Wewe, kama wazazi, katika mchakato wa kuelimisha mtoto wako, zaidi ya mara moja utakutana na hitaji la msaada katika kutatua shida za kazi za nyumbani katika hisabati, algebra na jiometri. Na moja ya ujuzi wa kimsingi ambao unahitaji kujifunza ni jinsi ya kupata maana ya usemi. Watu wengi wamekufa, kwa sababu ni miaka mingapi imepita tangu tuliposoma darasa la 3-5? Mengi tayari yamesahauliwa, na mengine hayajajifunza. Kanuni zenyewe shughuli za hisabati- ni rahisi na unaweza kukumbuka kwa urahisi. Wacha tuanze na misingi ya usemi wa hisabati ni nini.
Ufafanuzi wa Usemi
Usemi wa hisabati ni seti ya nambari, ishara za vitendo (=, +, -, *, /), mabano, na vigeuzo. Kwa kifupi, hii ni fomula ambayo thamani yake itahitaji kupatikana. Fomula kama hizo zinapatikana katika kozi za hisabati tangu shuleni, na kisha huwasumbua wanafunzi ambao wamechagua utaalam unaohusiana na sayansi halisi. Maneno ya Hisabati imegawanywa katika trigonometric, algebraic na kadhalika, hebu tusiingie "mwitu" sana.
- Fanya hesabu zozote kwanza kwenye rasimu, kisha uziandike upya kitabu cha kazi. Kwa njia hii utaepuka kuvuka na uchafu usiohitajika;
- Kokotoa upya jumla ya idadi ya shughuli za hisabati ambazo zitahitajika kufanywa katika usemi. Tafadhali kumbuka kuwa kwa mujibu wa sheria, shughuli katika mabano hufanywa kwanza, kisha mgawanyiko na kuzidisha, na mwisho wa kutoa na kuongeza. Tunapendekeza kuangazia vitendo vyote kwenye penseli na kuweka nambari juu ya vitendo kwa mpangilio ambao zilifanywa. Katika kesi hii, itakuwa rahisi kwako na mtoto wako kuabiri;
- Anza kufanya mahesabu kwa kufuata utaratibu wa vitendo. Acha mtoto, ikiwa hesabu ni rahisi, jaribu kuifanya kichwani mwake, lakini ikiwa ni ngumu, basi weka kwenye penseli nambari inayolingana na nambari ya usemi na ufanye hesabu ndani. kwa maandishi chini ya formula;
- Kwa kawaida, pata thamani usemi rahisi si vigumu ikiwa mahesabu yote yanafanywa kwa mujibu wa sheria na kwa mpangilio sahihi. Watu wengi hukutana na tatizo kwa usahihi katika hatua hii kutafuta maana ya usemi, kwa hivyo kuwa mwangalifu na usifanye makosa;
- Piga marufuku kikokotoo. Msami fomula za hisabati na kazi katika maisha ya mtoto wako haziwezi kuwa na manufaa, lakini hilo si kusudi la kujifunza somo hilo. Jambo kuu ni maendeleo kufikiri kimantiki. Ikiwa unatumia calculators, maana ya kila kitu itapotea;
- Kazi yako kama mzazi si kutatua matatizo kwa mtoto wako, lakini kumsaidia katika hili, kumwongoza. Hebu afanye mahesabu yote mwenyewe, na uhakikishe kwamba hafanyi makosa, kueleza kwa nini anahitaji kufanya hivyo kwa njia hii na si vinginevyo.
- Mara jibu la usemi limepatikana, liandike baada ya ishara "=";
- Fungua ukurasa wa mwisho kitabu cha hisabati. Kwa kawaida, kuna majibu kwa kila zoezi katika kitabu. Hainaumiza kuangalia ikiwa kila kitu kimehesabiwa kwa usahihi.
Kupata maana ya usemi ni, kwa upande mmoja, utaratibu rahisi; jambo kuu ni kukumbuka sheria za kimsingi ambazo tulipitia. kozi ya shule hisabati. Hata hivyo, kwa upande mwingine, unapohitaji kumsaidia mtoto wako kukabiliana na kanuni na kutatua matatizo, suala hilo linakuwa gumu zaidi. Baada ya yote, wewe sasa si mwanafunzi, lakini mwalimu, na elimu ya Einstein ya baadaye iko kwenye mabega yako.
Tunatumahi kuwa nakala yetu ilikusaidia kupata jibu la swali la jinsi ya kupata maana ya usemi, na unaweza kujua formula yoyote kwa urahisi!
Mfumo
Kuongeza, kutoa, kuzidisha, mgawanyiko - shughuli za hesabu (au shughuli za hesabu ) Operesheni hizi za hesabu zinalingana na ishara shughuli za hesabu:
+ (soma" pamoja") - ishara ya operesheni ya kuongeza,
- (soma" kuondoa") - ishara shughuli za kutoa,
∙ (soma" zidisha") - ishara shughuli za kuzidisha,
: (soma" kugawanya") ni ishara ya operesheni ya mgawanyiko.
Rekodi inayojumuisha nambari zilizounganishwa na ishara za hesabu inaitwa usemi wa nambari. Usemi wa nambari unaweza pia kuwa na mabano. Kwa mfano, ingizo 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) ni usemi wa nambari.
Matokeo ya kufanya vitendo kwenye nambari katika usemi wa nambari inaitwa thamani ya usemi wa nambari. Kufanya vitendo hivi kunaitwa kukokotoa thamani ya usemi wa nambari. Kabla ya kuandika thamani ya usemi wa nambari, weka ishara sawa"=". Jedwali la 1 linaonyesha mifano ya maneno ya nambari na maana zake.
Ingizo linalojumuisha nambari na herufi ndogo Alfabeti ya Kilatini, iliyounganishwa na ishara za shughuli za hesabu inaitwa usemi halisi. Ingizo hili linaweza kuwa na mabano. Kwa mfano, rekodi a+b - 3 ∙c ni usemi halisi. Badala ya barua ndani usemi halisi inaweza kubadilishwa nambari tofauti. Katika kesi hii, maana ya barua inaweza kubadilika, hivyo barua katika usemi wa barua pia huitwa vigezo.
