Kuinua logariti hadi nguvu. Logarithm

Kuhusiana na

kazi ya kutafuta nambari yoyote kati ya hizo tatu kutoka kwa hizo mbili zilizopewa inaweza kuwekwa. Ikiwa a na kisha N zinatolewa, zinapatikana kwa ufafanuzi. Ikiwa N na kisha a hutolewa kwa kuchukua mzizi wa digrii x (au kuinua kwa nguvu). Sasa fikiria kesi wakati, ukipewa a na N, tunahitaji kupata x.

Acha nambari N iwe chanya: nambari a iwe chanya na isiwe sawa na moja: .

Ufafanuzi. Logariti ya nambari N hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata nambari N; logarithm inaonyeshwa na

Kwa hivyo, katika usawa (26.1) kipeo kinapatikana kama logariti ya N hadi msingi a. Machapisho

kuwa na maana sawa. Usawa (26.1) wakati mwingine huitwa utambulisho mkuu wa nadharia ya logarithmu; kwa uhalisia inaeleza ufafanuzi wa dhana ya logariti. Na ufafanuzi huu Msingi wa logarithm a daima ni chanya na tofauti na umoja; nambari ya logarithmic N ni chanya. Nambari hasi na sifuri hazina logariti. Inaweza kuthibitishwa kuwa nambari yoyote iliyo na msingi fulani ina logarithm iliyofafanuliwa vizuri. Kwa hivyo usawa unajumuisha. Kumbuka kuwa hali muhimu hapa ni vinginevyo hitimisho halingehesabiwa haki, kwani usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya x na y.

Mfano 1. Tafuta

Suluhisho. Ili kupata nambari, lazima uinue msingi 2 kwa nguvu Kwa hivyo.

Unaweza kuandika maelezo wakati wa kutatua mifano kama hii katika fomu ifuatayo:

Mfano 2. Tafuta .

Suluhisho. Tuna

Katika mifano ya 1 na 2, tulipata logariti tunayotaka kwa urahisi kwa kuwakilisha nambari ya logariti kama nguvu ya msingi na kiashiria cha busara. KATIKA kesi ya jumla, kwa mfano, kwa nk, hii haiwezi kufanywa, kwani logarithm ina maana isiyo na maana. Hebu tuzingatie suala moja linalohusiana na kauli hii. Katika aya ya 12 tulitoa dhana ya uwezekano wa kuamua yoyote shahada halisi kupewa nambari chanya. Hii ilikuwa muhimu kwa kuanzishwa kwa logarithms, ambayo, kwa ujumla, inaweza kuwa nambari zisizo na maana.

Wacha tuangalie sifa zingine za logarithm.

Mali 1. Ikiwa nambari na msingi ni sawa, basi logarithm sawa na moja, na, kinyume chake, ikiwa logarithm ni sawa na moja, basi nambari na msingi ni sawa.

Ushahidi. Hebu Kwa ufafanuzi wa logarithm tunayo na wapi

Kinyume chake, basi basi kwa ufafanuzi

Mali 2. Logariti ya moja hadi msingi wowote ni sawa na sifuri.

Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa logarithm ( shahada ya sifuri msingi wowote chanya ni sawa na moja, ona (10.1)). Kutoka hapa

Q.E.D.

Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi N = 1. Hakika, tunayo.

Kabla ya kuunda sifa inayofuata ya logariti, tukubaliane kusema kwamba nambari mbili a na b ziko upande uleule wa nambari ya tatu c ikiwa zote ni kubwa kuliko c au chini ya c. Ikiwa moja ya nambari hizi ni kubwa kuliko c, na nyingine ni chini ya c, basi tutasema kwamba wanalala pamoja pande tofauti kutoka kijijini

Mali 3. Ikiwa nambari na msingi ziko upande mmoja wa moja, basi logarithm ni chanya; Ikiwa nambari na msingi ziko pande tofauti za moja, basi logarithm ni hasi.

Uthibitisho wa mali 3 unatokana na ukweli kwamba shahada a zaidi ya moja, ikiwa besi ni kubwa kuliko moja na kipeo kipeo ni chanya au msingi ni chini ya moja na kipeo kikuu ni hasi. Nguvu ni chini ya moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni hasi au msingi ni chini ya moja na kipeo ni chanya.

