Sifa za kimsingi za logariti asilia, grafu, kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili, fomula za kimsingi, derivative, muhimu, upanuzi katika mfululizo wa nguvu na uwakilishi wa chaguo za kukokotoa ln x kwa kutumia nambari changamano.
Ufafanuzi
Logarithm ya asili ni kazi y = ln x, kinyume na kielelezo, x = e y , na ni logarithm kulingana na nambari e: ln x = logi e x.
Logarithm asilia hutumiwa sana katika hisabati kwa sababu derivative yake ina umbo rahisi zaidi: (ln x)′ = 1/ x.
Kulingana ufafanuzi, msingi wa logarithm asili ni nambari e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafu ya kazi y = ln x.
Grafu ya logarithm asili (kazi y = ln x) hupatikana kutoka michoro ya kielelezo picha ya kioo kuhusiana na mstari wa moja kwa moja y = x.
Logarithm asili imefafanuliwa kwa maadili chanya tofauti x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.
Katika x → 0 kikomo cha logariti asilia ni minus infinity (-∞).
Kama x → + ∞, kikomo cha logariti asilia ni pamoja na infinity (+ ∞). Kwa x kubwa, logarithm huongezeka polepole kabisa. Yoyote kazi ya nguvu x a s kiashiria chanya shahada a hukua haraka kuliko logariti.
Tabia za logarithm ya asili
Domain ya ufafanuzi, seti ya maadili, extrema, ongezeko, kupungua
Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema. Mali kuu ya logarithm ya asili yanawasilishwa kwenye meza.
thamani ya ln
ln 1 = 0
Njia za kimsingi za logarithm asili
Mifumo ifuatayo kutoka kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume:
Mali kuu ya logarithms na matokeo yake
Msingi wa formula badala
Logarithm yoyote inaweza kuonyeshwa kwa masharti ya logarithms asili kwa kutumia formula ya uingizwaji ya msingi:
Uthibitisho wa fomula hizi umewasilishwa katika sehemu "Logarithm".
Kitendaji kinyume
Kinyume cha logarithm asilia ni kielelezo.
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi.
Dawa inayotokana na ln x
Imetokana na logarithm asilia:
.
Inatokana na logariti asilia ya modulus x:
.
Inatokana na agizo la nth:
.
Kuunda fomula >>>
Muhimu
Kiunga kinahesabiwa kuunganishwa kwa sehemu :
.
Kwa hiyo,
Semi kwa kutumia nambari changamano
Fikiria kazi ya tofauti changamano z:
.
Hebu tueleze tofauti tata z kupitia moduli r na hoja φ
:
.
Kutumia mali ya logarithm, tunayo:
.
Au
.
Hoja φ haijafafanuliwa kipekee. Ukiweka
, ambapo n ni nambari kamili,
itakuwa nambari sawa kwa tofauti n.
Kwa hivyo, logariti asilia, kama kazi ya kigezo changamano, si kazi yenye thamani moja.
Upanuzi wa mfululizo wa nguvu
Wakati upanuzi unafanyika:
Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.
Tunaendelea kusoma logarithms. Katika makala hii tutazungumzia kuhesabu logarithm, mchakato huu unaitwa logarithm. Kwanza tutaelewa hesabu ya logarithms kwa ufafanuzi. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi maadili ya logarithms yanapatikana kwa kutumia mali zao. Baada ya hayo, tutazingatia kuhesabu logarithms kupitia awali kuweka maadili logarithmu zingine. Hatimaye, hebu tujifunze jinsi ya kutumia meza za logarithm. Nadharia nzima imetolewa na mifano yenye masuluhisho ya kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa logariti kwa ufafanuzi
Katika hali rahisi, inawezekana kufanya haraka na kwa urahisi kutafuta logarithm kwa ufafanuzi. Wacha tuangalie kwa undani jinsi mchakato huu unavyotokea.
Kiini chake ni kuwakilisha nambari b katika fomu a c, ambayo, kwa ufafanuzi wa logarithm, nambari c ni thamani ya logarithm. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, mlolongo ufuatao wa usawa unalingana na kutafuta logarithm: log a b=log a a c =c.
Kwa hivyo, kuhesabu logariti kwa ufafanuzi kunakuja kupata nambari c hivi kwamba c = b, na nambari c yenyewe ndio dhamana inayotakikana ya logariti.
Kwa kuzingatia habari katika aya zilizopita, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm inatolewa na nguvu fulani ya msingi wa logarithm, unaweza kuonyesha mara moja ni nini logarithm ni sawa - ni. sawa na kiashiria digrii. Wacha tuonyeshe suluhisho kwa mifano.
Mfano.
Tafuta logi 2 2 -3, na pia uhesabu logarithm ya asili ya nambari e 5,3.
Suluhisho.
Ufafanuzi wa logarithm hutuwezesha kusema mara moja kwamba logi 2 2 -3 =-3. Hakika, nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi 2 hadi -3 nguvu.
Vile vile, tunapata logarithm ya pili: lne 5.3 =5.3.
Jibu:
logi 2 2 -3 =−3 na lne 5,3 =5,3.
Ikiwa nambari b chini ya ishara ya logariti haijabainishwa kama nguvu ya msingi wa logarithm, basi unahitaji kuangalia kwa uangalifu ili kuona ikiwa inawezekana kuja na uwakilishi wa nambari b katika fomu a c . Mara nyingi uwakilishi huu ni dhahiri kabisa, haswa wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti ni sawa na msingi kwa nguvu ya 1, au 2, au 3, ...
Mfano.
Kukokotoa logariti logi 5 25 , na .
Suluhisho.
Ni rahisi kuona kwamba 25=5 2, hii inakuwezesha kukokotoa logariti ya kwanza: logi 5 25=logi 5 5 2 =2.
Wacha tuendelee kuhesabu logarithm ya pili. Nambari inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya 7: 
(angalia ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, 
.
Wacha tuandike upya logarithm ya tatu ndani fomu ifuatayo. Sasa unaweza kuona hilo 
, ambayo tunahitimisha kuwa 
. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi wa logarithm 
.
Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Jibu:
kumbukumbu 5 25=2 , 
Na .
Wakati chini ya ishara ya logarithm kuna kubwa ya kutosha nambari ya asili, basi haitaumiza kuitenganisha ndani sababu kuu. Mara nyingi husaidia kuwakilisha nambari kama nguvu fulani ya msingi wa logariti, na kwa hivyo kuhesabu logariti hii kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta thamani ya logariti.
Suluhisho.
Baadhi ya sifa za logariti hukuruhusu kutaja mara moja thamani ya logarithms. Sifa hizi ni pamoja na sifa ya logariti ya kitengo na sifa ya logariti ya nambari, sawa na msingi: logi 1 1=logi a 0 =0 na uweke a=logi a a 1 =1 . Hiyo ni, wakati chini ya ishara ya logarithm kuna nambari 1 au nambari sawa na msingi wa logarithm, basi katika kesi hizi logarithms ni sawa na 0 na 1, kwa mtiririko huo.
Mfano.
Logarithms na log10 ni sawa na nini?
Suluhisho.
Tangu , basi kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata 
.
Katika mfano wa pili, nambari 10 chini ya ishara ya logariti inalingana na msingi wake, kwa hivyo logariti ya desimali ya kumi. sawa na moja, yaani, log10=lg10 1 =1.
Jibu:
NA lg10=1 .
Kumbuka kuwa hesabu ya logarithm kwa ufafanuzi (ambayo tulijadili ndani aya iliyotangulia) inamaanisha matumizi ya logi ya usawa a p =p, ambayo ni moja ya sifa za logarithms.
Kwa mazoezi, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logariti na msingi wa logariti inawakilishwa kwa urahisi kama nguvu ya nambari fulani, ni rahisi sana kutumia fomula. 
