Jinsi ya kuchora na dira. "Miundo ya kijiometri kwa kutumia dira na rula

Encyclopedic YouTube

    1 / 5

    ✪ Darasa la 7, somo la 22, Miundo yenye dira na rula

    ✪ Jiometri 7 Ujenzi wa Mduara na dira na rula

    ✪ Kuunda pembetatu kwa kutumia pande mbili na pembe kati yao

    ✪ Jiometri 7 Mifano ya matatizo ya ujenzi

    ✪ darasa la 7, somo la 23, Mifano ya matatizo ya ujenzi

    Manukuu

Mifano

Tatizo la sehemu mbili. Tumia dira na rula kugawanya sehemu hii AB katika sehemu mbili sawa. Moja ya suluhisho linaonyeshwa kwenye takwimu:

  • Kwa kutumia dira tunachora miduara na vituo kwenye pointi A Na B eneo AB.
  • Kutafuta pointi za makutano P Na Q miduara miwili iliyojengwa (arcs).
  • Kwa kutumia rula, chora sehemu au mstari unaopitia pointi P Na Q.
  • Kutafuta katikati inayotakiwa ya sehemu AB- hatua ya makutano AB Na PQ.

Ufafanuzi rasmi

Katika matatizo ya ujenzi, vitu vingi vifuatavyo vinazingatiwa: pointi zote za ndege, mistari yote ya moja kwa moja ya ndege, na miduara yote ya ndege. Katika hali ya shida, seti fulani ya vitu imeainishwa hapo awali (inazingatiwa kuwa imejengwa). Inaruhusiwa kuongeza (kujenga) kwa seti ya vitu vilivyojengwa:

  1. hatua ya kiholela;
  2. hatua ya kiholela kwenye mstari uliopewa;
  3. hatua ya kiholela kwenye mduara uliopewa;
  4. hatua ya makutano ya mistari miwili iliyotolewa;
  5. pointi za makutano / tangency ya mstari uliopewa na mduara uliopewa;
  6. pointi za makutano/tangency ya miduara miwili iliyotolewa;
  7. mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopitia hatua fulani;
  8. mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizotolewa;
  9. mduara wa kiholela na kituo katika hatua fulani;
  10. mduara wa kiholela na radius sawa na umbali kati ya pointi mbili zilizotolewa;
  11. mduara ulio na kituo katika hatua fulani na kipenyo sawa na umbali kati ya pointi mbili zilizotolewa.

Inahitajika, kwa kutumia nambari maalum ya shughuli hizi, kuunda seti nyingine ya vitu vilivyo katika uhusiano uliopeanwa na seti ya asili.

Suluhisho la shida ya ujenzi lina sehemu tatu muhimu:

  1. Maelezo ya njia ya kuunda seti fulani.
  2. Uthibitisho kwamba seti iliyojengwa kwa njia iliyoelezewa ni kweli iko katika uhusiano fulani na seti ya asili. Kawaida uthibitisho wa ujenzi unafanywa kama uthibitisho wa kawaida wa nadharia, kwa kuzingatia axioms na nadharia zingine zilizothibitishwa.
  3. Uchambuzi wa njia iliyoelezwa ya ujenzi kwa matumizi yake kwa matoleo tofauti ya hali ya awali, na pia kwa pekee au isiyo ya pekee ya ufumbuzi uliopatikana kwa njia iliyoelezwa.

Masuala Yanayojulikana

Tatizo lingine linalojulikana sana na lisiloweza kuyeyuka kwa kutumia dira na rula ni kuunda pembetatu kwa kutumia urefu uliopeanwa wa vitambaa viwili. Tatizo hili linabaki kuwa halina suluhu hata kwa chombo kinachofanya mgawanyiko wa pembe, kama vile tomahawk.

Sehemu zinazokubalika za ujenzi kwa kutumia dira na mtawala

Kutumia zana hizi, inawezekana kuunda sehemu ambayo urefu wake ni:

Ili kujenga sehemu yenye urefu wa nambari sawa na bidhaa, mgawo na mizizi ya mraba ya urefu wa makundi yaliyotolewa, ni muhimu kutaja sehemu ya kitengo kwenye ndege ya ujenzi (yaani, sehemu ya urefu wa 1). Kuchimba mizizi kutoka kwa sehemu na nguvu zingine za asili ambazo sio nguvu za 2 haziwezekani kwa kutumia dira na mtawala. Kwa hiyo, kwa mfano, haiwezekani kujenga sehemu ya urefu kutoka kwa sehemu ya kitengo kwa kutumia dira na mtawala. Kutokana na ukweli huu, hasa, inafuata kwamba tatizo la mara mbili mchemraba haliwezi kutatuliwa.

Miundo inayowezekana na isiyowezekana

Kutoka kwa mtazamo rasmi, suluhisho la tatizo lolote la ujenzi limepunguzwa kwa ufumbuzi wa graphical wa equation fulani ya algebraic, na coefficients ya equation hii inahusiana na urefu wa makundi yaliyotolewa. Kwa hiyo, tunaweza kusema kwamba kazi ya ujenzi inakuja chini ya kutafuta mizizi halisi ya equation fulani ya algebra.

Kwa hivyo, ni rahisi kuzungumza juu ya kuunda nambari - suluhisho la picha kwa equation ya aina fulani.

Kulingana na muundo unaowezekana wa sehemu, ujenzi ufuatao unawezekana:

  • Ujenzi wa suluhisho kwa milinganyo ya mstari.
  • Ujenzi wa suluhu za milinganyo ambayo hupunguza kwa suluhu za milinganyo ya quadratic.

Kwa maneno mengine, inawezekana kuunda sehemu tu sawa na maneno ya hesabu kwa kutumia mzizi wa mraba wa nambari za asili (zinazopewa urefu wa sehemu).

Ni muhimu kutambua kwamba ni muhimu kwamba uamuzi lazima uelezewe kwa kutumia mraba mizizi, si radicals ya digrii holela. Hata ikiwa equation ya algebraic ina suluhisho katika radicals, basi haifuati kwamba inawezekana kujenga sehemu sawa na ufumbuzi wake na dira na mtawala. Equation rahisi zaidi ni: x 3 − 2 = 0 , (\mtindo wa kuonyesha x^(3)-2=0,) kuhusishwa na shida maarufu ya kuzidisha mchemraba mara mbili, ambayo inapunguza equation hii ya ujazo. Kama ilivyoelezwa hapo juu, suluhisho la equation hii ( 2 3 (\mtindo wa kuonyesha (\sqrt[(3)](2)))) haiwezi kujengwa kwa dira na rula.

Uwezo wa kuunda goni 17 ya kawaida hufuata kutoka kwa usemi wa cosine ya pembe ya kati ya upande wake:

cos ⁡ (2 π 17) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17)))\right)=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17)))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17)))))),) ambayo, kwa upande wake, ifuatavyo kutokana na uwezekano wa kupunguza equation ya fomu x F n − 1 = 0 , (\mtindo wa kuonyesha x^(F_(n))-1=0,) Wapi F n (\mtindo wa kuonyesha F_(n))- nambari yoyote kuu Fermat, kwa kutumia mabadiliko ya kutofautisha hadi mlinganyo wa quadratic.

Tofauti na generalizations

  • Ujenzi kwa kutumia dira moja. Kwa mujibu wa nadharia ya Mohr-Mascheroni, kwa msaada wa dira moja unaweza kujenga takwimu yoyote ambayo inaweza kujengwa kwa dira na mtawala. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja unachukuliwa kuwa umejengwa ikiwa pointi mbili zinaelezwa juu yake.
  • Ujenzi kwa kutumia rula moja. Kwa wazi, kwa msaada wa mtawala mmoja, ujenzi tu wa mradi usiobadilika unaweza kufanywa. Hasa,
    • haiwezekani hata kugawanya sehemu katika sehemu mbili sawa,
    • Pia haiwezekani kupata katikati ya mduara uliopewa.
Hata hivyo,
  • Ikiwa kuna mduara uliochorwa hapo awali kwenye ndege na kituo kilichowekwa alama na mtawala mmoja, unaweza kufanya ujenzi sawa na dira na mtawala (

Inajulikana tangu nyakati za zamani.

