Kwa hivyo, tuna nguvu mbili. Ikiwa unachukua nambari kutoka kwa mstari wa chini, unaweza kupata kwa urahisi nguvu ambayo itabidi kuinua mbili ili kupata nambari hii. Kwa mfano, kupata 16, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi nne. Na kupata 64, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi sita. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza.
Na sasa - kwa kweli, ufafanuzi wa logarithm:
Msingi wa logariti ya x ni nguvu ambayo lazima iinulishwe ili kupata x.
Uteuzi: logi a x = b, ambapo a ni msingi, x ni hoja, b ni nini logarithm ni sawa na.
Kwa mfano, 2 3 = 8 ⇒ logi 2 8 = 3 (msingi 2 logarithm ya 8 ni tatu kwa sababu 2 3 = 8). Na logi sawa ya mafanikio 2 64 = 6, kwani 2 6 = 64.
Uendeshaji wa kutafuta logariti ya nambari kwa msingi fulani huitwa logarithmization. Kwa hivyo, wacha tuongeze mstari mpya kwenye meza yetu:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| kumbukumbu 2 2 = 1 | kumbukumbu 2 4 = 2 | kumbukumbu 2 8 = 3 | kumbukumbu 2 16 = 4 | kumbukumbu 2 32 = 5 | kumbukumbu 2 64 = 6 |
Kwa bahati mbaya, sio logarithm zote zinahesabiwa kwa urahisi sana. Kwa mfano, jaribu kutafuta logi 2 5 . Nambari ya 5 haiko kwenye jedwali, lakini mantiki inaamuru kwamba logarithm italala mahali fulani kwenye sehemu. Kwa sababu 22< 5 < 2 3 , а чем shahada zaidi wawili, idadi kubwa.
Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana: nambari baada ya nukta ya desimali zinaweza kuandikwa ad infinitum, na hazirudiwi kamwe. Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, ni bora kuiacha kwa njia hiyo: logi 2 5, logi 3 8, logi 5 100.
Ni muhimu kuelewa kwamba logarithm ni usemi wenye vigezo viwili (msingi na hoja). Mara ya kwanza, watu wengi huchanganya wapi msingi ulipo na wapi hoja. Ili kuepuka kutoelewana kwa kuudhi, angalia tu picha:
Kabla yetu hakuna chochote zaidi ya ufafanuzi wa logarithm. Kumbuka: logarithm ni nguvu, ambayo msingi lazima ujengwe ili kupata hoja. Ni msingi ambao umeinuliwa hadi nguvu - imeangaziwa kwa rangi nyekundu kwenye picha. Inatokea kwamba msingi ni daima chini! Ninawaambia wanafunzi wangu sheria hii nzuri katika somo la kwanza kabisa - na hakuna mkanganyiko unaotokea.
Tumegundua ufafanuzi - kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuhesabu logarithms, i.e. ondoa ishara ya "logi". Kuanza, tunaona kwamba mambo mawili muhimu yanafuata kutoka kwa ufafanuzi:
- Hoja na msingi lazima iwe kubwa kuliko sufuri kila wakati. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa shahada kiashiria cha busara, ambayo ufafanuzi wa logarithm inakuja chini.
- Msingi lazima uwe tofauti na moja, kwa kuwa moja kwa shahada yoyote bado inabaki moja. Kwa sababu hii, swali "ni kwa nguvu gani mtu anapaswa kuinuliwa ili kupata mbili" haina maana. Hakuna degree kama hiyo!
Vikwazo vile huitwa anuwai ya maadili yanayokubalika(ODZ). Inabadilika kuwa ODZ ya logariti inaonekana kama hii: logi a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Kumbuka kuwa hakuna vizuizi kwa nambari b (thamani ya logarithm). Kwa mfano, logariti inaweza kuwa hasi: logi 2 0.5 = -1, kwa sababu 0.5 = 2 -1.