Kuna kesi nne za kuzingatia:

Tutajiwekea kikomo cha kuchambua ya kwanza; msomaji atazingatia mengine peke yake.

Hebu basi katika usawa kielelezo kinaweza kuwa si hasi wala sawa na sifuri, kwa hiyo, ni chanya, yaani, inavyotakiwa kuthibitishwa.

Mfano 3. Jua ni ipi kati ya logariti zilizo hapa chini ni chanya na zipi ni hasi:

Suluhisho, a) kwa kuwa nambari 15 na msingi 12 ziko upande mmoja wa moja;

b) tangu 1000 na 2 ziko upande mmoja wa kitengo; katika kesi hii, sio muhimu kwamba msingi ni mkubwa kuliko nambari ya logarithmic;

c) tangu 3.1 na 0.8 hulala pande tofauti za umoja;

G); Kwa nini?

d); Kwa nini?

Sifa zifuatazo 4-6 mara nyingi huitwa sheria za logarithmation: huruhusu, kujua logarithms za nambari fulani, kupata logarithms ya bidhaa zao, quotient, na kiwango cha kila mmoja wao.

Mali 4 (kanuni ya logarithm ya bidhaa). Logarithm ya bidhaa ya nambari kadhaa chanya kwa msingi huu sawa na jumla logariti za nambari hizi kwa msingi sawa.

Ushahidi. Acha nambari ulizopewa ziwe chanya.

Kwa logariti ya bidhaa zao, tunaandika usawa (26.1) ambayo inafafanua logariti:

Kutoka hapa tutapata

Kulinganisha vielelezo vya kwanza na maneno ya mwisho, tunapata usawa unaohitajika:

Kumbuka kwamba hali ni muhimu; logarithm ya bidhaa ya nambari mbili hasi ina maana, lakini katika kesi hii tunapata

Kwa ujumla, ikiwa bidhaa ya mambo kadhaa ni chanya, basi logarithm yake ni sawa na jumla ya logarithms ya maadili kamili ya mambo haya.

Mali 5 (kanuni ya kuchukua logarithms ya quotients). Logariti ya mgawo wa nambari chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko, zilizochukuliwa kwa msingi sawa. Ushahidi. Tunapata mara kwa mara

Q.E.D.

Mali 6 (sheria ya logarithm ya nguvu). Logariti ya nguvu ya nambari fulani chanya sawa na logarithm nambari hii ilizidishwa na kipeo.

Ushahidi. Wacha tuandike tena kitambulisho kikuu (26.1) cha nambari:

Q.E.D.

Matokeo. Logariti ya mzizi wa nambari chanya ni sawa na logariti ya radical iliyogawanywa na kipeo cha mzizi:

Uhalali wa mfululizo huu unaweza kuthibitishwa kwa kuwazia jinsi na kutumia kipengele 6.

Mfano 4. Chukua logariti kuweka msingi wa:

a) (inadhaniwa kuwa maadili yote b, c, d, e ni chanya);

b) (inadhaniwa kuwa).

Suluhisho, a) Ni rahisi kwenda usemi huu kwa nguvu za sehemu:

Kulingana na usawa (26.5)-(26.7), sasa tunaweza kuandika:

Tunaona kwamba shughuli rahisi zaidi zinafanywa kwa logarithms ya nambari kuliko nambari zenyewe: wakati wa kuzidisha nambari, logarithms zao huongezwa, wakati wa kugawanya, hutolewa, nk.

Ndiyo maana logariti hutumika katika mazoezi ya kompyuta (tazama aya ya 29).

Kitendo cha kinyume cha logarithm kinaitwa potentiation, yaani: potentiation ni kitendo ambacho nambari yenyewe hupatikana kutoka kwa logarithm fulani ya nambari. Kimsingi, uwezo sio hatua yoyote maalum: inakuja kwa kuinua msingi kwa nguvu ( sawa na logarithm nambari). Neno "uwezo" linaweza kuchukuliwa kuwa sawa na neno "ufafanuzi".

Wakati wa uwezekano, mtu lazima atumie sheria kinyume na sheria za logarithmation: badala ya jumla ya logarithms na logarithm ya bidhaa, tofauti ya logarithms na logarithm ya quotient, nk Hasa, ikiwa kuna sababu mbele. ya ishara ya logarithm, basi wakati wa potentiation lazima ihamishwe kwa digrii za kielelezo chini ya ishara ya logarithm.

