Leo tutajifunza jinsi ya kutatua equations rahisi zaidi za logarithmic, ambapo hakuna mabadiliko ya awali au uteuzi wa mizizi unahitajika. Lakini ukijifunza kutatua equations vile, basi itakuwa rahisi zaidi.
Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni mlinganyo wa logi ya fomu f (x) = b, ambapo a, b ni nambari (a > 0, a ≠ 1), f (x) ni chaguo fulani cha kukokotoa.
Kipengele tofauti cha milinganyo yote ya logarithmic ni kuwepo kwa mabadiliko ya x chini ya ishara ya logarithmu. Ikiwa hii ndio equation iliyopewa hapo awali kwenye shida, inaitwa rahisi zaidi. Milinganyo nyingine yoyote ya logarithmic inapunguzwa hadi rahisi zaidi kwa mabadiliko maalum (ona "Sifa za kimsingi za logarithms"). Walakini, hila nyingi lazima zizingatiwe: mizizi ya ziada inaweza kutokea, kwa hivyo hesabu ngumu za logarithmic zitazingatiwa kando.
Jinsi ya kutatua equations kama hizo? Inatosha kuchukua nafasi ya nambari ya kulia ya ishara sawa na logarithm katika msingi sawa na wa kushoto. Kisha unaweza kuondokana na ishara ya logarithm. Tunapata:
logi a f (x) = b ⇒ logi a f (x) = gogo a a b ⇒ f (x) = a b
Tulipata equation ya kawaida. Mizizi yake ni mizizi ya equation ya awali.
Kuchukua digrii
Mara nyingi milinganyo ya logarithmic, ambayo kwa nje inaonekana ngumu na ya kutisha, hutatuliwa kihalisi katika mistari michache bila kuhusisha. fomula tata. Leo tutaangalia shida kama hizo, ambapo kinachohitajika kwako ni kupunguza kwa uangalifu fomula kwa fomu ya kisheria na sio kuchanganyikiwa wakati wa kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa logarithms.
Leo, kama ulivyokisia kutoka kwa mada, tutasuluhisha milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomula za mpito hadi fomu ya kisheria. "Ujanja" kuu wa somo hili la video utafanya kazi na digrii, au tuseme, kutoa digrii kutoka kwa msingi na hoja. Wacha tuangalie sheria:
Vivyo hivyo, unaweza kupata digrii kutoka kwa msingi:
Kama tunavyoona, ikiwa tunapoondoa digrii kutoka kwa hoja ya logarithm tunakuwa na sababu ya ziada mbele, basi tunapoondoa digrii kutoka kwa msingi hatupati tu sababu, lakini sababu iliyogeuzwa. Hili linahitaji kukumbukwa.
Hatimaye, jambo la kuvutia zaidi. Njia hizi zinaweza kuunganishwa, kisha tunapata:
Bila shaka, wakati wa kufanya mabadiliko haya, kuna vikwazo fulani vinavyohusishwa na upanuzi unaowezekana wa upeo wa ufafanuzi au, kinyume chake, kupungua kwa upeo wa ufafanuzi. Jihukumu mwenyewe:
logi 3 x 2 = 2 ∙ logi 3 x
Ikiwa katika kesi ya kwanza x inaweza kuwa nambari yoyote zaidi ya 0, i.e. hitaji x ≠ 0, basi katika kesi ya pili tunaridhika na x tu, ambayo sio tu sio sawa, lakini kubwa zaidi kuliko 0, kwa sababu kikoa cha ufafanuzi wa logarithm ni kwamba hoja iwe kubwa kuliko 0. Kwa hivyo, wacha nikukumbushe formula ya ajabu kutoka kozi ya algebra ya daraja la 8-9:
Hiyo ni, lazima tuandike fomula yetu kama ifuatavyo:
gogo 3 x 2 = 2 ∙ gogo 3 |x |
Kisha hakuna upungufu wa upeo wa ufafanuzi utatokea.
Hata hivyo, katika mafunzo ya video ya leo hakutakuwa na mraba. Ukiangalia kazi zetu, utaona mizizi tu. Kwa hiyo, hatutatumia sheria hii, lakini bado ni muhimu kuiweka katika akili ili wakati sahihi unapoona kazi ya quadratic katika hoja au msingi wa logarithm, utakumbuka sheria hii na kufanya mabadiliko yote kwa usahihi.
Kwa hivyo equation ya kwanza ni:
Ili kutatua tatizo hili, ninapendekeza kuangalia kwa makini kila masharti yaliyopo kwenye fomula.
Wacha tuandike tena muhula wa kwanza kama nguvu na kiashiria cha busara:
Tunaangalia muhula wa pili: logi 3 (1 - x). Hakuna haja ya kufanya chochote hapa, kila kitu tayari kimebadilishwa hapa.
Hatimaye, 0, 5. Kama nilivyosema katika masomo yaliyotangulia, wakati wa kutatua milinganyo na fomula za logarithmic, ninapendekeza sana kuhama kutoka kwa sehemu za desimali hadi za kawaida. Hebu tufanye hivi:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hebu tuandike upya fomula yetu ya asili kwa kuzingatia masharti yanayotokana:
logi 3 (1 − x ) = 1
Sasa hebu tuendelee kwenye fomu ya kisheria:
logi 3 (1 − x ) = logi 3 3
Tunaondoa ishara ya logarithm kwa kusawazisha hoja:
1 − x = 3
−x = 2
x = -2
Hiyo ndiyo yote, tumesuluhisha equation. Walakini, wacha tuicheze salama na tupate kikoa cha ufafanuzi. Ili kufanya hivyo, wacha turudi kwenye fomula asili na tuone:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Mzizi wetu x = −2 unakidhi hitaji hili, kwa hivyo x = -2 ni suluhu la mlingano asilia. Sasa tumepokea uthibitisho mkali na wazi. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Wacha tuangalie kila neno tofauti.
Wacha tuandike ya kwanza:
Tumebadilisha muhula wa kwanza. Tunafanya kazi na muhula wa pili:
Hatimaye, muhula wa mwisho, ulio upande wa kulia wa ishara sawa:
Tunabadilisha misemo inayotokana badala ya maneno katika fomula inayotokana:
kumbukumbu 3 x = 1
Wacha tuendelee kwenye fomu ya kisheria:
kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 3
Tunaondoa ishara ya logarithm, tukilinganisha hoja, na tunapata:
x = 3
Tena, ili tu kuwa katika upande salama, wacha turudi kwenye mlinganyo wa asili na tuangalie. Katika fomula asili, kutofautisha x iko tu kwenye hoja, kwa hivyo,
x> 0
Katika logarithm ya pili, x iko chini ya mzizi, lakini tena katika hoja, kwa hiyo, mzizi lazima uwe mkubwa zaidi kuliko 0, yaani, usemi mkali lazima uwe mkubwa kuliko 0. Tunaangalia mzizi wetu x = 3. Ni wazi, ni. inakidhi hitaji hili. Kwa hivyo, x = 3 ni suluhisho la mlinganyo wa asili wa logarithmic. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kuna mambo mawili muhimu katika somo la video la leo:
1) usiogope kubadilisha logarithms na, haswa, usiogope kuchukua nguvu kutoka kwa ishara ya logarithm, huku ukikumbuka fomula yetu ya kimsingi: wakati wa kuondoa nguvu kutoka kwa hoja, inatolewa tu bila mabadiliko. kama kizidishi, na wakati wa kuondoa nguvu kutoka kwa msingi, nguvu hii inageuzwa.
2) hatua ya pili inahusiana na fomu ya kisheria yenyewe. Tulifanya mpito hadi umbo la kisheria mwishoni kabisa mwa ubadilishaji wa fomula ya mlingano wa logarithmic. Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
a = logi b b a
Bila shaka, kwa maneno "nambari yoyote b", ninamaanisha namba hizo zinazokidhi mahitaji yaliyowekwa kwa msingi wa logarithm, i.e.
1 ≠ b > 0
Kwa vile b, na kwa kuwa tayari tunajua msingi, mahitaji haya yatatimizwa moja kwa moja. Lakini kwa vile b - yoyote inayokidhi hitaji hili - mpito huu unaweza kufanywa, na tutapata fomu ya kisheria ambayo tunaweza kujiondoa ishara ya logarithm.
Kupanua kikoa cha ufafanuzi na mizizi ya ziada
Katika mchakato wa kubadilisha milinganyo ya logarithmic, upanuzi usio wazi wa kikoa cha ufafanuzi unaweza kutokea. Mara nyingi wanafunzi hawaoni hata hii, ambayo husababisha makosa na majibu yasiyo sahihi.
Hebu tuanze na miundo rahisi zaidi. Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni ufuatao:
logi a f (x) = b
Kumbuka kuwa x iko katika hoja moja tu ya logarithm moja. Je, tunatatua vipi milinganyo kama hii? Tunatumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, fikiria nambari b = logi a b, na equation yetu itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Ingizo hili linaitwa fomu ya kisheria. Ni kwa hili unapaswa kupunguza equation yoyote ya logarithmic ambayo utakutana nayo sio tu katika somo la leo, lakini pia katika kazi yoyote ya kujitegemea na ya mtihani.