Walakini, sasa tunazingatia tu maneno ya nambari, ambapo haihitajiki kujua CVD ya logarithm. Vikwazo vyote tayari vimezingatiwa na waandishi wa matatizo. Lakini wanapokwenda milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa, mahitaji ya DHS yatakuwa ya lazima. Baada ya yote, msingi na hoja inaweza kuwa na miundo yenye nguvu sana ambayo si lazima yanahusiana na vikwazo hapo juu.
Sasa hebu tufikirie mpango wa jumla kuhesabu logarithm. Inajumuisha hatua tatu:
- Eleza msingi a na hoja x kama nguvu yenye msingi wa chini unaowezekana zaidi ya mmoja. Njiani, ni bora kuondokana na decimals;
- Tatua mlinganyo wa kutofautisha b: x = a b;
- Nambari inayotokana b itakuwa jibu.
Ni hayo tu! Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, hii itaonekana tayari katika hatua ya kwanza. Mahitaji ya kuwa msingi zaidi ya moja, inafaa sana: inapunguza uwezekano wa makosa na kurahisisha mahesabu. Sawa na desimali: ikiwa utazibadilisha mara moja kuwa za kawaida, kutakuwa na makosa mengi machache.
Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:
Kazi. Kukokotoa logariti: logi 5 25
- Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tano: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Tulipata jibu: 2.
Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Kazi. Kuhesabu logarithm:
Kazi. Kukokotoa logariti: logi 4 64
- Wacha tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Tulipata jibu: 3.
Kazi. Kukokotoa logariti: logi 16 1
- Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
- Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Tulipokea jibu: 0.
Kazi. Kokotoa logariti: logi 7 14
- Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya saba: 7 = 7 1 ; 14 haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya saba, kwani 7 1< 14 < 7 2 ;
- Kutoka aya iliyotangulia inafuata kwamba logarithm haihesabu;
- Jibu sio mabadiliko: logi 7 14.
noti ndogo kwa mfano wa mwisho. Unawezaje kuwa na uhakika kwamba nambari sio nguvu kamili ya nambari nyingine? Ni rahisi sana - tu kuvunja ndani sababu kuu. Ikiwa upanuzi una angalau mambo mawili tofauti, nambari sio nguvu halisi.
Kazi. Jua ikiwa nambari ni nguvu kamili: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shahada halisi, kwa sababu kuna kizidishi kimoja tu;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - sio nguvu halisi, kwa kuwa kuna mambo mawili: 3 na 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shahada halisi;
35 = 7 · 5 - tena si nguvu halisi;
14 = 7 · 2 - tena si shahada halisi;
Tutambue pia kwamba sisi wenyewe nambari kuu daima ni digrii zao wenyewe.
Logariti ya decimal
Baadhi ya logariti ni ya kawaida sana kwamba wana jina maalum na ishara.
Logariti ya desimali ya x ni logariti hadi msingi 10, i.e. Nguvu ambayo nambari 10 lazima iongezwe ili kupata nambari x. Wajibu: lg x.
Kwa mfano, logi 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - nk.
Kuanzia sasa na kuendelea, wakati kifungu kama "Pata lg 0.01" kinapoonekana kwenye kitabu cha kiada, ujue kuwa hii sio kosa la kuandika. Hii logarithm ya desimali. Hata hivyo, ikiwa hufahamu nukuu hii, unaweza kuiandika upya kila wakati:
logi x = logi 10 x
Kila kitu ambacho ni kweli kwa logariti za kawaida pia ni kweli kwa logariti za desimali.
Logarithm ya asili
Kuna logarithm nyingine ambayo ina jina lake. Kwa njia fulani, ni muhimu zaidi kuliko decimal. Ni kuhusu kuhusu logarithm asili.
Logariti asilia ya x ni logariti hadi msingi e, i.e. nguvu ambayo nambari e inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari x. Wajibu: ln x .
