Je, kuratibu za vekta huamuliwaje? §3

Vector kuratibu

Kiasi kinaitwa abscissa ya vector, na nambari ni yake kuratibu

Jinsi msingi unavyoundwa kwenye ndege

Jinsi msingi unavyoundwa katika nafasi

Msingi wa nafasi ya vekta ni mfumo wa juu wa uhuru wa mstari ulioamuru wa vekta kutoka kwa nafasi hii.

Mfumo wa Ufafanuzi wa vekta a1, a2,. . . , kutoka kwa nafasi ya vekta V inaitwa mfumo wa jenereta za nafasi hii ikiwa vekta yoyote kutoka V inaonyeshwa kwa mstari kupitia vectors a1, a2, . . . , a.

Mfumo ulioamuru wa vekta ni msingi wa nafasi ya vekta V ikiwa na tu ikiwa ni mfumo wa kujitegemea wa jenereta wa nafasi hii.

Msingi wa Cartesian ni nini?

Ikiwa vekta e1, e2, e3 ni za orthogonal na modulo sawa na moja, basi huitwa orts ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian ya mstatili, na msingi yenyewe ni msingi wa kawaida wa Cartesian.

Tengeneza sifa za kuratibu za vekta katika msingi wa Cartesian

Viwianishi vya nukta ni nini?

Umbali wa hatua kutoka kwa ndege za kuratibu huitwa kuratibu za uhakika.
Umbali AA hatua 1 kutoka kwa ndege P 1 inaitwa applicate ya uhakika na inaashiria y A, umbali AA pointi 2 kutoka kwa ndege P 2 ni kuratibu ya uhakika na inaashiria y A, umbali AA pointi 3. kutoka kwa ndege P 3 ni abscissa ya uhakika na inaashiria x A.
Kwa wazi, uratibu wa hatua ya z A ni urefu wa AA 1, uratibu wa hatua ya kuratibu y A ni kina AA 2, uratibu wa hatua ya abscissa x A ni latitudo AA 3.

Je, kuratibu za vekta huhesabiwaje ikiwa kuratibu za mwisho na mwanzo wake zinajulikana?

Jinsi ya kuhesabu umbali kati ya pointi mbili ikiwa kuratibu zao zinajulikana

Wewe mwenyewe unajua kwamba AB (x1-x2;y1-y2)
Umbali kati ya pointi ni urefu wa vector AB.

Je, cosine za mwelekeo ni nini

Kosini za mwelekeo wa vekta ni kosini za pembe ambazo vekta huunda na mihimili chanya ya nusu ya kuratibu.

Kosini za mwelekeo hutaja kwa njia ya kipekee mwelekeo wa vekta.

Kinachoitwa makadirio ya vekta kwenye mhimili, thibitisha mali ya makadirio.

Makadirio ya Vector kwa mhimili l() ni urefu wa sehemu yake kwa mhimili l, kuchukuliwa kwa ishara ya pamoja ikiwa mwelekeo wa sehemu unafanana na mwelekeo wa mhimili l, na kwa ishara ya minus ikiwa mwelekeo wa sehemu ni kinyume na mwelekeo wa mhimili.

Ikiwa = , kisha wanaamini = .

Nadharia ya I Makadirio ya vekta kwenye mhimili wa l ni sawa na bidhaa ya moduli yake na kosine ya pembe kati ya vekta hii na mhimili wa l.

Ushahidi. Kwa kuwa vekta = bure, tunaweza kudhani kuwa asili yake O iko kwenye mhimili wa l(Mchoro 34).

Ikiwa pembe mkali, basi mwelekeo wa sehemu = , vector inafanana na mwelekeo wa mhimili l(Kielelezo 34, a).

Katika kesi hii tunayo = + = . Ikiwa pembe (Mchoro 34, b) , kisha mwelekeo wa sehemu = vector kinyume na mwelekeo wa mhimili l. Kisha tunapata = = cos(-) = cos

Vile vile huenda kwa vector.

Ni bidhaa gani ya scalar ya vekta

Bidhaa ya nukta mbili zisizo sifuri vekta a na b ni nambari sawa na bidhaa ya urefu wa hizi vekta kwa cosine ya pembe kati yao.

Tengeneza hali ya orthogonality ya vekta

Masharti ya usawa wa vekta a na b orthogonal (perpendicular), ikiwa bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri.

Thibitisha mali ya bidhaa ya scalar ya vekta

Mali ya bidhaa ya scalar ya vekta

Bidhaa ya scalar ya vekta yenyewe daima ni kubwa kuliko au sawa na sifuri:

Bidhaa ya scalar ya vekta yenyewe ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta ni sawa na vekta sifuri:

a = 0<=>a = 0

Bidhaa ya scalar ya vekta yenyewe ni sawa na mraba wa moduli yake:

Uendeshaji wa kuzidisha kwa scalar ni mawasiliano:

Ikiwa bidhaa ya scalar ya vekta mbili zisizo za sifuri ni sawa na sifuri, basi vekta hizi ni za orthogonal:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

(αa) b = α(a b)
Uendeshaji wa kuzidisha kwa scalar ni usambazaji:

(a + b) c = a c + b c

Pata mwonekano mkubwa wa bidhaa kulingana na viwianishi

Tengeneza mali ya bidhaa ya vekta

FORMULA 1 TU

Kutoka juu ni kiashiria.

Jiometri ya uchambuzi

1. Thibitisha nadharia kuhusu mlingano wa jumla wa mstari kwenye ndege

2. Fanya utafiti wa equation ya jumla ya mstari kwenye ndege

3. Pata usawa wa mstari wa moja kwa moja kwenye ndege yenye mgawo wa angular na usawa wa mstari wa moja kwa moja katika sehemu kwenye shoka.

4. Pata mlinganyo wa kisheria wa mstari kwenye ndege, andika milinganyo ya parametric, pata mlingano wa mstari unaopita pointi mbili ulizopewa.

5. Je, pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye ndege hubainishwaje ikiwa imetolewa kwa milinganyo ya kisheria au milinganyo yenye mgawo wa angular?

6. Pata masharti ya usawa, sadfa na upenyo wa mistari kwenye ndege.

7. Pata fomula ya kuhesabu umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja kwenye ndege

8. Thibitisha nadharia kuhusu equation ya jumla ya ndege

9. Tengeneza na uthibitishe nadharia kuhusu nafasi ya jamaa ya jozi ya ndege

10. Fanya utafiti wa equation ya jumla ya ndege

11. Pata mlinganyo wa ndege katika sehemu na mlinganyo wa ndege inayopitia pointi mbili ulizopewa.

12. Pata fomula ya kuhesabu umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege

13. Je, angle kati ya ndege imehesabiwaje?

14. Pata masharti ya usawa na perpendicularity ya ndege mbili

15. Andika fomu ya jumla ya milinganyo ya mstari katika nafasi, pata fomu ya kisheria ya milinganyo ya mstari katika nafasi.

