Kuchimba mizizi: mbinu, mifano, ufumbuzi. Mpito kutoka kwa mizizi kwenda kwa nguvu na nyuma, mifano, suluhisho Jinsi ya kutatua mifano na nguvu na mizizi

Ni wakati wa kutatua njia za uchimbaji wa mizizi. Wao ni msingi wa mali ya mizizi, hasa, juu ya usawa, ambayo ni kweli kwa nambari yoyote isiyo ya hasi b.

Hapo chini tutaangalia njia kuu za kuchimba mizizi moja kwa moja.

Hebu tuanze na kesi rahisi zaidi - kuchimba mizizi kutoka kwa namba za asili kwa kutumia meza ya mraba, meza ya cubes, nk.

Ikiwa meza za mraba, cubes, nk. Ikiwa huna karibu, ni busara kutumia njia ya kuchimba mzizi, ambayo inahusisha kuoza namba kali katika mambo makuu.

Inastahili kutaja maalum kile kinachowezekana kwa mizizi yenye vielelezo visivyo vya kawaida.

Hatimaye, hebu tuchunguze njia ambayo inaruhusu sisi kupata mlolongo wa tarakimu za thamani ya mizizi.

Tuanze.

Kutumia meza ya mraba, meza ya cubes, nk.

Katika kesi rahisi zaidi, meza za mraba, cubes, nk hukuwezesha kuchimba mizizi. Jedwali hizi ni nini?

Jedwali la miraba ya nambari kamili kutoka 0 hadi 99 ikiwa ni pamoja (iliyoonyeshwa hapa chini) ina kanda mbili. Ukanda wa kwanza wa meza iko kwenye msingi wa kijivu; kwa kuchagua safu maalum na safu maalum, hukuruhusu kutunga nambari kutoka 0 hadi 99. Kwa mfano, wacha tuchague safu ya makumi 8 na safu ya vitengo 3, na hii tuliweka nambari 83. Ukanda wa pili unachukua sehemu iliyobaki ya meza. Kila seli iko kwenye makutano ya safu mlalo fulani na safu wima fulani, na ina mraba wa nambari inayolingana kutoka 0 hadi 99. Katika makutano ya safu tuliyochagua ya makumi 8 na safu wima ya 3 ya hizo kuna seli iliyo na nambari 6,889, ambayo ni mraba wa nambari 83.

Majedwali ya cubes, meza za nguvu za nne za nambari kutoka 0 hadi 99, na kadhalika ni sawa na meza ya mraba, tu zina vyenye cubes, nguvu za nne, nk katika ukanda wa pili. nambari zinazolingana.

Majedwali ya mraba, cubes, nguvu za nne, nk. kuruhusu kuchimba mizizi ya mraba, mizizi ya mchemraba, mizizi ya nne, nk. ipasavyo kutoka kwa nambari katika majedwali haya. Hebu tueleze kanuni ya matumizi yao wakati wa kuchimba mizizi.

Wacha tuseme tunahitaji kutoa mzizi wa nth wa nambari a, wakati nambari a iko kwenye jedwali la nguvu za nth. Kwa kutumia jedwali hili tunapata nambari b kiasi kwamba a=b n. Kisha , kwa hivyo, nambari b itakuwa mzizi unaohitajika wa digrii ya nth.

Kama mfano, hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia jedwali la mchemraba kutoa mzizi wa mchemraba wa 19,683. Tunapata nambari 19,683 kwenye jedwali la cubes, kutoka kwake tunapata kuwa nambari hii ni mchemraba wa nambari 27, kwa hivyo, .

Ni wazi kwamba meza za nguvu za nth ni rahisi sana kwa kuchimba mizizi. Walakini, mara nyingi hazipo karibu, na kuzikusanya kunahitaji muda. Zaidi ya hayo, mara nyingi ni muhimu kutoa mizizi kutoka kwa nambari ambazo hazipo kwenye meza zinazofanana. Katika kesi hii, unapaswa kutumia njia zingine za uchimbaji wa mizizi.

Kuweka idadi kubwa katika mambo makuu

Njia rahisi ya kutoa mzizi wa nambari asilia (ikiwa, bila shaka, mzizi umetolewa) ni kutenganisha nambari kali kuwa sababu kuu. Yake uhakika ni huu: baada ya hapo ni rahisi kuiwakilisha kama nguvu iliyo na kielelezo kinachohitajika, ambacho hukuruhusu kupata thamani ya mzizi. Hebu tufafanue jambo hili.

Acha mzizi wa nth wa nambari asilia uchukuliwe na thamani yake iwe sawa na b. Katika kesi hii, usawa a=b n ni kweli. Nambari b, kama nambari yoyote asilia, inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya vipengele vyake vyote vikuu p 1 , p 2 , …, p m katika umbo p 1 ·p 2 ·…·p m , na nambari kali a katika hali hii. inawakilishwa kama (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Kwa kuwa mtengano wa nambari katika vipengele vikuu ni wa kipekee, mtengano wa nambari kali a katika vipengele vikuu utakuwa na umbo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ambayo hufanya iwezekane kukokotoa thamani ya mzizi. kama.

Kumbuka kwamba ikiwa mtengano katika vipengele vikuu vya nambari kali a hauwezi kuwakilishwa katika muundo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, basi mzizi wa nth wa nambari kama hiyo haujatolewa kabisa.

Wacha tufikirie hii wakati wa kutatua mifano.

Mfano.

Chukua mzizi wa mraba wa 144.

Suluhisho.

Ukiangalia jedwali la mraba lililotolewa katika aya iliyotangulia, unaweza kuona wazi kwamba 144 = 12 2, ambayo ni wazi kuwa mzizi wa mraba wa 144 ni sawa na 12.

Lakini kwa kuzingatia hatua hii, tunavutiwa na jinsi mzizi unavyotolewa kwa kuoza nambari kali 144 kuwa sababu kuu. Hebu tuangalie suluhisho hili.

Hebu kuoza 144 kwa sababu kuu:

Yaani 144=2·2·2·2·3·3. Kulingana na mtengano unaosababishwa, mabadiliko yafuatayo yanaweza kufanywa: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Kwa hivyo, .

Kutumia mali ya shahada na mali ya mizizi, suluhisho linaweza kutengenezwa tofauti kidogo:.

Jibu:

Ili kuunganisha nyenzo, fikiria suluhisho kwa mifano miwili zaidi.

Mfano.

Kuhesabu thamani ya mizizi.

Suluhisho.

Kipengele kikuu cha nambari ya radical 243 kina fomu 243=3 5 . Hivyo, .

Jibu:

Mfano.

Je, thamani ya mzizi ni nambari kamili?

Suluhisho.

Ili kujibu swali hili, hebu tuangazie nambari kali katika vipengele vikuu na tuone kama inaweza kuwakilishwa kama mchemraba wa nambari kamili.

Tuna 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Upanuzi unaotokana hauwezi kuwakilishwa kama mchemraba wa nambari kamili, kwani nguvu ya kipengele kikuu cha 7 sio kizidishi cha tatu. Kwa hiyo, mzizi wa mchemraba wa 285,768 hauwezi kuondolewa kabisa.

Jibu:

Hapana.