Wengi watauliza: nambari e ni nini? Hii nambari isiyo na mantiki, yake thamani halisi haiwezekani kupata na kurekodi. Nitatoa takwimu za kwanza tu:
e = 2.718281828459...
Hatutaingia kwa undani juu ya nambari hii ni nini na kwa nini inahitajika. Kumbuka tu kuwa e ndio msingi wa logarithm asilia:
ln x = logi e x
Hivyo ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - nk. Kwa upande mwingine, ln 2 ni nambari isiyo na maana. Hata kidogo, logarithm asili yoyote nambari ya busara isiyo na mantiki. Isipokuwa, kwa kweli, kwa moja: ln 1 = 0.
Kwa logarithms asili, sheria zote ambazo ni kweli kwa logarithm za kawaida ni halali.
Logariti ya nambari b hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima nambari a ipandishwe ili kupata nambari b.
Ikiwa, basi.
Logarithm - uliokithiri muhimu wingi wa hisabati , kwa kuwa calculus ya logarithmic inaruhusu sio tu kutatua milinganyo ya kielelezo, lakini pia kufanya kazi na vielelezo, kutofautisha kielelezo na. kazi za logarithmic, kuunganisha na kuwaleta kwa fomu inayokubalika zaidi ili kuhesabiwa.
Katika kuwasiliana na
Sifa zote za logariti zinahusiana moja kwa moja na sifa za kazi za kielelezo. Kwa mfano, ukweli kwamba 
ina maana kwamba:
Ikumbukwe kwamba wakati wa kutatua kazi maalum, mali ya logarithms inaweza kuwa muhimu zaidi na muhimu kuliko sheria za kufanya kazi na mamlaka.
Hebu tuwasilishe baadhi ya vitambulisho:
Hapa kuna maneno ya msingi ya algebra:
;
.
Makini! inaweza kuwepo kwa x>0, x≠1, y>0 pekee.
Hebu jaribu kuelewa swali la nini logarithms asili ni. Maslahi maalum katika hisabati kuwakilisha aina mbili- ya kwanza ina nambari "10" kama msingi wake, na inaitwa "logarithm ya decimal". Ya pili inaitwa asili. Msingi wa logarithm ya asili ni nambari "e". Hii ndio tutazungumza kwa undani katika makala hii.
Uteuzi:
- lg x - decimal;
- ln x - asili.
Kwa kutumia kitambulisho, tunaweza kuona kwamba ln e = 1, pamoja na ukweli kwamba lg 10=1.
Grafu ya logarithm ya asili
Wacha tutengeneze grafu ya logarithm asilia kwa kutumia mbinu ya kawaida ya kawaida hatua kwa hatua. Ukipenda, unaweza kuangalia ikiwa tunaunda chaguo za kukokotoa kwa kukagua chaguo la kukokotoa. Walakini, ni mantiki kujifunza jinsi ya kuijenga "kwa mikono" ili kujua jinsi ya kuhesabu kwa usahihi logarithm.
Kazi: y = ln x. Wacha tuandike jedwali la vidokezo ambalo grafu itapita:
Wacha tueleze kwa nini tulichagua maadili haya maalum ya hoja x. Yote ni kuhusu utambulisho:. Kwa logarithm asili kitambulisho hiki kitaonekana kama hii:
Kwa urahisi, tunaweza kuchukua pointi tano za kumbukumbu:
;
;
.
;
.
Kwa hivyo, kuhesabu logarithms asili ni kazi rahisi; zaidi ya hayo, hurahisisha mahesabu ya shughuli na nguvu, na kuzigeuza kuwa. kuzidisha kawaida.
Kwa kupanga hatua ya grafu kwa nukta, tunapata takriban girafu:
Kikoa cha ufafanuzi wa logarithm asili (yaani zote maadili halali hoja X) - nambari zote ni kubwa kuliko sifuri.
Makini! Kikoa cha ufafanuzi wa logarithm asili inajumuisha tu nambari chanya! Upeo wa ufafanuzi haujumuishi x=0. Hili haliwezekani kwa kuzingatia masharti ya kuwepo kwa logarithm.
