Seti mbonyeo ya pointi kwenye ndege.
Pointi nyingi kwenye ndege au ndani nafasi tatu-dimensional kuitwa mbonyeo, ikiwa pointi zozote mbili za seti hii zinaweza kuunganishwa na sehemu ya mstari ambayo iko kabisa katika seti hii.
Nadharia 1. Makutano nambari ya mwisho ya seti mbonyeo ni seti mbonyeo.
Matokeo. Makutano ya idadi ya kikomo ya seti mbonyeo ni seti mbonyeo.
Pointi za kona.
Sehemu ya mpaka seti ya convex kuitwa angular, ikiwa inawezekana kuteka sehemu kwa njia hiyo, pointi zote ambazo si za seti iliyotolewa.
Seti za maumbo tofauti zinaweza kuwa na mwisho au nambari isiyo na kikomo pointi za kona.
Poligoni mbonyeo.
Poligoni kuitwa mbonyeo, ikiwa iko upande mmoja wa kila mstari ulionyooka unaopita katika sehemu mbili zake vilele vya jirani.
Nadharia: Jumla ya pembe mbonyeo n-gon sawa na 180˚ *(n-2)
6) Suluhisho la mifumo m usawa wa mstari yenye vigezo viwili
Kwa kuzingatia mfumo wa usawa wa mstari na vigezo viwili
Dalili za baadhi au tofauti zote zinaweza kuwa ≥.
Wacha tuzingatie usawa wa kwanza katika mfumo wa kuratibu wa X1OX2. Hebu tujenge mstari ulionyooka
ambayo ni mstari wa mpaka.
Mstari huu wa moja kwa moja hugawanya ndege katika nusu-ndege mbili 1 na 2 (Mchoro 19.4).
Nusu ya ndege 1 ina asili, nusu ya ndege 2 haina asili.
Kuamua ni upande gani wa mstari wa mpaka ndege ya nusu iliyopewa iko, unahitaji kuchukua hatua ya kiholela kwenye ndege (ikiwezekana asili) na ubadilishe kuratibu za hatua hii kwa usawa. Ikiwa kukosekana kwa usawa ni kweli, basi nusu-ndege inakabiliwa na hatua hii; ikiwa si kweli, basi katika mwelekeo kinyume na uhakika.
Mwelekeo wa ndege ya nusu unaonyeshwa kwenye takwimu na mshale.
Ufafanuzi wa 15. Suluhisho la kila usawa wa mfumo ni ndege ya nusu iliyo na mstari wa mpaka na iko upande mmoja wake.
Ufafanuzi wa 16. Makutano ya nusu ya ndege, ambayo kila mmoja imedhamiriwa na usawa unaofanana wa mfumo, inaitwa uwanja wa ufumbuzi wa mfumo (SO).
Ufafanuzi 17. Eneo la suluhisho la mfumo linalokidhi masharti ya kutokuwa hasi (xj ≥ 0, j =) linaitwa eneo la suluhu zisizo hasi, au zinazokubalika (ADS).
Ikiwa mfumo wa kutofautiana ni thabiti, basi OR na ODR inaweza kuwa polyhedron, kanda ya polyhedral isiyo na mipaka, au hatua moja.
Ikiwa mfumo wa usawa haufanani, basi OR na ODR ni seti tupu.
Mfano 1. Pata AU na ODE ya mfumo wa kutofautiana na kuamua kuratibu za pointi za kona za ODE.
Suluhisho. Hebu tupate AU ya usawa wa kwanza: x1 + 3x2 ≥ 3. Hebu tujenge mstari wa mpaka x1 + 3x2 - 3 = 0 (Mchoro 19.5). Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta (0,0) kwa ukosefu wa usawa: 1∙0 + 3∙0 > 3; kwa kuwa kuratibu za uhakika (0,0) hazikidhi, basi suluhisho la kutofautiana (19.1) ni nusu ya ndege ambayo haina uhakika (0,0).
Hebu vivyo hivyo tutafute ufumbuzi wa kutofautiana kwa mfumo uliobaki. Tunapata kwamba AU na ODE ya mfumo wa kukosekana kwa usawa ni polihedron mbonyeo ABCD.
Tutapata pointi za kona polihedroni. Tunafafanua nukta A kama sehemu ya makutano ya mistari
Kutatua mfumo, tunapata A(3/7, 6/7).
Tunapata nukta B kama sehemu ya makutano ya mistari
Kutoka kwa mfumo tunapata B (5/3, 10/3). Vile vile, tunapata kuratibu za pointi C na D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Mfano 2. Tafuta AU na ODE ya mfumo wa kutofautiana
Suluhisho. Hebu tutengeneze mistari iliyonyooka na tuamue masuluhisho ya ukosefu wa usawa (19.5)-(19.7). AU na ODR ni mikoa ya polihedral isiyo na mipaka ACFM na ABDEKM, kwa mtiririko huo (Mchoro 19.6).