, ambayo inalingana na moja ya mali ya logarithms. Hebu tuangalie mfano wa kutafuta logariti inayoonyesha matumizi ya fomula hii.
Mfano.
Kuhesabu logarithm.
Suluhisho.
Jibu:
.
Sifa za logarithm ambazo hazijatajwa hapo juu pia hutumiwa katika mahesabu, lakini tutazungumza juu ya hili katika aya zifuatazo.
Kupata logariti kupitia logariti nyingine zinazojulikana
Taarifa katika aya hii inaendelea na mada ya kutumia sifa za logarithm wakati wa kuzihesabu. Lakini hapa tofauti kuu ni kwamba mali ya logarithms hutumiwa kuelezea logarithm ya awali kwa suala la logarithm nyingine, ambayo thamani yake inajulikana. Hebu tutoe mfano kwa ufafanuzi. Wacha tuseme tunajua kuwa logi 2 3≈1.584963, basi tunaweza kupata, kwa mfano, logi 2 6 kwa kufanya mabadiliko kidogo kwa kutumia mali ya logarithm: gogo 2 6=logi 2 (2 3)=logi 2 2+logi 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Katika mfano hapo juu, ilikuwa ya kutosha kwetu kutumia mali ya logarithm ya bidhaa. Walakini, mara nyingi zaidi inahitajika kutumia safu pana ya mali ya logarithm ili kuhesabu logarithm asili kupitia zile zilizopewa.
Mfano.
Kokotoa logariti ya 27 hadi msingi 60 ikiwa unajua logi 60 2=a na logi 60 5=b.
Suluhisho.
Kwa hivyo tunahitaji kupata logi 60 27 . Ni rahisi kuona kwamba 27 = 3 3 , na logariti ya awali, kutokana na sifa ya logariti ya nguvu, inaweza kuandikwa upya kama 3·log 60 3 .
Sasa hebu tuone jinsi ya kuelezea logi 60 3 kwa suala la logarithms inayojulikana. Sifa ya logariti ya nambari sawa na msingi inaturuhusu kuandika logi ya usawa 60 60=1. Kwa upande mwingine, logi 60 60=log60(2 2 3 5)= gogo 60 2 2 +logi 60 3+logi 60 5= 2·logi 60 2+logi 60 3+logi 60 5 . Hivyo, 2 gogo 60 2+logi 60 3+logi 60 5=1. Kwa hivyo, gogo 60 3=1−2·logi 60 2−logi 60 5=1−2·a−b.
Hatimaye, tunahesabu logarithm asili: logi 60 27=3 logi 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jibu:
gogo 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Kando, inafaa kutaja maana ya fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm ya fomu. 
. Inakuruhusu kuhama kutoka kwa logariti na msingi wowote hadi logariti zilizo na msingi maalum, maadili ambayo yanajulikana au inawezekana kuipata. Kawaida, kutoka kwa logarithm ya asili, kwa kutumia formula ya mpito, huhamia logarithms katika moja ya besi 2, e au 10, kwa kuwa kwa misingi hii kuna meza za logarithms ambazo huruhusu maadili yao kuhesabiwa kwa kiwango fulani. usahihi. KATIKA hatua inayofuata tutakuonyesha jinsi inafanywa.
Jedwali la Logarithm na matumizi yao
Kwa hesabu takriban ya maadili ya logarithm inaweza kutumika meza za logarithm. Jedwali la logarithm 2 la msingi linalotumika sana, jedwali la logarithm asilia, na logariti za desimali. Wakati wa kufanya kazi ndani mfumo wa desimali Kwa calculus, ni rahisi kutumia meza ya logarithms kulingana na msingi kumi. Kwa msaada wake tutajifunza kupata maadili ya logarithms.
Jedwali lililowasilishwa hukuruhusu kupata maadili ya logariti za nambari za nambari kutoka 1,000 hadi 9,999 (na sehemu tatu za decimal) na usahihi wa elfu kumi. Tutachanganua kanuni ya kupata thamani ya logariti kwa kutumia jedwali la logariti za desimali mfano maalum- ni wazi zaidi kwa njia hiyo. Wacha tupate logi1.256.
Katika safu ya kushoto ya jedwali la logarithms ya decimal tunapata tarakimu mbili za kwanza za nambari 1.256, yaani, tunapata 1.2 (nambari hii imezungukwa kwa bluu kwa uwazi). Tunapata tarakimu ya tatu ya 1.256 (tarakimu 5) katika kwanza au mstari wa mwisho upande wa kushoto wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungushwa kwa nyekundu). Nambari ya nne ya nambari ya asili 1.256 (tarakimu 6) inapatikana kwenye mstari wa kwanza au wa mwisho upande wa kulia wa mstari wa mara mbili (nambari hii imezungukwa na mstari wa kijani). Sasa tunapata nambari kwenye seli za jedwali la logarithm kwenye makutano ya safu iliyowekwa alama na safu wima zilizowekwa alama (nambari hizi zimeangaziwa. machungwa) Jumla ya nambari zilizowekwa alama hutoa thamani inayotakiwa ya logarithm ya desimali kwa usahihi hadi nafasi ya nne ya desimali, ambayo ni, logi1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Inawezekana, kwa kutumia jedwali hapo juu, kupata maadili ya logariti za nambari za nambari ambazo zina zaidi ya nambari tatu baada ya nukta ya decimal, na vile vile zile zinazoenda zaidi ya safu kutoka 1 hadi 9.999? Ndio unaweza. Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano.
Wacha tuhesabu lg102.76332. Kwanza unahitaji kuandika nambari ndani fomu ya kawaida : 102.76332=1.0276332 · 10 2. Baada ya hayo, mantissa inapaswa kuzungushwa hadi nafasi ya tatu ya decimal, tunayo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, wakati logarithm asili ya desimali ni takriban sawa na logarithm nambari inayotokana, yaani, tunachukua log102.76332≈lg1.028·10 2. Sasa tunatumia mali ya logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Hatimaye, tunapata thamani ya logarithm lg1.028 kutoka kwa jedwali la logarithms desimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kama matokeo, mchakato mzima wa kuhesabu logarithm inaonekana kama hii: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = logi1.028+lg10 2 =logi1.028+2≈0.012+2=2.012.
Kwa kumalizia, ni muhimu kuzingatia kwamba kwa kutumia jedwali la logarithm za decimal unaweza kuhesabu thamani ya takriban ya logarithm yoyote. Ili kufanya hivyo, inatosha kutumia formula ya mpito kwenda kwa logarithms ya decimal, kupata maadili yao kwenye jedwali, na kufanya mahesabu iliyobaki.
Kwa mfano, hebu tuhesabu logi 2 3 . Kulingana na fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm, tunayo . Kutoka kwa jedwali la logarithms decimal tunapata log3≈0.4771 na log2≈0.3010. Hivyo, 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Maagizo
Andika uliyopewa usemi wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikitolewa kazi ngumu, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya ile ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika kupewa point y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hivyo, ni tofauti gani kati ya mlinganyo wa busara kutoka kwa mantiki? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara kipeo, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x. Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo kupewa mlinganyo haina mizizi.