Kuchimba mizizi kutoka kwa nambari za sehemu

Ni wakati wa kujua jinsi ya kutoa mzizi wa nambari ya sehemu. Acha nambari ya radical ya sehemu iandikwe kama p/q. Kulingana na mali ya mzizi wa mgawo, usawa ufuatao ni kweli. Kutoka kwa usawa huu inafuata sheria ya kuchimba mzizi wa sehemu: Mzizi wa sehemu ni sawa na mgawo wa mzizi wa nambari iliyogawanywa na mzizi wa denominator.

Wacha tuangalie mfano wa kuchimba mzizi kutoka kwa sehemu.

Mfano.

Nini mzizi wa mraba wa sehemu ya kawaida 25/169?

Suluhisho.

Kwa kutumia jedwali la miraba, tunapata kwamba mzizi wa mraba wa nambari ya sehemu ya asili ni 5, na mzizi wa mraba wa dhehebu ni sawa na 13. Kisha . Hii inakamilisha uchimbaji wa mzizi wa sehemu ya kawaida 25/169.

Jibu:

Mzizi wa sehemu ya desimali au nambari mchanganyiko hutolewa baada ya kubadilisha nambari za radical na sehemu za kawaida.

Mfano.

Chukua mzizi wa mchemraba wa sehemu ya decimal 474.552.

Suluhisho.

Wacha tufikirie sehemu asilia ya decimal kama sehemu ya kawaida: 474.552=474552/1000. Kisha . Inabakia kutoa mizizi ya mchemraba ambayo iko kwenye nambari na denominator ya sehemu inayosababisha. Kwa sababu 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 na 1 000 = 10 3, basi Na . Kilichobaki ni kukamilisha mahesabu .

Jibu:

Kuchukua mzizi wa nambari hasi

Inafaa kukaa juu ya kuchimba mizizi kutoka kwa nambari hasi. Wakati wa kusoma mizizi, tulisema kwamba wakati kielelezo cha mizizi ni nambari isiyo ya kawaida, basi kunaweza kuwa na nambari hasi chini ya ishara ya mizizi. Tulipa maingizo haya maana ifuatayo: kwa nambari hasi −a na kipeoshi kisicho cha kawaida cha mzizi 2 n−1, . Usawa huu unatoa sheria ya kutoa mizizi isiyo ya kawaida kutoka kwa nambari hasi: kutoa mzizi wa nambari hasi, unahitaji kuchukua mzizi wa nambari chanya iliyo kinyume, na uweke alama ya minus mbele ya matokeo.

Wacha tuangalie suluhisho la mfano.

Mfano.

Tafuta thamani ya mizizi.

Suluhisho.

Wacha tubadilishe usemi asilia ili kuwe na nambari chanya chini ya ishara ya mizizi: . Sasa badilisha nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida: . Tunatumia sheria ya kuchimba mzizi wa sehemu ya kawaida: . Inabakia kuhesabu mizizi kwenye nambari na dhehebu la sehemu inayosababisha: .

Hapa kuna muhtasari mfupi wa suluhisho: .

Jibu:

Uamuzi wa bitwise wa thamani ya mizizi

Katika hali ya jumla, chini ya mzizi kuna nambari ambayo, kwa kutumia mbinu zilizojadiliwa hapo juu, haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya nth ya nambari yoyote. Lakini katika kesi hii kuna haja ya kujua maana ya mzizi uliopewa, angalau hadi ishara fulani. Katika kesi hii, ili kutoa mzizi, unaweza kutumia algorithm ambayo hukuruhusu kupata nambari ya kutosha ya nambari ya nambari inayotaka.

Hatua ya kwanza ya algorithm hii ni kujua ni sehemu gani muhimu zaidi ya thamani ya mizizi. Ili kufanya hivyo, nambari 0, 10, 100, ... zinainuliwa kwa mlolongo kwa nguvu n hadi wakati ambapo nambari inazidi nambari kali hupatikana. Kisha nambari ambayo tuliinua kwa nguvu n katika hatua ya awali itaonyesha nambari inayolingana zaidi.

Kwa mfano, fikiria hatua hii ya algorithm wakati wa kutoa mzizi wa mraba wa tano. Tunachukua nambari 0, 10, 100, ... na mraba hadi tupate nambari kubwa kuliko 5. Tuna 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ambayo ina maana kwamba tarakimu muhimu zaidi itakuwa tarakimu hizo. Thamani ya kidogo hii, pamoja na ya chini, itapatikana katika hatua zifuatazo za algorithm ya uchimbaji wa mizizi.

Hatua zote zinazofuata za algorithm zinalenga kufafanua kwa usawa thamani ya mzizi kwa kupata maadili ya bits inayofuata ya thamani inayotaka ya mzizi, kuanzia na ile ya juu zaidi na kuhamia ya chini kabisa. Kwa mfano, thamani ya mizizi katika hatua ya kwanza inageuka kuwa 2, kwa pili - 2.2, ya tatu - 2.23, na kadhalika 2.236067977 .... Wacha tueleze jinsi maadili ya bits hupatikana.

Nambari zinapatikana kwa kutafuta maadili yanayowezekana 0, 1, 2, ..., 9. Katika kesi hii, nguvu za nth za nambari zinazolingana zinahesabiwa kwa usawa, na zinalinganishwa na nambari kali. Ikiwa kwa hatua fulani thamani ya shahada inazidi idadi kubwa, basi thamani ya tarakimu inayofanana na thamani ya awali inachukuliwa kupatikana, na mpito kwa hatua inayofuata ya algorithm ya uchimbaji wa mizizi inafanywa; basi thamani ya nambari hii ni 9.

Hebu tufafanue hoja hizi kwa kutumia mfano ule ule wa kutoa mzizi wa mraba wa tano.

Kwanza tunapata thamani ya tarakimu ya vitengo. Tutapitia maadili 0, 1, 2, ..., 9, kuhesabu 0 2, 1 2, ..., 9 2, mtawaliwa, hadi tupate thamani kubwa kuliko nambari kali 5. Ni rahisi kuwasilisha mahesabu haya yote kwa namna ya meza:

Kwa hivyo thamani ya nambari ya vitengo ni 2 (tangu 2 2<5 , а 2 3 >5). Wacha tuendelee kutafuta thamani ya mahali pa kumi. Katika kesi hii, tutaweka mraba nambari 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, kulinganisha maadili yanayotokana na nambari kali 5:

Tangu 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, basi thamani ya nafasi ya kumi ni 2. Unaweza kuendelea kutafuta thamani ya sehemu ya mia:

Hivi ndivyo thamani inayofuata ya mzizi wa tano ilipatikana, ni sawa na 2.23. Na kwa hivyo unaweza kuendelea kupata maadili: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua uchimbaji wa mizizi kwa usahihi wa mia kwa kutumia algorithm inayozingatiwa.

Kwanza tunaamua nambari muhimu zaidi. Ili kufanya hivyo, tunapunguza nambari 0, 10, 100, nk. mpaka tupate idadi kubwa zaidi ya 2,151,186. Tuna 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, kwa hivyo tarakimu muhimu zaidi ni tarakimu ya makumi.

Wacha tuamue thamani yake.

Tangu 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, basi thamani ya mahali pa kumi ni 1. Wacha tuendelee kwenye vitengo.

Kwa hivyo, thamani ya nambari moja ni 2. Wacha tuendelee kwenye sehemu ya kumi.

Kwa kuwa hata 12.9 3 ni chini ya nambari ya radical 2 151.186, basi thamani ya nafasi ya kumi ni 9. Inabakia kufanya hatua ya mwisho ya algorithm; itatupa thamani ya mizizi kwa usahihi unaohitajika.