Masafa ya thamani (yaani, thamani zote halali za chaguo za kukokotoa y = ln x) ni nambari zote katika muda.
Kikomo cha logi cha asili
Kusoma grafu, swali linatokea - jinsi kazi inavyofanya saa y<0.
Ni wazi, grafu ya chaguo la kukokotoa huelekea kuvuka mhimili wa y, lakini haitaweza kufanya hivyo, kwani logariti asilia ya x.<0 не существует.
Kikomo cha asili logi inaweza kuandikwa hivi:
Mfumo wa kuchukua nafasi ya msingi wa logariti
Kushughulika na logarithm asili ni rahisi zaidi kuliko kushughulika na logarithm ambayo ina msingi wa kiholela. Ndio maana tutajaribu kujifunza jinsi ya kupunguza logariti yoyote hadi ya asili, au kuielezea kwa msingi wa kiholela kupitia logarithm asili.
Wacha tuanze na kitambulisho cha logarithmic:
Kisha nambari yoyote au tofauti y inaweza kuwakilishwa kama:
ambapo x ni nambari yoyote (chanya kulingana na sifa za logarithm).
Usemi huu unaweza kuchukuliwa kwa logarithmically pande zote mbili. Wacha tufanye hivi kwa kutumia msingi wa kiholela z:
Wacha tutumie mali (tu badala ya "c" tunayo usemi):
Kuanzia hapa tunapata formula ya ulimwengu wote:
.
Hasa, ikiwa z=e, basi:
.
Tuliweza kuwakilisha logariti kwa besi ya kiholela kupitia uwiano wa logariti mbili asilia.
Tunatatua matatizo
Ili kuelewa vizuri logarithms asili, hebu tuangalie mifano ya matatizo kadhaa.
Tatizo 1. Inahitajika kutatua equation ln x = 3.
Suluhisho: Kutumia ufafanuzi wa logarithm: if , basi , tunapata:
Tatizo 2. Tatua mlinganyo (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Suluhisho: Kwa kutumia ufafanuzi wa logarithm: if , basi , tunapata:
.
Wacha tutumie ufafanuzi wa logarithm tena:
.
Hivyo:
.
Unaweza takriban kuhesabu jibu, au unaweza kuiacha katika fomu hii.
Jukumu la 3. Tatua mlinganyo.
Suluhisho: Wacha tufanye badala: t = ln x. Kisha equation itachukua fomu ifuatayo:
.
Tuna equation ya quadratic. Wacha tupate ubaguzi wake:
Mzizi wa kwanza wa equation:
.
Mzizi wa pili wa equation:
.
Kukumbuka kwamba tulibadilisha t = ln x, tunapata:
Katika takwimu na nadharia ya uwezekano, idadi ya logarithmic hupatikana mara nyingi sana. Hii haishangazi, kwa sababu nambari e mara nyingi huonyesha kasi ya ukuaji wa idadi kubwa.
Katika sayansi ya kompyuta, programu na nadharia ya kompyuta, logarithms hukutana mara nyingi, kwa mfano, ili kuhifadhi bits za N kwenye kumbukumbu.
Katika nadharia za fractals na vipimo, logarithms hutumiwa mara kwa mara, kwani vipimo vya fractals vinatambuliwa tu kwa msaada wao.
Katika mechanics na fizikia Hakuna sehemu ambapo logariti hazikutumika. Usambazaji wa barometriki, kanuni zote za thermodynamics ya takwimu, equation ya Tsiolkovsky, nk ni michakato ambayo inaweza kuelezewa kwa hisabati tu kwa kutumia logarithms.
Katika kemia, logariti hutumiwa katika milinganyo ya Nernst na maelezo ya michakato ya redox.
Kwa kushangaza, hata katika muziki, ili kujua idadi ya sehemu za oktava, logarithms hutumiwa.
