Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Wakati inachukua Achilles kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ...majadiliano yanaendelea hadi leo, ili kufikia maoni ya pamoja kuhusu kiini cha vitendawili jumuiya ya kisayansi hadi sasa haijawezekana... tulihusika katika utafiti wa suala hilo uchambuzi wa hisabati, kuweka nadharia, mpya ya kimwili na mbinu za kifalsafa; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Ninavyoelewa, vifaa vya hisabati Utumiaji wa vipimo vinavyobadilika ama bado haujaendelezwa, au haujatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. NA hatua ya kimwili Kwa mtazamo, inaonekana kama wakati unapungua hadi ikome kabisa wakati Achilles anapokutana na kobe. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha na kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Kaa ndani vitengo vya mara kwa mara vipimo vya wakati na usiende kwa idadi inayofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Kwa muda unaofuata, sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini sivyo suluhisho kamili Matatizo. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kwamba kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linafaa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kubaini ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja nyakati tofauti wakati, lakini umbali hauwezi kuamua kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka pointi tofauti nafasi kwa wakati mmoja kwa wakati, lakini haiwezekani kuamua ukweli wa harakati kutoka kwao (kwa kawaida, data ya ziada bado inahitajika kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia). Ninachotaka kuashiria Tahadhari maalum, ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Jumatano, Julai 4, 2018
Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.
Kama unavyoona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ni ngazi kuzungumza kasuku na nyani waliofunzwa, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.
Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.
Haijalishi jinsi wataalamu wa hesabu hujificha nyuma ya kifungu "nikomboe, niko nyumbani", au tuseme "masomo ya hisabati dhana dhahania", kuna kitovu kimoja ambacho kinawaunganisha na ukweli. Hiki kitovu ni pesa. nadharia ya hisabati seti kwa wanahisabati wenyewe.
Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambayo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua muswada mmoja kutoka kwa kila fungu na kumpa mwanahisabati" seti ya hisabati mishahara." Tunaeleza kwa hisabati kwamba atapokea bili zilizobaki pale tu anapothibitisha kwamba seti isiyo na vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.
Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mwanahisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa bidii: kwenye sarafu tofauti kuna kiasi tofauti matope, muundo wa kioo na mpangilio wa atomi katika kila sarafu ni wa kipekee...
Na sasa nina zaidi maslahi Uliza: mstari uko wapi zaidi ya ambayo vipengele vya multiset hugeuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.
Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.
Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."
Jumapili, Machi 18, 2018
Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndio, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya nambari za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kuwafundisha wazao wao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.
Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kupata ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha, kwa msaada ambao tunaandika nambari na katika lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.
Wacha tujue ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari nambari iliyopewa. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.
1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.
2. Tunakata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya kihesabu.
3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.
4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hii ni hisabati.
Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni katika mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hiyo, katika mifumo tofauti Katika calculus, jumla ya tarakimu za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. NA idadi kubwa 12345 Sitaki kudanganya kichwa changu, hebu tuangalie nambari 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini; tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.
Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.
Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.
Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.
Hisabati halisi ni nini? Hii ni wakati matokeo operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo.
Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?
Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.
Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,
Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:
Binafsi, mimi hujitahidi kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mjinga, hapana mwenye ujuzi katika fizikia. Yeye tu ana stereotype arch ya mtazamo picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.
1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Huyu ni "mtu wa kinyesi" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.
Natumaini tayari umesoma kuhusu mzunguko wa nambari na unajua kwa nini inaitwa mduara wa nambari, ambapo asili ya kuratibu iko juu yake na upande gani ni mwelekeo mzuri. Ikiwa sivyo, basi kukimbia! Ikiwa, bila shaka, utapata pointi mduara wa nambari.
Tunaashiria nambari \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)
Kama unavyojua kutoka makala ya mwisho, radius ya mduara wa nambari ni \(1\). Hii ina maana kwamba mduara ni sawa na \(2π\) (iliyohesabiwa kwa kutumia fomula \(l=2πR\)). Kwa kuzingatia hili, tunaweka alama \(2π\) kwenye mduara wa nambari. Ili kuashiria nambari hii, tunahitaji kwenda kutoka \(0\) kando ya mduara wa nambari hadi umbali sawa na \(2π\) katika mwelekeo chanya, na kwa kuwa urefu wa duara ni \(2π\), inageuka. tutafanya zamu kamili. Hiyo ni, nambari \(2π\) na \(0\) inalingana na nukta sawa. Usijali, thamani nyingi kwa nukta moja ni za kawaida kwa mduara wa nambari.
