Kifungu cha 2 Maeneo ya parallelogram ya pembetatu na trapezoid. "Eneo la parallelogram, pembetatu, trapezoid

1) Salamu

2) Motisha ya somo Mwalimu anakagua utayari wa darasa kwa somo; huhamasisha wanafunzi kuunda mada.

Soma ufafanuzi ubaoni (karatasi ya mada) na uweke dhana inayohusika:

Ukubwa wa sehemu hiyo ya ndege inayokaliwa na poligoni ni ... (eneo)

Upande wa nne ambao pande zake kinyume ni sambamba katika jozi - .... (parallelogram)

Kielelezo kinachoundwa na pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari mmoja na sehemu tatu zinazowaunganisha huitwa .... (pembetatu)

Kielelezo ambacho pande mbili zinalingana na zingine mbili hazifanani inaitwa ... (trapezoid)

Kutoka kwa maneno yanayotokana, jaribu kuunda mada ya somo letu la leo.

Kwa hiyo, mada ya somo .... Maeneo ya parallelogram, pembetatu, trapezoid.

    Maeneo, ni takwimu gani tunaweza kupata na jinsi gani?

    Kuhesabu maeneo ya takwimu kwenye Mtini.

Je, kuna masuluhisho mengine?

Nini kimetokea?

Je, ni jitihada gani zimefanywa kutafuta eneo hilo?

Nani alijaribu kupata eneo la parallelogram? Niambie.

Utoaji wa formula kwa eneo la parallelogram.

Kazi.

Jinsi ya "kuchora upya" parallelogram ili kupata mstatili na eneo moja?

Sambamba ilichorwa upya kuwa mstatili. Hii inamaanisha kuwa eneo lake ni sawa na eneo la mstatili.

Je, urefu na upana wa mstatili kwa parallelogram ni nini?

Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya msingi wake na urefu wake.

Katika parallelogram, msingi unaweza kuwa upande wowote. Na ili kutumia formula ya kutafuta eneo hilo, urefu lazima uingizwe kwenye msingi.

Wacha tuhesabu eneo la parallelogram hii.

Utoaji wa formula kwa eneo la pembetatu.

Unawezaje kuchora upya au kukamilisha pembetatu?

Eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya msingi na urefu wake.

Je, ikiwa pembetatu ina pembe-kulia?

Angalia mtini.


Inaweza "kufanywa upya" kwenye mstatili.

Na tunapata eneo lake kwa kutumia formula

S =a *b . Urefu wa mstatili ni nusu ya mguu, na upana ni mguu mwingine.

Eneo la pembetatu ya kulia ni sawa na nusu ya bidhaa za miguu yake.

Utoaji wa formula kwa eneo la trapezoid.


Angalia jinsi treapecia "imechorwa upya" - kuwa pembetatu. Na tunapata eneo la pembetatu kwa kutumia formula:

Msingi wa pembetatu ni jumla ya urefu wa msingi wa juu na chini, na urefu wa pembetatu ni urefu wa trapezoid.

Eneo la trapezoid ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya besi zake na urefu wake.

1) Tafuta S mvuke. , Kama A=5, h =4.

2) Tafuta pembetatu ya S. , Kama A=3,5; h =2.

3) Tafuta ngazi ya S. , Kama A=4,5; b = 2,5; h =3.

Kamilisha kazi za mtihani (angalia kiambatisho)

Mapitio ya rika ya kazi ya kujitegemea.

Kutatua shida kwenye mada mpya:

Nambari 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Kwa wanafunzi dhaifu na wasiofaulu, kazi ya mtu binafsi kwenye kadi imeandaliwa, ambayo inajumuisha kazi ambazo kuna mfano wa kurekodi suluhisho.

Mwalimu anajitolea kujibu maswali juu ya mada mpya.

Jamani, tujumuishe!

Umejifunza nini darasani leo?

Umejifunza kufanya nini?

Ni nini kilikuwa kigumu kuamua?

Mwalimu anatoa maoni juu ya kazi ya nyumbani.

aya ya 23 Na. 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Umefanya vizuri kila mtu!

Somo limekwisha. Kwaheri!

