-2\kushoto| x \kulia|-3 \kulia| \lt 2. \\\malizia(panga)\]
Zote zinaweza kutatuliwa halisi katika mstari mmoja kulingana na mpango ufuatao:
\[\kushoto| f\kulia| \lt g\Mshale wa kulia -g \lt f \lt g\quad \kushoto(\Mshale wa kulia \kushoto\( \anza(panga) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\mwisho(panga) \kulia.\kulia)\]
Ni rahisi kuona kwamba tunaondoa moduli, lakini kwa kurudi tunapata usawa mara mbili (au, ambayo ni kitu kimoja, mfumo wa kutofautiana mbili). Lakini mpito huu unazingatia kabisa shida zote zinazowezekana: ikiwa nambari iliyo chini ya moduli ni chanya, njia hiyo inafanya kazi; ikiwa hasi, bado inafanya kazi; na hata kwa utendakazi duni zaidi badala ya $f$ au $g$, njia bado itafanya kazi.
Kwa kawaida, swali linatokea: haiwezi kuwa rahisi zaidi? Kwa bahati mbaya, haiwezekani. Hili ndilo jambo zima la moduli.
Hata hivyo, kutosha na falsafa. Wacha tusuluhishe shida kadhaa:
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7\]
Suluhisho. Kwa hivyo, tunayo usawa wa kawaida wa fomu "moduli ni kidogo" - hakuna kitu cha kubadilisha. Tunafanya kazi kulingana na algorithm:
\[\anza(linganisha) & \kushoto| f\kulia| \lt g\mshale wa kulia -g \lt f \lt g; \\ & \kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7\Mshale wa Kulia -\kushoto(x+7 \kulia) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\malizia(panga)\]
Usikimbilie kufungua mabano yaliyotanguliwa na "minus": inawezekana kabisa kwamba kwa sababu ya haraka yako utafanya kosa la kukera.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\kushoto\( \anza(panga) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \malizia(panga) \kulia.\]
\[\kushoto\( \anza(panga) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \mwisho(panga) \kulia.\]
\[\kushoto\( \anza(panga) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \malizia(panga) \kulia.\]
Tatizo lilipunguzwa kwa usawa mbili za msingi. Wacha tuangalie suluhisho zao kwenye mistari ya nambari inayofanana:
Makutano ya wengi
Makutano ya seti hizi itakuwa jibu.
Jibu: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \kulia)$
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia|+3\kushoto(x+1 \kulia) \lt 0\]
Suluhisho. Kazi hii ni ngumu zaidi kidogo. Kwanza, hebu tutenge moduli kwa kusogeza muhula wa pili kulia:
\[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \lt -3\kushoto(x+1 \kulia)\]
Kwa wazi, tuna tena usawa wa fomu "moduli ni ndogo", kwa hivyo tunaondoa moduli kwa kutumia algorithm inayojulikana tayari:
\[-\kushoto(-3\kushoto(x+1 \kulia) \kulia) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kushoto(x+1 \kulia)\]
Sasa tahadhari: mtu atasema kwamba mimi ni mpotovu kidogo na mabano haya yote. Lakini nikukumbushe tena kwamba lengo letu kuu ni kwa usahihi kutatua ukosefu wa usawa na kupata jibu. Baadaye, unapofahamu kikamilifu kila kitu kilichoelezwa katika somo hili, unaweza kuipotosha mwenyewe kama unavyotaka: fungua mabano, ongeza minuses, nk.
Kuanza, tutaondoa minus mara mbili upande wa kushoto:
\[-\kushoto(-3\kushoto(x+1 \kulia)\kulia)=\kushoto(-1 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(x+1 \kulia) =3\kushoto(x+1 \kulia)\]
Sasa wacha tufungue mabano yote katika usawa mara mbili:
Wacha tuendelee kwenye usawa maradufu. Wakati huu mahesabu yatakuwa mazito zaidi:
\[\kushoto\( \anza(panga) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \mwisho(linganisha) \kulia.\]
\[\kushoto\( \anza(panga) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \mwisho( panga)\kulia.\]
Ukosefu wote wa usawa ni wa quadratic na unaweza kutatuliwa kwa njia ya muda (ndiyo sababu nasema: ikiwa hujui hii ni nini, ni bora kutochukua moduli bado). Wacha tuendelee kwenye equation katika ukosefu wa usawa wa kwanza:
\[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\kushoto(x+5 \kulia)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2)))=-5. \\\mwisho(patanisha)\]
Kama unaweza kuona, matokeo ni equation ya quadratic isiyo kamili, ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi. Sasa hebu tuangalie usawa wa pili wa mfumo. Huko utalazimika kutumia nadharia ya Vieta:
\[\anza(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kushoto(x-3 \kulia)\kushoto(x+2 \kulia)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2)))=-2. \\\mwisho(patanisha)\]
Tunaweka alama kwa nambari zinazosababishwa kwenye mistari miwili inayofanana (tofauti kwa usawa wa kwanza na tofauti kwa pili):
Tena, kwa kuwa tunasuluhisha mfumo wa kukosekana kwa usawa, tunavutiwa na makutano ya seti zenye kivuli: $x\in \left(-5;-2 \kulia)$. Hili ndilo jibu.
Jibu: $x\in \left(-5;-2 \kulia)$
Nadhani baada ya mifano hii mpango wa suluhisho ni wazi sana:
- Tenga moduli kwa kusogeza masharti mengine yote kwa upande mwingine wa ukosefu wa usawa. Kwa hivyo tunapata usawa wa fomu $\left| f\kulia| \ltg$.
- Tatua ukosefu huu wa usawa kwa kuondokana na moduli kulingana na mpango ulioelezwa hapo juu. Kwa wakati fulani, itakuwa muhimu kuhama kutoka kwa usawa mara mbili hadi kwa mfumo wa maneno mawili ya kujitegemea, ambayo kila moja inaweza tayari kutatuliwa tofauti.