Kwa kubadilisha nambari badala ya herufi katika usemi halisi na kuhesabu thamani ya usemi wa nambari unaotokana, wanapata maana ya usemi halisi kwa maadili fulani ya herufi(kwa maadili yaliyopewa ya anuwai). Jedwali la 2 linaonyesha mifano ya maneno ya barua.
Usemi halisi hauwezi kuwa na maana ikiwa, wakati wa kubadilisha maadili ya herufi, usemi wa nambari unapatikana, thamani ambayo kwa nambari za asili haikuweza kupatikana. Usemi huu wa nambari unaitwa si sahihi kwa nambari za asili. Pia inasemekana kuwa maana ya usemi huo ni “ haijafafanuliwa" kwa nambari za asili, na usemi yenyewe "haina maana". Kwa mfano, usemi halisi a-b haijalishi wakati = 10 na b = 17. Hakika, kwa nambari za asili, minuend haiwezi kuwa chini ya subtrahend. Kwa mfano, ikiwa una apples 10 tu (a = 10), huwezi kutoa 17 kati yao (b = 17)!
Jedwali la 2 (safu wima 2) linaonyesha mfano wa usemi halisi. Kwa mfano, jaza meza kabisa.
Kwa nambari za asili usemi ni 10 -17 sio sahihi (haina maana), i.e. tofauti 10 -17 haiwezi kuonyeshwa kama nambari asilia. Mfano mwingine: huwezi kugawanya kwa sifuri, kwa hivyo kwa nambari yoyote ya asili b, mgawo b: 0 isiyofafanuliwa.
Sheria za hisabati, mali, baadhi ya sheria na mahusiano mara nyingi huandikwa kwa fomu halisi (yaani kwa namna ya kujieleza halisi). Katika kesi hizi, usemi halisi huitwa fomula. Kwa mfano, ikiwa pande za heptagon ni sawa a,b,c,d,e,f,g, kisha fomula (maneno halisi) ya kukokotoa mzunguko wake uk ina fomu:
p =a+b+c +d+e+f+g
Na = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, mzunguko wa heptagon p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.
Na = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, mzunguko wa heptagoni nyingine p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.
Kizuizi 1. Msamiati
Tengeneza kamusi ya istilahi na ufafanuzi mpya kutoka kwa aya. Ili kufanya hivyo, andika maneno kutoka kwa orodha ya maneno hapa chini kwenye seli tupu. Katika jedwali (mwisho wa kizuizi), onyesha nambari za maneno kwa mujibu wa nambari za muafaka. Inapendekezwa kwamba upitie tena aya kwa uangalifu kabla ya kujaza seli za kamusi.
- Operesheni: kuongeza, kutoa, kuzidisha, mgawanyiko.
2. Ishara "+" (pamoja), "-" (minus), "∙" (zidisha, " : "(gawanya).
3. Rekodi inayojumuisha nambari ambazo zimeunganishwa na ishara za shughuli za hesabu na ambazo zinaweza pia kuwa na mabano.
4. Matokeo ya kufanya vitendo kwenye nambari katika usemi wa nambari.
5. Ishara inayotangulia thamani ya usemi wa nambari.
6. Rekodi inayojumuisha nambari na herufi ndogo za alfabeti ya Kilatini, iliyounganishwa na ishara za shughuli za hesabu (mabano yanaweza pia kuwepo).
7. Jina la kawaida herufi katika usemi halisi.
8. Thamani ya usemi wa nambari, ambayo hupatikana kwa kubadilisha vigeu katika usemi halisi.
9.Usemi wa nambari ambao thamani yake ya nambari asili haiwezi kupatikana.
10. Usemi wa nambari ambao thamani ya nambari asili inaweza kupatikana.
11. Sheria za hisabati, mali, baadhi ya sheria na mahusiano, yaliyoandikwa kwa fomu ya barua.
12. Alfabeti ambayo herufi ndogo hutumika kuandika maneno ya kialfabeti.
Block 2. Mechi
Linganisha kazi katika safu wima ya kushoto na suluhisho katika kulia. Andika jibu lako katika fomu: 1a, 2d, 3b...
Kizuizi cha 3. Jaribio la uso. Semi za nambari na alfabeti
Vipimo vya usoni huchukua nafasi ya makusanyo ya shida katika hisabati, lakini hutofautiana vyema kutoka kwao kwa kuwa zinaweza kutatuliwa kwenye kompyuta, suluhisho zinaweza kukaguliwa, na matokeo ya kazi yanaweza kupatikana mara moja. Jaribio hili lina matatizo 70. Lakini unaweza kutatua shida kwa chaguo, kwa hili kuna meza ya tathmini, ambayo inaonyesha kazi rahisi na ngumu zaidi. Chini ni mtihani.
- Imepewa pembetatu yenye pande c,d,m, imeonyeshwa kwa cm
- Imepewa pembe nne na pande b,c,d,m, iliyoonyeshwa katika m
- Kasi ya gari katika km / h ni b, wakati wa kusafiri katika masaa ni d
- Umbali aliosafiri mtalii ndani m saa ni Na km
- Umbali uliofunikwa na mtalii, akisonga kwa kasi m km/h ni b km
- Jumla ya nambari mbili ni kubwa kuliko nambari ya pili kwa 15
- Tofauti ni ndogo kuliko ile inayopunguzwa na 7
- Mjengo wa abiria una sitaha mbili zenye idadi sawa ya viti vya abiria. Katika kila safu ya staha m viti, safu kwenye sitaha n zaidi ya viti mfululizo
- Petya ana umri wa miaka m, Masha ana umri wa miaka n, na Katya ni mdogo kwa miaka kuliko Petya na Masha pamoja.
- m = 8, n = 10, k = 5
- m = 6, n = 8, k = 15
- t = 121, x = 1458
- Maana ya usemi huu
- Usemi halisi wa mzunguko ni
- Mzunguko umeonyeshwa kwa sentimita
- Mfumo wa umbali unaosafirishwa na gari
- Mfumo wa kasi v, harakati za watalii
- Mfumo wa muda t, harakati za watalii
- Umbali uliosafirishwa na gari kwa kilomita
- Kasi ya watalii katika kilomita kwa saa
- Wakati wa kusafiri kwa watalii katika masaa
- Nambari ya kwanza ni ...