Logarithm asilia Kazi y=ln x sifa zake
Uthibitisho wa mali kuu ya logarithm ya asili
Sifa za kimsingi za logarithmu asilia, grafu, kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili, fomula za kimsingi, derivative, muhimu, upanuzi katika mfululizo wa nguvu na uwakilishi wa chaguo za kukokotoa ln x kwa kutumia nambari changamano.
Ufafanuzi
Logarithm ya asili ni kazi y = ln x, kinyume cha kielezio, x = e y, na ni logariti kwenye msingi wa nambari e: ln x = logi e x.
Logarithm asilia hutumiwa sana katika hisabati kwa sababu derivative yake ina umbo rahisi zaidi: (ln x)′ = 1/ x.
Kulingana ufafanuzi, msingi wa logarithm asili ni nambari e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafu ya kazi y = ln x.
Grafu ya logarithm asili (kazi y = ln x) hupatikana kutoka kwa grafu ya kielelezo kwa kutafakari kioo kuhusiana na mstari wa moja kwa moja y = x.
Logariti asilia inafafanuliwa kwa thamani chanya za mabadiliko x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.
Katika x → 0 kikomo cha logariti asilia ni minus infinity (-∞).
Kama x → + ∞, kikomo cha logariti asilia ni pamoja na infinity (+ ∞). Kwa x kubwa, logarithm huongezeka polepole kabisa. Kitendaji chochote cha nguvu x a chenye kipeo chanya a hukua haraka kuliko logariti.
Tabia za logarithm ya asili
Domain ya ufafanuzi, seti ya maadili, extrema, ongezeko, kupungua
Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema. Mali kuu ya logarithm ya asili yanawasilishwa kwenye meza.
thamani ya ln
ln 1 = 0
Njia za kimsingi za logarithm asili
Mifumo ifuatayo kutoka kwa ufafanuzi utendaji wa kinyume:
Mali kuu ya logarithms na matokeo yake
Msingi wa formula badala
Logarithm yoyote inaweza kuonyeshwa kulingana na logarithmu asili kwa kutumia fomula mbadala ya msingi:
Uthibitisho wa fomula hizi hutolewa katika sehemu ya "Logarithm".
Kitendaji kinyume
Kinyume cha logarithm asilia ni kipeo.
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi.
Dawa inayotokana na ln x
Inayotokana na logarithm asilia:
.
Inatokana na logariti asilia ya modulus x:
.
Inatokana na agizo la nth:
.
Kuunda fomula >>>
Muhimu
Kiunga kinahesabiwa kwa kuunganishwa na sehemu:
.
Kwa hiyo,
Vielezi kwa kutumia nambari changamano
Fikiria kazi ya tofauti changamano z:
.
Hebu tueleze tofauti tata z kupitia moduli r na hoja φ
:
.
Kutumia mali ya logarithm, tunayo:
.
Au
.
Hoja φ haijafafanuliwa kipekee. Ukiweka
, ambapo n ni nambari kamili,
itakuwa nambari sawa kwa tofauti n.
Kwa hivyo, logariti asilia, kama kazi ya kigezo changamano, si kazi yenye thamani moja.
Upanuzi wa mfululizo wa nguvu
Wakati upanuzi unafanyika:
Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.
Logarithm ni nini?
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Logarithm ni nini? Jinsi ya kutatua logarithms? Maswali haya yanawachanganya wahitimu wengi. Kijadi, mada ya logarithms inachukuliwa kuwa ngumu, isiyoeleweka na ya kutisha. Hasa milinganyo yenye logariti.
Hii si kweli kabisa. Kabisa! Usiniamini? Sawa. Sasa, katika dakika 10 - 20 tu wewe:
1. Elewa logarithm ni nini.
2. Jifunze kutatua darasa zima milinganyo ya kielelezo. Hata kama haujasikia chochote kuwahusu.
3. Jifunze kuhesabu logarithms rahisi.
Kwa kuongeza, kwa hili utahitaji tu kujua meza ya kuzidisha na jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ...