Eneo la takwimu ya kijiometri- tabia ya nambari ya takwimu ya kijiometri inayoonyesha ukubwa wa takwimu hii (sehemu ya uso mdogo na contour iliyofungwa ya takwimu hii). Ukubwa wa eneo hilo unaonyeshwa na idadi ya vitengo vya mraba vilivyomo ndani yake.

Njia za eneo la pembetatu

  1. Mfumo wa eneo la pembetatu kwa upande na urefu
    Eneo la pembetatu sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa upande wa pembetatu na urefu wa urefu unaotolewa kwa upande huu
  2. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pande tatu na radius ya mduara
  3. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pande tatu na radius ya duara iliyoandikwa
    Eneo la pembetatu ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa nusu ya pembetatu na radius ya mduara ulioandikwa.
    4. ambapo S ni eneo la pembetatu,
    - urefu wa pande za pembetatu,
    - urefu wa pembetatu,
    - pembe kati ya pande na,
    - radius ya mduara ulioandikwa,
    R - radius ya duara iliyozungushwa,

Njia za eneo la mraba

  1. Mfumo wa eneo la mraba kwa urefu wa upande
    Eneo la mraba sawa na mraba wa urefu wa upande wake.
  2. Mfumo wa eneo la mraba kando ya urefu wa diagonal
    Eneo la mraba sawa na nusu ya mraba ya urefu wa diagonal yake.
    S=1 2
    2
    3. ambapo S - Eneo la mraba,
    - urefu wa upande wa mraba,
    - urefu wa diagonal ya mraba.

Fomula ya eneo la mstatili

    Eneo la mstatili sawa na bidhaa ya urefu wa pande zake mbili zinazokaribiana

    ambapo S ni eneo la mstatili,
    - urefu wa pande za mstatili.

Njia za eneo la parallelogram

  1. Mfumo wa eneo la parallelogram kulingana na urefu wa upande na urefu
    Eneo la parallelogram
  2. Mfumo wa eneo la parallelogram kulingana na pande mbili na pembe kati yao
    Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya urefu wa pande zake iliyozidishwa na sine ya pembe kati yao.

    a b dhambi α

    3. ambapo S ni eneo la parallelogram,
    - urefu wa pande za parallelogram;
    - urefu wa urefu wa parallelogram;
    - pembe kati ya pande za parallelogram.

Fomula za eneo la rhombus

  1. Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa upande na urefu
    Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu wa urefu uliopungua kwa upande huu.
  2. Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa upande na pembe
    Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya mraba ya urefu wa upande wake na sine ya pembe kati ya pande za rhombus.
  3. Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa diagonal zake
    Eneo la rhombus sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa diagonals yake.
    4. ambapo S ni eneo la rhombus,
    - urefu wa upande wa rhombus;
    - urefu wa urefu wa rhombus;
    - pembe kati ya pande za rhombus;
    1, 2 - urefu wa diagonals.

Njia za eneo la trapezoid

  1. Njia ya Heron ya trapezoid

    Ambapo S ni eneo la trapezoid,
    - urefu wa besi za trapezoid;
    - urefu wa pande za trapezoid;

Eneo la parallelogram

Nadharia 1

Eneo la parallelogram hufafanuliwa kama bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu unaotolewa kwake.

ambapo $a$ ni upande wa sambamba, $h$ ni urefu unaotolewa upande huu.

Ushahidi.

Hebu tupewe sambamba $ABCD$ na $AD=BC=a$. Hebu tuchore urefu wa $ DF$ na $ AE $ (Mchoro 1).

Picha 1.

Ni wazi, kielelezo cha $FDAE$ ni mstatili.

\[\pembe BAE=(90)^0-\pembe A,\ \] \[\pembe CDF=\pembe D-(90)^0=(180)^0-\pembe A-(90)^0 =(90)^0-\pembe A=\pembe BAE\]

Kwa hivyo, kwa kuwa $CD=AB,\ DF=AE=h$, kwa kigezo cha $I$ cha usawa wa pembetatu $\pembetatu BAE=\pembetatu CDF$. Kisha

Kwa hivyo, kulingana na nadharia ya eneo la mstatili:

Nadharia imethibitishwa.

Nadharia 2

Eneo la parallelogram hufafanuliwa kama bidhaa ya urefu wa pande zake zilizo karibu na sine ya pembe kati ya pande hizi.

Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

ambapo $a,\b$ ni pande za sambamba, $\alpha$ ni pembe kati yao.

