Mada "maendeleo ya hesabu" inasomwa katika kozi ya jumla ya algebra katika shule za daraja la 9. Mada hii ni muhimu kwa utafiti wa kina zaidi wa hisabati ya mfululizo wa nambari. Katika makala hii tutafahamiana na maendeleo ya hesabu, tofauti zake, pamoja na matatizo ya kawaida ambayo watoto wa shule wanaweza kukutana.
Dhana ya maendeleo ya algebra
Kuendelea kwa nambari ni mlolongo wa nambari ambapo kila kipengele kinachofuata kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia ikiwa tutatumia sheria fulani ya hisabati. Kuna aina mbili rahisi za maendeleo: kijiometri na hesabu, ambayo pia huitwa algebraic. Hebu tuangalie kwa undani zaidi.
Wacha tufikirie nambari fulani ya busara, iashiria kwa ishara a1, ambapo faharisi inaonyesha nambari yake ya serial katika safu inayozingatiwa. Hebu tuongeze nambari nyingine kwa a1 na tuiite d. Kisha kipengele cha pili cha mfululizo kinaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: a2 = a1 + d. Sasa ongeza d tena, tunapata: a3 = a2+d. Kuendelea operesheni hii ya hisabati, unaweza kupata mfululizo mzima wa nambari, ambayo itaitwa maendeleo ya hesabu.
Kama inavyoweza kueleweka kutoka kwa hapo juu, kupata kipengee cha nth cha mlolongo huu, unahitaji kutumia formula: an = a1 + (n-1)*d. Hakika, kubadilisha n = 1 katika usemi, tunapata a1 = a1, ikiwa n = 2, basi formula ifuatavyo: a2 = a1 + 1 * d, na kadhalika.
Kwa mfano, ikiwa tofauti ya maendeleo ya hesabu ni 5, na a1 = 1, basi hii ina maana kwamba mfululizo wa nambari ya aina inayozingatiwa ina fomu: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kama unaweza. tazama, kila mmoja wa wanachama wake ni 5 zaidi ya mmoja uliopita.
Fomula tofauti za maendeleo ya hesabu
Kutoka kwa ufafanuzi hapo juu wa mfululizo wa nambari zinazozingatiwa, inafuata kwamba kufafanua unahitaji kujua namba mbili: a1 na d. Mwisho unaitwa tofauti ya maendeleo haya. Huamua kipekee tabia ya mfululizo mzima. Hakika, ikiwa d ni chanya, basi safu ya nambari itaongezeka kila wakati; kinyume chake, ikiwa d ni hasi, nambari kwenye safu zitaongezeka tu kwa dhamana kamili, wakati dhamana yao kamili itapungua na nambari inayoongezeka n.
Ni tofauti gani ya maendeleo ya hesabu? Wacha tuchunguze fomula mbili za msingi ambazo hutumiwa kuhesabu thamani hii:
Kanuni hizi mbili za kimsingi hutumika kutatua matatizo yoyote yanayohusisha kupata tofauti ya mwendelezo. Walakini, kuna fomula nyingine ambayo unahitaji pia kujua.
Jumla ya vipengele vya kwanza
Njia ambayo unaweza kuamua jumla ya idadi yoyote ya masharti ya maendeleo ya algebra, kulingana na ushahidi wa kihistoria, ilipatikana kwanza na "mkuu" wa hisabati katika karne ya 18, Carl Gauss. Mwanasayansi wa Ujerumani, akiwa bado mvulana katika darasa la msingi la shule ya kijiji, aligundua kuwa ili kuongeza nambari za asili katika safu kutoka 1 hadi 100, ni muhimu kwanza kujumlisha kipengele cha kwanza na cha mwisho (thamani inayotokana itakuwa. kuwa sawa na jumla ya mambo ya mwisho na ya pili, ya mwisho na ya tatu, na kadhalika), na kisha nambari hii inapaswa kuzidishwa na idadi ya viwango hivi, ambayo ni, na 50.
Fomula, ambayo inaonyesha matokeo yaliyotajwa katika mfano fulani, inaweza kujumuishwa katika kesi ya kiholela. Itakuwa kama: Sn = n/2*(an+a1). Kumbuka kwamba ili kupata thamani iliyoonyeshwa, ujuzi wa tofauti d hauhitajiki ikiwa masharti mawili ya maendeleo (an na a1) yanajulikana.
Mfano Nambari 1. Amua tofauti, ukijua maneno mawili ya mfululizo a1 na an
Tutakuonyesha jinsi ya kutumia fomula zilizotajwa hapo juu katika kifungu hicho. Hebu tutoe mfano rahisi: tofauti ya maendeleo ya hesabu haijulikani, ni muhimu kuamua nini itakuwa sawa ikiwa a13 = -5.6 na a1 = -12.1.
Kwa kuwa tunajua maadili ya vitu viwili vya mlolongo wa nambari, na moja yao ni nambari ya kwanza, tunaweza kutumia formula Nambari 2 kuamua tofauti d. Tunayo: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. Katika usemi tulitumia thamani n=13, kwani neno lililo na nambari hii ya kawaida linajulikana.
Tofauti inayotokana inaonyesha kwamba maendeleo yanaongezeka, licha ya ukweli kwamba vipengele vilivyotolewa katika hali ya kazi vina thamani hasi. Ni wazi kwamba a13>a1, ingawa |a13|<|a1|.
Mfano Nambari 2. Masharti chanya ya mwendelezo katika mfano Na. 1
Wacha tutumie matokeo yaliyopatikana katika mfano uliopita kutatua shida mpya. Imeundwa kama ifuatavyo: kutoka kwa nambari gani ya serial vipengele vya maendeleo katika mfano Nambari 1 vitaanza kuchukua maadili mazuri?
Kama inavyoonyeshwa, maendeleo ambayo a1 = -12.1 na d = 0.54167 inaongezeka, kwa hivyo, kutoka kwa nambari fulani nambari zitaanza kuchukua maadili chanya tu. Kuamua nambari hii n, ni muhimu kutatua usawa rahisi, ambao umeandikwa kwa hisabati kama ifuatavyo: an>0 au, kwa kutumia fomula inayofaa, tunaandika tena usawa: a1 + (n-1) * d>0. Ni muhimu kupata isiyojulikana n, hebu tuelezee: n> -1 * a1 / d + 1. Sasa inabakia kuchukua nafasi ya maadili inayojulikana ya tofauti na muda wa kwanza wa mlolongo. Tunapata: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 au n>23.338. Kwa kuwa n inaweza kuchukua tu nambari kamili, inafuatia kutokana na ukosefu wa usawa kwamba istilahi zozote katika mfululizo ambazo zina nambari kubwa kuliko 23 zitakuwa chanya.
Wacha tuangalie jibu tulilopokea kwa kutumia fomula hapo juu kukokotoa vipengele vya 23 na 24 vya mwendelezo huu wa hesabu. Tuna: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (namba hasi); a24=-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 (thamani chanya). Kwa hivyo, matokeo yaliyopatikana ni sahihi: kuanzia n = 24, wanachama wote wa mfululizo wa nambari watakuwa kubwa kuliko sifuri.