Sasa hebu tuonyeshe nambari \(π\) kwenye mduara wa nambari. \(π\) ni nusu ya \(2π\). Kwa hivyo, kuashiria nambari hii na hatua inayolingana, unahitaji kwenda nusu ya duara kutoka \(0\) kwa mwelekeo mzuri.
Hebu tuweke alama alama \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) ni nusu ya \(π\), kwa hivyo, ili kuashiria nambari hii, unahitaji kwenda kutoka \(0\) kwa mwelekeo chanya umbali sawa na nusu ya \( π\), hiyo ni robo duara.
Hebu tuonyeshe pointi kwenye mduara \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Tunasonga kwa umbali sawa na ndani mara ya mwisho, lakini kwa mwelekeo mbaya.
Hebu tuweke \(-π\). Kwa hii; kwa hili twende mbali sawa na nusu duara katika mwelekeo mbaya.
Sasa hebu tuangalie mfano ngumu zaidi. Hebu tuweke alama kwenye nambari \(\frac(3π)(2)\) kwenye mduara. Ili kufanya hivyo, tunatafsiri sehemu \(\frac(3)(2)\) kuwa \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\) ), yaani e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Hii inamaanisha tunahitaji kutoka \(0\) hadi upande chanya tembea umbali wa nusu duara na robo nyingine.
Zoezi 1. Weka alama \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) kwenye mduara wa nambari.
Tunaashiria nambari \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
Hapo juu tulipata maadili kwenye sehemu za makutano ya duara ya nambari na shoka \(x\) na \(y\)". Sasa hebu tuamue nafasi ya pointi za kati. Kwanza, hebu tupange pointi \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) na \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) ni nusu ya \(\frac(π)(2)\) (yaani, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , kwa hivyo umbali \(\frac(π)(4)\) ni nusu robo duara.
\(\frac(π)(4)\) ni theluthi moja ya \(π\) (kwa maneno mengine,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), kwa hivyo umbali \ (\frac(π)(3)\) ni theluthi moja ya nusu duara.
\(\frac(π)(6)\) ni nusu ya \(\frac(π)(3)\) (baada ya yote, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) kwa hivyo umbali \(\frac(π)(6)\) ni nusu ya umbali \(\frac(π)(3)\) .
Hivi ndivyo zinapatikana kwa uhusiano wa kila mmoja:
Maoni: Mahali pa pointi zenye thamani \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) ni bora kukumbuka tu. Bila wao, mduara wa nambari, kama kompyuta bila mfuatiliaji, inaonekana kuwa jambo muhimu, lakini ni ngumu sana kutumia.
Hebu sasa tuonyeshe hoja kwenye mduara \(\frac(7π)(6)\) , kufanya hivyo tunafanya mabadiliko yafuatayo: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Kutoka kwa hili tunaweza kuona kwamba kutoka kwa sifuri katika mwelekeo mzuri tunahitaji kusafiri umbali \(π\), na kisha mwingine \(\frac(π)(6)\) .
Weka alama \(-\)\(\frac(4π)(3)\) kwenye mduara. Badilisha: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Hii ina maana kwamba kutoka \(0\) tunahitaji kwenda katika mwelekeo hasi umbali \(π\) na pia \(\frac(π)(3)\) .
Wacha tupange hoja \(\frac(7π)(4)\) , kufanya hivi tunabadilisha \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4)\) . Hii ina maana kwamba ili kuweka uhakika na thamani \(\frac(7π)(4)\), unahitaji kwenda kutoka kwa uhakika na thamani \(2π\) hadi upande hasi kwa umbali \(\ frac(π)(4)\) .
Jukumu la 2. Weka alama kwenye alama \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) kwenye mduara wa nambari (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
Tunaashiria nambari \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
Wacha tuandike \(10π\) katika mfumo \(5 \cdot 2π\). Kumbuka kwamba \(2π\) ni umbali sawa na urefu miduara, kwa hivyo kuweka alama \(10π\), unahitaji kwenda kutoka sifuri hadi umbali sawa na miduara \(5\). Si vigumu kukisia kwamba tutajikuta tena katika hatua \(0\), tu kufanya mapinduzi matano.
Kutoka kwa mfano huu tunaweza kuhitimisha:
Nambari zilizo na tofauti ya \(2πn\), ambapo \(n∈Z\) (yaani, \(n\) ni nambari yoyote kamili) zinalingana na nukta sawa.
Hiyo ni, kuweka nambari iliyo na thamani kubwa kuliko \(2π\) (au chini ya \(-2π\)), unahitaji kutoa kutoka kwake nambari sawa \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) na utupe. Kwa hivyo, tutaondoa "mapinduzi tupu" kutoka kwa nambari ambazo haziathiri nafasi ya uhakika.