Ushahidi.

Hebu tupewe sambamba $ABCD$ na $BC=a,\CD=b,\ \pembe C=\alpha $. Hebu tuchore urefu wa $ DF = h $ (Mchoro 2).

Kielelezo cha 2.

Kwa ufafanuzi wa sine, tunapata

Kwa hiyo

Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

Nadharia imethibitishwa.

Eneo la pembetatu

Nadharia 3

Eneo la pembetatu linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu unaotolewa kwake.

Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

ambapo $a$ ni upande wa pembetatu, $h$ ndio urefu unaochorwa upande huu.

Ushahidi.

Kielelezo cha 3.

Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

Nadharia imethibitishwa.

Nadharia 4

Eneo la pembetatu linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya urefu wa pande zake zilizo karibu na sine ya pembe kati ya pande hizi.

Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

ambapo $a,\b$ ni pande za pembetatu, $\alpha$ ni pembe kati yao.

Ushahidi.

Hebu tupewe pembetatu $ABC$ na $AB=a$. Wacha tupate urefu $CH=h$. Hebu tuijenge kwa usawa $ABCD$ (Mchoro 3).

Ni wazi, kwa kigezo cha $I$ cha usawa wa pembetatu, $\pembetatu ACB=\pembetatu CDB$. Kisha

Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

Nadharia imethibitishwa.

Eneo la trapezoid

Nadharia 5

Eneo la trapezoid linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya jumla ya urefu wa besi zake na urefu wake.

Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

Ushahidi.

Hebu tupewe trapezoid $ABCK$, ambapo $AK=a,\ BC=b$. Hebu tuchore ndani yake urefu wa $ BM = h $ na $ KP = h $, pamoja na $ BK $ ya diagonal (Mchoro 4).

Kielelezo cha 4.

Kwa Theorem $3$, tunapata

Nadharia imethibitishwa.

Kazi ya sampuli

Mfano 1

Tafuta eneo la pembetatu iliyo sawa ikiwa urefu wa upande wake ni $a.$

Suluhisho.

Kwa kuwa pembetatu ni sawa, pembe zake zote ni sawa na $(60)^0$.

Kisha, kwa Theorem $4$, tunayo

Jibu:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Kumbuka kuwa matokeo ya shida hii yanaweza kutumika kupata eneo la pembetatu yoyote ya usawa na upande fulani.

Hebu tukubali kuwaita moja ya pande za parallelogram msingi, na perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua yoyote upande wa kinyume hadi mstari ulio na msingi ni urefu wa parallelogram.

Nadharia

Ushahidi

Hebu fikiria sambamba ABCD na eneo S. Hebu tuchukue upande wa AD kama msingi na kuchora urefu ВН na СК (Mchoro 182). Hebu tuthibitishe kwamba S = AD VN.

Mchele. 182

Hebu kwanza tuthibitishe kwamba eneo la mstatili ABCD pia ni sawa na S. Trapezoid ABCD inaundwa na parallelogram ABCD na pembetatu DCK. Kwa upande mwingine, inaundwa na mstatili НВСК na pembetatu АВН. Lakini pembetatu za kulia za DCK na ABH ni sawa katika hypotenuse na pembe ya papo hapo (hipotenuses zao AB na CD ni sawa na pande zinazopingana za parallelogramu, na pembe 1 na 2 ni sawa na pembe zinazolingana wakati mistari sambamba ya AB na CD inapoingiliana na secant AD) , hivyo maeneo yao ni sawa.

Kwa hiyo, maeneo ya parallelogram ABCD na mstatili NVSK pia ni sawa, yaani, eneo la mstatili NVSK ni sawa na S. Kwa nadharia ya eneo la mstatili, S = BC BN, na tangu BC = AD, kisha S = AD BN. Nadharia imethibitishwa.

Eneo la pembetatu

Moja ya pande za pembetatu mara nyingi huitwa msingi. Ikiwa msingi umechaguliwa, basi neno "urefu" linamaanisha urefu wa pembetatu inayotolewa kwa msingi. Nadharia

Ushahidi

Acha S iwe eneo la pembetatu ABC (Mchoro 183). Wacha tuchukue upande wa AB kama msingi wa pembetatu na kuchora urefu CH. Hebu tuthibitishe hilo .