Katika hatua hii, thamani ya mzizi hupatikana kwa usahihi hadi mia: .

Kwa kumalizia makala hii, ningependa kusema kwamba kuna njia nyingine nyingi za kuchimba mizizi. Lakini kwa kazi nyingi, zile tulizosoma hapo juu zinatosha.

Bibliografia.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: kitabu cha maandishi kwa darasa la 8. taasisi za elimu.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).

Kubadilisha misemo yenye mizizi na nguvu mara nyingi huhitaji kurudi na kurudi kati ya mizizi na nguvu. Katika makala hii tutaangalia jinsi mabadiliko kama haya yanafanywa, ni nini msingi wao, na ni kwa pointi gani makosa hutokea mara nyingi. Tutatoa haya yote kwa mifano ya kawaida na uchambuzi wa kina wa suluhisho.

Urambazaji wa ukurasa.

Mpito kutoka kwa nguvu zilizo na vipeo vya sehemu hadi mizizi

Uwezekano wa kuhama kutoka kwa digrii na kielelezo cha sehemu hadi mzizi inaagizwa na ufafanuzi sana wa shahada. Wacha tukumbuke jinsi inavyoamuliwa: nguvu ya nambari chanya a iliyo na kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia, inaitwa mzizi wa nth wa m, ambayo ni, ambapo a>0. , m∈Z, n∈ N. Nguvu ya sehemu ya sifuri inafafanuliwa vile vile , na tofauti pekee ambayo katika kesi hii m haizingatiwi tena integer, lakini ya asili, ili mgawanyiko kwa sifuri haufanyike.

Kwa hivyo, kiwango kinaweza kubadilishwa na mzizi kila wakati. Kwa mfano, unaweza kwenda kutoka hadi, na shahada inaweza kubadilishwa na mizizi. Lakini haupaswi kuhama kutoka kwa usemi hadi mzizi, kwani digrii hapo awali haina maana (kiwango cha nambari hasi haijafafanuliwa), licha ya ukweli kwamba mzizi una maana.

Kama unaweza kuona, hakuna chochote gumu katika mabadiliko kutoka kwa nguvu za nambari hadi mizizi. Mpito kwa mizizi ya mamlaka na vielelezo vya sehemu, kulingana na maneno ya kiholela, hufanyika sawa. Kumbuka kuwa mpito huu unafanywa kwenye ODZ ya vigeu vya usemi asilia. Kwa mfano, usemi kwenye ODZ nzima ya kutofautisha x kwa usemi huu inaweza kubadilishwa na mzizi . Na kutoka kwa digrii nenda kwenye mizizi , uingizwaji kama huo hufanyika kwa seti yoyote ya vigeu vya x, y na z kutoka kwa ODZ kwa usemi asilia.

Kubadilisha mizizi na nguvu

Uingizwaji wa nyuma pia unawezekana, ambayo ni, kuchukua nafasi ya mizizi na nguvu na vielelezo vya sehemu. Pia inategemea usawa, ambayo katika kesi hii hutumiwa kutoka kulia kwenda kushoto, yaani, kwa fomu.

Kwa chanya mpito ulioonyeshwa ni dhahiri. Kwa mfano, unaweza kubadilisha digrii na , na kwenda kutoka kwa mzizi hadi digrii na kipeo cha sehemu ya fomu.

Na kwa hasi a usawa haina maana, lakini mzizi bado unaweza kuwa na maana. Kwa mfano, mizizi ina maana, lakini haiwezi kubadilishwa na nguvu. Kwa hivyo inawezekana hata kuyabadilisha kuwa maneno yenye nguvu? Inawezekana ikiwa utafanya mabadiliko ya awali, ambayo yanajumuisha kwenda kwenye mizizi na nambari zisizo hasi chini yao, ambazo hubadilishwa na nguvu zilizo na vielelezo vya sehemu. Tutaonyesha mabadiliko haya ya awali ni nini na jinsi ya kuyatekeleza.

Katika kesi ya mzizi, unaweza kufanya mabadiliko yafuatayo: . Na kwa kuwa 4 ni nambari nzuri, mzizi wa mwisho unaweza kubadilishwa na nguvu. Na katika kesi ya pili kuamua mzizi usio wa kawaida wa nambari hasi−a (ambapo a ni chanya), ikionyeshwa na usawa , hukuruhusu kuchukua nafasi ya mzizi na usemi ambao mzizi wa mchemraba wa mbili unaweza tayari kubadilishwa na digrii, na itachukua fomu.

Inabakia kujua jinsi mizizi ambayo misemo iko chini yake inabadilishwa na nguvu zilizo na misemo hii kwenye msingi. Hakuna haja ya kukimbilia kuibadilisha na , tulitumia herufi A kuashiria usemi fulani. Hebu tutoe mfano kueleza tunamaanisha nini kwa hili. Ninataka tu kubadilisha mzizi na digrii, kwa msingi wa usawa. Lakini uingizwaji kama huo unafaa tu chini ya hali x-3≥0, na kwa maadili yaliyobaki ya kutofautisha x kutoka kwa ODZ (kukidhi hali x-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Kwa sababu ya utumizi huu usio sahihi wa fomula, mara nyingi makosa hutokea wakati wa kusonga kutoka mizizi hadi nguvu. Kwa mfano, katika kitabu cha maandishi kazi inapewa kuwakilisha usemi kwa namna ya nguvu na kielelezo cha busara, na jibu linatolewa, ambalo linaleta maswali, kwani hali hiyo haielezei kizuizi b>0. Na katika kitabu cha maandishi kuna mpito kutoka kwa usemi , uwezekano mkubwa kupitia mabadiliko yafuatayo ya usemi usio na mantiki

kwa kujieleza. Mpito wa hivi punde pia unazua maswali, kwani unapunguza DZ.

Swali la kimantiki linatokea: "Mtu anawezaje kuhama kwa usahihi kutoka kwa mzizi kwenda kwa nguvu kwa maadili yote ya anuwai kutoka kwa ODZ?" Uingizwaji huu unafanywa kwa msingi wa taarifa zifuatazo:

Kabla ya kuhalalisha matokeo yaliyorekodiwa, tunatoa mifano kadhaa ya matumizi yao kwa mpito kutoka mizizi hadi nguvu. Kwanza, turudi kwenye usemi. Ilibidi ibadilishwe sio na , lakini na (katika kesi hii m=2 ni nambari kamili, n=3 ni nambari asilia). Mfano mwingine: .

Sasa uhalali ulioahidiwa wa matokeo.

Wakati m ni nambari isiyo ya kawaida, na n ni nambari kamili ya asili, basi kwa seti yoyote ya vigeu kutoka kwa ODZ kwa usemi, thamani ya usemi A ni chanya (ikiwa m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Ndiyo maana, .

Wacha tuendelee kwenye matokeo ya pili. Wacha m iwe nambari kamili isiyo ya kawaida na n nambari asilia isiyo ya kawaida. Kwa maadili yote ya vigeu kutoka kwa ODZ ambayo thamani ya usemi A sio hasi, , na ambayo ni hasi kwake,

Matokeo yafuatayo yamethibitishwa vivyo hivyo kwa nambari hasi na zisizo za kawaida m na nambari asilia zisizo za kawaida n. Kwa maadili yote ya anuwai kutoka kwa ODZ ambayo thamani ya usemi A ni chanya, , na ambayo ni hasi kwake,

Hatimaye, matokeo ya mwisho. Wacha m iwe nambari kamili, n iwe nambari yoyote asilia. Kwa maadili yote ya vigezo kutoka kwa ODZ ambayo thamani ya kujieleza A ni chanya (ikiwa m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . Na ambayo ni hasi,. Kwa hivyo, ikiwa m ni nambari kamili, n ni nambari yoyote asilia, basi kwa seti yoyote ya maadili ya anuwai kutoka kwa ODZ kwa usemi inaweza kubadilishwa na .