16. Pata usawa wa parametric wa mstari katika nafasi, pamoja na mstari unaopitia pointi mbili katika nafasi.

17. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka katika nafasi imeamuliwaje? Andika masharti ya usambamba na upenyo wa mistari kwenye nafasi

18. Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege imedhamiriwaje? Andika masharti ya perpendicularity na usawa wa mstari na ndege

19. Pata sharti la mistari miwili iliyonyooka kuwa ya ndege moja

Uchambuzi wa hisabati

1. Kazi ni nini, ni njia gani za kuifafanua?

2. Je, ni kazi gani hata na isiyo ya kawaida, jinsi ya kujenga grafu zao

3. Je, kazi za mara kwa mara na za kinyume ni nini, jinsi ya kujenga grafu zao

4. Chora vitendaji vya ufafanuzi na logarithmic katika grafu kwa a>1, a<1.

5. Utegemezi wa harmonic ni nini, ni aina gani ya grafu yake?

6. Chora grafu y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Kazi ya msingi ni nini. Grafu za kazi za kimsingi za kimsingi

8. Jinsi ya kuunda grafu kama y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)

9. Mlolongo wa nambari ni nini, ni njia gani za kufafanua?

10. Mlolongo wa monotonic na mipaka ni nini?

11. Ni nini kinachoitwa kikomo cha mlolongo? Andika ufafanuzi kwamba nambari fulani sio kikomo cha mlolongo fulani

12. Tengeneza mali ya mipaka ya mlolongo

13. Thibitisha sifa kuu mbili za mfuatano wa muunganisho

14. Ni yupi kati yao anayetoa hali ya lazima ya muunganisho?

15. Tengeneza nadharia ambayo inatoa hali ya kutosha kwa muunganisho wa mlolongo

16. Thibitisha sifa zozote za mipaka ya mlolongo

17. Je, mlolongo usio na kikomo (mkubwa) ni upi?

18. Tengeneza sifa za mlolongo usio na kikomo

19. Nini kinaitwa kikomo cha kazi?

20. Tengeneza sifa za mipaka ya kazi

21. Nini kinaitwa kikomo cha upande mmoja?

22. Andika kikomo cha kwanza cha ajabu na upate matokeo yake

23. Andika kikomo cha pili cha ajabu na upate matokeo yake

24. Ni kazi gani zinazoitwa zisizo na ukomo, zenye mipaka, kubwa sana?

25. Tengeneza sifa za kazi zisizo na kikomo, thibitisha yoyote kati yao

26. Ni dhana gani zinazoletwa ili kulinganisha kazi zisizo na ukomo, kutoa ufafanuzi wao

27. Ni kazi gani inayoitwa kuendelea katika hatua fulani?

28. Tengeneza kigezo cha mwendelezo na ubainishe aina za kutoendelea

29. Ni nini derivative ya kazi katika hatua maalum?

30. Ni nini kinachoitwa derivatives za upande mmoja?

31. Tofauti ya kitendakazi ni nini na inahusiana vipi na ongezeko la kitendakazi?

32. Maana ya kimwili ya derivatives ya kwanza na ya pili

33. Je, derivative ya kazi ni nini?

34. Orodhesha sifa za viasili, thibitisha viwili kati yake (u+v)" na (uv)"

35. Andika jedwali la derivatives, thibitisha fomula zozote mbili

36. Nini maana ya kijiometri ya derivative na tofauti?

37. Pata equation ya tangent na ya kawaida kwa grafu ya kazi

38. Thibitisha nadharia kuhusu derivative ya kazi changamano

39. Pata derivative ya kitendakazi kinyume (toa mfano wa kuipata)

40. Thibitisha nadharia kwenye calculus ya derivatives

41. Thibitisha nadharia zote za thamani kwa vitendaji vinavyoweza kutofautishwa

42. Tengeneza na uthibitishe utawala wa L'Hopital

43. Ni kazi gani zinazoitwa kuongezeka na kupungua kwa muda?

44. Thibitisha nadharia kuhusu uhusiano kati ya derivative na ongezeko la kazi

45. Ni nini pointi kali?

46. Thibitisha hali inayohitajika kwa mtu mwenye msimamo mkali

47. Pata aina mbili za hali ya kutosha kwa ajili ya extremum

48. Jinsi ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kwenye sehemu?

49. Ni kazi gani zinazoitwa convex na concave?

50. Jinsi ya kuchunguza kazi kwa convexity na concavity? Pointi za inflection ni nini?

51. Asymptotes - kutoa ufafanuzi, kueleza mbinu za kutafuta

52. Pata fomula ya kutafuta derivative (ya kwanza na ya pili) ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kigezo.

53. Je, kazi ya vector ni nini, hodograph yake na maana yake ya mitambo?

54. Eleza kwa ukubwa na mwelekeo kasi na uharakishaji wa sehemu ya nyenzo na mwendo wa sare katika mduara.

55. Onyesha ukubwa na mwelekeo wa kasi na uharakishaji wa sehemu ya nyenzo na mwendo usio sawa katika mduara.

56. Pata viini vya chaguo za kukokotoa y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx

Viratibu vya vekta ni nini?

Vector kuratibu huitwa makadirio na ya vekta fulani kwenye mhimili na mhimili, mtawaliwa:

Kiasi kinaitwa abscissa ya vector, na nambari ni yake kuratibu. Ukweli kwamba vekta ina kuratibu na imeandikwa kama ifuatavyo: .

Mfumo wa kuratibu wa mstatili

Ili kufafanua dhana ya kuratibu za pointi, tunahitaji kuanzisha mfumo wa kuratibu ambao tutaamua kuratibu zake. Hatua sawa katika mifumo tofauti ya kuratibu inaweza kuwa na kuratibu tofauti. Hapa tutazingatia mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi.

Wacha tuchukue hatua $O$ kwenye nafasi na tutambulishe viwianishi $(0,0,0)$ kwa ajili yake. Hebu tuite asili ya mfumo wa kuratibu. Hebu tuchore shoka tatu zinazofanana $Ox$, $Oy$ na $Oz$ kupitia kwayo, kama ilivyo kwenye Mchoro 1. Mihimili hii itaitwa abscissa, ordinatere and applicate axes, mtawalia. Yote iliyobaki ni kuingia kwa kiwango kwenye axes (sehemu ya kitengo) - mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi iko tayari (Mchoro 1)

Kielelezo 1. Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi. Mwandishi24 - kubadilishana mtandaoni kwa kazi ya wanafunzi

Viratibu vya pointi

Sasa hebu tuangalie jinsi kuratibu za hatua yoyote zimeamua katika mfumo huo. Hebu tuchukue hatua ya kiholela $ M $ (Mchoro 2).

Hebu tujenge parallelepiped ya mstatili kwenye axes za kuratibu, ili pointi $ O $ na $ M $ ni kinyume na wima zake (Mchoro 3).

Kielelezo 3. Ujenzi wa parallelepiped ya mstatili. Mwandishi24 - kubadilishana mtandaoni kwa kazi ya wanafunzi

Kisha uhakika $M$ itakuwa na viwianishi $(X,Y,Z)$, ambapo $X$ ndio thamani kwenye mhimili wa nambari $Ox$, $Y$ ndio thamani kwenye mhimili wa nambari $Oy$, na $Z. $ ni thamani kwenye mhimili wa nambari $Oz$.

Mfano 1

Inahitajika kupata suluhisho kwa shida ifuatayo: andika viwima vya wima vya parallelepiped iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 4.

Suluhisho.

Pointi $O$ ndio asili ya viwianishi, kwa hivyo $O=(0,0,0)$.

Alama $Q$, $N$ na $R$ ziko kwenye shoka $Ox$, $Oz$ na $Oy$, mtawalia, kumaanisha.

