pointi ambazo haziko kwenye mstari huo huo? a) Kuvuka; b) hakuna kitu kinachoweza kusema; c) usiingiliane; d) sanjari; e) kuwa na pointi tatu za kawaida.
2. Ni kauli gani kati ya zifuatazo ni ya kweli? a) Ikiwa pointi mbili za mduara ziko kwenye ndege, basi mduara mzima uko kwenye ndege hii; b) mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege ya pembetatu huingilia pande zake mbili; c) ndege zozote mbili zina nukta moja tu ya kawaida; d) ndege hupitia pointi mbili, na moja tu; e) mstari umewekwa kwenye ndege ya pembetatu iliyotolewa ikiwa inaingiliana na mistari miwili iliyo na pande za pembetatu.
3. Je, ndege mbili tofauti zinaweza kuwa na pointi mbili tu za kawaida? a) Kamwe; b) Ninaweza, lakini chini ya masharti ya ziada; c) kuwa na kila wakati; d) swali haliwezi kujibiwa; d) jibu lingine.
4. Pointi K, L, M hulala kwenye mstari huo huo, hatua N haina uongo juu yake. Ndege moja hutolewa kupitia kila pointi tatu. Hii ilisababisha ndege ngapi tofauti? a) 1; b) 2; saa 3; d) 4; d) nyingi sana.
5. Chagua kauli sahihi. a) Ndege hupitia pointi tatu, na moja tu; b) ikiwa pointi mbili za mstari ziko kwenye ndege, basi pointi zote za mstari ziko kwenye ndege hii; c) ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi haziingiliani; d) ndege, na moja tu, hupitia mstari na uhakika uliolala juu yake; e) haiwezekani kuteka ndege kupitia mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana.
6. Taja mstari wa kawaida wa moja kwa moja wa ndege za PBM na MAB. a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) haiwezi kuamuliwa.
7. Mistari a na b hukatiza kwenye hatua ya M. Mstari c, bila kupita hatua ya M, inapita mistari a na b. Nini kinaweza kusemwa kuhusu nafasi za jamaa za mistari a, b na c? a) Mistari yote iliyonyooka iko katika ndege tofauti; b) mistari ya moja kwa moja a na b kulala katika ndege moja; c) mistari yote ya moja kwa moja iko kwenye ndege moja; d) hakuna kitu kinachoweza kusema; e) mstari c sanjari na moja ya mistari: aidha a au b.
8. Mistari a na b inakatiza katika sehemu ya O. A € a, B € b, Y € AB. Chagua kauli sahihi. a) Pointi O na Y hazilala kwenye ndege moja; b) mistari ya moja kwa moja OY na a ni sambamba; c) mistari ya moja kwa moja a, b na uhakika Y hulala kwenye ndege moja; d) pointi O na Y sanjari; e) pointi Y na A sanjari.
Chaguo la 2.1. Ni nini kinachoweza kusema juu ya nafasi ya jamaa ya ndege mbili ambazo zina pointi tatu za kawaida ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa?
a) Kuvuka; b) hakuna kitu kinachoweza kusema; c) usiingiliane; d) sanjari; e) kuwa na pointi tatu za kawaida.
2. Ni kauli gani kati ya zifuatazo ni ya kweli?
a) Ikiwa pointi mbili za mduara ziko kwenye ndege, basi mduara mzima uko kwenye ndege hii; b) mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege ya pembetatu huingilia pande zake mbili; c) ndege zozote mbili zina nukta moja tu ya kawaida; d) ndege hupitia pointi mbili, na moja tu; e) mstari umewekwa kwenye ndege ya pembetatu iliyotolewa ikiwa inaingiliana na mistari miwili iliyo na pande za pembetatu.
3. Je, ndege mbili tofauti zinaweza kuwa na pointi mbili tu za kawaida?
a) Kamwe; b) Ninaweza, lakini chini ya masharti ya ziada; c) kuwa na kila wakati; d) swali haliwezi kujibiwa; d) jibu lingine.
4. Pointi K, L, M hulala kwenye mstari huo huo, hatua N haina uongo juu yake. Ndege moja hutolewa kupitia kila pointi tatu. Hii ilisababisha ndege ngapi tofauti?
a) 1; b) 2; saa 3; d) 4; d) nyingi sana.
5. Chagua kauli sahihi.
a) Ndege hupitia pointi tatu, na moja tu; b) ikiwa pointi mbili za mstari ziko kwenye ndege, basi pointi zote za mstari ziko kwenye ndege hii; c) ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi haziingiliani; d) ndege, na moja tu, hupitia mstari na uhakika uliolala juu yake; e) haiwezekani kuteka ndege kupitia mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana.