Bibliografia.

Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - 14 ed - M.: Elimu, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
Aljebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati. Daraja la 11: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; imehaririwa na A. B. Zhizhchenko. - M.: Elimu, 2009.- 336 pp.: mgonjwa.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Excel hutumia vitendaji vilivyojumuishwa ndani na waendeshaji hisabati ili kutoa mzizi na kuongeza nambari hadi nguvu. Hebu tuangalie mifano.

Mifano ya kazi ya SQRT katika Excel

Chaguo za kukokotoa za SQRT zilizojengewa ndani hurejesha thamani chanya ya mzizi wa mraba. Katika menyu ya Kazi, iko chini ya kitengo cha Hisabati.

Sintaksia ya kazi: =ROOT(nambari).

Hoja ya pekee na inayohitajika ni nambari chanya ambayo chaguo za kukokotoa hukokotoa mzizi wa mraba. Ikiwa hoja ni hasi, Excel italeta hitilafu #NUM!

Unaweza kubainisha thamani mahususi au rejeleo la kisanduku chenye thamani ya nambari kama hoja.

Hebu tuangalie mifano.

Chaguo za kukokotoa zilirejesha mzizi wa mraba wa nambari 36. Hoja ni thamani mahususi.

Chaguo za kukokotoa za ABS hurejesha thamani kamili ya -36. Matumizi yake yalituruhusu kuepuka makosa wakati wa kutoa mzizi wa mraba wa nambari hasi.

Chaguo za kukokotoa zilichukua mzizi wa mraba wa jumla ya 13 na thamani ya kisanduku C1.

Kitendaji cha udhihirisho katika Excel

Sintaksia ya utendaji: =NGUVU(thamani, nambari). Hoja zote mbili zinahitajika.

Thamani ni thamani yoyote halisi ya nambari. Nambari ni kiashiria cha nguvu ambayo thamani fulani inapaswa kuinuliwa.

Hebu tuangalie mifano.

Katika kiini C2 - matokeo ya kubandika nambari 10.

Chaguo la kukokotoa limerejesha nambari 100 iliyoinuliwa hadi ¾.

Ufafanuzi kwa kutumia opereta

Ili kuongeza nambari kwa nguvu katika Excel, unaweza kutumia opereta wa hisabati "^". Kuiingiza, bonyeza Shift + 6 (na mpangilio wa kibodi ya Kiingereza).

Ili Excel ichukue habari iliyoingizwa kama fomula, ishara "=" inawekwa kwanza. Ifuatayo ni nambari inayohitaji kuinuliwa kwa nguvu. Na baada ya ishara "^" ni thamani ya shahada.

Badala ya thamani yoyote ya fomula hii ya hisabati, unaweza kutumia marejeleo ya seli zilizo na nambari.

Hii ni rahisi ikiwa unahitaji kuunda maadili mengi.

Kwa kunakili fomula kwenye safu nzima, tulipata haraka matokeo ya kuinua nambari kwenye safu A hadi nguvu ya tatu.

Kuchimba mizizi ya nth

ROOT ni kitendakazi cha mzizi wa mraba katika Excel. Jinsi ya kutoa mzizi wa 3, 4 na nguvu zingine?

Hebu tukumbuke moja ya sheria za hisabati: ili kutoa mzizi wa nth, unahitaji kuongeza nambari kwa nguvu 1/n.

Kwa mfano, ili kutoa mzizi wa mchemraba, tunainua nambari kwa nguvu ya 1/3.

Wacha tutumie fomula kutoa mizizi ya digrii tofauti katika Excel.

Fomula ilirejesha thamani ya mzizi wa mchemraba wa nambari 21. Ili kuongeza nguvu ya sehemu, opereta "^" ilitumiwa.

Hongera: leo tutaangalia mizizi - moja ya mada zinazovutia zaidi katika daraja la 8 :)

Watu wengi huchanganyikiwa juu ya mizizi, sio kwa sababu ni ngumu (ni nini ngumu juu yake - ufafanuzi kadhaa na mali kadhaa), lakini kwa sababu katika vitabu vingi vya kiada vya shule, mizizi hufafanuliwa kupitia msitu ambao ni waandishi tu wa vitabu vya kiada. wenyewe wanaweza kuelewa maandishi haya. Na hata hivyo tu na chupa ya whisky nzuri :)

Kwa hivyo, sasa nitatoa ufafanuzi sahihi zaidi na unaofaa zaidi wa mzizi - pekee ambayo unapaswa kukumbuka. Na kisha nitaelezea: kwa nini hii yote inahitajika na jinsi ya kuitumia katika mazoezi.

Lakini kwanza, kumbuka jambo moja muhimu ambalo watunzi wengi wa vitabu vya kiada kwa sababu fulani "husahau":

Mizizi inaweza kuwa ya shahada sawa (tuipendayo $\sqrt(a)$, pamoja na kila aina ya $\sqrt(a)$ na hata $\sqrt(a)$) na shahada isiyo ya kawaida (aina zote za $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, n.k.). Na ufafanuzi wa mzizi wa shahada isiyo ya kawaida ni tofauti na hata moja.

Pengine 95% ya makosa yote na kutokuelewana kuhusishwa na mizizi ni siri katika fucking hii "tofauti kiasi fulani". Kwa hivyo hebu tufafanue istilahi mara moja na kwa wote:

Ufafanuzi. Hata mizizi n kutoka kwa nambari $a$ ni yoyote zisizo hasi nambari $b$ ni kwamba $((b)^(n))=a$. Na mzizi usio wa kawaida wa nambari sawa $a$ kwa ujumla ni nambari yoyote $b$ ambayo usawa huo unashikilia: $((b)^(n))=a$.

Kwa hali yoyote, mizizi inaonyeshwa kama hii:

\(a)\]

Nambari $n$ katika nukuu kama hiyo inaitwa kipeo cha mzizi, na nambari $a$ inaitwa usemi mkali. Hasa, kwa $n=2$ tunapata mzizi wetu wa mraba "unaopenda" (kwa njia, hii ni mzizi wa digrii sawa), na kwa $n=3$ tunapata mzizi wa ujazo (shahada isiyo ya kawaida), ambayo ni pia mara nyingi hupatikana katika matatizo na milinganyo.

Mifano. Mifano ya asili ya mizizi ya mraba:

\[\anza(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kwa njia, $\sqrt(0)=0$, na $\sqrt(1)=1$. Hili ni jambo la kimantiki, kwani $((0)^(2))=0$ na $((1)^(2))=1$.

Mizizi ya mchemraba pia ni ya kawaida - hakuna haja ya kuwaogopa:

\[\anza(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kweli, michache ya "mifano ya kigeni":

\[\anza(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \mwisho(patanisha)\]

Ikiwa hauelewi ni tofauti gani kati ya digrii hata na isiyo ya kawaida, soma tena ufafanuzi. Ni muhimu sana!