Kwa hiyo, mlinganyo usio na mantiki hutatuliwa kwa kutumia njia ya squaring sehemu zake zote mbili. Na baada ya kusuluhisha equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya asili.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, kwa upande wa kulia na kisha kutumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, kawaida mlinganyo wa quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Hivyo, kwa msaada wa rahisi zaidi shughuli za hesabu kazi iliyopo itatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupi wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi na fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili sawa na mraba ya kwanza ikijumlisha mara mbili bidhaa ya ya kwanza kwa ya pili na kujumlisha mraba wa ya pili, yaani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kulingana na kitabu cha maandishi uchambuzi wa hisabati au hisabati ya juu, ambayo ni kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho uhakika muhimu kuna kazi ambayo derivative yake inatoa integrand. Kazi hii inaitwa antiderivative. Na kanuni hii na huunda viambajengo vikuu.Amua kwa umbo la kiunganishi ni kipi kati ya viambatanisho vya jedwali vinafaa kwa kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa kazi ya integrand ni kazi ya trigonometric, ambaye hoja yake ina polynomial, basi jaribu kutumia njia ya uingizwaji ya kutofautisha. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Kwa kutofautisha usemi huu, pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo utapata aina mpya ya kiungo cha awali, karibu na au hata kinacholingana na jedwali lolote.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii hukuruhusu kwenda kutoka kwa mtiririko wa rotor wa utendakazi fulani wa vekta hadi kiunganishi cha tatu juu ya tofauti ya uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza badilisha thamani kikomo cha juu katika usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kazi ya antiderivative ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile usemi unajitahidi.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.
274. Maelezo.
A) Ikiwa usemi unaotaka kutathmini una jumla au tofauti nambari, basi lazima zipatikane bila msaada wa meza nyongeza ya kawaida au kwa kutoa. Mfano:
logi (35 +7.24) 5 = 5 logi (35 + 7.24) = 5 logi 42.24.
b) Kujua jinsi ya misemo ya logarithm, tunaweza, kinyume chake, kwa matokeo haya kutumia logarithms kupata usemi ambao matokeo haya yalipatikana; hivyo kama
logi X= logi a+ logi b- 3 kumbukumbu Na,
basi ni rahisi kuelewa hilo
V) Kabla ya kuendelea na kuzingatia muundo wa meza za logarithmic, tutaonyesha baadhi ya mali ya logarithms ya decimal, i.e. zile ambazo nambari 10 inachukuliwa kama msingi (logarithms kama hizo ndizo zinazotumiwa kwa hesabu).
Sura ya pili.
Sifa za logariti za desimali.
275 . A) Tangu 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, nk, kisha ingia 10 = 1, logi 100 = 2, logi 1000 = 3, logi 10000 = 4, na nk.
Ina maana, logariti ya nambari kamili inayowakilishwa na moja ikifuatiwa na sufuri ni nambari kamili nambari chanya, iliyo na nyingi kama sufuri kwenye picha ya nambari.
Hivyo: logi 100,000 = 5, logi 1000 000 = 6 , na kadhalika.
b) Kwa sababu
logi 0.1 = -l; logi 0.01 = - 2; logi 0.001 == -3; logi 0.0001 = - 4, na kadhalika.
Ina maana, logarithm Nukta, inayowakilishwa na kitengo kilicho na sufuri zilizotangulia, ni nambari kamili hasi iliyo na vitengo vingi hasi kama vile kuna sufuri katika uwakilishi wa sehemu, ikijumuisha nambari 0 kamili.
Hivyo: gogo 0.00001= - 5, logi 0.000001 = -6, na kadhalika.
V) Wacha tuchukue nambari kamili ambayo haijawakilishwa na moja na sifuri, kwa mfano. 35, au nambari nzima yenye sehemu, kwa mfano. 10.7. Logariti ya nambari kama hiyo haiwezi kuwa nambari kamili, kwani kuinua 10 hadi kwa nguvu na kipeo kamili (chanya au hasi), tunapata 1 na sufuri (ikifuata 1, au inayotangulia). Wacha sasa tuchukue kuwa logarithm ya nambari kama hiyo ni sehemu fulani a / b . Kisha tungekuwa na usawa
Lakini usawa huu hauwezekani, kama 10A kuna 1 na sufuri, ambapo digrii 35b Na 10,7b kwa kipimo chochote b haiwezi kutoa 1 ikifuatiwa na sufuri. Hii ina maana kwamba hatuwezi kuruhusu logi 35 Na kumbukumbu 10.7 walikuwa sawa na sehemu. Lakini kutoka kwa mali kazi ya logarithmic tunajua () kwamba kila nambari chanya ina logariti; kwa hivyo, kila moja ya nambari 35 na 10.7 ina logarithm yake, na kwa kuwa haiwezi kuwa nambari kamili au nambari ya sehemu, ni nambari isiyo na mantiki na, kwa hivyo, haiwezi kuonyeshwa haswa kwa njia ya nambari. Logariti zisizo na mantiki kwa kawaida huonyeshwa takriban kama sehemu ya desimali yenye maeneo kadhaa ya desimali. Nambari kamili ya sehemu hii (hata kama ingekuwa "integer 0") inaitwa tabia, A sehemu- mantissa ya logarithm. Ikiwa, kwa mfano, kuna logarithm 1,5441 , basi sifa yake ni sawa 1 , na mantissa ni 0,5441 .
G) Hebu tuchukue nambari kamili au mchanganyiko, kwa mfano. 623 au 623,57 . Logarithm ya nambari kama hiyo ina sifa na mantissa. Inabadilika kuwa logarithm za decimal zina urahisi huo tunaweza kupata sifa zao kila wakati kwa aina moja ya nambari . Ili kufanya hivyo, tunahesabu nambari ngapi ziko katika nambari nzima, au katika sehemu kamili nambari iliyochanganywa, Katika mifano yetu ya nambari hizi 3 . Kwa hivyo, kila nambari 623 Na 623,57 zaidi ya 100 lakini chini ya 1000; hii ina maana kwamba logarithm ya kila mmoja wao ni kubwa zaidi logi 100, yaani zaidi 2 , lakini kidogo logi 1000, yaani kidogo 3 (kumbuka kuwa nambari kubwa pia ina logarithm kubwa). Kwa hivyo, logi 623 = 2,..., Na kumbukumbu 623.57 = 2,... (dots kuchukua nafasi ya mantissas haijulikani).
Kama hii tunapata:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 kumbukumbu 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 kumbukumbu 8634 = 3,... |
Wacha kwa jumla nambari kamili iliyopewa, au sehemu kamili ya nambari iliyochanganyika, iwe na m nambari Kwa kuwa nambari ndogo kabisa iliyo na m nambari, ndio 1 Na m - 1 zero mwishoni, basi (inayoashiria nambari hii N) tunaweza kuandika ukosefu wa usawa:
na kwa hiyo,
m - 1 < log N < m ,
logi N = ( m - 1) + sehemu chanya .
Kwa hivyo tabia logN = m - 1 .
Tunaona kwa njia hii sifa ya logariti ya nambari kamili au mchanganyiko ina vitengo vingi chanya kama kuna tarakimu katika sehemu kamili ya nambari kutoa moja.
Baada ya kugundua hii, tunaweza kuandika moja kwa moja:
logi 7.205 = 0,...; logi 83 = 1,...; kumbukumbu 720.4 = 2,... Nakadhalika.
d) Wacha tuchukue sehemu ndogo za desimali 1 (yaani kuwa na 0 nzima): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, Nakadhalika.
Kwa hivyo, kila moja ya logariti hizi iko kati ya nambari mbili hasi ambazo hutofautiana na kitengo kimoja; kwa hivyo kila moja yao ni sawa na ndogo ya nambari hizi hasi iliyoongezeka kwa sehemu chanya. Kwa mfano, log0.0056= -3 + sehemu chanya. Wacha tufikirie kuwa sehemu hii ni 0.7482. Kisha inamaanisha:
logi 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).