Jinsi ya kufikia fomu ya kisheria na mbinu gani za kutumia ni suala la mazoezi. Jambo kuu kuelewa ni kwamba mara tu unapopokea rekodi hiyo, unaweza kuzingatia tatizo kutatuliwa. Kwa sababu hatua ifuatayo kutakuwa na kiingilio:
f (x) = a b
Kwa maneno mengine, tunaondoa ishara ya logarithm na kusawazisha hoja.
Kwa nini mazungumzo haya yote? Ukweli ni kwamba fomu ya kisheria haitumiki tu kwa shida rahisi, bali pia kwa wengine wowote. Hasa, wale ambao tutaamua leo. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Je, mlingano huu una tatizo gani? Ukweli ni kwamba kazi iko katika logarithms mbili mara moja. Shida inaweza kupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutoa logarithm moja kutoka kwa nyingine. Lakini matatizo hutokea kwa eneo la ufafanuzi: mizizi ya ziada inaweza kuonekana. Kwa hivyo hebu tusogeze moja ya logariti kulia:
Ingizo hili linafanana zaidi na fomu ya kisheria. Lakini kuna nuance moja zaidi: katika fomu ya kisheria, hoja lazima ziwe sawa. Na upande wa kushoto tuna logarithm katika msingi 3, na upande wa kulia katika msingi 1/3. Anajua kuwa besi hizi zinahitaji kuletwa kwa idadi sawa. Kwa mfano, hebu tukumbuke nguvu hasi ni nini:
Na kisha tutatumia kielezi "-1" nje ya logi kama kizidishi:
Tafadhali kumbuka: shahada iliyokuwa kwenye msingi inageuzwa na kugeuka kuwa sehemu. Tulipata nukuu karibu ya kisheria kwa kuondoa misingi tofauti, lakini kwa kurudi tulipata sababu "-1" upande wa kulia. Wacha tuzingatie jambo hili katika hoja kwa kuibadilisha kuwa nguvu:
Kwa kweli, baada ya kupokea fomu ya kisheria, tunavuka kwa ujasiri ishara ya logarithm na kusawazisha hoja. Wakati huo huo, wacha nikukumbushe kwamba inapoinuliwa kwa nguvu "-1", sehemu hiyo inageuzwa tu - sehemu hupatikana.
Wacha tutumie mali ya msingi ya uwiano na kuizidisha kwa njia tofauti:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Tuliyo nayo mbele yetu ni mlinganyo wa quadratic, kwa hivyo tunasuluhisha kwa kutumia fomula za Vieta:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Ni hayo tu. Je, unadhani mlinganyo umetatuliwa? Hapana! Kwa suluhisho kama hilo tutapokea alama 0, kwa sababu equation ya asili ina logarithms mbili na x tofauti. Kwa hiyo, ni muhimu kuzingatia uwanja wa ufafanuzi.
Na hapa ndipo furaha huanza. Wanafunzi wengi wamechanganyikiwa: ni kikoa gani cha ufafanuzi wa logarithm? Kwa kweli, hoja zote (tuna mbili) lazima ziwe kubwa kuliko sifuri:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Kila moja ya usawa huu lazima kutatuliwa, alama kwenye mstari wa moja kwa moja, kuingiliana, na kisha tu kuonekana ambayo mizizi iko kwenye makutano.
Nitakuwa waaminifu: mbinu hii ina haki ya kuwepo, ni ya kuaminika, na utapata jibu sahihi, lakini kuna mengi sana ndani yake. vitendo visivyo vya lazima. Kwa hivyo wacha tupitie suluhisho letu tena na tuone: ni wapi tunahitaji kutumia upeo? Kwa maneno mengine, unahitaji kuelewa wazi wakati mizizi ya ziada inaonekana.
- Hapo awali tulikuwa na logariti mbili. Kisha tukahamisha mmoja wao kwa haki, lakini hii haikuathiri eneo la ufafanuzi.
- Kisha tunaondoa nguvu kutoka kwa msingi, lakini bado kuna logarithms mbili, na katika kila mmoja wao kuna kutofautiana x.
- Hatimaye, tunavuka ishara za logi na kupata classic sehemu mlinganyo wa busara.
Ni katika hatua ya mwisho kwamba wigo wa ufafanuzi unapanuliwa! Mara tu tulipohamia mlinganyo wa kimantiki, tukiondoa alama za kumbukumbu, mahitaji ya mabadiliko ya x yalibadilika sana!
Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi kinaweza kuzingatiwa sio mwanzoni mwa suluhisho, lakini tu kwa hatua iliyotajwa - kabla ya kusawazisha hoja moja kwa moja.
Hapa ndipo fursa ya uboreshaji ilipo. Kwa upande mmoja, tunatakiwa kwamba hoja zote mbili ziwe kubwa kuliko sifuri. Kwa upande mwingine, tunalinganisha zaidi hoja hizi. Kwa hiyo, ikiwa angalau mmoja wao ni chanya, basi ya pili pia itakuwa chanya!
Kwa hiyo inageuka kuwa kuhitaji usawa mbili kutimizwa mara moja ni overkill. Inatosha kuzingatia moja tu ya sehemu hizi. Gani? Ile ambayo ni rahisi zaidi. Kwa mfano, hebu tuangalie sehemu ya mkono wa kulia:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Hii ni kawaida usawa wa kimantiki wa sehemu, tunatatua kwa kutumia njia ya muda:
Jinsi ya kuweka ishara? Wacha tuchukue nambari ambayo ni wazi zaidi kuliko mizizi yetu yote. Kwa mfano, bilioni 1. Na sisi mbadala sehemu yake. Tunapata nambari chanya, i.e. kwa haki ya mzizi x = 5 kutakuwa na ishara ya kuongeza.
Kisha ishara hubadilishana, kwa sababu hakuna mizizi ya kuzidisha hata mahali popote. Tunavutiwa na vipindi ambapo chaguo la kukokotoa ni chanya. Kwa hivyo, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sasa hebu tukumbuke majibu: x = 8 na x = 2. Kwa kweli, haya sio majibu bado, lakini ni watahiniwa tu wa jibu. Ni ipi kati ya seti iliyobainishwa? Bila shaka, x = 8. Lakini x = 2 haifai sisi kwa suala la uwanja wake wa ufafanuzi.
Kwa jumla, jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic litakuwa x = 8. Sasa tumepata moja sahihi, uamuzi sahihi kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi.
Wacha tuendelee kwenye equation ya pili:
gogo 5 (x - 9) = gogo 0.5 4 - gogo 5 (x - 5) + 3
Acha nikukumbushe kwamba ikiwa kuna sehemu ya decimal katika equation, basi unapaswa kuiondoa. Kwa maneno mengine, hebu tuandike tena 0.5 katika fomu sehemu ya kawaida. Mara moja tunagundua kuwa logarithm iliyo na msingi huu inahesabiwa kwa urahisi:
Huu ni wakati muhimu sana! Tunapokuwa na digrii katika msingi na hoja, tunaweza kupata viashiria vya digrii hizi kwa kutumia fomula:
Wacha turudi kwenye mlinganyo wetu wa asili wa logarithmic na tuiandike upya:
logi 5 (x - 9) = 1 - gogo 5 (x - 5)
Tulipata muundo karibu kabisa na fomu ya kisheria. Walakini, tumechanganyikiwa na masharti na ishara ya kuondoa iliyo upande wa kulia wa ishara sawa. Wacha tuwakilishe moja kama logarithm kwa msingi wa 5:
gogo 5 (x - 9) = gogo 5 5 1 - gogo 5 (x - 5)
Ondoa logariti upande wa kulia (katika kesi hii hoja zao zimegawanywa):
gogo 5 (x - 9) = gogo 5 5/(x -5)
Ajabu. Kwa hivyo tulipata fomu ya kisheria! Tunavuka alama za kumbukumbu na kusawazisha hoja:
(x − 9)/1 = 5/(x - 5)
Hii ni sehemu ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kuzidisha kwa njia tofauti:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Ni wazi, tuna equation ya quadratic iliyopunguzwa. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Tuna mizizi miwili. Lakini haya si majibu ya mwisho, bali watahiniwa pekee, kwa sababu mlingano wa logarithmic pia unahitaji kuangalia kikoa cha ufafanuzi.
Nakukumbusha: hakuna haja ya kutafuta wakati kila ya hoja itakuwa kubwa kuliko sifuri. Inatosha kuhitaji kwamba hoja moja—ama x – 9 au 5/(x – 5)—iwe kubwa kuliko sifuri. Fikiria hoja ya kwanza:
x − 9 > 0
x> 9
Ni wazi, x = 10 pekee inakidhi hitaji hili. Hili ndilo jibu la mwisho. Tatizo zima linatatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mawazo muhimu ya somo la leo:
- Mara tu mabadiliko ya x yanapoonekana katika logariti kadhaa, equation hukoma kuwa ya msingi, na kikoa cha ufafanuzi italazimika kuhesabiwa kwa hilo. Vinginevyo, unaweza kuandika kwa urahisi mizizi ya ziada katika jibu.
- Kufanya kazi na kikoa yenyewe kunaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa ikiwa tutaandika ukosefu wa usawa sio mara moja, lakini haswa wakati tunapoondoa ishara za logi. Baada ya yote, wakati hoja zinalinganishwa kwa kila mmoja, inatosha kuhitaji kwamba moja tu yao ni kubwa kuliko sifuri.