Wakati huo huo, tutazingatia kipengele kimoja kisichofurahi cha mizizi, kwa sababu ambayo tulihitaji kuanzisha ufafanuzi tofauti kwa wafadhili hata na wasio wa kawaida.

Kwa nini mizizi inahitajika kabisa?

Baada ya kusoma ufafanuzi huo, wanafunzi wengi watauliza: "Wataalamu wa hisabati walikuwa wakivuta sigara gani walipokuja na hili?" Na kwa kweli: kwa nini mizizi hii yote inahitajika kabisa?

Ili kujibu swali hili, hebu turejee shule ya msingi kwa muda. Kumbuka: katika nyakati hizo za mbali, wakati miti ilikuwa ya kijani na dumplings tastier, wasiwasi wetu kuu ilikuwa kuzidisha namba kwa usahihi. Kweli, kitu kama "tano kwa tano - ishirini na tano", ndivyo tu. Lakini unaweza kuzidisha nambari sio kwa jozi, lakini kwa triplets, quadruples na kwa ujumla seti nzima:

\[\anza(linganisha) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \mwisho(align)\]

Walakini, hii sio maana. Ujanja ni tofauti: wanahisabati ni watu wavivu, kwa hivyo walikuwa na wakati mgumu kuandika kuzidisha kwa tano kumi kama hii:

Ndio maana walikuja na digrii. Kwa nini usiandike idadi ya mambo kama maandishi makubwa badala ya kamba ndefu? Kitu kama hiki:

Inafaa sana! Hesabu zote zimepunguzwa sana, na sio lazima upoteze rundo la karatasi za ngozi na madaftari ili kuandika 5,183. Rekodi hii iliitwa nguvu ya nambari; rundo la mali lilipatikana ndani yake, lakini furaha iligeuka kuwa ya muda mfupi.

Baada ya karamu kuu ya unywaji pombe, ambayo iliandaliwa kwa ajili ya “uvumbuzi” wa digrii tu, mwanahisabati fulani mkaidi aliuliza ghafula: “Namna gani ikiwa tunajua kiwango cha nambari, lakini nambari yenyewe haijulikani?” Sasa, kwa hakika, ikiwa tunajua kwamba nambari fulani $b$, tuseme, kwa nguvu ya 5 inatoa 243, basi tunawezaje kukisia nambari $b$ yenyewe ni sawa na nini?

Tatizo hili liliibuka kuwa la kimataifa zaidi kuliko inavyoweza kuonekana mwanzoni. Kwa sababu iliibuka kuwa kwa nguvu nyingi "zilizotengenezwa tayari" hakuna nambari kama hizo "za awali". Jihukumu mwenyewe:

\[\anza(align) & ((b)^(3))=27\ Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\ Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Mshale wa kulia b=4\cdot 4\cdot 4\Mshale wa kulia b=4. \\ \mwisho(patanisha)\]

Je, ikiwa $((b)^(3))=$50? Inatokea kwamba tunahitaji kupata nambari fulani ambayo, ikizidishwa yenyewe mara tatu, itatupa 50. Lakini nambari hii ni nini? Ni wazi zaidi ya 3, kwani 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Hiyo ni nambari hii iko mahali fulani kati ya tatu na nne, lakini hutaelewa ni sawa na nini.

Hii ndiyo sababu wanahisabati walikuja na $n$th mizizi. Hii ndio sababu ishara kali $\sqrt(*)$ ilianzishwa. Ili kubainisha nambari hiyo hiyo $b$, ambayo kwa kiwango kilichoonyeshwa itatupatia thamani inayojulikana hapo awali

\[\sqrt[n](a)=b\Mshale wa Kulia ((b)^(n))=a\]

Sibishani: mara nyingi mizizi hii huhesabiwa kwa urahisi - tuliona mifano kadhaa hapo juu. Lakini bado, katika hali nyingi, ikiwa unafikiria nambari ya kiholela na kisha kujaribu kutoa mzizi wa digrii ya kiholela kutoka kwayo, utakuwa kwenye bummer mbaya.

Kuna nini! Hata $\sqrt(2)$ rahisi na inayojulikana zaidi haiwezi kuwakilishwa katika hali yetu ya kawaida - kama nambari kamili au sehemu. Na ukiingiza nambari hii kwenye kikokotoo, utaona hii:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Kama unavyoona, baada ya nukta ya decimal kuna mlolongo usio na mwisho wa nambari ambazo hazitii mantiki yoyote. Unaweza, kwa kweli, kuzunguka nambari hii ili kulinganisha haraka na nambari zingine. Kwa mfano:

\[\sqrt(2)=1.4142...\takriban 1.4 \lt 1.5\]

Au hapa kuna mfano mwingine:

\[\sqrt(3)=1.73205...\takriban 1.7 \gt 1.5\]

Lakini roundings hizi zote, kwanza, ni mbaya kabisa; na pili, unahitaji pia kuwa na uwezo wa kufanya kazi na maadili ya takriban, vinginevyo unaweza kupata rundo la makosa yasiyo ya wazi (kwa njia, ujuzi wa kulinganisha na kuzunguka unahitajika kupimwa kwenye wasifu Uchunguzi wa Hali ya Umoja).

Kwa hivyo, katika hesabu kubwa huwezi kufanya bila mizizi - ni wawakilishi sawa wa seti ya nambari zote halisi $\mathbb(R)$, kama sehemu na nambari ambazo zimejulikana kwetu kwa muda mrefu.

Kutoweza kuwakilisha mzizi kama sehemu ya fomu $\frac(p)(q)$ kunamaanisha kuwa mzizi huu si nambari ya kimantiki. Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana, na haziwezi kuwakilishwa kwa usahihi isipokuwa kwa msaada wa muundo mkali au mwingine iliyoundwa mahsusi kwa hii (logarithms, nguvu, mipaka, nk). Lakini zaidi juu ya hilo wakati mwingine.

Hebu fikiria mifano kadhaa ambapo, baada ya mahesabu yote, nambari zisizo na maana bado zitabaki katika jibu.

\[\anza(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\takriban 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\takriban -1.2599... \\ \mwisho(align)\]

Kwa kawaida, kutokana na kuonekana kwa mzizi ni vigumu nadhani ni nambari gani zitakuja baada ya uhakika wa decimal. Hata hivyo, unaweza kutegemea kikokotoo, lakini hata kikokotoo cha tarehe cha juu zaidi kinatupa tu tarakimu chache za kwanza za nambari isiyo na mantiki. Kwa hivyo, ni sahihi zaidi kuandika majibu katika fomu $\sqrt(5)$ na $\sqrt(-2)$.

Hii ndiyo sababu hasa zilizuliwa. Ili kurekodi majibu kwa urahisi.

Kwa nini fasili mbili zinahitajika?

Msomaji makini pengine tayari ameona kwamba mizizi yote ya mraba iliyotolewa katika mifano imechukuliwa kutoka kwa nambari chanya. Naam, angalau kutoka mwanzo. Lakini mizizi ya mchemraba inaweza kutolewa kwa utulivu kutoka kwa nambari yoyote - iwe chanya au hasi.