Mfano 3. Tafuta AU na ODE ya mfumo wa kutofautiana
Suluhisho. Hebu tutafute ufumbuzi wa kutofautiana (19.8) - (19.10) (Mchoro 19.7). AU inawakilisha eneo lisilo na kikomo la polihedra ABC; ODR - uhakika B.
Mfano 4. Pata OP na ODP ya mfumo wa kutofautiana
Suluhisho. Kwa kujenga mistari ya moja kwa moja, tutapata ufumbuzi wa kutofautiana kwa mfumo. AU na ODR haziendani (Mchoro 19.8).
MAZOEZI
Tafuta AU na ODE ya mifumo ya kukosekana kwa usawa
Nadharia. Ikiwa xn ® a, basi .
Ushahidi. Kutoka kwa xn ® a inafuata kwamba . Wakati huo huo:
, i.e. , i.e. . Nadharia imethibitishwa.
Nadharia. Ikiwa xn ® a, basi mlolongo (xn) umefungwa.
Ikumbukwe kwamba taarifa ya mazungumzo sio kweli, i.e. mipaka ya mfuatano haimaanishi muunganiko wake.
Kwa mfano, mlolongo 
haina kikomo ingawa
Upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati.
Upanuzi wa kazi katika mfululizo wa nguvu Ina umuhimu mkubwa kwa ufumbuzi kazi mbalimbali utafiti wa kazi, tofauti, ushirikiano, ufumbuzi milinganyo tofauti, hesabu ya mipaka, hesabu ya takriban maadili ya chaguo la kukokotoa.
Ufafanuzi 1. Mstari uliovunjika unaitwa mlolongo wa mwisho sehemu, kama kwamba moja ya ncha za sehemu ya kwanza hutumika kama mwisho wa pili, mwisho mwingine wa sehemu ya pili hutumika kama mwisho wa tatu, nk.
Sehemu zinazounda mstari uliovunjika, huitwa viungo. Sehemu za karibu hazilala kwenye mstari sawa sawa. Ikiwa mwisho wa mstari uliovunjika unapatana, basi inaitwa imefungwa. Polyline inaweza kuingiliana yenyewe, kugusa yenyewe, na kupumzika yenyewe. Ikiwa mstari uliovunjika hauna vipengele vile, basi huitwa rahisi.
Ufafanuzi 2. Mstari rahisi uliovunjika uliofungwa pamoja na sehemu ya ndege iliyofungwa nayo inaitwa poligoni.
Mstari uliovunjika yenyewe huitwa mpaka wa poligoni, viungo vya mstari uliovunjika huitwa vyama poligoni, miisho ya viungo ni vipeo vya poligoni. Pande mbili zinazokaribiana za poligoni huunda pembe. Idadi ya pembe katika poligoni ni sawa na idadi ya pande. Kila poligoni ina pembe chini ya 180°. Pande na pembe za poligoni huitwa vipengele poligoni.
Sehemu ya mstari inayounganisha wima mbili zisizo karibu za poligoni inaitwa diagonal. N-gon yoyote inaweza kuwa na diagonal n-2.
Ufafanuzi 3. Poligoni inaitwa mbonyeo, ikiwa iko upande mmoja wa kila mstari ulio na upande wake. Poligoni ambazo hazifikii hali hii huitwa non-convex.
Sifa za poligoni mbonyeo.
Mali 1. Poligoni mbonyeo ina pembe zote chini ya 180°.
Uthibitisho: Chukua pembe yoyote A ya poligoni mbonyeo P na upande wake unaotoka kwenye kipeo A. Acha niwe mstari wa moja kwa moja ulio na upande a. Kwa kuwa poligoni P ni laini, iko upande mmoja wa mstari l. Kwa hiyo, angle A iko upande mmoja wa mstari wa moja kwa moja l. Kwa hivyo, pembe A ni chini ya ile iliyofunuliwa, yaani ÐA< 180°.
Mali 2. Sehemu ya mstari inayounganisha nukta zozote mbili za poligoni mbonyeo iko kwenye poligoni hiyo.
Uthibitisho: Chukua pointi zozote mbili M na N za poligoni mbonyeo P. Poligoni P ni makutano ya nusu-ndege kadhaa. Sehemu ya MN iko katika kila moja ya nusu-ndege hizi. Kwa hivyo, pia iko kwenye poligoni R.
Mali 3. Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo ni (n – 2)∙180°.
Uthibitisho: Chukua sehemu ya kiholela O ndani ya poligoni mbonyeo P na uiunganishe na vipeo vyote vya poligoni. Pembetatu za N huundwa, jumla ya pembe za kila moja ambayo ni 180 °. Pembe kwenye kipeo O huongeza hadi 360° = 2∙180°. Kwa hiyo, jumla ya pembe za poligoni ni n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Dhana ya parallelogram. Tabia za parallelogram.