Mfano 5. Tafuta N ikiwa inajulikana hivyo

Suluhisho. Kuhusiana na kanuni iliyoelezwa tu ya uwezekano, tutahamisha vipengele 2/3 na 1/3 vilivyosimama mbele ya ishara za logarithmu upande wa kulia wa usawa huu kuwa vielelezo chini ya ishara za logarithms hizi; tunapata

Sasa tunabadilisha tofauti ya logarithm na logarithm ya quotient:

ili kupata sehemu ya mwisho katika mlolongo huu wa usawa, tuliachilia sehemu iliyotangulia kutoka kwa kutokuwa na akili katika dhehebu (kifungu cha 25).

Mali 7. Ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja, basi idadi kubwa zaidi ina logarithm kubwa (na nambari ndogo ina ndogo), ikiwa msingi ni chini ya moja, basi nambari kubwa ina logarithm ndogo (na nambari ndogo ina kubwa zaidi).

Mali hii pia imeundwa kama sheria ya kuchukua logarithms ya usawa, pande zote mbili ambazo ni chanya:

Wakati wa kuweka usawa wa logarith kwa msingi mkubwa zaidi ya moja, ishara ya usawa huhifadhiwa, na wakati wa kuweka logarith kwa msingi chini ya moja, ishara ya ukosefu wa usawa inabadilika kuwa kinyume (tazama pia aya ya 80).

Uthibitisho unategemea sifa 5 na 3. Zingatia kesi wakati Ikiwa, basi na, kwa kuchukua logarithm, tunapata.

(a na N/M wanalala upande mmoja wa umoja). Kutoka hapa

Kisa kifuatacho, msomaji atajitambua mwenyewe.

Lengo la makala hii ni logarithm. Hapa tutatoa ufafanuzi wa logarithm, onyesha jina lililokubaliwa, tutatoa mifano ya logarithms, na kuzungumza juu ya logarithms asili na decimal. Baada ya hayo, tutazingatia kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi wa logarithm

Wazo la logarithm huibuka wakati wa kutatua shida katika kwa maana fulani kinyume, unapohitaji kupata kipeo cha thamani inayojulikana shahada na msingi unaojulikana.

Lakini utangulizi wa kutosha, ni wakati wa kujibu swali "logarithm ni nini"? Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Logariti ya b hadi msingi a, ambapo a>0, a≠1 na b>0 ni kielelezo ambacho unahitaji kuinua nambari a ili kupata b kama matokeo.

Katika hatua hii, tunaona kwamba neno linalozungumzwa "logarithm" linapaswa kuibua maswali mawili ya ufuatiliaji mara moja: "nambari gani" na "kwa msingi gani." Kwa maneno mengine, hakuna logariti, lakini logariti tu ya nambari kwa msingi fulani.

Hebu tuingie mara moja nukuu ya logarithm: logariti ya nambari b hadi msingi a kawaida huashiriwa kama logi a. Logariti ya nambari b hadi msingi e na logariti hadi msingi 10 ina majina yao maalum lnb na logb, mtawaliwa, ambayo ni kwamba, hawaandiki logi e b, lakini lnb, na sio logi 10 b, lakini lgb.

Sasa tunaweza kutoa:.
Na rekodi usiwe na maana, kwa kuwa katika kwanza yao chini ya ishara ya logarithm kuna nambari hasi, katika pili kuna nambari hasi katika msingi, na katika tatu kuna nambari hasi chini ya ishara ya logarithm na kitengo katika msingi.

Sasa tuzungumzie sheria za kusoma logarithms. Logi a b inasomwa kama "logariti ya b hadi msingi a". Kwa mfano, logariti 2 3 ni logariti ya tatu hadi msingi 2, na ni logariti ya nukta mbili theluthi mbili hadi msingi 2. Kipeo kati ya watano. Logariti kwa msingi e inaitwa logarithm asili, na nukuu lnb inasomeka "logarithm asilia ya b". Kwa mfano, ln7 ni logariti asili ya saba, na tutaisoma kama logarithm asili ya pi. Logarithm ya msingi 10 pia ina jina maalum - logarithm ya desimali, na lgb inasomwa kama "decimal logarithm of b". Kwa mfano, lg1 ni logariti ya desimali ya moja, na lg2.75 ni logariti ya desimali ya nukta mbili ya mia tano.