Kiasi kama vile - 3 + 0,7482 , inayojumuisha nambari hasi na sehemu chanya ya desimali, zilikubaliwa mahesabu ya logarithmic imefupishwa kama ifuatavyo: 3 ,7482 (Nambari hii inasomeka: 3 minus, 7482 elfu kumi.), i.e. wanaweka alama ya minus juu ya tabia ili kuonyesha kuwa inahusiana tu na tabia hii, na sio kwa mantissa, ambayo inabaki kuwa chanya. Kwa hivyo, kutoka kwa jedwali hapo juu ni wazi kuwa
gogo 0.35 == 1 ,....; logi 0.07 = 2,....; logi 0.0008 = 4,....
Wacha hata kidogo 
. kuna sehemu ya desimali ambayo kabla ya ya kwanza takwimu muhimu α
gharama m
sufuri, ikijumuisha nambari 0 kamili. Kisha ni dhahiri kwamba
- m < log A < - (m- 1).
Kwa kuwa kutoka kwa nambari mbili kamili:- m Na - (m- 1) kuna kidogo - m , Hiyo
logi A = - m+ sehemu chanya,
na kwa hivyo tabia logi A = - m (na mantissa chanya).
Hivyo, sifa ya logariti ya sehemu ya desimali chini ya 1 ina nyingi hasi kama vile kuna sufuri katika picha ya sehemu ya desimali kabla ya tarakimu muhimu ya kwanza, ikijumuisha nambari sifuri; Mantissa ya logarithm kama hiyo ni chanya.
e) Hebu tuzidishe idadi fulani N(jumla au sehemu - haijalishi) na 10, na 100 na 1000 ..., kwa ujumla na 1 na sifuri. Wacha tuone jinsi hii inabadilika logi N. Tangu logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithms ya sababu, basi
logi (N 10) = logi N + logi 10 = logi N + 1;
logi (N 100) = logi N + logi 100 = logi N + 2;
logi (N 1000) = logi N + logi 1000 = logi N + 3; na kadhalika.
Wakati wa logi N tunaongeza nambari, basi tunaweza kuongeza nambari hii kila wakati kwa tabia, na sio kwa mantissa.
Kwa hiyo, ikiwa logi N = 2.7804, basi 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, nk.;
au ikiwa logi N = 3.5649, basi 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, nk.
Nambari inapozidishwa na 10, 100, 1000,..., kwa ujumla na 1 na sufuri, mantissa ya logariti haibadilika, na sifa huongezeka kwa vitengo vingi kama vile kuna sufuri katika kipengele. .
Vile vile, kwa kuzingatia kwamba logariti ya mgawo ni sawa na logariti ya gawio bila logariti ya kigawanyaji, tunapata:
logi N / 10 = logi N- logi 10 = logi N -1;
logi N / 100 = logi N- logi 100 = logi N -2;
logi N / 1000 = logi N- logi 1000 = logi N -3; Nakadhalika.
Ikiwa tunakubali, wakati wa kutoa nambari kamili kutoka kwa logarithm, kila wakati kutoa nambari hii kutoka kwa tabia na kuacha mantissa bila kubadilika, basi tunaweza kusema:
Kugawanya nambari na 1 na sufuri haibadilishi mantissa ya logariti, lakini sifa hupungua kwa vitengo vingi kama vile kuna sufuri kwenye kigawanyiko.
276. Matokeo. Kutoka kwa mali ( e) nakala mbili zifuatazo zinaweza kuzingatiwa:
A) Mantis ya logarithm ya nambari ya desimali haibadiliki inapohamishwa hadi nukta ya desimali , kwa sababu kusogeza nukta ya desimali ni sawa na kuzidisha au kugawanya na 10, 100, 1000, n.k. Kwa hivyo, logariti za nambari:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
hutofautiana tu katika sifa, lakini si kwa mantissas (mradi tu mantissas wote ni chanya).
b) Mantissas ya nambari kuwa sawa sehemu muhimu, lakini hutofautiana tu na sufuri mwishoni, ni sawa: Kwa hivyo, logarithms ya nambari: 23, 230, 2300, 23,000 hutofautiana tu katika sifa.
Maoni. Kutoka mali maalum logarithm ya desimali, ni wazi kwamba tunaweza kupata sifa za logarithm ya nambari kamili na sehemu ya decimal bila msaada wa jedwali (hii ni urahisi mkubwa wa logarithms ya decimal); kwa sababu hiyo, mantissa moja tu huwekwa kwenye meza za logarithmic; kwa kuongezea, kwa kuwa kupata logariti za sehemu hupunguzwa hadi kupata logariti za nambari kamili (logariti ya sehemu = logariti ya nambari bila logariti ya dhehebu), mantis ya logariti ya nambari kamili tu huwekwa kwenye jedwali.
Sura ya tatu.
Kubuni na kutumia meza za tarakimu nne.
277. Mifumo ya logarithmu. Mfumo wa logariti ni seti ya logariti zinazokokotolewa kwa idadi ya nambari zinazofuatana kwa kutumia msingi sawa. Mifumo miwili hutumiwa: mfumo wa logarithms ya kawaida au decimal, ambayo nambari inachukuliwa kama msingi 10 , na mfumo wa kinachojulikana kama logarithms asilia, ambayo nambari isiyo na maana inachukuliwa kama msingi (kwa sababu fulani ambazo ni wazi katika matawi mengine ya hisabati) 2,7182818 ... Kwa mahesabu, logariti za desimali hutumiwa, kwa sababu ya urahisi tulioonyesha tulipoorodhesha sifa za logariti kama hizo.
Logarithmu za asili pia huitwa Neperov, jina lake baada ya mvumbuzi wa logarithms, mwanahisabati wa Scotland. Nepera(1550-1617), na logariti za decimal - Briggs aliyepewa jina la profesa Brigga(wa zama na rafiki wa Napier), ambaye kwanza alikusanya majedwali ya logariti hizi.
278. Kugeuza logariti hasi kuwa ile ambayo mantissa yake ni chanya, na mabadiliko ya kinyume. Tumeona kwamba logariti za nambari chini ya 1 ni hasi. Hii ina maana kwamba zinajumuisha tabia mbaya na mantissa hasi. Logarithms kama hizo zinaweza kubadilishwa kila wakati ili mantissa yao iwe chanya, lakini tabia inabaki kuwa mbaya. Ili kufanya hivyo, inatosha kuongeza chanya kwa mantissa, na hasi kwa tabia (ambayo, bila shaka, haibadilishi thamani ya logarithm).
Ikiwa, kwa mfano, tuna logarithm - 2,0873 , basi unaweza kuandika:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
au kwa kifupi:
Kinyume chake, logarithm yoyote yenye sifa mbaya na mantissa chanya inaweza kubadilishwa kuwa hasi. Ili kufanya hivyo, inatosha kuongeza hasi kwa mantissa chanya, na chanya kwa tabia mbaya: kwa hivyo, unaweza kuandika:
279. Maelezo ya meza ya tarakimu nne. Kwa uamuzi wa wengi matatizo ya vitendo Jedwali za tarakimu nne zinatosha kabisa, utunzaji ambao ni rahisi sana. Jedwali hizi (zilizo na maandishi "logarithmu" juu) zimewekwa mwishoni mwa kitabu hiki, na sio. wengi wa yao (kuelezea eneo) yamechapishwa kwenye ukurasa huu. Zina mantissas
Logarithm.
logariti za nambari zote kutoka 1 kabla 9999 pamoja, iliyohesabiwa hadi nafasi nne za desimali, na ya mwisho ya maeneo haya iliongezeka kwa 1 katika matukio hayo yote ambapo nafasi ya 5 ya decimal itakuwa 5 au zaidi ya 5; kwa hivyo, jedwali zenye tarakimu 4 zinapeana mantissas takriban 1 / 2 sehemu ya elfu kumi (pamoja na upungufu au ziada).
