Moja kwa moja ( MN), ambayo ina moja tu na mduara wake hatua ya kawaida (A), inayoitwa tangent kwa mduara.
Jambo la kawaida linaitwa katika kesi hii mahali pa kuwasiliana.
Uwezekano wa kuwepo tangent, na, zaidi ya hayo, inayotolewa kupitia hatua yoyote mduara, kama hatua ya tangency, imethibitishwa kama ifuatavyo nadharia.
Wacha inatakiwa kutekeleza mduara na kituo O tangent kupitia uhakika A. Ili kufanya hivyo kutoka kwa uhakika A, kama kutoka katikati, tunaelezea arc eneo A.O., na kutoka kwa uhakika O, kama kituo, tunakatiza safu hii kwenye sehemu B Na NA suluhisho la dira sawa na kipenyo cha mduara uliopewa.
Baada ya kutumia basi nyimbo O.B. Na Mfumo wa Uendeshaji, kuunganisha nukta A yenye nukta D Na E, ambapo chords hizi huingiliana na duara fulani. Moja kwa moja AD Na A.E. - tangents kwa mduara O. Hakika, kutokana na ujenzi ni wazi kwamba pembetatu AOB Na AOC isosceles(AO = AB = AC) na misingi O.B. Na Mfumo wa Uendeshaji, sawa na kipenyo mduara O.
Kwa sababu O.D. Na O.E.- radi, basi D - katikati O.B., A E- katikati Mfumo wa Uendeshaji, Maana AD Na A.E. - wapatanishi, inayotolewa kwa misingi ya pembetatu za isosceles, na kwa hiyo perpendicular kwa besi hizi. Ikiwa moja kwa moja D.A. Na E.A. perpendicular kwa radii O.D. Na O.E., kisha wao - tangents.
Matokeo.
Tanjiti mbili zinazochorwa kutoka sehemu moja hadi duara ni sawa na huunda pembe sawa na mstari ulionyooka unaounganisha sehemu hii katikati..
Hivyo AD=AE na ∠ OAD = ∠OAE kwa sababu pembetatu za kulia AOD Na AOE, kuwa na kawaida hypotenuse A.O. na sawa miguu O.D. Na O.E.(kama radii), ni sawa. Kumbuka kwamba hapa neno "tangent" linamaanisha " sehemu ya tangent” kutoka mahali fulani hadi mahali pa kuwasiliana.
1. Tangents mbili kutoka kwa hatua moja.
Ruhusu viambajengo viwili $$AM$$ na $$AN$$ vivutwe kwenye mduara wenye kituo katika sehemu ya $$O$$, pointi $$M$$ na $$N$$ zilale kwenye mduara (Mchoro 1) .
Kwa ufafanuzi wa tangent $$OM \perp AM$$ na $$ON \perp AN$$. Katika pembetatu za kulia $$AOM$$ na $$AON$$, hypotenuse $$AO$$ ni ya kawaida, miguu $$OM$$ na $$ON$$ ni sawa, ambayo ina maana $$\Delta AOM = \ Delta AON$$. Kutoka kwa usawa wa pembetatu hizi inafuata kwamba $$AM=AN$$ na $$\angle MAO = \angle NAO$$. Kwa hivyo, ikiwa tangents mbili zimechorwa kutoka kwa uhakika hadi kwa duara, basi:
1.1$$(\^{\circ}$$. !} sehemu za tangent kutoka hatua hii hadi pointi za tangent ni sawa;
1.2$$(\^{\circ}$$. !} mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya duara na kupewa point, hutenganisha pembe kati ya tanjiti.
Kutumia mali 1.1$$(\^{\circ}$$, легко решим следующие две задачи. (В решении используется тот факт, что в каждый треугольник можно вписать окружность).!}
Kulingana na $$AC$$ pembetatu ya isosceles$$ABC$$ iko kwenye hatua $$D$$, na $$DA = a$$, $$DC = b$$ (Mchoro 2). Miduara iliyoandikwa kwa pembetatu $$ABD$$ na $$DBC$$ ni sanjari ili kuweka $$BD$$ kwa pointi $$M$$ na $$N$$, mtawalia. Pata sehemu ya $$MN$$.
.
$$\pembetatu$$ Acha $$a > b $$. Hebu tuashiria $$x = MN$$, $$y = ND$$, $$z = BM$$.
Kwa sifa ya tangents $$DE = y$$, $$KD = x + y $$, $$AK = AP = a - (x + y)$$, $$CE = CF = b - y$$ , $ $BP = z$$, na $$BF = z + x$$. Hebu tueleze pande(Mchoro 2a): $$AB = z+a-x-y$$, $$BC=z+x-b-y$$. Kwa hali $$AB=BC$$, hivyo $$z+a-x -y = z+x+b-y$$. Kuanzia hapa tunapata $$x=\frac((a-b))(2)$$, yaani $$MN=\frac((a-b))(2)$$. Ikiwa $$a \lt b$$, basi $$MN=\frac((b-a))(2)$$. Kwa hivyo $$MN=\frac(1)(2)|a-b|$$. $$\pembetatu nyeusi$$
JIBU
$$\frac(|a-b|) (2)$$
Thibitisha kwamba katika pembetatu ya kulia jumla ya miguu ni sawa na mara mbili ya jumla ya radii ya miduara iliyoandikwa na iliyozunguka, yaani $$a+b=2R+2r$$.
$$\pembetatu$$ Acha $$M$$, $$N$$ na $$K$$ ziwe pointi za kubadilika kati ya pande za pembetatu ya kulia $$ABC$$ (Mchoro 3), $$AC =b$$, $$BC=a$$, $$r$$ - radius ya duara iliyoandikwa, $$R$$ - radius ya duara iliyozungukwa. Kumbuka kwamba hypotenuse ni kipenyo cha mduara uliozingirwa: $$AB=2R$$. Zaidi ya hayo, $$OM \perp AC$$, $$BC \perp AC$$, kwa hivyo, $$OM \sambamba BC$$, sawa na $$ON \perp BC$$, $$AC \perp BC$$ , ina maana $$ON \parallel AC$$. A quadrilateral $$MONC$$ kwa ufafanuzi ni mraba, pande zake zote ni sawa na $$r$$, hivyo $$AM = b - r$$ na $$BN = a - r$$.