Inafaa kukaa kando kwa masharti a>0, a≠1 na b>0, ambayo ufafanuzi wa logarithm hutolewa. Hebu tueleze vikwazo hivi vinatoka wapi. Usawa wa fomu inayoitwa , ambayo inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm iliyotolewa hapo juu, itatusaidia kufanya hivyo.

Wacha tuanze na a≠1. Kwa kuwa moja kwa mamlaka yoyote ni sawa na moja, usawa unaweza kuwa kweli tu wakati b=1, lakini logi 1 1 inaweza kuwa yoyote. nambari halisi. Ili kuepuka utata huu, a≠1 inachukuliwa.

Wacha tuthibitishe umuhimu wa sharti a>0. Na =0, kwa ufafanuzi wa logariti, tungekuwa na usawa, ambayo inawezekana tu na b=0. Lakini basi logi 0 0 inaweza kuwa nambari yoyote isiyo ya sifuri, kwani sifuri kwa nguvu yoyote isiyo ya sifuri ni sifuri. Hali a≠0 huturuhusu kuepuka utata huu. Na wakati a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Hatimaye, hali b>0 inafuata kutoka kwa ukosefu wa usawa a>0, kwani , na thamani ya nguvu iliyo na msingi chanya a daima ni chanya.

Kuhitimisha hatua hii, hebu sema kwamba ufafanuzi ulioelezwa wa logarithm inakuwezesha kuonyesha mara moja thamani ya logarithm wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithm ni nguvu fulani ya msingi. Hakika, ufafanuzi wa logariti huturuhusu kusema kwamba ikiwa b=a p, basi logariti ya nambari b hadi msingi a ni sawa na p. Hiyo ni, logi ya usawa a p =p ni kweli. Kwa mfano, tunajua kwamba 2 3 =8, kisha ingia 2 8=3. Tutazungumzia zaidi kuhusu hili katika makala.

Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.

Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia fomula za logarithm kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:

Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.

Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.

Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (inayoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.

Kwa mujibu wa ufafanuzi, andika b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hiyo weka a x = x.

Logarithms, mifano:

logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8

logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49

logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5

Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.

logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100

Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida ya logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828... - nambari isiyo na mantiki) Imetajwa kama ln.

Inashauriwa kukariri fomula au mali ya logarithm, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logarithms, milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic
logi a b = b
8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti
log a (bc) = log a b + log a c
gogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c
9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kielelezo cha nambari ya logarithmic logi a b m = mlog a b

Kipeo cha msingi logi ya logarithm a n b =1/n*logi a b

logi a n b m = m/n*logi a b,

ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b

gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,
ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1

kisha weka b = 1/logi b a

gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1

Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!

Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.

Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.

Kadiri jamii inavyoendelea na uzalishaji ukawa mgumu zaidi, hisabati pia ilikuzwa. Harakati kutoka rahisi hadi ngumu. Kutoka kwa uhasibu wa kawaida kwa njia ya kuongeza na kutoa, na wao kurudiwa mara nyingi, ilikuja kwenye dhana ya kuzidisha na kugawanya. Kupunguza utendakazi unaorudiwa wa kuzidisha ikawa dhana ya ufafanuzi. Jedwali la kwanza la utegemezi wa nambari kwenye msingi na idadi ya ufafanuzi zilikusanywa nyuma katika karne ya 8 na mwanahisabati wa Kihindi Varasena. Kutoka kwao unaweza kuhesabu wakati wa tukio la logarithms.

Mchoro wa kihistoria

Uamsho wa Ulaya katika karne ya 16 pia ulichochea maendeleo ya mechanics. T ilihitaji kiasi kikubwa cha hesabu kuhusiana na kuzidisha na kugawanya nambari za tarakimu nyingi. Meza za kale zilikuwa za utumishi mkubwa. Walifanya iwezekane kuchukua nafasi ya shughuli ngumu na rahisi zaidi - kuongeza na kutoa. Hatua kubwa Kazi ya mwanahisabati Michael Stiefel, iliyochapishwa mnamo 1544, iliongoza, ambayo aligundua wazo la wanahisabati wengi. Hii ilifanya iwezekane kutumia meza sio tu kwa digrii katika fomu nambari kuu, lakini pia kwa zile za kiholela.