Bila shaka, sisi wenyewe tunachagua hoja gani ya kutumia ili kuunda usawa, kwa hiyo ni busara kuchagua moja rahisi zaidi. Kwa mfano, katika equation ya pili tulichagua hoja (x - 9) - kazi ya mstari, kinyume na hoja ya pili yenye mantiki ya sehemu. Kubali, kutatua ukosefu wa usawa x - 9 > 0 ni rahisi zaidi kuliko 5/(x - 5) > 0. Ingawa matokeo ni sawa.
Usemi huu hurahisisha sana utaftaji wa ODZ, lakini kuwa mwangalifu: unaweza kutumia usawa mmoja badala ya mbili ikiwa tu hoja ziko sawa. ni sawa kwa kila mmoja!
Bila shaka, mtu sasa atauliza: nini kinatokea tofauti? Ndiyo, wakati mwingine. Kwa mfano, katika hatua yenyewe, tunapozidisha hoja mbili zenye kutofautiana, kuna hatari ya mizizi ya ziada.
Jaji mwenyewe: kwanza inahitajika kwamba kila hoja iwe kubwa kuliko sifuri, lakini baada ya kuzidisha ni ya kutosha kwamba bidhaa zao ziwe kubwa kuliko sifuri. Kama matokeo, kesi ambapo kila sehemu hizi ni hasi hukosa.
Kwa hivyo, ikiwa unaanza kuelewa hesabu ngumu za logarithmic, kwa hali yoyote usizidishe logarithm zilizo na x - hii mara nyingi itasababisha kuonekana kwa mizizi isiyo ya lazima. Ni bora kuchukua hatua moja ya ziada, kuhamisha muda mmoja hadi upande mwingine na kuunda fomu ya kisheria.
Kweli, nini cha kufanya ikiwa huwezi kufanya bila kuzidisha logarithm kama hizo, tutajadili katika somo linalofuata la video. :)
Kwa mara nyingine tena juu ya nguvu katika equation
Leo tutachunguza mada yenye utelezi zaidi kuhusu milinganyo ya logarithmic, au kwa usahihi zaidi, kuondolewa kwa mamlaka kutoka kwa hoja na misingi ya logariti.
Ningesema hata tutazungumza kuhusu kuondolewa kwa nguvu hata, kwa sababu ni kwa nguvu hata kwamba ugumu mwingi hutokea wakati wa kutatua milinganyo halisi ya logarithmic.
Wacha tuanze na fomu ya kisheria. Wacha tuseme tuna mlingano wa logi ya fomu f (x) = b. Katika kesi hii, tunaandika tena nambari b kwa kutumia formula b = logi a b . Inageuka yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja:
f (x) = a b
Fomula ya mwisho inaitwa fomu ya kisheria. Ni kwa hili kwamba wanajaribu kupunguza equation yoyote ya logarithmic, bila kujali jinsi ngumu na ya kutisha inaweza kuonekana kwa mtazamo wa kwanza.
Basi hebu tujaribu. Wacha tuanze na kazi ya kwanza:
Kumbuka ya awali: kama nilivyosema, kila kitu desimali katika equation ya logarithmic ni bora kuibadilisha kuwa ya kawaida:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hebu tuandike upya mlingano wetu kwa kuzingatia ukweli huu. Kumbuka kuwa zote 1/1000 na 100 ni nguvu za kumi, na kisha tutoe mamlaka popote zilipo: kutoka kwa hoja na hata msingi wa logarithms:
Na hapa wanafunzi wengi wana swali: "Moduli ya kulia ilitoka wapi?" Kwa kweli, kwa nini usiandike tu (x - 1)? Kwa kweli, sasa tutaandika (x - 1), lakini kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi kinatupa haki ya nukuu kama hiyo. Baada ya yote, logarithm nyingine tayari ina (x - 1), na usemi huu lazima uwe mkubwa kuliko sifuri.
Lakini tunapoondoa mraba kutoka kwa msingi wa logarithm, lazima tuondoke hasa moduli kwenye msingi. Acha nieleze kwa nini.
Ukweli ni kwamba, kwa mtazamo wa hisabati, kuchukua shahada ni sawa na kuchukua mzizi. Hasa, tunapoweka mraba wa usemi (x - 1) 2, kimsingi tunachukua mzizi wa pili. Lakini mzizi wa mraba sio kitu zaidi ya moduli. Hasa moduli, kwa sababu hata kama usemi x − 1 ni hasi, ukiwa na mraba, "minus" bado itateketea. Uchimbaji zaidi wa mzizi utatupa nambari nzuri - bila minuses yoyote.
Kwa ujumla, ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha, kumbuka mara moja na kwa wote:
Mzizi wa nguvu sawa ya utendaji wowote unaoinuliwa kwa nguvu sawa si sawa na kazi yenyewe, lakini moduli yake:
Wacha turudi kwenye mlingano wetu wa logarithmic. Kuzungumza juu ya moduli, nilisema kwamba tunaweza kuiondoa bila uchungu. Hii ni kweli. Sasa nitaeleza kwa nini. Kwa kweli, tulilazimika kuzingatia chaguzi mbili:
- x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Kila moja ya chaguzi hizi itahitaji kushughulikiwa. Lakini kuna mtego mmoja: fomula asili tayari ina kazi (x - 1) bila moduli yoyote. Na kufuatia kikoa cha ufafanuzi wa logariti, tuna haki ya kuandika mara moja kwamba x - 1 > 0.
Sharti hili lazima litimizwe bila kujali moduli zozote na mabadiliko mengine tunayofanya katika mchakato wa utatuzi. Kwa hiyo, hakuna maana katika kuzingatia chaguo la pili - haitatokea kamwe. Hata tukipata nambari fulani wakati wa kusuluhisha tawi hili la ukosefu wa usawa, bado hazitajumuishwa kwenye jibu la mwisho.
Sasa tuko hatua moja mbali na umbo la kisheria la mlingano wa logarithmic. Wacha tuwakilishe kitengo kama ifuatavyo:
1 = logi x − 1 (x - 1) 1
Kwa kuongezea, tunatanguliza kipengele -4, ambacho kiko upande wa kulia, kwenye hoja:
gogo x - 1 10 −4 = gogo x - 1 (x - 1)
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic. Tunaondoa ishara ya logarithm:
10 −4 = x -1
Lakini kwa kuwa msingi ulikuwa chaguo za kukokotoa (na sio nambari kuu), tunahitaji pia kwamba chaguo hili la kukokotoa liwe kubwa kuliko sifuri na si sawa na moja. Mfumo wa matokeo utakuwa:
Kwa kuwa hitaji la x - 1 > 0 linakidhiwa kiotomatiki (baada ya yote, x - 1 = 10 -4), moja ya ukosefu wa usawa inaweza kufutwa kutoka kwa mfumo wetu. Hali ya pili inaweza pia kuvuka, kwa sababu x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
Huu ndio mzizi pekee ambao unakidhi mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi wa logarithm (hata hivyo, mahitaji yote yaliondolewa kama yalivyotimizwa wazi katika hali ya shida yetu).
Kwa hivyo equation ya pili:
logi 3 3 x x = kumbukumbu 2 9 x 2
Je, mlinganyo huu kimsingi ni tofauti na ule uliopita? Ikiwa tu kwa ukweli kwamba besi za logarithms - 3x na 9x - sio digrii za asili kila mmoja. Kwa hiyo, mpito tuliyotumia katika ufumbuzi uliopita hauwezekani.
Wacha angalau tuachane na digrii. Kwa upande wetu, shahada pekee iko katika hoja ya pili:
logi 3 3 x x = 2 ∙ logi 2 9 x |x |
Hata hivyo, ishara ya modulus inaweza kuondolewa, kwa sababu variable x pia iko kwenye msingi, i.e. x > 0 ⇒ |x| = x. Wacha tuandike upya mlingano wetu wa logarithmic:
logi 3 3 x x = 4 kumbukumbu 9 x x
Tumepata logarithm ambazo hoja ni sawa, lakini sababu tofauti. Nini cha kufanya baadaye? Kuna chaguzi nyingi hapa, lakini tutazingatia mbili tu kati yao, ambazo ni za mantiki zaidi, na muhimu zaidi, hizi ni mbinu za haraka na zinazoeleweka kwa wanafunzi wengi.
Tayari tumezingatia chaguo la kwanza: katika hali yoyote isiyoeleweka, badilisha logarithms zilizo na msingi wa kutofautisha hadi msingi wa kila wakati. Kwa mfano, kwa deuce. Njia ya mpito ni rahisi:
Kwa kweli, jukumu la kutofautisha c linapaswa kuwa nambari ya kawaida: 1 ≠ c > 0. Hebu katika kesi yetu c = 2. Sasa tuna mbele yetu mlinganyo wa kawaida wa kimantiki. Tunakusanya vitu vyote upande wa kushoto:
Kwa wazi, ni bora kuondoa logi 2 x sababu, kwani iko katika sehemu za kwanza na za pili.
logi 2 x = 0;
3 kumbukumbu 2 9x = 4 kumbukumbu 2 3x
Tunagawanya kila logi katika maneno mawili:
logi 2 9x = logi 2 9 + logi 2 x = 2 logi 2 3 + logi 2 x;
logi 2 3x = logi 2 3 + logi 2 x
Hebu tuandike upya pande zote mbili za usawa kwa kuzingatia ukweli huu:
3 (logi 2 2 3 + logi 2 x ) = 4 (logi 2 3 + logi 2 x)
6 kumbukumbu 2 3 + 3 logi 2 x = 4 kumbukumbu 2 3 + 4 kumbukumbu 2 x
2 kumbukumbu 2 3 = logi 2 x
Sasa kilichobaki ni kuingiza mbili chini ya ishara ya logarithm (itageuka kuwa nguvu: 3 2 = 9):
logi 2 9 = logi 2 x
Mbele yetu kuna fomu ya kawaida ya kisheria, tunaondoa ishara ya logarithm na kupata:
Kama inavyotarajiwa, mzizi huu uligeuka kuwa mkubwa kuliko sifuri. Inabakia kuangalia kikoa cha ufafanuzi. Hebu tuangalie sababu:
Lakini mzizi x = 9 inakidhi mahitaji haya. Kwa hiyo, ni uamuzi wa mwisho.