Mfano Nambari 3. Ni magogo ngapi yatatoshea?
Wacha tuwasilishe shida moja ya kupendeza: wakati wa ukataji miti, iliamuliwa kuweka magogo yaliyokatwa juu ya kila mmoja kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Ni magogo ngapi yanaweza kuwekwa kwa njia hii, ukijua kwamba jumla ya safu 10 zitafaa?
Jambo moja la kufurahisha linaweza kuzingatiwa katika njia hii ya kukunja magogo: kila safu inayofuata itakuwa na logi moja chini ya ile ya awali, ambayo ni kwamba, maendeleo ya algebra hufanyika, tofauti ambayo ni d = 1. Kwa kudhani kwamba idadi ya magogo katika kila safu ni mwanachama wa maendeleo haya, na pia kwa kuzingatia kwamba a1 = 1 (logi moja tu itafaa juu kabisa), tunapata nambari a10. Tuna: a10 = 1 + 1 * (10-1) = 10. Hiyo ni, katika safu ya 10, ambayo iko chini, kutakuwa na magogo 10.
Jumla ya jumla ya muundo huu wa "piramidi" inaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya Gauss. Tunapata: S10 = 10/2 * (10 + 1) = 55 magogo.
Kiwango cha kwanza
Maendeleo ya hesabu. Nadharia ya kina yenye mifano (2019)
Mlolongo wa nambari
Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:
Mlolongo wa nambari
Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:
Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.
Nambari iliyo na nambari inaitwa neno la th la mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Kwa upande wetu: 
Wacha tuseme tuna mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Kwa mfano: 
na kadhalika.
Mlolongo huu wa nambari unaitwa kuendelea kwa hesabu.
Neno "maendeleo" lilianzishwa na mwandishi wa Kirumi Boethius huko nyuma katika karne ya 6 na lilieleweka kwa maana pana kama mlolongo wa nambari usio na kikomo. Jina "hesabu" lilihamishwa kutoka kwa nadharia ya uwiano unaoendelea, ambayo ilisomwa na Wagiriki wa kale.
Huu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambao ni sawa na wa awali ulioongezwa kwa nambari sawa. Nambari hii inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu na imeteuliwa.
Jaribu kubainisha ni mfuatano wa nambari gani ni mwendelezo wa hesabu na ambao sio:
a)
b)
c)
d)
Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:
Je! maendeleo ya hesabu - b, c.
Sio maendeleo ya hesabu - a, d.
Wacha turudi kwenye mwendelezo uliopewa () na ujaribu kupata thamani ya muhula wake. Ipo mbili njia ya kuipata.
1. Mbinu
Tunaweza kuongeza nambari ya kuendelea kwa thamani iliyotangulia hadi tufikie muhula wa kuendelea. Ni vizuri kwamba hatuna mengi ya kufupisha - maadili matatu pekee:
Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya hesabu iliyoelezewa ni sawa na.
2. Mbinu
Je, ikiwa tungehitaji kupata thamani ya muhula wa maendeleo? Muhtasari huo ungetuchukua zaidi ya saa moja, na sio ukweli kwamba hatungefanya makosa wakati wa kuongeza nambari.
Bila shaka, wanahisabati wamekuja na njia ambayo si lazima kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa thamani ya awali. Angalia kwa karibu picha iliyochorwa... Hakika tayari umeona muundo fulani, yaani:
Kwa mfano, hebu tuone ni nini thamani ya muhula wa th ya maendeleo ya hesabu hii inajumuisha: 
Kwa maneno mengine:
Jaribu kupata thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya hesabu mwenyewe kwa njia hii.
Je, ulihesabu? Linganisha maelezo yako na jibu:
Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na njia ya awali, tulipoongeza masharti ya kuendelea kwa hesabu kwa thamani iliyotangulia.
Wacha tujaribu "kubinafsisha" fomula hii - wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:
|
Mlinganyo wa maendeleo ya hesabu. |
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka au kupungua.
Kuongezeka- maendeleo ambapo kila thamani inayofuata ya masharti ni kubwa kuliko ya awali.
Kwa mfano:
Kushuka- maendeleo ambayo kila thamani inayofuata ya masharti ni chini ya ya awali.
Kwa mfano:
Fomula inayotokana hutumika katika kukokotoa maneno katika masharti yanayoongezeka na yanayopungua ya uendelezaji wa hesabu.
Wacha tuangalie hii kwa vitendo.
Tumepewa uendelezaji wa hesabu unaojumuisha nambari zifuatazo: Hebu tuangalie nambari ya th ya maendeleo haya ya hesabu itakuwaje ikiwa tutatumia fomula yetu kuihesabu:
Tangu wakati huo:
Kwa hivyo, tuna hakika kwamba fomula hufanya kazi katika kupungua na kuongeza kasi ya hesabu.
Jaribu kupata masharti ya th na ya th ya maendeleo haya ya hesabu mwenyewe.
Wacha tulinganishe matokeo:
Mali ya maendeleo ya hesabu
Hebu tufanye shida - tutapata mali ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuseme tumepewa hali ifuatayo:
- maendeleo ya hesabu, pata thamani.
Rahisi, unasema na kuanza kuhesabu kulingana na fomula unayojua tayari:
Acha, ah, basi:
Sawa kabisa. Inabadilika kuwa tunapata kwanza, kisha tuiongeze kwa nambari ya kwanza na kupata kile tunachotafuta. Ikiwa maendeleo yanawakilishwa na maadili madogo, basi hakuna chochote ngumu kuhusu hilo, lakini ni nini ikiwa tunapewa namba katika hali hiyo? Kukubaliana, kuna uwezekano wa kufanya makosa katika mahesabu.
Sasa fikiria ikiwa inawezekana kutatua tatizo hili kwa hatua moja kwa kutumia fomula yoyote? Bila shaka ndiyo, na ndivyo tutakavyojaribu kuleta sasa.
Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa maendeleo ya hesabu kama, fomula ya kuipata inajulikana kwetu - hii ndio fomula ile ile tuliyopata mwanzoni:
, Kisha:
- muda wa awali wa maendeleo ni:
- muhula unaofuata wa maendeleo ni:
Wacha tufanye muhtasari wa masharti yaliyotangulia na yanayofuata ya mwendelezo:
Inabadilika kuwa jumla ya masharti ya awali na ya baadaye ya maendeleo ni thamani mbili ya muda wa maendeleo ulio kati yao. Kwa maneno mengine, ili kupata thamani ya muda wa kuendeleza na maadili yanayojulikana ya awali na mfululizo, unahitaji kuwaongeza na kugawanya.
Hiyo ni kweli, tulipata nambari sawa. Hebu salama nyenzo. Kuhesabu thamani ya maendeleo mwenyewe, sio ngumu hata kidogo.
Umefanya vizuri! Unajua karibu kila kitu kuhusu maendeleo! Inabakia kujua formula moja tu, ambayo, kulingana na hadithi, ilitolewa kwa urahisi na mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "mfalme wa wanahisabati" - Karl Gauss ...