Mnamo 1614, Mskoti John Napier, akiendeleza mawazo haya, alianzisha kwanza muhula mpya"logariti ya nambari." Mpya meza tata kwa kuhesabu logarithms ya sines na cosines, pamoja na tangents. Hii ilipunguza sana kazi ya wanaastronomia.

Jedwali mpya zilianza kuonekana, ambazo zilitumiwa kwa mafanikio na wanasayansi kote karne tatu. Muda mwingi ulipita kabla ya operesheni mpya katika algebra kupata fomu yake ya kumaliza. Ufafanuzi wa logarithm ulitolewa na sifa zake zilichunguzwa.

Ni katika karne ya 20 tu, na ujio wa kikokotoo na kompyuta, ambapo ubinadamu uliacha meza za zamani ambazo zilifanya kazi kwa mafanikio katika karne zote za 13.

Leo tunaita logariti ya b kuweka msingi wa nambari x ambayo ni nguvu ya a kutengeneza b. Hii imeandikwa kama fomula: x = logi a(b).

Kwa mfano, logi 3(9) itakuwa sawa na 2. Hii ni dhahiri ikiwa unafuata ufafanuzi. Ikiwa tutainua 3 kwa nguvu ya 2, tunapata 9.

Kwa hivyo, ufafanuzi ulioundwa huweka kizuizi kimoja tu: nambari a na b lazima ziwe halisi.

Aina za logarithm

Ufafanuzi wa kitamaduni unaitwa logarithm halisi na ndio suluhisho la mlinganyo a x = b. Chaguo a = 1 ni la mpaka na halipendezi. Tahadhari: 1 kwa nguvu yoyote ni sawa na 1.

Thamani halisi ya logarithm hufafanuliwa tu wakati msingi na hoja ni kubwa kuliko 0, na msingi lazima usiwe sawa na 1.

Mahali maalum katika uwanja wa hisabati cheza logariti, ambazo zitapewa jina kulingana na saizi ya msingi wao:

Sheria na vikwazo

Sifa ya kimsingi ya logariti ni kanuni: logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logarithmic. log abp = logi a(b) + logi a(p).

Kama lahaja ya taarifa hii kutakuwa na: logi c(b/p) = logi c(b) - logi c(p), kitendakazi cha mgawo ni sawa na tofauti ya vitendakazi.

Kutoka kwa sheria mbili zilizopita ni rahisi kuona kwamba: logi a(b p) = p * logi a(b).

Tabia zingine ni pamoja na:

Maoni. Hakuna haja ya kufanya makosa ya kawaida - logarithm ya jumla si sawa na jumla ya logarithms.

Kwa karne nyingi, operesheni ya kutafuta logarithm ilikuwa kazi inayotumia wakati. Wanahisabati walitumia formula inayojulikana nadharia ya logarithmic ya upanuzi wa polynomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ambapo n - nambari ya asili zaidi ya 1, ambayo huamua usahihi wa hesabu.

Logariti na besi nyingine zilikokotolewa kwa kutumia nadharia kuhusu mpito kutoka msingi mmoja hadi mwingine na sifa ya logariti ya bidhaa.

Kwa kuwa njia hii ni ya kazi sana na wakati wa kuamua matatizo ya vitendo vigumu kutekeleza, tulitumia meza zilizopangwa tayari za logarithms, ambazo ziliharakisha kazi yote kwa kiasi kikubwa.

Katika baadhi ya matukio, grafu maalum za logarithm zilitumiwa, ambazo zilitoa usahihi mdogo, lakini ziliharakisha utafutaji. thamani inayotakiwa. Curve ya kazi y = logi a(x), iliyojengwa juu ya alama kadhaa, hukuruhusu kutumia mtawala wa kawaida kupata thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua nyingine yoyote. Wahandisi muda mrefu Kwa madhumuni haya, karatasi inayoitwa grafu ilitumiwa.

Katika karne ya 17, hali ya kwanza ya kompyuta ya msaidizi ya analog ilionekana, ambayo Karne ya 19 alipata sura ya kumaliza. Kifaa kilichofanikiwa zaidi kiliitwa sheria ya slaidi. Licha ya unyenyekevu wa kifaa, kuonekana kwake kuharakisha mchakato wa mahesabu yote ya uhandisi, na hii ni vigumu kuzidi. Hivi sasa, ni watu wachache wanaofahamu kifaa hiki.