Kwa kuwa tunaweza kuashiria moja kwa moja logarithm ya nambari kamili au sehemu ya decimal, kulingana na mali ya logarithms ya decimal, lazima tuchukue mantissas tu kutoka kwa meza; Wakati huo huo, lazima tukumbuke kwamba nafasi ya comma ndani nambari ya desimali, pamoja na idadi ya zero mwishoni mwa nambari, hazina athari kwa thamani ya mantissa. Kwa hiyo, wakati wa kutafuta mantissa kwa nambari iliyopewa tunatupa comma katika nambari hii, pamoja na zero mwishoni mwa hiyo, ikiwa kuna yoyote, na kupata mantissa ya integer iliyoundwa baada ya hii. Kesi zifuatazo zinaweza kutokea.
1) Nambari kamili ina tarakimu 3. Kwa mfano, hebu sema tunahitaji kupata mantissa ya logarithm ya namba 536. Nambari mbili za kwanza za nambari hii, yaani 53, zinapatikana kwenye meza katika safu ya kwanza ya wima upande wa kushoto (tazama meza). Baada ya kupata nambari ya 53, tunasonga kutoka kwayo kwa mstari wa mlalo kwenda kulia hadi mstari huu unaingiliana na safu wima inayopitia moja ya nambari 0, 1, 2, 3, ... 9, iliyowekwa juu (na. chini) ya jedwali, ambayo ni nambari ya 3 ya nambari fulani, i.e. katika mfano wetu, nambari 6. Katika makutano tunapata mantissa 7292 (yaani 0.7292), ambayo ni ya logarithm ya nambari 536. Vile vile. , kwa nambari 508 tunapata mantissa 0.7059, kwa nambari 500 tunapata 0.6990, nk.
2) Nambari kamili ina tarakimu 2 au 1. Kisha kiakili tunapeana sifuri moja au mbili kwa nambari hii na kupata mantissa kwa nambari ya nambari tatu iliyoundwa. Kwa mfano, tunaongeza sifuri moja kwa nambari 51, ambayo tunapata 510 na kupata mantissa 7070; kwa nambari 5 tunapeana zero 2 na kupata mantissa 6990, nk.
3) Nambari kamili inaonyeshwa kwa tarakimu 4. Kwa mfano, unahitaji kupata mantissa ya logi 5436. Kisha kwanza tunapata kwenye jedwali, kama ilivyoonyeshwa tu, mantissa kwa nambari inayowakilishwa na nambari 3 za kwanza za nambari hii, i.e. kwa 543 (mantissa hii itakuwa 7348) ; basi tunasonga kutoka kwa mantissa iliyopatikana kando ya mstari wa usawa kwenda kulia (upande wa kulia wa meza, iko nyuma ya mstari wa wima nene) hadi inapoingiliana na safu ya wima inayopitia moja ya nambari: 1, 2 3,. .. 9, iko juu (na chini) ya sehemu hii ya meza, ambayo inawakilisha tarakimu ya 4 ya nambari iliyotolewa, yaani, katika mfano wetu, namba 6. Katika makutano tunapata marekebisho (nambari). 5), ambayo lazima itumike kiakili kwa mantissa ya 7348 ili kupata mantissa ya nambari 5436; Kwa njia hii tunapata mantissa 0.7353.
4) Nambari kamili inaonyeshwa kwa tarakimu 5 au zaidi. Kisha tunatupa tarakimu zote isipokuwa 4 za kwanza, na kuchukua takriban nambari ya tarakimu nne, na kuongeza tarakimu ya mwisho ya nambari hii kwa 1 katika nambari hiyo. kesi wakati tarakimu ya 5 iliyotupwa ya nambari ni 5 au zaidi ya 5. Kwa hiyo, badala ya 57842 tunachukua 5784, badala ya 30257 tunachukua 3026, badala ya 583263 tunachukua 5833, nk. Kwa nambari hii ya duara ya tarakimu nne, tunapata mantissa kama ilivyoelezwa hivi punde.
Kwa kuongozwa na miongozo hii, hebu tutafute logariti kama mfano nambari zifuatazo:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Kwanza kabisa, bila kugeukia meza kwa sasa, tutaweka sifa tu, na kuacha nafasi kwa mantissas, ambayo tutaandika baada ya:
gogo 36.5 = 1,.... gogo 0.00345 = 3,....
gogo 804.7 = 2,.... gogo 7.2634 = 0,....
gogo 0.26 = 1,.... logi 3456.86 = 3,....
logi 36.5 = 1.5623; logi 0.00345 = 3.5378;
logi 804.7 = 2.9057; logi 7.2634 = 0.8611;
logi 0.26 = 1.4150; logi 3456.86 = 3.5387.
280. Kumbuka. Katika baadhi ya meza za tarakimu nne (kwa mfano, katika jedwali V. Lorchenko na N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) masahihisho ya tarakimu ya 4 ya nambari hii hayajawekwa. Wakati wa kushughulika na meza kama hizo, lazima upate marekebisho haya kwa kutumia hesabu rahisi, ambayo inaweza kufanywa kwa msingi wa ukweli ufuatao: ikiwa nambari zinazidi 100, na tofauti kati yao ni chini ya 1, basi bila kosa nyeti inaweza kukubalika kuwa. tofauti kati ya logariti ni sawia na tofauti kati ya nambari zinazolingana . Hebu, kwa mfano, tunahitaji kupata mantissa inayofanana na namba 5367. Mantissa hii, bila shaka, ni sawa na kwa nambari 536.7. Tunapata katika majedwali ya nambari 536 mantissa 7292. Kulinganisha mantissa hii na mantissa 7300 iliyo karibu na kulia, sambamba na nambari 537, tunaona kwamba ikiwa nambari 536 itaongezeka kwa 1, basi mantissa yake itaongezeka kwa 8 elfu kumi (8 ndiyo inayoitwa. tofauti ya meza kati ya mantissas mbili zilizo karibu); ikiwa nambari 536 itaongezeka kwa 0.7, basi mantissa yake itaongezeka sio kwa 8 elfu kumi, lakini kwa wengine. idadi ndogoX elfu kumi, ambayo, kulingana na uwiano unaodhaniwa, lazima ikidhi idadi:
X :8 = 0.7:1; wapi X = 8 07 = 5,6,
ambayo imezungushwa hadi 6 elfu kumi. Hii inamaanisha kuwa mantissa kwa nambari 536.7 (na kwa hivyo kwa nambari 5367) itakuwa: 7292 + 6 = 7298.
Kumbuka kuwa kutafuta nambari ya kati kwa kutumia nambari mbili za karibu kwenye jedwali inaitwa tafsiri. Tafsiri iliyoelezewa hapa inaitwa sawia, kwa kuwa ni msingi wa dhana kwamba mabadiliko katika logariti ni sawia na mabadiliko ya nambari. Pia inaitwa mstari, kwani inadhania kwamba mabadiliko ya kielelezo katika kazi ya logarithmic yanaonyeshwa na mstari wa moja kwa moja.
281. Kikomo cha hitilafu cha takriban logariti. Ikiwa nambari ambayo logarithm inatafutwa ni nambari kamili, basi kikomo cha makosa ya logarithm yake inayopatikana katika jedwali la nambari 4 inaweza kuchukuliwa kama tulivyosema. 1 / 2 sehemu ya elfu kumi. Ikiwa nambari hii sio sahihi, basi kwa kikomo hiki cha makosa lazima pia tuongeze kikomo cha kosa lingine linalotokana na kutokuwa sahihi kwa nambari yenyewe. Imethibitishwa (tunaacha uthibitisho huu) kwamba kikomo kama hicho kinaweza kuchukuliwa kuwa bidhaa
a(d +1) elfu kumi.,
ambayo A ni ukingo wa makosa kwa nambari isiyo sahihi zaidi, ikizingatiwa kuwa sehemu yake kamili ina tarakimu 3, a d tofauti ya jedwali ya mantissas inayolingana na nambari mbili za tarakimu tatu zinazofuatana kati ya ambayo nambari isiyo sahihi iliyopo. Kwa hivyo, kikomo cha kosa la mwisho la logarithm kitaonyeshwa na formula:
1 / 2 + a(d +1) elfu kumi
Mfano. Tafuta logi π , kuchukua kwa π takriban nambari 3.14, sawa na 1 / 2 ya mia.