Ufafanuzi 1. pembe nne, pande tofauti ambayo ni sambamba kwa pande mbili inaitwa parallelogram.
Kila parallelogram ina wima nne, pande nne, na pembe nne. Pande mbili zenye miisho ya kawaida, zinaitwa karibu. Kila parallelogram ina diagonals mbili - makundi ya kuunganisha vipeo vya kinyume parallelogram. Jumla ya pembe za parallelogram ni 360 °.
Tabia za parallelogram.
Mali 1. Paralelogramu ina pande tofauti sawa na pembe za kinyume sawa kwa jozi.
Uthibitisho: Wacha tuchore AC ya ulalo. AC - jumla;
РВАС = РАСD (njia ya ndani ya uongo kwenye AB II BC na secant AC);
РВСА = РСАD (njia ya ndani imelala AD II BC na secant AC);
Þ DABC = DADC (kulingana na sifa 2).
AB = CD; BC = AD; РВ = RD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
Mali 2. Katika parallelogram, pembe zilizo karibu na upande mmoja huongeza hadi 180 °.
Uthibitisho:
РВ + РА =180 ° (ndani ya upande mmoja na BC II AD na secant AB).
ÐB + ÐС =180° (ndani ya upande mmoja na CD ya AB II na secant BC).
ÐD + ÐC =180° (ndani ya upande mmoja na BC II AD na CD secant).
ÐA + ÐD =180° (ya ndani ya upande mmoja yenye CD ya AB II na AD ya secant).
Mali 3. Ulalo wa parallelogram umegawanywa katika nusu na hatua ya makutano.
Uthibitisho: Wacha tuchore diagonal AC na BD zinazopishana kwa uhakika O.
AB = CD (kulingana na parallelogram ya kwanza);
ÐABO = ÐODC (njia ya ndani inalala kwenye CD ya AB II na BD iliyopungua);
РБАО = РОСD (msalaba wa ndani wa uongo kwenye AB II CD na secant AC);
Þ DABO = DODC (kulingana na sifa 2).
BO = OD; AO = OC.
Ishara za parallelogram.
Ishara 1. Ikiwa pande mbili za quadrilateral ni sawa na sambamba, basi quadrilateral ni parallelogram.
Imetolewa: ABCD - quadrilateral; AD II KK,
Katika somo hili tutaanza mada mpya na kuanzisha dhana mpya kwa ajili yetu: "poligoni". Tutaangalia dhana za msingi zinazohusiana na poligoni: pande, pembe za vertex, convexity na nonconvexity. Kisha tutathibitisha ukweli muhimu zaidi kama vile nadharia ya jumla pembe za ndani poligoni, nadharia ya jumla pembe za nje poligoni. Kama matokeo, tutakaribia kusoma kesi maalum za polygons, ambazo zitazingatiwa katika masomo zaidi.
Mada: Quadrilaterals
Somo: Poligoni
Katika kozi ya jiometri, tunasoma mali ya takwimu za kijiometri na tayari tumechunguza rahisi zaidi yao: pembetatu na miduara. Wakati huo huo, tulijadili pia kesi maalum za takwimu hizi, kama vile kulia, isosceles na pembetatu za kawaida. Sasa ni wakati wa kuzungumza juu ya jumla zaidi na takwimu tata - poligoni.
Na kesi maalum poligoni tayari tumezoea - hii ni pembetatu (tazama Mchoro 1).
Mchele. 1. Pembetatu
Jina yenyewe tayari linasisitiza kwamba hii ni takwimu yenye pembe tatu. Kwa hivyo, katika poligoni kunaweza kuwa na wengi wao, i.e. zaidi ya watatu. Kwa mfano, hebu tuchore pentagon (angalia Mchoro 2), i.e. takwimu yenye pembe tano.
Mchele. 2. Pentagon. Poligoni mbonyeo
Ufafanuzi.Poligoni- takwimu inayojumuisha pointi kadhaa (zaidi ya mbili) na idadi inayolingana ya makundi ambayo huunganisha kwa mlolongo. Pointi hizi zinaitwa vilele poligoni, na sehemu ni vyama. Katika kesi hii, hakuna pande mbili za karibu ziko kwenye mstari sawa na hakuna pande mbili zisizo karibu zinazoingiliana.
Ufafanuzi.Polygon ya kawaida-Hii poligoni mbonyeo, ambayo pande zote na pembe ni sawa.
Yoyote poligoni hugawanya ndege katika maeneo mawili: ndani na nje. Eneo la ndani pia linajulikana kama poligoni.
Kwa maneno mengine, kwa mfano, wanapozungumza juu ya pentagon, wanamaanisha mkoa wake wote wa ndani na mpaka wake. Na kanda ya ndani inajumuisha pointi zote ambazo ziko ndani ya poligoni, i.e. hatua pia inahusu pentagon (tazama Mchoro 2).