Kwa mali ya tangents $$AK=AM$$ na $$BK=BN$$, kwa hiyo $$AB = AK + KB = a+b-2r$$, na tangu $$AB=2R$$ , basi sisi pata $$a+b=2R+2r$$. $$\pembetatu nyeusi$$
Mali 1.2$$(\^{\circ}$$ сформулируем по другому: !} Katikati ya duara iliyoandikwa kwa pembe iko kwenye sehemu mbili ya pembe hiyo.
Trapezoid $$ABCD$$ yenye besi $$AD$$ na $$BC$$ inafafanuliwa kuzunguka mduara na katikati kwa uhakika $$O$$ (Mchoro 4a).
a) Thibitisha kuwa $$\angle AOB = \pembe COD = $90$$(\^{\circ}$$ .!}
b) Tafuta eneo la duara ikiwa $$BO = \sqrt(5)$$ na $$AO = 2 \sqrt(5)$$. (Mchoro 4b)
$$\pembetatu$$ a) Mduara umeandikwa katika pembe $$BAD$$, kwa sifa 1.2$$(\^{\circ}$$ $$AO$$ - биссектриса угла $$A$$, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2} \angle A$$; $$BO$$ - биссектриса угла $$B$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle B$$. Из параллельности прямых $$AD$$ и $$BC$$ следует, что $$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$$,поэтому в треугольнике $$AOB$$ из $$\angle 1 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^{\circ}$$ следует $$\angle AOB = 90^{\circ}$$.!}
Sawa na $$CO$$ na $$DO$$ viseta viwili vya pembe $$C$$ na $$D$$ ya trapezoidi, $$\angle COD = 180^(\circ) - \frac(1)( 2)(\ angle C + \pembe D) = 90^(\circ)$$.
b) Pembetatu $$AOB$$ ina pembe ya kulia ikiwa na miguu $$AO = 2 \sqrt(5)$$ na $$BO = \sqrt(5)$$. Tafuta hypotenuse $$AB=\sqrt(20+5) = 5$$. Ikiwa mduara unagusa upande $$AB$$ katika sehemu ya $$K$$, basi $$OK \perp AB$$ na $$OK$$ ndio kipenyo cha mduara. Kwa sifa ya pembetatu ya kulia, $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, inatoka wapi $$OK = \frac(2\sqrt(5)\cdot \sqrt(5))(5) = 2$ $. $$\pembetatu nyeusi$$
JIBU
2. Pembe kati ya tangent na chord yenye hatua ya kawaida kwenye mduara.
Kumbuka kwamba kipimo cha digrii cha pembe iliyoandikwa ni sawa na nusu kipimo cha shahada arc ambayo inakaa.
Nadharia 1. Kipimo cha pembe kati ya tangent na chord yenye hatua ya kawaida kwenye mduara ni sawa na nusu ya kipimo cha shahada ya arc iliyofungwa kati ya pande zake.
$$\square$$ Acha $$O$$ iwe katikati ya duara, $$AN$$ iwe tanjenti (Mchoro 5). Wacha tuonyeshe pembe kati ya tangent $$AN$$ na chord $$AB$$ kama $$\alpha$$. Hebu tuunganishe pointi $$A$$ na $$B$$ katikati ya duara.
Kwa hivyo, kipimo cha shahada cha pembe kati ya tangent na chord ni sawa na nusu ya kipimo cha digrii ya arc $$AnB$$, ambayo imefungwa kati ya pande zake, na, kwa hiyo, angle $$BAN$$ ni sawa. kwa pembe yoyote iliyoandikwa iliyopunguzwa na arc $$AnB$$ . (Hoja zinazofanana zinaweza kutolewa kwa pembe $$MAB$$). $$\mraba mweusi$$
Pointi $$C$$ iko kwenye mduara na imetenganishwa na tangents inayotolewa kutoka kwa uhakika $$M$$ hadi mduara kwa umbali $$CS = a$$ na $$CP = b$$ (Mchoro 6). Thibitisha kuwa $$CK = \sqrt(ab)$$.
$$\pembetatu$$ Hebu tuchore chords $$CA$$ na $$CB$$. Pembe $$SAC$$ kati ya tangent $$SA$$ na chord $$AC$$ ni sawa na pembe iliyoandikwa $$ABC$$. Na pembe $$PBC$$ kati ya tangent $$PB$$ na chord $$BC$$ ni sawa na pembe iliyoandikwa $$BAC$$. Tulipata jozi mbili za pembetatu sawa za kulia $$\Delta ASC \sim\Delta BKC$$ na $$\Delta BPC \sim \Delta AKC$$. Kutoka kwa kufanana tunayo $$\dfrac(a)(AC)=\dfrac(x)(BC)$$ na $$\dfrac(b)(BC)=\dfrac(x)(AC)$$, ambayo inamaanisha $ $ab=x^2$$, $$x=\sqrt(ab)$$. (Ikiwa makadirio ya uhakika $$C$$ kwenye mstari $$AB$$ yapo nje ya sehemu ya $$AB$$, uthibitisho haubadiliki sana). (Ch. nk.) $$\blacktriangle$$
Mapokezi kutumika katika suluhisho - kuchora chords "zinazokosekana" - mara nyingi husaidia katika shida na nadharia na mduara na tangent, kama vile, kwa mfano, katika uthibitisho wa nadharia ifuatayo. "kuhusu tangent na secant".