Hitimisho lingine:
Hatua ambayo \(0\) inalingana pia inalingana na viwango vyote \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Sasa hebu tutumie \(-3π\) kwenye mduara. \(-3π=-π-2π\), ambayo ina maana \(-3π\) na \(–π\) ziko katika sehemu moja kwenye duara (kwa kuwa zinatofautiana kwa "mgeuko tupu" katika \(-2π). \)).
Kwa njia, yote isiyo ya kawaida \(π\) pia yatakuwapo.
Hatua ambayo \(π\) inalingana pia inalingana na idadi yote isiyo ya kawaida \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Sasa hebu tuashiria nambari \(\frac(7π)(2)\) . Kama kawaida, tunabadilisha: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Tunatupa pi mbili, na inabadilika kuwa ili kuteua nambari \(\frac(7π)(2)\) unahitaji kwenda kutoka sifuri kwa mwelekeo mzuri hadi umbali sawa na \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (yaani nusu duara na robo nyingine).
Ukiweka mduara wa nambari ya nambari kuratibu ndege, basi kuratibu zinaweza kupatikana kwa pointi zake. Mduara wa nambari umewekwa ili kituo chake kipatane na asili ya ndege, yaani, hatua O (0; 0).
Kawaida kwenye nambari ya kitengo huzunguka alama zinazolingana na asili ya duara zimewekwa alama
- robo - 0 au 2π, π/2, π, (2π)/3,
- robo ya kati - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- theluthi ya robo - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Kwenye ndege ya kuratibu na eneo la juu juu yake mduara wa kitengo unaweza kupata kuratibu zinazolingana na pointi hizi kwenye mduara.
Kuratibu za mwisho wa robo ni rahisi sana kupata. Katika hatua ya 0 ya duara, uratibu wa x ni 1, na uratibu wa y ni 0. Tunaweza kuashiria kama A (0) = A (1; 0).
Mwisho wa robo ya kwanza itakuwa kwenye mhimili y chanya. Kwa hiyo, B (π/2) = B (0; 1).
Mwisho wa robo ya pili iko kwenye mhimili wa nusu hasi: C (π) = C (-1; 0).
Mwisho wa robo ya tatu: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Lakini jinsi ya kupata kuratibu za katikati ya robo? Kwa hili wanajenga pembetatu ya kulia. Hypotenuse yake ni sehemu kutoka katikati ya duara (au asili) hadi katikati ya duara la robo. Hii ni radius ya mduara. Kwa kuwa mduara ni kitengo, hypotenuse ni sawa na 1. Kisha, chora perpendicular kutoka kwa uhakika kwenye mduara hadi kwenye mhimili wowote. Wacha iwe kuelekea mhimili wa x. Matokeo yake ni pembetatu ya kulia, urefu wa miguu ambayo ni x na y kuratibu za uhakika kwenye mduara.
Mduara wa robo ni 90º. Na nusu ya robo ni 45º. Kwa kuwa hypotenuse inavutwa hadi katikati ya roboduara, pembe kati ya hypotenuse na mguu unaoenea kutoka asili ni 45º. Lakini jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni 180º. Kwa hivyo, pembe kati ya hypotenuse na mguu mwingine pia inabaki 45º. Hii husababisha pembetatu ya kulia ya isosceles.
Kutoka kwa nadharia ya Pythagorean tunapata equation x 2 + y 2 = 1 2. Kwa kuwa x = y na 1 2 = 1, equation hurahisisha kwa x 2 + x 2 = 1. Kutatua, tunapata x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Hivyo, kuratibu za uhakika M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
Katika kuratibu za vidokezo vya sehemu za kati za robo zingine, ishara tu ndizo zitabadilika, na moduli za maadili zitabaki sawa, kwani pembetatu ya kulia itageuzwa tu. Tunapata:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Wakati wa kuamua kuratibu za sehemu ya tatu ya robo ya mduara, pembetatu ya kulia pia inajengwa. Ikiwa tutachukua hatua π/6 na kuchora perpendicular kwa mhimili wa x, basi pembe kati ya hypotenuse na mguu uliolala kwenye mhimili wa x itakuwa 30º. Inajulikana kuwa mguu umelazwa kinyume na pembe ya 30º sawa na nusu hypotenuse. Hii ina maana kwamba tumepata y kuratibu, ni sawa na ½.