Poligoni pia wakati mwingine huitwa n-gons ili kusisitiza kwamba kesi ya jumla ya kuwepo kwa baadhi ya idadi isiyojulikana ya pembe (n vipande) inazingatiwa.
Ufafanuzi. Mzunguko wa poligoni- jumla ya urefu wa pande za poligoni.
Sasa tunahitaji kufahamiana na aina za poligoni. Wamegawanywa katika mbonyeo Na yasiyo ya convex. Kwa mfano, poligoni iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 2 ni mbonyeo, na katika Mtini. 3 zisizo mbonyeo.
Mchele. 3. Poligoni isiyo na mbonyeo
Ufafanuzi 1. Poligoni kuitwa mbonyeo, ikiwa wakati wa kuchora mstari wa moja kwa moja kupitia pande zake yoyote, nzima poligoni iko upande mmoja tu wa mstari huu ulionyooka. Isiyo na mbonyeo ni wengine wote poligoni.
Ni rahisi kufikiria kwamba wakati wa kupanua upande wowote wa pentagon kwenye Mtini. 2 yote yatakuwa upande mmoja wa mstari huu ulionyooka, i.e. ni mbonyeo. Lakini wakati wa kuchora mstari wa moja kwa moja kupitia quadrilateral kwenye Mtini. 3 tayari tunaona kwamba inaigawanya katika sehemu mbili, i.e. sio mbonyeo.
Lakini kuna ufafanuzi mwingine wa ubadilishaji wa poligoni.
Ufafanuzi 2. Poligoni kuitwa mbonyeo, ikiwa wakati wa kuchagua pointi zake mbili za mambo ya ndani na kuziunganisha na sehemu, pointi zote za sehemu pia ni pointi za ndani za poligoni.
Maonyesho ya matumizi ya ufafanuzi huu yanaweza kuonekana katika mfano wa kuunda sehemu kwenye Mtini. 2 na 3.
Ufafanuzi. Ulalo ya poligoni ni sehemu yoyote inayounganisha wima mbili zisizo karibu.
Ili kuelezea mali ya poligoni, kuna mbili nadharia muhimu zaidi kuhusu pembe zao: nadharia juu ya jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo Na nadharia juu ya jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo. Hebu tuwaangalie.
Nadharia. Kwa jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo (n-gonjwa).
Iko wapi idadi ya pembe zake (pande).
Uthibitisho 1. Hebu tuonyeshe kwenye Mtini. 4 mbonyeo n-gon.
Mchele. 4. Convex n-gon
Kutoka kwa vertex tunachora diagonal zote zinazowezekana. Wanagawanya n-gon katika pembetatu, kwa sababu kila pande za poligoni huunda pembetatu, isipokuwa kwa pande zilizo karibu na vertex. Ni rahisi kuona kutoka kwa takwimu kwamba jumla ya pembe za pembetatu hizi zote zitakuwa sawa na jumla ya pembe za ndani za n-gon. Kwa kuwa jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni , basi jumla ya pembe za ndani za n-gon ni:
Q.E.D.
Uthibitisho wa 2. Uthibitisho mwingine wa nadharia hii inawezekana. Wacha tuchore n-gon sawa kwenye Mtini. 5 na uunganishe sehemu zake zozote za ndani na wima zote.
Mchele. 5.
Tumepata kizigeu cha n-gon katika pembetatu n (pande nyingi kama kuna pembetatu). Jumla ya pembe zao zote ni sawa na jumla ya pembe za ndani za poligoni na jumla ya pembe katika hatua ya ndani, na hii ndiyo pembe. Tuna:
Q.E.D.
Imethibitishwa.
Kulingana na nadharia iliyothibitishwa, ni wazi kwamba jumla ya pembe za n-gon inategemea idadi ya pande zake (n). Kwa mfano, katika pembetatu, na jumla ya pembe ni. Katika quadrilateral, na jumla ya pembe ni, nk.
Nadharia. Kwa jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo (n-gonjwa).
Iko wapi idadi ya pembe zake (pande), na , ..., ni pembe za nje.
Ushahidi. Wacha tuonyeshe n-gon mbonyeo kwenye Mtini. 6 na kuteua pembe zake za ndani na nje.
Mchele. 6. Convex n-gon yenye pembe za nje zilizoteuliwa
Kwa sababu Kona ya nje imeunganishwa na ile ya ndani iliyo karibu, basi 
na vile vile kwa pembe za nje zilizobaki. Kisha:
Wakati wa mabadiliko, tulitumia nadharia iliyothibitishwa tayari kuhusu jumla ya pembe za ndani za n-gon.
Imethibitishwa.
Kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa inafuata ukweli wa kuvutia, kwamba jumla ya pembe za nje za n-gon ni sawa na 
kwa idadi ya pembe zake (pande). Kwa njia, tofauti na jumla ya pembe za ndani.