6. Taja mstari wa kawaida wa moja kwa moja wa ndege za PBM na MAB.
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) haiwezi kuamuliwa.
7. Je, ni ndege gani kati ya zilizoorodheshwa ambazo mstari wa moja kwa moja RM hukatiza (Mchoro 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8.Ndege mbili hukatiza katika mstari ulionyooka c. Point M iko katika moja tu ya ndege. Ni nini kinachoweza kusema juu ya msimamo wa jamaa wa hatua M na mstari c?
a) Hakuna hitimisho linaloweza kutolewa; b) mstari wa moja kwa moja c hupitia hatua M; c) hatua M iko kwenye mstari c; d) mstari wa moja kwa moja c haipiti kwa uhakika M; d) jibu lingine.
9. Mistari a na b hukatiza kwa uhakika M. Mstari c, usiopitia hatua ya M, hupitia mistari a na b. Nini kinaweza kusemwa kuhusu nafasi za jamaa za mistari a, b na c?
a) Mistari yote iliyonyooka iko katika ndege tofauti; b) mistari ya moja kwa moja a na b kulala katika ndege moja; c) mistari yote ya moja kwa moja iko kwenye ndege moja; d) hakuna kitu kinachoweza kusema; e) mstari c sanjari na moja ya mistari: aidha a au b.
10. Mistari a na b inakatiza katika sehemu ya O. A € a, B € b, Y € AB. Chagua kauli sahihi.
a) Pointi O na Y hazilala kwenye ndege moja; b) mistari ya moja kwa moja OY na a ni sambamba; c) mistari ya moja kwa moja a, b na uhakika Y hulala kwenye ndege moja; d) pointi O na Y sanjari; e) pointi Y na A sanjari.
Je, miale ya AB na AC inalingana na ukingo wake? 2. Je, ni kweli kwamba angle ya mstari BAC ni pembe ya dihedral ikiwa miale ya AB na AC iko kwenye nyuso za angle ya dihedral? 3. Je, ni kweli kwamba angle BAC ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral ikiwa miale AB na AC ni perpendicular kwa makali yake, na pointi E na C ziko kwenye nyuso za angle? 4. Pembe ya mstari wa pembe ya dihedral ni digrii 80. Kuna mstari wa moja kwa moja katika moja ya nyuso za pembe ambayo ni ya kawaida kwa uso mwingine? 5. Angle ABC ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral yenye makali ya alpha. Je, mstari wa moja kwa moja ni alfa perpendicular kwa ndege ya ABC? Je! ni kweli kwamba mistari yote inayoendana na ndege fulani na inayokatiza mstari fulani iko kwenye ndege moja?
Katika planimetry, ndege ni moja ya takwimu kuu, kwa hiyo, ni muhimu sana kuwa na ufahamu wazi juu yake. Makala hii iliundwa ili kufunika mada hii. Kwanza, dhana ya ndege, uwakilishi wake wa kielelezo hutolewa na majina ya ndege yanaonyeshwa. Ifuatayo, ndege inazingatiwa pamoja na uhakika, mstari wa moja kwa moja au ndege nyingine, na chaguo hutokea kutoka kwa nafasi zao za jamaa katika nafasi. Katika aya ya pili na ya tatu na ya nne ya kifungu hicho, chaguzi zote za nafasi ya jamaa ya ndege mbili, mstari wa moja kwa moja na ndege, pamoja na pointi na ndege zinachambuliwa, axioms ya msingi na vielelezo vya graphic vinatolewa. Kwa kumalizia, mbinu kuu za kufafanua ndege katika nafasi zinatolewa.
Urambazaji wa ukurasa.
Ndege - dhana za msingi, alama na picha.
Takwimu rahisi zaidi na za msingi za kijiometri katika nafasi ya tatu-dimensional ni uhakika, mstari wa moja kwa moja na ndege. Tayari tuna wazo la uhakika na mstari kwenye ndege. Ikiwa tunaweka ndege ambayo pointi na mistari zinaonyeshwa katika nafasi ya tatu-dimensional, basi tunapata pointi na mistari katika nafasi. Wazo la ndege katika nafasi inaruhusu sisi kupata, kwa mfano, uso wa meza au ukuta. Hata hivyo, meza au ukuta ina vipimo vya mwisho, na ndege inaenea zaidi ya mipaka yake hadi infinity.
Pointi na mistari katika nafasi huteuliwa kwa njia sawa na kwenye ndege - kwa herufi kubwa na ndogo za Kilatini, mtawaliwa. Kwa mfano, pointi A na Q, mistari a na d. Ikiwa pointi mbili zilizolala kwenye mstari zimetolewa, basi mstari unaweza kuonyeshwa na barua mbili zinazofanana na pointi hizi. Kwa mfano, mstari wa moja kwa moja AB au BA hupitia pointi A na B. Ndege kawaida huonyeshwa na herufi ndogo za Kigiriki, kwa mfano, ndege, au.