Hitimisho kutoka uamuzi huu rahisi: usiogope na mipangilio ndefu! Ni kwamba mwanzoni tulichagua msingi mpya bila mpangilio - na hii ilifanya mchakato kuwa mgumu sana.
Lakini basi swali linatokea: ni msingi gani mojawapo? Nitazungumza juu ya hili kwa njia ya pili.
Wacha turudi kwenye mlinganyo wetu wa asili:
logi 3 3x x = kumbukumbu 2 9x x 2
logi 3 3x x = 2 ∙ logi 2 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
logi 3 3 x x = 4 kumbukumbu 9 x x
Sasa hebu tufikirie kidogo: ni nambari gani au kazi gani inaweza kuwa msingi bora? Ni dhahiri kwamba chaguo bora kutakuwa na c = x - ni nini tayari katika hoja. Katika kesi hii, logi ya fomula a b = logi c b /log c a itachukua fomu:
Kwa maneno mengine, usemi umebadilishwa tu. Katika kesi hii, hoja na msingi hubadilisha maeneo.
Fomula hii ni muhimu sana na hutumiwa mara nyingi sana katika kutatua milinganyo changamano ya logarithmic. Walakini, kuna mtego mmoja mbaya sana wakati wa kutumia fomula hii. Ikiwa tutabadilisha mabadiliko ya x badala ya msingi, basi vizuizi vinawekwa juu yake ambavyo havikuzingatiwa hapo awali:
Hakukuwa na kizuizi kama hicho katika mlinganyo wa asili. Kwa hivyo, tunapaswa kuangalia kesi kando wakati x = 1. Weka thamani hii kwenye mlinganyo wetu:
3 kumbukumbu 3 1 = 4 kumbukumbu 9 1
Kupata haki usawa wa nambari. Kwa hivyo x = 1 ni mzizi. Tulipata mzizi sawa katika njia ya awali mwanzoni mwa suluhisho.
Lakini sasa kwa kuwa tumeangalia hii tofauti kesi maalum, tunadhania kuwa x ≠ 1. Kisha mlingano wetu wa logarithmic utaandikwa upya katika fomu ifuatayo:
logi 3 x 9x = logi 4 x 3x
Tunapanua logariti zote mbili kwa kutumia fomula sawa na hapo awali. Kumbuka kuwa logi x x = 1:
3 (logi x 9 + logi x x ) = 4 (logi x 3 + logi x x)
logi 3 x 9 + 3 = kumbukumbu 4 x 3 + 4
logi 3 x 3 2 − 4 gogo x 3 = 4 - 3
logi 2 x 3 = 1
Kwa hivyo tulikuja kwa fomu ya kisheria:
logi x 9 = logi x x 1
x=9
Tulipata mzizi wa pili. Inakidhi mahitaji x ≠ 1. Kwa hiyo, x = 9 pamoja na x = 1 ni jibu la mwisho.
Kama unaweza kuona, kiasi cha mahesabu kimepungua kidogo. Lakini wakati wa kutatua equation halisi ya logarithmic, idadi ya hatua itakuwa ndogo sana kwa sababu hauhitajiki kuelezea kila hatua kwa undani kama hiyo.
Kanuni muhimu ya somo la leo ni yafuatayo: ikiwa tatizo lina shahada hata, ambayo mzizi wa shahada sawa hutolewa, basi pato litakuwa moduli. Walakini, moduli hii inaweza kuondolewa ikiwa utazingatia kikoa cha ufafanuzi wa logarithms.
Lakini kuwa mwangalifu: baada ya somo hili, wanafunzi wengi wanafikiri kwamba wanaelewa kila kitu. Lakini wakati wa kuamua matatizo ya kweli hawawezi kuzalisha mlolongo mzima wa kimantiki. Kama matokeo, equation hupata mizizi isiyo ya lazima, na jibu linageuka kuwa sio sahihi.
Na video hii ninaanza mfululizo mrefu wa masomo kuhusu milinganyo ya logarithmic. Sasa una mifano mitatu mbele yako, kwa misingi ambayo tutajifunza kutatua zaidi kazi rahisi, ambazo zinaitwa hivyo - protozoa.
logi 0.5 (3x - 1) = -3
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe kuwa equation rahisi zaidi ya logarithmic ni ifuatayo:
logi a f (x) = b
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba variable x iko tu ndani ya hoja, yaani, tu katika kazi f (x). Na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna vitendaji vyenye mabadiliko ya x.
Njia za msingi za suluhisho
Kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Kwa mfano, walimu wengi shuleni hutoa mbinu hii: Eleza mara moja chaguo la kukokotoa f (x) ukitumia fomula f ( x) = a b. Hiyo ni, unapokutana na ujenzi rahisi zaidi, unaweza kuendelea mara moja kwenye suluhisho bila vitendo vya ziada na ujenzi.
Ndiyo, bila shaka, uamuzi utakuwa sahihi. Walakini, shida ya fomula hii ni kwamba wanafunzi wengi sielewi, inatoka wapi na kwa nini tunainua herufi a hadi herufi b.
Matokeo yake, mara nyingi mimi huona makosa ya kukasirisha sana wakati, kwa mfano, barua hizi zinabadilishwa. Fomula hii unahitaji kuelewa au cram, na njia ya pili husababisha makosa kwa wakati usiofaa na muhimu zaidi: katika mitihani, vipimo, nk.
Ndio maana ninapendekeza kwa wanafunzi wangu wote kuachana na fomula ya kawaida ya shule na kutumia mbinu ya pili kutatua milinganyo ya logarithmic, ambayo, kama unavyokisia kutoka kwa jina, inaitwa. fomu ya kisheria.
Wazo la fomu ya kisheria ni rahisi. Wacha tuangalie shida yetu tena: upande wa kushoto tuna logi a, na kwa herufi a tunamaanisha nambari, na kwa hali yoyote hakuna kazi iliyo na nambari ya x. Kwa hiyo, barua hii inakabiliwa na vikwazo vyote vinavyowekwa kwa msingi wa logarithm. yaani:
1 ≠ a > 0
Kwa upande mwingine, kutoka kwa equation sawa tunaona kwamba logarithm lazima iwe sawa na nambari b , na hakuna vizuizi vilivyowekwa kwenye barua hii, kwa sababu inaweza kuchukua maadili yoyote - chanya na hasi. Yote inategemea ni maadili gani kazi f(x) inachukua.
Na hapa tunakumbuka sheria yetu nzuri kwamba nambari yoyote b inaweza kuwakilishwa kama logariti hadi msingi wa a hadi nguvu ya b:
b = logi a b
Jinsi ya kukumbuka formula hii? Ndiyo, rahisi sana. Wacha tuandike muundo ufuatao:
b = b 1 = b logi a
Bila shaka, katika kesi hii vikwazo vyote ambavyo tuliandika mwanzoni hutokea. Sasa hebu tutumie sifa ya msingi ya logarithm na tutambulishe kizidishi b kama nguvu ya a. Tunapata:
b = b 1 = b logi a = logi a b
Kama matokeo, equation ya asili itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a b → f (x) = a b
Ni hayo tu. Kipengele kipya haina logariti tena na inaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu sanifu za aljebra.
Bila shaka, mtu sasa atapinga: kwa nini ilikuwa ni lazima kuja na aina fulani ya fomula ya kisheria kabisa, kwa nini kufanya hatua mbili za ziada zisizohitajika ikiwa inawezekana kuondoka mara moja kutoka kwa muundo wa awali hadi kwa fomula ya mwisho? Ndiyo, ikiwa tu kwa sababu wanafunzi wengi hawaelewi fomula hii inatoka wapi na, kwa sababu hiyo, hufanya makosa mara kwa mara wanapoitumia.
Lakini mlolongo huu wa vitendo, unaojumuisha hatua tatu, hukuruhusu kutatua equation ya asili ya logarithmic, hata ikiwa hauelewi fomula ya mwisho inatoka wapi. Japo kuwa, fomula ya kisheria Ingizo hili linaitwa:
logi a f (x) = logi a a b
Urahisi wa fomu ya kisheria pia iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika kutatua darasa pana sana la equations za logarithmic, na sio tu rahisi zaidi tunayozingatia leo.
Mifano ya ufumbuzi
Sasa hebu tuangalie mifano halisi. Kwa hivyo, wacha tuamue:
logi 0.5 (3x - 1) = -3
Wacha tuiandike tena kama hii:
gogo 0.5 (3x − 1) = logi 0.5 0.5 -3
Wanafunzi wengi wana haraka na wanajaribu kuinua mara moja nambari 0.5 kwa nguvu ambayo ilitujia kutoka kwa shida ya asili. Hakika, wakati tayari umefunzwa vizuri katika kutatua shida kama hizo, unaweza kufanya hatua hii mara moja.