Bibliografia
- Alexandrov A.D. na wengine Jiometri, daraja la 8. - M.: Elimu, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Jiometri, daraja la 8. - M.: Elimu, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Jiometri, daraja la 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Kazi ya nyumbani
Maumbo haya ya kijiometri yanatuzunguka kila mahali. Poligoni mbonyeo inaweza kuwa ya asili, kama vile sega la asali, au bandia (iliyotengenezwa na mwanadamu). Takwimu hizi hutumiwa katika uzalishaji aina mbalimbali mipako, katika uchoraji, usanifu, mapambo, nk. Poligoni mbonyeo zina sifa ambayo alama zao zote ziko upande mmoja wa mstari ambao hupitia jozi ya vipeo vya karibu vya hii. takwimu ya kijiometri. Kuna ufafanuzi mwingine. Poligoni mbonyeo ni ile ambayo iko katika nusu-ndege moja inayohusiana na mstari wowote ulionyooka ulio na moja ya pande zake.
Najua jiometri ya msingi daima huzingatiwa pekee poligoni rahisi. Ili kuelewa mali yote ya vile, ni muhimu kuelewa asili yao. Kwanza, unapaswa kuelewa kwamba mstari wowote ambao mwisho wake unafanana unaitwa kufungwa. Kwa kuongezea, takwimu inayoundwa nayo inaweza kuwa na usanidi anuwai. Poligoni ni laini iliyovunjika iliyofungwa ambayo viungo vya jirani haviko kwenye mstari sawa sawa. Viungo vyake na wima ni, kwa mtiririko huo, pande na wima za takwimu hii ya kijiometri. Polyline rahisi haipaswi kuwa na makutano ya kibinafsi.
Vipeo vya poligoni huitwa karibu ikiwa vinawakilisha ncha za moja ya pande zake. Kielelezo cha kijiometri ambacho kina nambari ya nth vilele, na kwa hivyo kiasi cha nth pande inaitwa n-gon. Mstari uliovunjika yenyewe huitwa mpaka au contour ya takwimu hii ya kijiometri. Ndege yenye pembe nyingi au poligoni bapa ni sehemu ya mwisho ya ndege yoyote iliyopakana nayo. Pande za karibu za takwimu hii ya kijiometri ni sehemu za mstari uliovunjika unaotoka kwenye vertex moja. Hazitakuwa karibu ikiwa zinatoka kwa wima tofauti za poligoni.
Ufafanuzi mwingine wa polygons convex
Katika jiometri ya msingi, kuna ufafanuzi kadhaa zaidi sawa katika maana, kuonyesha ni poligoni ipi inaitwa convex. Aidha, michanganyiko hii yote katika kwa kiwango sawa ni kweli. Polygon inachukuliwa kuwa laini ikiwa:
Kila sehemu inayounganisha pointi mbili ndani yake iko ndani yake kabisa;
Mishale yake yote iko ndani yake;
Pembe yoyote ya ndani haizidi 180 °.
Poligoni kila mara hugawanya ndege katika sehemu 2. Mmoja wao ni mdogo (inaweza kufungwa kwenye mduara), na nyingine haina ukomo. Ya kwanza inaitwa kanda ya ndani, na ya pili ni eneo la nje la takwimu hii ya kijiometri. Poligoni hii ni makutano (kwa maneno mengine, sehemu ya kawaida) ya nusu-ndege kadhaa. Zaidi ya hayo, kila sehemu ambayo ina mwisho kwa pointi ambazo ni za poligoni kabisa ni yake.
Aina za polygons convex
Ufafanuzi wa poligoni mbonyeo hauonyeshi kuwa kuna aina nyingi. Aidha, kila mmoja wao ana vigezo fulani. Kwa hivyo, poligoni mbonyeo ambazo zina pembe ya ndani sawa na 180° huitwa umbonyeo dhaifu. Kielelezo cha kijiometri kilichobonyea ambacho kina vipeo vitatu huitwa pembetatu, nne - pembe nne, tano - pentagoni, n.k. Kila moja ya n-gons mbonyeo hukutana na mahitaji muhimu zaidi yafuatayo: n lazima iwe sawa na au zaidi ya 3. Kila moja ya pembetatu ni mbonyeo. Kielelezo cha kijiometri wa aina hii, zote ambazo wima ziko kwenye duara moja huitwa kuandikwa kwenye duara. Poligoni mbonyeo huitwa kuzunguka ikiwa pande zake zote karibu na duara zitaigusa. Poligoni mbili zinasemekana kuwa na mshikamano ikiwa tu zinaweza kuletwa pamoja na nafasi kubwa zaidi. Poligoni ya ndege ni ndege ya poligonal (sehemu ya ndege) ambayo imepunguzwa na takwimu hii ya kijiometri.