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Alama $S$, $L$ na $M$ ziko kwenye ndege $Oxz$, $Oxy$ na $Oyz$, mtawalia, kumaanisha.

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Pointi $P$ ina viwianishi $P=(2,2.5,1.5)$

Vekta huratibu kulingana na pointi mbili na fomula ya kutafuta

Ili kujua jinsi ya kupata vector kutoka kwa kuratibu za pointi mbili, unahitaji kuzingatia mfumo wa kuratibu tulioanzisha hapo awali. Ndani yake, kutoka kwa uhakika $O$ katika mwelekeo wa mhimili wa $Ox$ tunapanga vector ya kitengo $\overline(i)$, kwa mwelekeo wa $Oy$ mhimili - vector ya kitengo $\overline(j) $, na vekta ya kitengo $\overline(k) $ lazima ielekezwe kwenye mhimili wa $Oz$.

Ili kuanzisha dhana ya kuratibu za vector, tunaanzisha theorem ifuatayo (hatutazingatia uthibitisho wake hapa).

Nadharia 1

Vekta ya kiholela katika angani inaweza kupanuliwa kuwa vivekta vitatu ambavyo haviko kwenye ndege moja, na mgawo katika upanuzi huo utaamuliwa kipekee.

Kihesabu inaonekana kama hii:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Kwa kuwa vekta $\overline(i)$, $\overline(j)$ na $\overline(k)$ zimejengwa kwenye axes za kuratibu za mfumo wa kuratibu wa mstatili, ni wazi hazitakuwa za ndege moja. Hii inamaanisha kuwa vekta yoyote $\overline(δ)$ katika mfumo huu wa kuratibu, kulingana na Theorem 1, inaweza kuchukua fomu ifuatayo.

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

ambapo $n,m,l∈R$.

Ufafanuzi 1

Vekta tatu $\overline(i)$, $\overline(j)$ na $\overline(k)$ zitaitwa kuratibu vekta.

Ufafanuzi 2

Coefficients mbele ya vekta $\overline(i)$, $\overline(j)$ na $\overline(k)$ katika upanuzi (1) itaitwa viwianishi vya vekta hii katika mfumo wa kuratibu uliotolewa na sisi. , hiyo ni

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Uendeshaji wa mstari kwenye vekta

Nadharia 2

Nadharia ya Jumla: Kuratibu za jumla ya idadi yoyote ya vekta huamuliwa na jumla ya kuratibu zao zinazolingana.

Ushahidi.

Tutathibitisha nadharia hii kwa vekta 2. Kwa vekta 3 au zaidi, uthibitisho unajengwa kwa njia sawa. Acha $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Vekta hizi zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\jumla(k)$

Kupata kuratibu za vekta ni hali ya kawaida kwa shida nyingi katika hisabati. Uwezo wa kupata kuratibu za vekta itakusaidia katika shida zingine, ngumu zaidi na mada zinazofanana. Katika makala hii tutaangalia formula ya kutafuta kuratibu za vector na matatizo kadhaa.

Kupata kuratibu za vekta kwenye ndege

Ndege ni nini? Ndege inachukuliwa kuwa nafasi ya pande mbili, nafasi yenye vipimo viwili (kipimo cha x na mwelekeo wa y). Kwa mfano, karatasi ni gorofa. Uso wa meza ni gorofa. Takwimu yoyote isiyo ya volumetric (mraba, pembetatu, trapezoid) pia ni ndege. Kwa hivyo, ikiwa katika taarifa ya shida unahitaji kupata kuratibu za vekta ambayo iko kwenye ndege, tunakumbuka mara moja kuhusu x na y. Unaweza kupata kuratibu za vekta kama ifuatavyo: Inaratibu AB ya vekta = (xB - xA; yB - xA). Fomula inaonyesha kuwa unahitaji kuondoa viwianishi vya mahali pa kuanzia kutoka kwa viwianishi vya sehemu ya mwisho.

Mfano:

Vekta CD ina viwianishi vya awali (5; 6) na vya mwisho (7; 8).
Pata kuratibu za vekta yenyewe.
Kutumia fomula hapo juu, tunapata usemi ufuatao: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Hivyo, kuratibu za vector CD = (2; 2).
Ipasavyo, kuratibu x ni sawa na mbili, kuratibu y pia ni mbili.

Kupata kuratibu za vekta kwenye nafasi

Nafasi ni nini? Nafasi tayari ni mwelekeo wa tatu-dimensional, ambapo kuratibu 3 hutolewa: x, y, z. Ikiwa unahitaji kupata vekta ambayo iko kwenye nafasi, formula haibadilika. Kiratibu kimoja tu kinaongezwa. Ili kupata vekta, unahitaji kuondoa kuratibu za mwanzo kutoka kwa kuratibu za mwisho. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Mfano:

Vekta DF ina awali (2; 3; 1) na mwisho (1; 5; 2).
Kutumia formula hapo juu, tunapata: Vector kuratibu DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Kumbuka, thamani ya kuratibu inaweza kuwa mbaya, hakuna tatizo.

Jinsi ya kupata kuratibu za vekta mkondoni?

Ikiwa kwa sababu fulani hutaki kupata kuratibu mwenyewe, unaweza kutumia calculator online. Ili kuanza, chagua kipimo cha vekta. Kipimo cha vector kinawajibika kwa vipimo vyake. Dimension 3 ina maana kwamba vector iko katika nafasi, dimension 2 ina maana kwamba iko kwenye ndege. Ifuatayo, ingiza kuratibu za pointi kwenye nyanja zinazofaa na programu itaamua kwako kuratibu za vector yenyewe. Kila kitu ni rahisi sana.

Kwa kubofya kitufe, ukurasa utashuka chini kiotomatiki na kukupa jibu sahihi pamoja na hatua za suluhisho.

Inashauriwa kujifunza mada hii vizuri, kwa sababu dhana ya vector haipatikani tu katika hisabati, bali pia katika fizikia. Wanafunzi wa Kitivo cha Teknolojia ya Habari pia husoma mada ya vekta, lakini kwa kiwango ngumu zaidi.

Hatimaye, nilipata mikono yangu juu ya mada hii kubwa na iliyosubiriwa kwa muda mrefu. jiometri ya uchambuzi. Kwanza, kidogo kuhusu sehemu hii ya hisabati ya juu... Hakika sasa unakumbuka kozi ya jiometri ya shule na nadharia nyingi, uthibitisho wao, michoro, nk. Nini cha kuficha, somo lisilopendwa na mara nyingi lisilojulikana kwa idadi kubwa ya wanafunzi. Jiometri ya uchambuzi, isiyo ya kawaida, inaweza kuonekana kuvutia zaidi na kupatikana. Je, kivumishi "uchambuzi" kinamaanisha nini? Vifungu viwili vya maneno vya hisabati vinakumbuka mara moja: "njia ya suluhisho la picha" na "mbinu ya suluhisho la uchambuzi." Mbinu ya mchoro, bila shaka, inahusishwa na ujenzi wa grafu na michoro. Uchambuzi sawa njia inahusisha kutatua matatizo hasa kupitia shughuli za algebra. Katika suala hili, algorithm ya kutatua karibu matatizo yote ya jiometri ya uchambuzi ni rahisi na ya uwazi; Hapana, bila shaka, hatutaweza kufanya hivyo bila michoro kabisa, na badala ya hayo, kwa ufahamu bora wa nyenzo, nitajaribu kuwataja zaidi ya lazima.