Kujua urefu wa hypotenuse na moja ya miguu, kwa kutumia nadharia ya Pythagorean tunapata mguu mwingine:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Hivyo T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Kwa hatua ya theluthi ya pili ya robo ya kwanza (π/3), ni bora kuteka perpendicular kwa mhimili kwa mhimili y. Kisha pembe kwenye asili pia itakuwa 30º. Hapa kiratibu cha x kitakuwa sawa na ½, na y, mtawalia, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Kwa pointi nyingine za robo ya tatu, ishara na utaratibu wa maadili ya kuratibu yatabadilika. Pointi zote ambazo ziko karibu na mhimili wa x zitakuwa na moduli x thamani ya kuratibu sawa na √3/2. Pointi hizo ambazo ziko karibu na mhimili y zitakuwa na moduli y thamani sawa na √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Somo la video "Ufafanuzi wa sine na cosine kwenye duara la kitengo" linatoa nyenzo za kuona kwa somo juu ya mada inayohusiana. Wakati wa somo, dhana za sine na cosine kwa nambari zinazolingana na alama za mduara wa kitengo hujadiliwa, mifano mingi inaelezewa ambayo huunda uwezo wa kutatua shida ambapo inatumiwa. tafsiri hii dhana. Vielelezo vinavyofaa na vinavyoeleweka vya suluhisho, kozi ya kina ya hoja husaidia kufikia malengo ya kujifunza haraka na kuongeza ufanisi wa somo.
Somo la video linaanza kwa kutambulisha mada. Mwanzoni mwa onyesho, ufafanuzi wa sine na cosine wa nambari hutolewa. Mduara wa kitengo na kituo katika asili ya kuratibu unaonyeshwa kwenye skrini, pointi za makutano ya mduara wa kitengo na axes za kuratibu A, B, C, D zimewekwa alama. Ufafanuzi umeonyeshwa kwenye sura, ambayo inasema kwamba ikiwa hatua M ya mduara wa kitengo inalingana na nambari fulani t, basi abscissa ya hatua hii ni cosine ya nambari t na inaashiria cos t, kuratibu kwa uhakika ni sine na inaashiria dhambi t. Ufafanuzi wa ufafanuzi unaambatana na picha ya uhakika M kwenye mzunguko wa kitengo, inayoonyesha abscissa yake na kuratibu. Nukuu fupi inawasilishwa kwa kutumia nukuu kwamba kwa M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Vizuizi vilivyowekwa kwa thamani ya cosine na sine ya nambari vinaonyeshwa. Kulingana na data iliyopitiwa, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
Pia ni rahisi kuona kutoka kwa takwimu jinsi ishara ya kazi inavyobadilika kulingana na robo ya uhakika iko. Jedwali linaundwa kwenye skrini ambayo kwa kila kazi ishara yake imeonyeshwa kulingana na robo. Ishara ya cos t ni pamoja na katika robo ya kwanza na ya nne na minus katika robo ya pili na ya tatu. Alama ya dhambi ni pamoja na robo ya kwanza na ya pili, minus katika robo ya tatu na ya nne.
Wanafunzi wanakumbushwa kuhusu mlingano wa mduara wa kitengo x 2 + y 2 = 1. Ikumbukwe kwamba baada ya kubadilisha badala ya kuratibu za kazi zinazofanana, tunapata cos 2 t + dhambi 2 t = 1 - utambulisho kuu wa trigonometric. Kutumia njia ya kupata sin t na cos t kwa kutumia mduara wa kitengo, jaza jedwali la maadili ya msingi ya sine na cosine kwa nambari kutoka 0 hadi 2π kwa nyongeza ya π/4 na kwa nambari kutoka π/6 hadi 11π. /6 katika nyongeza za π/6. Jedwali hizi zinaonyeshwa kwenye skrini. Kwa kuzitumia na mchoro, mwalimu anaweza kuangalia jinsi nyenzo imeboreshwa na jinsi wanafunzi wanavyoelewa vyema asili ya dhambi t na thamani za cos t.
Mfano unazingatiwa ambapo sin t na cos t zinakokotolewa kwa t=41π/4. Suluhisho linaonyeshwa na takwimu inayoonyesha mduara wa kitengo na kituo chake kwenye asili. Hatua 41π/4 imewekwa alama juu yake. Imebainika kuwa hatua hii inapatana na nafasi ya nukta π/4. Hii inathibitishwa kwa kuwakilisha sehemu hii kama sehemu iliyochanganywa 41π/4=π/4+2π·5. Kwa kutumia jedwali la maadili ya cosine, tunapata maadili cos π/4=√2/2 na sinπ/4=√2/2. Kutokana na taarifa iliyopatikana inafuata kwamba cos 41π/4=√2/2 na dhambi 41π/4=√2/2.
