Somo hili linashughulikia dhana ya sehemu ya aljebra. Watu hukutana na sehemu katika hali rahisi zaidi za maisha: wakati ni muhimu kugawanya kitu katika sehemu kadhaa, kwa mfano, kukata keki kwa usawa katika watu kumi. Kwa wazi, kila mtu anapata kipande cha keki. Katika kesi hii, tunakabiliwa na dhana ya sehemu ya nambari, lakini hali inawezekana wakati kitu kinagawanywa katika idadi isiyojulikana ya sehemu, kwa mfano, na x. Katika kesi hii, dhana ya usemi wa sehemu huibuka. Tayari umefahamiana na misemo nzima (isiyo na mgawanyiko katika misemo na vigeuzi) na sifa zao katika daraja la 7. Ifuatayo, tutaangalia wazo la sehemu ya busara, na vile vile maadili yanayokubalika ya anuwai.
Misemo ya busara imegawanywa katika maneno kamili na sehemu.
Ufafanuzi.Sehemu ya busara ni usemi wa sehemu ya fomu , ambapo ni polynomials. - denominator ya nambari.
Mifanomaneno ya busara:
- maneno ya sehemu; - maneno yote. Katika usemi wa kwanza, kwa mfano, nambari ni , na denominator ni .
Maana sehemu ya algebra kama mtu yeyote usemi wa algebra, inategemea thamani ya nambari ya vigezo ambavyo vinajumuishwa ndani yake. Hasa, katika mfano wa kwanza thamani ya sehemu inategemea maadili ya vigezo na , na katika mfano wa pili tu juu ya thamani ya kutofautiana.
Hebu fikiria kazi ya kwanza ya kawaida: kuhesabu thamani sehemu ya mantiki kwa maadili tofauti ya vijiti vilivyojumuishwa ndani yake.
Mfano 1. Kuhesabu thamani ya sehemu kwa a) , b) , c)
Suluhisho. Wacha tubadilishe maadili ya anuwai kwenye sehemu iliyoonyeshwa: a) , b) , c) - haipo (kwani huwezi kugawanya na sifuri).
Jibu: a) 3; b) 1; c) haipo.
Kama unavyoona, shida mbili za kawaida huibuka kwa sehemu yoyote: 1) kuhesabu sehemu, 2) kutafuta. maadili halali na batili vigezo vya barua.
Ufafanuzi.Thamani Zinazoweza Kubadilika- maadili ya anuwai ambayo usemi unaeleweka. Seti ya maadili yote yanayowezekana ya anuwai inaitwa ODZ au kikoa.
Thamani ya viambishi halisi inaweza kuwa batili ikiwa kiashiria cha sehemu katika thamani hizi ni sifuri. Katika visa vingine vyote, maadili ya anuwai ni halali, kwani sehemu inaweza kuhesabiwa.
Mfano 2.
Suluhisho. Ili usemi huu uwe na maana, ni muhimu na ya kutosha kwamba denominator ya sehemu hailingani na sifuri. Kwa hivyo, zile tu maadili ya kutofautisha yatakuwa batili ambayo denominator ni sawa na sifuri. Denominator ya sehemu ni , kwa hivyo tunatatua equation ya mstari:
Kwa hiyo, kutokana na thamani ya kutofautiana, sehemu haina maana.
Jibu: -5.
Kutoka kwa suluhisho la mfano, sheria ya kupata maadili batili ya vigezo ifuatavyo - denominator ya sehemu ni sawa na sifuri na mizizi ya equation inayolingana hupatikana.
Hebu tuangalie mifano kadhaa inayofanana.
Mfano 3. Anzisha ni kwa maadili gani ya kutofautisha ambayo sehemu haina maana .
Suluhisho..
Jibu..
Mfano 4. Anzisha ni kwa maadili gani ya kutofautisha ambayo sehemu haina maana.
Suluhisho..