Ujio wa vikokotoo na kompyuta ulifanya matumizi ya vifaa vingine vyovyote kuwa bure.

Equations na kutofautiana

Kwa ufumbuzi milinganyo tofauti na kukosekana kwa usawa kwa kutumia logarithm, fomula zifuatazo hutumiwa:

Kuhama kutoka msingi mmoja hadi mwingine: logi a(b) = logi c(b) / logi c(a);
Kama matokeo ya chaguo la awali: logi a(b) = 1 / logi b(a).

Ili kutatua ukosefu wa usawa ni muhimu kujua:

Thamani ya logariti itakuwa chanya ikiwa tu msingi na hoja ni kubwa au chini ya moja; ikiwa angalau sharti moja limekiukwa, thamani ya logarithm itakuwa hasi.
Ikiwa kazi ya logarithm inatumiwa kwa pande za kulia na za kushoto za usawa, na msingi wa logarithm ni kubwa zaidi kuliko moja, basi ishara ya usawa inahifadhiwa; vinginevyo inabadilika.

Matatizo ya sampuli

Hebu fikiria chaguzi kadhaa za kutumia logarithms na mali zao. Mifano ya kutatua equations:

Fikiria chaguo la kuweka logarithm kwa nguvu:

Tatizo 3. Kokotoa 25^logi 5(3). Suluhisho: katika hali ya tatizo, kuingia ni sawa na zifuatazo (5 ^ 2) ^ log5 (3) au 5 ^ (2 * logi 5 (3)). Hebu tuandike kwa njia tofauti: 5^logi 5(3*2), au mraba wa nambari kama hoja ya chaguo za kukokotoa inaweza kuandikwa kama mraba wa chaguo la kukokotoa lenyewe (5^logi 5(3))^2. Kwa kutumia sifa za logariti, usemi huu ni sawa na 3^2. Jibu: kama matokeo ya hesabu tunapata 9.

Matumizi ya vitendo

Kuwa zana ya hesabu tu, inaonekana mbali na maisha halisi kwamba logarithm ilipata ghafla umuhimu mkubwa kuelezea vitu ulimwengu halisi. Ni vigumu kupata sayansi ambapo haitumiki. Hii inatumika kikamilifu sio tu kwa asili, bali pia kwa nyanja za kibinadamu za ujuzi.

Utegemezi wa logarithmic

Hapa kuna mifano ya utegemezi wa nambari:

Mechanics na fizikia

Kihistoria, mechanics na fizikia zimekua kila wakati kwa kutumia mbinu za hisabati utafiti na wakati huo huo ulitumika kama motisha kwa maendeleo ya hisabati, pamoja na logarithms. Nadharia ya sheria nyingi za fizikia imeandikwa katika lugha ya hisabati. Hebu tutoe mifano miwili tu ya maelezo sheria za kimwili kwa kutumia logarithm.

Tatua tatizo la hesabu kama hili saizi ngumu Jinsi kasi ya roketi inaweza kuamua kwa kutumia formula ya Tsiolkovsky, ambayo iliweka msingi wa nadharia ya uchunguzi wa nafasi:

V = I * ln (M1/M2), wapi

V - kasi ya mwisho Ndege.
I - msukumo maalum wa injini.
M 1 - wingi wa awali wa roketi.
M2 - misa ya mwisho.

Mwingine mfano muhimu - hii hutumiwa katika formula ya mwanasayansi mwingine mkubwa Max Planck, ambayo hutumikia kutathmini hali ya usawa katika thermodynamics.

S = k * ln (Ω), wapi

S - mali ya thermodynamic.
k - Boltzmann mara kwa mara.
Ω ni uzito wa takwimu wa majimbo tofauti.

Kemia

Jambo lisilo wazi zaidi ni matumizi ya fomula katika kemia iliyo na uwiano wa logariti. Hebu tutoe mifano miwili tu:

Nernst equation, hali ya uwezekano wa redox wa kati kuhusiana na shughuli za dutu na usawa wa mara kwa mara.
Hesabu ya viunga kama vile index ya autolysis na asidi ya suluhisho pia haiwezi kufanywa bila kazi yetu.