Poligoni mbonyeo za kawaida
Poligoni za kawaida ni takwimu za kijiometri zilizo na pembe sawa na vyama. Ndani yao kuna hatua 0, ambayo iko katika umbali sawa kutoka kwa kila wima yake. Inaitwa katikati ya takwimu hii ya kijiometri. Sehemu zinazounganisha katikati na wima za takwimu hii ya kijiometri huitwa apothems, na zile zinazounganisha hatua 0 na pande ni radii.
Aquadrilateral ya kawaida ni mraba. Pembetatu ya kawaida inayoitwa equilateral. Kwa takwimu kama hizo, kuna sheria ifuatayo: kila pembe ya poligoni mbonyeo ni sawa na 180° * (n-2)/ n,
ambapo n ni idadi ya vipeo vya takwimu hii ya kijiometri iliyobonyea.
Eneo la yoyote poligoni ya kawaida imedhamiriwa na formula:
ambapo p ni sawa na nusu ya jumla ya pande zote za poligoni fulani, na h ni sawa na urefu wa apothemu.
Sifa za poligoni mbonyeo
Poligoni mbonyeo zina mali fulani. Kwa hivyo, sehemu inayounganisha pointi 2 za takwimu hiyo ya kijiometri ni lazima iko ndani yake. Uthibitisho:
Wacha tufikirie kuwa P ni poligoni mbonyeo iliyopewa. Chukua 2 pointi holela, kwa mfano, A, B, ambayo ni ya R. Po ufafanuzi uliopo ya poligoni mbonyeo, pointi hizi ziko upande mmoja wa mstari, ambao una upande wowote P. Kwa hivyo, AB pia ina mali hii na iko katika P. A poligoni mbonyeo inaweza kugawanywa katika pembetatu kadhaa kwa diagonal zote ambazo hutolewa kutoka kwa moja ya wima zake.
Pembe za maumbo ya kijiometri ya convex
Pembe za poligoni mbonyeo ni pembe zinazoundwa na pande zake. Pembe za ndani ziko katika eneo la ndani la takwimu ya kijiometri iliyopewa. Pembe inayoundwa na pande zake zinazokutana kwenye kipeo kimoja inaitwa pembe ya poligoni mbonyeo. na pembe za ndani za takwimu ya kijiometri iliyopewa huitwa nje. Kila pembe ya poligoni mbonyeo iliyoko ndani yake ni sawa na:
ambapo x ni saizi ya pembe ya nje. Hii formula rahisi inatumika kwa takwimu yoyote ya kijiometri ya aina hii.
KATIKA kesi ya jumla, kwa pembe za nje kuna kufuata kanuni: Kila pembe ya poligoni mbonyeo ni sawa na tofauti kati ya 180° na ukubwa wa pembe ya ndani. Inaweza kuwa na maadili kutoka -180 ° hadi 180 °. Kwa hiyo, wakati angle ya ndani ni 120 °, angle ya nje itakuwa 60 °.
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo
Jumla ya pembe za ndani za poligoni mbonyeo imedhamiriwa na fomula:
ambapo n ni idadi ya wima ya n-gon.
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo huhesabiwa kwa urahisi kabisa. Fikiria takwimu yoyote ya kijiometri. Kuamua jumla ya pembe ndani ya poligoni mbonyeo, unahitaji kuunganisha moja ya vipeo vyake na vipeo vingine. Kama matokeo ya hatua hii, pembetatu (n-2) hupatikana. Inajulikana kuwa jumla ya pembe za pembetatu yoyote daima ni sawa na 180 °. Kwa kuwa idadi yao katika poligoni yoyote ni (n-2), jumla ya pembe za ndani za takwimu hiyo ni sawa na 180 ° x (n-2).
Jumla ya pembe za poligoni mbonyeo, yaani pembe zozote mbili za nje za ndani na zilizo karibu, kwa mchoro fulani wa kijiometri uliotolewa daima utakuwa sawa na 180°. Kulingana na hili, tunaweza kuamua jumla ya pembe zake zote:
Jumla ya pembe za ndani ni 180 ° * (n-2). Kwa msingi wa hii, jumla ya pembe zote za nje za takwimu fulani imedhamiriwa na formula:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Jumla ya pembe za nje za poligoni mbonyeo yoyote daima itakuwa 360° (bila kujali idadi ya pande).
Pembe ya nje ya poligoni mbonyeo kwa ujumla inawakilishwa na tofauti kati ya 180° na thamani ya pembe ya ndani.