Shughuli zifuatazo zinawezekana katika kazi za ujenzi:

  • Weka alama yoyote hatua kwenye ndege, hatua kwenye moja ya mistari iliyojengwa, au sehemu ya makutano ya mistari miwili iliyojengwa.
  • Kwa kutumia dira chora mduara na kituo kwenye hatua iliyojengwa na radius sawa na umbali kati ya pointi mbili zilizojengwa tayari.
  • Kwa kutumia watawala chora mstari ulionyooka unaopitia sehemu mbili zilizojengwa.

Katika kesi hii, dira na mtawala huchukuliwa kuwa zana bora, haswa:


1. Mfano rahisi

Kugawanya sehemu kwa nusu

Kazi. Tumia dira na rula kugawanya sehemu hii AB katika sehemu mbili sawa. Moja ya suluhisho linaonyeshwa kwenye takwimu:

  • Kwa kutumia dira tunaunda mduara na kituo kwa uhakika A eneo AB.
  • Kuunda mduara na kituo kwa uhakika B eneo AB.
  • Kutafuta pointi za makutano P Na Q miduara miwili iliyojengwa.
  • Tumia rula kuchora mstari unaounganisha pointi P Na Q.
  • Kutafuta sehemu ya makutano AB Na P.Q. Hii ndio sehemu ya katikati inayotakiwa ya sehemu AB.

2. Polygons za kawaida

Jiomita za zamani zilijua njia za kuunda sahihi n-gons kwa na.


4. Ujenzi unaowezekana na usiowezekana

Miundo yote sio zaidi ya suluhisho la equation fulani, na coefficients ya equation hii inahusiana na urefu wa sehemu zilizopewa. Kwa hivyo, ni rahisi kuzungumza juu ya kuunda nambari - suluhisho la picha kwa equation ya aina fulani.

Ndani ya mfumo wa mahitaji ya ujenzi, majengo yafuatayo yanawezekana:

Kwa maneno mengine, unaweza tu kuunda nambari sawa na maneno ya hesabu kwa kutumia mzizi wa mraba wa nambari asili (urefu wa sehemu). Kwa mfano,


5. Tofauti na jumla


6. Mambo ya kufurahisha

  • GeoGebra, Kig, KSEG - programu zinazokuwezesha kufanya ujenzi kwa kutumia dira na watawala.

Fasihi

  • A. Adler. Nadharia ya ujenzi wa kijiometri, Tafsiri kutoka Kijerumani na G. M. Fikhtengolts. Toleo la tatu. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
  • I. Alexandrov, Mkusanyiko wa shida za ujenzi wa kijiometri, Toleo la kumi na nane, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
  • B. I. Argunov, M B Balk.

Ikiwa ni kawaida kabisa kwamba kwa posho ya aina kubwa zaidi ya zana inawezekana kutatua seti kubwa ya shida za ujenzi, basi mtu anaweza kuona kwamba, kinyume chake, na vizuizi vilivyowekwa kwenye zana, darasa la shida zinazoweza kutatuliwa. itapunguzwa. Jambo la ajabu zaidi linapaswa kuzingatiwa ugunduzi uliofanywa na Italia Mascheroni (1750-1800):miundo yote ya kijiometri ambayo inaweza kufanywa kwa dira na kunyoosha inaweza kufanywa kwa dira tu. Inapaswa, bila shaka, kuzingatiwa kuwa haiwezekani kuteka mstari wa moja kwa moja kwa njia ya pointi mbili zilizotolewa bila mtawala, hivyo ujenzi huu wa msingi haujafunikwa na nadharia ya Mascheroni. Badala yake, tunapaswa kudhani kwamba mstari unatolewa ikiwa pointi zake mbili zimetolewa. Lakini kwa msaada wa dira tu inawezekana kupata hatua ya makutano ya mistari miwili iliyoelezwa kwa njia hii, au hatua ya makutano ya mstari na mduara.

Pengine mfano rahisi zaidi wa ujenzi wa Mascheroni ni mara mbili ya sehemu fulani AB. Suluhisho tayari limetolewa kwenye ukurasa wa 174-175. Zaidi ya hayo, kwenye ukurasa wa 175-176 tulijifunza jinsi ya kugawanya sehemu hii kwa nusu. Hebu sasa tuone jinsi ya kugawanya arc ya mduara AB na kituo cha O katika nusu. Hapa kuna maelezo ya ujenzi huu (Mchoro 47). Kwa radius AO tunachora safu mbili zenye vituo A na B. Kutoka kwa uhakika O tunalaza kwenye safu hizi safu mbili OP na OQ ili OP = OQ = AB. Kisha tunapata hatua ya makutano R ya arc na kituo cha P na radius РВ na arc na kituo cha Q na radius QA. Mwishowe, tukichukua sehemu AU kama radius, tunaelezea safu iliyo na kituo cha P au Q hadi inapoingiliana na arc AB - sehemu ya makutano ni sehemu ya kati inayotakiwa ya arc AB. Tunaacha uthibitisho kama zoezi kwa msomaji.

Haiwezekani kuthibitisha taarifa kuu ya Mascheroni kwa kuonyesha, kwa kila ujenzi unaoweza kufanywa kwa dira na kunyoosha, jinsi inaweza kufanywa kwa dira tu: baada ya yote, ujenzi unaowezekana hauhesabiki. Lakini tutafikia lengo lile lile ikiwa tutagundua kuwa kila moja ya miundo ifuatayo ya msingi inawezekana kwa kutumia dira moja:

  1. Chora mduara ikiwa katikati na radius imetolewa.
  2. Tafuta sehemu za makutano za miduara miwili.
  3. Pata pointi za makutano ya mstari na mduara.
  4. Pata hatua ya makutano ya mistari miwili.

Ujenzi wowote wa kijiometri (kwa maana ya kawaida, kwa dhana ya dira na straightedge) linajumuisha mlolongo wa mwisho wa ujenzi huu wa msingi. Kwamba mbili za kwanza zinaweza kufanywa kwa kutumia dira moja ni wazi mara moja. Ujenzi mgumu zaidi 3 na 4 unafanywa kwa kutumia mali ya inversion iliyojadiliwa katika aya iliyotangulia.

Hebu tugeuke kwenye ujenzi 3: tutapata pointi za makutano ya mduara uliopewa C na mstari unaopita kupitia pointi hizi A na B. Tutatoa arcs na vituo A na B na radii sawa na AO na BO, kwa mtiririko huo, isipokuwa kwa uhakika O, watakatiza kwenye sehemu ya P. Kisha tutajenga nukta Q, kinyume hadi kumweka P kuhusiana na mduara C (tazama ujenzi ulioelezwa kwenye ukurasa wa 174). Mwishowe, wacha tuchore mduara na kituo cha Q na radius QO (hakika itaingiliana na C): sehemu zake za makutano X na X" na mduara C ndizo zinazohitajika. Ili kudhibitisha hilo, inatosha kuthibitisha kwamba kila moja ya pointi X na X" ziko katika umbali sawa kutoka kwa O na P (kama kwa pointi A na B, mali yao sawa hufuata mara moja kutoka kwa ujenzi). Kwa hakika, inatosha kurejelea ukweli kwamba hatua iliyo kinyume na uhakika Q imetenganishwa na pointi X na X" kwa umbali sawa na radius ya duara C (tazama ukurasa wa 173). Ni vyema kutambua kwamba mduara unaopitia pointi X, X" na O, ni kinyume cha mstari wa moja kwa moja wa AB katika ubadilishaji unaohusiana na mduara C, kwa kuwa mduara huu na mstari wa moja kwa moja AB hukutana na C kwa pointi sawa. (Wakati wa inversion, pointi za mduara kuu hubakia bila kusonga.) Ujenzi ulioonyeshwa hauwezekani tu ikiwa mstari wa moja kwa moja AB unapita katikati ya C. Lakini basi pointi za makutano zinaweza kupatikana kwa njia ya ujenzi ulioelezwa kwenye ukurasa wa 178; kama sehemu za katikati za safu C zilizopatikana wakati tunachora mduara wa kiholela na kituo B, kinachopishana na C kwenye pointi B 1 na B 2.

