Kufuatia kutoka jana:
Wacha tucheze na mosaic kulingana na hadithi ya jiometri:
Wakati mmoja kulikuwa na pembetatu. Sawa sana hivi kwamba ni nakala za kila mmoja.
Kwa namna fulani walisimama upande kwa upande katika mstari ulionyooka. Na kwa kuwa wote walikuwa na urefu sawa -
kisha vichwa vyao vilikuwa katika kiwango sawa, chini ya mtawala;
Pembetatu zilipenda kujiangusha na kusimama juu ya vichwa vyao. Walipanda hadi safu ya juu na kusimama kwenye kona kama wanasarakasi.
Na tayari tunajua - wanaposimama na vichwa vyao kwenye mstari,
basi nyayo zao pia hufuata rula - kwa sababu ikiwa mtu ana urefu sawa, basi pia ni urefu sawa juu chini!
Walikuwa sawa katika kila kitu - urefu sawa, na nyayo sawa,
na slides kwenye pande - moja mwinuko, nyingine gorofa - ni sawa kwa urefu
na wana mteremko sawa. Naam, mapacha tu! (katika nguo tofauti tu, kila moja na kipande chake cha fumbo).
- Pembetatu ziko wapi pande zinazofanana? Ambapo ni pembe sawa?
Pembetatu zilisimama juu ya vichwa vyao, zikasimama pale, na kuamua kuteleza na kulala chini kwenye safu ya chini.
Waliteleza na kuteleza chini ya kilima; lakini slaidi zao ni sawa!
Kwa hivyo zinafaa kabisa kati ya pembetatu za chini, bila mapengo, na hakuna mtu aliyesukuma mtu kando.
Tuliangalia pembetatu na kuona kipengele cha kuvutia.
Popote pembe zao zinapokutana, pembe zote tatu hakika zitakutana:
kubwa zaidi ni "angle ya kichwa", pembe ya papo hapo zaidi na ya tatu, ya kati kubwa zaidi.
Walifunga hata ribbons za rangi ili iwe wazi mara moja ni ipi.
Na ikawa kwamba pembe tatu za pembetatu, ikiwa utazichanganya -
tengeneza pembe moja kubwa, "kona wazi" - kama kifuniko cha kitabu wazi,
________________________________________ O ____________________
inaitwa pembe iliyogeuka.
Pembetatu yoyote ni kama pasipoti: pembe tatu pamoja ni sawa na pembe iliyofunuliwa.
Mtu anagonga mlango wako: - gonga-bisha, mimi ni pembetatu, wacha nilale!
Na unamwambia - Nionyeshe jumla ya pembe katika umbo lililopanuliwa!
Na ni wazi mara moja ikiwa hii ni pembetatu halisi au mdanganyifu.
Imeshindwa kuthibitisha - Geuka digrii mia moja na themanini na uende nyumbani!
Wanaposema "geuka 180 °" ina maana ya kugeuka nyuma na
kwenda kinyume.
Jambo lile lile katika misemo inayojulikana zaidi, bila "mara moja kwa wakati":
Hebu tufanye uhamisho sambamba pembetatu ABC pamoja na mhimili OX
kwa vekta AB sawa na urefu Msingi wa AB.
Mstari wa DF unaopita kwenye vipeo C na C 1 vya pembetatu
sambamba na mhimili wa OX, kutokana na ukweli kwamba perpendicular kwa mhimili OH
sehemu h na h 1 (urefu pembetatu sawa) ni sawa.
Hivyo, msingi wa pembetatu A 2 B 2 C 2 ni sawa na msingi AB
na sawa nayo kwa urefu (kwani kipeo C 1 kinahamishwa kuhusiana na C kwa kiasi cha AB).
Pembetatu A 2 B 2 C 2 na ABC ni sawa kwa pande tatu.
Kwa hivyo, pembe ∠A 1 ∠B ∠C 2 zinazounda pembe iliyonyooka ni sawa na pembe za pembetatu ABC.
=> Jumla ya pembe za pembetatu ni 180°
Na harakati - "tafsiri", kinachojulikana kama dhibitisho ni fupi na wazi zaidi,
hata mtoto anaweza kuelewa vipande vya mosaic.