- Mwishowe, kilichobaki ni kuingiliana na suluhu za misemo hii miwili huru - na ndivyo tu, tutapata jibu la mwisho.
Algorithm sawa ipo kwa usawa wa aina ifuatayo, wakati moduli ni kubwa kuliko chaguo la kukokotoa. Walakini, kuna "lakini" kadhaa kubwa. Tutazungumza juu ya "lakini" hizi sasa.
2. Kutokuwepo kwa usawa kwa fomu "Modulus ni kubwa kuliko kazi"
Wanaonekana kama hii:
\[\kushoto| f\kulia| \gtg\]
Sawa na uliopita? Inaonekana. Na bado matatizo hayo yanatatuliwa kwa njia tofauti kabisa. Rasmi, mpango ni kama ifuatavyo:
\[\kushoto| f\kulia| \gt g\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(panga) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\malizia(panga) \kulia.\]
Kwa maneno mengine, tunazingatia kesi mbili:
- Kwanza, tunapuuza tu moduli na kutatua usawa wa kawaida;
- Kisha, kwa asili, tunapanua moduli na ishara ya kuondoa, na kisha kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa -1, wakati nina ishara.
Katika kesi hii, chaguzi zinajumuishwa na bracket ya mraba, i.e. Tunayo mchanganyiko wa mahitaji mawili mbele yetu.
Tafadhali kumbuka tena: huu sio mfumo, lakini jumla, kwa hivyo katika jibu seti zimeunganishwa badala ya kuingiliana. Hii ni tofauti ya kimsingi na ile iliyotangulia!
Kwa ujumla, wanafunzi wengi wamechanganyikiwa kabisa na vyama vya wafanyakazi na makutano, kwa hivyo wacha tutatue suala hili mara moja na kwa wote:
- "∪" ni ishara ya muungano. Kwa kweli, hii ni barua ya stylized "U", ambayo ilikuja kwetu kutoka kwa lugha ya Kiingereza na ni kifupi cha "Muungano", i.e. "Vyama".
- "∩" ni ishara ya makutano. Ujinga huu haukutoka popote, lakini ulionekana tu kama kipingamizi cha "∪".
Ili kuifanya iwe rahisi kukumbuka, chora tu miguu kwa ishara hizi kutengeneza glasi (usinishtaki sasa hivi kwa kukuza ulevi wa dawa za kulevya na ulevi: ikiwa unasoma somo hili kwa umakini, basi tayari wewe ni mlevi wa dawa za kulevya):
Tofauti kati ya makutano na muungano wa seti Ilitafsiriwa kwa Kirusi, hii ina maana yafuatayo: umoja (jumla) inajumuisha vipengele kutoka kwa seti zote mbili, kwa hiyo sio chini ya kila mmoja wao; lakini makutano (mfumo) ni pamoja na vitu vile tu ambavyo viko wakati huo huo katika seti ya kwanza na ya pili. Kwa hivyo, makutano ya seti sio kubwa kuliko seti za chanzo.
Kwa hivyo ikawa wazi zaidi? Hiyo ni nzuri. Tuendelee na mazoezi.
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| 3x+1 \kulia| \gt 5-4x\]
Suluhisho. Tunaendelea kulingana na mpango:
\[\kushoto| 3x+1 \kulia| \gt 5-4x\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(linganisha) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\kushoto(5-4x \kulia) \\\malizia(panga) \ haki.\]
Tunatatua kila ukosefu wa usawa katika idadi ya watu:
\[\kushoto[ \anza(pangilia) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \mwisho(panga) \kulia.\]
\[\kushoto[ \anza(panga) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \mwisho(panga) \kulia.\]
\[\kushoto[ \anza(panga) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \malizia(panga) \kulia.\]
Tunaweka alama kwa kila matokeo kwenye mstari wa nambari, na kisha kuchanganya:
Umoja wa seti
Ni dhahiri kabisa kuwa jibu litakuwa $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Jibu: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \kulia)$
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \gt x\]
Suluhisho. Vizuri? Hakuna - kila kitu ni sawa. Tunahama kutoka kwa ukosefu wa usawa na moduli hadi seti ya tofauti mbili:
\[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \gt x\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(panga) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\mwisho(linganisha) \kulia.\]
Tunatatua kila ukosefu wa usawa. Kwa bahati mbaya, mizizi hapo haitakuwa nzuri sana:
\[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\mwisho(patanisha)\]
Ukosefu wa usawa wa pili pia ni wa porini kidogo:
\[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\mwisho(patanisha)\]
Sasa unahitaji kuashiria nambari hizi kwenye shoka mbili - mhimili mmoja kwa kila usawa. Walakini, unahitaji kuweka alama kwa mpangilio sahihi: nambari kubwa, ndivyo hatua inasonga kwenda kulia.
Na hapa tunangojea usanidi. Ikiwa kila kitu kiko wazi na nambari $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (maneno katika nambari ya kwanza sehemu ni chini ya masharti katika nambari ya pili , kwa hivyo jumla pia ni kidogo), na nambari $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ pia hakutakuwa na ugumu (nambari chanya ni wazi kuwa mbaya zaidi), basi na wanandoa wa mwisho kila kitu sio wazi sana. Ni lipi kubwa zaidi: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ au $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Uwekaji wa pointi kwenye mistari ya nambari na, kwa kweli, jibu litategemea jibu la swali hili.
Basi hebu tulinganishe:
\[\anza(tumbo) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\mwisho(matrix)\]
Tulitenga mzizi, tukapata nambari zisizo hasi kwa pande zote za ukosefu wa usawa, kwa hivyo tuna haki ya mraba pande zote mbili:
\[\anza(matrix) ((\kushoto(2+\sqrt(13) \kulia))^(2))\vee ((\kushoto(\sqrt(21) \kulia))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\mwisho(matrix)\]
Nadhani sio akili kwamba $4\sqrt(13) \gt 3$, kwa hivyo $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, alama za mwisho kwenye shoka zitawekwa kama hii:
Kesi ya mizizi mbaya
Acha nikukumbushe kwamba tunatatua seti, kwa hivyo jibu litakuwa umoja, sio makutano ya seti za kivuli.