- Subtrahend ni sawa na...
- Kujieleza kwa idadi kubwa zaidi abiria, ambayo inaweza kusafirisha mjengo kwa k ndege
- Nai kiasi kikubwa abiria, ambayo inaweza kusafirisha mjengo kwa k ndege
- Usemi wa barua kwa umri wa Katya
- Umri wa Katya
- Uratibu wa nukta B, ikiwa uratibu wa nukta C ni t
- Uratibu wa nukta D, ikiwa uratibu wa nukta C ni t
- Uratibu wa nukta A, ikiwa uratibu wa nukta C ni t
- Urefu wa sehemu BD kwenye mstari wa nambari
- Urefu wa sehemu ya CA kwenye mstari wa nambari
- Urefu wa sehemu ya DA kwenye mstari wa nambari
Kiwango cha kwanza
Kubadilisha Semi. Nadharia ya kina (2019)
Kubadilisha Semi
Mara nyingi tunasikia hii neno lisilopendeza: "rahisisha usemi." Kawaida tunaona aina fulani ya monster kama hii:
"Ni rahisi zaidi," tunasema, lakini jibu kama hilo kawaida haifanyi kazi.
Sasa nitakufundisha usiogope chochote kazi zinazofanana. Zaidi ya hayo, mwishoni mwa somo, wewe mwenyewe utarahisisha mfano huu kwa (tu!) nambari ya kawaida (ndio, kuzimu na barua hizi).
Lakini kabla ya kuanza somo hili, unahitaji kuwa na uwezo wa kushughulikia sehemu na sababu polynomia. Kwa hivyo, kwanza, ikiwa haujafanya hivi hapo awali, hakikisha unajua mada "" na "".
Je, umeisoma? Ikiwa ndio, basi uko tayari sasa.
Shughuli za kurahisisha msingi
Sasa hebu tuangalie mbinu za kimsingi zinazotumiwa kurahisisha misemo.
Rahisi zaidi ni
1. Kuleta sawa
Je, zinafanana nini? Ulichukua hii katika daraja la 7, wakati herufi badala ya nambari zilionekana kwa mara ya kwanza kwenye hisabati. Sawa ni maneno (monomials) yenye sehemu ya herufi sawa. Kwa mfano, kwa jumla masharti yanayofanana- hii ni i.
Unakumbuka?
Kuleta njia zinazofanana kuongeza istilahi kadhaa zinazofanana kwa kila mmoja na kupata muhula mmoja.
Tunawezaje kuweka barua pamoja? - unauliza.
Hii ni rahisi sana kuelewa ikiwa unafikiri kwamba barua ni aina fulani ya vitu. Kwa mfano, barua ni mwenyekiti. Kisha usemi ni sawa na nini? Viti viwili pamoja na viti vitatu, vitakuwa vingapi? Hiyo ni kweli, viti:.
Sasa jaribu usemi huu:.
Ili kuepuka kuchanganyikiwa, basi barua tofauti kuwakilisha vitu mbalimbali. Kwa mfano, - ni (kama kawaida) mwenyekiti, na - ni meza. Kisha:
viti meza viti meza viti viti meza
Nambari ambazo herufi katika maneno kama haya huzidishwa huitwa mgawo. Kwa mfano, katika monomial mgawo ni sawa. Na ndani yake ni sawa.
Kwa hivyo, sheria ya kuleta zinazofanana ni:
Mifano:
Nipe zinazofanana:
Majibu:
2. (na sawa, kwa kuwa, kwa hiyo, maneno haya yana sehemu ya barua sawa).
2. Factorization
Hii ni kawaida zaidi sehemu muhimu katika kurahisisha misemo. Baada ya kutoa zinazofanana, mara nyingi usemi unaosababishwa unahitaji kurekebishwa, ambayo ni kuwasilishwa kama bidhaa. Hii ni muhimu sana katika sehemu: ili kuweza kupunguza sehemu, nambari na denominator lazima iwakilishwe kama bidhaa.
Ulipitia njia za kuweka misemo kwa undani katika mada "", kwa hivyo hapa lazima ukumbuke kile ulichojifunza. Kwa kufanya hivyo, amua chache mifano(inahitaji kurekebishwa):
Ufumbuzi:
3. Kupunguza sehemu.
Kweli, ni nini kinachoweza kupendeza zaidi kuliko kuvuka sehemu ya nambari na dhehebu na kuwatupa nje ya maisha yako?
Huo ndio uzuri wa kupunguza.
Ni rahisi:
Ikiwa nambari na denominator zina mambo sawa, zinaweza kupunguzwa, yaani, kuondolewa kutoka kwa sehemu.
Sheria hii inafuata kutoka kwa mali ya msingi ya sehemu:
Hiyo ni, kiini cha operesheni ya kupunguza ni hiyo Tunagawanya nambari na denominator ya sehemu kwa nambari sawa (au kwa usemi sawa).
Ili kupunguza sehemu unahitaji:
1) nambari na denominator kiwanda
2) ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida, zinaweza kuvuka.
Kanuni, nadhani, iko wazi?
Ningependa kuteka mawazo yako kwa jambo moja kosa la kawaida wakati wa kuambukizwa. Ingawa mada hii ni rahisi, watu wengi hufanya kila kitu kibaya, bila kuelewa hilo kupunguza- hii inamaanisha kugawanya nambari na denominator ni nambari sawa.
Hakuna vifupisho ikiwa nambari au denominator ni jumla.
Kwa mfano: tunahitaji kurahisisha.
Watu wengine hufanya hivi: ambayo ni makosa kabisa.
Mfano mwingine: kupunguza.
"Mwenye akili zaidi" atafanya hivi: .
Niambie kuna nini hapa? Inaweza kuonekana: - hii ni multiplier, ambayo ina maana inaweza kupunguzwa.
Lakini hapana: - hii ni sababu ya neno moja tu katika nambari, lakini nambari yenyewe kwa ujumla haijajumuishwa.