Lakini shule ya jadi:
kwa kuzingatia usawa wa pembe za ndani za uwongo zilizokatwa kwenye mistari inayofanana
muhimu kwa kuwa inatoa wazo la kwa nini hii ni hivyo,
Kwa nini jumla ya pembe za pembetatu ni sawa na pembe ya nyuma?
Kwa sababu vinginevyo mistari inayofanana haingekuwa na sifa zinazojulikana kwa ulimwengu wetu.
Nadharia hufanya kazi kwa njia zote mbili. Kutoka kwa axiom ya mistari inayofanana inafuata
usawa wa kusema uongo na pembe za wima, na kutoka kwao - jumla ya pembe za pembetatu.
Lakini kinyume chake pia ni kweli: mradi tu pembe za pembetatu ni 180 °, kuna mistari inayofanana.
(kiasi kwamba kupitia nukta ambayo haijalala kwenye mstari mtu anaweza kuchora mstari wa kipekee || wa uliopewa).
Ikiwa siku moja pembetatu inaonekana ulimwenguni ambayo jumla ya pembe sio sawa na pembe iliyofunuliwa -
basi zinazofanana zitakoma kuwa sambamba, dunia nzima itapinda na kupindishwa.
Ikiwa kupigwa kwa muundo wa pembetatu huwekwa moja juu ya nyingine -
unaweza kufunika uwanja mzima na muundo unaorudiwa, kama sakafu iliyo na vigae:
unaweza kufuata maumbo tofauti kwenye gridi kama hiyo - hexagons, rhombuses,
nyota poligoni na kupata aina ya parquets
Kuweka tiles kwenye parquet sio mchezo wa kufurahisha tu, bali pia ni muhimu. tatizo la hisabati:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Kwa kuwa kila pembe nne ni mstatili, mraba, rhombus, nk.
inaweza kuwa na pembetatu mbili,
kwa mtiririko huo, jumla ya pembe za pembe nne: 180 ° + 180 ° = 360 °
Pembetatu zinazofanana za isosceles zimekunjwa katika miraba kwa njia tofauti.
Mraba mdogo wa sehemu 2. Wastani wa 4. Na kubwa zaidi ya 8.
Kuna takwimu ngapi kwenye mchoro, unaojumuisha pembetatu 6?
Taarifa za awali
Kwanza, hebu tuangalie moja kwa moja dhana ya pembetatu.
Ufafanuzi 1
Tutaiita pembetatu takwimu ya kijiometri, ambayo imeundwa na pointi tatu zilizounganishwa na makundi (Mchoro 1).
Ufafanuzi 2
Ndani ya mfumo wa Ufafanuzi 1, tutaita pointi wima za pembetatu.
Ufafanuzi 3
Ndani ya mfumo wa Ufafanuzi 1, sehemu zitaitwa pande za pembetatu.
Kwa wazi, pembetatu yoyote itakuwa na wima 3, pamoja na pande tatu.
Nadharia juu ya jumla ya pembe katika pembetatu
Wacha tutambue na tuthibitishe moja ya nadharia kuu zinazohusiana na pembetatu, ambayo ni nadharia juu ya jumla ya pembe katika pembetatu.
Nadharia 1
Jumla ya pembe katika pembetatu yoyote isiyo ya kawaida ni $180^\circ$.
Ushahidi.
Zingatia pembetatu $EGF$. Hebu tuthibitishe kwamba jumla ya pembe katika pembetatu hii ni sawa na $180^\circ$. Hebu tufanye ujenzi wa ziada: chora mstari wa moja kwa moja $XY||EG$ (Mchoro 2)
Kwa kuwa mistari $XY$ na $EG$ inalingana, basi $∠E=∠XFE$ inalala kwa njia tofauti kwenye sekunde $FE$, na $∠G=∠YFG$ inalala kwa njia tofauti kwenye sekunde $FG$.
Pembe $XFY$ itabadilishwa na kwa hivyo ni sawa na $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Kwa hivyo
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Nadharia imethibitishwa.