Sifa zingine za poligoni mbonyeo
Mbali na mali ya msingi ya maumbo haya ya kijiometri, pia wana wengine wanaojitokeza wakati wa kuwadanganya. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza kugawanywa katika n-gons kadhaa za convex. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuendelea kila pande zake na kukata takwimu hii ya kijiometri pamoja na mistari hii ya moja kwa moja. Inawezekana pia kugawanya poligoni yoyote katika sehemu kadhaa za mbonyeo kwa njia ambayo vipeo vya kila kipande vinapatana na vipeo vyake vyote. Kutoka kwa takwimu kama hiyo ya kijiometri, unaweza kutengeneza pembetatu kwa urahisi kwa kuchora diagonal zote kutoka kwa vertex moja. Kwa hivyo, poligoni yoyote inaweza hatimaye kugawanywa katika idadi fulani ya pembetatu, ambayo inageuka kuwa muhimu sana katika kutatua matatizo mbalimbali yanayohusiana na takwimu hizo za kijiometri.
Mzunguko wa poligoni mbonyeo
Sehemu za mstari zilizovunjika, zinazoitwa pande za poligoni, mara nyingi huonyeshwa na herufi zifuatazo: ab, bc, cd, de, ea. Hizi ni pande za takwimu za kijiometri na wima a, b, c, d, e. Jumla ya urefu wa pande zote za poligoni hii mbonyeo inaitwa mzunguko wake.
Mzunguko wa poligoni
Poligoni mbonyeo zinaweza kuandikwa au kuzungushwa. Mduara unaogusa pande zote za takwimu hii ya kijiometri inaitwa iliyoandikwa ndani yake. Poligoni kama hiyo inaitwa circumscribed. Katikati ya mduara ambayo imeandikwa katika poligoni ni hatua ya makutano ya vipande viwili vya pembe zote ndani ya takwimu fulani ya kijiometri. Eneo la poligoni vile ni sawa na:
ambapo r ni radius ya duara iliyoandikwa, na p ni nusu ya mzunguko wa poligoni iliyotolewa.
Mduara ulio na vipeo vya poligoni huitwa kuzunguka juu yake. Katika kesi hii, takwimu hii ya kijiometri ya convex inaitwa iliyoandikwa. Katikati ya duara, ambayo imeelezewa karibu na poligoni kama hiyo, ni sehemu ya makutano ya kinachojulikana kama sehemu za pande zote za pande zote.
Ulalo wa maumbo ya kijiometri ya convex
Milalo ya poligoni mbonyeo ni sehemu zinazounganisha wima zisizo karibu. Kila mmoja wao amelala ndani ya takwimu hii ya kijiometri. Idadi ya diagonal ya n-gon kama hiyo imedhamiriwa na formula:
N = n (n - 3)/ 2.
Idadi ya diagonal za poligoni mbonyeo hucheza jukumu muhimu katika jiometri ya msingi. Idadi ya pembetatu (K) ambayo kila poligoni mbonyeo inaweza kugawanywa inakokotolewa kwa kutumia fomula ifuatayo:
Idadi ya diagonal ya poligoni mbonyeo daima inategemea idadi ya vipeo vyake.
Kugawanya poligoni mbonyeo
Katika baadhi ya matukio, kutatua matatizo ya kijiometri ni muhimu kugawanya poligoni convex katika pembetatu kadhaa na diagonals disjoint. Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa kupata fomula fulani.
Ufafanuzi wa tatizo: hebu tuita sahihi kizigeu fulani cha n-gon mbonyeo ndani ya pembetatu kadhaa na diagonal zinazoingiliana tu kwenye vipeo vya takwimu hii ya kijiometri.
Suluhisho: Tuseme kwamba P1, P2, P3..., Pn ni wima za n-gon hii. Nambari ya Xn ni nambari ya sehemu zake. Hebu tuchunguze kwa makini diagonal inayosababisha ya takwimu ya kijiometri Pi Pn. Katika yoyote ya partitions sahihiР1 Pn ni ya pembetatu fulani Р1 Pi Pn, ambayo ina 1 Hebu i = 2 kuwa kundi moja la partitions mara kwa mara, daima zenye diagonal P2 Pn. Idadi ya partitions ambayo ni pamoja na ndani yake sanjari na idadi ya partitions ya (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1. Ikiwa i = 3, basi kikundi hiki kingine cha partitions kitakuwa na diagonals P3 P1 na P3 Pn. Katika kesi hii, idadi ya partitions mara kwa mara zilizomo katika kundi hili itakuwa sanjari na idadi ya partitions ya (n-2)-gon P3 P4... Pn. Kwa maneno mengine, itakuwa sawa na Xn-2. Hebu i = 4, basi kati ya pembetatu ugawaji sahihi hakika utakuwa na pembetatu P1 P4 Pn, ambayo itakuwa karibu na quadrilateral P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn. Idadi ya sehemu za kawaida za pembetatu kama hiyo ni X4, na idadi ya sehemu za (n-3) -gon ni Xn-3. Kulingana