Jibu: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \kulia)\bicup \left(\frac(-1+\sqrt(13)))(2) );+\infty \kulia)$
Kama unaweza kuona, mpango wetu hufanya kazi vizuri kwa shida rahisi na ngumu sana. "Hatua dhaifu" pekee katika njia hii ni kwamba unahitaji kulinganisha kwa usahihi nambari zisizo na maana (na niniamini: hizi sio mizizi tu). Lakini somo tofauti (na zito sana) litatolewa kwa maswala ya kulinganisha. Na tunaendelea.
3. Kutokuwepo kwa usawa na "mikia" isiyo ya hasi
Sasa tunafika kwenye sehemu ya kuvutia zaidi. Hizi ni usawa wa fomu:
\[\kushoto| f\kulia| \gt\kushoto| g\kulia|\]
Kwa ujumla, algorithm ambayo tutazungumza sasa ni sahihi tu kwa moduli. Inafanya kazi katika ukosefu wote wa usawa ambapo kuna misemo isiyo hasi iliyohakikishwa upande wa kushoto na kulia:
Nini cha kufanya na kazi hizi? Kumbuka tu:
Katika usawa na "mkia" usio na hasi, pande zote mbili zinaweza kuinuliwa kwa nguvu yoyote ya asili. Hakutakuwa na vikwazo vya ziada.
Kwanza kabisa, tutapendezwa na squaring - inachoma moduli na mizizi:
\[\anza(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ kushoto(\sqrt(f) \kulia))^(2))=f. \\\mwisho(linganisha)\]
Usichanganye hii kwa kuchukua mzizi wa mraba:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kulia|\ne f\]
Makosa mengi yalifanywa wakati mwanafunzi alisahau kusakinisha moduli! Lakini hii ni hadithi tofauti kabisa (hizi ni, kana kwamba, hesabu zisizo na maana), kwa hivyo hatutaingia kwenye hii sasa. Wacha tusuluhishe shida kadhaa bora:
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| x+2 \kulia|\ge \kushoto| 1-2x \kulia|\]
Suluhisho. Wacha tuangalie mambo mawili mara moja:
- Huu sio usawa mkali. Pointi kwenye mstari wa nambari zitatobolewa.
- Pande zote mbili za ukosefu wa usawa ni dhahiri sio hasi (hii ni mali ya moduli: $\left| f\left(x \kulia) \kulia|\ge 0$).
Kwa hivyo, tunaweza mraba pande zote mbili za usawa ili kuondoa moduli na kutatua shida kwa kutumia njia ya kawaida ya muda:
\[\anza(linganisha) & ((\kushoto(\kushoto| x+2 \kulia| \kulia))^(2))\ge ((\kushoto(\kushoto| 1-2x \kulia| \kulia) )^(2)); \\ & ((\kushoto(x+2 \kulia))^(2))\ge ((\kushoto(2x-1 \kulia))^(2)). \\\mwisho(patanisha)\]
Katika hatua ya mwisho, nilidanganya kidogo: Nilibadilisha mlolongo wa maneno, nikichukua fursa ya usawa wa moduli (kwa kweli, nilizidisha usemi $1-2x$ na -1).
\[\anza(linganisha) & ((\kushoto(2x-1 \kulia))^(2))-((\kushoto(x+2 \kulia))^(2))\le 0; \\ & \kushoto(\kushoto(2x-1 \kulia)-\kushoto(x+2 \kulia) \kulia)\cdot \kushoto(\kushoto(2x-1 \kulia)+\kushoto(x+2 \ kulia)\kulia)\le 0; \\ & \kushoto(2x-1-x-2 \kulia)\cdot \kushoto(2x-1+x+2 \kulia)\le 0; \\ & \kushoto(x-3 \kulia)\cdot \kushoto(3x+1 \kulia)\le 0. \\\malizia(patanisha)\]
Tunatatua kwa kutumia njia ya muda. Wacha tuhame kutoka kwa usawa kwenda kwa equation:
\[\anza(linganisha) & \kushoto(x-3 \kulia)\kushoto(3x+1 \kulia)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2)))=-\frac(1)(3). \\\mwisho(patanisha)\]
Tunaweka alama ya mizizi iliyopatikana kwenye mstari wa nambari. Kwa mara nyingine tena: pointi zote zimetiwa kivuli kwa sababu usawa wa awali sio mkali!
Kuondoa ishara ya moduli
Acha nikukumbushe kwa wale ambao ni mkaidi sana: tunachukua ishara kutoka kwa usawa wa mwisho, ambao uliandikwa kabla ya kuendelea na usawa. Na tunapiga rangi juu ya maeneo yanayohitajika kwa usawa sawa. Kwa upande wetu ni $\left(x-3 \kulia)\left(3x+1 \kulia)\le 0$.
Sawa yote yamekwisha Sasa. Tatizo linatatuliwa.
Jibu: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \kulia]$.
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| ((x)^(2))+x+1 \kulia|\le \kushoto| ((x)^(2))+3x+4 \kulia|\]
Suluhisho. Tunafanya kila kitu sawa. Sitatoa maoni - angalia tu mlolongo wa vitendo.
Mraba:
\[\anza(linganisha) & ((\kushoto(\kushoto| ((x)^(2))+x+1 \kulia| \kulia))^(2))\le ((\kushoto(\kushoto | ((x)^(2))+3x+4 \kulia| \kulia))^(2)); \\ & ((\ kushoto(((x)^(2)))+x+1 \kulia))^(2))\le ((\kushoto(((x)^(2)))+3x+4 \kulia))^(2)); \\ & ((\kushoto(((x)^(2)))+x+1 \kulia))^(2))-((\kushoto(((x)^(2)))+3x+4 \ kulia))^(2))\le 0; \\ & \kushoto(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kulia)\mara \\ & \mara \kushoto(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kulia)\le 0; \\ & \kushoto(-2x-3 \kulia)\kushoto(2((x)^(2))+4x+5 \kulia)\le 0. \\\mwisho(patanisha)\]
Mbinu ya muda:
\[\anza(panga) & \kushoto(-2x-3 \kulia)\kushoto(2((x)^(2))+4x+5 \kulia)=0 \\ & -2x-3=0\ Mshale wa kulia x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(patanisha)\]
Kuna mzizi mmoja tu kwenye mstari wa nambari:
Jibu ni muda wote
Jibu: $x\in \left[ -1.5;+\infty \kulia)$.