Nadharia ya Pembe ya Nje ya Pembetatu
Nadharia nyingine juu ya jumla ya pembe kwa pembetatu inaweza kuchukuliwa kuwa nadharia kwenye pembe ya nje. Kwanza, hebu tuanzishe dhana hii.
Ufafanuzi 4
Tutaita pembe ya nje ya pembetatu pembe ambayo itakuwa karibu na pembe yoyote ya pembetatu (Mchoro 3).
Sasa hebu tuangalie nadharia moja kwa moja.
Nadharia 2
Pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe mbili za pembetatu ambazo haziko karibu nayo.
Ushahidi.
Hebu tuzingatie pembetatu ya kiholela$EFG$. Hebu iwe na pembe ya nje ya pembetatu $FGQ$ (Mchoro 3).
Kwa nadharia ya 1, tutakuwa na $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, kwa hivyo,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Kwa kuwa pembe $FGQ$ ni ya nje, iko karibu na pembe $∠G$, basi
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Nadharia imethibitishwa.
Kazi za sampuli
Mfano 1
Tafuta pembe zote za pembetatu ikiwa ni sawa.
Kwa hivyo ukoje pembetatu ya usawa pande zote ni sawa, basi tutakuwa na kwamba pembe zote ndani yake pia ni sawa kwa kila mmoja. Wacha tuonyeshe vipimo vyao vya digrii kwa $α$.
Kisha, kwa Theorem 1 tunapata
$α+α+α=180^\circ$
Jibu: pembe zote ni sawa na $60^\circ$.
Mfano 2
Tafuta pembe zote za pembetatu ya isosceles ikiwa moja ya pembe zake ni sawa na $100^\circ$.
Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo ya pembe katika pembetatu ya isosceles:
Kwa kuwa hatujapewa katika hali ni angle gani $100^\circ$ ni sawa, basi kesi mbili zinawezekana:
Pembe sawa na $100^\circ$ ni pembe iliyo chini ya pembetatu.
Kutumia theorem kwenye pembe kwenye msingi wa pembetatu ya isosceles, tunapata
$∠2=∠3=100^\circ$
Lakini basi jumla yao tu itakuwa kubwa kuliko $180^\circ$, ambayo inapingana na masharti ya Theorem 1. Hii ina maana kwamba kesi hii haitokei.
Pembe sawa na $100^\circ$ ni pembe kati pande sawa, hiyo ni
Swali lilifunguliwa 04/08/2017 saa 12:25
Si kweli___
2. Katika pembetatu ya isosceles, pembe kwenye msingi ni butu.
Si kweli___
3. Wakati mistari miwili inayofanana inapoingiliana na msalaba, pembe za uongo ni sawa.
pembe zinazolingana.
Si kweli___
4. Wakati mistari miwili inayofanana inapokutana na kuvuka, jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °.
Si kweli___
5. Pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na tofauti ya pembe mbili za pembetatu ambazo hazipo karibu nayo.
Si kweli___
6.Milalo ya parallelogram ni sawa.
Si kweli___
7. Ulalo wa mraba ni wa pande zote.
Si kweli___
8.Milalo ya mstatili hugawanya pembe za mstatili.
Si kweli___
9.Wastani wa pembetatu hugawanya pande za pembetatu kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex.
Si kweli___
10.Vipande viwili vya pembetatu vinakatiza katika hatua moja.
Si kweli___
11. Urefu wa pembetatu ya isosceles inayotolewa kwa msingi ni wastani na sehemu mbili.
Si kweli___
12. Pembetatu yenye mraba kwenye moja ya pande zake sawa na jumla mraba wa pande nyingine mbili, mstatili.
Si kweli___
13. Aquadrilateral ambayo pande zake mbili ni sambamba ni trapezoid.
Si kweli___
14. Katika parallelogram, jumla ya mraba wa diagonals ni sawa na jumla ya mraba wa pande zake zote.
Si kweli___
15.Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya mraba wa upande na sine ya pembe ya rhombus.
Si kweli___
16. Eneo la mstatili ni sawa na nusu ya bidhaa ya mraba ya diagonal na sine ya pembe kati ya diagonal.
Si kweli___
17. Tangent ya angle ya papo hapo pembetatu ya kulia sawa na uwiano mguu wa karibu kwa kinyume.
Si kweli___
18. Radi ya mduara iliyozunguka juu ya pembetatu ya kulia ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na kinyume chake.