Kozi mpya ya masomo juu ya jiometri haijifanya kuwa kamili ya kinadharia; Nitajumuisha katika mihadhara yangu kile tu, kutoka kwa maoni yangu, ni muhimu katika suala la vitendo. Ikiwa unahitaji usaidizi kamili zaidi kwenye kifungu chochote, ninapendekeza fasihi ifuatayo inayoweza kupatikana:

1) Jambo ambalo, bila mzaha, vizazi kadhaa vinafahamu: Kitabu cha shule juu ya jiometri, waandishi - L.S. Atanasyan na Kampuni. Hanger hii ya chumba cha locker ya shule tayari imepitia 20 (!) reprints, ambayo, bila shaka, sio kikomo.

2) Jiometri katika juzuu 2. Waandishi L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Hii ni fasihi kwa shule ya upili, utahitaji juzuu ya kwanza. Huenda nisionekane na majukumu ambayo ni nadra sana, na mafunzo yatakuwa ya msaada mkubwa.

Vitabu vyote viwili vinaweza kupakuliwa bila malipo mtandaoni. Kwa kuongeza, unaweza kutumia kumbukumbu yangu na ufumbuzi tayari, ambao unaweza kupatikana kwenye ukurasa Pakua mifano katika hisabati ya juu.

Kati ya zana, ninapendekeza tena maendeleo yangu mwenyewe - kifurushi cha programu katika jiometri ya uchambuzi, ambayo itarahisisha sana maisha na kuokoa muda mwingi.

Inachukuliwa kuwa msomaji anafahamu dhana na takwimu za msingi za kijiometri: uhakika, mstari, ndege, pembetatu, parallelogram, parallelepiped, mchemraba, nk. Inashauriwa kukumbuka nadharia kadhaa, angalau nadharia ya Pythagorean, hello kwa wanaorudia)

Na sasa tutazingatia sequentially: dhana ya vector, vitendo na vectors, kuratibu vector. Ninapendekeza kusoma zaidi makala muhimu zaidi Bidhaa ya dot ya vekta, na pia Vector na bidhaa mchanganyiko wa vekta. Kazi ya ndani - Mgawanyiko wa sehemu katika suala hili - pia haitakuwa ya juu sana. Kulingana na habari hapo juu, unaweza bwana equation ya mstari katika ndege Na mifano rahisi zaidi ya suluhisho, ambayo itaruhusu jifunze kutatua shida za jiometri. Nakala zifuatazo pia zinafaa: Equation ya ndege katika nafasi, Milinganyo ya mstari katika nafasi, Matatizo ya msingi kwenye mstari wa moja kwa moja na ndege, sehemu nyingine za jiometri ya uchambuzi. Kwa kawaida, kazi za kawaida zitazingatiwa njiani.

Dhana ya Vector. Vekta ya bure

Kwanza, hebu turudie ufafanuzi wa shule wa vekta. Vekta kuitwa iliyoelekezwa sehemu ambayo mwanzo na mwisho wake umeonyeshwa:

Katika kesi hii, mwanzo wa sehemu ni hatua, mwisho wa sehemu ni hatua. Vekta yenyewe inaonyeshwa na . Mwelekeo ni muhimu, ukihamisha mshale hadi mwisho mwingine wa sehemu, unapata vekta, na hii tayari iko. vector tofauti kabisa. Ni rahisi kutambua dhana ya vector na harakati ya mwili wa kimwili: lazima ukubali, kuingia kwenye milango ya taasisi au kuacha milango ya taasisi ni mambo tofauti kabisa.

Ni rahisi kuzingatia alama za kibinafsi za ndege au nafasi kama kinachojulikana vekta sifuri. Kwa vector vile, mwisho na mwanzo sanjari.

!!! Kumbuka: Hapa na zaidi, unaweza kudhani kwamba vectors uongo katika ndege moja au unaweza kudhani kuwa ziko katika nafasi - kiini cha nyenzo iliyotolewa ni halali kwa wote ndege na nafasi.

Uteuzi: Wengi waliona mara moja fimbo bila mshale katika jina na kusema, pia kuna mshale juu! Kweli, unaweza kuiandika kwa mshale:, lakini pia inawezekana ingizo ambalo nitatumia katika siku zijazo. Kwa nini? Inavyoonekana, tabia hii ilikuzwa kwa sababu za vitendo; Katika fasihi ya elimu, wakati mwingine hawajisumbui na uandishi wa kikabari hata kidogo, lakini onyesha herufi kwa herufi nzito: , na hivyo kuashiria kuwa hii ni vekta.

Hiyo ilikuwa stylistics, na sasa kuhusu njia za kuandika vekta:

1) Vekta zinaweza kuandikwa kwa herufi mbili kuu za Kilatini:
Nakadhalika. Katika kesi hii, barua ya kwanza Lazima inaashiria hatua ya mwanzo ya vector, na barua ya pili inaashiria hatua ya mwisho ya vector.

2) Vekta pia zimeandikwa kwa herufi ndogo za Kilatini:
Hasa, vekta yetu inaweza kubadilishwa kwa ufupi kwa barua ndogo ya Kilatini.

Urefu au moduli vector isiyo ya sifuri inaitwa urefu wa sehemu. Urefu wa vector ya sifuri ni sifuri. Mantiki.

Urefu wa vekta unaonyeshwa na ishara ya moduli:

Tutajifunza jinsi ya kupata urefu wa vector (au tutarudia, kulingana na nani) baadaye kidogo.

Hii ilikuwa habari ya msingi kuhusu vidhibiti, inayojulikana kwa watoto wote wa shule. Katika jiometri ya uchambuzi, kinachojulikana vector ya bure.

Ili kuiweka kwa urahisi - vector inaweza kupangwa kutoka kwa hatua yoyote:

Tumezoea kuita vekta kama hizo kuwa sawa (ufafanuzi wa vekta sawa utapewa hapa chini), lakini kutoka kwa mtazamo wa kihisabati, ni VECTOR SAWA au. vector ya bure. Kwa nini bure? Kwa sababu wakati wa kutatua matatizo, unaweza "kuambatisha" vekta hii au ile ya "shule" kwenye sehemu YOYOTE ya ndege au nafasi unayohitaji. Hiki ni kipengele kizuri sana! Fikiria sehemu iliyoelekezwa ya urefu na mwelekeo wa kiholela - inaweza "kuundwa" idadi isiyo na kikomo ya nyakati na wakati wowote wa nafasi, kwa kweli, ipo KILA MAHALI. Kuna mwanafunzi kama huyo anasema: Kila mhadhiri anajali kuhusu vekta. Baada ya yote, sio mashairi ya busara tu, kila kitu ni sawa - sehemu iliyoelekezwa inaweza kuongezwa hapo pia. Lakini usikimbilie kufurahi, ni wanafunzi wenyewe ambao mara nyingi huteseka =)

Kwa hiyo, vector ya bure-Hii kundi la sehemu zilizoelekezwa zinazofanana. Ufafanuzi wa shule wa vector, iliyotolewa mwanzoni mwa aya: "Sehemu iliyoelekezwa inaitwa vector ..." ina maana maalum sehemu iliyoelekezwa iliyochukuliwa kutoka kwa seti fulani, ambayo imefungwa kwa hatua maalum katika ndege au nafasi.