Njia ya kuchora mduara inverse kwa mstari wa moja kwa moja unaounganisha pointi mbili zilizopewa mara moja hutoa ujenzi unaotatua tatizo 4. Hebu mistari ya moja kwa moja itolewe na pointi A, B na A, B (Mchoro 50). Hebu tuchore kiholela. duara C kwa kutumia mbinu iliyo hapo juu, hebu tuunde miduara kinyume hadi mistari iliyonyooka AB na AB". Miduara hii inakatiza kwenye sehemu ya O na katika hatua nyingine Y. Pointi X, kinyume hadi Y, ndiyo sehemu inayotakikana ya makutano: jinsi ya kuijenga tayari. Imefafanuliwa hapo juu. X ni hatua gani inayotakikana, hii ni wazi kutokana na ukweli kwamba Y ndio sehemu pekee ya kinyume na uhakika inayomilikiwa na mistari iliyonyooka AB na A"B kwa wakati mmoja, kwa hivyo, nukta X, kinyume cha Y. , lazima ilale kwa wakati mmoja kwenye AB na A"B" .

Miundo hii miwili inakamilisha uthibitisho wa usawa kati ya ujenzi wa Mascheroni, ambayo inaruhusiwa kutumia dira tu, na ujenzi wa kawaida wa kijiometri na dira na mtawala.

Hatukujali umaridadi wa kutatua matatizo ya mtu binafsi tuliyozingatia hapa, kwa kuwa lengo letu lilikuwa kufafanua maana ya ndani ya ujenzi wa Mascheroni. Lakini kama mfano tutaonyesha pia ujenzi wa pentagon ya kawaida; kwa usahihi zaidi, tunazungumza juu ya kupata alama tano kwenye duara ambazo zinaweza kutumika kama wima ya pentagoni iliyoandikwa ya kawaida.

Hebu A iwe hatua ya kiholela kwenye mduara K. Kwa kuwa upande wa hexagon ya kawaida iliyoandikwa ni sawa na radius ya mduara, haitakuwa vigumu kupanga pointi B, C, D kwenye K ili AB = BC = CD. = 60 ° (Kielelezo 51). Tunachora arcs na vituo A na D na radius sawa na AC; waache zikate kwenye sehemu ya X. Kisha, ikiwa O ni kitovu cha K, safu iliyo na kituo A na radius OX itapita K kwenye hatua F, ambayo ni katikati ya arc BC (tazama ukurasa wa 178). Kisha, kwa kipenyo sawa na kipenyo K, tunaelezea arcs zilizo na kituo F kinachoingiliana na K kwenye pointi G na H. Hebu Y iwe hatua ambayo umbali kutoka kwa pointi G na H ni sawa na OX na ambayo imetenganishwa na X kwa kituo. O. Katika hali hii, sehemu AY ni kama nyakati ni upande wa pentagoni inayotakiwa. Uthibitisho umeachwa kama zoezi kwa msomaji. Inashangaza kutambua kwamba radii tatu tu tofauti hutumiwa katika ujenzi.

Mnamo 1928, mwanahisabati wa Denmark Hjelmslev alipata nakala ya kitabu kinachoitwa Euclides Danicus, iliyochapishwa mwaka wa 1672 na mwandishi asiyejulikana G. Morom. Kutoka kwa ukurasa wa kichwa mtu anaweza kuhitimisha kuwa hii ni moja ya matoleo ya "Kanuni" za Euclidean, labda zilizo na maoni ya wahariri. Lakini baada ya uchunguzi wa makini ilibainika kwamba ilikuwa na suluhisho kamili kwa tatizo la Mascheroni, lililopatikana muda mrefu kabla ya Mascheroni.

Mazoezi. Katika kile kinachofuata, maelezo ya ujenzi wa Mohr yametolewa. Angalia kama ziko sahihi. Kwa nini inaweza kusemwa kwamba wanatatua tatizo la Mascheroni?

Imehamasishwa na matokeo ya Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) ilifanya jaribio la kusoma ujenzi ambao unaweza kufanywa kwa kutumia mtawala tu. Bila shaka, mtawala peke yake hauongoi zaidi ya mipaka ya shamba la nambari iliyotolewa, na kwa hiyo haitoshi kufanya ujenzi wote wa kijiometri kwa maana yao ya classical. Lakini cha kushangaza zaidi ni matokeo yaliyopatikana na Steiner chini ya kizuizi alichoanzisha - kutumia dira mara moja tu. Alithibitisha kuwa ujenzi wote kwenye ndege ambao unaweza kufanywa kwa dira na mtawala pia unaweza kufanywa na mtawala mmoja, mradi tu duru moja iliyowekwa na kituo inapewa. Miundo hii inahusisha utumiaji wa mbinu za kukisia na itaelezwa baadaye (tazama ukurasa wa 228).

* Haiwezekani kufanya bila mduara, na, zaidi ya hayo, na kituo. Kwa mfano, ikiwa mduara hutolewa, lakini kituo chake hakijaonyeshwa, basi haiwezekani kupata kituo kwa kutumia mtawala peke yake. Sasa tutathibitisha hili, tukirejelea, hata hivyo, kwa ukweli ambao utathibitishwa baadaye (ona uk. 252): kuna mabadiliko ya ndege kuwa yenyewe kwamba a) duara fulani hubaki bila kusonga, b) kila mstari ulionyooka hugeuka. katika mstari ulionyooka, na ) katikati ya duara isiyosimama haibaki tulivu, bali inasonga. Uwepo wa mabadiliko kama haya unaonyesha kutowezekana kwa ujenzi wa kituo cha duara fulani kwa kutumia mtawala mmoja. Kwa kweli, chochote utaratibu wa ujenzi, inakuja kwa mfululizo wa hatua tofauti zinazojumuisha kuchora mistari ya moja kwa moja na kutafuta makutano yao kwa kila mmoja au kwa mzunguko uliopewa. Hebu sasa tufikirie kwamba takwimu nzima kwa ujumla ni mduara, na mistari yote ya moja kwa moja inayotolewa pamoja na mtawala wakati wa kujenga kituo iko chini ya mabadiliko, kuwepo kwa ambayo tumedhani hapa. Kisha ni wazi kwamba takwimu iliyopatikana baada ya mabadiliko pia ingekidhi mahitaji yote ya ujenzi; lakini ujenzi ulioonyeshwa na takwimu hii ungeongoza kwenye hatua tofauti na katikati ya mduara uliopewa. Hii ina maana kwamba ujenzi katika swali hauwezekani.

Ujenzi kwa kutumia dira na rula

Ujenzi kwa kutumia dira na rula- sehemu ya jiometri ya Euclidean, inayojulikana tangu nyakati za zamani. Katika kazi za ujenzi, dira na watawala huchukuliwa kuwa zana bora, haswa:

  • Mtawala hana mgawanyiko na ana upande wa urefu usio na kipimo, lakini moja tu.
  • Dira inaweza kuwa na ufunguzi mkubwa kiholela au mdogo kiholela (yaani, inaweza kuchora mduara wa radius ya kiholela).