Saikolojia na biolojia

Na si wazi kabisa saikolojia ina uhusiano gani nayo. Inageuka kuwa nguvu ya hisia inaelezewa vizuri na kazi hii kama uhusiano wa kinyume maadili ya nguvu ya kichocheo hadi thamani ya chini ya kiwango.

Baada ya mifano hapo juu, haishangazi tena kwamba mada ya logarithms hutumiwa sana katika biolojia. Majalada yote yanaweza kuandikwa kuhusu fomu za kibayolojia zinazolingana na ond za logarithmic.

Maeneo mengine

Inaonekana kwamba kuwepo kwa dunia haiwezekani bila uhusiano na kazi hii, na inatawala sheria zote. Hasa wakati sheria za asili zinahusiana na maendeleo ya kijiometri. Inafaa kugeukia tovuti ya MatProfi, na kuna mifano mingi kama hii katika maeneo yafuatayo ya shughuli:

Orodha inaweza kutokuwa na mwisho. Baada ya kujua kanuni za msingi za kazi hii, unaweza kutumbukia katika ulimwengu wa hekima isiyo na kikomo.

Logariti ya nambari N kulingana na A inayoitwa kielelezo X , ambayo unahitaji kujenga A kupata namba N

Isipokuwa hivyo
,
,

Kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata hiyo
, i.e.
- usawa huu ni kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Logariti hadi msingi 10 huitwa logariti za desimali. Badala ya
andika
.

Logarithm kwa msingi e huitwa asili na huteuliwa
.

Mali ya msingi ya logarithms.

Logariti ya moja ni sawa na sifuri kwa msingi wowote.

Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti za vipengele.

3) Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti

Sababu
inayoitwa moduli ya mpito kutoka logariti hadi msingi a kwa logarithm kwenye msingi b .

Kutumia mali 2-5, mara nyingi inawezekana kupunguza logarithm ya usemi tata kwa matokeo ya shughuli rahisi za hesabu kwenye logarithms.

Kwa mfano,

Mabadiliko kama haya ya logarithm huitwa logarithms. Mabadiliko kinyume na logarithmu huitwa potentiation.

Sura ya 2. Vipengele vya hisabati ya juu.

1. Mipaka

Kikomo cha chaguo la kukokotoa
ni nambari A ikiwa, kama xx 0 kwa kila iliyoamuliwa mapema
, kuna idadi kama hiyo
hiyo mara tu
, Hiyo
.

Chaguo za kukokotoa ambazo zina kikomo hutofautiana nayo kwa kiasi kisicho na kikomo:
, wapi- b.m.v., i.e.
.

Mfano. Fikiria kazi
.

Wakati wa kujitahidi
, kazi y inaelekea sifuri:

1.1. Nadharia za msingi kuhusu mipaka.

Kikomo thamani ya kudumu sawa na thamani hii ya kudumu

Kiasi (tofauti) kikomo nambari ya mwisho kazi ni sawa na jumla (tofauti) ya mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha bidhaa cha idadi maalum ya vitendaji sawa na bidhaa mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha mgawo wa kazi mbili ni sawa na mgawo wa mipaka ya kazi hizi ikiwa kikomo cha denominator sio sifuri.

Mipaka ya Ajabu

,
, wapi

1.2. Kikomo cha Mifano ya Kukokotoa

Walakini, sio mipaka yote inayohesabiwa kwa urahisi. Mara nyingi zaidi, kuhesabu kikomo kunashuka hadi kufichua kutokuwa na uhakika wa aina: au .

2. Nyingi ya kitendakazi

Hebu tuwe na kazi
, inayoendelea kwenye sehemu
.

Hoja alipata ongezeko fulani
. Kisha kazi itapokea nyongeza
.

Thamani ya hoja inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa
.

Thamani ya hoja
inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa.

Kwa hivyo,.

Wacha tupate kikomo cha uwiano huu
. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi inaitwa derivative ya kazi iliyotolewa.

Ufafanuzi wa 3 Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizotolewa
kwa hoja inaitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la hoja, wakati nyongeza ya hoja kiholela inaelekea sifuri.

Nyingi ya chaguo za kukokotoa
inaweza kuteuliwa kama ifuatavyo:

; ; ; .

Ufafanuzi 4Uendeshaji wa kutafuta derivative ya kitendakazi huitwa utofautishaji.