Kwa nini hii inatokea? Angalia grafu ya chaguo za kukokotoa $y=((x)^(2))$:

Grafu ya kazi ya quadratic inatoa mizizi miwili: chanya na hasi

Wacha tujaribu kuhesabu $\sqrt(4)$ kwa kutumia grafu hii. Ili kufanya hivyo, mstari wa mlalo $y=4$ umechorwa kwenye grafu (iliyowekwa alama nyekundu), ambayo inakatiza na parabola katika pointi mbili: $((x)_(1))=2$ na $((x) )_(2)) =-2$. Hii ni mantiki kabisa, tangu

Kila kitu kiko wazi na nambari ya kwanza - ni chanya, kwa hivyo ndio mzizi:

Lakini basi nini cha kufanya na hatua ya pili? Kama nne ina mizizi miwili mara moja? Baada ya yote, ikiwa tutaweka nambari −2 mraba, pia tunapata 4. Kwa nini usiandike $\sqrt(4)=-2$ basi? Na kwa nini waalimu hutazama machapisho kama vile wanataka kula wewe :)

Shida ni kwamba ikiwa hautaweka masharti yoyote ya ziada, basi quad itakuwa na mizizi miwili ya mraba - chanya na hasi. Na nambari yoyote chanya pia itakuwa na mbili kati yao. Lakini nambari hasi hazitakuwa na mizizi hata kidogo - hii inaweza kuonekana kutoka kwa grafu moja, kwani parabola haianguki chini ya mhimili. y, i.e. haikubali maadili hasi.

Shida kama hiyo hufanyika kwa mizizi yote iliyo na kielelezo sawa:

Kwa kusema kweli, kila nambari chanya itakuwa na mizizi miwili yenye kielelezo $n$;
Kutoka kwa nambari hasi, mzizi ulio na hata $n$ haujatolewa hata kidogo.

Ndio maana katika ufafanuzi wa mzizi wa digrii sawa $n$ imeainishwa haswa kuwa jibu lazima liwe nambari isiyo hasi. Hivi ndivyo tunavyoondoa utata.

Lakini kwa $n$ isiyo ya kawaida hakuna shida kama hiyo. Ili kuona hili, hebu tuangalie grafu ya chaguo la kukokotoa $y=((x)^(3))$:

Parabola ya mchemraba inaweza kuchukua thamani yoyote, kwa hivyo mzizi wa mchemraba unaweza kuchukuliwa kutoka kwa nambari yoyote

Hitimisho mbili zinaweza kutolewa kutoka kwa grafu hii:

Matawi ya parabola ya ujazo, tofauti na ya kawaida, huenda kwa infinity kwa pande zote mbili - juu na chini. Kwa hiyo, bila kujali urefu gani tunachora mstari wa usawa, mstari huu hakika utaingiliana na grafu yetu. Kwa hivyo, mzizi wa mchemraba unaweza kutolewa kila wakati kutoka kwa nambari yoyote;
Kwa kuongeza, makutano hayo yatakuwa ya pekee, kwa hivyo huna haja ya kufikiri juu ya nambari gani inachukuliwa kuwa mzizi "sahihi" na ni ipi ya kupuuza. Ndio maana kuamua mizizi kwa digrii isiyo ya kawaida ni rahisi kuliko kwa digrii hata (hakuna hitaji la kutokuwa hasi).

Inasikitisha kwamba mambo haya rahisi hayajaelezewa katika vitabu vingi vya kiada. Badala yake, ubongo wetu huanza kuongezeka kwa kila aina ya mizizi ya hesabu na mali zao.

Ndio, sibishani: unahitaji pia kujua mzizi wa hesabu ni nini. Na nitazungumza juu ya hili kwa undani katika somo tofauti. Leo pia tutazungumzia kuhusu hilo, kwa sababu bila mawazo yote kuhusu mizizi ya $n$-th msururu itakuwa haijakamilika.

Lakini kwanza unahitaji kuelewa wazi ufafanuzi ambao nilitoa hapo juu. Vinginevyo, kwa sababu ya wingi wa maneno, fujo kama hiyo itaanza kichwani mwako kwamba mwisho hautaelewa chochote.

Unachohitaji kufanya ni kuelewa tofauti kati ya viashiria hata na isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, wacha tukusanye tena kila kitu unachohitaji kujua kuhusu mizizi:

Mzizi wa shahada ya usawa unapatikana tu kutoka kwa nambari isiyo hasi na yenyewe daima ni nambari isiyo hasi. Kwa nambari hasi mzizi kama huo haujafafanuliwa.

Lakini mzizi wa digrii isiyo ya kawaida upo kutoka kwa nambari yoyote na yenyewe inaweza kuwa nambari yoyote: kwa nambari chanya ni chanya, na kwa nambari hasi, kama kidokezo cha kofia, ni hasi.

Je, ni vigumu? Hapana, si vigumu. Ni wazi? Ndiyo, ni wazi kabisa! Kwa hivyo sasa tutafanya mazoezi kidogo na mahesabu.

Mali ya msingi na mapungufu

Mizizi ina mali nyingi za kushangaza na mapungufu - hii itajadiliwa katika somo tofauti. Kwa hivyo, sasa tutazingatia tu "hila" muhimu zaidi, ambayo inatumika tu kwa mizizi iliyo na faharisi sawa. Wacha tuandike mali hii kama fomula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\kulia|\]

Kwa maneno mengine, ikiwa tutainua nambari kwa nguvu sawa na kisha kutoa mzizi wa nguvu sawa, hatutapata nambari asili, lakini moduli yake. Hii ni nadharia rahisi ambayo inaweza kuthibitishwa kwa urahisi (inatosha kuzingatia zisizo hasi $x$ kando, na kisha hasi tofauti). Waalimu huzungumza kila wakati juu yake, inatolewa katika kila kitabu cha shule. Lakini mara tu inapofikia kusuluhisha milinganyo isiyo na mantiki (yaani, milinganyo iliyo na ishara kali), wanafunzi husahau kwa kauli moja fomula hii.

Ili kuelewa suala hilo kwa undani, wacha tusahau fomula zote kwa dakika moja na jaribu kuhesabu nambari mbili moja kwa moja:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \kulia)))^(4)))=?\]

Hii ni mifano rahisi sana. Watu wengi watasuluhisha mfano wa kwanza, lakini watu wengi hukwama kwenye wa pili. Ili kutatua shida kama hiyo bila shida, fikiria utaratibu kila wakati:

Kwanza, nambari inafufuliwa hadi nguvu ya nne. Naam, ni aina ya rahisi. Utapata nambari mpya ambayo inaweza kupatikana hata kwenye jedwali la kuzidisha;
Na sasa kutoka kwa nambari hii mpya ni muhimu kutoa mzizi wa nne. Wale. hakuna "kupunguzwa" kwa mizizi na nguvu hutokea - hizi ni vitendo vya mfululizo.

Wacha tuangalie usemi wa kwanza: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ni wazi, kwanza unahitaji kuhesabu usemi chini ya mzizi:

\[(3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Kisha tunatoa mzizi wa nne wa nambari 81:

Sasa tufanye vivyo hivyo na usemi wa pili. Kwanza, tunainua nambari -3 hadi nguvu ya nne, ambayo inahitaji kuizidisha yenyewe mara 4:

\[((\kushoto(-3 \kulia))^(4))=\kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \ kushoto(-3 \kulia)=81\]

Tulipata nambari nzuri, kwani jumla ya minus kwenye bidhaa ni 4, na zote zitaghairi kila mmoja (baada ya yote, minus kwa minus inatoa nyongeza). Kisha tunaondoa mzizi tena:

Kimsingi, mstari huu haungeweza kuandikwa, kwani hakuna akili kwamba jibu lingekuwa sawa. Wale. mzizi hata wa nguvu sawa "huchoma" minuses, na kwa maana hii matokeo hayawezi kutofautishwa na moduli ya kawaida:

\[\anza(align) & \sqrt((3)^(4)))=\left| 3 \kulia|=3; \\ & \sqrt(((\kushoto(-3 \kulia))^(4)))=\kushoto| -3 \kulia|=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Mahesabu haya yanakubaliana vizuri na ufafanuzi wa mzizi wa shahada hata: matokeo ni daima yasiyo ya hasi, na ishara kali pia daima ina nambari isiyo ya hasi. Vinginevyo, mizizi haijafafanuliwa.