Hapa kuna mfano mwingine:.
Usemi huu umebadilishwa, ambayo inamaanisha unaweza kuipunguza, ambayo ni, kugawanya nambari na dhehebu na, na kisha kwa:
Unaweza kuigawanya mara moja kuwa:
Ili kuepuka makosa hayo, kumbuka njia rahisi jinsi ya kuamua ikiwa usemi umebadilishwa:
Operesheni ya hesabu ambayo inafanywa mwisho wakati wa kuhesabu thamani ya usemi ni operesheni ya "bwana". Hiyo ni, ikiwa utabadilisha nambari (zozote) badala ya herufi na kujaribu kuhesabu thamani ya usemi, basi ikiwa hatua ya mwisho kutakuwa na kuzidisha, ambayo ina maana tuna bidhaa (usemi ni factorized). Ikiwa kitendo cha mwisho ni kuongeza au kutoa, hii inamaanisha kuwa usemi haujafanywa (na kwa hivyo hauwezi kupunguzwa).
Ili kuunganisha, suluhisha chache mwenyewe mifano:
Majibu:
1. Natumaini hukukimbilia mara moja kukata na? Bado haikutosha "kupunguza" vitengo kama hivi:
Hatua ya kwanza inapaswa kuwa factorization:
4. Kuongeza na kupunguza sehemu. Kupunguza sehemu kwa denominator ya kawaida.
Kuongeza na kutoa sehemu za kawaida- operesheni inajulikana sana: tunatafuta dhehebu la kawaida, kuzidisha kila sehemu kwa sababu inayokosekana na kuongeza / kuondoa nambari. Hebu tukumbuke:
Majibu:
1. Madhehebu na ni kiasi kikubwa, yaani, hawana mambo ya kawaida. Kwa hiyo, LCM ya nambari hizi ni sawa na bidhaa zao. Hii itakuwa dhehebu la kawaida:
2. Hapa kiashiria cha kawaida ni:
3. Jambo la kwanza hapa sehemu zilizochanganywa tunazibadilisha kuwa zisizo sahihi, na kisha kufuata muundo wa kawaida:
Ni jambo tofauti kabisa ikiwa sehemu zina herufi, kwa mfano:
Wacha tuanze na kitu rahisi:
a) Madhehebu hayana herufi
Hapa kila kitu ni sawa na sehemu za kawaida za nambari: tunapata dhehebu la kawaida, zidisha kila sehemu kwa sababu inayokosekana na ongeza / toa nambari:
Sasa kwenye nambari unaweza kutoa zinazofanana, ikiwa zipo, na kuzizingatia:
Jaribu mwenyewe:
b) Madhehebu huwa na herufi
Wacha tukumbuke kanuni ya kupata dhehebu la kawaida bila herufi:
· kwanza kabisa, tunaamua mambo ya kawaida;
· kisha tunaandika mambo yote ya kawaida moja baada ya nyingine;
· na kuzizidisha kwa vipengele vingine vyote visivyo vya kawaida.
Kuamua sababu za kawaida za madhehebu, kwanza tunaziweka kwa sababu kuu:
Hebu tusisitize mambo ya kawaida:
Sasa hebu tuandike sababu za kawaida moja baada ya nyingine na tuziongezee mambo yote yasiyo ya kawaida (hayajapigiwa mstari):
Hili ndilo dhehebu la kawaida.
Hebu turudi kwenye barua. Madhehebu yanatolewa kwa njia sawa kabisa:
· kipengele cha madhehebu;
· kuamua mambo ya kawaida (yanayofanana);
· Andika mambo yote ya kawaida mara moja;
· kuzizidisha kwa vipengele vingine vyote visivyo vya kawaida.
Kwa hivyo, kwa utaratibu:
1) sababu ya madhehebu:
2) kuamua mambo ya kawaida (yanayofanana):
3) andika sababu zote za kawaida mara moja na uzizidishe kwa sababu zingine zote (zisizopigwa mstari):
Kwa hivyo kuna dhehebu la kawaida hapa. Sehemu ya kwanza lazima iongezwe na, ya pili - na:
Kwa njia, kuna hila moja:
Kwa mfano: .
Tunaona mambo sawa katika madhehebu, yote tu na viashiria tofauti. Denominator ya kawaida itakuwa:
kwa kiwango
kwa kiwango
kwa kiwango
kwa kiwango.
Wacha tufanye kazi ngumu:
Jinsi ya kufanya sehemu kuwa na denominator sawa?
Hebu tukumbuke mali ya msingi ya sehemu:
Hakuna mahali inaposema kwamba nambari sawa inaweza kutolewa (au kuongezwa) kutoka kwa nambari na denominator ya sehemu. Kwa sababu sio kweli!
Jionee mwenyewe: chukua sehemu yoyote, kwa mfano, na uongeze nambari fulani kwa nambari na denominator, kwa mfano, . Umejifunza nini?
Kwa hivyo, sheria nyingine isiyoweza kubadilika:
Unapopunguza sehemu hadi dhehebu la kawaida, tumia operesheni ya kuzidisha tu!
Lakini unahitaji kuzidisha nini ili kupata?
Kwa hivyo zidisha kwa. Na zidisha kwa:
Tutaita misemo ambayo haiwezi kuzingatiwa "sababu za kimsingi." Kwa mfano, - hii ni sababu ya msingi. - Sawa. Lakini hapana: inaweza kuwa factorized.
Vipi kuhusu usemi huo? Je, ni ya msingi?
Hapana, kwa sababu inaweza kuzingatiwa:
(tayari umesoma kuhusu factorization katika mada "").
Kwa hivyo, sababu za kimsingi ambazo unapanua usemi na herufi ni analog sababu kuu, ambamo unatenganisha nambari. Na tutashughulika nao kwa njia sawa.
Tunaona kwamba madhehebu yote mawili yana kizidishi. Itaenda kwa dhehebu la kawaida hadi digrii (kumbuka kwanini?).