Walakini, ikiwa sasa unaanza kusoma mada hii, ni bora usikimbilie popote ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha. Kwa hivyo, tunayo fomu ya kisheria. Tuna:
3x − 1 = 0.5 -3
Huu sio tena mlinganyo wa logarithmic, lakini ni mstari kuhusiana na mabadiliko ya x. Ili kuitatua, hebu kwanza tuangalie nambari 0.5 kwa nguvu ya -3. Kumbuka kuwa 0.5 ni 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Badilisha sehemu zote za desimali kuwa sehemu za kawaida wakati wa kusuluhisha mlinganyo wa logarithmic.
Tunaandika tena na kupata:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ni hayo tu, tumepata jibu. Tatizo la kwanza limetatuliwa.
Jukumu la pili
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kama tunavyoona, equation hii sio rahisi zaidi. Ikiwa tu kwa sababu kuna tofauti upande wa kushoto, na sio logarithm moja kwa msingi mmoja.
Kwa hiyo, tunahitaji kwa namna fulani kuondokana na tofauti hii. KATIKA kwa kesi hii kila kitu ni rahisi sana. Wacha tuangalie kwa karibu besi: upande wa kushoto ni nambari iliyo chini ya mzizi:
Mapendekezo ya jumla: katika hesabu zote za logarithmic, jaribu kuondoa radicals, i.e., kutoka kwa maingizo na mizizi na uendelee kazi za nguvu, kwa sababu tu vielelezo vya mamlaka haya hutolewa kwa urahisi nje ya ishara ya logariti na, hatimaye, nukuu kama hiyo hurahisisha na kuharakisha mahesabu. Hebu tuandike kama hii:
Sasa tunakumbuka mali ya ajabu logarithm: nguvu zinaweza kutolewa kutoka kwa hoja, na pia kutoka kwa msingi. Katika kesi ya msingi, yafuatayo hufanyika:
logi a k b = 1/k nembo b
Kwa maneno mengine, nambari iliyokuwa kwenye nguvu ya msingi inaletwa mbele na wakati huo huo inageuzwa, i.e. inakuwa. nambari ya kubadilishana. Kwa upande wetu, shahada ya msingi ilikuwa 1/2. Kwa hivyo, tunaweza kuiondoa kama 2/1. Tunapata:
5 2 logi 5 x - -gogo 5 x = 18
logi 10 5 x - -logi 5 x = 18
Tafadhali kumbuka: kwa hali yoyote unapaswa kuondoa logarithms katika hatua hii. Kumbuka hesabu ya daraja la 4-5 na utaratibu wa shughuli: kuzidisha hufanywa kwanza, na kisha tu kuongeza na kutoa. Katika kesi hii, tunaondoa moja ya vitu sawa kutoka kwa vitu 10:
9 kumbukumbu 5 x = 18
logi 5 x = 2
Sasa equation yetu inaonekana kama inavyopaswa. Huu ndio ujenzi rahisi zaidi, na tunasuluhisha kwa kutumia fomu ya kisheria:
kumbukumbu 5 x = kumbukumbu 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ni hayo tu. Tatizo la pili limetatuliwa.
Mfano wa tatu
Wacha tuendelee kwenye kazi ya tatu:
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
logi b = gogo 10 b
Ikiwa kwa sababu fulani umechanganyikiwa na logi ya nukuu b , basi wakati wa kufanya mahesabu yote unaweza kuandika tu logi 10 b . Unaweza kufanya kazi na logariti za desimali kwa njia sawa na zingine: chukua mamlaka, ongeza na uwakilishe nambari zozote katika fomu lg 10.
Ni mali hizi ambazo tutatumia sasa kutatua shida, kwani sio rahisi zaidi ambayo tuliandika mwanzoni mwa somo letu.
Kwanza, kumbuka kuwa kipengele cha 2 mbele ya lg 5 kinaweza kuongezwa na kuwa nguvu ya msingi 5. Kwa kuongeza, neno la bure la 3 linaweza pia kuwakilishwa kama logarithm - hii ni rahisi sana kuchunguza kutoka kwa nukuu yetu.
Jaji mwenyewe: nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama logi kwa msingi wa 10:
3 = kumbukumbu 10 10 3 = kumbukumbu 10 3
Wacha tuandike tena shida ya asili kwa kuzingatia mabadiliko yaliyopatikana:
logi (x - 3) = logi 1000 + logi 25
logi (x - 3) = logi 1000 25
logi (x - 3) = gogo 25,000
Tunayo fomu ya kisheria tena, na tuliipata bila kupitia hatua ya mabadiliko, yaani, mlinganyo rahisi wa logarithmic haukuonekana popote.
Hivi ndivyo nilivyozungumza mwanzoni kabisa mwa somo. Fomu ya kisheria inakuwezesha kutatua darasa pana la matatizo kuliko kiwango cha kawaida formula ya shule, ambayo hutolewa na walimu wengi wa shule.
Kweli, ndivyo hivyo, tunaondoa ishara ya logarithm ya decimal, na tunapata muundo rahisi wa mstari:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Wote! Tatizo linatatuliwa.
Ujumbe juu ya upeo
Hapa ningependa kutoa maoni muhimu kuhusu wigo wa ufafanuzi. Hakika sasa kutakuwa na wanafunzi na waalimu ambao watasema: "Tunapotatua misemo kwa logariti, lazima tukumbuke kwamba hoja f (x) lazima iwe kubwa kuliko sufuri!" Katika suala hili, swali la mantiki linatokea: kwa nini hatukuhitaji usawa huu kuridhika katika matatizo yoyote yaliyozingatiwa?
Usijali. Katika kesi hizi, hakuna mizizi ya ziada itaonekana. Na hii ni hila nyingine nzuri ambayo inakuwezesha kuharakisha suluhisho. Jua tu kwamba ikiwa katika shida kutofautisha x kunatokea katika sehemu moja tu (au tuseme, katika hoja moja ya logarithm moja), na hakuna mahali pengine katika kesi yetu tofauti x inaonekana, basi andika kikoa cha ufafanuzi. hakuna haja, kwa sababu itatekelezwa kiotomatiki.
Jaji mwenyewe: katika equation ya kwanza tulipata kwamba 3x - 1, yaani hoja inapaswa kuwa sawa na 8. Hii ina maana moja kwa moja kwamba 3x - 1 itakuwa kubwa kuliko sifuri.
Kwa mafanikio sawa tunaweza kuandika kwamba katika kesi ya pili x inapaswa kuwa sawa na 5 2, i.e. hakika ni kubwa kuliko sifuri. Na katika kesi ya tatu, ambapo x + 3 = 25,000, yaani, tena, ni wazi zaidi kuliko sifuri. Kwa maneno mengine, wigo huridhika kiotomatiki, lakini tu ikiwa x hutokea tu katika hoja ya logarithm moja tu.
Hiyo ndiyo yote unayohitaji kujua ili kutatua matatizo rahisi zaidi. Sheria hii pekee, pamoja na sheria za mabadiliko, itawawezesha kutatua darasa kubwa sana la matatizo.
Lakini hebu tuwe waaminifu: ili hatimaye kuelewa mbinu hii, kujifunza jinsi ya kutumia fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic, haitoshi tu kutazama somo moja la video. Kwa hivyo pakua chaguzi sasa hivi kwa uamuzi wa kujitegemea, ambazo zimeambatishwa kwenye somo hili la video na kuanza kusuluhisha angalau moja ya kazi hizi mbili zinazojitegemea.
Itakuchukua dakika chache halisi. Lakini matokeo ya mafunzo kama haya yatakuwa ya juu zaidi kuliko ikiwa utatazama somo hili la video tu.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa milinganyo ya logarithmic. Tumia fomu ya kisheria, kurahisisha misemo kwa kutumia sheria za kufanya kazi na logarithms - na hautaogopa shida zozote. Hiyo ndiyo yote niliyo nayo kwa leo.
Kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi
Sasa hebu tuzungumze juu ya uwanja wa ufafanuzi kazi ya logarithmic, pamoja na jinsi hii inavyoathiri suluhisho la milinganyo ya logarithmic. Fikiria muundo wa fomu
logi a f (x) = b
Usemi kama huo unaitwa rahisi zaidi - una kazi moja tu, na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna kazi ambayo inategemea kutofautisha x. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana. Unahitaji tu kutumia formula:
b = logi a b
Fomula hii ni moja wapo ya sifa kuu za logarithm, na tunapobadilisha usemi wetu wa asili tunapata yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
f (x) = a b
Hii ni fomula inayofahamika kutoka vitabu vya shule. Wanafunzi wengi labda watakuwa na swali: kwa kuwa katika usemi wa asili kazi f (x) iko chini ya ishara ya kumbukumbu, vizuizi vifuatavyo vimewekwa juu yake:
f(x) > 0
Kizuizi hiki kinatumika kwa sababu logariti ya nambari hasi haipo. Kwa hivyo, labda, kama matokeo ya kizuizi hiki, ukaguzi wa majibu unapaswa kuletwa? Labda zinahitaji kuingizwa kwenye chanzo?