Kumbuka juu ya utaratibu

Nukuu $\sqrt(((a)^(2)))$ ina maana kwamba kwanza tunaweka mraba nambari $a$ na kisha kuchukua mzizi wa mraba wa thamani inayotokana. Kwa hiyo, tunaweza kuwa na uhakika kwamba daima kuna nambari isiyo hasi chini ya ishara ya mizizi, kwani $((a)^(2))\ge 0$ kwa hali yoyote;
Lakini nukuu $((\left(\sqrt(a) \kulia))^(2))$, kinyume chake, ina maana kwamba kwanza tunachukua mzizi wa nambari fulani $a$ na kisha tu mraba matokeo. Kwa hiyo, nambari $a$ haiwezi kwa hali yoyote kuwa mbaya - hii ni mahitaji ya lazima yaliyojumuishwa katika ufafanuzi.

Kwa hivyo, kwa hali yoyote mtu haipaswi kupunguza mizizi na digrii bila kufikiria, na hivyo kudaiwa "kurahisisha" usemi wa asili. Kwa sababu ikiwa mzizi una nambari hasi na kielelezo chake ni sawa, tunapata rundo la shida.

Hata hivyo, matatizo haya yote yanafaa tu kwa viashiria hata.

Kuondoa ishara ya minus kutoka chini ya ishara ya mizizi

Kwa kawaida, mizizi yenye vielelezo visivyo vya kawaida pia ina kipengele chao, ambacho kwa kanuni haipo na hata. Yaani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kwa kifupi, unaweza kuondoa minus kutoka chini ya ishara ya mizizi ya shahada isiyo ya kawaida. Hii ni mali muhimu sana ambayo hukuruhusu "kutupa" ubaya wote:

\[\anza(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \kulia)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \mwisho(panga)\]

Mali hii rahisi hurahisisha mahesabu mengi. Sasa huna haja ya kuwa na wasiwasi: vipi ikiwa usemi hasi ulifichwa chini ya mzizi, lakini kiwango cha mizizi kiligeuka kuwa hata? Inatosha tu "kutupa nje" minuses yote nje ya mizizi, baada ya hapo inaweza kuzidishwa kwa kila mmoja, kugawanywa, na kwa ujumla kufanya mambo mengi ya tuhuma, ambayo katika kesi ya mizizi ya "classical" imehakikishiwa kutuongoza. tashwishi.

Na hapa ufafanuzi mwingine unakuja kwenye eneo - ule ule ambao shule nyingi huanza kusoma misemo isiyo na maana. Na bila hiyo hoja zetu zingekuwa hazijakamilika. Kutana nasi!

Mzizi wa hesabu

Hebu tufikirie kwa muda kwamba chini ya ishara ya mizizi kunaweza tu kuwa na nambari nzuri au, katika hali mbaya zaidi, sifuri. Hebu tusahau kuhusu viashiria hata / isiyo ya kawaida, usahau kuhusu ufafanuzi wote uliotolewa hapo juu - tutafanya kazi tu na nambari zisizo hasi. Nini sasa?

Na kisha tutapata mzizi wa hesabu - inaingiliana kwa sehemu na ufafanuzi wetu "wa kawaida", lakini bado inatofautiana nao.

Ufafanuzi. Mzizi wa hesabu wa shahada ya $n$th ya nambari isiyo hasi $a$ ni nambari isiyo hasi $b$ kiasi kwamba $((b)^(n))=a$.

Kama tunavyoona, hatupendezwi tena na usawa. Badala yake, kizuizi kipya kilionekana: usemi mkali sasa sio hasi kila wakati, na mzizi yenyewe pia sio hasi.

Ili kuelewa vizuri jinsi mzizi wa hesabu hutofautiana na ule wa kawaida, angalia grafu za parabola za mraba na za ujazo ambazo tayari tunazifahamu:

Eneo la utafutaji wa mizizi ya hesabu - nambari zisizo hasi

Kama unavyoona, kuanzia sasa tunavutiwa tu na vipande hivyo vya grafu ambavyo viko katika robo ya kwanza ya kuratibu - ambapo kuratibu $x$ na $y$ ni chanya (au angalau sifuri). Huna haja tena ya kuangalia kiashiria ili kuelewa ikiwa tuna haki ya kuweka nambari hasi chini ya mzizi au la. Kwa sababu nambari hasi hazizingatiwi tena kwa kanuni.

Unaweza kuuliza: "Kweli, kwa nini tunahitaji ufafanuzi kama huo?" Au: "Kwa nini hatuwezi kupata ufafanuzi wa kawaida uliotolewa hapo juu?"

Naam, nitatoa mali moja tu kwa sababu ambayo ufafanuzi mpya unakuwa sahihi. Kwa mfano, kanuni ya kufafanua:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Tafadhali kumbuka: tunaweza kuinua usemi mkali kwa nguvu yoyote na wakati huo huo kuzidisha kipeo cha mizizi kwa nguvu sawa - na matokeo yatakuwa nambari sawa! Hapa kuna mifano:

\[\anza(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo ni jambo gani kubwa? Kwa nini hatukuweza kufanya hivi hapo awali? Hii ndio sababu. Hebu fikiria usemi rahisi: $\sqrt(-2)$ - nambari hii ni ya kawaida kabisa katika ufahamu wetu wa classical, lakini haikubaliki kabisa kutoka kwa mtazamo wa mzizi wa hesabu. Wacha tujaribu kuibadilisha:

$\anza(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \kulia))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \mwisho(align)$

Kama unavyoona, katika kesi ya kwanza tuliondoa minus kutoka chini ya radical (tuna kila haki, kwani kielelezo ni isiyo ya kawaida), na katika kesi ya pili tulitumia fomula hapo juu. Wale. Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, kila kitu kinafanywa kulingana na sheria.

WTF?! Je, nambari sawa inawezaje kuwa chanya na hasi? Hapana. Ni kwamba tu fomula ya ufafanuzi, ambayo inafanya kazi nzuri kwa nambari chanya na sifuri, huanza kutoa uzushi kamili katika kesi ya nambari hasi.

Ilikuwa ni ili kuondoa utata huo kwamba mizizi ya hesabu ilivumbuliwa. Somo kubwa tofauti limejitolea kwao, ambapo tunazingatia mali zao zote kwa undani. Kwa hivyo hatutakaa juu yao sasa - somo tayari limegeuka kuwa refu sana.

Mizizi ya algebraic: kwa wale wanaotaka kujua zaidi

Nilifikiria kwa muda mrefu ikiwa niweke mada hii katika aya tofauti au la. Mwishowe niliamua kuiacha hapa. Nyenzo hii imekusudiwa wale ambao wanataka kuelewa mizizi bora zaidi - sio tena katika kiwango cha wastani cha "shule", lakini kwa karibu na kiwango cha Olympiad.