Nadharia ya 2. Ikiwa kutoka kwa nukta moja $$M$$ tangent $$MA$$ na secant $$MB$$ zimevutwa kwenye mduara, na kukatiza mduara kwa uhakika $$C$$ (Mchoro 7), basi. usawa $$MA ni halali ^2 = MB \cdot MC$$, i.e. ikiwa tanjenti na sekunde zimechorwa kutoka kwa uhakika $$M$$ hadi mduara, basi mraba wa sehemu ya tangent kutoka uhakika $$M$$ hadi hatua ya tangency. sawa na bidhaa urefu wa sehemu za secant kutoka kwa uhakika $$M$$ hadi pointi za makutano yake na mduara.
$$\square$$ Hebu tuchore chords $$AC$$ na $$AB$$. Pembe $$MAC$$ kati ya tanjenti na chord ni sawa na pembe iliyoandikwa $$ABC$$, zote mbili zinapimwa kwa nusu ya kipimo cha digrii ya arc $$AnC$$. Katika pembetatu $$MAC$$ na $$MBA$$, pembe $$MAC$$ na $$MBA$$ ni sawa, na pembe ya kipeo $$M$$ ni ya kawaida. Pembetatu hizi ni
zinafanana, kutokana na kufanana tulionao $$MA/MB = MC/MA$$, ambayo ina maana $$MA^2 = MB \cdot MC$$. $$\mraba mweusi$$
Radi ya mduara ni $$R$$. Kutoka kwa uhakika $$M$$ tangent $$MA$$ na secant $MB$$ ni inayotolewa, kupita katikati ya $$O$$ ya mduara (Mchoro 8). Tafuta umbali kati ya uhakika $$M$$ na katikati ya duara ikiwa $$MB = 2MA$$.
$$\pembetatu$$ Hebu tuonyeshe umbali unaohitajika $$x: \: x=MO$$, kisha $$MB = x+R$$, $$MC=x-R$$ na kwa masharti $$MA=MB /2= (x+R)/2$$. Kwa nadharia ya tangent na secant, $$(x+R)^2/4=(x+R)(x-R)$$, ambayo, ikipunguza kwa $$(x+R)$$, tunapata $$( x+R )/4=x-R$$. Tunapata kwa urahisi $$x = \dfrac(5)(3)R$$. $$\pembetatu nyeusi$$
JIBU
$$\dfrac(5)(3)R$$
3. Mali ya chords duara.
Ni muhimu kuthibitisha mali hizi mwenyewe (ni bora kuimarishwa), unaweza kuchambua uthibitisho kutoka kwa kitabu cha maandishi.
1.3$$(\^{\circ}$$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей. !}
1.4$$(\^{\circ}$$. Равные хорды окружности находятся на !} umbali sawa kutoka katikati ya duara. Kinyume chake: chords sawa ziko kwa umbali sawa kutoka katikati ya duara.
1.5$$(\^{\circ}$$. !} Mizizi ya duara iliyofungwa kati chords sambamba, ni sawa (Kielelezo 9 kitapendekeza njia ya uthibitisho).
1.6$$(\^{\circ}$$. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, то $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды (на рис. 10 $$\Delta AMC \sim \Delta DMB$$). !}
Hebu tuthibitishe kauli ifuatayo.
1.7$$(\^{\circ}$$. !} Ikiwa katika mduara wa kipenyo $$R$$ pembe iliyoandikwa iliyopunguzwa na chord ya urefu $$a$$ ni sawa na $$\alpha$$, basi $$a = 2R\textrm(sin)\alpha$$ .
$$\blacksquare$$ Acha kwenye mduara wa kipenyo $$R$$ gumzo $$BC = a$$, pembe iliyoandikwa $$BAC$$ ipunguze chord $$a$$, $$\angle BAC = \alpha$$ (Kielelezo 11 a,b).
Hebu tuchore kipenyo $$BA^(")$$ na tuzingatie pembetatu ya kulia$$BA^(")C$$ ($$\angle BCA^(")= 90^(\circ)$$, kulingana na kipenyo).
Ikiwa pembe $$A$$ ni ya papo hapo (Mchoro 11a), basi katikati $$O$$ na vertex $$A$$ hulala upande huo wa mstari wa moja kwa moja $$BC$$, $$\ pembe A^(") = \pembe A$$ na $$BC = BA^(") \cdot \textrm(sin)A^(")$$, yaani $$a=2R\textrm(sin)A^ ()$$.
Ikiwa pembe $$A$$ ni butu, katikati $$O$$ na kipeo $$A$$ ziko pamoja. pande tofauti kutoka kwa mstari wa moja kwa moja $$BC$$ (Kielelezo 11b), kisha $$\angle A^(") = 180^(\circ) - \pembe A$$ na $$BC = BA^(") \cdot \textrm (sin)A^(")$$, yaani $$a=2R\textrm(sin)(180-A^("))=2R\textrm(sin)A^(")$$.
Ikiwa $$\alpha = 90^(\circ)$$, basi $$BC$$ ni kipenyo, $$BC = 2R = 2R\textrm(sin)90^(\circ)$$.
Katika hali zote, usawa $$a=2R\textrm(sin)A^(")$$ ni kweli. $$\blacktriangle$$
Kwa hivyo, $$\boxed(a = 2R\textrm(sin)\alpha)$$ au $$\boxed(R = \dfrac(a)(2\textrm(sin)\alpha))$$. (*)
Tafuta kipenyo cha mduara uliozungukwa kuhusu pembetatu $$ABC$$, ambamo $$AB = 3\sqrt(3)$$, $$BC = 2$$ na pembe $$ABC = 150^(\circ) $$.
$$\pembetatu$$ Katika mduara uliozungukwa kuhusu pembetatu $$ABC$$, pembe $$B$$ iliyopunguzwa na chord $$AC$$ inajulikana. Kutoka kwa fomula iliyothibitishwa inafuata $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)B)$$.
Hebu tutumie nadharia ya kosine kwenye pembetatu $$ABC$$ (Kielelezo 12) na tuzingatie hilo.
$$\textrm(cos)150^(\circ) = \textrm(cos)(180^(\circ)-30^(\circ)) = -\textrm(cos)30^(\circ) = -\ dfrac(\sqrt(3))(2)$$, tunapata
$$AC^2 = 27+4+2\cdot 3\sqrt(3) \cdot 2 \cdot \dfrac(\sqrt(3))(2) = 49,\: AC=7$$.
Tunapata $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)150^(\circ)) = \dfrac(7)(2\textrm(sin)30^(\circ)) = 7$$. $$\pembetatu nyeusi$$
JIBU
Tunatumia sifa ya chodi zinazopishana kuthibitisha nadharia ifuatayo.
Nadharia 3. Acha $$AD$$ iwe sehemu ya pili ya pembetatu $$ABC$$, basi
$$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$$ , i.e. Kama$$AB=c,\: AC=b,\: BD=x,\:DC=y$$ , Hiyo$$AD^2 = bc-xy$$ (Mchoro 13a).
$$\square$$ Hebu tueleze mduara unaozunguka pembetatu $$ABC$$ (Mchoro 13b) na tuonyeshe hatua ya makutano ya mwendelezo wa sehemu-mbili $$AD$$ na mduara kama $$B_1$$ . Hebu tuashiria $$AD = l $$ na $$DB_1 = z $$. Pembe zilizoandikwa $$ABC$$ na $$AB_1C$$ ni sawa, $$AD$$ ni sehemu mbili ya pembe $$A$$, hivyo $$\Delta ABD \sim \Delta AB_1C$$ (katika pembe mbili ) Kutoka kwa kufanana tunayo $$\dfrac(AD)(AC) = \dfrac(AB)(AB_1)$$, yaani $$\dfrac(l)(b) = \dfrac(c)(l+z) $ $, inatoka wapi $$l^2=bc-lz$$. Kwa sifa ya chords zinazokatiza, $$BD\cdot DC = AD \cdot DB_1$$, yaani $$xy=lz$$, kwa hivyo tunapata $$l^2=bc-xy$$ . $$\mraba mweusi$$
4. Miduara miwili ya tangent
Kuhitimisha sehemu hii, tutazingatia matatizo na miduara miwili ya tangent. Miduara miwili ambayo ina ncha ya kawaida na tangent ya kawaida katika hatua hiyo inaitwa tangent. Ikiwa miduara iko upande mmoja wa tangent ya kawaida, inaitwa yanayohusiana na ndani(Mchoro 14a), na ikiwa iko kwenye pande tofauti za tangent, basi huitwa yanayohusiana na nje(Mchoro 14b).
Ikiwa $$O_1$$ na $$O_2$$ ni vitovu vya miduara, basi kwa ufafanuzi wa tangent $$AO_1 \perp l$$, $$AO_2 \perp l$$, kwa hivyo, katika visa vyote viwili. hatua ya kawaidakugusa iko kwenye mstari wa vituo.
Miduara miwili ya radii $$R_1$$ na $$R_2$$ ($$R_1 > R_2$$) ni tangent ndani kwa uhakika $$A$$. Kupitia hatua $$B$$ amelazwa juu mduara mkubwa, mstari wa moja kwa moja hutolewa tangent kwa mduara mdogo kwa uhakika $$C$$ (Mchoro 15). Tafuta $$AB$$ ikiwa $$BC = a$$.
$$\pembetatu$$ Acha $$O_1$$ na $$O_2$$ ziwe vitovu vya miduara mikubwa na midogo, $$D$$ kiwe sehemu ya makutano ya chord $$AB$$ na duara ndogo. Iwapo $$O_1N \perp AB$$ na $$O_2M \perp AB$$, basi $$AN=AB/2$$ na $$AM=AD/2$$ (kwa kuwa kipenyo cha pembeni kwa chord kinaigawanya katika nusu). Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu $$AO_2M$$ na $$AO_1N$$ inafuata kwamba $$AN:AM = AO_1:AO_2$$ na, kwa hiyo, $$AB:AD = R_1:R_2$$.
Kwa nadharia ya tangent na secant tunayo:
$$BC^2 = AB\cdot BD = AB (AB-AD) = AB^2(1 - \dfrac(AD)(AB))$$,
yaani $$a^2 = AB^2(1-\dfrac(R_2)(R_1))$$.
Kwa hivyo $$AB = a \sqrt(\dfrac(R_1)(R_1-R_2))$$. $$\pembetatu nyeusi$$
Miduara miwili ya radii $$R_1$$ na $$R_2$$ ni tangent nje kwa uhakika $$A$$ (Mchoro 16). Tanjenti yao ya kawaida ya nje hugusa mduara mkubwa zaidi katika sehemu ya $$B$$ na duara ndogo katika uhakika $$C$$. Tafuta kipenyo cha mduara uliozungukwa na pembetatu $$ABC$$.
$$\pembetatu$$ Hebu tuunganishe vituo $$O_1$$ na $$O_2$$ na pointi $$B$$ na $$C$$. Kwa ufafanuzi wa tanjenti, $$O_1B \perp BC$$ na $$O_2C \perp BC$$. Kwa hiyo, $$O_1B \sambamba O_2C$$ na $$\angle BO_1O_2 + \pembe CO_2O_1 = 180^(\circ)$$. Kwa kuwa $$\angle ABC = \dfrac(1)(2) \pembe BO_1A$$ na $$\angle ACB = \dfrac(1)(2) \pembe CO_2A$$, kisha $$\pembe ABC + \\ angle ACB = 90^(\circ)$$. Inafuata kwamba $$\angle BAC = 90^(\circ)$$ , na kwa hivyo radius ya duara iliyozungukwa kuhusu pembetatu ya kulia ni $$ABC$$ , sawa na nusu hypotenuse $$BC$$.
Hebu tutafute $$BC$$. Hebu $$O_2K \perp O_1B$$, kisha $$KO_2 = BC,\: O_1K = R_1-R_2,\: O_1O_2 = R_1+R_2$$. Kwa kutumia nadharia ya Pythagorean tunapata:
$$KO_2 = \sqrt(O_1O_2^2 - O_1K^2)= 2\sqrt(R_1R_2), \: \ underline(BC = 2\sqrt(R_1R_2) )$$.
Kwa hivyo, kipenyo cha duara kilichozungukwa kuhusu pembetatu $$ABC$$ ni sawa na $$\sqrt(R_1R_2)$$. Katika suluhisho $$R_1 > R_2$$, kwa $$R_1
JIBU
$$\sqrt(R_1R_2)$$
Sehemu za tangent kwa duara inayotolewa kutoka kwa nukta moja ni sawa na sawa pembe sawa na mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua hii na katikati ya duara. UTHIBITISHO. A. 3. B. 4. 1. 2. S. O. Kwa nadharia kuhusu sifa ya tanjiti, pembe 1 na 2 ni pembe za kulia, kwa hiyo pembetatu ABO na ACO zina pembe za kulia. Wao ni sawa, kwa sababu kuwa na hypotenuse ya kawaida OA na miguu sawa OV na OS. Kwa hiyo, AB = AC na angle 3 = angle 4, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Slaidi ya 4 kutoka kwa uwasilishaji "Mduara" jiometri. Saizi ya kumbukumbu iliyo na wasilisho ni 316 KB.Jiometri daraja la 8
muhtasari mawasilisho mengine"Sifa za quadrilaterals" - Trapezoid. Dunno alirekebisha deu. Ulalo hugawanya pembe mbili. Ufafanuzi wa quadrilaterals. Milalo. Kuamuru. Mraba ni mstatili ambao pande zake zote ni sawa. Pembe zote ziko sawa. Pembe za kupinga. Vipengele vya parallelogram. Mjenzi. Rhombus. Mali ya quadrilaterals. Vyama. Quadrilaterals na mali zao. Quadrangle. Msaidie Dunno kusahihisha kifaa. Ulalo. Pande zinazopingana.
"Vekta daraja la 8" - Malengo ya somo. Jina ni sawa na vekta kinyume. Kuamua kuratibu za vector. Vectors sawa. Vekta katika masomo ya fizikia. Endelea sentensi. Tafuta na jina vectors sawa katika picha hii. Vector kuratibu. Kazi ya vitendo. Thamani kamili vekta. Ukubwa kabisa wa vector. Kazi ya kujitegemea kwa jozi. Matukio ya asili yanaelezwa kiasi cha kimwili. Vekta. Vector kuratibu.
"Bidhaa ya scalar katika kuratibu" - Uboreshaji wa hisabati. Suluhisho la pembetatu. Nadharia ya Napoleon. Nyenzo mpya. Kadi za kubadilishana. Hebu tutatue tatizo. Jiometri. Jina la mwandishi wa nadharia. Matokeo. Vekta. Mali ya bidhaa ya scalar ya vekta. Bidhaa ya Scalar katika kuratibu na mali zake. Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Mtihani wa hisabati.
"Axial symmetry katika jiometri" - Kielelezo kinaitwa ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja a. Takwimu zilizo na shoka mbili za ulinganifu. Takwimu ambazo zina mhimili mmoja wa ulinganifu. Tengeneza pembetatu linganifu kwa data inayohusiana na mstari wa moja kwa moja C. Yaliyomo. Tengeneza pointi A" na B". Ufafanuzi. Ulinganifu katika ushairi. Ulinganifu wa axial. Chora mistari miwili iliyonyooka a na b na uweke alama alama mbili A na B. Jinsi ya kupata takwimu inayolingana na hii. Maneno ambayo yana mhimili wa ulinganifu.
"Axial na ulinganifu wa kati" jiometri - Eleza takwimu. Weil Herman. Ulinganifu katika ulimwengu wa mimea. Sayansi. Ulinganifu katika ulimwengu wa wadudu. Pembe za pembetatu. Ulinganifu wa mzunguko. Uwiano. Algorithm ya ujenzi. Axial na ulinganifu wa kati. Pointi za ulinganifu kuhusu kituo hicho. Ulinganifu wa pointi kuhusiana na mstari wa moja kwa moja. Vipengele vinavyojulikana. Ni nini kilikuvutia kwa picha hizi? Point O. Kati na ulinganifu wa axial. Ulinganifu wa takwimu ni sawa sawa.
"Nadharia ya Thales" daraja la 8 - Sehemu. Ujuzi wa kutatua shida. Ulalo. Uchambuzi. Kazi za michoro iliyokamilika. Ushahidi. Jifunze. Mistari sambamba. Thales inajulikana kama geometer. Thales ya Mileto. Vituo vya kati vya pande. Nadharia ya Thales. Maneno ya Thales. Kazi. Pata pembe za trapezoid. Thibitisha.
Mara nyingi, ni shida za kijiometri ambazo husababisha ugumu kwa waombaji, wahitimu, na washiriki olympiads za hisabati. Ukiangalia takwimu za Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2010, unaweza kuona hilo tatizo la kijiometri Takriban 12% ya washiriki walianza C4, lakini ni 0.2% tu ya washiriki walipata alama kamili, na kwa ujumla kazi iligeuka kuwa ngumu zaidi ya wale wote waliopendekezwa.
Ni wazi, mapema tunapowapa watoto wa shule masuluhisho mazuri au yasiyotarajiwa kwa shida, na uwezekano zaidi kuvutia na kuvutia kwa umakini na kwa muda mrefu. Lakini jinsi ni vigumu kupata kuvutia na kazi ngumu katika kiwango cha daraja la 7, wakati utafiti wa utaratibu wa jiometri unaanza tu. Ni nini kinachoweza kutolewa kwa mwanafunzi anayevutiwa na hisabati ambaye anajua tu ishara za usawa wa pembetatu, mali ya karibu na pembe za wima? Hata hivyo, mtu anaweza kuanzisha dhana ya tangent kwa mduara, kama mstari wa moja kwa moja ambao una hatua moja ya kawaida na mduara; kudhani kwamba radius inayotolewa kwa hatua ya kuwasiliana ni perpendicular kwa tangent. Kwa kweli, inafaa kuzingatia kesi zote zinazowezekana za mpangilio wa duru mbili na tangents za kawaida kwao, ambazo zinaweza kutolewa kutoka sifuri hadi nne. Kwa kuthibitisha nadharia zilizopendekezwa hapa chini, unaweza kupanua kwa kiasi kikubwa seti ya matatizo kwa wanafunzi wa darasa la saba. Wakati huo huo, wakati huo huo kuthibitisha muhimu au tu kuvutia na ukweli wa kufurahisha. Zaidi ya hayo, kwa kuwa taarifa nyingi hazijajumuishwa katika kitabu cha shule, zinaweza kujadiliwa katika madarasa ya duara na wahitimu wakati wa kurudia planimetry. Ukweli huu uligeuka kuwa muhimu mwaka uliopita wa masomo. Kwa kuwa uchunguzi wengi hufanya kazi yenyewe Kazi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja ilikuwa na shida kwa suluhisho ambayo ilikuwa ni lazima kutumia mali ya sehemu ya tangent iliyothibitishwa hapa chini.
T 1
Sehemu za tanjenti hadi duara inayotolewa
sawa na nukta moja (Mchoro 1)
Hii ndio nadharia ambayo unaweza kuitambulisha kwanza kwa wanafunzi wa darasa la saba.
Katika mchakato wa uthibitisho, tulitumia ishara ya usawa wa pembetatu za kulia na tukahitimisha kuwa katikati ya duara iko kwenye sehemu ya pembetatu. BSA.
Njiani, tulikumbuka kuwa bisector ya pembe ni locus pointi za eneo la mambo ya ndani ya equidistant angle kutoka pande zake. Suluhisho la mbali na shida ndogo linategemea ukweli huu, unaoweza kupatikana hata kwa wale wanaoanza kusoma jiometri.
1. Angle bisectors A, KATIKA Na NA mbonyeo wa pembe nne ABCD vuka kwa hatua moja. Miale AB Na DC vuka kwa uhakika E, na miale
Jua Na AD kwa uhakika F. Thibitisha kuwa quadrilateral isiyo ya convex AECF jumla ya urefu wa pande kinyume ni sawa.
Suluhisho (Mchoro 2). Hebu KUHUSU- sehemu ya makutano ya sehemu hizi mbili. Kisha KUHUSU equidistant kutoka pande zote za quadrilateral ABCD, hiyo ni
ni katikati ya duara iliyoandikwa katika pembe nne. Kwa nadharia 1
usawa ufuatao ni kweli: AR = A.K.,
ER = E.P., F.T. = FK. Wacha tuongeze pande za kushoto na kulia kwa muhula na tupate usawa sahihi:
(AR + ER) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A.F. + (EU + Kompyuta) Kwa sababu ST = RS, Hiyo AE + F.C. = A.F. + EU, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.
Hebu fikiria tatizo na uundaji usio wa kawaida, kwa ajili ya ufumbuzi ambao ni wa kutosha kujua theorem 1 .
2. Je! n-pembetatu ambayo pande zake ni 1, 2, 3, ..., n, ambayo mduara unaweza kuandikwa?
Suluhisho. Hebu tuseme hivi n-go ipo. A 1 A 2 =1, …, A n-1 A n= n– 1,A n A 1 = n. B 1 , …, B n - pointi zinazolingana kugusa. Kisha kwa Theorem 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Kwa mali ya sehemu za tangent A n B n= A n B n-1 . Lakini, A n B n-1< A n-1 A n= n - 1. Utata. Kwa hivyo hapana n-kukidhi masharti ya tatizo.
T 2 Kiasi pande zinazopingana pande nne iliyozunguka
miduara ni sawa (Mchoro 3)
Watoto wa shule, kama sheria, huthibitisha kwa urahisi mali hii ya sehemu ya nne iliyoelezewa. Baada ya kuthibitisha nadharia 1 , ni zoezi la mafunzo. Tunaweza kujumlisha ukweli huu - jumla ya pande za pembetatu iliyozungushwa, iliyochukuliwa kupitia upande mmoja, ni sawa. Kwa mfano, kwa hexagon ABCDEF haki: AB + CD + EF = BC + DE + FA.
Suluhisho (Kielelezo 1). Kwa kuwa pande nne za ABEF na ECDF ni za mzunguko, basi kwa Theorem 2 P ABEF = 2(AB + EF) na P ECDF = 2(CD + EF), kwa masharti.
P ABEF - P ECDF = 2(AB + EF) - 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = p. AB = a + p.
tangent kwa duara inachorwa ikivuka sehemu AB Na AC kwa pointi M Na R kwa mtiririko huo. Thibitisha kwamba mzunguko wa pembetatu AMR na ukubwa wa pembe MPA haitegemei uchaguzi wa nukta X.
Suluhisho (Mchoro 5). Kwa nadharia 1 MV = MX na RS = RH. Kwa hiyo, mzunguko wa pembetatu AMR sawa na jumla ya sehemu AB Na AC. Au tanjenti mara mbili inayotolewa kwenye mduara kwa pembetatu AMR . Thamani ya pembe ya MOP inapimwa kwa nusu ya pembe VOS, ambayo haitegemei uchaguzi wa uhakika X.
Suluhisho (Mchoro 6). Njia ya kwanza (algebraic). Hebu AK = AN = x, Kisha BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, basi tunaweza kuunda equation kwa x: b = x + (a – c + x). Wapi
.
Njia ya pili (kijiometri). Hebu tuangalie mchoro. Makundi ya tangents sawa, kuchukuliwa moja kwa wakati, kuongeza hadi nusu ya mzunguko
pembetatu. Nyekundu na kijani hufanya upande A. Kisha sehemu tunayopendezwa nayo x = p - a. Bila shaka, matokeo yaliyopatikana yanapatana.
. Z Kumbuka kwamba kutoka kwa shida ya kumbukumbu 1
inafuata hiyo CM = p Δ ABC. b + x = p; x = p - b. Fomula zinazotokana zinatumika katika matatizo yafuatayo. 4. Pata radius ya duara iliyoandikwa kwenye pembetatu ya kulia na miguu a, b na hypotenuse Na. Suluhisho (Mchoro 8). T sawa vipi OMCN - mraba, basi radius ya duara iliyoandikwa ni sawa na sehemu ya tangent CN.
.
5. Thibitisha kwamba pointi za tangency ya andikwa na excircle na upande wa pembetatu ni symmetrical kuhusu katikati ya upande huu.
Suluhisho (Mchoro 9). Kumbuka kuwa AK ni sehemu ya tanjiti ya mduara wa pembetatu ABC. Kulingana na formula (2)
. VM- sehemu ya mstari
tangent kwa duara kwa pembetatu ABC. Kulingana na formula (1)
. AK = VM, na hii ina maana kwamba pointi K na M equidistant kutoka katikati ya upande AB, Q.E.D.
6. Tangenti mbili za kawaida za nje na tangent moja ya ndani hutolewa kwa miduara miwili. Tangenti ya ndani hukatiza tanjiti za nje kwa pointi A, B na kugusa miduara kwa pointi A 1 Na KATIKA 1. Thibitisha hilo AA 1 = BB 1.
Suluhisho (Mchoro 10). Acha... Kuna nini cha kuamua? Huu ni uundaji tofauti tu wa shida iliyotangulia. Kwa wazi, moja ya miduara imeandikwa na nyingine ni excircle kwa pembetatu fulani ABC. Na makundi AA 1 na BB 1 yanahusiana na sehemu AK Na VM kazi 5. Ni vyema kutambua kwamba kazi iliyopendekezwa saa Olympiad ya Urusi yote watoto wa shule katika hisabati, hutatuliwa kwa njia ya wazi kama hiyo.
7. Pande za pentagoni kwa utaratibu wa traversal ni 5, 6, 10, 7, 8. Thibitisha kwamba mduara hauwezi kuandikwa katika pentagon hii.
Suluhisho (Kielelezo 11). Tuseme kwamba katika pentagon ABCDE unaweza kuandika mduara. Aidha, vyama AB, B.C., CD, DE Na EA ni sawa na 5, 6, 10, 7 na 8, mtawaliwa. F, G, H, M Na N. Acha urefu wa sehemu A.F. sawa na X.
Kisha B.F. = FD – A.F. = 5 – x = B.G.. G.C. = B.C. – B.G. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Nakadhalika: HD = DM = 9 – x; M.E. = EN = x – 2, AN = 10 – X.
Lakini, A.F. = AN. Hiyo ni 10 - X = X; X= 5. Hata hivyo, sehemu ya tangent A.F. haiwezi kuwa na upande sawa AB. Upinzani unaosababishwa unathibitisha kwamba mduara hauwezi kuandikwa katika pentagon iliyotolewa.
8. Mduara umeandikwa kwa hexagon pande zake kwa utaratibu wa kuzunguka ni 1, 2, 3, 4, 5. Tafuta urefu wa upande wa sita.
Suluhisho. Bila shaka, tunaweza kuteua sehemu ya tangent kama X, Kama katika kazi ya awali, andika mlinganyo na upate jibu. Lakini, ni bora zaidi na bora kutumia noti kwa nadharia 2 : jumla ya pande za heksagoni iliyozungushwa, iliyochukuliwa kupitia moja kwa nyingine, ni sawa.
Kisha 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, wapi X- haijulikani upande wa sita, X = 3.
Suluhisho (Kielelezo 12). Kwa kuwa urefu wa pande zote ni nambari kamili, sehemu za sehemu za urefu wa sehemu ni sawa BT, B.P., DM, DN, A.K. Na KATIKA. Tuna KATIKA + TV= 1, na sehemu za sehemu za urefu wa sehemu KATIKA Na TB ni sawa. Hii inawezekana tu wakati KATIKA + TV= 0.5. Kwa nadharia 1
VT + VR.
Ina maana, VR= 0.5. Kumbuka kwamba hali CD= 3 iligeuka kuwa haijadaiwa. Kwa wazi, waandishi wa shida walidhani suluhisho lingine. Jibu: 0.5.
10. Katika quadrangle ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Miduara iliyoandikwa kwa pembetatu ABD Na CBD kugusa sehemu BD kwa pointi M Na N kwa mtiririko huo. Tafuta urefu wa sehemu MN.
Suluhisho (Mchoro 13). MN = DN - DM. Kulingana na fomula (1) ya pembetatu DBA Na DC ipasavyo, tunayo:
11. Ndani ya quadrangle ABCD unaweza kuandika mduara. Miduara iliyoandikwa kwa pembetatu ABD Na CBD kuwa na radi R Na r kwa mtiririko huo. Tafuta umbali kati ya vituo vya miduara hii.
Suluhisho (Mchoro 13). Kwa kuwa kwa hali quadrilateral ABCD iliyoandikwa, kwa nadharia 2 tuna: AB + DC = AD + BC. Wacha tutumie wazo la kutatua shida iliyotangulia. . Hii ina maana kwamba pointi ya mawasiliano ya miduara na sehemu DM mechi up. Umbali kati ya vituo vya miduara ni sawa na jumla ya radii. Jibu: R+r.
Kwa kweli, imethibitishwa kuwa hali iko katika pembe nne ABCD unaweza kuandika mduara, sawa na hali - ndani mbonyeo wa pembe nne ABCD miduara iliyoandikwa katika pembetatu ABC Na ADC kugusana. Kinyume chake ni kweli.
Inapendekezwa kuthibitisha kauli hizi mbili zinazokinzana katika tatizo lifuatalo, ambalo linaweza kuchukuliwa kuwa ni jumla ya hili.
12. Katika mbonyeo quadrilateral ABCD (mchele. 14) miduara iliyoandikwa kwa pembetatu ABC Na ADC kugusana. Thibitisha kwamba miduara imeandikwa katika pembetatu ABD Na BDC pia kugusana.
13. Katika pembetatu ABC pamoja na vyama a, b Na c upande Jua alama iliyowekwa D ili miduara imeandikwa katika pembetatu ABD Na ACD kugusa sehemu AD kwa wakati mmoja. Tafuta urefu wa sehemu BD.
Suluhisho (Mchoro 15). Wacha tutumie fomula (1) kwa pembetatu ADC Na A.D.B., kuhesabu DM mbili 
Inageuka, D- hatua ya kuwasiliana na upande Jua mduara ulioandikwa katika pembetatu ABC. Kinyume chake ni kweli: ikiwa kipeo cha pembetatu kimeunganishwa kwenye sehemu ya mduara iliyoandikwa. upande kinyume, basi miduara iliyoandikwa katika pembetatu zinazosababisha hugusa kila mmoja.
14. Vituo KUHUSU 1 , KUHUSU 2 na KUHUSU Miduara 3 isiyoingiliana ya radius sawa iko kwenye wima ya pembetatu. Kutoka kwa pointi KUHUSU 1 , KUHUSU 2 , KUHUSU 3, tanjiti kwa miduara hii huchorwa kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.
Inajulikana kuwa tangents hizi, zinazoingiliana, ziliunda hexagon ya convex, ambayo pande zake zimejenga nyekundu na bluu. Thibitisha kuwa jumla ya urefu wa sehemu nyekundu ni sawa na jumla ya urefu wa zile za bluu.
Suluhisho (Mchoro 16). Ni muhimu kuelewa jinsi ya kutumia ukweli kwamba miduara iliyotolewa ina radii sawa. Kumbuka kwamba sehemu BR Na DM ni sawa, ambayo hufuata kutoka kwa usawa wa pembetatu za kulia KUHUSU 1 BR Na O 2 B.M.. Vivyo hivyo D.L. = D.P., FN = FK. Tunaongeza muda wa usawa kwa muhula, kisha tunatoa kutoka kwa hesabu zinazotokana na sehemu zinazofanana za tenji zilizochorwa kutoka kwa wima. A, NA, Na E heksagoni ABCDEF: AR Na A.K., C.L. Na SENTIMITA., EN Na E.P.. Tunapata kile tunachohitaji.
Hapa kuna mfano wa shida katika stereometry, iliyopendekezwa kwenye Mashindano ya Kimataifa ya Hisabati ya XII kwa Wanafunzi wa Shule ya Upili "Kombe katika Kumbukumbu ya A. N. Kolmogorov".
16. Kupewa piramidi ya pentagonal SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Kuna tufe w, ambayo inagusa kingo zote za piramidi na nyanja nyingine w 1, ambayo inagusa pande zote za msingi A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 na muendelezo wa mbavu za pembeni SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 zaidi ya vilele vya msingi. Thibitisha kuwa sehemu ya juu ya piramidi ni ya usawa kutoka kwa wima ya msingi. (Berlov S. L., Karpov D. V.)
kwani sehemu za tangent ni sawa. Hebu C i A i = a i. Kisha p SAiAi +1 = s+a i +a i+1, na kutoka kwa usawa wa mizunguko inafuata hiyo a 1 = a 3 = a 5 = a 2 = a 4, kutoka wapi S.A. 1 = S.A. 2 = S.A. 3 = S.A. 4 = S.A. 5 .
17. Mtihani wa Jimbo la Umoja. Kazi ya uchunguzi 8.12.2009, S–4. Imepewa trapezoid ABCD, misingi yake BC = 44,AD = 100, AB = CD= 35. Tanjenti ya duara kwa mistari AD Na A.C., hugusa upande CD kwa uhakika K. Tafuta urefu wa sehemu CK.BDC na BDA, gusa pande ВD kwa pointi E Na F. Tafuta urefu wa sehemu E.F..
Suluhisho. Matukio mawili yanawezekana (Mchoro 20 na Mchoro 21). Kwa kutumia fomula (1) tunapata urefu wa sehemu DE Na DF.
Katika kesi ya kwanza AD = 0,1AC, CD = 0,9A.C.. Katika pili - AD = 0,125AC, CD = 1,125A.C.. Tunabadilisha data na kupata jibu: 4.6 au 5.5.
Shida za suluhisho la kujitegemea /
1. Mzunguko trapezoid ya isosceles, iliyozungukwa kuhusu mduara ni sawa na 2 kusugua. Tafuta makadirio ya ulalo wa trapezoid kwenye msingi mkubwa. (1/2r)
2. Fungua benki Matatizo ya Mtihani wa Jimbo la Umoja hisabati. SAA 4. Kwa mduara ulioandikwa katika pembetatu ABC (Kielelezo 22), tangents tatu huchorwa. Mizunguko ya pembetatu iliyokatwa ni 6, 8, 10. Pata mzunguko pembetatu iliyotolewa. (24)
3. Ndani ya pembetatu ABC mduara umeandikwa. MN - tembea kwa duara, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Pata mzunguko wa pembetatu MNC. (12)
4. Kwa mduara ulioandikwa katika mraba na upande a, tangent hutolewa kwa kuingilia pande zake mbili. Pata mzunguko wa pembetatu iliyokatwa. (A)
5. Mduara umeandikwa katika pentagon na pande A, d, c, d Na e. Pata sehemu ambazo hatua ya tangency inagawanya upande sawa na A.
6. Mduara umeandikwa katika pembetatu yenye pande 6, 10 na 12. Tangent hutolewa kwa duara ili kuingilia pande mbili ndefu. Pata mzunguko wa pembetatu iliyokatwa. (16)
7. CD- wastani wa pembetatu ABC. Miduara iliyoandikwa kwa pembetatu ACD Na BCD, gusa sehemu CD kwa pointi M Na N. Tafuta MN, Kama AC – Jua = 2. (1)
8. Katika pembetatu ABC pamoja na vyama a, b Na c upande Jua alama iliyowekwa D. Kwa miduara iliyoandikwa kwa pembetatu ABD Na ACD, tangent ya kawaida inachorwa ikipishana AD kwa uhakika M. Tafuta urefu wa sehemu AM. (Urefu AM haitegemei nafasi ya uhakika D Na
sawa na ½ ( c + b - a))
9. Mduara wa radius umeandikwa katika pembetatu ya kulia A. Radi ya tangent ya mduara kwa hypotenuse na upanuzi wa miguu ni sawa na R. Tafuta urefu wa hypotenuse. ( R–a)
10. Katika pembetatu ABC Urefu wa pande unajulikana: AB = Na, AC = b, Jua = A. Mduara ulioandikwa katika pembetatu unagusa upande AB kwa uhakika C 1. Mzunguko unagusa ugani wa upande AB kwa pointi A kwa uhakika C 2. Kuamua urefu wa sehemu C 1 C 2. (b)
11. Pata urefu wa pande za pembetatu iliyogawanywa na hatua ya tangency ya mduara ulioandikwa wa radius 3 cm katika makundi ya 4 cm na 3 cm (7, 24 na 25 cm katika pembetatu ya kulia)
12. Soros Olympiad 1996, raundi ya 2, daraja la 11. Imepewa pembetatu ABC, kwenye pande ambazo pointi zimewekwa alama A 1, B 1, C 1. Radi ya miduara iliyoandikwa katika pembetatu AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 sawa katika r. Radi ya duara iliyoandikwa katika pembetatu A 1 B 1 C 1 sawa R. Pata radius ya duara iliyoandikwa kwenye pembetatu ABC. (R +r).
Matatizo 4–8 yamechukuliwa kutoka kwa kitabu cha matatizo na Gordin R.K. Mpango wa ramani." Moscow. Nyumba ya uchapishaji MCNMO. 2004.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.