Ikumbukwe kwamba kutoka kwa mtazamo wa fizikia, dhana ya vector ya bure kwa ujumla si sahihi, na hatua ya maombi ni muhimu. Hakika, pigo la moja kwa moja la nguvu sawa kwenye pua au paji la uso, kutosha kuendeleza mfano wangu wa kijinga, unajumuisha matokeo tofauti. Hata hivyo, bure vectors pia hupatikana katika mwendo wa vyshmat (usiende huko :)).

Vitendo na vekta. Collinearity ya vekta

Kozi ya jiometri ya shule inashughulikia idadi ya vitendo na sheria na vekta: kuongeza kulingana na kanuni ya pembetatu, kuongeza kulingana na kanuni ya parallelogram, sheria ya tofauti ya vector, kuzidisha vector kwa idadi, bidhaa ya scalar ya vectors, nk. Kama sehemu ya kuanzia, wacha turudie sheria mbili ambazo zinafaa sana kwa kutatua shida za jiometri ya uchambuzi.

Sheria ya kuongeza veta kwa kutumia kanuni ya pembetatu

Fikiria vekta mbili za kiholela zisizo za sifuri na:

Unahitaji kupata jumla ya vekta hizi. Kutokana na ukweli kwamba vectors zote zinachukuliwa kuwa huru, tutaweka kando vector kutoka mwisho vekta:

Jumla ya vekta ni vekta. Kwa ufahamu bora wa utawala, ni vyema kuweka maana ya kimwili ndani yake: basi mwili fulani uende kando ya vector, na kisha pamoja na vector. Kisha jumla ya vectors ni vector ya njia inayosababisha na mwanzo katika hatua ya kuondoka na mwisho katika hatua ya kuwasili. Sheria sawa imeundwa kwa jumla ya idadi yoyote ya vekta. Kama wanasema, mwili unaweza kwenda kwa kuegemea sana kwenye zigzag, au labda kwa otomatiki - kando ya vekta inayosababisha ya jumla.

Kwa njia, ikiwa vector imeahirishwa kutoka ilianza vector, basi tunapata sawa kanuni ya parallelogram nyongeza ya vekta.

Kwanza, kuhusu collinearity ya vekta. Vectors mbili zinaitwa colinear, ikiwa wanalala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana. Kwa kusema, tunazungumza juu ya vekta zinazofanana. Lakini kuhusiana nao, kivumishi "collinear" hutumiwa kila wakati.

Hebu fikiria vekta mbili za collinear. Ikiwa mishale ya vectors hizi inaelekezwa kwa mwelekeo huo huo, basi vectors vile huitwa iliyoelekezwa pamoja. Ikiwa mishale inaelekeza kwa njia tofauti, basi vekta zitakuwa maelekezo kinyume.

Uteuzi: collinearity ya vekta imeandikwa kwa ishara ya kawaida ya usambamba: , wakati maelezo yanawezekana: (vekta zinaelekezwa kwa pamoja) au (vekta zimeelekezwa kinyume).

Kazi vekta isiyo ya sifuri kwenye nambari ni vekta ambayo urefu wake ni sawa na , na vekta na zimeelekezwa kwa pamoja na kuelekezwa kinyume.

Sheria ya kuzidisha vekta kwa nambari ni rahisi kuelewa kwa msaada wa picha:

Hebu tuangalie kwa undani zaidi:

1) Mwelekeo. Ikiwa multiplier ni hasi, basi vector hubadilisha mwelekeo kwa kinyume.

2) Urefu. Ikiwa kizidishi kinapatikana ndani au, basi urefu wa vekta hupungua. Kwa hivyo, urefu wa vekta ni nusu ya urefu wa vekta. Ikiwa moduli ya kuzidisha ni kubwa kuliko moja, basi urefu wa vector huongezeka kwa wakati.

3) Tafadhali kumbuka kuwa vekta zote ni collinear, wakati vector moja inaonyeshwa kupitia nyingine, kwa mfano,. Kinyume chake pia ni kweli: ikiwa vekta moja inaweza kuonyeshwa kupitia nyingine, basi vekta kama hizo lazima ziwe collinear. Hivyo: ikiwa tunazidisha vekta kwa nambari, tunapata collinear(kuhusiana na asili) vekta.

4) Vekta zimeelekezwa kwa pamoja. Vekta na pia zinaelekezwa kwa pamoja. Vekta yoyote ya kundi la kwanza inaelekezwa kinyume kwa heshima na vekta yoyote ya kundi la pili.

Ni vekta gani zinazolingana?

Vekta mbili ni sawa ikiwa ziko katika mwelekeo mmoja na zina urefu sawa. Kumbuka kuwa uelekeo mshikamano unamaanisha ulinganifu wa vekta. Ufafanuzi huo hautakuwa sahihi (usiohitajika) ikiwa tungesema: "Vekta mbili ni sawa ikiwa ni za collinear, za mwelekeo, na zina urefu sawa."

Kutoka kwa mtazamo wa dhana ya vector ya bure, vectors sawa ni vector sawa, kama ilivyojadiliwa katika aya iliyotangulia.

Vector kuratibu kwenye ndege na katika nafasi

Jambo la kwanza ni kuzingatia veta kwenye ndege. Wacha tuonyeshe mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian na tupange kutoka kwa asili ya kuratibu single vekta na:

Vectors na ya orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Ninapendekeza uzoeane na maneno polepole: badala ya usawazishaji na usawazishaji, tutumie maneno mtawalia. collinearity Na orthogonality.

Uteuzi: Orthogonality ya vectors imeandikwa na ishara ya kawaida ya perpendicularity, kwa mfano:.

Vekta zinazozingatiwa zinaitwa kuratibu vekta au orts. Vekta hizi huunda msingi juu ya uso. Ni msingi gani, nadhani, ni wazi kwa wengi habari ya kina zaidi inaweza kupatikana katika makala Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors Kwa maneno rahisi, msingi na asili ya kuratibu hufafanua mfumo mzima - hii ni aina ya msingi ambayo maisha kamili na tajiri ya kijiometri huchemka.

Wakati mwingine msingi uliojengwa huitwa ya kawaida msingi wa ndege: "ortho" - kwa sababu vekta za kuratibu ni za orthogonal, kivumishi "cha kawaida" kinamaanisha kitengo, i.e. urefu wa vekta za msingi ni sawa na moja.

Uteuzi: msingi ni kawaida imeandikwa katika mabano, ndani ambayo katika mlolongo mkali vekta za msingi zimeorodheshwa, kwa mfano: . Kuratibu vekta ni haramu panga upya.

Yoyote vekta ya ndege njia pekee imeonyeshwa kama:
, wapi - nambari ambazo zinaitwa kuratibu za vector katika msingi huu. Na usemi wenyewe kuitwa mtengano wa vektakwa msingi .

Chakula cha jioni kilitolewa:

Wacha tuanze na herufi ya kwanza ya alfabeti: . Mchoro unaonyesha wazi kuwa wakati wa kutenganisha vekta kwa msingi, zile zilizojadiliwa hivi karibuni hutumiwa:
1) sheria ya kuzidisha vector kwa nambari: na;
2) kuongeza ya vectors kulingana na utawala wa pembetatu:.