Wakati wa kutatua shida, inakuwa muhimu kuonyesha ndege kwenye mchoro. Ndege kwa kawaida huonyeshwa kama msambamba au eneo rahisi lililofungwa kiholela.
Ndege kawaida huzingatiwa pamoja na pointi, mistari ya moja kwa moja au ndege nyingine, na chaguzi mbalimbali kwa nafasi zao za jamaa hutokea. Tuendelee na maelezo yao.
Msimamo wa jamaa wa ndege na uhakika.
Hebu tuanze na axiom: kuna pointi katika kila ndege. Kutoka hufuata chaguo la kwanza kwa nafasi ya jamaa ya ndege na uhakika - hatua inaweza kuwa ya ndege. Kwa maneno mengine, ndege inaweza kupita kwa uhakika. Ili kuonyesha kwamba hatua ni ya ndege, ishara "" hutumiwa. Kwa mfano, ikiwa ndege inapita kwenye hatua A, basi unaweza kuandika kwa ufupi.
Inapaswa kueleweka kuwa kwenye ndege fulani katika nafasi kuna pointi nyingi sana.
Axiom ifuatayo inaonyesha ngapi pointi katika nafasi lazima ziweke alama ili waweze kufafanua ndege maalum: kupitia pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo huo, ndege hupitia, na moja tu. Ikiwa pointi tatu zilizolala kwenye ndege zinajulikana, basi ndege inaweza kuashiria kwa barua tatu zinazofanana na pointi hizi. Kwa mfano, ikiwa ndege inapita kupitia pointi A, B na C, basi inaweza kuteuliwa ABC.
Hebu tuunda axiom nyingine, ambayo inatoa toleo la pili la nafasi ya jamaa ya ndege na uhakika: kuna angalau pointi nne ambazo hazilala katika ndege moja. Kwa hivyo, hatua katika nafasi haiwezi kuwa ya ndege. Hakika, kwa mujibu wa axiom ya awali, ndege hupitia pointi tatu katika nafasi, na hatua ya nne inaweza au inaweza kulala kwenye ndege hii. Unapoandika kwa ufupi, tumia ishara "", ambayo ni sawa na maneno "sio ya."
Kwa mfano, ikiwa nukta A haipo kwenye ndege, basi tumia nukuu fupi.
Mstari wa moja kwa moja na ndege katika nafasi.
Kwanza, mstari wa moja kwa moja unaweza kulala kwenye ndege. Katika kesi hii, angalau pointi mbili za mstari huu ziko kwenye ndege. Hii imeanzishwa na axiom: ikiwa pointi mbili za mstari ziko kwenye ndege, basi pointi zote za mstari huu ziko kwenye ndege. Ili kurekodi kwa ufupi mali ya mstari fulani kwa ndege fulani, tumia ishara "". Kwa mfano, nukuu inamaanisha kuwa mstari wa moja kwa moja upo kwenye ndege.
Pili, mstari wa moja kwa moja unaweza kukatiza ndege. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja na ndege zina hatua moja ya kawaida, ambayo inaitwa hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege. Wakati wa kuandika kwa ufupi, ninaashiria makutano na ishara "". Kwa mfano, nukuu inamaanisha kuwa mstari wa moja kwa moja a hukatiza ndege kwenye sehemu ya M. Wakati ndege inapita mstari fulani wa moja kwa moja, dhana ya pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege hutokea.
Kwa kando, inafaa kuzingatia mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na ndege na ni sawa kwa mstari wowote wa moja kwa moja ulio kwenye ndege hii. Mstari kama huo unaitwa perpendicular kwa ndege. Ili kurekodi kwa ufupi perpendicularity, tumia ishara "". Kwa utafiti wa kina zaidi wa nyenzo, unaweza kutaja perpendicularity ya makala ya mstari wa moja kwa moja na ndege.
Ya umuhimu hasa wakati wa kutatua matatizo yanayohusiana na ndege ni kinachojulikana kama vector ya kawaida ya ndege. Vekta ya kawaida ya ndege ni vekta yoyote isiyo ya sifuri iliyo kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege hii.
Tatu, mstari wa moja kwa moja unaweza kuwa sawa na ndege, yaani, inaweza kuwa haina pointi za kawaida ndani yake. Unapoandika concurrency kwa ufupi, tumia ishara "". Kwa mfano, ikiwa mstari a ni sambamba na ndege, basi tunaweza kuandika. Tunapendekeza kwamba usome kesi hii kwa undani zaidi kwa kurejelea usawa wa kifungu cha mstari na ndege.