Katika mfano wa pili, ni muhimu kuhesabu dhambi t na cos t kwa t = -25π/3. Skrini inaonyesha mduara wa kitengo na alama t=-25π/3 juu yake. Kwanza, ili kutatua tatizo, nambari -25π/3 inawakilishwa kama sehemu iliyochanganywa ili kugundua ni jedwali gani la thamani ya dhambi yake t na cos t italingana. Baada ya mabadiliko tunapata -25π/3=-π/3+2π·(-4). Kwa wazi, t=-25π/3 itaambatana kwenye duara na uhakika -π/3 au 5π/3. Kutoka kwa jedwali tunachagua maadili yanayolingana ya sine na cosine cos 5π/3=1/2 na sin 5π/3=-√3/2. Thamani hizi zitakuwa sahihi kwa nambari inayohusika (-25π/3)=1/2 na sin (-25π/3)=-√3/2. Tatizo linatatuliwa.
Mfano wa 3 unatatuliwa sawa, ambayo ni muhimu kuhesabu dhambi t na cos t kwa t = 37π. Ili kutatua mfano, nambari 37π imepanuliwa, ikitenganisha π na 2π. Katika uwakilishi huu inageuka 37π=π+2π·18. Kwenye mduara wa kitengo, ambacho kinaonyeshwa karibu na suluhisho, hatua hii imewekwa kwenye makutano ya sehemu mbaya ya mhimili wa kuratibu na mduara wa kitengo - hatua π. Ni wazi, maadili ya sine na cosine ya nambari yataambatana na maadili ya jedwali ya π. Kutoka kwa jedwali tunapata maadili ya sin π=-1 na cos π=0. Ipasavyo, maadili haya ndio yanayotarajiwa, ambayo ni, sin 37π=-1 na cos 37π=0.
Katika mfano wa 4 inahitajika kuhesabu sin t na cos t kwa t=-12π. Tunawakilisha nambari kama -12π=0+2π·(-6). Ipasavyo, nukta -12π inalingana na nukta 0. Thamani za cosine na sine za hatua hii ni sin 0=1 na cos 0=0. Thamani hizi ndizo zinazohitajika sin (-12π)=1 na cos (-12π)=0.
Katika mfano wa tano, unahitaji kutatua dhambi ya equation t=√3/2. Katika kutatua equation, dhana ya sine ya nambari hutumiwa. Kwa kuwa inawakilisha mratibu wa hatua M (t), ni muhimu kupata uhakika na kuratibu √3/2. Takwimu inayoambatana na suluhisho inaonyesha kuwa kuratibu √3/2 inalingana na pointi mbili - ya kwanza π/3 na ya pili 2π/3. Kwa kuzingatia muda wa kazi, tunaona kwamba t=π/3+2πk na t=2π/3+2πk kwa integer k.
Katika mfano wa 6, equation na cosine inatatuliwa - cos t=-1/2. Katika kutafuta ufumbuzi wa equation, tunapata pointi kwenye mduara wa kitengo na abscissa 2π/3. Skrini inaonyesha takwimu ambayo abscissa -1/2 imewekwa alama. Inalingana na pointi mbili kwenye mduara - 2π/3 na -2π/3. Kwa kuzingatia muda wa kazi, suluhisho lililopatikana limeandikwa kwa fomu t=2π/3+2πk na t=-2π/3+2πk, ambapo k ni nambari kamili.
Kwa mfano 7 equation sin t-1=0 imetatuliwa. Ili kupata suluhu, equation inabadilishwa kuwa dhambi t=1. Sine 1 inalingana na nambari π/2. Kwa kuzingatia muda wa kazi, suluhisho lililopatikana limeandikwa kwa fomu t=π/2+2πk, ambapo k ni nambari kamili. Vile vile, katika mfano wa 8 equation cos t+1=0 inatatuliwa. Wacha tubadilishe equation kuwa fomu cos t=-1. Hatua ambayo abscissa ni -1 inalingana na nambari π. Hatua hii imewekwa kwenye mduara wa kitengo unaoonyeshwa karibu na ufumbuzi wa maandishi. Ipasavyo, suluhu la mlinganyo huu ni nambari t=π+2πk, ambapo k ni nambari kamili. Si vigumu zaidi kutatua equation cos t+1=1 katika mfano 9. Kubadilisha mlinganyo, tunapata cos t=0. Kwenye mduara wa kitengo kilichoonyeshwa karibu na suluhisho, tunaweka alama -π/2 na -3π/2, ambapo cosine inachukua thamani 0. Kwa wazi, suluhisho la equation hii itakuwa mfululizo wa maadili t = π/2+πk, ambapo k ni nambari kamili.
Katika mfano 10, maadili ya sin 2 na cos 3 yanalinganishwa. Ili kufanya suluhisho iwe wazi, takwimu inaonyeshwa ambapo pointi 2 na 3 zimewekwa alama. Tukijua kwamba π/2≈1.57, tunakadiria umbali wa pointi. kutoka humo. Kielelezo kinabainisha kuwa pointi 2 ni 0.43 kutoka π/2, huku 3 ikiwa umbali wa 1.43, kwa hivyo nukta 2 ina abscissa kubwa kuliko nukta 3. Hii inamaanisha sin 2>cos 3.
Mfano wa 11 unaelezea hesabu ya usemi dhambi 5π/4. Kwa kuwa 5π/4 ni π/4+π, kwa kutumia fomula za kupunguza, usemi unaweza kubadilishwa kuwa - sin π/4. Kutoka kwenye meza tunachagua thamani yake - dhambi π/4=-√2/2. Vile vile, katika mfano 12 thamani ya usemi cos7π/6 inapatikana. Kuibadilisha kuwa fomu cos(π/6+π), tunapata usemi - cos π/6. Thamani ya jedwali ni cos π/6=-√3/2. Thamani hii itakuwa suluhisho.
Kisha, inapendekezwa kukumbuka usawa muhimu ambao husaidia katika kutatua matatizo - haya ni sin(-t)= -sin t na cos (-t)=cos t. Kwa kweli, usemi huu unaonyesha usawa wa kosine na hali isiyo ya kawaida ya sine. Katika picha ya mduara wa kitengo karibu na usawa unaweza kuona jinsi usawa huu unavyofanya kazi kwenye ndege ya kuratibu. Usawa mbili pia zinawasilishwa ambazo zinaonyesha muda wa utendaji kazi, ambao ni muhimu kwa kutatua matatizo sin(t+2πk)= sin t na cos (t+2πk)=cos t. Usawa unaonyeshwa ambao unaonyesha mpangilio wa ulinganifu wa pointi kwenye kitengo cha duara sin(t+π)= -sin t na cos (t+π)=-cos t. Karibu na usawa, picha inaundwa ambayo inaonyesha eneo la pointi hizi kwenye mzunguko wa kitengo. Na usawa uliowasilishwa mwisho sin(t+π/2)= cos t na cos (t+π/2)=- sin t.
Somo la video "Ufafanuzi wa sine na cosine kwenye duara la kitengo" linapendekezwa kwa matumizi katika somo la hisabati la jadi la shule ili kuongeza ufanisi wake na kuhakikisha uwazi wa maelezo ya mwalimu. Kwa madhumuni sawa, nyenzo zinaweza kutumika wakati wa kujifunza umbali. Mwongozo pia unaweza kuwa muhimu kwa kukuza ujuzi ufaao wa kutatua matatizo kwa wanafunzi wakati wa kufahamu nyenzo kwa kujitegemea.
KUTENGENEZA MAANDIKO:
"Ufafanuzi wa sine na cosine kwenye mduara wa kitengo."
Hebu tufafanue sine na cosine ya nambari
UFAFANUZI: ikiwa nukta M ya mduara wa kitengo cha nambari inalingana na nambari t(te), basi abscissa ya hatua M inaitwa cosine ya nambari t(te) na ni gharama iliyoteuliwa, na mratibu wa hatua M. inaitwa sine ya nambari t(te) na imeteuliwa sint(fig).
Hii ina maana kwamba ikiwa M(t) = M (x,y)(em kutoka kwa te ni sawa na em na viwianishi x na y), basi x = gharama, y= sint (x ni sawa na kosine ya te, y ni sawa na sine ya te). Kwa hivyo, - 1≤ gharama ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (cosine te ni kubwa kuliko au sawa na minus moja, lakini chini ya au sawa na moja; sine te ni kubwa kuliko au sawa. kuondoa moja, lakini chini ya au sawa na moja). Ukijua kuwa kila nukta kwenye duara ya nambari ina mfumo wa xOy una viwianishi vyake, unaweza kutengeneza jedwali la maadili ya sine na cosine kwa robo ya duara, ambapo thamani ya cosine ni chanya katika robo ya kwanza na ya nne na, ipasavyo, hasi katika robo ya pili na ya tatu.
Thamani ya sine ni chanya katika robo ya kwanza na ya pili na, ipasavyo, hasi katika robo ya tatu na ya nne. (onyesha kwenye kuchora)
Kwa kuwa equation ya mduara wa nambari ina fomu x 2 + y 2 = 1 (mraba x pamoja na mraba y ni sawa na moja), kisha tunapata usawa:
(cosine squared te plus sine squared te ni sawa na moja).
Kulingana na jedwali ambazo tumekusanya wakati wa kuamua kuratibu za alama kwenye mduara wa nambari, tutaunda meza za kuratibu za alama kwenye mduara wa nambari kwa maadili ya gharama na sint.
Hebu tuangalie mifano.
MFANO 1. Kokotoa cos t na sin t if t = (te ni sawa na pi arobaini na moja zaidi ya nne).
Suluhisho. Nambari t = inalingana na nukta sawa kwenye mduara wa nambari kama nambari, kwani = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (arobaini na moja pi mara nne ni sawa na jumla ya pi mara nne na bidhaa ya pi mbili mara tano). Na kwa uhakika t = kulingana na meza thamani ya cosines 1 tuna cos = na dhambi =. Kwa hivyo,
MFANO 2. Kokotoa cos t na dhambi t, ikiwa t = (te ni sawa na minus ishirini na tano pi juu ya tatu).
SULUHISHO: Nambari t = inalingana na nukta sawa kwenye mduara wa nambari kama nambari, kwani = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (ondoa pi ishirini na tano juu ya tatu ni sawa na jumla ya minus pi zaidi ya tatu na bidhaa ya pi mara mbili toa nne). Na nambari inalingana na hatua sawa kwenye mduara wa nambari kama nambari. Na kwa uhakika t = kulingana na Jedwali 2 tuna cos = na dhambi = Kwa hiyo, cos () = na dhambi () =.
MFANO 3. Kokotoa cos t na sin t ikiwa t = 37π; (te ni sawa na pi thelathini na saba).
SULUHISHO: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Hii ina maana kwamba nambari 37π inalingana na nukta sawa kwenye mduara wa nambari na nambari π. Na kwa uhakika t = π, kulingana na Jedwali 1, tuna cos π = -1, sin π = 0. Hii ina maana cos37π = -1, sin37π = 0.
MFANO 4. Kokotoa cos t na sin t ikiwa t = -12π (sawa na minus kumi na mbili pi).
SULUHISHO: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), yaani, nambari - 12π inalingana na hatua sawa kwenye mduara wa nambari na nambari ya sifuri. Na kwa uhakika t = 0, kulingana na Jedwali 1, tuna cos 0 = 1, dhambi 0 = 0. Hii ina maana cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.
MFANO 5. Tatua equation sin t = .
Suluhisho. Kwa kuzingatia kwamba dhambi t ni mratibu wa hatua M (t) (em kutoka kwa te) ya mzunguko wa namba, tutapata pointi na kuratibu kwenye mduara wa namba na kuandika nambari gani t zinalingana. Hatua moja inafanana na nambari, na kwa hiyo kwa nambari yoyote ya fomu + 2πk. Hatua ya pili inafanana na nambari, na kwa hiyo kwa nambari yoyote ya fomu + 2πk. Jibu: t = + 2πk, ambapo kϵZ (ka ni ya zet), t= + 2πk, ambapo kϵZ (ka ni ya zet).
MFANO 6. Tatua equation cos t = .
Suluhisho. Kwa kuzingatia kwamba cos t ni abscissa ya uhakika M (t) (em kutoka kwa te) ya mzunguko wa namba, tutapata pointi na abscissa kwenye mduara wa namba na kuandika ni namba gani zinazofanana. Hatua moja inafanana na nambari, na kwa hiyo kwa nambari yoyote ya fomu + 2πk. Na hatua ya pili inafanana na nambari au, na kwa hiyo kwa nambari yoyote ya fomu + 2πk au + 2πk.
Jibu: t = + 2πk, t=+ 2πk (au ± + 2πk (pamoja na minus mbili kwa tatu pamoja na pi ka mbili), ambapo kϵZ (ka ni ya zet).
MFANO 7. Tatua equation cos t = .
Suluhisho. Sawa na mfano uliopita, unahitaji kupata pointi na abscissa kwenye mduara wa nambari na uandike ni nambari gani t zinahusiana.
Takwimu inaonyesha kuwa alama mbili E na S zina abscissa, lakini bado hatuwezi kusema ni nambari gani zinazolingana. Tutarejea suala hili baadaye.
MFANO 8. Tatua equation sin t = - 0.3.
Suluhisho. Kwenye mduara wa nambari tutapata alama zilizo na ordinate - 0.3 na andika ni nambari gani t zinalingana.
Kuratibu - 0.3 ina alama mbili P na H, lakini bado hatuwezi kusema ni nambari gani zinalingana. Pia tutarejea suala hili baadaye.
MFANO 9. Tatua dhambi ya mlingano t -1 =0
Suluhisho. Hebu tusogeze minus moja hadi upande wa kulia wa equation, tunapata sine te sawa na moja (sin t = 1). Kwenye mduara wa nambari tunahitaji kupata hatua ambayo mpangilio wake ni sawa na moja. Hatua hii inalingana na nambari, na kwa hiyo kwa nambari zote za fomu + 2πk (pi mara mbili pamoja na vilele viwili).
Jibu: t = + 2πk, kϵZ(ka ni ya zet).
MFANO 10. Tatua mlingano cos t + 1 = 0.
Hebu tusogeze moja kwa upande wa kulia wa equation, tunapata cosine te sawa na minus moja (cos t = - 1).Abscissa minus moja ina pointi kwenye mzunguko wa nambari, ambayo inalingana na namba π, na hii ina maana yote. nambari za fomu π+2πk. Jibu: t = π+ 2πk, kϵZ.
MFANO 11. Tatua mlingano cos t + 1 = 1.
Hebu tuhamishe kitengo upande wa kulia wa equation, tunapata cosine te sawa na sifuri (cos t = 0) Abscissa zero ina pointi B na D (Mchoro 1), ambayo yanahusiana na nambari, nk Nambari hizi zinaweza kuandikwa. kama + p. Jibu: t = + πk, kϵZ.
MFANO 12. Ni nambari gani kati ya hizo mbili ni kubwa zaidi, cos 2 au cos 3? (cosine ya mbili au cosine ya tatu)
Suluhisho. Wacha turekebishe swali kwa njia tofauti: alama 2 na 3 zimewekwa alama kwenye duara la nambari. Ni yupi kati yao aliye na abscissa kubwa zaidi?
Kwenye mduara wa nambari, weka alama 2 na 3. Kumbuka hilo.Hii inamaanisha kuwa nukta 2 inatolewa kutoka kwa duara kwa takriban 0.43 (sifuri hatua arobaini na tatu ya mia tatu) (2 -≈ 2 - 1.57 = 0.43), na hatua 3 kwa 1.43 (pointi moja arobaini mia tatu). Kwa hiyo, hatua ya 2 iko karibu na uhakika kuliko hatua ya 3, kwa hiyo ina abscissa kubwa (tulizingatia kwamba abscissas zote mbili ni hasi).
Jibu: cos 2 > cos 3.
MFANO 13. Kokotoa dhambi (sine tano pi mara nne)
Suluhisho. sin(+ π) = - dhambi = (sine tano pi juu ya nne ni sawa na jumla ya pi juu ya nne na pi ni sawa na minus sine pi juu ya nne ni sawa na minus mzizi mbili juu ya mbili).
MFANO 14. Kokotoa cos (cosine ya pi saba kwa sita).
cos(+ π) = - cos =. (tuliwakilisha pi saba zaidi ya sita kama jumla ya pi zaidi ya sita na pi na tukatumia usawa wa tatu).
Kwa sine na cosine tunapata fomula muhimu.
1. Kwa thamani yoyote ya t usawa zifuatazo ni kweli:
dhambi (-t) = -tenda t
cos (-t) = cos t
Sine ya minus te ni sawa na minus sine ya te
Kosine ya minu te ni sawa na kosine ya te.
Takwimu inaonyesha kuwa alama E na L, zenye ulinganifu kwa heshima na mhimili wa abscissa, zina abscissa sawa, hii inamaanisha.
cos(-t) = gharama, lakini ratibu ni sawa kwa ukubwa na kinyume katika ishara (hii ina maana dhambi(- t) = - sint.
2. Kwa thamani yoyote ya t usawa zifuatazo ni halali:
dhambi (t+2πk) = dhambi t
cos (t+2πk) = cos t
Sine ya te pamoja na pi mbili ni sawa na sine ya te
Kosine ya te pamoja na pi mbili ni sawa na kosine ya te
Hii ni kweli, kwani nambari t na t+2πk zinalingana na hatua sawa.
3. Kwa thamani yoyote ya t usawa zifuatazo ni halali:
dhambi (t+π) = -dhambi t
cos (t+π) = -cos t
Sine ya te plus pi ni sawa na minus ya te
cosine ya te plus pi ni sawa na minus cosine ya te
Acha nambari t ilingane na nukta E ya duara ya nambari, kisha nambari t+π inalingana na hatua L, ambayo ni ulinganifu kwa kumweka E kuhusiana na asili. Takwimu inaonyesha kwamba katika pointi hizi abscissa na kuratibu ni sawa kwa ukubwa na kinyume katika ishara. Hii inamaanisha,
cos(t +π)= - gharama;
dhambi(t +π)= - dhambi.
4. Kwa thamani yoyote ya t usawa zifuatazo ni halali:
dhambi(t+) = cos t
cos(t+) = -sin t
Sine te plus pi kwa mbili ni sawa na cosine te
Cosine te plus pi kwa mbili ni sawa na minus te te.