Sasa kiakili panga vekta kutoka kwa hatua nyingine yoyote kwenye ndege. Ni dhahiri kabisa kwamba uozo wake “utamfuata bila kuchoka.” Hapa ndio, uhuru wa vekta - vekta "hubeba kila kitu yenyewe." Mali hii, kwa kweli, ni kweli kwa vector yoyote. Ni jambo la kuchekesha kwamba veta za msingi (bure) wenyewe hazipaswi kupangwa kutoka kwa asili; Kweli, huna haja ya kufanya hivyo, kwa kuwa mwalimu pia ataonyesha uhalisi na kukuvuta "mikopo" mahali usiyotarajiwa.

Vectors zinaonyesha hasa utawala wa kuzidisha vector kwa namba, vector inaongozwa na vector msingi, vector inaelekezwa kinyume na vector msingi. Kwa vekta hizi, moja ya kuratibu ni sawa na sifuri unaweza kuiandika kwa uangalifu kama hii:

Na veta za msingi, kwa njia, ni kama hii: (kwa kweli, zinaonyeshwa kupitia wao wenyewe).

Na mwishowe:,. Kwa njia, uondoaji wa vector ni nini, na kwa nini sikuzungumza juu ya sheria ya kutoa? Mahali fulani katika algebra ya mstari, sikumbuki wapi, nilibainisha kuwa kutoa ni kesi maalum ya kuongeza. Kwa hivyo, upanuzi wa vekta "de" na "e" huandikwa kwa urahisi kama jumla: , . Fuata mchoro ili kuona jinsi nyongeza nzuri ya zamani ya vekta kulingana na sheria ya pembetatu inavyofanya kazi katika hali hizi.

Mtengano unaozingatiwa wa fomu wakati mwingine huitwa mtengano wa vekta katika mfumo wa ort(yaani katika mfumo wa vekta za kitengo). Lakini hii sio njia pekee ya kuandika vekta chaguo lifuatalo ni la kawaida:

Au kwa ishara sawa:

Veta za msingi zenyewe zimeandikwa kama ifuatavyo: na

Hiyo ni, kuratibu za vector zinaonyeshwa kwenye mabano. Katika matatizo ya vitendo, chaguzi zote tatu za nukuu hutumiwa.

Nilitilia shaka ikiwa ningezungumza, lakini nitasema: viwianishi vya vekta haziwezi kupangwa upya. Madhubuti katika nafasi ya kwanza tunaandika kuratibu ambayo inalingana na vector ya kitengo, madhubuti katika nafasi ya pili tunaandika uratibu unaofanana na vector ya kitengo. Hakika, na ni vekta mbili tofauti.

Tuligundua kuratibu kwenye ndege. Sasa hebu tuangalie vectors katika nafasi tatu-dimensional, karibu kila kitu ni sawa hapa! Itaongeza tu kuratibu moja zaidi. Ni ngumu kutengeneza michoro ya pande tatu, kwa hivyo nitajizuia kwa vekta moja, ambayo kwa unyenyekevu nitaweka kando kutoka kwa asili:

Yoyote Vekta ya anga ya 3D njia pekee kupanua juu ya msingi wa kawaida:
, ziko wapi kuratibu za vekta (nambari) katika msingi huu.

Mfano kutoka kwa picha: . Wacha tuone jinsi sheria za vekta hufanya kazi hapa. Kwanza, kuzidisha vector kwa nambari: (mshale mwekundu), (kijani mshale) na (mshale wa raspberry). Pili, hapa kuna mfano wa kuongeza kadhaa, katika kesi hii tatu, vekta:. Vekta ya jumla huanza katika hatua ya awali ya kuondoka (mwanzo wa vector) na kuishia katika hatua ya mwisho ya kuwasili (mwisho wa vector).

Vectors zote za nafasi ya tatu-dimensional, kwa kawaida, pia ni bure; jaribu kiakili kuweka kando vector kutoka kwa hatua nyingine yoyote, na utaelewa kuwa mtengano wake "utabaki nayo."

Sawa na kesi ya gorofa, pamoja na kuandika matoleo yenye mabano yanatumika sana: ama .

Ikiwa vekta moja (au mbili) za kuratibu hazipo katika upanuzi, basi zero huwekwa mahali pao. Mifano:
vekta (kwa uangalifu ) - wacha tuandike;
vekta (kwa uangalifu ) - wacha tuandike;
vekta (kwa uangalifu ) - wacha tuandike.

Vekta za msingi zimeandikwa kama ifuatavyo:

Hii, labda, ni ujuzi wote wa chini wa kinadharia muhimu kutatua matatizo ya jiometri ya uchambuzi. Kunaweza kuwa na istilahi na ufafanuzi mwingi, kwa hivyo ninapendekeza kwamba teapot zisome tena na kuelewa habari hii tena. Na itakuwa muhimu kwa msomaji yeyote kurejelea somo la msingi mara kwa mara ili kuiga nyenzo vizuri zaidi. Collinearity, orthogonality, orthonormal foundation, mtengano wa vekta - hizi na dhana zingine zitatumika mara nyingi katika siku zijazo. Ninagundua kuwa nyenzo kwenye tovuti haitoshi kupitisha mtihani wa kinadharia au colloquium kwenye jiometri, kwa kuwa ninaandika kwa uangalifu nadharia zote (na bila uthibitisho) - kwa madhara ya mtindo wa kisayansi wa uwasilishaji, lakini pamoja na uelewa wako wa somo. Ili kupokea maelezo ya kina ya kinadharia, tafadhali msujudie Profesa Atanasyan.

Na tunaendelea kwa sehemu ya vitendo:

Matatizo rahisi zaidi ya jiometri ya uchambuzi.
Vitendo na vekta katika kuratibu

Inashauriwa sana kujifunza jinsi ya kutatua kazi ambazo zitazingatiwa kikamilifu moja kwa moja, na kanuni kukariri, sio lazima hata ukumbuke kwa makusudi, wataikumbuka wenyewe =) Hii ni muhimu sana, kwani shida zingine za jiometri ya uchambuzi zinatokana na mifano rahisi ya kimsingi, na itakuwa ya kukasirisha kutumia wakati wa ziada kula pawn. . Hakuna haja ya kufunga vifungo vya juu kwenye shati yako mambo mengi yanajulikana kwako kutoka shuleni.

Uwasilishaji wa nyenzo utafuata kozi sambamba - wote kwa ndege na kwa nafasi. Kwa sababu kwamba formula zote ... utajionea mwenyewe.

Jinsi ya kupata vector kutoka kwa pointi mbili?

Ikiwa pointi mbili za ndege na zimepewa, basi vector ina kuratibu zifuatazo:

Ikiwa alama mbili kwenye nafasi na zimepewa, basi vekta ina kuratibu zifuatazo:

Hiyo ni, kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vector unahitaji kuondoa kuratibu zinazolingana mwanzo wa vector.

Zoezi: Kwa pointi sawa, andika fomula za kutafuta kuratibu za vekta. Mifumo mwishoni mwa somo.

Mfano 1

Kutokana na pointi mbili za ndege na. Pata kuratibu za vekta

Suluhisho: kulingana na formula inayofaa:

Vinginevyo, kiingilio kifuatacho kinaweza kutumika:

Aesthetes itaamua hii:

Binafsi, nimezoea toleo la kwanza la rekodi.