Ujumbe mdogo kuhusu kazi ya mwisho. Kama mmoja wa wanafunzi wangu alivyoona kwa usahihi, misemo yote miwili katika ukosefu huu wa usawa ni chanya, kwa hivyo ishara ya moduli inaweza kuachwa bila madhara kwa afya.
Lakini hii ni kiwango tofauti kabisa cha kufikiria na mbinu tofauti - inaweza kuitwa njia ya matokeo. Kuhusu hilo - katika somo tofauti. Sasa hebu tuendelee kwenye sehemu ya mwisho ya somo la leo na tuangalie algorithm ya ulimwengu ambayo inafanya kazi daima. Hata wakati mbinu zote za hapo awali hazikuwa na nguvu. :)
4. Njia ya kuhesabu chaguzi
Je, ikiwa mbinu hizi zote hazisaidii? Ikiwa usawa hauwezi kupunguzwa kwa mikia isiyo ya hasi, ikiwa haiwezekani kutenganisha moduli, ikiwa kwa ujumla kuna maumivu, huzuni, melanini?
Kisha "silaha nzito" ya hisabati yote inakuja kwenye eneo-njia ya nguvu ya kinyama. Kuhusiana na kukosekana kwa usawa na moduli inaonekana kama hii:
- Andika misemo yote ya submodular na uziweke sawa na sifuri;
- Tatua equations zinazosababisha na uweke alama kwenye mizizi iliyopatikana kwenye mstari wa nambari moja;
- Mstari wa moja kwa moja utagawanywa katika sehemu kadhaa, ndani ambayo kila moduli ina ishara ya kudumu na kwa hiyo imefunuliwa kipekee;
- Tatua usawa kwenye kila sehemu kama hiyo (unaweza kuzingatia kando mizizi-mipaka iliyopatikana katika hatua ya 2 - kwa kuegemea). Changanya matokeo - hii itakuwa jibu. :)
Hivyo jinsi gani? Dhaifu? Kwa urahisi! Kwa muda mrefu tu. Wacha tuone kwa vitendo:
Kazi. Tatua ukosefu wa usawa:
\[\kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-\frac(3)(2)\]
Suluhisho. Ujanja huu haujitokezi kwa usawa kama $\left| f\kulia| \lt g$, $\left| f\kulia| \gt g$ au $\left| f\kulia| \lt \kushoto| g \kulia|$, kwa hivyo tunachukua hatua mbele.
Tunaandika maneno ya submodular, sawasawa na sifuri na kupata mizizi:
\[\anza(linganisha) & x+2=0\Mshale wa kulia x=-2; \\ & x-1=0\Mshale wa Kulia x=1. \\\mwisho(linganisha)\]
Kwa jumla, tuna mizizi miwili ambayo inagawanya mstari wa nambari katika sehemu tatu, ambayo kila moduli inafunuliwa kipekee:
Kugawanya mstari wa nambari kwa sufuri za kazi ndogo za moduli
Hebu tuangalie kila sehemu tofauti.
1. Acha $x \lt -2$. Kisha usemi wa submodular zote mbili ni mbaya, na ukosefu wa usawa wa asili utaandikwa tena kama ifuatavyo:
\[\anza(linganisha) & -\kushoto(x+2 \kulia) \lt -\kushoto(x-1 \kulia)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\mwisho(patanisha)\]
Tulipata kizuizi rahisi sana. Wacha tuipitishe na dhana ya awali kwamba $x \lt -2$:
\[\kushoto\( \anza(panga) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \varnothing \]
Ni wazi, kigezo cha $x$ hakiwezi kuwa chini ya −2 kwa wakati mmoja na zaidi ya 1.5. Hakuna suluhisho katika eneo hili.
1.1. Hebu tuzingatie kando kesi ya mpaka: $x=-2$. Wacha tubadilishe nambari hii kwa usawa asili na tuangalie: ni kweli?
\[\anza(panga) & ((\kushoto. \kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-1.5 \kulia|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kushoto| -3\kulia|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(linganisha)\]
Ni dhahiri kwamba mlolongo wa hesabu umetupeleka kwenye usawa usio sahihi. Kwa hivyo, usawa wa asili pia ni wa uwongo, na $x=-2$ haijajumuishwa kwenye jibu.
2. Hebu sasa $-2 \lt x \lt 1$. Moduli ya kushoto tayari itafungua na "plus", lakini moja ya kulia bado itafungua na "minus". Tuna:
\[\anza(panga) & x+2 \lt -\kushoto(x-1 \kulia)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\mwisho(patanisha)\]
Tena tunaingiliana na hitaji la asili:
\[\kushoto\( \anza(panga) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \varnothing \]
Na tena, seti ya suluhu ni tupu, kwani hakuna nambari ambazo zote ni chini ya -2.5 na kubwa kuliko -2.
2.1. Na tena kesi maalum: $x=1$. Tunabadilisha katika usawa wa asili:
\[\anza(panga) & ((\kushoto. \kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-1.5 \kulia|)_(x=1)) \\ & \kushoto| 3\kulia| \lt \kushoto| 0\kulia|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(patanisha)\]
Sawa na "kesi maalum" iliyotangulia, nambari $x=1$ ni wazi haijajumuishwa kwenye jibu.
3. Kipande cha mwisho cha mstari: $x \gt 1$. Hapa moduli zote zinafunguliwa na ishara ya kuongeza:
\[\anza(patanisha) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \mwisho(panga)\ ]
Na tena tunaingilia seti iliyopatikana na kizuizi cha asili:
\[\kushoto\( \anza(panga) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \kushoto(4.5;+\infty \kulia)\ ]
Hatimaye! Tumepata muda ambao utakuwa jibu.