Sababu ni ya msingi, na hawana sababu ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa sehemu ya kwanza italazimika kuzidishwa nayo:
Mfano mwingine:
Suluhisho:
Kabla ya kuzidisha madhehebu haya kwa hofu, unahitaji kufikiria jinsi ya kuwahesabu? Wote wawili wanawakilisha:
Kubwa! Kisha:
Mfano mwingine:
Suluhisho:
Kama kawaida, wacha tubadilishe madhehebu. Katika dhehebu la kwanza tunaiweka tu nje ya mabano; katika pili - tofauti ya mraba:
Inaweza kuonekana kuwa hakuna sababu za kawaida. Lakini ukiangalia kwa makini, zinafanana... Na ni kweli:
Kwa hivyo tuandike:
Hiyo ni, ikawa kama hii: ndani ya mabano tulibadilisha maneno, na wakati huo huo ishara mbele ya sehemu ilibadilika kuwa kinyume. Kumbuka, itabidi ufanye hivi mara nyingi.
Sasa wacha tuilete kwa dhehebu la kawaida:
Nimeelewa? Hebu tuangalie sasa.
Kazi za suluhisho la kujitegemea:
Majibu:
Hapa tunahitaji kukumbuka jambo moja zaidi - tofauti ya cubes:
Tafadhali kumbuka kuwa denominator ya sehemu ya pili haina formula "mraba wa jumla"! Mraba wa jumla ungeonekana kama hii: .
A ni kinachojulikana mraba usio kamili wa jumla: muda wa pili ndani yake ni bidhaa ya kwanza na ya mwisho, na sio bidhaa zao mbili. Mraba wa sehemu ya jumla ni moja wapo ya sababu za upanuzi wa tofauti za cubes:
Nini cha kufanya ikiwa tayari kuna sehemu tatu?
Ndiyo, kitu kimoja! Kwanza kabisa, hebu tuhakikishe kwamba kiasi cha juu mambo katika madhehebu yalikuwa sawa:
Tafadhali kumbuka: ukibadilisha ishara ndani ya bracket moja, ishara mbele ya sehemu inabadilika kuwa kinyume. Tunapobadilisha ishara kwenye bracket ya pili, ishara mbele ya sehemu inabadilika tena kinyume chake. Matokeo yake, ni (ishara mbele ya sehemu) haijabadilika.
Tunaandika dhehebu lote la kwanza kwenye dhehebu la kawaida, na kisha kuongeza mambo yote ambayo bado hayajaandikwa, kutoka kwa pili, na kisha kutoka kwa tatu (na kadhalika, ikiwa kuna sehemu zaidi). Hiyo ni, inageuka kama hii:
Hmm... Ni wazi nini cha kufanya na sehemu. Lakini vipi kuhusu hao wawili?
Ni rahisi: unajua jinsi ya kuongeza sehemu, sawa? Kwa hivyo, tunahitaji kufanya mbili kuwa sehemu! Hebu tukumbuke: sehemu ni operesheni ya mgawanyiko (nambari imegawanywa na denominator, ikiwa umesahau). Na hakuna kitu rahisi kuliko kugawanya nambari. Katika kesi hii, nambari yenyewe haitabadilika, lakini itageuka kuwa sehemu:
Ni nini hasa kinachohitajika!
5. Kuzidisha na mgawanyiko wa sehemu.
Kweli, sehemu ngumu zaidi imekwisha sasa. Na mbele yetu ni rahisi zaidi, lakini wakati huo huo muhimu zaidi:
Utaratibu
Je! ni utaratibu gani wa kuhesabu usemi wa nambari? Kumbuka kwa kuhesabu maana ya usemi huu:
Je, ulihesabu?
Inapaswa kufanya kazi.
Kwa hiyo, ngoja nikukumbushe.
Hatua ya kwanza ni kuhesabu digrii.
Ya pili ni kuzidisha na kugawanya. Ikiwa kuna kuzidisha na mgawanyiko kadhaa kwa wakati mmoja, zinaweza kufanywa kwa utaratibu wowote.
Na hatimaye, tunafanya kuongeza na kutoa. Tena, kwa utaratibu wowote.
Lakini: usemi katika mabano unatathminiwa bila kubadilika!
Ikiwa mabano kadhaa yanazidishwa au kugawanywa kwa kila mmoja, sisi kwanza tunahesabu kujieleza katika kila mabano, na kisha kuzidisha au kugawanya.
Je, ikiwa kuna mabano zaidi ndani ya mabano? Kweli, wacha tufikirie: usemi fulani umeandikwa ndani ya mabano. Wakati wa kuhesabu usemi, unapaswa kufanya nini kwanza? Hiyo ni kweli, hesabu mabano. Kweli, tulifikiria: kwanza tunahesabu mabano ya ndani, kisha kila kitu kingine.
Kwa hivyo, utaratibu wa usemi hapo juu ni kama ifuatavyo (hatua ya sasa imeangaziwa kwa nyekundu, ambayo ni, hatua ambayo ninafanya hivi sasa):
Sawa, yote ni rahisi.
Lakini hii sio sawa na usemi na herufi?
Hapana, ni sawa! Badala ya shughuli za hesabu tu, unahitaji kufanya zile za algebra, ambayo ni, vitendo vilivyoelezewa katika sehemu iliyopita: kuleta sawa, kuongeza sehemu, kupunguza sehemu, na kadhalika. Tofauti pekee itakuwa hatua ya uundaji wa polynomials (mara nyingi tunatumia hii wakati wa kufanya kazi na sehemu). Mara nyingi, ili kutengeneza, unahitaji kutumia mimi au kuchukua tu kizidishi cha kawaida nje ya mabano.
Kawaida lengo letu ni kuwakilisha usemi kama bidhaa au mgawo.
Kwa mfano:
Hebu kurahisisha usemi.
1) Kwanza, tunarahisisha usemi kwenye mabano. Hapo tuna tofauti ya sehemu, na lengo letu ni kuiwasilisha kama bidhaa au mgawo. Kwa hivyo, tunaleta sehemu kwa dhehebu la kawaida na kuongeza:
Haiwezekani kurahisisha usemi huu zaidi; mambo yote hapa ni ya msingi (bado unakumbuka hii inamaanisha nini?).
2) Tunapata:
Kuzidisha sehemu: nini kinaweza kuwa rahisi zaidi.