Ninahisi kama una shaka ... Sawa, weka alama wakati! Nenda!
Kwanza, suluhisha equation hii kichwani mwako:
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Logariti za asili. Msingi wa logariti asilia. Logariti ya nambari asilia"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 11
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 9-11 "Trigonometry"
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 10-11 "Logarithms"
Logarithm ya asili ni nini
Jamani, katika somo lililopita tulijifunza kitu kipya, nambari maalum- e) Leo tutaendelea kufanya kazi na nambari hii.Tumechunguza logariti na tunajua kwamba msingi wa logariti unaweza kuwa nambari nyingi ambazo ni kubwa kuliko 0. Leo pia tutaangalia logariti ambayo msingi wake ni nambari e. Logariti kama hiyo kwa kawaida huitwa logariti asilia. Ina nukuu yake: $\ln(n)$ ni logariti asilia. Ingizo hili ni sawa na ingizo: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Vitendaji vya kielelezo na logarithmic ni kinyume, kisha logariti asilia ni kinyume cha chaguo za kukokotoa: $y=e^x$.
Chaguo za kukokotoa kinyume ni za ulinganifu kwa kuzingatia mstari ulionyooka $y=x$.
Wacha tupange logariti asilia kwa kupanga utendakazi wa kielelezo kwa heshima na mstari ulionyooka $y=x$.
Inafaa kumbuka kuwa pembe ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa $y=e^x$ kwa uhakika (0;1) ni 45°. Kisha pembe ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya logariti asili katika uhakika (1;0) pia itakuwa sawa na 45°. Tanjiti hizi zote mbili zitakuwa sambamba na mstari $y=x$. Wacha tuchore tangents: 
Sifa za chaguo za kukokotoa $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Sio hata au isiyo ya kawaida.
3. Huongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi.
4. Sio mdogo kutoka juu, sio mdogo kutoka chini.
5. Thamani kubwa zaidi Hapana, thamani ya chini Hapana.
6. Kuendelea.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convex kwenda juu.
9. Tofauti kila mahali.
Najua hisabati ya juu imethibitishwa hivyo derivative ya kitendakazi kinyume ni kinyume cha kitokeo cha kitendakazi kilichotolewa.
Hakuna haja ya kuzama katika uthibitisho ina maana sana, wacha tuandike fomula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Mfano.
Kokotoa thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa: $y=\ln(2x-7)$ katika uhakika $x=4$.
Suluhisho.
KATIKA mtazamo wa jumla chaguo za kukokotoa zetu zinawakilishwa na chaguo za kukokotoa $y=f(kx+m)$, tunaweza kukokotoa viambajengo vya vitendakazi kama hivyo.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Hebu tuhesabu thamani ya derivative katika hatua inayohitajika: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jibu: 2.
Mfano.
Chora tanjenti kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa $y=ln(x)$ katika hatua $х=е$.
Suluhisho.
Tunakumbuka vyema mlingano wa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika uhakika $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Tunahesabu thamani zinazohitajika kwa mtiririko.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Mlinganyo wa tanjiti katika uhakika $x=e$ ni chaguo za kukokotoa $y=\frac(x)(e)$.
Hebu tupange logarithm ya asili na mstari wa tangent. 
Mfano.
Chunguza chaguo za kukokotoa kwa monotonicity na extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Suluhisho.
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa $D(y)=(0;+∞)$.
Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivative ipo kwa x zote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi, basi pointi muhimu Hapana. Wacha tupate vidokezo vya kusimama:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Hoja $х=-1$ sio ya kikoa cha ufafanuzi. Kisha tuna moja hatua ya stationary$x=1$. Wacha tupate vipindi vya kuongezeka na kupungua: 
Pointi $x=1$ ndio pointi ya chini zaidi, kisha $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jibu: Kazi hupungua kwenye sehemu (0;1], kazi huongezeka kwenye ray $)