Kuna uundaji mwingine wa shida hii - pata kikoa au anuwai ya maadili yanayokubalika ya kujieleza (APV). Hii inamaanisha kupata maadili yote halali ya anuwai. Katika mfano wetu, haya yote ni maadili isipokuwa . Ni rahisi kuonyesha kikoa cha ufafanuzi kwenye mhimili wa nambari.
Ili kufanya hivyo, tutakata nukta juu yake, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu:
Mchele. 1
Hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa sehemu kutakuwa na nambari zote isipokuwa 3.
Jibu..
Mfano 5. Anzisha ni kwa maadili gani ya kutofautisha ambayo sehemu haina maana.
Suluhisho..
Wacha tuonyeshe suluhisho linalosababishwa kwenye mhimili wa nambari:
Mchele. 2
Jibu..
Mfano 6.
Suluhisho.. Tumepata usawa wa vigezo viwili, tutatoa mifano ya nambari: au, nk.
Wacha tuonyeshe suluhisho hili kwenye grafu kwenye mfumo wa kuratibu wa Cartesian:
Mchele. 3. Grafu ya utendaji
Viwianishi vya sehemu yoyote iliyo kwenye grafu hii hazijajumuishwa katika anuwai ya thamani za sehemu zinazokubalika.
Jibu..
Katika mifano iliyojadiliwa, tulikutana na hali ambapo mgawanyiko kwa sifuri ulitokea. Sasa fikiria kesi ambapo hali ya kuvutia zaidi inatokea na mgawanyiko wa aina.
Mfano 7. Anzisha ni kwa maadili gani ya anuwai ambayo sehemu haina maana.
Suluhisho..
Inageuka kuwa sehemu haina maana kwa . Lakini mtu anaweza kusema kuwa hii sivyo kwa sababu: 
.
Inaweza kuonekana kuwa ikiwa usemi wa mwisho ni sawa na 8 kwa , basi ile ya asili pia inaweza kuhesabiwa, na kwa hivyo inaeleweka kwa . Walakini, ikiwa tutaibadilisha kwa usemi wa asili, tunapata - haina maana.
Jibu..
Ili kuelewa mfano huu kwa undani zaidi, wacha tusuluhishe shida ifuatayo: ni kwa maadili gani sehemu iliyoonyeshwa ni sawa na sifuri?
48. Aina za maneno ya aljebra.
Semi za aljebra huundwa kutoka kwa nambari na vigeuzo kwa kutumia ishara za kujumlisha, kutoa, kuzidisha, kugawanya, kuinua kwa nguvu ya busara na kutoa mizizi na kutumia mabano.
Mifano ya misemo ya aljebra:
Ikiwa usemi wa aljebra hauna mgawanyiko katika vigezo na uchimbaji wa mizizi kutoka kwa vigezo (hasa, udhihirisho na kipeo cha sehemu), basi inaitwa nambari kamili. Kati ya yale yaliyoandikwa hapo juu, misemo 1, 2 na 6 ni nambari kamili.
Ikiwa usemi wa algebraic unajumuisha nambari na vigezo kwa kutumia shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha, kuelezea kwa kielelezo cha asili na mgawanyiko, na mgawanyiko katika maneno yenye vigezo hutumiwa, basi inaitwa sehemu. Kwa hivyo, kati ya yale yaliyoandikwa hapo juu, misemo 3 na 4 ni ya sehemu.
Semi kamili na sehemu huitwa misemo ya busara. Kwa hivyo, kati ya maneno ya busara yaliyoandikwa hapo juu, misemo 1, 2, 3, 4 na 6 ni.
Ikiwa usemi wa aljebra unahusisha kuchukua mzizi wa viambajengo (au kuinua vigeu kwa nguvu ya sehemu), basi usemi kama huo wa aljebra huitwa kutokuwa na mantiki. Kwa hivyo, kati ya hizo zilizoandikwa hapo juu, misemo ya 5 na 7 haina mantiki.
Kwa hivyo, misemo ya aljebra inaweza kuwa ya busara na isiyo na maana. Maneno ya busara, kwa upande wake, yamegawanywa katika nambari kamili na sehemu.