3) Sasa unaweza kufupisha:
Sawa yote yamekwisha Sasa. Hakuna ngumu, sawa?
Mfano mwingine:
Rahisisha usemi.
Kwanza, jaribu kutatua mwenyewe, na kisha tu uangalie suluhisho.
Kwanza kabisa, hebu tuamue utaratibu wa vitendo. Kwanza, wacha tuongeze sehemu kwenye mabano, kwa hivyo badala ya sehemu mbili tunapata moja. Kisha tutafanya mgawanyiko wa sehemu. Kweli, wacha tuongeze matokeo na sehemu ya mwisho. Nitahesabu hatua kwa utaratibu:
Sasa nitakuonyesha mchakato, nikipaka kitendo cha sasa kwa rangi nyekundu:
Mwishowe, nitakupa vidokezo viwili muhimu:
1. Ikiwa kuna zinazofanana, lazima ziletwe mara moja. Katika hatua yoyote kama hiyo itatokea katika nchi yetu, inashauriwa kuwaleta mara moja.
2. Vile vile hutumika kwa kupunguza sehemu: mara tu fursa ya kupunguza inaonekana, ni lazima ichukuliwe. Isipokuwa ni kwa visehemu unavyoongeza au kupunguza: ikiwa sasa wanazo madhehebu sawa, basi kupunguzwa kunapaswa kushoto kwa baadaye.
Hapa kuna baadhi ya kazi za kutatua peke yako:
Na kile kilichoahidiwa mwanzoni kabisa:
Suluhisho (kifupi):
Ikiwa umeshughulikia angalau mifano mitatu ya kwanza, basi umeijua mada.
Sasa juu ya kujifunza!
KUGEUZA MANENO. MUHTASARI NA FOMU ZA MSINGI
Shughuli za kurahisisha msingi:
- Kuleta sawa: kuongeza (kupunguza) maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuwapa sehemu ya barua.
- Factorization: kuweka sababu ya kawaida nje ya mabano, kuitumia, nk.
- Kupunguza sehemu: Nambari na denominator ya sehemu inaweza kuzidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, ambayo haibadilishi thamani ya sehemu.
1) nambari na denominator kiwanda
2) ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida, zinaweza kuvuka.MUHIMU: tu kuzidisha kunaweza kupunguzwa!
- Kuongeza na kupunguza sehemu:
; - Kuzidisha na kugawanya sehemu:
;
Sasa kwa kuwa tumejifunza jinsi ya kuongeza na kuzidisha sehemu za kibinafsi, tunaweza kuangalia zaidi miundo tata. Kwa mfano, namna gani ikiwa tatizo lilelile linahusisha kuongeza, kupunguza, na kuzidisha visehemu?
Kwanza kabisa, unahitaji kubadilisha sehemu zote kuwa zisizofaa. Kisha tunafanya vitendo vinavyohitajika sequentially - kwa utaratibu sawa na kwa nambari za kawaida. Yaani:
- Ufafanuzi unafanywa kwanza - ondoa misemo yote iliyo na vielelezo;
- Kisha - mgawanyiko na kuzidisha;
- Hatua ya mwisho ni kuongeza na kutoa.
Kwa kweli, ikiwa kuna mabano katika usemi, mpangilio wa operesheni hubadilika - kila kitu kilicho ndani ya mabano lazima kihesabiwe kwanza. Na kumbuka kuhusu sehemu zisizofaa: unahitaji kuonyesha sehemu nzima tu wakati vitendo vingine vyote tayari vimekamilika.
Wacha tubadilishe sehemu zote kutoka kwa usemi wa kwanza hadi zisizofaa, na kisha tufanye hatua zifuatazo:
Sasa hebu tupate thamani ya usemi wa pili. Hapa sehemu na sehemu nzima hapana, lakini kuna mabano, kwa hiyo tunafanya kuongeza kwanza, na kisha tu mgawanyiko. Kumbuka kuwa 14 = 7 · 2. Kisha:
Hatimaye, fikiria mfano wa tatu. Kuna mabano na digrii hapa - ni bora kuzihesabu kando. Kwa kuzingatia kwamba 9 = 3 3, tunayo:
Makini na mfano wa mwisho. Ili kuongeza sehemu kwa nguvu, lazima uinue nambari kwa nguvu hii kando, na kando, dhehebu.
Unaweza kuamua tofauti. Ikiwa tunakumbuka ufafanuzi wa shahada, tatizo linapungua kuzidisha kawaida sehemu:
Sehemu za hadithi nyingi
Kufikia sasa tumezingatia sehemu "safi" tu, wakati nambari na denominator ni nambari za kawaida. Hii inalingana kabisa na ufafanuzi wa sehemu ya nambari iliyotolewa katika somo la kwanza kabisa.
Lakini vipi ikiwa nambari au denominator ina zaidi ya kitu changamano? Kwa mfano, mwingine sehemu ya nambari? Miundo kama hiyo huibuka mara nyingi, haswa wakati wa kufanya kazi na maneno marefu. Hapa kuna mifano michache:
Kuna sheria moja tu ya kufanya kazi na sehemu za viwango vingi: lazima uondoe mara moja. Kuondoa sakafu "za ziada" ni rahisi sana, ikiwa unakumbuka kuwa kufyeka kunamaanisha operesheni ya kawaida ya mgawanyiko. Kwa hivyo, sehemu yoyote inaweza kuandikwa tena kwa njia ifuatayo:
Kwa kutumia ukweli huu na kufuata utaratibu, tunaweza kupunguza kwa urahisi sehemu yoyote ya hadithi nyingi hadi ya kawaida. Angalia mifano:
Kazi. Badilisha sehemu za hadithi nyingi kuwa za kawaida:
Katika kila kesi, tunaandika tena sehemu kuu, tukibadilisha mstari wa kugawanya na ishara ya mgawanyiko. Pia kumbuka kwamba nambari yoyote kamili inaweza kuwakilishwa kama sehemu na denominator ya 1. Hiyo ni 12 = 12/1; 3 = 3/1. Tunapata:
KATIKA mfano wa mwisho sehemu zilighairiwa kabla ya kuzidisha mwisho.