Si kweli___
19.Ncha za kati za pande za pembe nne ni vipeo vya msambamba.
Si kweli___
20.Ikiwa diagonal za parallelogram ni sawa, basi msambamba huu ni mraba.
Si kweli___
21. Sehemu ya kuunganisha katikati ya diagonals ya trapezoid ni sawa na nusu ya tofauti ya besi zake.
Si kweli___
22. Hatua ya makutano ya kuendelea kwa pande za kando za trapezoid na katikati ya besi zake ziko kwenye mstari huo wa moja kwa moja.
Si kweli___
23.Ikiwa pembe kwenye msingi wa trapezoid ni sawa, basi ni isosceles.
Si kweli___
24. Mstari wa kati wa trapezoid ni sawa na nusu ya tofauti ya besi zake.
Si kweli___
25.Uwiano wa eneo takwimu zinazofanana sawa na mgawo wa kufanana.
Si kweli___
26. Kipenyo cha perpendicular kwa chord hugawanya arcs iliyopunguzwa nayo kwa nusu.
Si kweli___
27. Kati ya chords mbili, moja ambayo iko mbali zaidi kutoka katikati ni kubwa.
Si kweli___
28.Radi ya duara ni kipenyo mara mbili.
Si kweli___
29. Mstari wa moja kwa moja ambao una pointi mbili za kawaida na mduara ni tangent.
Si kweli___
30. Katikati ya duara iliyoandikwa kwa pembe iko kwenye sehemu mbili za pembe hii.
Si kweli___
31.Kipeo cha pembe iliyoandikwa kiko katikati ya duara.
Si kweli___
32.Vituo vya duara na duara ya pembetatu ya equilateral vinapatana.
Si kweli___
33.Mduara unaweza kuandikwa katika pembe nne ikiwa ni jumla pembe za kinyume sawa na 180 °.
Si kweli___
34. Mzingo wa duara ni sawa na ∏d, ambapo d ni kipenyo cha duara.
Si kweli___
35. Jumla ya pembe za poligoni ni 180°:(n-2).
Si kweli___
36. Hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na mguu uliogawanywa na sine ya pembe kinyume na mguu huu.
Si kweli___
37. Sehemu ya pembetatu inagawanya upande wake katika sehemu sawia na pande nyingine mbili.
Si kweli___
38. Mistari iliyo na urefu wa pembetatu huingiliana kwa pointi tatu.
Si kweli___
39.Njia ya makutano ya vipengee viwili vya pembetatu ni katikati ya duara iliyozungushiwa pembetatu hii.
Si kweli___
40. Pembe kati ya bisectors ya pembe za wima ni 180 °.
Si kweli___
Nadharia hii pia imeundwa katika kitabu cha maandishi na L.S. Atanasyan. , na katika kitabu cha maandishi cha Pogorelov A.V. . Uthibitisho wa nadharia hii katika vitabu hivi vya kiada hautofautiani sana, na kwa hivyo tunatoa uthibitisho wake, kwa mfano, kutoka kwa kitabu cha kiada cha A.V. Pogorelov.
Nadharia: Jumla ya pembe za pembetatu ni 180 °
Ushahidi. Wacha ABC - pembetatu iliyotolewa. Hebu tuchore mstari kupitia kipeo B sambamba na mstari wa AC. Wacha tuweke alama D juu yake ili alama A na D zilala pamoja pande tofauti kutoka kwa mstari wa moja kwa moja BC (Mchoro 6).
Angles DBC na ACB ni sawa na zile zinazoingiliana za ndani, zinazoundwa na secant BC na mistari iliyonyooka sambamba AC na BD. Kwa hiyo, jumla ya pembe za pembetatu kwenye wima B na C ni sawa na ABD ya pembe. Na jumla ya pembe zote tatu za pembetatu ni sawa na jumla ya pembe ABD na BAC. Kwa kuwa hizi ni pembe za mambo ya ndani za upande mmoja kwa AC na BD sambamba na secant AB, jumla yao ni 180°. Nadharia imethibitishwa.