Mchele. 183

Wacha tukamilishe pembetatu ABC kwa sambamba la ABDC kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 183. Pembetatu ABC na DCB ni sawa kwa pande tatu (BC ni upande wao wa kawaida, AB = CD na AC = BD kama pande tofauti za parallelogramu ABDC), kwa hivyo maeneo yao. ni sawa. Kwa hivyo, eneo la S la pembetatu ABC ni sawa na nusu ya eneo la parallelogram ABDC, i.e. . Nadharia imethibitishwa.

Muhimu 1

Muhimu 2

Wacha tutumie Corollary 2 ili kudhibitisha nadharia juu ya uwiano wa maeneo ya pembetatu yenye pembe sawa.

Nadharia

Ushahidi

Hebu S na S 1 iwe maeneo ya pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1, ambayo ∠A = ∠A 1 (Mchoro 184, a). Hebu tuthibitishe hilo .


Mchele. 184

Wacha tuweke pembetatu A 1 B 1 C 1 kwenye pembetatu ABC ili kipeo A 1 kilandane na kipeo A, na pande A 1 B 1 na A 1 C 1 huingiliana miale AB na AC, mtawalia (Mchoro 184, b). Pembetatu ABC na AB 1 C zina urefu wa kawaida - CH, kwa hiyo .

Pembetatu AB 1 C na AB 1 C 1 pia zina urefu wa kawaida - B 1 H 1, kwa hivyo . Kuzidisha usawa unaosababishwa, tunapata:

Nadharia imethibitishwa.

Eneo la trapezoid

Ili kuhesabu eneo la poligoni ya kiholela, kawaida hufanya hivi: gawanya poligoni katika pembetatu na upate eneo la kila pembetatu. Jumla ya maeneo ya pembetatu hizi ni sawa na eneo la poligoni iliyotolewa (Mchoro 185, a). Kutumia mbinu hii, tunapata formula ya kuhesabu eneo la trapezoid. Hebu tukubali kuiita urefu wa trapezoid perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua yoyote ya moja ya besi hadi mstari ulio na msingi mwingine. Katika Mchoro 185, b, sehemu ya BH (pamoja na sehemu ya DH 1) ni urefu wa ABCD ya trapezoid.


Mchele. 185

Nadharia

Ushahidi

Fikiria ABCD ya trapezoid yenye besi AD na BC, urefu BH na eneo la S (ona Mchoro 185, b).

Hebu tuthibitishe hilo

BD ya diagonal inagawanya trapezoid katika pembetatu mbili ABD na BCD, hivyo S = S ABD + S BCD.

Hebu tuchukue sehemu AD na ВН kama msingi na urefu wa pembetatu ABD, na sehemu ВС na DH 1 kama msingi na urefu wa pembetatu BCD. Kisha

.

Nadharia imethibitishwa.

Kazi

459. Acha a iwe msingi, h urefu, na S eneo la parallelogram. Pata: a) S, ikiwa a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, ikiwa S = 34 cm 2, h = 8.5 cm; c) a, ikiwa S = 162 cm 2, h = 1/2a; d) h, ikiwa h = 3a, S = 27.

460. Ulalo wa parallelogram, sawa na cm 13, ni perpendicular kwa upande wa parallelogram, sawa na 12 cm Pata eneo la parallelogram.

461. Pande za karibu za parallelogram ni 12 cm na 14 cm, na angle yake ya papo hapo ni 30 °. Pata eneo la parallelogram.

462. Upande wa rhombus ni 6 cm, na moja ya pembe ni 150 °. Tafuta eneo la rhombus.

463. Upande wa parallelogram ni 8.1 cm, na diagonal, sawa na cm 14, huunda angle ya 30 ° nayo. Pata eneo la parallelogram.

464. Hebu a na b iwe pande za karibu za parallelogram, S eneo, h 1 na h 2 urefu wake. Pata: a) h 2 ikiwa = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1; b) h 1, ikiwa a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 na h 2, ikiwa S = 54 cm 2, a = 4.5 cm, b = 6 sentimita.

465. Pembe ya papo hapo ya parallelogram ni 30 °, na urefu unaotolewa kutoka kwa vertex ya angle ya obtuse ni 2 cm na 3 cm Pata eneo la parallelogram.