Kwa hiyo: pamoja na ufafanuzi wa "classical" wa mzizi wa $n$th wa nambari na mgawanyiko unaohusishwa katika vielelezo sawa na isiyo ya kawaida, kuna ufafanuzi zaidi wa "watu wazima" ambao hautegemei kabisa usawa na hila nyingine. Hii inaitwa mzizi wa algebra.

Ufafanuzi. Mizizi ya aljebra $n$th ya $a$ yoyote ni seti ya nambari zote $b$ kiasi kwamba $((b)^(n))=a$. Hakuna jina lililowekwa kwa mizizi kama hiyo, kwa hivyo tutaweka tu dashi juu:

\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left$ b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \kulia. \kulia$ \]

Tofauti ya kimsingi kutoka kwa ufafanuzi wa kawaida uliotolewa mwanzoni mwa somo ni kwamba mzizi wa aljebra sio nambari maalum, lakini seti. Na kwa kuwa tunafanya kazi na nambari halisi, seti hii inakuja katika aina tatu tu:

Seti tupu. Hutokea unapohitaji kupata mzizi wa aljebra wa digrii hata kutoka nambari hasi;
Seti inayojumuisha kipengele kimoja. Mizizi yote ya nguvu isiyo ya kawaida, pamoja na mizizi ya nguvu hata ya sifuri, huanguka katika jamii hii;
Hatimaye, seti hiyo inaweza kujumuisha nambari mbili - $((x)_(1))$ sawa na $((x)_(2)))=-((x)_(1))$ sawa na $((x)_(1)))$ ambazo tuliona kwenye kazi ya quadratic ya grafu. Ipasavyo, mpangilio kama huo unawezekana tu wakati wa kutoa mzizi wa digrii hata kutoka kwa nambari chanya.

Kesi ya mwisho inastahili kuzingatiwa kwa undani zaidi. Wacha tuhesabu mifano michache ili kuelewa tofauti hiyo.

Mfano. Tathmini misemo:

\[\ overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Suluhisho. Usemi wa kwanza ni rahisi:

\[\ overline(\sqrt(4))=\left$ 2;-2 \kulia$\]

Ni nambari mbili ambazo ni sehemu ya seti. Kwa sababu kila mmoja wao squared anatoa nne.

\[\jumla(\sqrt(-27))=\kushoto$ -3 \kulia$\]

Hapa tunaona seti inayojumuisha nambari moja tu. Hii ni mantiki kabisa, kwani kipeo cha mizizi ni isiyo ya kawaida.

Mwishowe, usemi wa mwisho:

\[\ overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Tulipokea seti tupu. Kwa sababu hakuna nambari moja halisi ambayo, ikiinuliwa hadi ya nne (yaani, hata!) nguvu, itatupa nambari hasi -16.

Ujumbe wa mwisho. Tafadhali kumbuka: haikuwa kwa bahati kwamba nilibainisha kila mahali kwamba tunafanya kazi na nambari halisi. Kwa sababu pia kuna nambari ngumu - inawezekana kabisa kuhesabu $\sqrt(-16)$ huko, na vitu vingine vingi vya kushangaza.

Walakini, nambari ngumu karibu hazionekani katika kozi za kisasa za hesabu za shule. Vimeondolewa kwenye vitabu vingi vya kiada kwa sababu maafisa wetu wanaona mada hiyo "ni ngumu sana kuelewa."

Ni hayo tu. Katika somo linalofuata tutaangalia mali zote muhimu za mizizi na hatimaye kujifunza jinsi ya kurahisisha maneno yasiyo na maana :)

Uendeshaji kwa nguvu na mizizi. Shahada yenye hasi ,

sifuri na sehemu kiashiria. Kuhusu misemo ambayo haina maana.

Operesheni na digrii.

1. Wakati wa kuzidisha nguvu kwa msingi sawa, wafadhili wao huongeza:

m · a n = a m + n .

2. Wakati wa kugawanya digrii na msingi sawa, wafadhili wao zinakatwa .

3. Kiwango cha bidhaa ya mambo mawili au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya.

(abc… ) n = n· b n · c n…

4. Kiwango cha uwiano (sehemu) ni sawa na uwiano wa digrii za mgao (numerator) na kigawanyiko (denominator):

(a/b ) n = a n / b n.

5. Wakati wa kuinua mamlaka kwa mamlaka, wawakilishi wao huzidishwa:

(m ) n = a m n.

Fomula zote zilizo hapo juu zinasomwa na kutekelezwa kwa pande zote mbili kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

MFANO (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operesheni na mizizi. Katika fomula zote hapa chini, ishara maana yake mzizi wa hesabu(msemo mkali ni chanya).

1. Mizizi ya bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa mizizi ya mambo haya:

2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mizizi ya gawio na mgawanyiko:

3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua kwa nguvu hii nambari kali:

4. Ikiwa tutaongeza kiwango cha mzizi ndani m kuinua kwa m nguvu ya th ni nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

5. Ikiwa tunapunguza kiwango cha mizizi ndani m toa mzizi mara moja na kwa wakati mmoja m th nguvu ya nambari kali, basi thamani ya mzizi sio itabadilika:

Kupanua dhana ya shahada. Hadi sasa tumezingatia digrii tu na vielelezo vya asili; lakini vitendo na digrii na mizizi pia inaweza kusababisha hasi, sufuri Na sehemu viashiria. Vielezi hivi vyote vinahitaji ufafanuzi wa ziada.

Shahada yenye kipeo hasi. Nguvu ya nambari fulani c kipeo hasi (jumla) kinafafanuliwa kama kilichogawanywa kwa nguvu ya nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamilikiashiria hasi:

T sasa formula m: n= m - n inaweza kutumika sio tu kwam, zaidi ya n, lakini pia na m, chini ya n .

MFANO a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .

Ikiwa tunataka formulam : n= m - nilikuwa ya haki wakatim = n, tunahitaji ufafanuzi wa shahada sifuri.

Shahada yenye faharasa ya sifuri. Nguvu ya nambari yoyote isiyo ya sifuri yenye kipeo sifuri ni 1.

MIFANO. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Shahada yenye kipeo cha sehemu. Ili kuongeza idadi halisi na kwa nguvu m/n , unahitaji kuchimba mzizi nth nguvu ya m - Nguvu ya nambari hii A:

Kuhusu misemo ambayo haina maana. Kuna maneno kadhaa kama haya. nambari yoyote.

Kwa kweli, ikiwa tunadhani kwamba usemi huu ni sawa na nambari fulani x, basi kulingana na ufafanuzi wa operesheni ya mgawanyiko tunayo: 0 = 0 · x. Lakini usawa huu hutokea wakati nambari yoyote x, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kesi ya 3.

0 0 - nambari yoyote.

Kweli,

Suluhisho Wacha tuchunguze kesi tatu kuu:

1) x = 0 – thamani hii haikidhi mlingano huu

(Kwa nini?).

2) lini x> 0 tunapata: x/x = 1, i.e. 1 = 1, ambayo ina maana

Nini x- nambari yoyote; lakini kwa kuzingatia hilo katika

Kwa upande wetu x> 0, jibu nix > 0 ;

3) lini x < 0 получаем: – x/x= 1, yaani e . -1 = 1, kwa hivyo,

Katika kesi hii, hakuna suluhisho.

Hivyo, x > 0.