Carl Gauss alipokuwa na umri wa miaka 9, mwalimu, akiwa na shughuli nyingi za kukagua kazi ya wanafunzi katika madarasa mengine, alikabidhi kazi ifuatayo darasani: “Hesabu jumla ya nambari asilia kutoka hadi (kulingana na vyanzo vingine hadi) zikijumlishwa.” Hebu fikiria mshangao wa mwalimu wakati mmoja wa wanafunzi wake (huyu alikuwa Karl Gauss) dakika moja baadaye alitoa jibu sahihi kwa kazi hiyo, wakati wengi wa wanafunzi wa darasa la daredevil, baada ya mahesabu ya muda mrefu, walipokea matokeo mabaya ...
Carl Gauss mchanga aligundua muundo fulani ambao unaweza kugundua kwa urahisi pia.
Wacha tuseme tuna mwendelezo wa hesabu unaojumuisha maneno -th: Tunahitaji kupata jumla ya masharti haya ya maendeleo ya hesabu. Kwa kweli, tunaweza kujumlisha maadili yote kwa mikono, lakini vipi ikiwa kazi inahitaji kupata jumla ya masharti yake, kama Gauss alikuwa akitafuta?
Wacha tuonyeshe maendeleo tuliyopewa. Angalia kwa karibu nambari zilizoangaziwa na ujaribu kufanya shughuli mbali mbali za kihesabu nazo. 
Je, umejaribu? Umeona nini? Haki! Jumla yao ni sawa
Sasa niambie, ni jozi ngapi kama hizo kwa jumla katika maendeleo tuliyopewa? Kwa kweli, nusu ya nambari zote, yaani.
Kulingana na ukweli kwamba jumla ya maneno mawili ya maendeleo ya hesabu ni sawa, na jozi zinazofanana ni sawa, tunapata kuwa jumla ya jumla ni sawa na:
.
Kwa hivyo, fomula ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Katika shida zingine hatujui muhula wa th, lakini tunajua tofauti ya maendeleo. Jaribu kubadilisha fomula ya neno la th kwenye fomula ya jumla.
Ulipata nini?
Umefanya vizuri! Sasa wacha turudi kwenye shida ambayo Carl Gauss aliuliza: jihesabu mwenyewe jumla ya nambari zinazoanza kutoka th ni sawa na jumla ya nambari zinazoanzia th.
Ulipata kiasi gani?
Gauss aligundua kuwa jumla ya masharti ni sawa, na jumla ya masharti. Je, ndivyo ulivyoamua?
Kwa kweli, fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu ilithibitishwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Diophantus nyuma katika karne ya 3, na kwa wakati huu wote, watu wajanja walitumia kikamilifu mali ya maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, fikiria Misri ya Kale na mradi mkubwa wa ujenzi wa wakati huo - ujenzi wa piramidi ... Picha inaonyesha upande mmoja wake. 
Maendeleo yapo wapi hapa, unasema? Angalia kwa uangalifu na utafute muundo katika idadi ya vitalu vya mchanga katika kila safu ya ukuta wa piramidi. 
Kwa nini sio maendeleo ya hesabu? Kuhesabu ni vitalu ngapi vinahitajika kujenga ukuta mmoja ikiwa matofali ya kuzuia yanawekwa kwenye msingi. Natumai hutahesabu unaposogeza kidole chako kwenye kifuatiliaji, unakumbuka fomula ya mwisho na kila kitu tulichosema kuhusu maendeleo ya hesabu?
Katika kesi hii, maendeleo yanaonekana kama hii:.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tubadilishe data yetu katika fomula za mwisho (hesabu idadi ya vizuizi kwa njia 2).
Mbinu 1.
Mbinu 2.
Na sasa unaweza kuhesabu kwenye mfuatiliaji: kulinganisha maadili yaliyopatikana na idadi ya vitalu vilivyo kwenye piramidi yetu. Nimeelewa? Umefanya vizuri, umefahamu jumla ya masharti ya nth ya maendeleo ya hesabu.
Bila shaka, huwezi kujenga piramidi kutoka kwa vitalu kwenye msingi, lakini kutoka? Jaribu kuhesabu ngapi matofali ya mchanga yanahitajika ili kujenga ukuta na hali hii.
Je, uliweza?
Jibu sahihi ni vitalu:
Mafunzo
Kazi:
- Masha anapata sura nzuri kwa majira ya joto. Kila siku yeye huongeza idadi ya squats kwa. Masha atafanya squats mara ngapi kwa wiki ikiwa alifanya squats kwenye kikao cha kwanza cha mafunzo?
- Ni jumla gani ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani.
- Wakati wa kuhifadhi kumbukumbu, wakataji huziweka kwa njia ambayo kila safu ya juu ina kumbukumbu moja chini ya ile ya awali. Ni magogo ngapi katika uashi mmoja, ikiwa msingi wa uashi ni magogo?
Majibu:
- Hebu tufafanue vigezo vya maendeleo ya hesabu. Kwa kesi hii
(wiki = siku).Jibu: Katika wiki mbili, Masha anapaswa kufanya squats mara moja kwa siku.
- Nambari isiyo ya kawaida ya kwanza, nambari ya mwisho.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya nambari zisizo za kawaida ndani ni nusu, hata hivyo, hebu tuangalie ukweli huu kwa kutumia fomula ya kupata muhula wa th wa maendeleo ya hesabu:Nambari zina nambari zisizo za kawaida.
Wacha tubadilishe data inayopatikana kwenye fomula:Jibu: Jumla ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani ni sawa.
- Hebu tukumbuke tatizo kuhusu piramidi. Kwa upande wetu, a , kwa kuwa kila safu ya juu imepunguzwa na logi moja, basi kwa jumla kuna kundi la tabaka, yaani.
Wacha tubadilishe data kwenye fomula:Jibu: Kuna magogo katika uashi.
Hebu tujumuishe
- - mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa. Inaweza kuongezeka au kupungua.
- Kutafuta formula Muda wa th wa maendeleo ya hesabu umeandikwa na formula - , ambapo ni idadi ya nambari katika maendeleo.
- Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu- - iko wapi idadi ya nambari zinazoendelea.
- Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu inaweza kupatikana kwa njia mbili:
, nambari ya maadili iko wapi.
MAENDELEO YA HESABU. KIWANGO CHA WASTANI
Mlolongo wa nambari
Hebu tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa nyingi kama unavyopenda. Lakini tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.
Kwa maneno mengine, kila nambari inaweza kuhusishwa na nambari fulani ya asili, na ya kipekee. Na hatutagawa nambari hii kwa nambari nyingine yoyote kutoka kwa seti hii.
Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa th wa mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Ni rahisi sana ikiwa neno la th la mlolongo linaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula
huweka mlolongo:
Na formula ni mlolongo ufuatao:
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu ni mlolongo (neno la kwanza hapa ni sawa, na tofauti ni). Au (, tofauti).
fomula ya muhula wa nth
Tunaita fomula inayorudiwa ambayo, ili kujua neno, unahitaji kujua yaliyotangulia au kadhaa yaliyopita:
Ili kupata, kwa mfano, muhula wa th wa kuendelea kwa kutumia fomula hii, itabidi tuhesabu tisa zilizopita. Kwa mfano, basi. Kisha:
Kweli, ni wazi sasa formula ni nini?
Katika kila mstari tunaongeza, kuzidishwa na nambari fulani. Gani? Rahisi sana: hii ndio nambari ya mshiriki wa sasa kutoa:
Inafaa zaidi sasa, sivyo? Tunaangalia:
Amua mwenyewe:
Katika mwendelezo wa hesabu, tafuta fomula ya muhula wa nth na utafute muhula wa mia.
Suluhisho:
Muda wa kwanza ni sawa. Tofauti ni nini? Hapa ni nini:
(Hii ndiyo sababu inaitwa tofauti kwa sababu ni sawa na tofauti ya masharti yanayofuatana ya mwendelezo).
Kwa hivyo, formula:
Kisha neno la mia ni sawa na:
Je, ni jumla gani ya nambari zote asilia kutoka hadi?
Kulingana na hadithi, mwanahisabati mkuu Carl Gauss, kama mvulana wa miaka 9, alihesabu kiasi hiki kwa dakika chache. Aligundua kuwa jumla ya nambari ya kwanza na ya mwisho ni sawa, jumla ya nambari ya pili na ya mwisho ni sawa, jumla ya ya tatu na ya 3 kutoka mwisho ni sawa, na kadhalika. Je, kuna jozi ngapi kama hizo kwa jumla? Hiyo ni kweli, nusu ya idadi ya nambari zote, yaani. Kwa hiyo,
Fomula ya jumla ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Mfano:
Pata jumla ya vizidishi vyote vya tarakimu mbili.
Suluhisho:
Nambari ya kwanza kama hii ni hii. Kila nambari inayofuata inapatikana kwa kuongeza nambari iliyotangulia. Kwa hivyo, nambari ambazo tunavutiwa nazo huunda maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza na tofauti.
Mfumo wa muhula wa maendeleo haya:
Je, kuna maneno mangapi katika mwendelezo ikiwa yote yanapaswa kuwa na tarakimu mbili?
Rahisi sana: .
Muda wa mwisho wa maendeleo utakuwa sawa. Kisha jumla:
Jibu:.
Sasa amua mwenyewe:
- Kila siku mwanariadha anaendesha mita zaidi kuliko siku iliyopita. Je, atakimbia kilomita ngapi kwa wiki ikiwa alikimbia km m siku ya kwanza?
- Mwendesha baiskeli husafiri kilomita zaidi kila siku kuliko siku iliyotangulia. Siku ya kwanza alisafiri km. Ni siku ngapi anahitaji kusafiri ili kufikia kilomita? Je, atasafiri kilomita ngapi katika siku ya mwisho ya safari yake?
- Bei ya jokofu katika duka hupungua kwa kiasi sawa kila mwaka. Tambua ni kiasi gani bei ya jokofu ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka sita baadaye iliuzwa kwa rubles.
Majibu:
- Jambo muhimu zaidi hapa ni kutambua maendeleo ya hesabu na kuamua vigezo vyake. Katika kesi hii, (wiki = siku). Unahitaji kuamua jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo haya:
.
Jibu: - Hapa imetolewa:, lazima ipatikane.
Ni wazi, unahitaji kutumia fomula sawa na katika shida iliyopita:
.
Badilisha maadili:Mzizi ni wazi haufai, kwa hivyo jibu ni.
Wacha tuhesabu njia iliyosafirishwa kwa siku ya mwisho kwa kutumia fomula ya neno la th:
(km).
Jibu: - Imetolewa:. Tafuta:.
Haiwezi kuwa rahisi zaidi:
(sugua).
Jibu:
MAENDELEO YA HESABU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Huu ni mlolongo wa nambari ambapo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka () na kupungua ().
Kwa mfano:
Mfumo wa kutafuta muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu
imeandikwa na formula, ambapo ni idadi ya idadi katika maendeleo.
Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu
Inakuruhusu kupata kwa urahisi muda wa kuendelea ikiwa masharti ya jirani yake yanajulikana - ambapo ni idadi ya nambari katika mwendelezo.
Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu
Kuna njia mbili za kupata kiasi:
Idadi ya maadili iko wapi.
Idadi ya maadili iko wapi.
Maagizo
Kuendelea kwa hesabu ni mfuatano wa fomu a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nambari d hatua mwendelezo.Ni dhahiri kwamba jumla ya istilahi ya kiholela ya n-th ya hesabu mwendelezo ina umbo: An = A1+(n-1)d. Kisha kujua mmoja wa wanachama mwendelezo, mwanachama mwendelezo na hatua mwendelezo, unaweza, yaani, idadi ya mwanachama wa maendeleo. Kwa wazi, itaamuliwa na formula n = (An-A1+d)/d.
Hebu sasa neno la mth lijulikane mwendelezo na mwanachama mwingine mwendelezo- nth, lakini n , kama katika kesi iliyopita, lakini inajulikana kuwa n na m haziendani. mwendelezo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: d = (An-Am)/(n-m). Kisha n = (An-Am+md)/d.
Ikiwa jumla ya vipengele kadhaa vya equation ya hesabu inajulikana mwendelezo, pamoja na yake ya kwanza na ya mwisho, basi idadi ya vipengele hivi inaweza pia kuamuliwa.Jumla ya hesabu mwendelezo itakuwa sawa na: S = ((A1+An)/2)n. Kisha n = 2S/(A1+An) - chdenov mwendelezo. Kwa kutumia ukweli kwamba An = A1+(n-1)d, fomula hii inaweza kuandikwa upya kama: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Kutokana na hili tunaweza kueleza n kwa kutatua equation ya quadratic.
Mlolongo wa hesabu ni seti iliyoamriwa ya nambari, kila mwanachama ambayo, isipokuwa ya kwanza, inatofautiana na ya awali kwa kiasi sawa. Thamani hii ya mara kwa mara inaitwa tofauti ya maendeleo au hatua yake na inaweza kuhesabiwa kutoka kwa masharti yanayojulikana ya maendeleo ya hesabu.