Kusonga koma baada ya nambari ya 3 katika nambari 3.14, kuhesabu kutoka kushoto, tunapata. nambari ya tarakimu tatu 314, sawa na 1 / 2 vitengo; Hii inamaanisha kuwa ukingo wa makosa kwa nambari isiyo sahihi, i.e., kile tulichoashiria kwa herufi. A , kuna 1 / 2 Kutoka kwa meza tunapata:
logi 3.14 = 0.4969.
Tofauti ya meza d kati ya mantissas ya nambari 314 na 315 ni sawa na 14, kwa hivyo kosa la logarithm iliyopatikana itakuwa ndogo.
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 elfu kumi.
Kwa kuwa hatujui kuhusu logariti 0.4969 ikiwa ina upungufu au nyingi, tunaweza tu kuhakikisha kwamba logariti kamili π iko kati ya 0.4969 - 0.0008 na 0.4969 + 0.0008, yaani 0.4961< log π < 0,4977.
282. Tafuta nambari kwa kutumia logariti uliyopewa. Ili kupata nambari kwa kutumia logarithm fulani, majedwali yale yale yanaweza kutumika kupata mantissas ya nambari fulani; lakini ni rahisi zaidi kutumia meza nyingine ambazo zina kinachojulikana antilogarithms, yaani, nambari zinazofanana na mantissas haya. Jedwali hizi, zilizoonyeshwa na maandishi hapo juu "antilogarithms," zimewekwa mwishoni mwa kitabu hiki baada ya jedwali za logarithmu; sehemu ndogo yao imewekwa kwenye ukurasa huu (kwa maelezo).
Tuseme umepewa mantissa 2863 yenye tarakimu 4 (hatuzingatii tabia) na unahitaji kupata nambari inayolingana. Halafu, kuwa na meza za antilogarithms, unahitaji kuzitumia kwa njia ile ile kama ilivyoelezewa hapo awali kupata mantissa kwa nambari fulani, ambayo ni: tunapata nambari 2 za kwanza za mantissa kwenye safu ya kwanza upande wa kushoto. Kisha tunasonga kutoka kwa nambari hizi kando ya mstari wa usawa kwenda kulia hadi inapoingiliana na safu wima inayotoka kwa nambari ya 3 ya mantissa, ambayo lazima itazamwe kwenye mstari wa juu (au chini). Katika makutano tunapata nambari ya tarakimu nne 1932, inayofanana na mantissa 286. Kisha kutoka kwa nambari hii tunasonga zaidi kwenye mstari wa usawa hadi kulia mpaka makutano na safu ya wima inayotoka kwa tarakimu ya 4 ya mantissa, ambayo lazima. kupatikana juu (au chini) kati ya namba 1, 2 zilizowekwa pale , 3,... 9. Katika makutano tunapata marekebisho 1, ambayo lazima kutumika (katika akili) kwa namba 1032 iliyopatikana mapema ili kupata nambari inayolingana na mantissa 2863.
Kwa hivyo, nambari itakuwa 1933. Baada ya hayo, kwa kuzingatia tabia, unahitaji kuweka ulichukua mahali pazuri katika nambari ya 1933. Kwa mfano:
Kama logi x = 3.2863, basi X = 1933,
„ logi x = 1,2863, „ X = 19,33,
, logi x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ logi x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Hapa kuna mifano zaidi:
logi x = 0,2287, X = 1,693,
logi x = 1 ,7635, X = 0,5801,
logi x = 3,5029, X = 3184,
logi x = 2 ,0436, X = 0,01106.
Ikiwa mantissa ina tarakimu 5 au zaidi, basi tunachukua tarakimu 4 tu za kwanza, tukitupa wengine (na kuongeza tarakimu ya 4 na 1 ikiwa tarakimu ya 5 ina tano au zaidi). Kwa mfano, badala ya mantissa 35478 tunachukua 3548, badala ya 47562 tunachukua 4756.
283. Kumbuka. Marekebisho ya nambari ya 4 na inayofuata ya mantissa pia yanaweza kupatikana kupitia tafsiri. Kwa hivyo, ikiwa mantissa ni 84357, basi, baada ya kupata nambari 6966, inayolingana na mantissa 843, tunaweza kusababu kama ifuatavyo: ikiwa mantissa inaongezeka kwa 1 (elfu), i.e., inafanya 844, basi nambari, kama inaweza kuonekana kutoka kwa meza, itaongezeka kwa vitengo 16; ikiwa mantissa huongezeka sio kwa 1 (elfu), lakini kwa 0.57 (elfu), basi idadi itaongezeka kwa X vitengo, na X lazima kukidhi uwiano:
X : 16 = 0.57: 1, kutoka wapi x = 16 0,57 = 9,12.
Hii ina maana kwamba nambari inayotakiwa itakuwa 6966+ 9.12 = 6975.12 au (ikiwa na tarakimu nne tu) 6975.
284. Kikomo cha makosa ya nambari iliyopatikana. Imethibitishwa kuwa katika kesi wakati katika nambari iliyopatikana comma ni baada ya nambari ya 3 kutoka kushoto, i.e. wakati tabia ya logarithm ni 2, jumla inaweza kuchukuliwa kama kikomo cha makosa.
Wapi A ni kikomo cha makosa ya logarithm (iliyoonyeshwa kwa elfu kumi) ambayo nambari ilipatikana, na d - tofauti kati ya mantissas ya nambari mbili za nambari tatu mfululizo kati ya ambayo nambari iliyopatikana iko (na comma baada ya nambari ya 3 kutoka kushoto). Wakati tabia sio 2, lakini nyingine, basi katika nambari iliyopatikana comma italazimika kuhamishwa kwenda kushoto au kulia, i.e., kugawanya au kuzidisha nambari kwa nguvu fulani ya 10. Katika kesi hii, kosa. ya matokeo pia itagawanywa au kuzidishwa kwa nguvu sawa ya 10.
Hebu, kwa mfano, tunatafuta nambari kwa kutumia logarithm 1,5950 , ambayo inajulikana kuwa sahihi hadi 3 elfu kumi; hiyo ina maana basi A = 3 . Nambari inayolingana na logarithm hii, inayopatikana kutoka kwa jedwali la antilogarithms, ni 39,36 . Kusonga koma baada ya tarakimu ya 3 kutoka kushoto, tunayo nambari 393,6 , inayojumuisha kati ya 393 Na 394 . Kutoka kwa jedwali la logarithms tunaona kwamba tofauti kati ya mantissas inayolingana na nambari hizi mbili ni 11 elfu kumi; Maana d = 11 . Hitilafu ya nambari 393.6 itakuwa chini
Hii ina maana kwamba makosa katika idadi 39,36 kutakuwa na kidogo 0,05 .
285. Uendeshaji kwenye logariti zenye sifa mbaya. Kuongeza na kutoa logariti hakuonyeshi ugumu wowote, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mifano ifuatayo:
Pia hakuna ugumu katika kuzidisha logarithm kwa nambari chanya, kwa mfano:
KATIKA mfano wa mwisho tofauti kuzidisha mantissa chanya kwa 34, basi tabia mbaya saa 34.