Jibu:

Kwa mujibu wa hali hiyo, haikuwa lazima kujenga mchoro (ambayo ni ya kawaida kwa matatizo ya jiometri ya uchambuzi), lakini ili kufafanua baadhi ya pointi kwa dummies, sitakuwa wavivu:

Hakika unahitaji kuelewa tofauti kati ya kuratibu za uhakika na kuratibu za vekta:

Viratibu vya pointi- hizi ni kuratibu za kawaida katika mfumo wa kuratibu wa mstatili. Nadhani kila mtu anajua jinsi ya kupanga vidokezo kwenye ndege ya kuratibu kutoka kwa daraja la 5-6. Kila sehemu ina nafasi kali kwenye ndege, na haziwezi kuhamishwa popote.

Kuratibu za vekta- hii ni upanuzi wake kulingana na msingi, katika kesi hii. Vekta yoyote ni bure, kwa hivyo ikiwa inataka au inahitajika, tunaweza kuiondoa kwa urahisi kutoka kwa sehemu nyingine kwenye ndege. Inashangaza kwamba kwa vectors huna kujenga axes au mfumo wa kuratibu mstatili wakati wote unahitaji msingi, katika kesi hii msingi wa kawaida wa ndege.

Rekodi za kuratibu za pointi na kuratibu za vekta zinaonekana kuwa sawa: , na maana ya kuratibu kabisa tofauti, na unapaswa kufahamu vyema tofauti hii. Tofauti hii, bila shaka, pia inatumika kwa nafasi.

Mabibi na mabwana, wacha tujaze mikono yetu:

Mfano 2

a) Pointi na hutolewa. Tafuta vekta na .
b) Alama zimetolewa Na. Tafuta vekta na .
c) Pointi na hutolewa. Tafuta vekta na .
d) Alama zimetolewa. Tafuta vekta .

Labda hiyo inatosha. Hizi ni mifano kwako kuamua mwenyewe, jaribu kutozipuuza, italipa ;-). Hakuna haja ya kufanya michoro. Suluhu na majibu mwishoni mwa somo.

Ni nini muhimu wakati wa kutatua shida za jiometri ya uchambuzi? Ni muhimu kuwa MAKINI SANA ili kuepuka kufanya kosa la ustadi la "mbili pamoja na mbili sawa na sifuri". Ninaomba msamaha mara moja ikiwa nilifanya makosa mahali fulani =)

Jinsi ya kupata urefu wa sehemu?

Urefu, kama ilivyoonyeshwa tayari, unaonyeshwa na ishara ya moduli.

Ikiwa pointi mbili za ndege zinatolewa na , basi urefu wa sehemu unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula

Ikiwa pointi mbili katika nafasi na zimetolewa, basi urefu wa sehemu unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula

Kumbuka: Fomula zitabaki kuwa sahihi ikiwa kuratibu zinazolingana zimebadilishwa: na , lakini chaguo la kwanza ni la kawaida zaidi

Mfano 3

Suluhisho: kulingana na formula inayofaa:

Jibu:

Kwa uwazi, nitafanya mchoro

Sehemu ya mstari - hii sio vekta, na, bila shaka, huwezi kuisogeza popote. Kwa kuongeza, ukichora kwa kiwango: kitengo 1. = 1 cm (seli mbili za daftari), basi jibu linalotokana linaweza kuangaliwa na mtawala wa kawaida kwa kupima moja kwa moja urefu wa sehemu.

Ndio, suluhisho ni fupi, lakini kuna mambo kadhaa muhimu zaidi ambayo ningependa kufafanua:

Kwanza, katika jibu tunaweka mwelekeo: "vitengo". Hali haisemi ni NINI, milimita, sentimita, mita au kilomita. Kwa hivyo, suluhisho sahihi la hisabati litakuwa uundaji wa jumla: "vitengo" - vilivyofupishwa kama "vitengo."

Pili, wacha turudie nyenzo za shule, ambazo ni muhimu sio tu kwa kazi inayozingatiwa:

makini na mbinu muhimu – kuondoa kizidishi kutoka chini ya mzizi. Kama matokeo ya mahesabu, tuna matokeo na mtindo mzuri wa hisabati unahusisha kuondoa sababu kutoka chini ya mzizi (ikiwa inawezekana). Kwa undani zaidi mchakato unaonekana kama hii: . Bila shaka, kuacha jibu kama lilivyo haitakuwa kosa - lakini bila shaka itakuwa ni upungufu na hoja nzito ya kubishana na mwalimu.

Hapa kuna kesi zingine za kawaida:

Mara nyingi mzizi hutoa idadi kubwa, kwa mfano. Nini cha kufanya katika kesi kama hizo? Kwa kutumia kikokotoo, tunaangalia ikiwa nambari inaweza kugawanywa na 4: . Ndio, iligawanywa kabisa, kwa hivyo: . Au labda nambari inaweza kugawanywa na 4 tena? . Hivyo: . Nambari ya mwisho ya nambari ni isiyo ya kawaida, kwa hivyo kugawanya kwa 4 kwa mara ya tatu haitafanya kazi. Hebu jaribu kugawanya na tisa:. Matokeo yake:
Tayari.

Hitimisho: ikiwa chini ya mzizi tunapata nambari ambayo haiwezi kutolewa kwa ujumla, basi tunajaribu kuondoa sababu kutoka chini ya mzizi - kwa kutumia calculator tunaangalia ikiwa nambari hiyo inaweza kugawanywa na: 4, 9, 16, 25, 36, 49, na kadhalika.

Wakati wa kutatua matatizo mbalimbali, mizizi hukutana mara nyingi;

Wacha turudie pia mizizi ya squaring na nguvu zingine:

Sheria za kufanya kazi na mamlaka kwa fomu ya jumla zinaweza kupatikana katika kitabu cha algebra ya shule, lakini nadhani kutoka kwa mifano iliyotolewa, kila kitu au karibu kila kitu tayari ni wazi.

Kazi ya suluhisho la kujitegemea na sehemu kwenye nafasi:

Mfano 4

Pointi na kupewa. Tafuta urefu wa sehemu.

Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Jinsi ya kupata urefu wa vector?

Ikiwa vector ya ndege inatolewa, basi urefu wake umehesabiwa na formula.

Ikiwa vector ya nafasi inapewa, basi urefu wake unahesabiwa na formula .

Hadi sasa, iliaminika kuwa vekta huzingatiwa katika nafasi. Kuanzia wakati huu, tunadhani kwamba vekta zote zinazingatiwa kwenye ndege. Pia tutafikiria kuwa mfumo wa kuratibu wa Cartesian umeainishwa kwenye ndege (hata kama hii haijasemwa), inayowakilisha mhimili wa nambari za pande zote mbili - mhimili mlalo na mhimili wima. . Kisha kila pointi
jozi ya nambari imepewa kwenye ndege
, ambayo ni kuratibu zake. Kinyume chake, kila jozi ya nambari
inalingana na nukta kwenye ndege hivi kwamba jozi ya nambari
ni kuratibu zake.

Kutoka kwa jiometri ya msingi inajulikana kuwa ikiwa kuna pointi mbili kwenye ndege
Na
, kisha umbali
kati ya pointi hizi huonyeshwa kupitia kuratibu zao kulingana na fomula

Acha mfumo wa kuratibu wa Cartesian ubainishwe kwenye ndege. Mhimili wa Orth tutaashiria kwa ishara , na vekta ya kitengo cha mhimili ishara . Makadirio ya kiholela vekta kwa mhimili tutaashiria kwa ishara
, na makadirio kwenye mhimili ishara
.