Jibu: $x\in \left(4,5;+\infty \kulia)$
Hatimaye, maoni moja ambayo yanaweza kukuokoa kutokana na makosa ya kijinga wakati wa kutatua matatizo halisi:
Suluhu za kukosekana kwa usawa na moduli kawaida huwakilisha seti zinazoendelea kwenye mstari wa nambari - vipindi na sehemu. Pointi zilizotengwa ni za kawaida sana. Na hata mara chache, hutokea kwamba mpaka wa suluhisho (mwisho wa sehemu) unafanana na mpaka wa safu inayozingatiwa.
Kwa hiyo, ikiwa mipaka ("kesi maalum" sawa) hazijumuishwa katika jibu, basi maeneo ya kushoto na kulia ya mipaka hii karibu hayatajumuishwa katika jibu. Na kinyume chake: mpaka uliingia kwenye jibu, ambayo ina maana kwamba baadhi ya maeneo karibu nayo pia yatakuwa majibu.
Kumbuka hili unapokagua masuluhisho yako.
Malengo ya Somo
Kuanzisha watoto wa shule kwa dhana ya hisabati kama moduli ya nambari;
Kufundisha watoto wa shule ustadi wa kupata moduli za nambari;
Kuimarisha nyenzo zilizojifunza kwa kukamilisha kazi mbalimbali;
Kazi
Kuimarisha ujuzi wa watoto kuhusu moduli ya namba;
Kwa kutatua kazi za mtihani, angalia jinsi wanafunzi walivyofahamu nyenzo zilizosomwa;
Endelea kusisitiza shauku katika masomo ya hisabati;
Kukuza mawazo ya kimantiki, udadisi na uvumilivu kwa watoto wa shule.
Mpango wa Somo
1. Dhana za jumla na ufafanuzi wa moduli ya nambari.
2. Maana ya kijiometri ya moduli.
3. Moduli ya nambari na sifa zake.
4. Kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa ambao una moduli ya nambari.
5. Maelezo ya kihistoria kuhusu neno "modulus ya nambari".
6. Kazi ya kujumuisha maarifa ya mada iliyoshughulikiwa.
7. Kazi ya nyumbani.
Dhana za jumla kuhusu moduli ya nambari
Moduli ya nambari kawaida huitwa nambari yenyewe ikiwa haina thamani hasi, au nambari sawa ni hasi, lakini kwa ishara iliyo kinyume.
Hiyo ni, moduli ya nambari halisi isiyo hasi a ndio nambari yenyewe:
Na, moduli ya nambari hasi halisi x ni nambari iliyo kinyume:
Katika kurekodi itaonekana kama hii:
Kwa uelewa unaopatikana zaidi, wacha tutoe mfano. Kwa hivyo, kwa mfano, moduli ya nambari 3 ni 3, na pia moduli ya nambari -3 ni 3.
Inafuata kutoka kwa hili kwamba moduli ya nambari ina maana thamani kamili, yaani, thamani yake kamili, lakini bila kuzingatia ishara yake. Ili kuiweka kwa urahisi zaidi, ni muhimu kuondoa ishara kutoka kwa nambari.
Sehemu ya nambari inaweza kuteuliwa na kuonekana kama hii: |3|, |x|, |a| na kadhalika.
Kwa hivyo, kwa mfano, moduli ya nambari 3 inaashiria |3|.
Pia, ikumbukwe kwamba moduli ya nambari sio hasi kamwe: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, nk.
Maana ya kijiometri ya moduli
Moduli ya nambari ni umbali unaopimwa katika sehemu za vitengo kutoka asili hadi uhakika. Ufafanuzi huu unaonyesha moduli kutoka kwa mtazamo wa kijiometri.
Hebu tuchukue mstari wa kuratibu na tuteue pointi mbili juu yake. Acha alama hizi zilingane na nambari kama vile -4 na 2.
Sasa hebu tuzingatie takwimu hii. Tunaona kwamba hatua A, iliyoonyeshwa kwenye mstari wa kuratibu, inalingana na nambari -4, na ukiangalia kwa makini, utaona kwamba hatua hii iko katika umbali wa sehemu 4 za kitengo kutoka kwa kumbukumbu 0. Inafuata kwamba urefu wa sehemu ya OA ni sawa na vitengo vinne. Katika kesi hii, urefu wa sehemu ya OA, ambayo ni, nambari 4, itakuwa moduli ya nambari -4.
Katika hali hii, moduli ya nambari inaashiria na kuandikwa kwa njia hii: |−4| = 4.
Sasa hebu tuchukue na tuteue hatua B kwenye mstari wa kuratibu.
Hatua hii B italingana na nambari +2, na, kama tunavyoona, iko katika umbali wa sehemu mbili za kitengo kutoka kwa asili. Inafuata kutoka kwa hili kwamba urefu wa sehemu ya OB ni sawa na vitengo viwili. Katika kesi hii, nambari ya 2 itakuwa moduli ya nambari +2.
Katika rekodi itaonekana hivi: |+2| = 2 au |2| = 2.
Sasa hebu tufanye muhtasari. Ikiwa tutachukua nambari isiyojulikana a na kuichagua kwenye mstari wa kuratibu kama nukta A, basi katika kesi hii umbali kutoka kwa uhakika A hadi asili, ambayo ni, urefu wa sehemu ya OA, ni moduli ya nambari "a. ”.
Kwa maandishi itaonekana hivi: |a| = OA.