Maalum ya kufanya kazi na sehemu za ngazi nyingi
Kuna ujanja mmoja katika sehemu za viwango vingi ambazo lazima zikumbukwe kila wakati, vinginevyo unaweza kupata jibu lisilofaa, hata kama mahesabu yote yalikuwa sahihi. Angalia:
- Nambari ina nambari moja 7, na denominator ina sehemu 12/5;
- Nambari ina sehemu 7/12, na denominator ina nambari tofauti 5.
Kwa hivyo, kwa kiingilio kimoja tulipata mbili kabisa tafsiri tofauti. Ukihesabu, majibu pia yatakuwa tofauti:
Ili kuhakikisha kwamba rekodi inasomwa daima bila utata, tumia sheria rahisi: mstari wa kugawanya wa sehemu kuu lazima iwe ndefu zaidi kuliko mstari wa sehemu ya kiota. Ikiwezekana mara kadhaa.
Ukifuata sheria hii, basi sehemu zilizo hapo juu zinapaswa kuandikwa kama ifuatavyo:
Ndiyo, pengine haionekani na inachukua nafasi nyingi sana. Lakini utahesabu kwa usahihi. Hatimaye, mifano michache ambapo sehemu za hadithi nyingi hutokea:
Kazi. Tafuta maana za misemo:
Kwa hivyo, wacha tufanye kazi na mfano wa kwanza. Wacha tubadilishe sehemu zote kuwa zisizofaa, na kisha tufanye shughuli za kuongeza na mgawanyiko:
Hebu tufanye vivyo hivyo na mfano wa pili. Wacha tubadilishe sehemu zote kuwa zisizofaa na tufanye shughuli zinazohitajika. Ili kutomchosha msomaji, nitaacha mahesabu kadhaa dhahiri. Tuna:
Kwa sababu ya ukweli kwamba nambari na denominator ya sehemu za msingi zina hesabu, sheria ya kuandika sehemu za hadithi nyingi huzingatiwa moja kwa moja. Pia, katika mfano wa mwisho, kwa makusudi tuliacha 46/1 katika umbo la sehemu ili kufanya mgawanyiko.
Pia nitagundua kuwa katika mifano yote miwili upau wa sehemu unachukua nafasi ya mabano: kwanza kabisa, tulipata jumla, na kisha tu mgawo.
Wengine wanaweza kusema kwamba mpito kwa sehemu zisizofaa katika mfano wa pili ilikuwa wazi redundant. Labda hii ni kweli. Lakini kwa kufanya hivyo tunajihakikishia dhidi ya makosa, kwa sababu wakati ujao mfano unaweza kugeuka kuwa ngumu zaidi. Chagua mwenyewe ni nini muhimu zaidi: kasi au kuegemea.
(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Amua mwendo wa hatua. Tekeleza kitendo cha kwanza katika mabano ya ndani 489–296=193. Kisha, zidisha 193∙8=1544 na 34∙10=340. Hatua inayofuata: 340+1544=1884. Kisha, gawanya 1884:4=461 na kisha utoe 461–410=60. Umepata maana ya usemi huu.
Mfano. Pata thamani ya usemi 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Rahisisha usemi huu. Ili kufanya hivyo, tumia fomula tg α∙ctg α=1. Pata: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Inajulikana kuwa sin 30º=1/2 na cos 30º=√3/2. Kwa hivyo, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Umepata maana ya usemi huu.
Thamani ya usemi wa aljebra kutoka . Ili kupata thamani ya usemi wa aljebra kutokana na viambatisho, rahisisha usemi huo. Badala ya vigeu maadili fulani. Kamilisha hatua zinazohitajika. Kama matokeo, utapokea nambari, ambayo itakuwa thamani ya usemi wa algebra kwa vigeu vilivyopewa.
Mfano. Tafuta thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye a=21 na y=10. Rahisisha usemi huu na upate: a–2y. Badilisha thamani zinazolingana za vigeu na ukokotoe: a–2y=21–2∙10=1. Hii ndiyo thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye =21 na y=10.
Kumbuka
Zipo maneno ya algebra, ambayo haina maana kwa baadhi ya maadili ya vigezo. Kwa mfano, usemi x/(7–a) hauna maana ikiwa a=7, kwa sababu katika kesi hii, denominator ya sehemu inakuwa sifuri.
Vyanzo:
- tafuta thamani ndogo maneno
- Tafuta maana za misemo ya c 14
Kujifunza kurahisisha misemo katika hisabati ni muhimu tu ili kutatua shida kwa usahihi na haraka, milinganyo mbalimbali. Kurahisisha usemi kunahusisha kupunguza idadi ya hatua, ambayo hurahisisha mahesabu na kuokoa muda.
Maagizo
Jifunze kuhesabu nguvu za c. Wakati wa kuzidisha nguvu c, nambari hupatikana ambayo msingi wake ni sawa, na vielelezo vinaongezwa b^m+b^n=b^(m+n). Wakati wa kugawanya digrii na kwa misingi hiyo hiyo wanapata nguvu ya nambari, ambayo msingi wake unabaki sawa, na vielelezo vinatolewa, na kielelezo cha mgawanyiko b^m kinatolewa kutoka kwa kielelezo cha mgawanyiko: b^n=b^(m-n). Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, nguvu ya nambari hupatikana, ambayo msingi wake unabaki sawa, na vielelezo vinazidishwa (b^m)^n=b^(mn) Wakati wa kuinua kwa nguvu, kila kipengele. inainuliwa kwa uwezo huu.(abc)^m=a^m *b^m*c^m
Factor polynomials, i.e. kufikiria yao kama bidhaa ya sababu kadhaa - na monomials. Ondoa kipengele cha kawaida kwenye mabano. Jifunze kanuni za kimsingi za kuzidisha kwa kifupi: tofauti ya miraba, tofauti ya mraba, jumla, tofauti ya cubes, mchemraba wa jumla na tofauti. Kwa mfano, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Fomula hizi ndizo kuu katika kurahisisha. Tumia mbinu ya uteuzi mraba kamili katika utatu wa umbo ax^2+bx+c.