Ikiwa logarithm ya tabia hasi na mantissa chanya inazidishwa na nambari hasi, basi endelea kwa njia mbili: ama logarithm iliyotolewa kwanza inageuzwa kuwa hasi, au mantissa na tabia huzidishwa tofauti na matokeo yanajumuishwa pamoja, kwa mfano. :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Wakati wa kugawanyika, kesi mbili zinaweza kutokea: 1) tabia mbaya imegawanyika na 2) haigawanyiki na mgawanyiko. Katika kesi ya kwanza, tabia na mantissa hutenganishwa tofauti:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
Katika kesi ya pili, vitengo vingi hasi vinaongezwa kwa tabia ili nambari inayotokana igawanywe na mgawanyiko; idadi sawa ya vitengo vyema huongezwa kwa mantissa:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Mabadiliko haya lazima yafanywe akilini, kwa hivyo hatua huenda kama hii:
286. Kubadilisha logariti zilizotolewa kwa masharti. Wakati wa kuhesabu baadhi usemi changamano kwa kutumia logariti lazima uongeze logarithmu kadhaa, toa zingine; katika kesi hii, kwa njia ya kawaida ya kufanya vitendo, wanapata tofauti jumla ya logarithms zilizoongezwa, kisha jumla ya zilizopunguzwa, na huondoa pili kutoka kwa jumla ya kwanza. Kwa mfano, ikiwa tunayo:
logi X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
basi utekelezaji wa kawaida wa vitendo utaonekana kama hii:
Hata hivyo, inawezekana kuchukua nafasi ya kutoa na kuongeza. Kwa hivyo:
Sasa unaweza kupanga hesabu kama hii:
287. Mifano ya mahesabu.
Mfano 1. Tathmini usemi:
Kama A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127 Na D = 7.246.
Wacha tuchukue logarithm usemi huu:
logi X= logi 1/3 A + logi 4 B - logi 3 C - logi 1/3 D
Sasa, ili kuzuia upotezaji wa wakati usio wa lazima na kupunguza uwezekano wa makosa, kwanza kabisa tutapanga mahesabu yote bila kutekeleza kwa sasa na, kwa hivyo, bila kutaja meza:
Baada ya hayo, tunachukua meza na kuweka logarithms kwenye iliyobaki maeneo ya bure:
Kikomo cha makosa. Kwanza, hebu tupate kikomo cha makosa ya nambari x 1 = 194,5 , sawa na:
Kwa hiyo, kwanza kabisa unahitaji kupata A , yaani, kikomo cha makosa cha takriban logariti, iliyoonyeshwa kwa elfu kumi. Wacha tufikirie kuwa nambari hizi A, B, C Na D zote ni sahihi. Kisha makosa katika logarithm ya mtu binafsi yatakuwa kama ifuatavyo (katika elfu kumi):
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 kumbukumbu A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 imeongezwa kwa sababu wakati wa kugawanya na logariti 3 za 1.9146, tulizungusha mgawo kwa kutupa nambari yake ya 5, na, kwa hivyo, tulifanya kosa ndogo zaidi. 1 / 2 elfu kumi).
Sasa tunapata kikomo cha makosa ya logarithm:
A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (elfu kumi).
Hebu tufafanue zaidi d . Kwa sababu x 1 = 194,5 , kisha nambari 2 kamili nambari zinazofuatana, kati ya ambayo iko x 1 mapenzi 194 Na 195 . Tofauti ya meza d kati ya mantissa inayolingana na nambari hizi ni sawa na 22 . Hii ina maana kwamba kikomo cha makosa ya nambari ni x 1 Kuna:
Kwa sababu x = x 1 : 10, kisha kikomo cha makosa katika nambari x sawa 0,3:10 = 0,03 . Kwa hivyo, nambari tuliyopata 19,45 hutofautiana na nambari kamili kwa chini ya 0,03 . Kwa kuwa hatujui ikiwa makadirio yetu yalipatikana na upungufu au kwa ziada, tunaweza tu kuhakikisha hilo
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , i.e.
19,48 > X > 19,42 ,
na kwa hivyo, ikiwa tutakubali X =19,4 , basi tutakuwa na makadirio na hasara na usahihi wa hadi 0.1.
Mfano 2. Hesabu:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Kwa sababu nambari hasi usiwe na logarithm, basi tunapata kwanza:
X" = (2,31) 3 5 √72
kwa mtengano:
logi X"= 3 kumbukumbu 2.31 + 1 / 5 log72.
Baada ya kuhesabu, inageuka:
X" = 28,99 ;
hivyo,
x = - 28,99 .
Mfano 3. Hesabu:
Logarithmization inayoendelea haiwezi kutumika hapa, kwani ishara ya mzizi ni c u m m a. Katika hali kama hizi, hesabu formula kwa sehemu.
Kwanza tunapata N = 5 √8 , Kisha N 1 = 4 √3 ; basi kwa kuongeza rahisi tunaamua N+ N 1 , na hatimaye tunahesabu 3 √N+ N 1 ; inageuka:
N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
logi x= logi 3 √ 2,830 = 1 / 3 kumbukumbu 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Sura ya Nne.
Milinganyo ya kielelezo na ya logarithmic.
288. Milinganyo ya kielelezo ni yale ambayo haijulikani imejumuishwa katika kipeo, na logarithmic- wale ambao haijulikani huingia chini ya ishara logi. Equations kama hizo zinaweza kutatuliwa tu katika kesi maalum, na mtu anapaswa kutegemea mali ya logarithms na kwa kanuni kwamba ikiwa nambari ni sawa, basi logarithmu zao ni sawa, na, kinyume chake, ikiwa logarithms ni sawa, basi zinazolingana. nambari ni sawa.
Mfano 1. Tatua mlinganyo: 2 x = 1024 .
Wacha tufanye logarithm pande zote mbili za equation:
Mfano 2. Tatua mlinganyo: a 2x - a x = 1 . Kuweka a x = katika , tunapata equation ya quadratic:
y 2 - katika - 1 = 0 ,
Kwa sababu 1-√5 < 0 , basi equation ya mwisho haiwezekani (function a x daima kuna nambari chanya), na ya kwanza inatoa:
Mfano 3. Tatua mlinganyo:
logi ( a + x) + logi ( b + x) = logi ( c + x) .
Equation inaweza kuandikwa kama hii:
logi [( a + x) (b + x)] = logi ( c + x) .
Kutoka kwa usawa wa logarithm tunahitimisha kuwa nambari ni sawa:
(a + x) (b + x) = c + x .
Hii ni equation ya quadratic, suluhisho ambalo si vigumu.
Sura ya tano.
Riba ya pamoja, malipo ya muda na malipo ya muda.
289. Tatizo la msingi kwenye riba ya mchanganyiko. Je, mtaji utageuka kuwa kiasi gani? A rubles, iliyotolewa katika ukuaji saa R maslahi ya kiwanja, baada ya kupita t miaka ( t - nambari kamili)?
Wanasema kuwa mtaji hulipwa kwa riba ya kiwanja iwapo kile kinachoitwa “riba ya riba” kitazingatiwa, yaani ikiwa fedha za riba inayodaiwa kwenye mtaji huongezwa kwenye mtaji kila mwisho wa mwaka ili kuongeza. kwa riba katika miaka inayofuata.
Kila ruble ya mtaji iliyotolewa R %, italeta faida ndani ya mwaka mmoja uk / 100 ruble, na, kwa hiyo, kila ruble ya mtaji katika mwaka 1 itageuka 1 + uk / 100 ruble (kwa mfano, ikiwa mtaji umetolewa kwa 5 %, basi kila ruble yake katika mwaka itageuka kuwa 1 + 5 / 100 , yaani katika 1,05 ruble).