Inapaswa kuwa alisema kuwa mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege hugawanya ndege hii katika nusu-ndege mbili. Mstari wa moja kwa moja katika kesi hii inaitwa mpaka wa nusu-ndege. Pointi zote mbili za nusu-ndege sawa ziko upande mmoja wa mstari, na alama mbili za nusu-ndege tofauti ziko pande tofauti za mstari wa mpaka.
Mpangilio wa pande zote wa ndege.
Ndege mbili katika nafasi zinaweza sanjari. Katika kesi hii, wana angalau pointi tatu zinazofanana.
Ndege mbili angani zinaweza kukatiza. Makutano ya ndege mbili ni mstari wa moja kwa moja, ambao umeanzishwa na axiom: ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi zina mstari wa moja kwa moja ambao pointi zote za kawaida za ndege hizi ziko.
Katika kesi hii, dhana ya pembe kati ya ndege zinazoingiliana hutokea. Ya riba hasa ni kesi wakati angle kati ya ndege ni digrii tisini. Ndege kama hizo huitwa perpendicular. Tulizungumza juu yao katika kifungu cha perpendicularity ya ndege.
Hatimaye, ndege mbili katika nafasi zinaweza kufanana, yaani, hazina pointi za kawaida. Tunapendekeza usome nakala ya usawa wa ndege ili kupata ufahamu kamili wa chaguo hili kwa mpangilio wa jamaa wa ndege.
Mbinu za kufafanua ndege.
Sasa tutaorodhesha njia kuu za kufafanua ndege maalum katika nafasi.
Kwanza, ndege inaweza kufafanuliwa kwa kurekebisha alama tatu kwenye nafasi ambazo hazilala kwenye mstari sawa. Njia hii inategemea axiom: kupitia pointi yoyote tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo huo, kuna ndege moja.
Ikiwa ndege ni fasta na maalum katika nafasi tatu-dimensional kwa kuonyesha kuratibu ya pointi zake tatu tofauti ambayo si uongo juu ya mstari sawa sawa, basi tunaweza kuandika equation ya ndege kupita pointi tatu zilizotolewa.
Njia mbili zifuatazo za kufafanua ndege ni matokeo ya uliopita. Zinatokana na mfuatano wa axiom kuhusu ndege inayopitia pointi tatu:
- ndege hupitia mstari na hatua isiyolala juu yake, na moja tu (angalia pia equation ya makala ya ndege inayopitia mstari na uhakika);
- Kuna ndege moja tu inayopitia mistari miwili inayoingiliana (tunapendekeza usome nyenzo katika kifungu: usawa wa ndege inayopitia mistari miwili inayoingiliana).
Njia ya nne ya kufafanua ndege katika nafasi inategemea kufafanua mistari sambamba. Kumbuka kwamba mistari miwili katika nafasi inaitwa sambamba ikiwa iko kwenye ndege moja na haiingiliani. Kwa hivyo, kwa kuonyesha mistari miwili inayofanana katika nafasi, tutaamua ndege pekee ambayo mistari hii iko.
Ikiwa ndege inatolewa kwa njia iliyoonyeshwa katika nafasi ya tatu-dimensional kuhusiana na mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi tunaweza kuunda equation kwa ndege inayopitia mistari miwili ya sambamba.
Katika masomo ya jiometri ya shule ya sekondari, theorem ifuatayo inathibitishwa: kwa njia ya hatua ya kudumu katika nafasi kunapita ndege moja perpendicular kwa mstari fulani. Kwa hivyo, tunaweza kufafanua ndege ikiwa tunataja hatua ambayo inapita na mstari wa perpendicular kwa hiyo.
Ikiwa mfumo wa kuratibu wa mstatili umewekwa katika nafasi ya tatu-dimensional na ndege imeelezwa kwa njia iliyoonyeshwa, basi inawezekana kujenga equation kwa ndege inayopitia hatua fulani perpendicular kwa mstari uliopewa moja kwa moja.
Badala ya mstari wa perpendicular kwa ndege, unaweza kutaja moja ya vectors ya kawaida ya ndege hii. Katika kesi hii, inawezekana kuandika
Axioms ya sterometry.
A1. Kupitia pointi zozote tatu ambazo haziko kwenye mstari fulani, ndege hupitia, na moja tu;
Sl.1. Kupitia mstari wa moja kwa moja na hatua isiyolala juu yake kunapita ndege, na moja tu;
Sl.2. Ndege hupitia mistari miwili inayokatiza, na moja tu;
Sl.3. Ndege hupitia mistari miwili inayofanana, na moja tu.
A2.Ikiwa pointi mbili za mstari ziko kwenye ndege, basi pointi zote za mstari ziko kwenye ndege hii.;
A3. Ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi zina mstari wa moja kwa moja ambao pointi zote za kawaida za ndege hizi ziko.