Futa sehemu mara nyingi iwezekanavyo. Kwa mfano, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Lakini kumbuka kwamba unaweza tu kupunguza multipliers. Ikiwa nambari na denominator sehemu ya algebra ikizidishwa na nambari sawa isipokuwa sifuri, thamani ya sehemu haitabadilika. Unaweza kubadilisha misemo kwa njia mbili: minyororo na kwa vitendo. Njia ya pili ni bora, kwa sababu ni rahisi kuangalia matokeo ya vitendo vya kati.
Mara nyingi ni muhimu kutoa mizizi katika maneno. Hata mizizi hutolewa tu kutoka kwa maneno au nambari zisizo hasi. Mizizi isiyo ya kawaida inaweza kutolewa kutoka kwa usemi wowote.
Vyanzo:
- kurahisisha usemi kwa kutumia nguvu
Vitendaji vya Trigonometric kwanza viliibuka kama zana dhahania. mahesabu ya hisabati utegemezi wa wingi pembe kali V pembetatu ya kulia kutoka kwa urefu wa pande zake. Sasa zinatumika sana katika nyanja za kisayansi na kiufundi. shughuli za binadamu. Kwa mahesabu ya vitendo kazi za trigonometric Kulingana na hoja zilizopewa, unaweza kutumia zana tofauti - kadhaa ya zile zinazoweza kupatikana zimeelezewa hapa chini.
Maagizo
Tumia, kwa mfano, ile iliyowekwa na chaguo-msingi mfumo wa uendeshaji programu ya calculator. Inafungua kwa kuchagua kipengee cha "Calculator" kwenye folda ya "Utilities" kutoka kwa kifungu cha "Standard", kilichowekwa kwenye sehemu ya "Programu zote". Sehemu hii inaweza kufunguliwa kwa kubofya kitufe cha "Anza" kwenye orodha kuu ya uendeshaji. Ikiwa unatumia Toleo la Windows 7, basi unaweza tu kuingiza "Calculator" kwenye uwanja wa "Pata programu na faili" kwenye menyu kuu, kisha ubofye kiungo kinacholingana kwenye matokeo ya utaftaji.
Hesabu wingi vitendo muhimu na fikiria juu ya utaratibu ambao wanapaswa kufanywa. Ikiwa unaona ni vigumu swali hili, tafadhali kumbuka kuwa shughuli zilizofungwa kwenye mabano zinafanywa kwanza, kisha kugawanya na kuzidisha; na kutoa hufanywa ndani mapumziko ya mwisho. Ili iwe rahisi kukumbuka algorithm ya vitendo vilivyofanywa, katika usemi ulio juu ya kila ishara ya waendeshaji wa hatua (+,-,*,:), na penseli nyembamba, andika nambari zinazolingana na utekelezaji wa vitendo.
Endelea na hatua ya kwanza, kufuata utaratibu uliowekwa. Hesabu katika kichwa chako ikiwa vitendo ni rahisi kutekeleza kwa maneno. Ikiwa mahesabu yanahitajika (katika safu), yaandike chini ya usemi, ukionyesha nambari ya serial Vitendo.
Fuatilia kwa uwazi mlolongo wa vitendo vilivyofanywa, tathmini kile kinachohitaji kupunguzwa kutoka kwa nini, kugawanywa katika nini, nk. Mara nyingi jibu katika usemi sio sahihi kwa sababu ya makosa yaliyofanywa katika hatua hii.
Kipengele tofauti kujieleza ni uwepo wa shughuli za hisabati. Inaonyeshwa na ishara fulani (kuzidisha, mgawanyiko, kutoa au kuongeza). Mlolongo wa kufanya shughuli za hisabati hurekebishwa na mabano ikiwa ni lazima. Kufanya shughuli za hisabati inamaanisha kupata .
Nini si kujieleza
Sio kila nukuu ya hisabati inaweza kuainishwa kama usemi.
Usawa sio maneno. Ikiwa shughuli za hisabati zipo katika usawa au la haijalishi. Kwa mfano, a=5 ni usawa, si usemi, lakini 8+6*2=20 pia haiwezi kuchukuliwa kuwa usemi, ingawa ina kuzidisha. Mfano huu pia ni wa kategoria ya usawa.
Dhana za usemi na usawa hazitengani; ya kwanza imejumuishwa katika mwisho. Ishara sawa inaunganisha misemo miwili:
5+7=24:2
Mlinganyo huu unaweza kurahisishwa:
5+7=12
Usemi daima huchukulia kuwa shughuli za hisabati inayowakilisha zinaweza kufanywa. 9+:-7 sio usemi, ingawa kuna ishara za shughuli za hisabati hapa, kwa sababu haiwezekani kufanya vitendo hivi.
Pia kuna zile za hisabati ambazo ni misemo rasmi, lakini hazina maana. Mfano wa usemi kama huu:
46:(5-2-3)
Nambari ya 46 lazima igawanywe na matokeo ya vitendo katika mabano, na hivyo sawa na sifuri. Huwezi kugawanya kwa sifuri; hatua inachukuliwa kuwa marufuku.
Semi za nambari na algebra
Kuna aina mbili za maneno ya hisabati.
Ikiwa usemi una nambari na alama tu za shughuli za hisabati, usemi kama huo huitwa nambari. Ikiwa katika usemi, pamoja na nambari, kuna vigezo vinavyoonyeshwa na barua, au hakuna nambari kabisa, usemi huo unajumuisha tu vigezo na alama za shughuli za hisabati, inaitwa algebraic.
Tofauti ya kimsingi kati ya thamani ya nambari na thamani ya aljebra ni kwamba usemi wa nambari una thamani moja tu. Kwa mfano, thamani ya usemi wa nambari 56–2*3 daima itakuwa sawa na 50; hakuna kinachoweza kubadilishwa. Usemi wa aljebra unaweza kuwa na thamani nyingi, kwa sababu nambari yoyote inaweza kubadilishwa. Kwa hivyo, ikiwa katika usemi b-7 tunabadilisha 9 kwa b, thamani ya usemi itakuwa 2, na ikiwa 200, itakuwa 193.
Vyanzo:
- Semi za nambari na algebra