466. Ulalo wa parallelogram ni sawa na upande wake. Pata eneo la parallelogram ikiwa upande wake mrefu zaidi ni 15.2 cm na moja ya pembe zake ni 45 °.

467. Mraba na rhombus ambayo si mraba ina perimeters sawa. Linganisha maeneo ya takwimu hizi.

468. Acha a iwe msingi, h urefu, na S eneo la pembetatu. Pata: a) S, ikiwa = 7 cm, h = 11 cm; b) S, ikiwa a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, ikiwa S = 37.8 cm 2, a - 14 cm; d) a, ikiwa S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Pande AB na BC ya pembetatu ABC ni sawa na 16 cm na 22 cm, kwa mtiririko huo, na urefu unaotolewa kwa upande AB ni sawa na 11 cm.

470. Pande mbili za pembetatu ni sawa na 7.5 cm na 3.2 cm Urefu unaotolewa kwa upande mkubwa ni 2.4 cm inayotolewa kwa ndogo ya pande hizi.

471. D Tafuta eneo la pembetatu ya kulia ikiwa miguu yake ni sawa: a) 4 cm na 11 cm; b) 1.2 dm na 3 dm.

472. Eneo la pembetatu ya kulia ni 168 cm 2. Pata miguu yake ikiwa uwiano wa urefu wao ni 7/12.

473. Kupitia vertex C ya pembetatu ABC, mstari wa moja kwa moja m hutolewa sambamba na upande wa AB. Thibitisha kuwa pembetatu zote zilizo na wima kwenye mstari m na msingi AB zina maeneo sawa.

474. Linganisha maeneo ya pembetatu mbili ambayo pembetatu iliyotolewa imegawanywa na wastani wake.

475. Chora pembetatu ABC. Chora mistari miwili iliyonyooka kupitia kipeo A ili wagawanye pembetatu hii katika pembetatu tatu zenye maeneo sawa.

476. Thibitisha kuwa eneo la rhombus ni sawa na nusu ya bidhaa za diagonal zake. Kuhesabu eneo la rhombus ikiwa diagonal zake ni sawa na: a) 3.2 dm na 14 cm; b) 4.6 dm na 2 dm.

477. Tafuta diagonal za rhombus ikiwa moja yao ni kubwa mara 1.5 kuliko nyingine, na eneo la rhombus ni 27 cm 2.

478. Katika quadrilateral convex, diagonals ni pande perpendicular pande zote mbili. Thibitisha kuwa eneo la quadrilateral ni sawa na nusu ya bidhaa za diagonal zake.

479. Alama D na E ziko kwenye pande AB na AC za pembetatu ABC. Pata: a) S ADE, ikiwa AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2; b) AD, ikiwa AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Tafuta eneo la trapezoid ABCD na besi AB na CD ikiwa:

    a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, urefu BH ni 7 cm;
    b) ∠D = 30 °, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
    c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Tafuta eneo la trapezoid ya mstatili ambayo pande zake mbili ndogo ni 6 cm na pembe kubwa ni 135 °.

482. Pembe ya obtuse ya trapezoid ya isosceles ni 135 °, na urefu unaotolewa kutoka kwenye vertex ya pembe hii hugawanya msingi mkubwa katika makundi ya 1.4 cm na 3.4 cm.

Majibu ya matatizo

    459. a) 180 cm 2; b) 4 cm; c) 18 cm; d) 9.

    460. 156 cm 2.

    sentimita 461.84 2.

    462. 18 cm 2.

    463.56.7 cm2.

    464. a) sentimita 10; b) 4 cm; c) 12 cm na 9 cm.

    465. 12 cm 2.

    466. 115.52 sentimita 2.

    467. Eneo la mraba ni kubwa zaidi.

    468. a) 38.5 cm 2; b) 5√3 cm 2; c) d) 4√2 cm.

    sentimita 470.5.625.

    471. a) 22 cm 2; b) 1.8 dm 2.

    472. 14 cm na 24 cm.

    473. Maagizo. Tumia Nadharia 38.

    474. Maeneo ya pembetatu ni sawa.

    475. Maelekezo. Kwanza, gawanya upande wa BC katika sehemu tatu sawa.

    476. a) 224 cm 2; b) 4.6 dm 2. Kumbuka. Kumbuka kwamba diagonals ya rhombus ni pande zote perpendicular.