Moduli ya nambari na sifa zake
Sasa hebu tujaribu kuangazia mali ya moduli, fikiria kesi zote zinazowezekana na uziandike kwa kutumia misemo halisi:
Kwanza, moduli ya nambari ni nambari isiyo hasi, ambayo inamaanisha kuwa moduli ya nambari chanya ni sawa na nambari yenyewe: |a| = a, ikiwa > 0;
Pili, moduli zinazojumuisha nambari tofauti ni sawa: |a| = |–a|. Hiyo ni, mali hii inatuambia kuwa nambari tofauti kila wakati huwa na moduli sawa, kama vile kwenye mstari wa kuratibu, ingawa zina nambari tofauti, ziko katika umbali sawa kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu. Inafuata kutoka kwa hili kwamba moduli za nambari hizi kinyume ni sawa.
Tatu, moduli ya sifuri ni sawa na sifuri ikiwa nambari hii ni sifuri: |0| = 0 ikiwa = 0. Hapa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba moduli ya sifuri ni sifuri kwa ufafanuzi, kwani inafanana na asili ya mstari wa kuratibu.
Sifa ya nne ya moduli ni kwamba moduli ya bidhaa ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya moduli ya nambari hizi. Sasa hebu tuangalie kwa karibu nini maana ya hii. Ikiwa tutafuata ufafanuzi, basi wewe na mimi tunajua kuwa moduli ya bidhaa ya nambari a na b itakuwa sawa na b, au −(a b), ikiwa b ≥ 0, au - (a b), ikiwa b ni kubwa kuliko. 0. B kurekodi itakuwa hivi: |a b| =|a| | b|.
Sifa ya tano ni kwamba moduli ya mgawo wa nambari ni sawa na uwiano wa moduli ya nambari hizi: |a: b| =|a| : | b|.
Na sifa zifuatazo za moduli ya nambari:
Kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa unaohusisha moduli ya nambari
Wakati wa kuanza kutatua matatizo ambayo yana moduli ya nambari, unapaswa kukumbuka kuwa ili kutatua kazi hiyo, ni muhimu kufunua ishara ya moduli kwa kutumia ujuzi wa mali ambayo tatizo hili linalingana.
Zoezi 1
Kwa hivyo, kwa mfano, ikiwa chini ya ishara ya moduli kuna usemi ambao unategemea kutofautisha, basi moduli inapaswa kupanuliwa kulingana na ufafanuzi:
Bila shaka, wakati wa kutatua matatizo, kuna matukio wakati moduli inafunuliwa pekee. Ikiwa, kwa mfano, tunachukua
, hapa tunaona kwamba usemi kama huo chini ya ishara ya moduli sio hasi kwa maadili yoyote ya x na y.
Au, kwa mfano, hebu tuchukue
, tunaona kuwa usemi huu wa moduli si mzuri kwa thamani zozote za z.
Jukumu la 2
Mstari wa kuratibu unaonyeshwa mbele yako. Kwenye mstari huu ni muhimu kuashiria nambari ambazo moduli itakuwa sawa na 2.
Suluhisho
Kwanza kabisa, tunapaswa kuchora mstari wa kuratibu. Tayari unajua kwamba kufanya hivyo, kwanza kwenye mstari wa moja kwa moja unahitaji kuchagua asili, mwelekeo na sehemu ya kitengo. Ifuatayo, tunahitaji kuweka pointi kutoka kwa asili ambazo ni sawa na umbali wa sehemu mbili za kitengo.
Kama unaweza kuona, kuna vidokezo viwili kwenye mstari wa kuratibu, moja ambayo inalingana na nambari -2, na nyingine kwa nambari 2.
Maelezo ya kihistoria kuhusu moduli ya nambari
Neno "moduli" linatokana na jina la Kilatini modulus, ambalo linamaanisha "kipimo". Neno hili liliasisiwa na mwanahisabati Mwingereza Roger Cotes. Lakini ishara ya modulus ilianzishwa shukrani kwa mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass. Inapoandikwa, moduli inaonyeshwa kwa kutumia ishara ifuatayo: | |.
Maswali ya kuunganisha maarifa ya nyenzo
Katika somo la leo, tulifahamiana na wazo kama moduli ya nambari, na sasa wacha tuangalie jinsi umejua mada hii kwa kujibu maswali yaliyoulizwa:
1. Jina la nambari ambayo ni kinyume cha nambari chanya ni nini?
2. Jina la nambari ambayo ni kinyume cha nambari hasi ni nini?
3. Taja nambari iliyo kinyume na sifuri. Kuna nambari kama hii?
4. Taja nambari ambayo haiwezi kuwa moduli ya nambari.
5. Bainisha moduli ya nambari.
Kazi ya nyumbani
1. Mbele yako kuna nambari ambazo unahitaji kupanga kwa utaratibu wa kushuka wa moduli. Ikiwa utakamilisha kazi kwa usahihi, utapata jina la mtu ambaye alianzisha neno "moduli" katika hisabati.
2. Chora mstari wa kuratibu na upate umbali kutoka M (-5) na K (8) hadi asili.
Moduli ya nambari nambari hii yenyewe inaitwa ikiwa sio hasi, au nambari sawa na ishara kinyume ikiwa ni hasi.
Kwa mfano, moduli ya nambari 5 ni 5, na moduli ya nambari -5 pia ni 5.
Hiyo ni, moduli ya nambari inaeleweka kama thamani kamili, thamani kamili ya nambari hii bila kuzingatia ishara yake.
Imeonyeshwa kama ifuatavyo: |5|, | X|, |A| na kadhalika.
Kanuni:
Ufafanuzi:
|5| = 5
Inasomeka hivi: moduli ya nambari 5 ni 5.
|–5| = –(–5) = 5
Inasomeka hivi: moduli ya nambari -5 ni 5.
|0| = 0
Inasomeka hivi: moduli ya sifuri ni sifuri.