na yote yaliyo hapo juu, tunaweza kusema kwamba jumla ya sehemu za kawaida zilizomo katika kikundi hiki ni sawa na Xn-3 X4. Makundi mengine ambayo i = 4, 5, 6, 7 ... yatakuwa na Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... partitions mara kwa mara. Acha i = n-2, basi idadi ya sehemu sahihi katika kikundi hiki itaambatana na idadi ya sehemu kwenye kikundi ambacho i = 2 (kwa maneno mengine, sawa na Xn-1). Kwa kuwa X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., basi idadi ya sehemu zote za poligoni mbonyeo ni sawa na: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Wakati wa kuangalia kesi fulani, mtu anaweza kuja kwa dhana kwamba idadi ya diagonal ya convex n-gons ni sawa na bidhaa ya partitions zote za takwimu hii ndani (n-3). Uthibitisho wa dhana hii: fikiria kwamba P1n = Xn * (n-3), basi n-gon yoyote inaweza kugawanywa katika (n-2)-pembetatu. Zaidi ya hayo, (n-3) -quadrangle inaweza kuundwa kutoka kwao. Pamoja na hili, kila quadrilateral itakuwa na diagonal. Kwa kuwa diagonal mbili zinaweza kuchora katika takwimu hii ya kijiometri ya convex, hii ina maana kwamba diagonal za ziada (n-3) zinaweza kuchora katika yoyote (n-3) -quadrilaterals. Kulingana na hili, tunaweza kuhitimisha kuwa katika ugawaji wowote wa kawaida inawezekana kuteka (n-3) -diagonals zinazofikia masharti ya tatizo hili. Mara nyingi, wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ya jiometri ya msingi, inakuwa muhimu kuamua eneo la polygon ya convex. Tuseme kwamba (Xi. Yi), i = 1,2,3... n ni mlolongo wa viwianishi vya wima zote za jirani za poligoni ambayo haina makutano ya kibinafsi. Katika kesi hii, eneo lake linahesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), wapi (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Dhana ya poligoni Ufafanuzi 1 Poligoni ni takwimu ya kijiometri katika ndege, ambayo inajumuisha makundi yaliyounganishwa kwa jozi, wale walio karibu hawana uongo kwenye mstari sawa sawa. Katika kesi hii, sehemu zinaitwa pande za poligoni, na mwisho wao - vipeo vya poligoni. Ufafanuzi 2 $n$-gon ni poligoni yenye wima $n$. Ufafanuzi 3 Ikiwa poligoni daima iko upande huo wa mstari wowote unaopita kwenye pande zake, basi poligoni inaitwa mbonyeo(Mchoro 1). Kielelezo 1. Poligoni mbonyeo Ufafanuzi 4 Ikiwa poligoni iko kwenye pande tofauti za angalau mstari mmoja ulionyooka unaopitia pande zake, basi poligoni inaitwa non-convex (Mchoro 2). Kielelezo 2. Poligoni isiyo na convex Wacha tuanzishe nadharia juu ya jumla ya pembe za pembetatu. Nadharia 1 Jumla ya pembe za pembetatu ya convex imedhamiriwa kama ifuatavyo \[(n-2)\cdot (180)^0\] Ushahidi. Hebu tupewe poligoni mbonyeo $A_1A_2A_3A_4A_5\doti A_n$. Hebu tuunganishe kipeo chake $A_1$ na vipeo vingine vyote vya poligoni hii (Mchoro 3). Kielelezo cha 3. Kwa muunganisho huu tunapata pembetatu $n-2$. Kwa muhtasari wa pembe zao tunapata jumla ya pembe za -gon iliyotolewa. Kwa kuwa jumla ya pembe za pembetatu ni sawa na $(180)^0,$ tunapata kwamba jumla ya pembe za pembetatu mbonyeo huamuliwa na fomula. \[(n-2)\cdot (180)^0\] Nadharia imethibitishwa. Kwa kutumia ufafanuzi wa $2$, ni rahisi kutambulisha ufafanuzi wa pembe nne. Ufafanuzi 5 Upande wa nne ni poligoni yenye wima $4$ (Mchoro 4). Kielelezo 4. Quadrangle Kwa pembe nne, dhana za quadrilateral ya convex na quadrilateral isiyo ya convex hufafanuliwa vile vile. Mifano ya classic ya quadrilaterals convex ni mraba, mstatili, trapezoid, rhombus, parallelogram (Mchoro 5). Mchoro wa 5. Upande wa nne wa convex Nadharia 2 Jumla ya pembe za pembe nne mbonyeo ni $(360)^0$ Ushahidi. Kwa nadharia $1$, tunajua kuwa jumla ya pembe za convex -gon huamuliwa na fomula. \[(n-2)\cdot (180)^0\] Kwa hiyo, jumla ya pembe za quadrilateral ya convex ni sawa na \[\kushoto(4-2\kulia)\cdot (180)^0=(360)^0\] Nadharia imethibitishwa.Idadi ya partitions za kawaida zinazokatiza diagonal moja ndani
Eneo la polygons convex
Aina za polygons
Jumla ya pembe za poligoni
Dhana ya quadrilateral