    477. 6 cm na 9 cm.

    479. a) 2 cm 2; b) 2.4 cm Maagizo. Tumia nadharia ya pili ya aya ya 53.

    480. a) 133 cm 2; b) 24 cm 2; c) 72 cm 2.

    sentimita 481.54 2.

    Eneo la parallelogram

    Nadharia 1

    Eneo la parallelogram hufafanuliwa kama bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu unaotolewa kwake.

    ambapo $a$ ni upande wa sambamba, $h$ ni urefu unaotolewa upande huu.

    Ushahidi.

    Hebu tupewe sambamba $ABCD$ na $AD=BC=a$. Hebu tuchore urefu wa $ DF$ na $ AE $ (Mchoro 1).

    Picha 1.

    Ni wazi, kielelezo cha $FDAE$ ni mstatili.

    \[\pembe BAE=(90)^0-\pembe A,\ \] \[\pembe CDF=\pembe D-(90)^0=(180)^0-\pembe A-(90)^0 =(90)^0-\pembe A=\pembe BAE\]

    Kwa hivyo, kwa kuwa $CD=AB,\ DF=AE=h$, kwa kigezo cha $I$ cha usawa wa pembetatu $\pembetatu BAE=\pembetatu CDF$. Kisha

    Kwa hivyo, kulingana na nadharia ya eneo la mstatili:

    Nadharia imethibitishwa.

    Nadharia 2

    Eneo la parallelogram hufafanuliwa kama bidhaa ya urefu wa pande zake zilizo karibu na sine ya pembe kati ya pande hizi.

    Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

    ambapo $a,\b$ ni pande za sambamba, $\alpha$ ni pembe kati yao.

    Ushahidi.

    Hebu tupewe sambamba $ABCD$ na $BC=a,\CD=b,\ \pembe C=\alpha $. Hebu tuchore urefu wa $ DF = h $ (Mchoro 2).

    Kielelezo cha 2.

    Kwa ufafanuzi wa sine, tunapata

    Kwa hiyo

    Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

    Nadharia imethibitishwa.

    Eneo la pembetatu

    Nadharia 3

    Eneo la pembetatu linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu unaotolewa kwake.

    Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

    ambapo $a$ ni upande wa pembetatu, $h$ ndio urefu unaochorwa upande huu.

    Ushahidi.

    Kielelezo cha 3.

    Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

    Nadharia imethibitishwa.

    Nadharia 4

    Eneo la pembetatu linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya urefu wa pande zake zilizo karibu na sine ya pembe kati ya pande hizi.

    Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

    ambapo $a,\b$ ni pande za pembetatu, $\alpha$ ni pembe kati yao.

    Ushahidi.

    Hebu tupewe pembetatu $ABC$ na $AB=a$. Wacha tupate urefu $CH=h$. Hebu tuijenge kwa usawa $ABCD$ (Mchoro 3).

    Ni wazi, kwa kigezo cha $I$ cha usawa wa pembetatu, $\pembetatu ACB=\pembetatu CDB$. Kisha

    Kwa hivyo, kwa Theorem $1$:

    Nadharia imethibitishwa.

    Eneo la trapezoid

    Nadharia 5

    Eneo la trapezoid linafafanuliwa kama nusu ya bidhaa ya jumla ya urefu wa besi zake na urefu wake.

    Kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo

    Ushahidi.

    Hebu tupewe trapezoid $ABCK$, ambapo $AK=a,\ BC=b$. Hebu tuchore ndani yake urefu wa $ BM = h $ na $ KP = h $, pamoja na $ BK $ ya diagonal (Mchoro 4).

    Kielelezo cha 4.

    Kwa Theorem $3$, tunapata

    Nadharia imethibitishwa.

    Kazi ya sampuli

    Mfano 1

    Tafuta eneo la pembetatu iliyo sawa ikiwa urefu wa upande wake ni $a.$

    Suluhisho.

    Kwa kuwa pembetatu ni sawa, pembe zake zote ni sawa na $(60)^0$.

    Kisha, kwa Theorem $4$, tunayo

    Jibu:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

    Kumbuka kuwa matokeo ya shida hii yanaweza kutumika kupata eneo la pembetatu yoyote ya usawa na upande fulani.