Tabia za moduli:
1) Moduli ya nambari ni nambari isiyo hasi: |A| ≥ 0 2) Moduli za nambari tofauti ni sawa: |A| = |–A| 3) Mraba wa moduli ya nambari ni sawa na mraba wa nambari hii: |A| 2 = a 2 4) Moduli ya bidhaa ya nambari ni sawa na bidhaa ya moduli ya nambari hizi: |A · b| = |A| · | b| 6) Moduli ya nambari ya mgawo ni sawa na uwiano wa moduli ya nambari hizi: |A : b| = |A| : |b| 7) Moduli ya jumla ya nambari ni chini ya au sawa na jumla ya moduli zao: |A + b| ≤ |A| + |b| 8) Moduli ya tofauti kati ya nambari ni chini ya au sawa na jumla ya moduli zao: |A – b| ≤ |A| + |b| 9) Moduli ya jumla/tofauti ya nambari ni kubwa kuliko au sawa na moduli ya tofauti ya moduli zao: |A ± b| ≥ ||A| – |b|| 10) Kizidishi cha chanya cha mara kwa mara kinaweza kutolewa kutoka kwa ishara ya moduli: |m · a| = m · | A|, m >0 11) Nguvu ya nambari inaweza kuchukuliwa kutoka kwa ishara ya moduli: |A k | = | A| k ikiwa k ipo 12) Kama | A| = |b|, basi a = ± b |
Maana ya kijiometri ya moduli.
Moduli ya nambari ni umbali kutoka sifuri hadi nambari hiyo.
Kwa mfano, hebu tuchukue namba 5 tena. Umbali kutoka 0 hadi 5 ni sawa na kutoka 0 hadi -5 (Mchoro 1). Na wakati ni muhimu kwetu kujua tu urefu wa sehemu, basi ishara haina maana tu, bali pia maana. Walakini, hii sio kweli kabisa: tunapima umbali tu kwa nambari chanya - au nambari zisizo hasi. Hebu bei ya mgawanyiko wa kiwango chetu iwe sentimita 1. Kisha urefu wa sehemu kutoka sifuri hadi 5 ni 5 cm, kutoka sifuri hadi -5 pia ni 5 cm.
Katika mazoezi, umbali mara nyingi hupimwa sio tu kutoka kwa sifuri - hatua ya kumbukumbu inaweza kuwa nambari yoyote (Mchoro 2). Lakini hii haibadilishi kiini. Nukuu ya fomu |a – b| huonyesha umbali kati ya pointi A Na b kwenye mstari wa nambari.
Mfano 1. Tatua mlinganyo | X – 1| = 3.
Suluhisho .
Maana ya equation ni kwamba umbali kati ya pointi X na 1 ni sawa na 3 (Mchoro 2). Kwa hivyo, kutoka kwa hatua ya 1 tunahesabu mgawanyiko tatu kwenda kushoto na mgawanyiko tatu kwenda kulia - na tunaona wazi maadili yote mawili. X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
Tunaweza kuhesabu.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
Jibu: X 1 = –2; X 2 = 4.
Mfano 2. Tafuta moduli ya kujieleza:
Suluhisho .
Kwanza, hebu tujue ikiwa usemi huo ni chanya au hasi. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha usemi ili iwe na nambari za homogeneous. Wacha tusitafute mzizi wa 5 - ni ngumu sana. Wacha tuifanye rahisi zaidi: wacha tuinue 3 na 10 hadi mzizi. Kisha linganisha ukubwa wa nambari zinazofanya tofauti:
3 = √9. Kwa hiyo, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Tunaona kwamba nambari ya kwanza ni ndogo kuliko ya pili. Hii inamaanisha kuwa usemi ni hasi, ambayo ni, jibu lake ni chini ya sifuri:
3√5 – 10 < 0.
Lakini kulingana na sheria, moduli ya nambari hasi ni nambari sawa na ishara tofauti. Tuna usemi hasi. Kwa hiyo, ni muhimu kubadili ishara yake kwa moja kinyume. Usemi kinyume cha 3√5 – 10 ni –(3√5 – 10). Wacha tufungue mabano ndani yake na tupate jibu:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Jibu.
Mkuu wa ShMO
walimu wa hisabati _______Kalashnikova Zh.Yu Taasisi ya elimu ya bajeti ya Manispaa
"Shule ya Sekondari No. 89"
Mtihani wa mada katika hisabati kwa darasa la 6
kulingana na kitabu cha maandishi cha I.I. Zubareva na A.G. Mordkovich
Imekusanywa na: walimu wa hisabati:
Kalashnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Maudhui
Mtihani namba 1……………………………………………………………………………….3-6
Mtihani namba 2…………………………………………………………………………………….7-10
Mtihani namba 3……………………………………………………………………………………………………….11-14
Majibu……………………………………………………………………………………………………………..15
Jaribio la 1 "Nambari chanya na hasi"
Chaguo 1
Weka nambari ya sehemu hasi:
-165
38
-7.92
67Eleza tukio "Nambari -5.5 imewekwa kwenye miale ya kuratibu"
Kutegemewa
Haiwezekani
Nasibu
Ni ipi kati ya nambari nne ambayo ni kubwa zaidi?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Ni sehemu gani iko kwenye mstari wa kuratibu upande wa kulia wa nukta O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1.2)
Usiku joto la hewa lilikuwa -5°C. Wakati wa mchana kipimajoto kilikuwa tayari +3 °C. Joto la hewa limebadilikaje?
Imeongezeka kwa 8o
Imepungua kwa 2o
Imeongezeka kwa 2o
Imepungua kwa 8o
Hatua x (-2) imewekwa kwenye mstari wa kuratibu - katikati ya ulinganifu. Onyesha viwianishi vya vidokezo vilivyo kwenye mstari huu kwa ulinganifu kwa uhakika x.
(-1) na (1)
(-1) na (1)
(3) na (-3)
(0) na (-4)
Ambayo pointi kwenye mstari wa kuratibu sio ulinganifu kwa heshima na asili - uhakika O (0).
B(-5) na C(5)
D(0.5) na E(-0.5)
M(-3) na K(13)
A(18) na X(-18)
Jumla ya nambari 0.316+0.4 ni nini?
0,356
0,716
4,316
0,32
Hesabu 25% ya nambari 0.4.
0,1
0,001
10
100
Kuhesabu tofauti ya 9100 na 0.03
0,05
0,6
9,03
350Chaguo la 2
Weka nambari ya sehemu hasi.