Maagizo
Ikiwa maadili ya neno la kwanza na la pili au jozi nyingine yoyote ya masharti ya karibu yanajulikana kutoka kwa hali ya tatizo, kuhesabu tofauti (d) tu kuondoa moja uliopita kutoka kwa muda unaofuata. Thamani inayotokana inaweza kuwa nambari chanya au hasi - inategemea ikiwa maendeleo yanaongezeka. Kwa njia ya jumla, andika suluhisho la jozi ya kiholela (aᵢ na aᵢ₊₁) ya masharti jirani ya mwendelezo kama ifuatavyo: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Kwa jozi ya masharti ya maendeleo kama haya, moja ambayo ni ya kwanza (a₁), na nyingine ni nyingine yoyote iliyochaguliwa kiholela, inawezekana pia kuunda fomula ya kupata tofauti (d). Walakini, katika kesi hii, nambari ya serial (i) ya mshiriki aliyechaguliwa kiholela wa mlolongo lazima ijulikane. Ili kuhesabu tofauti, ongeza nambari zote mbili na ugawanye matokeo yanayotokana na nambari ya ordinal ya neno la kiholela lililopunguzwa kwa moja. Kwa ujumla, andika fomula hii kama ifuatavyo: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Ikiwa, pamoja na mwanachama wa kiholela wa maendeleo ya hesabu na nambari ya ordinal i, mwanachama mwingine aliye na nambari ya ordinal u anajulikana, badilisha fomula kutoka kwa hatua ya awali ipasavyo. Katika kesi hii, tofauti (d) ya maendeleo itakuwa jumla ya maneno haya mawili yaliyogawanywa na tofauti ya nambari zao za kawaida: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Fomula ya kukokotoa tofauti (d) inakuwa ngumu zaidi ikiwa masharti ya tatizo yatatoa thamani ya muhula wake wa kwanza (a₁) na jumla (Sᵢ) ya nambari fulani (i) ya istilahi za kwanza za mfuatano wa hesabu. Ili kupata thamani inayotakiwa, gawanya jumla kwa idadi ya masharti yanayounda, toa thamani ya nambari ya kwanza katika mlolongo, na matokeo mara mbili. Gawanya thamani inayotokana na idadi ya masharti ambayo hufanya jumla iliyopunguzwa kwa moja. Kwa ujumla, andika fomula ya kuhesabu kibaguzi kama ifuatavyo: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Kiwango cha kwanza
Maendeleo ya hesabu. Nadharia ya kina yenye mifano (2019)
Mlolongo wa nambari
Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:
Mlolongo wa nambari
Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:
Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.
Nambari iliyo na nambari inaitwa neno la th la mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Kwa upande wetu:
Wacha tuseme tuna mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Kwa mfano:
na kadhalika.
Mlolongo huu wa nambari unaitwa kuendelea kwa hesabu.
Neno "maendeleo" lilianzishwa na mwandishi wa Kirumi Boethius huko nyuma katika karne ya 6 na lilieleweka kwa maana pana kama mlolongo wa nambari usio na kikomo. Jina "hesabu" lilihamishwa kutoka kwa nadharia ya uwiano unaoendelea, ambayo ilisomwa na Wagiriki wa kale.
Huu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambao ni sawa na wa awali ulioongezwa kwa nambari sawa. Nambari hii inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu na imeteuliwa.
Jaribu kubainisha ni mfuatano wa nambari gani ni mwendelezo wa hesabu na ambao sio:
a)
b)
c)
d)
Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:
Je! maendeleo ya hesabu - b, c.
Sio maendeleo ya hesabu - a, d.
Wacha turudi kwenye mwendelezo uliopewa () na ujaribu kupata thamani ya muhula wake. Ipo mbili njia ya kuipata.
1. Mbinu
Tunaweza kuongeza nambari ya kuendelea kwa thamani iliyotangulia hadi tufikie muhula wa kuendelea. Ni vizuri kwamba hatuna mengi ya kufupisha - maadili matatu pekee:
Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya hesabu iliyoelezewa ni sawa na.
2. Mbinu
Je, ikiwa tungehitaji kupata thamani ya muhula wa maendeleo? Muhtasari huo ungetuchukua zaidi ya saa moja, na sio ukweli kwamba hatungefanya makosa wakati wa kuongeza nambari.
Bila shaka, wanahisabati wamekuja na njia ambayo si lazima kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa thamani ya awali. Angalia kwa karibu picha iliyochorwa... Hakika tayari umeona muundo fulani, yaani:
Kwa mfano, hebu tuone ni nini thamani ya muhula wa th ya maendeleo ya hesabu hii inajumuisha:
Kwa maneno mengine:
Jaribu kupata thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya hesabu mwenyewe kwa njia hii.
Je, ulihesabu? Linganisha maelezo yako na jibu:
Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na njia ya awali, tulipoongeza masharti ya kuendelea kwa hesabu kwa thamani iliyotangulia.
Wacha tujaribu "kubinafsisha" fomula hii - wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:
|
Mlinganyo wa maendeleo ya hesabu. |
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka au kupungua.
Kuongezeka- maendeleo ambapo kila thamani inayofuata ya masharti ni kubwa kuliko ya awali.
Kwa mfano:
Kushuka- maendeleo ambayo kila thamani inayofuata ya masharti ni chini ya ya awali.
Kwa mfano:
Fomula inayotokana hutumika katika kukokotoa maneno katika masharti yanayoongezeka na yanayopungua ya uendelezaji wa hesabu.
Wacha tuangalie hii kwa vitendo.
Tumepewa uendelezaji wa hesabu unaojumuisha nambari zifuatazo: Hebu tuangalie nambari ya th ya maendeleo haya ya hesabu itakuwaje ikiwa tutatumia fomula yetu kuihesabu:
Tangu wakati huo:
Kwa hivyo, tuna hakika kwamba fomula hufanya kazi katika kupungua na kuongeza kasi ya hesabu.
Jaribu kupata masharti ya th na ya th ya maendeleo haya ya hesabu mwenyewe.
Wacha tulinganishe matokeo:
Mali ya maendeleo ya hesabu
Hebu tufanye shida - tutapata mali ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuseme tumepewa hali ifuatayo:
- maendeleo ya hesabu, pata thamani.
Rahisi, unasema na kuanza kuhesabu kulingana na fomula unayojua tayari:
Acha, ah, basi:
Sawa kabisa. Inabadilika kuwa tunapata kwanza, kisha tuiongeze kwa nambari ya kwanza na kupata kile tunachotafuta. Ikiwa maendeleo yanawakilishwa na maadili madogo, basi hakuna chochote ngumu kuhusu hilo, lakini ni nini ikiwa tunapewa namba katika hali hiyo? Kukubaliana, kuna uwezekano wa kufanya makosa katika mahesabu.
Sasa fikiria ikiwa inawezekana kutatua tatizo hili kwa hatua moja kwa kutumia fomula yoyote? Bila shaka ndiyo, na ndivyo tutakavyojaribu kuleta sasa.
Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa maendeleo ya hesabu kama, fomula ya kuipata inajulikana kwetu - hii ndio fomula ile ile tuliyopata mwanzoni:
, Kisha:
- muda wa awali wa maendeleo ni:
- muhula unaofuata wa maendeleo ni:
Wacha tufanye muhtasari wa masharti yaliyotangulia na yanayofuata ya mwendelezo:
Inabadilika kuwa jumla ya masharti ya awali na ya baadaye ya maendeleo ni thamani mbili ya muda wa maendeleo ulio kati yao. Kwa maneno mengine, ili kupata thamani ya muda wa kuendeleza na maadili yanayojulikana ya awali na mfululizo, unahitaji kuwaongeza na kugawanya.