Hapana, katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic ukaguzi wa ziada sio lazima. Na ndiyo maana. Angalia fomula yetu ya mwisho:
f (x) = a b
Ukweli ni kwamba nambari a kwa hali yoyote ni kubwa kuliko 0 - hitaji hili pia linawekwa na logarithm. Nambari A ndio msingi. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari b. Lakini hii haijalishi, kwa sababu haijalishi tunainua nambari chanya kwa nguvu gani, bado tutapata nambari chanya kwenye pato. Kwa hivyo, hitaji la f (x) > 0 linaridhika kiotomatiki.
Kinachostahili kuangaliwa ni kikoa cha chaguo za kukokotoa chini ya ishara ya kumbukumbu. Kunaweza kuwa na miundo ngumu kabisa, na hakika unahitaji kuiangalia wakati wa mchakato wa suluhisho. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Hatua ya kwanza: badilisha sehemu iliyo kulia. Tunapata:
Tunaondoa ishara ya logarithm na kupata kawaida mlinganyo usio na mantiki:
Kati ya mizizi iliyopatikana, ya kwanza tu inafaa kwetu, kwani mzizi wa pili ni chini ya sifuri. Jibu pekee litakuwa namba 9. Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa. Hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika ili kuhakikisha kuwa usemi chini ya ishara ya logarithm ni kubwa kuliko 0, kwa sababu sio tu zaidi ya 0, lakini kulingana na hali ya equation ni sawa na 2. Kwa hiyo, mahitaji "kubwa kuliko sifuri." ” inaridhika kiotomatiki.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kila kitu ni sawa hapa. Tunaandika upya ujenzi, kuchukua nafasi ya tatu:
Tunaondoa ishara za logarithm na kupata equation isiyo na maana:
Tunaweka pande zote mbili kwa kuzingatia vikwazo na kupata:
4 − 6x − x 2 = (x -4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Tunatatua equation inayotokana na kibaguzi:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Lakini x = −6 haitufai, kwa sababu tukibadilisha nambari hii kwa usawa wetu, tunapata:
−6 + 4 = −2 < 0
Kwa upande wetu, inahitajika kuwa kubwa kuliko 0 au, katika hali mbaya, sawa. Lakini x = −1 inatufaa:
−1 + 4 = 3 > 0
Jibu pekee katika kesi yetu litakuwa x = -1. Hilo ndilo suluhisho. Hebu turejee mwanzo kabisa wa mahesabu yetu.
Jambo kuu la kuchukua kutoka kwa somo hili ni kwamba hauitaji kuangalia vizuizi kwenye chaguo la kukokotoa katika milinganyo rahisi ya logarithmic. Kwa sababu wakati wa mchakato wa ufumbuzi vikwazo vyote ni kuridhika moja kwa moja.
Walakini, hii haimaanishi kuwa unaweza kusahau juu ya kuangalia kabisa. Katika mchakato wa kufanya kazi kwenye equation ya logarithmic, inaweza kugeuka kuwa isiyo na maana, ambayo itakuwa na vikwazo na mahitaji yake kwa upande wa kulia, ambayo tumeona leo katika mifano miwili tofauti.
Jisikie huru kutatua matatizo kama haya na uwe mwangalifu haswa ikiwa kuna mzizi katika mabishano.
Milinganyo ya logarithmic yenye misingi tofauti
Tunaendelea kusoma hesabu za logarithmic na tunaangalia mbinu mbili za kuvutia zaidi ambazo ni mtindo kutatua zaidi. miundo tata. Lakini kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa:
logi a f (x) = b
Katika ingizo hili, a na b ni nambari, na katika kazi f (x) kigezo x lazima kiwepo, na pale tu, yaani, x lazima iwe tu kwenye hoja. Tutabadilisha milinganyo kama hii ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, kumbuka
b = logi a b
Aidha, b ni hoja haswa. Wacha tuandike tena usemi huu kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Hili ndilo hasa tunalojaribu kufikia, ili kuwe na logarithm ya msingi wa kushoto na kulia. Katika kesi hii, tunaweza, kwa kusema kwa mfano, kuvuka ishara za logi, na kutoka kwa maoni ya hesabu tunaweza kusema kwamba tunasawazisha hoja:
f (x) = a b
Matokeo yake, tutapata usemi mpya ambao utakuwa rahisi sana kutatua. Wacha tuitumie sheria hii kwa shida zetu leo.
Kwa hivyo, muundo wa kwanza:
Kwanza kabisa, ninaona kuwa upande wa kulia ni sehemu ambayo dhehebu lake ni logi. Unapoona usemi kama huu, ni wazo nzuri kukumbuka sifa nzuri ya logarithms:
Ikitafsiriwa katika Kirusi, hii ina maana kwamba logariti yoyote inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logariti mbili na msingi wowote c. Bila shaka 0< с ≠ 1.
Kwa hivyo: formula hii ina kesi moja ya ajabu, wakati variable c ni sawa na kutofautiana b. Katika kesi hii, tunapata muundo kama huu:
Huu ndio hasa ujenzi tunaouona kutoka kwa ishara upande wa kulia katika equation yetu. Wacha tubadilishe ujenzi huu na log a b , tunapata:
Kwa maneno mengine, kwa kulinganisha na kazi ya awali, tulibadilisha hoja na msingi wa logarithm. Badala yake, ilibidi tubadilishe sehemu hiyo.
Tunakumbuka kuwa digrii yoyote inaweza kutolewa kutoka kwa msingi kulingana na sheria ifuatayo:
Kwa maneno mengine, mgawo k, ambayo ni nguvu ya msingi, inaonyeshwa kama sehemu iliyogeuzwa. Wacha tuitoe kama sehemu iliyogeuzwa:
Sababu ya sehemu haiwezi kushoto mbele, kwa sababu katika kesi hii hatutaweza kuwakilisha kiingilio hiki kama fomu ya kisheria (baada ya yote, katika fomu ya kisheria hakuna sababu ya ziada kabla ya logarithm ya pili). Kwa hivyo, wacha tuongeze sehemu 1/4 kwenye hoja kama nguvu:
Sasa tunalinganisha hoja ambazo misingi yake ni sawa (na misingi yetu ni sawa), na andika:
x + 5 = 1
x = -4
Ni hayo tu. Tulipata jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic. Tafadhali kumbuka: katika tatizo la awali, kutofautiana x inaonekana katika logi moja tu, na inaonekana katika hoja yake. Kwa hivyo, hakuna haja ya kuangalia kikoa, na nambari yetu x = -4 ndio jibu.
Sasa hebu tuendelee kwenye usemi wa pili:
gogo 56 = gogo 2 logi 2 7 − 3logi (x + 4)
Hapa, pamoja na logarithms ya kawaida, tutalazimika kufanya kazi na logi f (x). Jinsi ya kutatua equation kama hiyo? Kwa mwanafunzi ambaye hajajitayarisha inaweza kuonekana kama hii ni aina fulani ya kazi ngumu, lakini kwa kweli kila kitu kinaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi.
Angalia kwa karibu neno lg 2 logi 2 7. Tunaweza kusema nini kuhusu hilo? Misingi na hoja za logi na lg ni sawa, na hii inapaswa kutoa maoni kadhaa. Wacha tukumbuke tena jinsi nguvu zinatolewa kutoka chini ya ishara ya logarithm:
log a b n = nlog a b
Kwa maneno mengine, nini ilikuwa nguvu ya b katika hoja inakuwa sababu mbele ya logi yenyewe. Hebu tutumie fomula hii kwa kujieleza lg 2 logi 2 7. Usiogope na lg 2 - hii ndiyo usemi wa kawaida zaidi. Unaweza kuiandika tena kama ifuatavyo:
Sheria zote zinazotumika kwa logarithm nyingine yoyote ni halali kwake. Hasa, jambo lililo mbele linaweza kuongezwa kwa kiwango cha hoja. Hebu tuandike:
Mara nyingi, wanafunzi hawaoni hatua hii moja kwa moja, kwa sababu si vizuri kuingiza logi moja chini ya ishara ya mwingine. Kwa kweli, hakuna kitu cha uhalifu kuhusu hili. Kwa kuongezea, tunapata fomula ambayo ni rahisi kuhesabu ikiwa unakumbuka sheria muhimu:
Fomula hii inaweza kuzingatiwa kama ufafanuzi na kama moja ya sifa zake. Kwa hali yoyote, ikiwa unabadilisha equation ya logarithmic, unapaswa kujua fomula hii kama vile ungejua uwakilishi wa logi wa nambari yoyote.
Wacha turudi kwenye kazi yetu. Tunaiandika upya kwa kuzingatia ukweli kwamba muhula wa kwanza upande wa kulia wa ishara sawa itakuwa sawa na lg 7. Tuna:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Wacha tuhamishe lg 7 kwenda kushoto, tunapata:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tunatoa misemo iliyo upande wa kushoto kwa sababu ina msingi sawa:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sasa hebu tuangalie kwa karibu equation tuliyopata. Ni kivitendo fomu ya kisheria, lakini kuna kipengele -3 upande wa kulia. Wacha tuiongeze kwa hoja sahihi ya lg:
gogo 8 = gogo (x + 4) −3
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlinganyo wa logarithmic, kwa hivyo tunavuka alama za lg na kusawazisha hoja:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Ni hayo tu! Tulitatua mlingano wa pili wa logarithmic. Katika kesi hii, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika, kwa sababu katika tatizo la awali x lilikuwepo katika hoja moja tu.