8,63
-1045
913-0,2
Eleza tukio "Nambari ya 7 imewekwa kwenye miale ya kuratibu."
Nasibu
Haiwezekani
Kutegemewa
Nambari ipi ni ndogo zaidi?
15,49
154,9
1,549
1549
Ni ipi kati ya alama ziko kwenye mstari wa kuratibu upande wa kushoto wa hatua O (0).
A(-0.5)
SAA 6)
M(0.5)
K(38)
Wakati wa mchana kipimajoto kilionyesha +5°C, na jioni -2°C. Joto la hewa limebadilikaje?
Imeongezeka kwa 3o
Imepungua kwa 7o
Imepungua kwa 3o
Imeongezeka kwa 7o
Katikati ya ulinganifu ni alama kwenye mstari wa kuratibu - uhakika A (-3). Onyesha viwianishi vya vidokezo vilivyo kwenye mstari huu kwa ulinganifu ili kuelekeza A.
(-2) na (2)
(0) na (-5)
(-6) na (1)
(-1) na (-5)
Ambayo pointi za mstari wa kuratibu hazina ulinganifu kwa heshima na asili - uhakika O (0).
A(6) na B(-6)
C(12) na D(-2)
M(-1) na K(1)
X (-9) na Y (9)
Jumla ya nambari 0.237 na 0.3 ni nini?
0,24
3,237
0,537
0,267
Hesabu 20% ya 0.5
10
0,1
0,2
0,01
Kuhesabu tofauti ya 0.07 na 31001250.5
1
425Mtihani nambari 2. Thamani kamili ya nambari. Nambari zinazopingana.
Chaguo 1
Ni ipi kati ya nambari zilizopewa iliyo na moduli ndogo zaidi
-11
1013-4,196
-4,2
Bainisha mlinganyo usio sahihi
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Moduli ya nambari isiyo hasi ni nambari isiyo hasi. Je, kauli hii ni kweli?
Ndiyo
Hapana
Ni ipi kati ya nambari hizi iliyo kinyume na nambari -34?43-43-3434Ni nini thamani ya usemi -(-m) ikiwa m = -15
+15
-15
Kokotoa thamani ya usemi: -2.5∙4--919
-10
1
-1
Tatua mlingano: x=40-40
40
40 au -40
Ni nambari gani kamili ziko kwenye mstari wa kuratibu kati ya nambari 2.75 na 3.9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Je, ukosefu wa usawa -30>-50 ni kweli?
Hapana
Orodhesha nambari zote x ikiwa x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Chaguo la 2
Ni nambari gani iliyo na moduli kubwa zaidi?
-0,6
-50,603
493550,530
Bainisha mlinganyo usio sahihi
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325Je moduli ya nambari hasi inaweza kuwa nambari hasi?
Ndiyo
Hapana
Ni ipi kati ya nambari hizi iliyo kinyume na 124?
-24
24
-124124Ni nini thamani ya usemi –(-k), ikiwa k = -9
-9
+9
Kuhesabu thamani ya usemi: 2.5: -0.5 + 1.250
15
-2,5
2,5
Tatua mlingano x=100100
-100
100 au -100
Ni nambari gani ziko kwenye mstari wa kuratibu kati ya nambari 1 na - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Je, ukosefu wa usawa -25 ni kweli?<-10?
Ndiyo
Hapana
Orodhesha nambari zote x ikiwa x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Mtihani nambari 3. Ulinganisho wa nambari
Chaguo 1
Ni ipi kati ya ukosefu wa usawa ni ya uwongo?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Je, ni kweli kwamba nambari 0 ni kubwa kuliko nambari yoyote hasi?
Ndiyo
Hapana
Nambari A sio hasi. Je, tunawezaje kuandika kauli hii kama ukosefu wa usawa?
a<0a≤0a≥0a>0Onyesha nambari kubwa zaidi kati ya nambari ulizopewa.
0,16
-3018-0,4
0,01
Ni kwa maadili gani asilia ya x ni ukosefu wa usawa x≤44, 3, 2 kweli?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Je, ni kwa maadili gani kamili ya y ni ukosefu wa usawa y kweli?<-2?0
-1
0, -1, 1
Hakuna maadili kama hayo
Hesabu -6; -3.8; -115; 0.8 iko:
Kwa kupungua kwa utaratibu
Katika kuongeza utaratibu
Katika mkanganyiko
Utabiri wa hali ya hewa ulitangazwa kwenye redio: halijoto inatarajiwa kushuka hadi -20 °C. Eleza tukio hili:
Haiwezekani
Kutegemewa
Nasibu
Chaguo la 2
Ni ipi kati ya ukosefu wa usawa ni kweli?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Ni ishara gani lazima iandikwe kati ya sehemu hizi ili kutokuwepo kwa usawa kuwa kweli?
-1315 -715<
>
=
Je, ni kweli kwamba nambari 0 ni chini ya nambari yoyote hasi?
Ndiyo
Hapana
Nambari x si kubwa kuliko sifuri. Je, tunawezaje kuandika kauli hii kama ukosefu wa usawa?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 Je, ukosefu wa usawa a≤3 ni kweli kwa maadili gani ya asili?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Je, ni kwa maadili gani kamili ya m ambayo ukosefu wa usawa ni kweli?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Hakuna maadili kama hayo
Hesabu 1,2; -1.2; -427; -100 iko:
Katika mkanganyiko
Katika kuongeza utaratibu
Kwa kupungua kwa utaratibu
Pointi A(5) imewekwa alama kwenye mstari wa kuratibu. Pointi nyingine B iliwekwa alama bila mpangilio kwenye mstari huu. Uratibu wake uligeuka kuwa nambari tofauti na 5. Eleza tukio hili.
Nasibu
Kutegemewa
Haiwezekani
Majibu
Mtihani nambari 1 wa Mtihani wa 2
Nambari Chaguo 1 Chaguo 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nambari Chaguo 1 Chaguo 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Mtihani nambari 3
Nambari Chaguo 1 Chaguo 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3