Hiyo ni kweli, tulipata nambari sawa. Hebu salama nyenzo. Kuhesabu thamani ya maendeleo mwenyewe, sio ngumu hata kidogo.
Umefanya vizuri! Unajua karibu kila kitu kuhusu maendeleo! Inabakia kujua formula moja tu, ambayo, kulingana na hadithi, ilitolewa kwa urahisi na mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "mfalme wa wanahisabati" - Karl Gauss ...
Carl Gauss alipokuwa na umri wa miaka 9, mwalimu, akiwa na shughuli nyingi za kukagua kazi ya wanafunzi katika madarasa mengine, alikabidhi kazi ifuatayo darasani: “Hesabu jumla ya nambari asilia kutoka hadi (kulingana na vyanzo vingine hadi) zikijumlishwa.” Hebu fikiria mshangao wa mwalimu wakati mmoja wa wanafunzi wake (huyu alikuwa Karl Gauss) dakika moja baadaye alitoa jibu sahihi kwa kazi hiyo, wakati wengi wa wanafunzi wa darasa la daredevil, baada ya mahesabu ya muda mrefu, walipokea matokeo mabaya ...
Carl Gauss mchanga aligundua muundo fulani ambao unaweza kugundua kwa urahisi pia.
Wacha tuseme tuna mwendelezo wa hesabu unaojumuisha maneno -th: Tunahitaji kupata jumla ya masharti haya ya maendeleo ya hesabu. Kwa kweli, tunaweza kujumlisha maadili yote kwa mikono, lakini vipi ikiwa kazi inahitaji kupata jumla ya masharti yake, kama Gauss alikuwa akitafuta?
Wacha tuonyeshe maendeleo tuliyopewa. Angalia kwa karibu nambari zilizoangaziwa na ujaribu kufanya shughuli mbali mbali za kihesabu nazo.
Je, umejaribu? Umeona nini? Haki! Jumla yao ni sawa
Sasa niambie, ni jozi ngapi kama hizo kwa jumla katika maendeleo tuliyopewa? Kwa kweli, nusu ya nambari zote, yaani.
Kulingana na ukweli kwamba jumla ya maneno mawili ya maendeleo ya hesabu ni sawa, na jozi zinazofanana ni sawa, tunapata kuwa jumla ya jumla ni sawa na:
.
Kwa hivyo, fomula ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Katika shida zingine hatujui muhula wa th, lakini tunajua tofauti ya maendeleo. Jaribu kubadilisha fomula ya neno la th kwenye fomula ya jumla.
Ulipata nini?
Umefanya vizuri! Sasa wacha turudi kwenye shida ambayo Carl Gauss aliuliza: jihesabu mwenyewe jumla ya nambari zinazoanza kutoka th ni sawa na jumla ya nambari zinazoanzia th.
Ulipata kiasi gani?
Gauss aligundua kuwa jumla ya masharti ni sawa, na jumla ya masharti. Je, ndivyo ulivyoamua?
Kwa kweli, fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu ilithibitishwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Diophantus nyuma katika karne ya 3, na kwa wakati huu wote, watu wajanja walitumia kikamilifu mali ya maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, fikiria Misri ya Kale na mradi mkubwa wa ujenzi wa wakati huo - ujenzi wa piramidi ... Picha inaonyesha upande mmoja wake.
Maendeleo yapo wapi hapa, unasema? Angalia kwa uangalifu na utafute muundo katika idadi ya vitalu vya mchanga katika kila safu ya ukuta wa piramidi.
Kwa nini sio maendeleo ya hesabu? Kuhesabu ni vitalu ngapi vinahitajika kujenga ukuta mmoja ikiwa matofali ya kuzuia yanawekwa kwenye msingi. Natumai hutahesabu unaposogeza kidole chako kwenye kifuatiliaji, unakumbuka fomula ya mwisho na kila kitu tulichosema kuhusu maendeleo ya hesabu?
Katika kesi hii, maendeleo yanaonekana kama hii:.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tubadilishe data yetu katika fomula za mwisho (hesabu idadi ya vizuizi kwa njia 2).
Mbinu 1.
Mbinu 2.
Na sasa unaweza kuhesabu kwenye mfuatiliaji: kulinganisha maadili yaliyopatikana na idadi ya vitalu vilivyo kwenye piramidi yetu. Nimeelewa? Umefanya vizuri, umefahamu jumla ya masharti ya nth ya maendeleo ya hesabu.
Bila shaka, huwezi kujenga piramidi kutoka kwa vitalu kwenye msingi, lakini kutoka? Jaribu kuhesabu ngapi matofali ya mchanga yanahitajika ili kujenga ukuta na hali hii.
Je, uliweza?
Jibu sahihi ni vitalu:
Mafunzo
Kazi:
- Masha anapata sura nzuri kwa majira ya joto. Kila siku yeye huongeza idadi ya squats kwa. Masha atafanya squats mara ngapi kwa wiki ikiwa alifanya squats kwenye kikao cha kwanza cha mafunzo?
- Ni jumla gani ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani.
- Wakati wa kuhifadhi kumbukumbu, wakataji huziweka kwa njia ambayo kila safu ya juu ina kumbukumbu moja chini ya ile ya awali. Ni magogo ngapi katika uashi mmoja, ikiwa msingi wa uashi ni magogo?
Majibu:
- Hebu tufafanue vigezo vya maendeleo ya hesabu. Kwa kesi hii
(wiki = siku).Jibu: Katika wiki mbili, Masha anapaswa kufanya squats mara moja kwa siku.
- Nambari isiyo ya kawaida ya kwanza, nambari ya mwisho.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya nambari zisizo za kawaida ndani ni nusu, hata hivyo, hebu tuangalie ukweli huu kwa kutumia fomula ya kupata muhula wa th wa maendeleo ya hesabu:Nambari zina nambari zisizo za kawaida.
Wacha tubadilishe data inayopatikana kwenye fomula:Jibu: Jumla ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani ni sawa.
- Hebu tukumbuke tatizo kuhusu piramidi. Kwa upande wetu, a , kwa kuwa kila safu ya juu imepunguzwa na logi moja, basi kwa jumla kuna kundi la tabaka, yaani.
Wacha tubadilishe data kwenye fomula:Jibu: Kuna magogo katika uashi.
Hebu tujumuishe
- - mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa. Inaweza kuongezeka au kupungua.
- Kutafuta formula Muda wa th wa maendeleo ya hesabu umeandikwa na formula - , ambapo ni idadi ya nambari katika maendeleo.
- Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu- - iko wapi idadi ya nambari zinazoendelea.
- Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu inaweza kupatikana kwa njia mbili:
, nambari ya maadili iko wapi.
MAENDELEO YA HESABU. KIWANGO CHA WASTANI
Mlolongo wa nambari
Hebu tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa nyingi kama unavyopenda. Lakini tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.
Kwa maneno mengine, kila nambari inaweza kuhusishwa na nambari fulani ya asili, na ya kipekee. Na hatutagawa nambari hii kwa nambari nyingine yoyote kutoka kwa seti hii.
Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa th wa mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Ni rahisi sana ikiwa neno la th la mlolongo linaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula
huweka mlolongo:
Na formula ni mlolongo ufuatao:
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu ni mlolongo (neno la kwanza hapa ni sawa, na tofauti ni). Au (, tofauti).
fomula ya muhula wa nth
Tunaita fomula inayorudiwa ambayo, ili kujua neno, unahitaji kujua yaliyotangulia au kadhaa yaliyopita:
Ili kupata, kwa mfano, muhula wa th wa kuendelea kwa kutumia fomula hii, itabidi tuhesabu tisa zilizopita. Kwa mfano, basi. Kisha:
Kweli, ni wazi sasa formula ni nini?
Katika kila mstari tunaongeza, kuzidishwa na nambari fulani. Gani? Rahisi sana: hii ndio nambari ya mshiriki wa sasa kutoa:
Inafaa zaidi sasa, sivyo? Tunaangalia:
Amua mwenyewe:
Katika mwendelezo wa hesabu, tafuta fomula ya muhula wa nth na utafute muhula wa mia.
Suluhisho:
Muda wa kwanza ni sawa. Tofauti ni nini? Hapa ni nini:
(Hii ndiyo sababu inaitwa tofauti kwa sababu ni sawa na tofauti ya masharti yanayofuatana ya mwendelezo).
Kwa hivyo, formula:
Kisha neno la mia ni sawa na:
Je, ni jumla gani ya nambari zote asilia kutoka hadi?
Kulingana na hadithi, mwanahisabati mkuu Carl Gauss, kama mvulana wa miaka 9, alihesabu kiasi hiki kwa dakika chache. Aligundua kuwa jumla ya nambari ya kwanza na ya mwisho ni sawa, jumla ya nambari ya pili na ya mwisho ni sawa, jumla ya ya tatu na ya 3 kutoka mwisho ni sawa, na kadhalika. Je, kuna jozi ngapi kama hizo kwa jumla? Hiyo ni kweli, nusu ya idadi ya nambari zote, yaani. Kwa hiyo,
Fomula ya jumla ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Mfano:
Pata jumla ya vizidishi vyote vya tarakimu mbili.
Suluhisho:
Nambari ya kwanza kama hii ni hii. Kila nambari inayofuata inapatikana kwa kuongeza nambari iliyotangulia. Kwa hivyo, nambari ambazo tunavutiwa nazo huunda maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza na tofauti.
Mfumo wa muhula wa maendeleo haya:
Je, kuna maneno mangapi katika mwendelezo ikiwa yote yanapaswa kuwa na tarakimu mbili?
Rahisi sana: .
Muda wa mwisho wa maendeleo utakuwa sawa. Kisha jumla:
Jibu:.
Sasa amua mwenyewe:
- Kila siku mwanariadha anaendesha mita zaidi kuliko siku iliyopita. Je, atakimbia kilomita ngapi kwa wiki ikiwa alikimbia km m siku ya kwanza?
- Mwendesha baiskeli husafiri kilomita zaidi kila siku kuliko siku iliyotangulia. Siku ya kwanza alisafiri km. Ni siku ngapi anahitaji kusafiri ili kufikia kilomita? Je, atasafiri kilomita ngapi katika siku ya mwisho ya safari yake?
- Bei ya jokofu katika duka hupungua kwa kiasi sawa kila mwaka. Tambua ni kiasi gani bei ya jokofu ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka sita baadaye iliuzwa kwa rubles.
Majibu:
- Jambo muhimu zaidi hapa ni kutambua maendeleo ya hesabu na kuamua vigezo vyake. Katika kesi hii, (wiki = siku). Unahitaji kuamua jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo haya:
.
Jibu: - Hapa imetolewa:, lazima ipatikane.
Ni wazi, unahitaji kutumia fomula sawa na katika shida iliyopita:
.
Badilisha maadili:Mzizi ni wazi haufai, kwa hivyo jibu ni.
Wacha tuhesabu njia iliyosafirishwa kwa siku ya mwisho kwa kutumia fomula ya neno la th:
(km).
Jibu: - Imetolewa:. Tafuta:.
Haiwezi kuwa rahisi zaidi:
(sugua).
Jibu:
MAENDELEO YA HESABU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Huu ni mlolongo wa nambari ambapo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka () na kupungua ().
Kwa mfano:
Mfumo wa kutafuta muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu
imeandikwa na formula, ambapo ni idadi ya idadi katika maendeleo.
Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu
Inakuruhusu kupata kwa urahisi muda wa kuendelea ikiwa masharti ya jirani yake yanajulikana - ambapo ni idadi ya nambari katika mwendelezo.
Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu
Kuna njia mbili za kupata kiasi:
Idadi ya maadili iko wapi.
Idadi ya maadili iko wapi.
Kwa mfano, mlolongo \(2\); \(5\); \(8\); \(kumi na moja\); \(14\)... ni mwendelezo wa hesabu, kwa sababu kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa tatu (kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia kwa kuongeza tatu):
Katika mwendelezo huu, tofauti \(d\) ni chanya (sawa na \(3\)), na kwa hivyo kila muhula unaofuata ni mkubwa kuliko uliopita. Maendeleo kama haya yanaitwa kuongezeka.
Walakini, \(d\) pia inaweza kuwa nambari hasi. Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... tofauti ya uendelezaji \(d\) ni sawa na minus sita.
Na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kitakuwa kidogo kuliko kilichotangulia. Maendeleo haya yanaitwa kupungua.
Nukuu ya maendeleo ya hesabu
Maendeleo yanaonyeshwa kwa herufi ndogo ya Kilatini.
Nambari zinazounda mwendelezo huitwa wanachama(au vipengele).
Zinaonyeshwa kwa herufi sawa na maendeleo ya hesabu, lakini kwa faharisi ya nambari sawa na nambari ya kitu kwa mpangilio.
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) inajumuisha vipengele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) na kadhalika.
Kwa maneno mengine, kwa mwendelezo \(a_n = \kushoto\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu
Kimsingi, habari iliyowasilishwa hapo juu tayari inatosha kutatua karibu shida yoyote ya maendeleo ya hesabu (pamoja na zile zinazotolewa katika OGE).
Mfano (OGE).
Ukuaji wa hesabu hubainishwa na masharti \(b_1=7; d=4\). Tafuta \(b_5\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_5=23\)
Mfano (OGE).
Masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu yametolewa: \(62; 49; 36…\) Tafuta thamani ya neno hasi la kwanza la mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunapewa vipengele vya kwanza vya mlolongo na tunajua kwamba ni maendeleo ya hesabu. Hiyo ni, kila kipengele hutofautiana na jirani yake kwa idadi sawa. Wacha tujue ni ipi kwa kutoa iliyotangulia kutoka kwa kipengele kinachofuata: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sasa tunaweza kurejesha uendelezaji wetu kwa kipengele (cha kwanza hasi) tunachohitaji. |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(-3\)
Mfano (OGE).
Kwa kuzingatia vipengele kadhaa mfululizo vya maendeleo ya hesabu: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tafuta thamani ya kipengele kilichoteuliwa na herufi \(x\).
Suluhisho:
|
|
Ili kupata \(x\), tunahitaji kujua ni kiasi gani kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia, kwa maneno mengine, tofauti ya maendeleo. Hebu tutafute kutoka kwa vipengele viwili vinavyojulikana jirani: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Na sasa tunaweza kupata kile tunachotafuta kwa urahisi: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(7,5\).
Mfano (OGE).
Uendelezaji wa hesabu hufafanuliwa na masharti yafuatayo: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tafuta jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunahitaji kupata jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo. Lakini hatujui maana zao, tumepewa tu kipengele cha kwanza. Kwa hivyo, kwanza tunahesabu maadili moja baada ya nyingine, kwa kutumia kile tulichopewa: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Kiasi kinachohitajika kimepatikana. |
Jibu: \(S_6=9\).
Mfano (OGE).
Katika maendeleo ya hesabu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tafuta tofauti ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
Jibu: \(d=7\).
Fomula muhimu za maendeleo ya hesabu
Kama unaweza kuona, shida nyingi juu ya maendeleo ya hesabu zinaweza kutatuliwa kwa kuelewa jambo kuu - kwamba maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, na kila kipengele kinachofuata kwenye mlolongo huu kinapatikana kwa kuongeza nambari sawa kwa ile iliyotangulia ( tofauti ya maendeleo).
Hata hivyo, wakati mwingine kuna hali wakati kuamua "kichwa-juu" ni mbaya sana. Kwa mfano, fikiria kwamba katika mfano wa kwanza kabisa hatuhitaji kupata kipengele cha tano \(b_5\), lakini mia tatu na themanini na sita \(b_(386)\). Je, tuongeze mara nne \(385\)? Au fikiria kuwa katika mfano wa mwisho unahitaji kupata jumla ya vitu sabini na tatu vya kwanza. Utakuwa umechoka kuhesabu ...
Kwa hivyo, katika hali kama hizi hazisuluhishi vitu "kichwa-juu", lakini hutumia fomula maalum zinazotokana na maendeleo ya hesabu. Na kuu ni fomula ya muhula wa nth wa kuendelea na fomula ya jumla ya \(n\) maneno ya kwanza.
Mfumo wa neno \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ambapo \(a_1\) ni muhula wa kwanza wa mwendelezo;
\(n\) - nambari ya kipengele kinachohitajika;
\(a_n\) - muda wa kuendelea na nambari \(n\).
Njia hii inaruhusu sisi kupata haraka hata kipengele cha mia tatu au milioni, tukijua tu ya kwanza na tofauti ya maendeleo.
Mfano.
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tafuta \(b_(246)\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_(246)=1850\).
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ambapo
\(a_n\) - muhtasari wa mwisho;
Mfano (OGE).
Mwendelezo wa hesabu hubainishwa na masharti \(a_n=3.4n-0.6\). Tafuta jumla ya masharti ya \(25\) ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Ili kuhesabu jumla ya maneno ishirini na tano ya kwanza, tunahitaji kujua thamani ya maneno ya kwanza na ishirini na tano. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Sasa hebu tutafute muhula wa ishirini na tano kwa kubadilisha ishirini na tano badala ya \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Naam, sasa tunaweza kuhesabu kwa urahisi kiasi kinachohitajika. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(25)=1090\).
Kwa jumla \(n\) ya maneno ya kwanza, unaweza kupata fomula nyingine: unahitaji tu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\)\ (\cdot 25\ ) badala ya \(a_n\) badilisha fomula yake \(a_n=a_1+(n-1)d\). Tunapata:
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ambapo
\(S_n\) - jumla inayohitajika ya \(n\) vipengele vya kwanza;
\(a_1\) - muhtasari wa kwanza;
\(d\) - tofauti ya maendeleo;
\(n\) - idadi ya vipengele kwa jumla.
Mfano.
Pata jumla ya masharti ya kwanza \(33\)-ex ya maendeleo ya hesabu: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
Suluhisho:
Jibu: \(S_(33)=-231\).
Matatizo magumu zaidi ya maendeleo ya hesabu
Sasa una taarifa zote unahitaji kutatua karibu tatizo lolote la maendeleo ya hesabu. Wacha tumalizie mada kwa kuzingatia shida ambazo hauitaji tu kutumia fomula, lakini pia fikiria kidogo (katika hisabati hii inaweza kuwa muhimu ☺)
Mfano (OGE).
Pata jumla ya masharti yote mabaya ya maendeleo: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Suluhisho:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Kazi ni sawa na ile iliyopita. Tunaanza kutatua kitu kimoja: kwanza tunapata \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sasa ningependa kubadilisha \(d\) katika fomula ya jumla... na hapa nuance ndogo inaibuka - hatujui \(n\). Kwa maneno mengine, hatujui ni maneno mangapi yatahitaji kuongezwa. Jinsi ya kujua? Hebu fikiria. Tutaacha kuongeza vipengele tutakapofikia kipengele chanya cha kwanza. Hiyo ni, unahitaji kujua idadi ya kipengele hiki. Vipi? Hebu tuandike fomula ya kukokotoa kipengele chochote cha maendeleo ya hesabu: \(a_n=a_1+(n-1)d\) kwa kesi yetu. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Tunahitaji \(a_n\) kuwa kubwa kuliko sifuri. Wacha tujue ni nini \(n\) hii itatokea. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Tunahamisha minus moja, bila kusahau kubadilisha ishara |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hebu tuhesabu... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...na inabadilika kuwa kipengele cha kwanza chanya kitakuwa na nambari \(66\). Ipasavyo, hasi ya mwisho ina \(n=65\). Ikiwezekana, wacha tuangalie hii. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Kwa hivyo tunahitaji kuongeza vitu \(65\) vya kwanza. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdoti (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(65)=-630.5\).
Mfano (OGE).
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\) kipengele kikiwa pamoja.
Suluhisho:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Katika tatizo hili unahitaji pia kupata jumla ya vipengele, lakini kuanzia si kutoka kwa kwanza, lakini kutoka \(26\)th. Kwa kesi kama hiyo hatuna fomula. Jinsi ya kuamua? |
|
|
Kwa maendeleo yetu \(a_1=-33\), na tofauti \(d=4\) (baada ya yote, ni nne ambazo tunaongeza kwenye kipengele kilichotangulia ili kupata kinachofuata). Kujua hili, tunapata jumla ya vipengele vya kwanza \(42\)-y. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdoti 42=\) |
Sasa jumla ya vipengele \(25\) vya kwanza. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Na hatimaye, tunahesabu jibu. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Jibu: \(S=1683\).
Kwa maendeleo ya hesabu, kuna fomula kadhaa zaidi ambazo hatukuzingatia katika nakala hii kwa sababu ya matumizi yao ya chini ya vitendo. Hata hivyo, unaweza kupata yao kwa urahisi.