Kwa ufupi, inayoashiria sehemu uk / 100 na barua moja, kwa mfano, r , tunaweza kusema kwamba kila ruble ya mtaji katika mwaka itageuka kuwa 1 + r rubles; hivyo, A rubles itarejeshwa katika mwaka 1 hadi A (1 + r ) kusugua. Baada ya mwaka mwingine, i.e. miaka 2 tangu mwanzo wa ukuaji, kila ruble ya hizi A (1 + r ) kusugua. itawasiliana tena 1 + r kusugua.; Hii inamaanisha kuwa mtaji wote utageuka kuwa A (1 + r ) 2 kusugua. Kwa njia hiyo hiyo tunaona kwamba baada ya miaka mitatu mji mkuu utakuwa A (1 + r ) 3 , katika miaka minne itakuwa A (1 + r ) 4 ,... kwa ujumla kupitia t miaka kama t ni nambari kamili, itageuka kuwa A (1 + r ) t kusugua. Kwa hivyo, kuashiria kwa A mtaji wa mwisho, tutakuwa nao formula ifuatayo maslahi ya pamoja:
A = A (1 + r ) t Wapi r = uk / 100 .
Mfano. Hebu a =2,300 kusugua., uk = 4, t=20 miaka; kisha formula inatoa:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.
Ili kuhesabu A, tunatumia logarithms:
logi a = logi 2 300 + 20 logi 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.
A = 5031 ruble.
Maoni. Katika mfano huu tulilazimika kumbukumbu 1.04 zidisha kwa 20 . Tangu nambari 0,0170 kuna thamani ya takriban kumbukumbu 1.04 hadi 1 / 2 sehemu ya elfu kumi, kisha bidhaa ya nambari hii kwa 20 hakika itakuwa tu mpaka 1 / 2 20, i.e. hadi 10 elfu kumi = 1 elfu. Kwa hivyo kwa jumla 3,7017 Hatuwezi kuthibitisha sio tu kwa idadi ya elfu kumi, lakini pia kwa idadi ya elfu. Ili kwamba katika hali kama hizo inawezekana kupata usahihi zaidi, bora kwa nambari 1 + r chukua logarithm sio tarakimu 4, lakini na idadi kubwa nambari, kwa mfano. tarakimu 7. Kwa kusudi hili, tunawasilisha hapa jedwali dogo ambalo logariti zenye tarakimu 7 zimeandikwa kwa maadili ya kawaida. R .
290. Kazi kuu ni malipo ya haraka. Mtu alichukua A rubles kwa R % na sharti la kulipa deni, pamoja na riba inayodaiwa juu yake, katika t miaka, kulipa kiasi sawa kila mwisho wa mwaka. Kiasi hiki kinapaswa kuwa nini?
Jumla x , kulipwa kila mwaka chini ya hali hiyo, inaitwa malipo ya haraka. Wacha tuonyeshe tena kwa barua r pesa ya riba ya kila mwaka kutoka kwa rub 1, yaani nambari uk / 100 . Kisha mwishoni mwa mwaka wa kwanza deni A kuongezeka kwa A (1 + r ), malipo ya msingi X itagharimu rubles A (1 + r )-X .
Mwishoni mwa mwaka wa pili, kila ruble ya kiasi hiki itageuka tena 1 + r rubles, na kwa hivyo deni litakuwa [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - x (1 + r ), na kwa malipo x rubles itakuwa: A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Kwa njia hiyo hiyo, tutahakikisha kwamba mwishoni mwa mwaka wa 3 deni litakuwa
A (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,
na kwa ujumla na mwisho t mwaka itakuwa:
A (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , au
A (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
Polynomia ndani ya mabano inawakilisha jumla ya masharti maendeleo ya kijiometri; ambayo ina mwanachama wa kwanza 1 , mwisho ( 1 + r ) t -1, na dhehebu ( 1 + r ) Kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri (Sehemu ya 10, Sura ya 3, § 249), tunapata:
na kiasi cha deni baada ya t - malipo yatakuwa:
Kulingana na hali ya shida, deni liko mwisho t - mwaka lazima iwe sawa na 0 ; Ndiyo maana:
wapi
Wakati wa kuhesabu hii fomula za malipo ya haraka kwa kutumia logariti lazima kwanza tupate nambari kisaidizi N = (1 + r ) t kwa logarithm: logi N= t logi (1+ r) ; baada ya kupatikana N, toa 1 kutoka kwayo, kisha tunapata denominator ya formula kwa X, baada ya hapo tunapata kwa logarithm ya pili:
logi X= logi a+ logi N + logi r - logi (N - 1).
291. Kazi kuu ya michango ya muda. Mtu huweka kiasi sawa katika benki mwanzoni mwa kila mwaka. A kusugua. Amua ni mtaji gani utaundwa kutoka kwa michango hii baada ya t miaka kama benki inalipa R riba ya kiwanja.
Imeteuliwa na r pesa ya riba ya kila mwaka kutoka kwa ruble 1, i.e. uk / 100 , tunasababu hivi: ifikapo mwisho wa mwaka wa kwanza mji mkuu utakuwa A (1 + r );
mwanzoni mwa mwaka wa 2 itaongezwa kwa kiasi hiki A rubles; hii ina maana kwamba kwa wakati huu mtaji utakuwa A (1 + r ) + a . Mwishoni mwa mwaka wa 2 atakuwa A (1 + r ) 2 + a (1 + r );
mwanzoni mwa mwaka wa 3 inaingizwa tena A rubles; hii ina maana kwamba wakati huu kutakuwa na mtaji A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; ifikapo mwisho wa 3 atakuwa A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Tukiendeleza hoja hizi zaidi, tunaona kwamba hadi mwisho t mwaka mtaji unaohitajika A mapenzi:
Hii ndiyo fomula ya michango ya muda inayotolewa mwanzoni mwa kila mwaka.
Fomula hiyo hiyo inaweza kupatikana kwa hoja zifuatazo: malipo ya chini kwa A rubles wakati katika benki t miaka, itageuka, kulingana na fomula ya riba ya kiwanja, kuwa A (1 + r ) t kusugua. Awamu ya pili, kuwa katika benki kwa mwaka mmoja chini, i.e. t - 1 umri wa miaka, mawasiliano A (1 + r ) t- 1 kusugua. Vivyo hivyo, awamu ya tatu itatoa A (1 + r ) t-2 nk, na hatimaye awamu ya mwisho, baada ya kuwa katika benki kwa mwaka 1 tu, itaenda A (1 + r ) kusugua. Hii ina maana mji mkuu wa mwisho A kusugua. mapenzi:
A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),
ambayo, baada ya kurahisisha, inatoa fomula inayopatikana hapo juu.
Wakati wa kuhesabu kwa kutumia logariti za fomula hii, lazima uendelee kwa njia sawa na wakati wa kuhesabu fomula ya malipo ya haraka, i.e., kwanza pata nambari N = ( 1 + r ) t kwa logarithm yake: logi N= t logi(1 + r ), kisha nambari N- 1 na kisha kuchukua logarithm ya formula:
logi A = logi a+logi(1+ r) + logi (N - 1) - 1ogr
Maoni. Ikiwa mchango wa haraka kwa A kusugua. haikufanywa mwanzoni, lakini mwishoni mwa kila mwaka (kama, kwa mfano, malipo ya haraka hufanywa X kulipa deni), basi, tukifikiria sawa na ile ya awali, tunapata kwamba mwishoni t mwaka mtaji unaohitajika A" kusugua. itakuwa (pamoja na awamu ya mwisho A kusugua., bila kuwa na riba):
A"= A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A
ambayo ni sawa na:
i.e. A" inaishia katika ( 1 + r ) mara chache A, ambayo ilitarajiwa, kwa kuwa kila ruble ya mtaji A" iko kwenye benki kwa mwaka chini ya ruble inayolingana ya mtaji A.