49. Maadili halali ya vigezo. Kikoa cha ufafanuzi wa usemi wa aljebra.
Thamani za vigeu ambazo usemi wa aljebra hufanya akili huitwa maadili yanayokubalika ya vigeu. Seti ya maadili yote yanayoruhusiwa ya vigeu inaitwa kikoa cha ufafanuzi wa usemi wa aljebra.
Usemi wote una mantiki kwa maadili yoyote ya anuwai iliyojumuishwa ndani yake. Kwa hivyo, kwa maadili yoyote ya vigezo, maneno yote 1, 2, 6 kutoka aya ya 48 yana maana.
Semi za sehemu hazileti maana kwa thamani hizo za vigeu vinavyofanya dhehebu sifuri. Kwa hivyo, usemi wa sehemu ya 3 kutoka aya ya 48 unaeleweka kwa yote o, isipokuwa , na usemi wa sehemu 4 una maana kwa yote a, b, c, isipokuwa kwa maadili ya a.
Usemi usio na mantiki hauleti maana kwa maadili hayo ya vigeu ambavyo hubadilika kuwa nambari hasi usemi uliomo chini ya ishara ya mzizi wa nguvu iliyo sawa au chini ya ishara ya kuinua kwa nguvu ya sehemu. Kwa hivyo, usemi usio na mantiki wa 5 una mantiki tu kwa wale a, b ambao na usemi usio na mantiki 7 una maana kwa na (tazama aya ya 48).
Ikiwa katika usemi wa aljebra vigezo vinapewa maadili halali, basi usemi wa nambari utapatikana; thamani yake inaitwa thamani ya usemi wa algebraic kwa maadili yaliyochaguliwa ya vigezo.
Mfano. Tafuta thamani ya usemi wakati
Suluhisho. Tuna
50. Dhana ya mabadiliko sawa ya usemi. Utambulisho.
Hebu tuchunguze semi mbili Tunapokuwa na . Nambari 0 na 3 zinaitwa maadili yao. misemo ya Wacha tupate maadili yanayolingana ya misemo sawa
Thamani zinazolingana za misemo mbili zinaweza kuwa sawa kwa kila mmoja (kwa mfano, katika mfano unaozingatiwa, usawa ni kweli), au zinaweza kutofautiana kutoka kwa kila mmoja (kwa mfano, katika mfano uliozingatiwa).
Maadili halali ya vigezo,
imejumuishwa katika usemi wa sehemu
Malengo: kukuza uwezo wa kupata maadili yanayokubalika ya vijiti vilivyojumuishwa katika misemo ya sehemu.
Wakati wa madarasa
I. Wakati wa shirika.
II. Kazi ya mdomo.
- Badili nambari fulani badala ya * na utaje sehemu inayotokana:
A); b); V); G);
d); e); na); h) .
III. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.
Ufafanuzi wa nyenzo mpya hutokea katika hatua tatu:
1. Kusasisha maarifa ya wanafunzi.
2. Kuzingatia swali la ikiwa sehemu ya busara huwa na maana kila wakati.
3. Upatikanaji wa sheria ya kupata maadili yanayokubalika ya vigeu vilivyojumuishwa katika sehemu ya busara.
Wakati wa kusasisha maarifa, wanafunzi wanaweza kuulizwa yafuatayo:
maswali:
- Ni sehemu gani inayoitwa busara?
- Je, kila sehemu ni usemi wa sehemu?
- Jinsi ya kupata thamani ya sehemu ya busara kwa maadili fulani ya vijiti vilivyojumuishwa ndani yake?
Ili kufafanua suala la maadili yanayokubalika ya vijiti vilivyojumuishwa katika sehemu ya busara, unaweza kuuliza wanafunzi kukamilisha kazi.
Kazi: Pata thamani ya sehemu kwa maadili maalum ya kutofautisha:
Katika X = 4; 0; 1.