Takwimu za msingi za sterometry- pointi (A, B, C...), moja kwa moja (a, b, c...), ndege ( …) , polihedra na miili ya mzunguko.
Chini ya kukata ndege Kielelezo cha pande tatu kitaeleweka kama ndege, pande zote mbili ambazo kuna alama za takwimu hii.
Nyuma kipimo cha umbali kati ya hatua, mstari na ndege tutachukua urefu wa perpendicular yao ya kawaida.
2. Nafasi ya jamaa ya mistari katika nafasi.
Katika nafasi mistari miwili inaweza kuwa sambamba, kuvuka au kuvuka.
| 1A | Def. Sambamba Mistari katika nafasi ni mistari ambayo iko kwenye ndege moja na haiingiliani. Kulingana na ijayo 3. Ndege hupitia mistari miwili inayofanana, na moja tu. | |
| 1B | T 1 (kuhusu transitivity). Mistari miwili sambamba na ya tatu ni sambamba kwa kila mmoja. | |
| 2A | Kulingana na 2 ijayo. Baada ya mbili kukatiza ndege hupitia mistari iliyonyooka, na moja tu | |
| 3A | Def. Mistari miwili iliyonyooka inaitwa kuzaliana, ikiwa hawana uongo katika ndege moja. | |
| T 2 (Ishara ya kuvuka mistari). Ikiwa moja ya mistari miwili iko kwenye ndege fulani, na mstari mwingine unaingilia ndege hii kwa hatua isiyo ya mstari wa kwanza, basi mistari hiyo ni skew. | ||
| 3B | Def. Pembe kati ya mistari inayokatiza inayoitwa pembe kati ya mistari inayoingiliana inayoingiliana. | |
| 3B | Def. Njia ya kawaida ya mistari miwili ya skew ni sehemu ambayo ina mwisho kwenye mistari hii na ni ya kawaida kwao. (umbali kati ya mistari ya kuvuka). |
- Msimamo wa jamaa wa mistari ya moja kwa moja na ndege katika nafasi.
Katika nafasi, mstari wa moja kwa moja na ndege inaweza kuwa sambamba, pingana au moja kwa moja inaweza kulala kabisa kwenye ndege.
| 1A | Def. Moja kwa moja kuitwa sambamba na ndege, ikiwa ni sambamba na mstari wowote ulio kwenye ndege hii. | |
| 1B | T 3 (Ishara ya usawa kati ya mstari na ndege). Mstari ulionyooka ambao hauko kwenye ndege ni sambamba na ndege ikiwa ni sambamba na mstari fulani ulionyooka kwenye ndege hii. | |
| 2A | Def. Mstari wa moja kwa moja unaitwa perpendicular kwa ndege, ikiwa ni sawa na mistari yoyote inayokatiza iliyo kwenye ndege hii. | |
| 2B | T 4 (ishara ya perpendicularity ya mstari na ndege) Ikiwa mstari unaokatiza ndege ni sawa na mistari miwili inayoingiliana iliyo kwenye ndege hii, basi ni sawa kwa kila mstari wa tatu ulio kwenye ndege hii. | |
| 2B | T 5 (kuhusu mistari miwili inayofanana perpendicular hadi ya tatu). Ikiwa moja ya mistari miwili inayofanana ni perpendicular kwa ndege, basi mstari mwingine pia ni perpendicular kwa ndege hii. | |
| 2G | Def. Pembe kati ya mstari na ndege ni pembe kati ya mstari fulani na makadirio yake kwenye ndege. | |
| 2D | Def. Mstari mwingine wowote wa moja kwa moja, tofauti na perpendicular na intersecting ndege, inaitwa kutega kwa ndege hii (tazama mchoro hapa chini). Def. Makadirio ya ndege iliyoelekezwa inayoitwa sehemu inayounganisha msingi wa perpendicular na inclined. T 6 (kuhusu urefu wa perpendicular na inclined). 1) Perpendicular inayotolewa kwa ndege fupi kuliko ile iliyoelekezwa kwa ndege hii; 2) Obliques sawa yanahusiana na makadirio sawa; 3) Kati ya hizo mbili zenye mwelekeo, yule ambaye makadirio yake ni makubwa zaidi ni makubwa. | |
| 2E | T 7 (kuhusu perpendiculars tatu). Mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwenye ndege kupitia msingi wa ndege iliyoelekezwa kwa makadirio yake pia ni ya kawaida kwa ile iliyoelekezwa yenyewe. T 8 (nyuma). Mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwenye ndege kupitia msingi wa ndege iliyoelekezwa na inayoelekea kwake pia ni sawa na makadirio ya ndege iliyoelekezwa kwenye ndege hii. | |
| 3A | Kwa axiom 2. Ikiwa pointi mbili za mstari ziko kwenye ndege, basi pointi zote za mstari ziko kwenye ndege hii. |
- Mpangilio wa pande zote wa ndege katika nafasi.