Nitaiorodhesha tena pointi muhimu somo hili.
Fomula kuu ambayo inafunzwa katika masomo yote kwenye ukurasa huu yaliyowekwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya logarithmic ni fomu ya kisheria. Na usiogope na ukweli kwamba katika vitabu vingi vya shule hufundishwa kutatua kazi zinazofanana tofauti. Chombo hiki hufanya kazi kwa ufanisi sana na hukuruhusu kutatua darasa pana zaidi la shida kuliko zile rahisi ambazo tulisoma mwanzoni mwa somo letu.
Kwa kuongeza, kutatua equations za logarithmic itakuwa muhimu kujua mali ya msingi. Yaani:
- Njia ya kuhamia kwenye msingi mmoja na kesi maalum wakati tunabadilisha logi (hii ilikuwa muhimu sana kwetu katika tatizo la kwanza);
- Mfumo wa kuongeza na kupunguza nguvu kutoka kwa ishara ya logariti. Hapa, wanafunzi wengi hukwama na hawaoni kwamba shahada iliyotolewa na kuletwa inaweza kuwa na logi f (x). Hakuna ubaya kwa hilo. Tunaweza kuanzisha logi moja kulingana na ishara ya nyingine na wakati huo huo kurahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho la tatizo, ambalo ndilo tunaloona katika kesi ya pili.
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza kwamba si lazima kuangalia uwanja wa ufafanuzi katika kila kesi hizi, kwa sababu kila mahali kutofautiana x iko katika ishara moja tu ya logi, na wakati huo huo ni katika hoja yake. Kama matokeo, mahitaji yote ya wigo yanatimizwa kiatomati.
Matatizo na msingi wa kutofautiana
Leo tutaangalia equations za logarithmic, ambazo kwa wanafunzi wengi zinaonekana zisizo za kawaida, ikiwa haziwezi kutatuliwa kabisa. Ni kuhusu kuhusu misemo kulingana na sio kwa nambari, lakini kwa vigezo na hata kazi. Tutasuluhisha ujenzi kama huo kwa kutumia mbinu yetu ya kawaida, ambayo ni kupitia fomu ya kisheria.
Kuanza na, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa, kulingana na nambari za kawaida. Kwa hiyo, ujenzi rahisi zaidi unaitwa
logi a f (x) = b
Ili kutatua shida kama hizo, tunaweza kutumia formula ifuatayo:
b = logi a b
Tunaandika upya usemi wetu wa asili na kupata:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja, i.e. tunaandika:
f (x) = a b
Kwa hivyo, tunaondoa ishara ya logi na kutatua shida ya kawaida. Katika kesi hii, mizizi iliyopatikana kutoka kwa suluhisho itakuwa mizizi ya equation ya awali ya logarithmic. Kwa kuongeza, rekodi wakati kushoto na kulia ziko katika logarithm sawa na msingi sawa inaitwa kwa usahihi fomu ya kisheria. Ni kwa rekodi kama hiyo kwamba tutajaribu kupunguza miundo ya leo. Kwa hiyo, twende.
Jukumu la kwanza:
logi x - 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Badilisha 1 kwa logi x - 2 (x - 2) 1 . Kiwango tunachoona katika hoja ni nambari b iliyosimama upande wa kulia wa ishara sawa. Kwa hivyo, wacha tuandike tena usemi wetu. Tunapata:
gogo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = gogo x - 2 (x - 2)
Tunaona nini? Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic, kwa hivyo tunaweza kusawazisha hoja kwa usalama. Tunapata:
2x 2 - 13x + 18 = x -2
Lakini suluhisho haliishii hapo, kwa sababu kupewa mlinganyo si sawa na ile ya awali. Baada ya yote, ujenzi unaozalishwa unajumuisha kazi ambazo zinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na logarithms yetu ya awali haijafafanuliwa kila mahali na si mara zote.
Kwa hivyo, lazima tuandike kikoa cha ufafanuzi tofauti. Wacha tusigawanye nywele na kwanza tuandike mahitaji yote:
Kwanza, hoja ya kila logariti lazima iwe kubwa kuliko 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Pili, msingi lazima sio tu kuwa mkubwa kuliko 0, lakini pia tofauti na 1:
x − 2 ≠ 1
Kama matokeo, tunapata mfumo:
Lakini usifadhaike: wakati wa kusindika hesabu za logarithmic, mfumo kama huo unaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa.
Jaji mwenyewe: kwa upande mmoja, tunahitajika kwamba kazi ya quadratic iwe kubwa kuliko sifuri, na kwa upande mwingine, kazi hii ya quadratic inalinganishwa na fulani. usemi wa mstari, ambayo pia inahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri.
Katika kesi hii, ikiwa tunahitaji kwamba x - 2 > 0, basi hitaji la 2x 2 - 13x + 18 > 0 litatoshelezwa moja kwa moja. Kwa hiyo, tunaweza kuvuka usawa ulio na kazi ya quadratic kwa usalama. Kwa hivyo, idadi ya misemo iliyo katika mfumo wetu itapunguzwa hadi tatu.
Bila shaka, tunaweza pia kuvuka usawa wa mstari, yaani, tambua x - 2 > 0 na udai kwamba 2x 2 - 13x + 18 > 0. Lakini lazima ukubali kwamba kutatua usawa rahisi zaidi wa mstari ni haraka na rahisi zaidi kuliko quadratic, hata ikiwa ni matokeo ya kutatua nzima. mfumo huu tutapata mizizi sawa.
Kwa ujumla, jaribu kuongeza mahesabu kila inapowezekana. Na katika kesi ya milinganyo ya logarithmic, ondoa tofauti ngumu zaidi.
Wacha tuandike upya mfumo wetu:
Hapa kuna mfumo wa maneno matatu, mawili ambayo sisi, kwa kweli, tayari tumeshughulikia. Wacha tuandike equation ya quadratic kando na tuitatue:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Imetolewa mbele yetu quadratic trinomial na, kwa hivyo, tunaweza kutumia fomula za Vieta. Tunapata:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sasa tunarudi kwenye mfumo wetu na kupata kwamba x = 2 haitufai, kwa sababu tunatakiwa kwamba x iwe kubwa zaidi kuliko 2.
Lakini x = 5 inatufaa kabisa: nambari 5 ni kubwa kuliko 2, na wakati huo huo 5 si sawa na 3. suluhisho pekee ya mfumo huu itakuwa x = 5.
Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa, ikiwa ni pamoja na kuzingatia ODZ. Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili. Mahesabu zaidi ya kuvutia na ya kuelimisha yanatungojea hapa:
Hatua ya kwanza: kama katika mara ya mwisho, tunaleta suala hili lote katika mfumo wa kisheria. Ili kufanya hivyo, tunaweza kuandika nambari 9 kama ifuatavyo.
Sio lazima kugusa msingi na mzizi, lakini ni bora kubadilisha hoja. Wacha tuhame kutoka kwa mzizi hadi kwa nguvu na kielelezo cha busara. Hebu tuandike:
Acha nisiandike upya mlinganyo wetu wote mkubwa wa logarithmic, lakini nisawazishe hoja mara moja:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Mbele yetu kuna utatu mpya uliopunguzwa wa quadratic, hebu tutumie fomula za Vieta na tuandike:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kwa hivyo, tulipata mizizi, lakini hakuna mtu aliyetuhakikishia kwamba ingefaa mlinganyo wa asili wa logarithmic. Baada ya yote, ishara za logi zinaweka vikwazo vya ziada(hapa tunapaswa kuandika mfumo, lakini kutokana na hali mbaya ya muundo mzima, niliamua kuhesabu kikoa cha ufafanuzi tofauti).
Kwanza kabisa, kumbuka kuwa hoja lazima ziwe kubwa kuliko 0, ambazo ni:
Haya ni mahitaji yaliyowekwa na upeo wa ufafanuzi.
Wacha tuangalie mara moja kwamba kwa kuwa tunalinganisha maneno mawili ya kwanza ya mfumo kwa kila mmoja, tunaweza kuvuka yoyote kati yao. Hebu tuchunguze ya kwanza kwa sababu inaonekana ya kutisha kuliko ya pili.
Kwa kuongezea, kumbuka kuwa suluhisho la usawa wa pili na wa tatu litakuwa seti sawa (mchemraba wa nambari fulani ni kubwa kuliko sifuri, ikiwa nambari hii yenyewe ni kubwa kuliko sifuri; vivyo hivyo, na mzizi wa digrii ya tatu - usawa huu. zinafanana kabisa, kwa hivyo tunaweza kuiondoa).
Lakini kwa usawa wa tatu hii haitafanya kazi. Wacha tuondoe ishara kali upande wa kushoto kwa kuinua sehemu zote mbili hadi mchemraba. Tunapata:
Kwa hivyo tunapata mahitaji yafuatayo:
− 2 ≠ x > −3
Ni ipi kati ya mizizi yetu: x 1 = −3 au x 2 = −1 inakidhi mahitaji haya? Ni wazi, ni x = −1 pekee, kwa sababu x = −3 haikidhi usawa wa kwanza (kwani ukosefu wetu wa usawa ni mkali). Kwa hivyo, tukirudi kwenye shida yetu, tunapata mzizi mmoja: x = -1. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mambo muhimu ya kazi hii:
- Jisikie huru kutumia na kutatua milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Wanafunzi wanaoandika hivi, badala ya kwenda moja kwa moja kutoka kwa shida ya asili kwenda kwa ujenzi kama logi a f (x) = b, ruhusu mengi. makosa kidogo kuliko wale ambao wana haraka mahali fulani, wakiruka hatua za kati za mahesabu;
- Mara tu logarithm inaonekana msingi wa kutofautiana, kazi huacha kuwa rahisi zaidi. Kwa hivyo, wakati wa kuisuluhisha, ni muhimu kuzingatia kikoa cha ufafanuzi: hoja lazima ziwe kubwa kuliko sifuri, na misingi haipaswi kuwa kubwa kuliko 0 tu, lakini pia haipaswi kuwa sawa na 1.