Kwa kukamilisha kazi hii, wanafunzi wanaelewa kwamba wakati X= 1 haiwezekani kupata thamani ya sehemu. Hii inawaruhusu kufanya hitimisho lifuatalo: huwezi kubadilisha nambari kwa sehemu ya kimantiki ambayo hufanya kiashiria chake kuwa sifuri (hitimisho hili lazima litungwe na kusemwa kwa sauti na wanafunzi wenyewe).
Baada ya hayo, mwalimu hufahamisha wanafunzi kwamba maadili yote ya vijiti ambavyo usemi wa busara unaeleweka huitwa maadili halali ya anuwai.
1) Ikiwa usemi ni nambari kamili, basi maadili yote ya anuwai yaliyojumuishwa ndani yake yatakuwa halali.
2) Ili kupata maadili yanayokubalika ya vijikaratasi vya usemi wa sehemu, unahitaji kuangalia ni maadili gani ambayo dhehebu huenda hadi sifuri. Nambari zilizopatikana hazitakuwa maadili halali.
IV. Uundaji wa ujuzi na uwezo.
1. № 10, № 11.
Jibu la swali juu ya maadili yanayokubalika ya vijiti vilivyojumuishwa katika usemi wa sehemu inaweza kusikika tofauti. Kwa mfano, wakati wa kuzingatia sehemu ya busara, tunaweza kusema kwamba nambari zote isipokuwa X= 4, au kwamba maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha hayajumuishi nambari 4, ambayo ni X ≠ 4.
Michanganyiko yote miwili ni sahihi; jambo kuu ni kuhakikisha kuwa umbizo ni sahihi.
FOMU YA Smple:
4X (X + 1) = 0
Jibu: X≠ 0 na X≠ 1 (au nambari zote isipokuwa 0 na -1).
3. Nambari 14 (a, c), Nambari 15.
Wakati wa kumaliza kazi hizi, wanafunzi wanapaswa kuzingatia hitaji la kuzingatia maadili yanayokubalika ya anuwai.
G) 
Jibu: X = 0.
Fuatilia mantiki ya hoja zote.
Katika darasa na kiwango cha juu cha mafunzo, unaweza kuongeza Nambari 18 na 20.
Suluhisho
Kati ya sehemu zote zilizo na nambari chanya sawa, kubwa zaidi ni ile iliyo na kiashiria kidogo zaidi. Hiyo ni, ni muhimu kupata kwa thamani gani A kujieleza A 2 + 5 inachukua thamani ndogo zaidi.
Tangu usemi A 2 haiwezi kuwa hasi kwa thamani yoyote A, kisha usemi A 2 + 5 itachukua thamani ndogo zaidi wakati A = 0.
Jibu: A = 0.
Tukibishana vivyo hivyo, tunaona kwamba ni muhimu kupata thamani A, ambayo usemi ( A- 3) 2 + 1 inachukua thamani ndogo zaidi.
Jibu: A = 3.
Suluhisho
.
Ili kujibu swali, kwanza unahitaji kubadilisha usemi katika denominator ya sehemu.
Sehemu itachukua thamani kubwa zaidi ikiwa usemi (2 X +
+ katika) 2 + 9 inachukua thamani ndogo zaidi. Tangu (2 X + katika) 2 haiwezi kuchukua maadili hasi, basi thamani ndogo zaidi ya usemi (2 X + katika) 2 + 9 ni sawa na 9.
Kisha thamani ya sehemu ya asili ni = 2.
V. Muhtasari wa somo.
Maswali yanayoulizwa mara kwa mara:
- Ni maadili gani yanayoitwa maadili yanayokubalika ya vijiti vilivyojumuishwa kwenye usemi?
- Ni maadili gani halali ya vijiti vya usemi mzima?
- Jinsi ya kupata maadili halali ya anuwai katika usemi wa sehemu?
Kuna sehemu za busara ambazo maadili yote ya kutofautisha ni halali? Toa mifano ya sehemu kama hizo.
Kazi ya nyumbani: Nambari 12, Nambari 14 (b, d), Nambari 212.