Katika nafasi, ndege zinaweza kuwa sambamba au msalaba.
| 1A | Def. Mbili ndege zinaitwa sambamba, ikiwa haziingiliani. | |
| T 9 (ishara ya ndege sambamba). Ikiwa mistari miwili inayoingiliana ya ndege moja inafanana kwa mtiririko wa mistari miwili ya ndege nyingine, basi ndege hizi zinafanana. | ||
| 1B | T 10 Ikiwa ndege mbili zinazofanana zimeunganishwa na ndege ya tatu, basi mistari ya moja kwa moja ya makutano ni sambamba. (mali ya ndege sambamba 1). | |
| 1B | T 11 Sehemu za mistari sambamba iliyofungwa kati ya ndege sambamba ni sawa (mali ya ndege sambamba 2). | |
| 2A | Kulingana na axiom 3. Ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi zina mstari wa kawaida ambao pointi zote za kawaida za ndege hizi ziko ( ndege huingiliana kwa mstari ulionyooka). | |
| 2B | T 12 (ishara ya perpendicularity ya ndege). Ikiwa ndege inapita kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege nyingine, basi ndege hizi ni perpendicular. | |
| 2B | Def. Pembe ya dihedral ni takwimu inayoundwa na nusu-ndege mbili zinazotoka kwenye mstari mmoja ulionyooka. Ndege inayoelekea ukingo wa pembe ya dihedral hukatiza nyuso zake pamoja na miale miwili. Pembe inayoundwa na miale hii inaitwa pembe ya mstari wa pembe ya dihedral. Nyuma kipimo cha angle ya dihedral kipimo cha pembe inayolingana ya mstari huchukuliwa. |
I5 Vyovyote vile pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari mmoja, kuna angalau ndege moja inayopitia pointi hizi.
I6 Ikiwa pointi mbili A na B za mstari ziko kwenye ndege a, basi kila ncha ya mstari iko kwenye ndege a. (Katika kesi hii tutasema kwamba mstari a upo kwenye ndege a au kwamba ndege hupitia mstari a.
I7 Ikiwa ndege mbili a na b zina nukta A inayofanana, basi zina angalau nukta moja ya kawaida B.
I8 Kuna angalau pointi nne ambazo hazilala katika ndege moja.
Tayari kutoka kwa axioms hizi 8 inawezekana kuamua nadharia kadhaa za jiometri ya msingi, ambayo ni wazi wazi na, kwa hiyo, haijathibitishwa katika kozi ya jiometri ya shule na hata wakati mwingine, kwa sababu za kimantiki, imejumuishwa katika axioms ya shule moja au nyingine. kozi
Kwa mfano:
1. Mistari miwili ina angalau sehemu moja ya kawaida.
2. Ikiwa ndege mbili zina hatua ya kawaida, basi zina mstari wa kawaida ambao pointi zote za kawaida za ndege hizi mbili ziko.
Uthibitisho: (kwa kujionyesha):
Kwa mimi 7 $ B, ambayo pia ni ya a na b, kwa sababu A,B "a, basi kulingana na I 6 AB" b. Hii ina maana kwamba mstari wa moja kwa moja AB ni wa kawaida kwa ndege mbili.
3. Kupitia mstari na hatua isiyolala juu yake, pamoja na kupitia mistari miwili ya kuingiliana, kunapita ndege moja na moja tu.
4. Katika kila ndege kuna pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo.
MAONI: Kwa kutumia axioms hizi unaweza kuthibitisha nadharia chache na nyingi ni rahisi sana. Hasa, haiwezekani kuthibitisha kutoka kwa axioms hizi kwamba seti ya vipengele vya kijiometri haina ukomo.
Axioms za utaratibu za KUNDI II.
Ikiwa pointi tatu zimepewa kwa mstari wa moja kwa moja, basi moja yao inaweza kuhusishwa na nyingine mbili katika uhusiano "uongo kati", ambayo inakidhi axioms zifuatazo:
II1 Ikiwa B iko kati ya A na C, basi A, B, C ni pointi tofauti za mstari mmoja na B iko kati ya C na A.
II2 Vyovyote vile pointi mbili A na B, kuna angalau nukta C kwenye mstari AB kiasi kwamba B iko kati ya A na C.