Wazo la uthibitisho huu ni kutekeleza mstari sambamba na uteuzi wa usawa wa pembe zinazohitajika. Wacha tujenge tena wazo la ujenzi kama huo wa ziada kwa kudhibitisha nadharia hii kwa kutumia wazo la jaribio la mawazo. Uthibitisho wa nadharia kwa kutumia jaribio la mawazo. Kwa hivyo, somo la jaribio letu la mawazo ni pembe za pembetatu. Hebu tumweke kiakili katika hali ambazo ndani yake kiini chake kinaweza kufunuliwa kwa uhakika fulani (hatua ya 1).
Hali kama hizo zitakuwa mpangilio wa pembe za pembetatu ambayo wima zao zote tatu zitaunganishwa kwa wakati mmoja. Mchanganyiko huo unawezekana ikiwa tunaruhusu uwezekano wa "kusonga" pembe kwa kusonga pande za pembetatu bila kubadilisha angle ya mwelekeo (Mchoro 1). Harakati kama hizo kimsingi ni mabadiliko ya kiakili yanayofuata (hatua ya 2).
Kwa kuteua pembe na pande za pembetatu (Mchoro 2), pembe zilizopatikana kwa "kusonga," sisi kwa hivyo kiakili huunda mazingira, mfumo wa uhusiano ambao tunaweka somo letu la mawazo (hatua ya 3).
Mstari wa AB, "kusonga" kando ya mstari wa BC na bila kubadilisha angle ya mwelekeo kwake, huhamisha angle ya 1 hadi angle ya 5, na "kusonga" kando ya mstari wa AC, huhamisha angle ya 2 hadi angle ya 4. Kwa kuwa kwa "harakati" kama hiyo mstari AB haibadilishi pembe ya mwelekeo kwa mistari AC na BC, basi hitimisho ni dhahiri: miale a na a1 ni sawa na AB na hubadilika kuwa kila mmoja, na mionzi b na b1 ni mwendelezo wa pande BC na AC, mtawaliwa. Kwa kuwa pembe 3 na pembe kati ya mionzi b na b1 ni wima, ni sawa. Jumla ya pembe hizi ni sawa na pembe iliyozunguka aa1 - ambayo ina maana 180 °.
HITIMISHO
KATIKA kazi ya diploma ilifanya uthibitisho "uliojengwa" wa baadhi ya shule nadharia za kijiometri, kwa kutumia muundo wa jaribio la mawazo, ambalo lilithibitisha hypothesis iliyoundwa.
Ushahidi uliowasilishwa ulitegemea maoni kama haya ya kuona na hisia: "compression", "kunyoosha", "kuteleza", ambayo ilifanya iwezekane kubadilisha asili. kitu cha kijiometri na kuangazia sifa zake muhimu, ambazo ni za kawaida kwa jaribio la mawazo. Ambapo jaribio la mawazo hufanya kama "zana fulani ya ubunifu" ambayo inachangia kuibuka kwa maarifa ya kijiometri (kwa mfano, kuhusu mstari wa kati trapezoid au juu ya pembe za pembetatu). Mawazo kama haya hufanya iwezekane kufahamu wazo zima la uthibitisho, wazo la kufanya "ujenzi wa ziada," ambayo huturuhusu kuzungumza juu ya uwezekano wa uelewa wa ufahamu zaidi wa watoto wa shule wa mchakato wa uthibitisho rasmi wa kupunguzwa. nadharia za kijiometri.
Jaribio la mawazo ni mojawapo ya mbinu za msingi kupata na kugundua nadharia za kijiometri. Inahitajika kuunda mbinu ya kuhamisha njia kwa mwanafunzi. Inabaki swali wazi kuhusu umri wa mwanafunzi unaokubalika kwa "kukubali" mbinu, kuhusu " madhara»ushahidi uliotolewa kwa njia hii.
Maswali haya yanahitaji utafiti wa ziada. Lakini kwa hali yoyote, jambo moja ni hakika: majaribio ya mawazo yanaendelea kwa watoto wa shule kufikiri kinadharia, ni msingi wake na, kwa hiyo, uwezo wa majaribio ya akili unahitaji kuendelezwa.