Mfano

Kugawanya sehemu kwa nusu

Tatizo la sehemu mbili. Tumia dira na rula kugawanya sehemu hii AB katika sehemu mbili sawa. Moja ya suluhisho linaonyeshwa kwenye takwimu:

  • Kwa kutumia dira tunachora miduara na vituo kwenye pointi A Na B eneo AB.
  • Kutafuta pointi za makutano P Na Q miduara miwili iliyojengwa (arcs).
  • Kwa kutumia rula, chora sehemu au mstari unaopitia pointi P Na Q.
  • Kutafuta katikati inayotakiwa ya sehemu AB- hatua ya makutano AB Na PQ.

Ufafanuzi rasmi

Katika shida za ujenzi, seti ya vidokezo vyote vya ndege, seti ya mistari yote ya moja kwa moja ya ndege na seti ya duru zote za ndege huzingatiwa, ambayo shughuli zifuatazo zinaruhusiwa:

  1. Chagua pointi kutoka kwa seti ya pointi zote:
    1. hatua ya kiholela
    2. hatua ya kiholela kwenye mstari fulani
    3. hatua ya kiholela kwenye duara fulani
    4. hatua ya makutano ya mistari miwili iliyotolewa
    5. hatua ya makutano/tangency ya mstari fulani na duara fulani
    6. pointi za makutano/tanjiti ya miduara miwili iliyotolewa
  2. "Kwa kutumia watawala»chagua mstari kutoka kwa seti ya mistari yote:
    1. mstari wa moja kwa moja wa kiholela
    2. mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye sehemu fulani
    3. mstari wa moja kwa moja kupita pointi mbili zilizotolewa
  3. "Kwa kutumia dira»chagua mduara kutoka kwa seti ya miduara yote:
    1. mduara wa kiholela
    2. mduara wa kiholela na kituo katika hatua fulani
    3. mduara wa kiholela na radius sawa na umbali kati ya pointi mbili zilizotolewa
    4. mduara ulio na kitovu katika sehemu fulani na yenye kipenyo sawa na umbali kati ya pointi mbili ulizopewa

Katika hali ya tatizo, seti fulani ya pointi imeelezwa. Inahitajika, kwa kutumia idadi maalum ya shughuli kutoka kati ya shughuli zinazokubalika zilizoorodheshwa hapo juu, kuunda seti nyingine ya pointi ambazo ziko katika uhusiano fulani na seti ya awali.

Suluhisho la shida ya ujenzi lina sehemu tatu muhimu:

  1. Maelezo ya njia ya kuunda seti fulani.
  2. Uthibitisho kwamba seti iliyojengwa kwa njia iliyoelezewa ni kweli iko katika uhusiano fulani na seti ya asili. Kawaida uthibitisho wa ujenzi unafanywa kama uthibitisho wa kawaida wa nadharia, kwa kuzingatia axioms na nadharia zingine zilizothibitishwa.
  3. Uchambuzi wa njia iliyoelezwa ya ujenzi kwa matumizi yake kwa matoleo tofauti ya hali ya awali, na pia kwa pekee au isiyo ya pekee ya ufumbuzi uliopatikana kwa njia iliyoelezwa.

Masuala Yanayojulikana

  • Tatizo la Apollonius la kuunda tanjenti ya duara hadi miduara mitatu iliyotolewa. Ikiwa hakuna duru zilizopewa ziko ndani ya nyingine, basi shida hii ina suluhisho 8 tofauti sana.
  • Tatizo la Brahmagupta la kujenga sehemu ya pembe nne iliyoandikwa kwa kutumia pande zake nne.

Ujenzi wa poligoni za kawaida

Geometers za kale zilijua jinsi ya kujenga sahihi n-goni kwa , , na .

Miundo inayowezekana na isiyowezekana

Miundo yote sio zaidi ya suluhisho kwa equation fulani, na mgawo wa mlinganyo huu unahusiana na urefu wa sehemu zilizopewa. Kwa hivyo, ni rahisi kuzungumza juu ya kuunda nambari - suluhisho la picha kwa equation ya aina fulani. Ndani ya mfumo wa mahitaji hapo juu, ujenzi ufuatao unawezekana:

  • Ujenzi wa suluhisho kwa milinganyo ya mstari.
  • Kuunda suluhisho kwa milinganyo ya quadratic.

Kwa maneno mengine, inawezekana tu kuunda nambari sawa na maneno ya hesabu kwa kutumia mzizi wa mraba wa nambari za asili (urefu wa sehemu). Kwa mfano,

Tofauti na generalizations

  • Ujenzi kwa kutumia dira moja. Kwa mujibu wa nadharia ya Mohr-Mascheroni, kwa msaada wa dira moja unaweza kujenga takwimu yoyote ambayo inaweza kujengwa kwa dira na mtawala. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja unachukuliwa kuwa umejengwa ikiwa pointi mbili zinaelezwa juu yake.
  • Ujenzi kwa kutumia rula moja. Ni rahisi kuona kwamba kwa msaada wa mtawala mmoja tu ujenzi wa projective-invariant unaweza kufanywa. Hasa, haiwezekani hata kugawanya sehemu katika sehemu mbili sawa, au kupata katikati ya mduara inayotolewa. Lakini ikiwa kuna mduara uliochorwa hapo awali kwenye ndege iliyo na kituo kilichowekwa alama, kwa kutumia mtawala, unaweza kufanya ujenzi sawa na dira na mtawala (Poncelet-Steiner theorem ( Kiingereza)), 1833. Ikiwa kuna noti mbili kwenye mtawala, basi ujenzi unaotumia ni sawa na ujenzi kwa kutumia dira na mtawala (Napoleon alichukua hatua muhimu katika kuthibitisha hili).
  • Ujenzi kwa kutumia zana zenye uwezo mdogo. Katika matatizo ya aina hii, zana (kinyume na uundaji wa classical wa tatizo) huchukuliwa kuwa sio bora, lakini ni mdogo: mstari wa moja kwa moja kupitia pointi mbili unaweza kuteka kwa kutumia mtawala tu ikiwa umbali kati ya pointi hizi hauzidi kiwango fulani. thamani; eneo la miduara inayochorwa kwa kutumia dira inaweza kupunguzwa kutoka juu, chini, au zote mbili juu na chini.
  • Ujenzi kwa kutumia origami ya gorofa. tazama sheria za Hujit

Angalia pia

  • Mipango ya jiometri yenye nguvu inakuwezesha kufanya ujenzi kwa kutumia dira na mtawala kwenye kompyuta.

Vidokezo

Fasihi

  • A. Adler Nadharia ya ujenzi wa kijiometri / Tafsiri kutoka kwa Kijerumani na G. M. Fikhtengolts. - Toleo la tatu. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
  • I. I. Alexandrov Mkusanyiko wa matatizo ya ujenzi wa kijiometri. - Toleo la kumi na nane. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
  • B. I. Argunov, M. B. Balk. - Toleo la pili. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
  • A. M. Voronets Jiometri ya dira. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 p. - (Maktaba maarufu ya hisabati chini ya uhariri wa jumla wa L. A. Lyusternik).
  • V. A. Geiler Shida za ujenzi zisizoweza kutatuliwa // baridi. - 1999. - Nambari 12. - P. 115-118.
  • V. A. Kirichenko Ujenzi na dira na mtawala na nadharia ya Galois // Shule ya Majira ya joto "Hisabati ya Kisasa". -Dubna, 2005.
  • Yu. I. Manin Kitabu IV. Jiometri // Encyclopedia ya hisabati ya msingi. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
  • Y. Petersen Mbinu na nadharia za kutatua matatizo ya ujenzi wa kijiometri. - M.: Nyumba ya uchapishaji ya E. Lissner na Y. Roman, 1892. - 114 p.
  • V. V. Prasolov Matatizo matatu ya ujenzi wa classic. Kuongeza mchemraba mara mbili, punguza pembe, piga mduara. - M.: Nauka, 1992. - 80 p. - (Mihadhara maarufu juu ya hisabati).
  • J. Steiner Ujenzi wa kijiometri unaofanywa kwa kutumia mstari wa moja kwa moja na mduara uliowekwa. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
  • Kozi ya hiari katika hisabati. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M.: Elimu, 1991. - P. 80. - 383 p. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Ujenzi kwa kutumia dira na mtawala" ni nini katika kamusi zingine:

    Tawi la jiometri ya Euclidean, inayojulikana tangu nyakati za zamani. Katika kazi za ujenzi, shughuli zifuatazo zinawezekana: Weka alama ya kiholela kwenye ndege, hatua kwenye moja ya mistari iliyojengwa, au sehemu ya makutano ya mistari miwili iliyojengwa. Kwa msaada wa ... ... Wikipedia

    Ujenzi kwa kutumia dira na watawala ni tawi la jiometri ya Euclidean inayojulikana tangu nyakati za kale. Katika kazi za ujenzi, shughuli zifuatazo zinawezekana: Weka alama kwenye sehemu ya kiholela kwenye ndege, nukta kwenye moja ya mistari iliyojengwa, au nukta... ... Wikipedia.

    Nomino, s., imetumika. kulinganisha mara nyingi Mofolojia: (hapana) nini? ujenzi, nini? ujenzi, (naona) nini? ujenzi, nini? ujenzi, kuhusu nini? kuhusu ujenzi; PL. Nini? ujenzi, (hapana) nini? ujenzi, kwa nini? ujenzi, (naona) nini? ujenzi, na nini? ... Kamusi ya ufafanuzi ya Dmitriev

    Mduara na mraba wa eneo moja Quadrature ya duara ni tatizo ambalo linajumuisha kutafuta ujenzi kwa kutumia dira na rula ya mraba sawa katika eneo na kupewa ... Wikipedia

    Tawi la hisabati ambalo linahusika na utafiti wa mali ya takwimu mbalimbali (pointi, mistari, pembe, vitu viwili-dimensional na tatu-dimensional), ukubwa wao na nafasi za jamaa. Kwa urahisi wa kufundisha, jiometri imegawanywa katika planimetry na stereometry. KATIKA…… Encyclopedia ya Collier

    Kwa maana ya jumla zaidi, nadharia inayosoma nyanja fulani za hisabati. vitu kulingana na vikundi vyao vya automorphism. Kwa hiyo, kwa mfano, mabadiliko ya kijiometri ya mashamba, pete, na mashamba ya topolojia yanawezekana. nafasi, n.k. Kwa maana finyu zaidi, nadharia ya kijiometri inarejelea nadharia ya kijiometri ya nyanja. Hii ilionekana... Encyclopedia ya hisabati

    Neno hili lina maana zingine, angalia Quadrature. Quadrature (lat. quadratura, kutoa umbo la mraba) ni neno la hisabati ambalo awali lilimaanisha kupata eneo la takwimu au uso fulani. Katika siku zijazo ... ... Wikipedia

    Sheria za Hujita ni seti ya sheria saba zinazoelezea rasmi ujenzi wa kijiometri kwa kutumia origami gorofa, sawa na ujenzi kwa kutumia dira na mtawala. Kwa kweli, wanaelezea njia zote zinazowezekana za kupata zizi moja mpya... ... Wikipedia

§ 5 173

dira moja - bila kuchora sehemu yenyewe. Hapa kuna suluhisho la shida hii. Wacha tueleze mduara wa radius AB na kituo B na juu yake, kuanzia A, kama hapo awali, tunapima safu tatu za radius AB mfululizo. Jambo la mwisho C litasema uongo

kwenye AB moja kwa moja, na tutafanya

dem wana: AB = BC. Kisha eleza

chora mduara wa radius AB kwa

kituo A na sehemu ya ujenzi C0,

kubadilika kwa uhakika C jamaa

lakini mduara huu. Kisha nusu-

AC0 AC = AB2,

AC0 2AB = AB2,

2AC0 = AB.

Hii inamaanisha kuwa C0 ndio sehemu ya katikati inayotakikana

Mchele. 44. Kutafuta katikati ya sehemu

Ujenzi mwingine kwa kutumia

Madhumuni ya dira moja, ambayo pia hutumia pointi za kinyume, ni kupata katikati ya mduara uliopewa wakati tu mduara yenyewe huchorwa na kituo haijulikani. Wacha tuchukue pro-

kwa mapenzi

kwenye duara na kuizunguka kama katikati

elezea mduara wa radius ya kiholela

sa, ikikatiza na mduara uliopeanwa

pointi R na S. Kutoka kwa hizi za mwisho,

angalia kama vituo tunavyoelezea safu za radial

whiskers RP = SP, intersecting, isipokuwa

uhakika P, bado katika hatua Q. Kulinganisha nini

nini kilitokea, kutoka mtini. 41, tunaona

kwamba kituo kisichojulikana Q0 ni uhakika,

uwiano wa nukta Q kuhusiana na duara

Mchele. 45. Kutafuta

ity iliyo na kituo cha P, na Q0 inaweza kuwa kama

tuliona kujengwa na moja

§ 5. Ujenzi kwa kutumia zana nyingine. Ujenzi wa Mascheroni kwa kutumia dira moja

*1. Kubuni ya classic kwa mara mbili ya mchemraba. Hadi sasa tumezingatia matatizo tu ya ujenzi wa kijiometri bila matumizi ya zana isipokuwa dira na watawala. Ikiwa vyombo vingine vinaruhusiwa, basi, bila shaka, aina mbalimbali

UJENZI WA JIometri

Mchele. 46. ​​Chombo kinachotumika kuongeza mchemraba mara mbili

Upeo wa miundo inayowezekana huongezeka sana. Mfano ufuatao unaweza kutumika kama mfano wa jinsi Wagiriki walivyotatua shida ya kuongeza mchemraba mara mbili. Fikiria (Mchoro 46) angle ya rigid ya MZN na msalaba wa mstatili unaohamishika V W , P Q. Vijiti viwili vya ziada vya RS na T U vinapewa fursa ya kupiga slide wakati inabaki perpendicular kwa pande za pembe ya kulia. Hebu pointi zisizohamishika E na G zichaguliwe kwenye msalaba, na umbali GB = a na BE = f upewe. Kwa kuweka msalaba kwa njia ambayo pointi E na G kwa mtiririko huo ziko kwenye NZ na MZ, na kwa kusonga vijiti T U na RS, vifaa vyote vinaweza kuletwa katika nafasi hiyo kwamba miiba ya radial ya msalaba BW, BQ, BV hupitia vipeo A, D, E vya ADEZ ya mstatili. Mpangilio ulioonyeshwa kwenye mchoro unawezekana kila wakati mradi f > a. Mara moja tunaona kwamba: x = x: y = y: f, ambayo, hasa, ikiwa tunaweka f = 2a, tunapata x3 = 2a3. Hii ina maana kwamba x ni ukingo wa mchemraba ambao ujazo wake ni mara mbili ya ujazo wa mchemraba wenye makali a. Hivyo, kazi

§ UJENZI 5 KWA KUTUMIA ZANA NYINGINE 175

2. Ujenzi kwa kutumia dira moja. Ikiwa ni kawaida kabisa kwamba kwa posho ya aina kubwa zaidi ya zana inawezekana kutatua seti kubwa ya shida za ujenzi, basi mtu anaweza kuona kwamba, kinyume chake, na vizuizi vilivyowekwa kwenye zana, darasa la shida zinazoweza kutatuliwa. itapunguzwa. Jambo la kushangaza zaidi ni ugunduzi uliofanywa na Mascheroni wa Kiitaliano (1750-1800): miundo yote ya kijiometri ambayo inaweza kufanywa kwa dira na mtawala inaweza kufanywa kwa dira tu. Inapaswa, bila shaka, kuzingatiwa kuwa haiwezekani kuteka mstari wa moja kwa moja kwa njia ya pointi mbili zilizotolewa bila mtawala, hivyo ujenzi huu wa msingi haujafunikwa na nadharia ya Mascheroni. Badala yake, tunapaswa kudhani kwamba mstari unatolewa ikiwa pointi zake mbili zimetolewa. Lakini kwa msaada wa dira tu inawezekana kupata hatua ya makutano ya mistari miwili iliyoelezwa kwa njia hii, au hatua ya makutano ya mstari na mduara.

Pengine mfano rahisi zaidi wa ujenzi wa Mascheroni ni mara mbili ya sehemu fulani AB. Suluhisho tayari limetolewa kwenye ukurasa wa 166. Zaidi ya hayo, katika ukurasa wa 167 tulijifunza jinsi ya kugawanya sehemu hii kwa nusu. Wacha sasa tuone jinsi ya kugawanya safu ya duara AB na kituo cha O.

maelezo ya ujenzi huu (Mchoro 47).

Kwa radius AO tunachora arcs mbili na

vituo A na B. Kutoka hatua O kupotoka

kwenye arcs hizi tunaunda mbili kama hizo

gi OP na OQ, hiyo OP = OQ = AB. Nyuma-

kwa hivyo tunapata uhakika R wa makutano ya

gi yenye kituo P na radius P B na arc

yenye kituo cha Q na radius QA. Hatimaye,

kuchukua sehemu AU kama radius,

elezea safu iliyo na kituo P au Q hadi

makutano na arc AB - hatua ya

Mchele. 47. Kupata katikati ya nafsi

kukata na ndio maana inayotakikana-

gi bila mtawala

hatua yake ya arc AB. Ushahidi

Tunawaachia msomaji kama zoezi.

Haiwezekani kuthibitisha taarifa kuu ya Mascheroni kwa kuonyesha, kwa kila ujenzi unaoweza kufanywa kwa dira na kunyoosha, jinsi inaweza kufanywa kwa dira tu: baada ya yote, ujenzi unaowezekana hauhesabiki. Lakini tutafikia lengo lile lile ikiwa tutagundua kuwa kila moja ya miundo ifuatayo ya msingi inawezekana kwa kutumia dira moja:

1. Chora mduara ikiwa katikati na radius hutolewa.

UJENZI WA JIometri

2. Tafuta sehemu za makutano za miduara miwili.

3. Pata pointi za makutano ya mstari na mduara.

4. Pata hatua ya makutano ya mistari miwili.

Ujenzi wowote wa kijiometri (kwa maana ya kawaida, kwa dhana ya dira na straightedge) linajumuisha mlolongo wa mwisho wa ujenzi huu wa msingi. Kwamba mbili za kwanza zinaweza kufanywa kwa kutumia dira moja ni wazi mara moja. Ujenzi mgumu zaidi 3 na 4 unafanywa kwa kutumia mali ya inversion iliyojadiliwa katika aya iliyotangulia.

Mchele. 48. Kukatiza mduara

Mchele. 49. Makutano ya duara-

mstari ulionyooka usipite

ity na mstari ulionyooka unaopita

Hebu tugeuke kwenye ujenzi 3: pata pointi za makutano ya mduara uliopewa C na mstari unaopitia pointi zilizopewa A na B. Hebu tuchore arcs na vituo A na B na radii sawa na AO na BO, kwa mtiririko huo; isipokuwa nukta O, watakatiza kwa uhakika P. Kisha tutajenga uhakika Q, kinyume cha hatua P kuhusiana na mduara C (angalia ujenzi ulioelezwa kwenye ukurasa wa 167). Mwishowe, wacha tuchore mduara na kituo cha Q na radius QO (bila shaka itaingiliana na C): sehemu zake za makutano X na X0 zilizo na mduara C ndizo zitahitajika. Ili kuthibitisha hilo, inatosha kuthibitisha kwamba kila moja ya pointi X na X0 iko katika umbali sawa kutoka kwa O na P (kama kwa pointi A na B, mali yao sawa hufuata mara moja kutoka kwa ujenzi). Hakika, inatosha kutaja ukweli kwamba hatua inverse kwa uhakika Q imetenganishwa na pointi X na X0 kwa umbali sawa na radius ya mduara C (tazama uk. 165). Inastahili kuzingatia kwamba mduara unaopitia pointi X, X0 na O ni kinyume cha mstari wa AB katika ubadilishaji kwa heshima na mduara C, kwa kuwa mduara huu na mstari AB huingiliana na C kwa pointi sawa. (Inapogeuzwa, vidokezo kwenye duara kuu hubaki bila kusimama.)

Mchele. 50. Makutano ya mistari miwili

§ UJENZI 5 KWA KUTUMIA ZANA NYINGINE 177

Ujenzi ulioonyeshwa hauwezekani tu ikiwa mstari wa moja kwa moja wa AB unapita katikati ya C. Lakini basi sehemu za makutano zinaweza kupatikana kwa njia ya ujenzi ulioelezewa kwenye ukurasa wa 169 kama sehemu za katikati za arcs C zinazotokea tunapochora duara ya kiholela na. kituo B kinachokatiza na C kwenye pointi B1 na B2.

Njia ya kuchora mduara inverse kwa mstari wa moja kwa moja kuunganisha pointi mbili zilizopewa mara moja hutoa ujenzi unaotatua tatizo 4. Hebu mistari ya moja kwa moja itolewe na pointi A, B na A0, B0 (Mchoro 50). Wacha tuchore mduara wa kiholela C na, kwa kutumia njia iliyo hapo juu, tengeneza mduara

geuza moja kwa moja AB na A0 B0. Haya

miduara inakatiza kwenye sehemu ya O

na kwa wakati mmoja zaidi Y. Pointi X, ob-

ni kinyume cha nukta Y, na ndiyo sehemu inayotakikana

makutano: jinsi ya kuijenga -

tayari imeelezwa hapo juu. Nini X

kuna hatua inayotakiwa, hii ni wazi kutokana na hilo

kutokana na ukweli kwamba Y ndiye pekee

uhakika, kubadilika kwa uhakika, kwa wakati mmoja

mali ya AB zote mbili zilizonyooka

na A0 B0; kwa hivyo, point X, ob-

Y lazima uongo kwa wakati mmoja

haswa kwenye AB na A0 B0 .

Miundo hii miwili inafafanua

inamaliza uthibitisho wa usawa kati ya Misa-

keroni, ambayo inaruhusiwa kutumia dira tu, na ujenzi wa kawaida wa kijiometri na dira na mtawala.

Hatukujali umaridadi wa kutatua matatizo ya mtu binafsi tuliyozingatia hapa, kwa kuwa lengo letu lilikuwa kufafanua maana ya ndani ya ujenzi wa Mascheroni. Lakini kama

X Kama mfano, tutaonyesha pia pentagons

ka; kwa usahihi zaidi, ni juu ya kutafuta

baadhi ya pointi tano kwenye duara, ambayo

wengine wanaweza kutumika kama vilele vya sahihi

pentagoni iliyoandikwa.

Acha A iwe sehemu ya kiholela katika mazingira

ity K. Tangu upande wa sahihi

ya hexagon iliyoandikwa ni sawa na radius

mduara, haitakuwa vigumu kuiweka kando

kwenye K kuna pointi B, C, D ambazo ^ AB =

K ^ BC = ^ CD = 60 ◦ (Mchoro 51). Hebu kutekeleza

safu zilizo na vituo A na D vya radius sawa na

Mchele. 51. Ujenzi wa pentagon ya kawaida

UJENZI WA JIometri

no AC; wacha wakatane haswa

ke X. Kisha, ikiwa O ni katikati ya K, arc na

kituo A na kipenyo cha OX kitakatiza K kwenye hatua F, ambayo ni sehemu ya katikati ya arc BC (ona ukurasa wa 169). Kisha, kwa kipenyo sawa na kipenyo K, tunaelezea arcs zilizo na kituo cha F kinachokatiza K kwenye pointi G na H. Hebu Y iwe hatua ambayo umbali kutoka kwa pointi G na H ni OX na ambayo imetenganishwa na X na kituo cha O. Katika katika kesi hii, sehemu ya AY ni kama nyakati ni upande wa pentagoni inayotakiwa. Uthibitisho umeachwa kama zoezi kwa msomaji. Inashangaza kutambua kwamba radii tatu tu tofauti hutumiwa katika ujenzi.

Mnamo 1928, mwanahisabati wa Denmark Hjelmslev alipata katika duka la vitabu huko Copenhagen nakala ya kitabu kiitwacho Euclides Danicus, kilichochapishwa mwaka wa 1672 na mwandishi asiyejulikana, G. Mohr. Kutoka kwa ukurasa wa kichwa mtu anaweza kuhitimisha kuwa hii ni moja ya matoleo ya "Kanuni" za Euclidean, labda zilizo na maoni ya wahariri. Lakini baada ya uchunguzi wa karibu, ikawa kwamba ilikuwa na suluhisho kamili kwa tatizo la Mascheroni, lililopatikana muda mrefu kabla ya Mascheroni.

Mazoezi. Katika kile kinachofuata, maelezo ya ujenzi wa Mohr yametolewa. Angalia kama ziko sahihi. Kwa nini inaweza kusemwa kwamba wanatatua tatizo la Mascheroni?

1) Tengeneza BC perpendicular kwa sehemu AB ya urefu p. (Kidokezo: panua AB ili uelekeze D kiasi kwamba AB = BD. Chora safu ya radius ya kiholela yenye vituo A na D na hivyo kubainisha C.)

2) Katika ndege, sehemu zilizowekwa kiholela za urefu wa p na q hupewa,

na p > q. Jenga kwa kutumia 1) sehemu ya urefu x = p2 - q2.

3) Kwa kuzingatia sehemu a, jenga sehemu ya 2. (Kidokezo: kumbuka

√ √

kumbuka kuwa (a 2)2 = (a

3)2 − a2 .)

4) Kulingana na sehemu zilizopewa p na q, jenga sehemu x =

p2 + q2

. (Kumbuka:

tafadhali kumbuka kwamba

x2 = 2p2

Njoo na kitu kama hicho wewe mwenyewe

ujenzi mpya.

5) Kwa kutumia matokeo ya awali, jenga sehemu p + q na p − q, ukichukulia kuwa sehemu za urefu p na q zimepewa. kwa namna fulani kwenye ndege.

6) Angalia na ujaribu kuhalalisha ujenzi ufuatao wa sehemu ya katikati M ya sehemu fulani ya AB ya urefu a. Juu ya muendelezo wa sehemu ya AB tunapata pointi C na D kama vile CA = AB = BD. Hebu tutengeneze ECD ya pembetatu ya usawa kulingana na hali EC = ED = 2a na tufafanue M kama makutano ya miduara yenye kipenyo EC na ED.

7) Tafuta makadirio ya mstatili ya uhakika A kwenye sehemu ya BC.

8) Tafuta x kwa hali ya x: a = p: q, ambapo a, p na q ni sehemu zilizotolewa.

9) Tafuta x = ab, ambapo a na b ni sehemu zilizotolewa.

Akiongozwa na matokeo ya Mascheroni, Jacob Steiner (1796–1863) alijaribu kuchunguza miundo ambayo inaweza kufanywa kwa kutumia rula pekee. Bila shaka, mtawala peke yake haongozi zaidi

UJENZI KWA KUTUMIA ZANA NYINGINE

mipaka ya uwanja uliopewa wa nambari, na kwa hivyo haitoshi kufanya ujenzi wote wa kijiometri kwa maana yao ya kitamaduni. Lakini cha kushangaza zaidi ni matokeo yaliyopatikana na Steiner chini ya kizuizi alichoanzisha - kutumia dira mara moja tu. Alithibitisha kuwa ujenzi wote kwenye ndege ambao unaweza kufanywa kwa dira na mtawala pia unaweza kufanywa na mtawala mmoja, mradi tu duru moja iliyowekwa na kituo inapewa. Miundo hii inahusisha utumiaji wa mbinu za kukisia na itaelezwa baadaye (tazama ukurasa wa 217).

* Haiwezekani kufanya bila mduara, na, zaidi ya hayo, na kituo. Kwa mfano, ikiwa mduara hutolewa, lakini kituo chake hakijaonyeshwa, basi haiwezekani kupata kituo kwa kutumia mtawala peke yake. Sasa tutathibitisha hili, tukirejelea, hata hivyo, kwa ukweli ambao utathibitishwa baadaye (ona uk. 240): kuna mabadiliko ya ndege kuwa yenyewe kwamba a) duara fulani hubaki bila kusonga, b) kila mstari ulionyooka hugeuka. kwenye mstari ulionyooka, in ) katikati ya duara isiyosimama haibaki ya kusimama, lakini inasonga. Uwepo wa mabadiliko kama haya unaonyesha kutowezekana kwa ujenzi wa kituo cha duara fulani kwa kutumia mtawala mmoja. Kwa kweli, chochote utaratibu wa ujenzi, inakuja kwa mfululizo wa hatua tofauti zinazojumuisha kuchora mistari ya moja kwa moja na kutafuta makutano yao kwa kila mmoja au kwa mzunguko uliopewa. Wacha sasa tufikirie kuwa takwimu nzima kwa ujumla - duara na mistari yote iliyonyooka iliyochorwa kando ya mtawala wakati wa kujenga kituo - inakabiliwa na mabadiliko, uwepo ambao tumefikiria hapa. Kisha ni wazi kwamba takwimu iliyopatikana baada ya mabadiliko pia ingekidhi mahitaji yote ya ujenzi; lakini ujenzi ulioonyeshwa na takwimu hii ungeongoza kwenye hatua tofauti na katikati ya mduara uliopewa. Hii ina maana kwamba ujenzi katika swali hauwezekani.

3. Kuchora kwa kutumia vifaa mbalimbali vya mitambo. Curves za mitambo. Cycloids. Uvumbuzi wa mifumo mbalimbali iliyoundwa kuteka mikondo mbalimbali, kando na mduara na mstari ulionyooka, huongeza kwa kiasi kikubwa safu mbalimbali za takwimu zinazoweza kutengenezwa. Kwa mfano, ikiwa kuna chombo kinachokuwezesha kuteka hyperbolas xy = k, na chombo kingine ambacho huchota parabolas y = ax2 + bx + c, basi tatizo lolote linalosababisha equation ya cubic.

kwa usahihi zaidi, mizizi ya equation (1) ni viwianishi vya x vya sehemu za makutano ya hyperbola na parabola inayowakilishwa na milinganyo (2). Hivyo

UJENZI WA JIometri

Mchele. 52. Suluhisho la mchoro wa equation ya ujazo

Kwa hivyo, masuluhisho ya mlingano (1) yanaweza kutengenezwa ikiwa mtu ataruhusiwa kutumia zana zinazoweza kutumiwa kuchora miingo (2).

Tayari wanahisabati wa nyakati za kale walikuwa na ufahamu wa curves nyingi za kuvutia ambazo zinaweza kuamua na kuchora kwa kutumia vifaa rahisi vya mitambo. Kati ya mikondo kama hiyo ya "mitambo", cycloids huchukua mahali maarufu sana. Ptolemy (yapata mwaka wa 200 KK), akionyesha umaizi wa ajabu, aliweza kutumia miindo hii kueleza mienendo ya sayari.

Cycloid ya aina rahisi zaidi ni trajectory ya hatua P iliyowekwa kwenye mduara wa diski inayozunguka bila kupiga sliding kwenye mstari wa moja kwa moja. Katika Mtini. 53 inaonyesha nafasi nne za nukta P kwa nyakati tofauti. Sura ya cycloid inafanana na safu ya matao yaliyokaa kwenye mstari wa moja kwa moja wa usawa.

Tofauti za curve hii zinapatikana ikiwa tunachukua hatua P ama ndani ya diski (kama kwenye mazungumzo ya gurudumu), au kwa upanuzi wa radius zaidi ya diski.

UJENZI KWA KUTUMIA ZANA NYINGINE

Mchele. 53. Cycloid

Mchele. 54. Cycloids ya jumla

Curve hizi mbili zinaonyeshwa kwenye Mtini. 54.

Aina zaidi za cycloids hutokea wakati diski yetu haiingii kwenye mstari wa moja kwa moja, lakini pamoja na arc ya mviringo. Ikiwa, katika kesi hii, diski inayozunguka na radius r inabaki kugusa kila wakati kutoka ndani ya mduara mkubwa C wa radius R kando ambayo inazunguka, basi trajectory ya hatua iliyowekwa kwenye mduara wa diski inaitwa hypocycloid.

Wakati diski imevingirwa kando ya duara nzima C mara moja, basi uhakika P inarudi kwenye nafasi yake ya asili ikiwa tu radius C ni nyingi ya radius c. Katika Mtini. Mchoro wa 55 unaonyesha hypocycloid iliyofungwa inayofanana na dhana R = 3r. Kwa ujumla zaidi

UJENZI WA JIometri

kesi, ikiwa R = m n r, basi hypocycloid itafunga baada ya disk c

itazunguka mduara C mara n haswa, na itajumuisha matao m. Kesi R = 2r inastahili kutajwa maalum. Hatua yoyote P kwenye mzunguko wa diski itaelezea katika kesi hii moja ya kipenyo cha mduara mkubwa C (Mchoro 56). Tunawaachia msomaji kuthibitisha hili kama tatizo.

Aina nyingine ya cycloid hupatikana wakati diski c inazunguka kwenye mduara C, ikigusa wakati wote kutoka nje. Curve zinazosababisha huitwa epicycloids.

*4. Mitambo ya bawaba. Invertors Poselje na Garta.

Wacha tuache kando kwa muda swali la cycloids (zitaonekana tena katika kitabu hiki - bila kutarajia) na tugeukie njia zingine za kuzaliana kwa mistari iliyopindika. Tutafanya sasa

taratibu za bawaba.

Utaratibu wa aina hii ni mfumo wa vijiti vikali vilivyoelezewa kwa kila mmoja, vina kiwango cha uhuru ambacho kila moja ya vidokezo vyake ina uwezo wa kuelezea curve fulani. Compass pia ni utaratibu rahisi zaidi wa bawaba, kimsingi unaojumuisha fimbo moja na mwisho uliowekwa.

Mchele. 57. Kugeuza mwendo wa mstari kuwa mwendo wa mzunguko

Mitambo yenye bawaba imetumika kwa muda mrefu kama vifaa vya mashine. Moja ya mifano maarufu (ya kihistoria) ni ile inayoitwa "parallelogram ya Watt". Kifaa hiki kilivumbuliwa na James Watt wakati wa kutatua tatizo lifuatalo: jinsi ya kuunganisha pistoni kwa uhakika kwenye flywheel kwa njia ambayo mzunguko wa gurudumu hutoa mwendo wa mstari kwa pistoni? Suluhisho lililotolewa na Watt lilikuwa la makadirio tu, na, licha ya juhudi za wanahisabati wengi wa darasa la kwanza, shida ya kuunda utaratibu unaowasiliana haswa kwa mstari ulionyooka kwa uhakika.

UJENZI KWA KUTUMIA ZANA NYINGINE

harakati mpya ilibaki bila kutatuliwa kwa muda mrefu. Ilipendekezwa hata kuwa utaratibu kama huo haungewezekana: hii ilikuwa wakati kila aina ya "uthibitisho wa kutowezekana" ulivutia umakini wa kila mtu. Mshangao zaidi ulisababishwa katika duru za wanahisabati wakati afisa wa jeshi la wanamaji wa Ufaransa Paucellier (mnamo 1864) hata hivyo aligundua utaratibu rahisi ambao ulisuluhisha shida hiyo kwa maana chanya. Kwa sababu ya kuanzishwa kwa vilainishi vinavyofanya kazi vizuri, shida ya kiufundi ilipoteza umuhimu wake kwa injini za mvuke.

Mchele. 58. Inverter ya pocellier, kubadilisha mwendo wa mzunguko kwenye mwendo wa mstari

Madhumuni ya utaratibu wa Paucellier ni kubadilisha mwendo wa mviringo kuwa mwendo wa mstari. Utaratibu huu unategemea nadharia ya ubadilishaji iliyoainishwa katika § 4. Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa Mtini. 58, utaratibu huo una vijiti saba vikali, viwili vya urefu wa t, vinne vya urefu wa s na moja ya urefu wa kiholela. Pointi O na R zimewekwa na ziko kwa njia ambayo OR = P R. Vifaa vyote vinaweza kuwekwa kwa mwendo, kulingana na hali maalum. Sasa tutaona kwamba wakati hatua P inapoelezea safu ya duara yenye kituo cha R na kipenyo cha RP, nukta Q inaelezea sehemu ya mstari ulionyooka. Kuashiria msingi wa perpendicular imeshuka kutoka hatua S hadi mstari OP Q na T, tunaona kwamba

OP · OQ = (OT − P T) · (OT + P T) = OT 2 − P T2 =

= (OT 2 + ST2) − (RT2 + ST2) = t2 − s2. (3)

Kiasi t2 - s2 ni mara kwa mara; tuweke t2 - s2 = r2 . Tangu OP OQ =

UJENZI WA JIometri

r2, kisha pointi P na Q ni kinyume cha kulinganishwa kwa mduara wenye kituo cha O na kipenyo r. Wakati P inaelezea safu ya duara inayopitia O, Q inaelezea mkunjo wa kinyume wa arc hiyo. Lakini mduara ulio kinyume wa mduara unaopitia O, kama tulivyoona, si chochote zaidi ya mstari ulionyooka. Kwa hiyo, trajectory ya uhakika Q ni mstari wa moja kwa moja, na inverter ya Paucellier huchota mstari huu wa moja kwa moja bila mtawala.

Utaratibu mwingine ambao hutatua shida sawa ni inverter ya Garth. Inajumuisha vijiti tano tu, maelezo ambayo yanaonyeshwa kwenye Mtini. 59. Hapa AB = CD, BC = AD. O, P na Q zinaashiria alama zilizowekwa kwa mtiririko huo kwenye vijiti AB, AD na CB, zaidi ya hayo.

hivi kwamba OB AO =P AP D =QB CQ =m n . Pointi O na S zimewekwa

bila mwendo kwenye ndege, chini ya hali ya OS = P S. Hakuna viunganisho zaidi, na utaratibu una uwezo wa kusonga. Ni wazi, AC moja kwa moja ni daima

Mchele. 59. Inverter ya Garth

sambamba na mstari wa BD. Katika kesi hii, pointi O, P na Q ziko kwenye mstari huo huo, na mstari wa OP ni sawa na mstari wa AC. Hebu tuchore perpendiculars AE na CF kwa mstari wa BD. Tuna

AC · BD = EF · BD = (ED + EB) · (ED - EB) = ED2 - EB2.

Lakini 2 ED

AE2 = AD2

EB2 + AE2 = AB2

Kwa hivyo,

(m + n)2

(m + n)2

Thamani ya mwisho iliyopatikana haibadilika wakati utaratibu unasonga. Kwa hiyo, pointi P na Q ni kinyume kwa heshima na