II3 Kati ya nukta zozote tatu kwenye mstari, kuna angalau sehemu moja iliyo kati ya hizo mbili
Kulingana na Hilbert, juu ya sehemu ya AB(BA) tunamaanisha jozi ya alama A na B. Pointi A na B zinaitwa mwisho wa sehemu, na sehemu yoyote iliyo kati ya alama A na B inaitwa sehemu ya ndani ya sehemu hiyo. AB(BA).
MAONI: Lakini kutoka II 1-II 3 bado haifuatii kwamba kila sehemu ina pointi za ndani, lakini kutoka II 2, Þ kwamba sehemu hiyo ina pointi za nje.
II4 (Pasch's axiom) Acha A, B, C ziwe nukta tatu ambazo hazilai kwenye mstari mmoja, na iwe na mstari ulionyooka kwenye ndege ya ABC ambayo haipiti pointi yoyote A, B, C. Kisha ikiwa mstari wa moja kwa moja a unapitia hatua kwenye sehemu ya AB, basi pia hupitia hatua kwenye sehemu ya AC au BC.
Sl.1: Vyovyote vile pointi A na C, kuna angalau nukta D kwenye mstari wa AC ulio kati ya A na C.
Hati: I 3 Þ$ yaani sijalala kwenye mstari wa AC
Sl.2. Ikiwa C iko kwenye sehemu ya AD na B kati ya A na C, basi B iko kati ya A na D, na C kati ya B na D.Sasa tunaweza kuthibitisha kauli mbili
DC3 Taarifa ya II 4 pia inashikilia ikiwa pointi A, B na C ziko kwenye mstari ulionyooka sawa.
Na jambo la kuvutia zaidi.
Kiwango cha 4 . Kati ya pointi mbili kwenye mstari kuna idadi isiyo na kikomo ya pointi nyingine (binafsi).
Walakini, haiwezi kuthibitishwa kuwa seti ya alama kwenye mstari haiwezi kuhesabika .
Axioms ya vikundi vya I na II huturuhusu kuanzisha dhana muhimu kama vile nusu-ndege, ray, nusu-nafasi na angle. Kwanza tunathibitisha nadharia.
Th1. Mstari ulio kwenye ndege a hugawanya seti ya alama za ndege hii ambazo haziko kwenye mstari a katika sehemu ndogo mbili zisizo tupu ili ikiwa alama A na B ni za kitengo kimoja, basi sehemu ya AB haina kawaida. pointi na mstari a; ikiwa pointi hizi ni za vikundi vidogo tofauti, basi sehemu ya AB ina pointi ya kawaida na mstari a.
Wazo: uhusiano unaanzishwa, yaani, A na B Ï A ziko kwenye uhusiano Δ ikiwa sehemu ya AB haina alama za kawaida na mstari A au pointi hizi zinapatana. Kisha seti za madarasa ya usawa kwa heshima na uhusiano Δ zilizingatiwa. Imethibitishwa kuwa kuna wawili tu kati yao wanaotumia hoja rahisi.
Odr1 Kila moja ya sehemu ndogo za pointi zilizofafanuliwa na theorem ya awali inaitwa nusu-ndege na mpaka a.
Vile vile, tunaweza kuanzisha dhana za ray na nusu ya nafasi.
Ray- h, na mstari ulionyooka ni .
Odr2 Pembe ni jozi ya miale h na k inayotoka kwenye sehemu moja ya O na sio kulala kwenye mstari sawa sawa. kwa hivyo O inaitwa kipeo cha pembe, na miale h na k ni pande za pembe. Tunaashiria kwa njia ya kawaida: Ðhk.
Pointi M inaitwa sehemu ya ndani ya pembe hk ikiwa nukta M na ray k ziko kwenye nusu-ndege sawa na mpaka na uhakika M na ray k ziko kwenye nusu-ndege iliyo na mpaka. Seti ya pointi zote za mambo ya ndani inaitwa kanda ya ndani ya pembe.
Eneo la nje la kona ni seti isiyo na mwisho, kwa sababu pointi zote za sehemu zilizo na ncha kwenye pande tofauti za pembe ni za ndani. Mali ifuatayo mara nyingi hujumuishwa katika axioms kwa sababu za mbinu.
Mali: Ikiwa ray inatoka kwenye vertex ya pembe na inapita kupitia angalau hatua moja ya mambo ya ndani ya pembe hii, basi inapita sehemu yoyote na ncha kwenye pande tofauti za angle. (Kujijenga)
KUNDI LA III. Misingi ya ulinganifu (usawa)
Kwenye seti ya sehemu na pembe, uhusiano wa mshikamano au usawa huletwa (unaoonyeshwa na "="), kukidhi axioms:
III 1 Ikiwa sehemu ya AB na ray inayotoka kwa uhakika A / hutolewa, basi $ t.B / mali ya ray hii, ili AB = A / B / .