2.1. Maana ya mitambo ya derivative.

Wacha tuzingatie mwendo wa mstatili wa sehemu fulani ngumu ya mwili au nyenzo.

Wacha kwa wakati fulani hatua ya kusonga
alikuwa kwa mbali kutoka nafasi ya kuanzia
.

Baada ya muda fulani
akasogea mbali
. Mtazamo =- kasi ya wastani ya hatua ya nyenzo
. Hebu tupate kikomo cha uwiano huu, kwa kuzingatia hilo
.

Kwa hiyo, ufafanuzi kasi ya papo hapo mwendo wa nyenzo unashuka hadi kupata derivative ya njia kwa heshima na wakati.

2.2. Maana ya kijiometri derivative

Hebu tuwe na kazi iliyofafanuliwa kwa michoro
.

Mchele. 1. Maana ya kijiometri ya derivative

Kama
, kisha onyesha
, itasonga kando ya curve, inakaribia hatua
.

Kwa hivyo
, i.e. thamani ya derivative kwa thamani fulani ya hoja kiidadi sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjiti katika sehemu fulani yenye mwelekeo chanya wa mhimili.
.

2.3. Jedwali la kanuni za msingi za utofautishaji.

Kazi ya nguvu

Utendakazi wa kielelezo

Utendaji wa logarithmic

Kazi ya Trigonometric

Kitendaji kinyume cha trigonometriki

2.4. Kanuni za kutofautisha.

Inayotokana na

Inatokana na jumla (tofauti) ya chaguo za kukokotoa

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili

Inatokana na mgawo wa vitendaji viwili

2.5. Inayotokana na kazi tata.

Acha kazi itolewe
hivi kwamba inaweza kuwakilishwa katika fomu

Na
, ambapo kutofautiana ni hoja ya kati, basi

Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo la kukokotoa lililotolewa kuhusiana na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na x.

Mfano 1.

Mfano 2.

3. Kazi tofauti.

Hebu iwepo
, inaweza kutofautishwa kwa muda fulani
acha iende katika kipengele hiki cha kukokotoa kina derivative

basi tunaweza kuandika

(1),

Wapi - idadi isiyo na kikomo,

tangu lini

Kuzidisha masharti yote ya usawa (1) kwa
tuna:

Wapi
- b.m.v. hali ya juu.

Ukubwa
inayoitwa tofauti ya kazi
na imeteuliwa

3.1. Thamani ya kijiometri ya tofauti.

Acha kazi itolewe
.

Mtini.2. Maana ya kijiometri ya tofauti.

Ni wazi, tofauti ya kazi
ni sawa na ongezeko la mratibu wa tanjiti katika hatua fulani.

3.2. Derivatives na tofauti za maagizo mbalimbali.

Ikiwa huko
, Kisha
inaitwa derivative ya kwanza.

Derivative ya derivative ya kwanza inaitwa derivative ya mpangilio wa pili na imeandikwa
.

Inatokana na mpangilio wa nth wa chaguo za kukokotoa
inaitwa derivative ya mpangilio (n-1) na imeandikwa:

Tofauti ya tofauti ya kazi inaitwa tofauti ya pili au ya pili ya utaratibu.

.

.

3.3 Kutatua matatizo ya kibiolojia kwa kutumia upambanuzi.

Jukumu la 1. Uchunguzi umeonyesha kwamba ukuaji wa koloni ya microorganisms hutii sheria
, wapi N - idadi ya vijidudu (kwa maelfu); t - wakati (siku).

b) Je, watu wa koloni wataongezeka au kupungua katika kipindi hiki?

Jibu. Saizi ya koloni itaongezeka.

Kazi ya 2. Maji katika ziwa hujaribiwa mara kwa mara ili kufuatilia maudhui ya bakteria ya pathogenic. Kupitia t siku baada ya kupima, mkusanyiko wa bakteria imedhamiriwa na uwiano

Ni lini ziwa litakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria na itawezekana kuogelea ndani yake?

Suluhisho: Chaguo za kukokotoa hufikia kiwango cha juu au chini wakati kitoweo chake ni sifuri.

Wacha tubainishe idadi ya juu au chini itakuwa ndani ya siku 6. Ili kufanya hivyo, hebu tuchukue derivative ya pili.

Jibu: Baada ya siku 6 kutakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria.