KWA nambari kamili ni pamoja na nambari asilia, sifuri, na nambari kinyume na nambari asilia.
Nambari kamili ni nambari chanya.
Kwa mfano: 1, 3, 7, 19, 23, nk. Tunatumia nambari kama hizo kwa kuhesabu (kuna maapulo 5 kwenye meza, gari ina magurudumu 4, nk)
Barua ya Kilatini \ mathbb(N) - iliyoashiria seti ya nambari za asili.
Nambari za asili haziwezi kujumuisha nambari hasi (mwenyekiti hawezi kuwa na idadi hasi ya miguu) na nambari za sehemu (Ivan hakuweza kuuza baiskeli 3.5).
Kinyume cha nambari asilia ni nambari hasi: −8, -148, −981, ….
Uendeshaji wa hesabu na nambari kamili
Unaweza kufanya nini na nambari kamili? Wanaweza kuzidishwa, kuongezwa na kupunguzwa kutoka kwa kila mmoja. Wacha tuangalie kila operesheni kwa kutumia mfano maalum.
Ongezeko la nambari kamili
Nambari kamili mbili na ishara zinazofanana kunja juu kwa njia ifuatayo: moduli za nambari hizi zinaongezwa na jumla inayosababishwa inatanguliwa na ishara ya mwisho:
(+11) + (+9) = +20
Kutoa Nambari kamili
Nambari kamili mbili na ishara tofauti zimeongezwa kama ifuatavyo: moduli ya ile ndogo hutolewa kutoka kwa moduli ya nambari kubwa na ishara ya moduli kubwa ya nambari imewekwa mbele ya jibu linalotokana:
(-7) + (+8) = +1
Kuzidisha Nambari kamili
Ili kuzidisha nambari moja hadi nyingine, unahitaji kuzidisha moduli ya nambari hizi na kuweka ishara "+" mbele ya jibu linalotokana ikiwa nambari asili zilikuwa na ishara zinazofanana, na ishara "-" ikiwa nambari asili zilikuwa tofauti. ishara:
(-5)\cdot (+3) = -15
(-3)\cdot (-4) = +12
Ifuatayo inapaswa kukumbukwa sheria ya kuzidisha nambari kamili:
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +
Kuna sheria ya kuzidisha nambari nyingi. Hebu tukumbuke:
Ishara ya bidhaa itakuwa "+" ikiwa idadi ya mambo na ishara hasi hata na "-" ikiwa idadi ya mambo yenye ishara hasi ni isiyo ya kawaida.
(-5) \cdoti (-4) \cdoti (+1) \cdoti (+6) \cdoti (+1) = +120
Mgawanyiko kamili
Mgawanyiko wa nambari mbili unafanywa kama ifuatavyo: moduli ya nambari moja imegawanywa na moduli ya nyingine, na ikiwa ishara za nambari ni sawa, basi ishara "+" imewekwa mbele ya mgawo unaosababishwa. , na ikiwa ishara za nambari za asili ni tofauti, basi ishara "-" imewekwa.
(-25) : (+5) = -5
Sifa za kuongeza na kuzidisha nambari kamili
Wacha tuangalie sifa za kimsingi za kujumlisha na kuzidisha kwa nambari zozote a, b na c:
- a + b = b + a - commutative mali ya kuongeza;
- (a + b) + c = a + (b + c) - mali ya pamoja ya kuongeza;
- a \cdot b = b \cdot a - mali ya kubadilisha ya kuzidisha;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - sifa za ushirika kuzidisha;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- mali ya usambazaji wa kuzidisha.
Kiwango cha kwanza
Kubwa ya kawaida nyingi na angalau mgawanyiko wa kawaida. Vigezo vya mgawanyiko na mbinu za kupanga vikundi (2019)
Ili kufanya maisha yako iwe rahisi zaidi wakati unahitaji kuhesabu kitu, kupata wakati wa thamani kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja au Mtihani wa Jimbo la Umoja, kufanya makosa machache ya kijinga - soma sehemu hii!
Hivi ndivyo utajifunza:
- jinsi ya kuhesabu kwa haraka, rahisi na kwa usahihi zaidi kutumiakupanga nambariwakati wa kuongeza na kupunguza,
- jinsi ya kuzidisha haraka na kugawanya bila makosa kutumia sheria za kuzidisha na ishara za mgawanyiko,
- jinsi ya kuongeza kasi ya mahesabu kwa kutumia angalau nyingi za kawaida(NOK) na mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida(NOD).
Ustadi wa mbinu katika sehemu hii unaweza kuelekeza mizani katika mwelekeo mmoja au mwingine ... ikiwa utaingia katika chuo kikuu cha ndoto yako au la, wewe au wazazi wako watalazimika kulipa pesa nyingi kwa elimu au utajiandikisha kwa bajeti. .
Hebu tuzame ndani... (Twende!)
Kumbuka muhimu!Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL + F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).
Kundi la nambari kamili lina sehemu 3:
- nambari kamili(tutaziangalia kwa undani zaidi hapa chini);
- nambari kinyume na nambari za asili(kila kitu kitaanguka mara tu unapojua nambari za asili ni nini);
- sufuri - " " (Tungekuwa wapi bila yeye?)
barua Z.
Nambari kamili
"Mungu aliumba nambari za asili, kila kitu kingine ni kazi ya mikono ya mwanadamu" (c) Mwanahisabati wa Ujerumani Kronecker.
Nambari za asili ni nambari ambazo tunatumia kuhesabu vitu na hii ndio historia ya asili yao inategemea - hitaji la kuhesabu mishale, ngozi, nk.
1, 2, 3, 4...n
barua N.
Ipasavyo, ufafanuzi huu haujumuishi (huwezi kuhesabu kitu ambacho hakipo?) na, hata zaidi, haijumuishi. maadili hasi(kuna apple?).
Zaidi ya hayo, yote hayajajumuishwa nambari za sehemu(hatuwezi pia kusema "Nina kompyuta ndogo" au "Niliuza magari")
Yoyote nambari ya asili inaweza kuandikwa kwa kutumia tarakimu 10:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Kwa hivyo 14 sio nambari. Hii ndio nambari. Inajumuisha nambari gani? Hiyo ni kweli, kutoka kwa nambari na ...
Nyongeza. Kupanga wakati wa kuongeza kuhesabu haraka na kufanya makosa machache
Ni mambo gani ya kuvutia unaweza kusema kuhusu utaratibu huu? Bila shaka, sasa utajibu "thamani ya jumla haibadiliki kwa kupanga upya masharti." Inaweza kuonekana kuwa sheria ya zamani, inayojulikana kutoka kwa daraja la kwanza, hata hivyo, wakati wa kutatua mifano mikubwa hiyo kusahaulika mara moja!
Usisahau kuhusu yeye -tumia vikundi, ili kufanya mchakato wa kuhesabu iwe rahisi kwako mwenyewe na kupunguza uwezekano wa makosa, kwa sababu Kikokotoo cha Mtihani wa Jimbo la Umoja hutakuwa nayo.
Jionee ni usemi gani ni rahisi kuweka pamoja?
- 4 + 5 + 3 + 6
- 4 + 6 + 5 + 3
Bila shaka ya pili! Ingawa matokeo ni sawa. Lakini! Kuzingatia njia ya pili una nafasi ndogo ya kufanya makosa na utafanya kila kitu kwa kasi!
Kwa hivyo, katika kichwa chako unafikiria hivi:
4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18
Kutoa. Kupanga wakati wa kutoa ili kuhesabu haraka na kufanya makosa machache
Wakati wa kutoa, tunaweza pia kuweka nambari tunazotoa, kwa mfano:
32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19
Je, ikiwa kutoa kunabadilishana na kuongeza katika mfano? Unaweza pia kuweka kikundi, unajibu, na hiyo ni sawa. Tafadhali tu usisahau kuhusu ishara kabla ya nambari, kwa mfano: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19
Kumbuka: ishara zilizowekwa vibaya zitasababisha matokeo yenye makosa.
Kuzidisha. Jinsi ya kuzidisha katika kichwa chako
Ni wazi, kubadilisha maeneo ya mambo pia haitabadilisha thamani ya bidhaa:
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0
Sitakuambia "tumia hii wakati wa kusuluhisha mifano" (una kidokezo mwenyewe, sawa?), lakini badala yake nitakuambia jinsi ya kuzidisha haraka nambari kadhaa kichwani mwako. Kwa hivyo, angalia meza kwa uangalifu:
Na kidogo zaidi kuhusu kuzidisha. Bila shaka unakumbuka mbili matukio maalum...Je, unaweza kukisia ninachomaanisha? Hapa ni kuhusu hilo:
Ah ndio, wacha tuitazame tena ishara za mgawanyiko. Kuna sheria 7 kwa jumla kulingana na vigezo vya mgawanyiko, ambazo tayari unajua 3 za kwanza!
Lakini zingine sio ngumu kukumbuka.
Ishara 7 za mgawanyiko wa nambari ambazo zitakusaidia kuhesabu haraka kichwani mwako!
- Bila shaka, unajua sheria tatu za kwanza.
- Ya nne na ya tano ni rahisi kukumbuka - wakati wa kugawanya na tunaangalia kuona ikiwa jumla ya nambari zinazounda nambari zinaweza kugawanywa na hii.
- Wakati wa kugawanya, tunaangalia nambari mbili za mwisho za nambari - je, nambari wanazofanya zigawanywe?
- Wakati wa kugawanya kwa, nambari lazima igawanywe na na kwa wakati mmoja. Hiyo ndiyo hekima yote.
Sasa unafikiria, "kwa nini ninahitaji haya yote"?
Kwanza, Mtihani wa Jimbo la Umoja unafanyika bila calculator na sheria hizi zitakusaidia kuvinjari mifano.
Na pili, umesikia matatizo kuhusu GCD Na NOC? Je, kifupi hiki kinajulikana? Wacha tuanze kukumbuka na kuelewa.
Kigawanyiko Kikubwa Zaidi (GCD) - inahitajika kwa kupunguza sehemu na kufanya hesabu za haraka
Wacha tuseme una nambari mbili: na. Kwa nini idadi kubwa zaidi Nambari zote mbili zinaweza kugawanywa? Utajibu bila kusita, kwa sababu unajua kuwa:
12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3
8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2
Ni nambari gani za kawaida katika upanuzi? Hiyo ni kweli, 2 * 2 = 4. Hilo lilikuwa jibu lako. Kuzingatia mfano huu rahisi, hutasahau algorithm ya jinsi ya kupata GCD. Jaribu "kuijenga" katika kichwa chako. Imetokea?
Ili kupata GCD unahitaji:
- Gawanya nambari katika sababu kuu(nambari ambazo haziwezi kugawanywa na kitu kingine chochote isipokuwa yenyewe au na, kwa mfano, 3, 7, 11, 13, nk).
- Zizidishe.
Je, unaelewa kwa nini tulihitaji ishara za mgawanyiko? Ili uangalie nambari na uanze kugawanya bila salio.
Kwa mfano, hebu tupate GCD ya nambari 290 na 485
Nambari ya kwanza -.
Kuiangalia, unaweza kusema mara moja kuwa inaweza kugawanywa na, wacha tuandike:
Haiwezekani kugawanyika katika kitu kingine chochote, lakini unaweza - na tunapata:
290 = 29 * 5 * 2
Wacha tuchukue nambari nyingine - 485.
Kulingana na vigezo vya mgawanyiko, lazima igawanywe bila salio, kwani inaisha na. Gawanya:
Wacha tuchambue nambari asili.
- Haiwezi kugawanywa na (nambari ya mwisho ni isiyo ya kawaida),
- - haigawanyiki na, ambayo ina maana kwamba nambari pia haiwezi kugawanywa na,
- by na by pia haiwezi kugawanywa (jumla ya tarakimu iliyojumuishwa katika nambari haiwezi kugawanywa na na kwa)
- pia haigawanyiki kwa, kwa kuwa haiwezi kugawanywa na,
- pia haigawanyiki kwa, kwani haigawanyiki kwa na.
- haiwezi kugawanywa kabisa
Hii ina maana kwamba idadi inaweza tu kuoza ndani na.
Sasa tupate GCD nambari hizi. Nambari gani hii? Haki, .
Je, tufanye mazoezi?
Kazi nambari 1. Pata gcd ya nambari 6240 na 6800
1) Ninagawanya mara moja, kwani nambari zote mbili zinaweza kugawanywa kwa 100% na:
2) Nitagawanya kwa idadi kubwa iliyobaki (na), kwa kuwa zinagawanywa bila salio (wakati huo huo, sitapanua - tayari ni mgawanyiko wa kawaida):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Nitaondoka na peke yangu na kuanza kuangalia nambari na. Nambari zote mbili zinaweza kugawanywa kwa (malizia na nambari hata (katika kesi hii, tunafikiria jinsi gani, au unaweza kugawanya kwa)):
4) Tunafanya kazi na nambari na. Je, wana vigawanyiko vya kawaida? Si rahisi kama ilivyo katika hatua zilizopita, kwa hivyo tutazitenganisha kwa sababu rahisi:
5) Kama tunavyoona, tulikuwa sahihi: na hatuna wagawanyiko wa kawaida, na sasa tunahitaji kuzidisha.
GCD
Kazi nambari 2. Pata gcd ya nambari 345 na 324
Siwezi kupata kwa haraka angalau kigawanyaji kimoja cha kawaida hapa, kwa hivyo ninaigawanya katika mambo makuu (ndogo iwezekanavyo):
Hasa, gcd, lakini hapo awali sikuangalia mtihani wa mgawanyiko na, na labda nisingelazimika kufanya vitendo vingi. Lakini umeangalia, sawa? Umefanya vizuri! Kama unaweza kuona, sio ngumu hata kidogo.
Angalau nyingi za kawaida (LCM) - huokoa wakati, husaidia kutatua shida kwa njia isiyo ya kawaida
Wacha tuseme una nambari mbili - na. Ni nambari gani ndogo ambayo inaweza kugawanywa na bila kuwaeleza(yaani kabisa)? Vigumu kufikiria? Hapa kuna kidokezo cha kuona kwako:
Je, unakumbuka barua hiyo ina maana gani? Hiyo ni kweli, tu nambari nzima. Kwa hiyo nambari ndogo zaidi inafaa mahali x? :
Kwa kesi hii.
Sheria kadhaa huibuka kutoka kwa mfano huu rahisi.
Sheria za kupata NOC kwa haraka
Kanuni ya 1: Ikiwa moja ya nambari mbili za asili zinaweza kugawanywa na nambari nyingine, basi kubwa kati ya nambari hizo mbili ni kizidishio chao kisicho kawaida.
Tafuta nambari zifuatazo:
- NOC (7;21)
- NOC (6;12)
- NOC (5;15)
- NOC (3;33)
Bila shaka, ulikabiliana na kazi hii bila shida na ulipata majibu -, na.
Tafadhali kumbuka kuwa katika sheria tunazungumza juu ya nambari MBILI ikiwa kuna nambari zaidi, basi sheria haifanyi kazi.
Kwa mfano, LCM (7;14;21) si sawa na 21, kwani haiwezi kugawanywa na.
Kanuni ya 2. Ikiwa nambari mbili (au zaidi ya mbili) ni coprime, basi nyingi ya kawaida ni sawa na bidhaa zao.
Tafuta NOC nambari zifuatazo:
- NOC (1;3;7)
- NOC (3;7;11)
- NOC (2;3;7)
- NOC (3;5;2)
Je, ulihesabu? Haya hapa majibu -,; .
Kama unavyoelewa, si mara zote inawezekana kuchukua x hii kwa urahisi sana, hivyo kwa zaidi kidogo nambari ngumu kuna algorithm ifuatayo:
Je, tufanye mazoezi?
Wacha tupate nyingi zaidi ya kawaida - LCM (345; 234)
Wacha tugawanye kila nambari:
Kwa nini niliandika mara moja? Kumbuka ishara za mgawanyiko kwa: kugawanywa kwa (nambari ya mwisho ni sawa) na jumla ya tarakimu hugawanywa kwa. Ipasavyo, tunaweza kugawanya mara moja kwa kuandika kama.
Sasa tunaandika mtengano mrefu zaidi kwenye mstari - wa pili:
Wacha tuiongezee nambari kutoka kwa upanuzi wa kwanza, ambao hauko katika kile tulichoandika:
Kumbuka: tuliandika kila kitu isipokuwa kwa sababu tayari tunayo.
Sasa tunahitaji kuzidisha nambari hizi zote!
Pata idadi ndogo zaidi ya kawaida (LCM) mwenyewe
Ulipata majibu gani?
Hivi ndivyo nilipata:
Ulitumia muda gani kutafuta NOC? Muda wangu ni dakika 2, najua sana hila moja, ambayo nakushauri ufungue sasa hivi!
Ikiwa unasikiliza sana, basi labda umeona kwamba tayari tumetafuta nambari zilizotolewa GCD na unaweza kuchukua uainishaji wa nambari hizi kutoka kwa mfano huo, na hivyo kurahisisha kazi yako, lakini sio hivyo tu.
Angalia picha, labda mawazo mengine yatakujia:
Vizuri? Nitakupa kidokezo: jaribu kuzidisha NOC Na GCD kati yao wenyewe na kuandika mambo yote ambayo yataonekana wakati wa kuzidisha. Je, uliweza? Unapaswa kuishia na mnyororo kama huu:
Iangalie kwa karibu: linganisha vizidishi na jinsi na vimewekwa.
Je, unaweza kupata hitimisho gani kutokana na hili? Haki! Ikiwa tutazidisha maadili NOC Na GCD kati yao wenyewe, basi tunapata bidhaa ya nambari hizi.
Ipasavyo, kuwa na nambari na maana GCD(au NOC), tunaweza kupata NOC(au GCD) kulingana na mpango huu:
1. Tafuta bidhaa ya nambari:
2. Kugawanya bidhaa kusababisha na yetu GCD (6240; 6800) = 80:
Ni hayo tu.
Wacha tuandike sheria kwa fomu ya jumla:
Jaribu kutafuta GCD, ikiwa inajulikana kuwa:
Je, uliweza? .
Nambari hasi ni "nambari za uwongo" na kutambuliwa kwao na ubinadamu.
Kama unavyoelewa tayari, hizi ni nambari kinyume na zile za asili, ambayo ni:
Nambari hasi unaweza kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya - kama vile katika asili. Inaonekana, ni nini maalum juu yao? Lakini ukweli ni kwamba nambari hasi "zilishinda" mahali pao pa haki katika hisabati hadi karne ya 19 (hadi wakati huo kulikuwa na ubishani mkubwa kuhusu ikiwa zipo au la).
Nambari hasi yenyewe iliibuka kwa sababu ya operesheni kama hiyo na nambari asilia kama "kutoa". Kwa kweli, toa kutoka kwake na unapata nambari hasi. Ndio maana seti ya nambari hasi mara nyingi huitwa "ugani wa seti nambari za asili».
Nambari hasi hazikutambuliwa na watu kwa muda mrefu. Kwa hiyo, Misri ya Kale, Babeli na Ugiriki ya Kale- taa za wakati wao, hazikutambua nambari hasi, na katika kesi ya kupokea mizizi hasi katika equation (kwa mfano, kama yetu), mizizi ilikataliwa kuwa haiwezekani.
Nambari hasi kwanza zilipata haki yao ya kuwepo nchini China, na kisha katika karne ya 7 nchini India. Unafikiri ni sababu gani ya kutambuliwa huku? Hiyo ni kweli, nambari hasi zilianza kuashiria deni (vinginevyo, uhaba). Iliaminika kuwa nambari hasi ni thamani ya muda, ambayo matokeo yake itabadilika kuwa chanya (yaani, pesa bado itarejeshwa kwa mkopo). Walakini, mwanahisabati wa India Brahmagupta tayari alizingatia nambari hasi kwa msingi sawa na chanya.
Katika Ulaya, manufaa ya idadi hasi, pamoja na ukweli kwamba wanaweza kuashiria madeni, iligunduliwa baadaye sana, labda milenia. Kutajwa kwa kwanza kuligunduliwa mnamo 1202 katika "Kitabu cha Abacus" na Leonard wa Pisa (nitasema mara moja kwamba mwandishi wa kitabu hicho hana uhusiano wowote na Mnara wa Pisa ulioegemea, lakini nambari za Fibonacci ni kazi yake ( jina la utani la Leonardo wa Pisa ni Fibonacci)). Zaidi ya hayo, Wazungu walifikia hitimisho kwamba nambari hasi zinaweza kumaanisha sio deni tu, bali pia ukosefu wa chochote, ingawa sio kila mtu alitambua hili.
Kwa hiyo, katika karne ya 17, Pascal aliamini hivyo. Unafikiri alihalalisha hili? Ni kweli, "hakuna kitu kinachoweza kuwa chini ya HAKUNA." Echo ya nyakati hizo inabakia ukweli kwamba nambari hasi na operesheni ya kutoa inaonyeshwa na ishara sawa - minus "-". Na ukweli:. Je, nambari “” ni chanya, ambayo imetolewa kutoka, au hasi, ambayo inafupishwa?... Kitu kutoka kwa mfululizo “kinachokuja kwanza: kuku au yai?” Hii ni falsafa ya kipekee ya hisabati.
Nambari hasi zilipata haki yao ya kuwepo na ujio wa jiometri ya uchambuzi, kwa maneno mengine, wakati wanahisabati walianzisha dhana kama mhimili wa nambari. 
Ilikuwa kutoka wakati huu kwamba usawa ulikuja. Walakini, bado kulikuwa na maswali mengi kuliko majibu, kwa mfano:
uwiano
Sehemu hii inaitwa "kitendawili cha Arnaud". Fikiria juu yake, ni nini cha shaka juu yake?
Hebu tubishane pamoja "" ni zaidi ya "" sawa? Kwa hivyo, kulingana na mantiki, upande wa kushoto uwiano unapaswa kuwa mkubwa kuliko ule sahihi, lakini ni sawa... Hiki ndicho kitendawili.
Kama matokeo, wanahisabati walikubali kwamba Karl Gauss (ndio, ndio, huyu ndiye yule yule aliyehesabu jumla (au) nambari) alikomesha mnamo 1831 - alisema kwamba nambari hasi zina haki sawa na chanya. zile, na ukweli kwamba hazitumiki kwa vitu vyote haimaanishi chochote, kwani sehemu pia hazitumiki kwa vitu vingi (haitokei kwamba mchimbaji kuchimba shimo, huwezi kununua tikiti ya sinema, nk. .).
Wanahisabati walitulia tu katika karne ya 19, wakati nadharia ya nambari hasi iliundwa na William Hamilton na Hermann Grassmann.
Wana utata sana, nambari hizi hasi.
Kuibuka kwa "utupu", au wasifu wa sifuri.
Katika hisabati - nambari maalum. Kwa mtazamo wa kwanza, hii sio kitu: ongeza au uondoe - hakuna kitakachobadilika, lakini lazima uiongeze kwa haki kwa "", na nambari inayotokana itakuwa kubwa mara kadhaa kuliko ile ya asili. Kwa kuzidisha kwa sifuri tunageuza kila kitu kuwa chochote, lakini kugawanya na "chochote", yaani, hatuwezi. Kwa neno moja, nambari ya uchawi)
Historia ya sifuri ni ndefu na ngumu. Sehemu ya sifuri ilipatikana katika maandishi ya Wachina katika milenia ya 2 AD. na hata mapema kati ya Wamaya. Matumizi ya kwanza ya ishara ya sifuri, kama ilivyo leo, yalionekana kati ya wanaastronomia wa Kigiriki.
Kuna matoleo mengi ya kwa nini jina hili "hakuna chochote" lilichaguliwa. Wanahistoria wengine wana mwelekeo wa kuamini kuwa hii ni omicron, i.e. barua ya kwanza neno la Kigiriki hakuna kitu - ouden. Kulingana na toleo lingine, neno "obol" (sarafu isiyo na thamani yoyote) ilitoa uhai kwa ishara ya sifuri.
Sifuri (au null) kama ishara ya hisabati kwanza inaonekana kati ya Wahindi (kumbuka kuwa nambari hasi zilianza "kuendeleza" huko). Ushahidi wa kwanza wa kuaminika wa kurekodi sifuri ulianza 876, na ndani yao "" ni sehemu ya nambari.
Sifuri pia ilikuja Ulaya marehemu - mnamo 1600 tu, na kama nambari hasi, ilipata upinzani (unaweza kufanya nini, ndivyo Wazungu walivyo).
“Mara nyingi sifuri imekuwa ikichukiwa, kuogopwa kwa muda mrefu, au hata kupigwa marufuku,” aandika mwanahisabati Mmarekani Charles Safe. Kwa hiyo, Sultani wa Uturuki Abdul Hamid II mwishoni mwa karne ya 19. aliamuru vidhibiti vyake kufuta fomula ya H2O ya maji kutoka kwa vitabu vyote vya kiada vya kemia, na kuchukua herufi "O" kwa sifuri na kutotaka herufi zake za kwanza zikatishwe sifa kwa ukaribu wa sifuri inayodharauliwa.
Kwenye mtandao unaweza kupata maneno: "Zero ni nguvu yenye nguvu zaidi katika Ulimwengu, anaweza kufanya chochote! Zero huleta mpangilio katika hisabati, na pia huleta machafuko ndani yake. Pointi sahihi kabisa :)
Muhtasari wa sehemu na kanuni za msingi
Seti ya nambari kamili ina sehemu 3:
- nambari za asili (tutaziangalia kwa undani zaidi hapa chini);
- nambari kinyume na nambari za asili;
- sufuri - " "
Seti ya nambari kamili imeonyeshwa barua Z.
1. Nambari za asili
Nambari asilia ni nambari tunazotumia kuhesabu vitu.
Seti ya nambari za asili imeonyeshwa barua N.
Katika utendakazi na nambari kamili, utahitaji uwezo wa kupata GCD na LCM.
Mgawanyiko Mkuu wa Kawaida (GCD)
Ili kupata GCD unahitaji:
- Tenganisha nambari kuwa sababu kuu (nambari hizo ambazo haziwezi kugawanywa na kitu kingine chochote isipokuwa wao wenyewe au, kwa mfano, nk).
- Andika vipengele ambavyo ni sehemu ya nambari zote mbili.
- Zizidishe.
Angalau nyingi za kawaida (LCM)
Ili kupata NOC unahitaji:
- Gawanya nambari kwa sababu kuu (tayari unajua jinsi ya kufanya hivi vizuri).
- Andika mambo yaliyojumuishwa katika upanuzi wa moja ya nambari (ni bora kuchukua mlolongo mrefu zaidi).
- Ongeza kwao sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari zilizobaki.
- Pata bidhaa ya sababu zinazosababisha.
2. Nambari hasi
Hizi ni nambari zinazopingana na zile za asili, ambayo ni:
Sasa nataka kukusikia...
Natumai umethamini "mbinu" muhimu sana katika sehemu hii na umeelewa jinsi zitakusaidia kwenye mtihani.
Na muhimu zaidi - katika maisha. Sizungumzi juu yake, lakini niamini, hii ni kweli. Uwezo wa kuhesabu haraka na bila makosa hukuokoa katika hali nyingi za maisha.
Sasa ni zamu yako!
Andika, je, utatumia mbinu za kupanga, majaribio ya mgawanyiko, GCD na LCM katika hesabu?
Labda umewahi kuzitumia hapo awali? Wapi na vipi?
Labda una maswali. Au mapendekezo.
Andika katika maoni jinsi unavyopenda makala.
Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!
Katika karne ya tano KK, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Zeno wa Elea alitengeneza aporias yake maarufu, maarufu zaidi ambayo ni "Achilles na Tortoise" aporia. Hivi ndivyo inavyosikika:Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Wakati inachukua Achilles kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ...majadiliano yanaendelea hadi leo, ili kufikia maoni ya pamoja kuhusu kiini cha vitendawili jumuiya ya kisayansi hadi sasa haijawezekana... tulihusika katika utafiti wa suala hilo uchambuzi wa hisabati, kuweka nadharia, mpya ya kimwili na mbinu za kifalsafa; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Ninavyoelewa, vifaa vya hisabati Utumiaji wa vipimo vinavyobadilika ama bado haujaendelezwa, au haujatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. NA hatua ya kimwili Kwa mtazamo, inaonekana kama wakati unapungua hadi ikome kabisa wakati Achilles anapokutana na kobe. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha na kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Kaa ndani vitengo vya mara kwa mara vipimo vya wakati na usiende kwa idadi inayofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Kwa muda unaofuata, sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini sivyo suluhisho kamili Matatizo. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kwamba kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linafaa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kubaini ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja nyakati tofauti wakati, lakini umbali hauwezi kuamua kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka pointi tofauti nafasi kwa wakati mmoja kwa wakati, lakini haiwezekani kuamua ukweli wa harakati kutoka kwao (kwa kawaida, data ya ziada bado inahitajika kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia). Ninachotaka kuashiria Tahadhari maalum, ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Jumatano, Julai 4, 2018
Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.
Kama unaweza kuona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ni ngazi kuzungumza kasuku na nyani waliofunzwa, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.
Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.
Haijalishi jinsi wanahisabati hujificha nyuma ya kifungu "akili wewe, niko nyumbani", au tuseme "masomo ya hisabati dhana dhahania", kuna kitovu kimoja ambacho kinawaunganisha na ukweli. Kitovu hiki ni pesa. nadharia ya hisabati seti kwa wanahisabati wenyewe.
Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambayo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua muswada mmoja kutoka kwa kila fungu na kumpa mwanahisabati" seti ya hisabati mishahara." Tunaeleza kwa hisabati kwamba atapokea bili zilizobaki pale tu atakapothibitisha kwamba seti isiyo na vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.
Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mwanahisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa bidii: kwenye sarafu tofauti kuna kiasi tofauti matope, muundo wa kioo na mpangilio wa atomi katika kila sarafu ni wa kipekee...
Na sasa nina zaidi maslahi Uliza: mstari uko wapi zaidi ya ambayo vipengele vya multiset hugeuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.
Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.
Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."
Jumapili, Machi 18, 2018
Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndio, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya nambari za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kuwafundisha wazao wao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.
Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kutafuta ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha, kwa msaada ambao tunaandika nambari na katika lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.
Wacha tujue ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari nambari iliyopewa. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.
1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.
2. Kata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya hisabati.
3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.
4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hiyo ni hisabati.
Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hivyo, katika mifumo tofauti Katika calculus, jumla ya tarakimu za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. NA idadi kubwa 12345 Sitaki kudanganya kichwa changu, hebu tuangalie nambari ya 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.
Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.
Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.
Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.
Hisabati halisi ni nini? Hii ni wakati matokeo operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo.
Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?
Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.
Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,
Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:
Binafsi, mimi hujitahidi kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mjinga, hapana mwenye ujuzi katika fizikia. Yeye tu ana stereotype arch ya mtazamo picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.
1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Hii ni "pooping man" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.