III 2 Ikiwa A / B / =AB na A // B // =AB, basi A / B / =A // B // .
III 3 Acha A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / na BC=B / C / , kisha AC=A / C /
Odr3 Ikiwa O / ni hatua, h / ni ray inayotoka kwa hatua hii, na l / ni nusu ya ndege yenye mpaka , basi vitu vitatu vya O / , h / na l / huitwa bendera ( O / , h / ,l /).
III 4 Acha Ðhk na bendera (О / ,h / ,l /) itolewe. Kisha katika nusu ya ndege l / kuna ray ya kipekee k / inayotoka kwa uhakika O / vile kwamba Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Acha A, B na C ziwe pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari mmoja. Ikiwa, katika kesi hii, AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, basi ÐABC = ÐA / B / C / .
1. Pointi B/B III 1 ndiyo pekee kwenye boriti hii (ubinafsi)
2. Uhusiano wa usawa wa sehemu ni uhusiano wa usawa kwenye seti ya sehemu.
3. Katika pembetatu ya isosceles, pembe kwenye besi ni sawa. (Kulingana na III 5).
4. Ishara za usawa wa pembetatu.
5. Uhusiano wa ulinganifu wa pembe ni uhusiano wa usawa kwenye seti ya pembe. (Ripoti)
6. Pembe ya nje ya pembetatu ni kubwa kuliko kila pembe ya pembetatu ambayo haiko karibu nayo.
7. Katika kila pembetatu, pembe kubwa iko kinyume na upande mkubwa.
8. Sehemu yoyote ina kituo kimoja na kimoja pekee
9. Pembe yoyote ina kipenyo kimoja na kimoja pekee
Dhana zifuatazo zinaweza kuletwa:
Odr4 Pembe sawa na ile iliyo karibu inaitwa pembe ya kulia.
Unaweza kufafanua pembe za wima, perpendicular na oblique, nk.
Inawezekana kuthibitisha upekee wa ^. Unaweza kutambulisha dhana > na< для отрезков и углов:
Odr5 Ikiwa sehemu za AB na A / B / na $ t.C zimetolewa, yaani A / -C-B / na A / C = AB, kisha A / B / >AB.
Odr6 Ikiwa pembe mbili Ðhk na Ðh / k / zinatolewa, na ikiwa kupitia eneo la ndani Ðhk na vertex yake mtu anaweza kuchora ray l vile Ðh / k / = Ðhl, basi Ðhk > Ðh / k / .
Na jambo la kuvutia zaidi ni kwamba kwa msaada wa axioms ya vikundi I-III mtu anaweza kuanzisha dhana ya mwendo (superposition).
Imefanywa kitu kama hiki:
Hebu seti mbili za pointi p na p / zipewe.Tuchukulie kwamba mawasiliano ya moja kwa moja yameanzishwa kati ya pointi za seti hizi. Kila jozi ya pointi M na N ya seti p inafafanua sehemu ya MN. Wacha M / na N / ziwe alama za seti p / inayolingana na alama MN. Wacha tukubali kuiita sehemu M / N / inayolingana na sehemu ya MN.
Odr7 Ikiwa mawasiliano kati ya p na p / ni kwamba sehemu zinazolingana kila wakati zinageuka kuwa sawa, basi seti p na p / huitwa mshikamano . Kwa kuongezea, pia wanasema kwamba kila moja ya seti p na p / hupatikana harakati kutoka kwa mwingine au kwamba moja ya seti hizi inaweza kuwa superimposed juu ya nyingine. Pointi zinazolingana za seti p na p / zinaitwa kuingiliana.
Idhini1: Pointi ziko kwenye mstari wa moja kwa moja, wakati wa kusonga, ubadilishe kuwa alama pia ziko kwenye mstari fulani wa moja kwa moja.
Utv2 Pembe kati ya sehemu mbili zinazounganisha sehemu ya seti na sehemu zake zingine mbili inalingana na pembe kati ya sehemu zinazolingana za seti inayolingana.
Unaweza kuanzisha dhana ya mzunguko, mabadiliko, muundo wa harakati, nk.
KUNDI LA IV. Axioms mwendelezo Na.
IV 1 (Axiom ya Archimedes). Acha AB na CD ziwe baadhi ya sehemu. Halafu kwenye mstari wa moja kwa moja AB kuna seti ndogo ya alama A 1, A 2, ..., A n ili hali zifuatazo zitimizwe:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Cantor's Axiom) Acha mlolongo usio na kipimo wa sehemu A1B1, A2B2,... itolewe kwa mstari wa kiholela a, ambayo kila inayofuata iko ndani ya ile ya awali na, kwa kuongeza, kwa CD yoyote ya sehemu kuna nambari ya asili. n kiasi kwamba AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