Mahitaji ya mwisho yanaweza kutumika kwa majibu ya mwisho kwa njia tofauti. Kwa mfano, unaweza kutatua mfumo mzima ulio na mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi. Kwa upande mwingine, unaweza kwanza kutatua tatizo yenyewe, na kisha kumbuka kikoa cha ufafanuzi, ufanyie kazi tofauti katika mfumo wa mfumo na uitumie kwenye mizizi iliyopatikana.
Ni njia gani ya kuchagua wakati wa kusuluhisha mlinganyo fulani wa logarithmic ni juu yako. Kwa hali yoyote, jibu litakuwa sawa.
Maagizo
Andika usemi uliopewa wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikitolewa kazi ngumu, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya ile ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika kupewa point y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hivyo, ni tofauti gani kati ya equation isiyo na mantiki na ya busara? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara kipeo, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x. Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo, 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo equation hii haina mizizi.
Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kusuluhisha equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya asili.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, kwa upande wa kulia na kisha kutumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, equation ya kawaida ya quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Hivyo, kwa msaada wa rahisi zaidi shughuli za hesabu kazi iliyopo itatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupi wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi na fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili sawa na mraba ya kwanza ikijumlisha mara mbili bidhaa ya ya kwanza kwa ya pili na kujumlisha mraba wa ya pili, yaani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kulingana na kitabu cha maandishi uchambuzi wa hisabati au hisabati ya juu, ambayo ni kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho uhakika muhimu kuna kazi ambayo derivative yake inatoa integrand. Kazi hii inaitwa antiderivative. Na kanuni hii na huunda viambajengo vikuu.Kuamua kwa aina ya integrand ambayo ya viungo vya meza yanafaa katika kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa kazi ya integrand ni kazi ya trigonometric, ambaye hoja yake ina polynomial, basi jaribu kutumia njia ya uingizwaji ya kutofautisha. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Kwa kutofautisha usemi huu, pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo utapata aina mpya ya kiungo cha awali, karibu na au hata kinacholingana na jedwali lolote.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii hukuruhusu kwenda kutoka kwa mtiririko wa rotor wa utendakazi fulani wa vekta hadi kiunganishi cha tatu juu ya tofauti ya uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza badilisha thamani kikomo cha juu katika usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kazi ya antiderivative ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile usemi unajitahidi.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.
Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, vielelezo vyao kila wakati huongeza (a b *a c = a b+c). Hii sheria ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mwanahisabati Virasen aliunda jedwali la vielelezo kamili. Wao ndio waliotumikia kufunguka zaidi logarithmu. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Kwa lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.
Ufafanuzi katika hisabati
Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: logi a b=c, yaani, logariti ya yoyote. nambari isiyo hasi(yaani, chanya yoyote) "b" kwa msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu ya "c" ambayo msingi "a" lazima uinzwe ili hatimaye kupata thamani "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata nguvu kwamba kutoka 2 hadi nguvu zinazohitajika unapata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika kichwa chako, tunapata namba 3! Na hiyo ni kweli, kwa sababu 2 kwa uwezo wa 3 inatoa jibu kama 8.
Aina za logarithm
Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna tatu aina ya mtu binafsi maneno ya logarithmic:
- Logarithm ya asili ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
- Desimali a, ambapo msingi ni 10.
- Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.
Kila mmoja wao ameamua kwa njia ya kawaida, ambayo inajumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.
Sheria na baadhi ya vikwazo
Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni ukweli. Kwa mfano, haiwezekani kugawanya nambari kwa sifuri, na pia haiwezekani kutoa mzizi hata wa nambari hasi. Logarithms pia ina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:
- Msingi "a" lazima iwe kubwa zaidi kuliko sifuri, na si sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
- ikiwa > 0, kisha b > 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.
Jinsi ya kutatua logarithms?
Kwa mfano, kazi inapewa kupata jibu la equation 10 x = 100. Hii ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kwa kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, ni 10 2 = 100.
Sasa hebu tuwazie usemi huu katika fomu ya logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logarithms, vitendo vyote hukutana kivitendo ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuingiza msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyotolewa.
Ili kuamua thamani kwa usahihi shahada isiyojulikana unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Inaonekana kama hii:
Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa angavu ikiwa una akili ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Hata hivyo kwa maadili makubwa utahitaji meza ya digrii. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu tata mada za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli zina nambari za nambari ambazo ni jibu (a c = b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kwamba hata mwanadamu wa kweli zaidi ataelewa!
Equations na kutofautiana
Inabadilika kuwa chini ya hali fulani kielelezo ni logarithm. Kwa hiyo, hisabati yoyote maneno ya nambari inaweza kuandikwa kama mlinganyo wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 =81 inaweza kuandikwa kama logariti msingi 3 ya 81 sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32 tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutaangalia mifano na ufumbuzi wa equations hapa chini, mara baada ya kujifunza mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.
Kwa kuzingatia usemi wa fomu ifuatayo: logi 2 (x-1) > 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logariti. Na pia katika usemi idadi mbili zinalinganishwa: logarithm ya nambari inayotakiwa kwa msingi wa pili ni kubwa kuliko nambari tatu.
Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa ni kwamba milinganyo yenye logariti (kwa mfano, logariti 2 x = √9) inaashiria jibu moja au zaidi mahususi. maadili ya nambari, wakati wa kutatua kukosekana kwa usawa hufafanuliwa kama eneo maadili yanayokubalika, na vizuizi vya chaguo hili la kukokotoa. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari za mtu binafsi, kama katika jibu la equation, lakini badala yake. mfululizo endelevu au seti ya nambari.
Nadharia za msingi kuhusu logarithms
Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani za kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutaangalia mifano ya milinganyo baadaye; wacha kwanza tuangalie kila mali kwa undani zaidi.
- Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB =B. Inatumika tu wakati a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
- Logariti ya bidhaa inaweza kuwakilishwa ndani formula ifuatayo: logi d (s 1 *s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii sharti ni: d, s 1 na s 2 > 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithmic, kwa mifano na suluhisho. Hebu tuandikie s 1 = f 1 na uweke s 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata kwamba s 1 * s 2 = a f1 * f2 = f1 + f2 (sifa za digrii ), na kisha kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka s1 + logi a s 2, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
- Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1/ s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
- Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua mtazamo unaofuata: logi a q b n = n/q logi a b.
Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm." Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote zinategemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.
Hebu tuandikie b = t, inageuka t =b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu m: a tn = b n;
lakini kwa kuwa tn = (a q) nt/q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n*t)/t, kisha weka q b n = n/q logi a b. Nadharia imethibitishwa.
Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa
Aina za kawaida za matatizo kwenye logariti ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia zimejumuishwa sehemu ya lazima mitihani ya hisabati. Kwa ajili ya kujiunga na chuo kikuu au kupita mitihani ya kuingia katika hisabati unahitaji kujua jinsi ya kutatua matatizo hayo kwa usahihi.
Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana Hakuna kitu kama logarithm, lakini unaweza kuitumia kwa kila usawa wa hisabati au mlinganyo wa logarithmic. sheria fulani. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi unaweza kurahisishwa au kusababisha muonekano wa jumla. Rahisisha ndefu maneno ya logarithmic inawezekana ikiwa unatumia mali zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu haraka.
Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic, lazima tubaini ni aina gani ya logariti tuliyo nayo: usemi wa mfano unaweza kuwa na logariti asilia au desimali.
Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba wanahitaji kuamua nguvu ambayo msingi 10 itakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Kwa ufumbuzi logarithms asili haja ya kuomba vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Wacha tuangalie suluhisho kwa mifano matatizo ya logarithmic aina tofauti.
Jinsi ya Kutumia Fomula za Logarithm: Pamoja na Mifano na Suluhisho
Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia za kimsingi kuhusu logarithms.
- Mali ya logarithm ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kupanua umuhimu mkubwa nambari b kuwa sababu rahisi. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4*128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
- logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, tuliweza kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuangazia msingi na kisha kuchukua maadili ya kielelezo nje ya ishara ya logarithm.
Kazi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa
Logarithms mara nyingi hupatikana ndani mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika Mtihani wa Jimbo la Umoja ( Mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kwa kawaida, kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (sehemu rahisi ya mtihani wa mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na kubwa). Mtihani unahitaji maarifa sahihi na kamili ya mada "Logarithms asili".
Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka rasmi Chaguo za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.
Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
hebu tuandike upya usemi huo, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.
- Ni bora kupunguza logarithms zote kwa msingi sawa ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
- Semi zote zilizo chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo, wakati kipeo cha usemi kilicho chini ya ishara ya logariti na msingi wake unapotolewa kama kizidishi, usemi unaosalia chini ya logariti lazima kiwe chanya.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.