Tabia za algebraic
Viungo
Wikimedia Foundation. 2010.
- Kumbusu polisi
- Mambo yote
Tazama "Nambari" ni nini katika kamusi zingine:
Nambari kamili za Gaussian- (Nambari za Gaussian, nambari kamili nambari ngumu) ni nambari changamano ambamo sehemu zote mbili halisi na za kuwaziwa ni nambari kamili. Ilianzishwa na Gauss mnamo 1825. Yaliyomo 1 Ufafanuzi na uendeshaji 2 Nadharia ya Mgawanyiko ... Wikipedia
KUJAZA NAMBA- V mechanics ya quantum na takwimu za quantum, nambari zinazoonyesha kiwango cha umiliki wa quantum. majimbo ya watu quantum mechanical. mifumo ya chembe nyingi zinazofanana. Kwa mifumo hc yenye msokoto wa nusu-jumla (fermions) h.z. inaweza kuchukua maana mbili tu... Ensaiklopidia ya kimwili
Nambari za jina la Zuckerman- Nambari za Zuckerman ni nambari za asili ambazo zinaweza kugawanywa na bidhaa za nambari zao. Mfano 212 ni nambari ya Zuckerman, tangu na. Mfuatano Nambari kamili kutoka 1 hadi 9 ni nambari za Zuckerman. Nambari zote ikiwa ni pamoja na sifuri sio ... ... Wikipedia
Nambari kamili za aljebra- Nambari kamili za aljebra ni mizizi changamano (na hasa halisi) ya polimanomia zenye viambajengo kamili na yenye mgawo mkuu, sawa na moja. Kuhusiana na kuongeza na kuzidisha nambari changamano, nambari kamili za aljebra ... ... Wikipedia
Nambari kamili- Nambari za Gaussian, nambari za fomu a + bi, ambapo a na b ni nambari kamili (kwa mfano, 4 7i). Inawakilishwa kijiometri na pointi za ndege changamano yenye viwianishi kamili. C.C.H ilianzishwa na K. Gauss mwaka 1831 kuhusiana na utafiti wa nadharia... ...
Nambari za Cullen- Katika hisabati, nambari za Cullen ni nambari za asili za fomu n 2n + 1 (iliyoandikwa Cn). Nambari za Cullen zilisomwa kwa mara ya kwanza na James Cullen mnamo 1905. Nambari za Cullen ni aina maalum Nambari za Prota. Mali Mnamo 1976, Christopher Hooley (Christopher... ... Wikipedia
Nambari za uhakika zisizohamishika- Nambari ya uhakika isiyobadilika ni umbizo la kuwakilisha nambari halisi katika kumbukumbu ya kompyuta kama nambari kamili. Katika hali hii, nambari x yenyewe na uwakilishi wake kamili x′ zinahusiana na fomula, ambapo z ni bei ya tarakimu ya chini kabisa. Mfano rahisi zaidi hesabu kwa... ... Wikipedia
Jaza nambari- katika mechanics ya quantum na takwimu za quantum, nambari zinazoonyesha kiwango cha kujaza majimbo ya quantum na chembe za quantum mfumo wa mitambo chembe nyingi zinazofanana (Angalia chembe zinazofanana). Kwa mfumo wa chembe chembe chembe nusu-jumla Spin... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet
Nambari za jina la Leyland- Nambari ya Leyland ni nambari asilia, inayowakilishwa kama xy + yx, ambapo x na y ni nambari kamili zaidi ya 1. Nambari 15 za kwanza za Leyland ni: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 mlolongo A076980 katika OEIS.... ... Wikipedia
Nambari kamili za aljebra- nambari ambazo ni mizizi ya milinganyo ya fomu xn + a1xn 1 +... + an = 0, ambapo a1,..., ni nambari kamili nambari za busara. Kwa mfano, x1 = 2 + C. a. h., tangu x12 4x1 + 1 = 0. Nadharia ya C. a. h. iliibuka katika miaka 30 40. Karne ya 19 kuhusiana na utafiti wa K....... Encyclopedia kubwa ya Soviet
Vitabu
- Hesabu: Nambari kamili. Juu ya mgawanyiko wa nambari. Upimaji wa kiasi. Mfumo wa kipimo wa hatua. Kawaida, Kiselev, Andrey Petrovich. Wasomaji wanaalikwa kusoma kitabu na mtu bora mwalimu wa nyumbani na hisabati na A.P. Kiseleva (1852-1940), iliyo na kozi ya utaratibu katika hesabu. Kitabu hiki kina sehemu sita.…