Hebu - vector ya kiholela kwenye ndege. Nadharia ifuatayo inashikilia.

Nadharia 22.

Kwa vector yoyote kuna jozi ya nambari kwenye ndege

Ambapo
,
.

Ushahidi.

Hebu vector itolewe . Hebu tuweke kando vector kutoka asili. Wacha tuonyeshe kwa vekta-makadirio vector kwa mhimili , na kupitia vekta-makadirio vector kwa mhimili . Kisha, kama inavyoonekana kutoka kwenye Mchoro 21, usawa unashikilia

Kulingana na nadharia ya 9,

Hebu kuashiria
,
. Kisha tunapata

Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa kwa vector yoyote kuna jozi ya nambari
kwamba usawa ni kweli

Na eneo tofauti la vekta Uthibitisho ni sawa kwa heshima na shoka.

Ufafanuzi.

Jozi ya nambari Na vile vile
, huitwa kuratibu za vekta . Nambari inaitwa x-kuratibu, na nambari kuratibu mchezo.

Ufafanuzi.

Jozi ya vekta za kitengo cha shoka za kuratibu
inaitwa msingi wa kawaida kwenye ndege. Uwakilishi wa vector yoyote kama
inayoitwa mtengano wa vekta kwa msingi
.

Inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa kuratibu za vector kwamba ikiwa kuratibu za vectors ni sawa, basi vectors wenyewe ni sawa. Mazungumzo pia ni ya kweli.

Nadharia.

Vectors sawa zina kuratibu sawa.

Ushahidi.

Na
. Hebu tuthibitishe hilo
,
.

Kutoka kwa usawa wa veta inafuata hiyo

Hebu tuchukulie hivyo
, A
.

Kisha
na hiyo inamaanisha
, jambo ambalo si kweli. Vivyo hivyo, ikiwa
, Lakini
, Hiyo
. Kutoka hapa
, jambo ambalo si kweli. Hatimaye, ikiwa tunadhania hivyo
Na
, basi tunapata hiyo

Hii ina maana kwamba vectors Na Collinears. Lakini hii si kweli, kwa kuwa wao ni perpendicular. Kwa hiyo, inabakia hivyo
,
, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kwa hivyo, kuratibu za vector huamua kabisa vector yenyewe. Kujua kuratibu Na vekta unaweza kujenga vector yenyewe , baada ya kujenga vekta
Na
na kuzikunja. Kwa hiyo, mara nyingi vector yenyewe iliyoashiria kama jozi ya viwianishi vyake na vilivyoandikwa
. Kuingia huku kunamaanisha hivyo
.

Nadharia ifuatayo inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa kuratibu za vekta.

Nadharia.

Wakati wa kuongeza vectors, kuratibu zao huongezwa, na wakati wa kuzidisha vector kwa nambari, kuratibu zake zinazidishwa na nambari hii. Taarifa hizi zimeandikwa katika fomu

Ushahidi.

Nadharia.

Hebu
, na mwanzo wa vector ni uhakika ina kuratibu
, na mwisho wa vector ni uhakika
. Kisha kuratibu za vector zinahusiana na kuratibu za mwisho wake kwa mahusiano yafuatayo

Ushahidi.

Hebu
na acha vekta iwe makadirio ya vekta kwa mhimili iliyokaa na mhimili (tazama Mchoro 22). Kisha

T kama urefu wa sehemu kwenye mhimili wa nambari sawa na uratibu wa mwisho wa kulia ukiondoa uratibu wa mwisho wa kushoto. Ikiwa vector

kinyume na mhimili (kama katika Mchoro 23), basi

Mchele. 23.

Kama
, basi katika kesi hii
na kisha tunapata

Hivyo, kwa eneo lolote la vector
kuhusiana na shoka za kuratibu uratibu wake sawa na

Vile vile, inathibitishwa kuwa

Mfano.

Kuratibu za mwisho wa vector hutolewa
:
. Pata kuratibu za vekta
.

Suluhisho.

Nadharia ifuatayo inatoa usemi wa urefu wa vekta kulingana na viwianishi vyake.

Nadharia 15.

Hebu
.Kisha

Ushahidi.

Hebu Na - vector ya makadirio ya vector kwenye mhimili Na , kwa mtiririko huo. Kisha, kama inavyoonyeshwa katika uthibitisho wa Theorem 9, usawa unashikilia

Wakati huo huo, vectors Na pande zote perpendicular. Wakati wa kuongeza vectors hizi kulingana na utawala wa pembetatu, tunapata pembetatu sahihi (tazama Mchoro 24).

Kwa nadharia ya Pythagorean tunayo

Kwa hivyo

Mfano.

.Tafuta .

Wacha tuanzishe wazo la cosine za mwelekeo wa vekta.

Ufafanuzi.

Hebu vector
iko na mhimili kona , na kwa mhimili kona (Ona Mchoro 25).

Kwa hivyo,

Tangu kwa vector yoyote kuna usawa

Wapi - vector ya kitengo , yaani, vector ya urefu wa kitengo, codirectional na vector , Hiyo

Vekta huamua mwelekeo wa vector . Viratibu vyake
Na
huitwa cosine za mwelekeo wa vector . Miongozo ya cosine ya vekta inaweza kuonyeshwa kupitia kuratibu zake kwa kutumia fomula

Kuna uhusiano

Hadi sasa katika sehemu hii, ilichukuliwa kuwa vekta zote ziko kwenye ndege moja. Sasa wacha tufanye jumla kwa vekta kwenye nafasi.

Tutafikiri kwamba mfumo wa kuratibu wa Cartesian na shoka hutolewa katika nafasi ,Na .

Vekta za kitengo cha mhimili ,Na tutaashiria kwa alama ,Na , kwa mtiririko huo (Mchoro 26).

Inaweza kuonyeshwa kuwa dhana zote na fomula ambazo zilipatikana kwa vekta kwenye ndege ni za jumla kwa

Mchele. 26.

vekta katika nafasi. Troika ya vectors
inaitwa msingi wa kawaida katika nafasi.

Hebu ,Na - vector ya makadirio ya vector kwenye mhimili ,Na , kwa mtiririko huo. Kisha

Kwa upande wake

Ikiwa tunateua

Kisha tunapata usawa

Coefficients kabla ya vekta za msingi ,Na huitwa kuratibu za vekta . Kwa hivyo, kwa vector yoyote kuna idadi tatu katika nafasi ,,, inayoitwa kuratibu za vekta ili kwamba kwa vekta hii uwakilishi ufuatao ni halali:

Vekta katika kesi hii pia imeonyeshwa kwa fomu
. Katika kesi hii, kuratibu za vekta ni sawa na makadirio ya vekta hii kwenye shoka za kuratibu.

Wapi - pembe kati ya vector na mhimili ,- pembe kati ya vector na mhimili ,- pembe kati ya vector na mhimili .

Urefu wa Vector iliyoonyeshwa kupitia kuratibu zake kwa kutumia fomula

Taarifa ni kweli kwamba vectors sawa na kuratibu sawa wakati wa kuongeza vectors, kuratibu zao huongezwa, na wakati wa kuzidisha vector kwa idadi, kuratibu zake zinazidishwa na nambari hii.
,
Na
huitwa cosine za mwelekeo wa vector . Zinahusiana na kuratibu za vekta kwa fomula