Vekta ambayo urefu wake ni 1 inaitwa. Vekta ni sehemu iliyoelekezwa kwenye ndege au angani

Ufafanuzi

Kiasi cha scalar- kiasi ambacho kinaweza kutambuliwa na nambari. Kwa mfano, urefu, eneo, wingi, joto, nk.

Vekta inayoitwa sehemu iliyoelekezwa $\overline(A B)$; uhakika $ A $ ni mwanzo, uhakika $ B $ ni mwisho wa vector (Mchoro 1).

Vekta inaashiria ama kwa herufi kubwa mbili - mwanzo na mwisho wake: $\overline(A B)$ au kwa herufi moja ndogo: $\overline(a)$.

Ufafanuzi

Ikiwa mwanzo na mwisho wa vector sanjari, basi vector vile inaitwa sufuri. Mara nyingi, vekta ya sifuri inaonyeshwa kama $\overline(0)$.

Vectors huitwa colinear, ikiwa wanalala ama kwenye mstari huo au kwenye mistari inayofanana (Mchoro 2).

Ufafanuzi

Vekta mbili za collinear $\overline(a)$ na $\overline(b)$ zinaitwa iliyoelekezwa pamoja, ikiwa maelekezo yao yanafanana: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Mchoro 3, a). Vekta mbili za collinear $\overline(a)$ na $\overline(b)$ zinaitwa kuelekezwa kinyume, ikiwa maelekezo yao ni kinyume: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Mchoro 3, b).

Ufafanuzi

Vectors huitwa coplanar, ikiwa ni sawa na ndege moja au kulala katika ndege moja (Mchoro 4).

Vekta mbili daima ni coplanar.

Ufafanuzi

Urefu (moduli) vekta $\overline(A B)$ ni umbali kati ya mwanzo na mwisho wake: $|\overline(A B)|$

Nadharia ya kina kuhusu urefu wa vekta kwenye kiungo.

Urefu wa vector ya sifuri ni sifuri.

Ufafanuzi

Vekta ambayo urefu wake ni sawa na moja inaitwa vekta ya kitengo au ortom.

Vectors huitwa sawa, ikiwa wamelala kwenye mstari mmoja au sambamba; mielekeo yao sanjari na urefu wao ni sawa.

Kwa maneno mengine, vekta mbili sawa, ikiwa ni collinear, codirectional na zina urefu sawa:

$\overline(a)=\overline(b)$ ikiwa $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Katika hatua ya kiholela $M$ ya nafasi, mtu anaweza kuunda vekta moja $\overline(M N)$ sawa na vector iliyotolewa $\overline(A B)$.

Vekta algebra

Ufafanuzi:

Vekta ni sehemu iliyoelekezwa kwenye ndege au angani.

Sifa:

1) urefu wa vekta

Ufafanuzi:

Vekta mbili huitwa collinear ikiwa zinalala kwenye mistari inayofanana.

Ufafanuzi:

Vekta mbili za collinear huitwa codirectional ikiwa maelekezo yao yanalingana ( ) Vinginevyo huitwa kuelekezwa kinyume (↓ ).

Ufafanuzi:

Vekta mbili ni sawa ikiwa zina mwelekeo shirikishi na zina urefu sawa.

Kwa mfano,

Uendeshaji:

1. Kuzidisha vekta kwa nambari

Kama
, Hiyo

↓Kama < 0

Mwelekeo wa vector ya sifuri ni kiholela

Sifa za kuzidisha kwa nambari

2. Kuongeza Vector

Kanuni ya parallelogram:

Vipengele vya nyongeza:

- vectors vile huitwa kinyume na kila mmoja. Ni rahisi kuona hivyo

Tabia za pamoja:

KUHUSU ufafanuzi:

Pembe kati ya vekta mbili ni pembe inayopatikana ikiwa vekta hizi zimepangwa kutoka kwa nukta moja, 0    

3. Bidhaa ya dot ya vectors.

, Wapi- angle kati ya vectors

Sifa za bidhaa ya scalar ya vekta:

1) (usawa hufanyika katika kesi ya mwelekeo tofauti na mwelekeo wa pamoja wa vekta, mtawaliwa)

3)

Kama
, basi ishara ya bidhaa ni chanya, Kama ↓hiyo ni hasi

)

6), yaani
, au vekta yoyote ni sifuri

7)

Utumiaji wa vekta

1.

MN - mstari wa kati

Thibitisha hilo


Uthibitisho:

, toa vekta kutoka pande zote mbili
:

2.

Thibitisha kwamba diagonals ya rhombus ni perpendicular


Uthibitisho:

Tafuta:

Suluhisho:

Mtengano wa vekta katika besi.

Ufafanuzi:

Mchanganyiko wa mstari wa vekta (LCV) ni jumla ya fomu

(LKV)

Wapi 1 , 2 , … s - seti ya nambari za kiholela

Ufafanuzi:

LCI inasemekana sio ndogo ikiwa yote i = 0, vinginevyo inaitwa nontrivial.

Matokeo:

LCV isiyo ya kawaida ina angalau mgawo mmoja usio na sufuri Kwa 0

Ufafanuzi:

Mfumo wa Vector
inayoitwa kujitegemea kwa mstari (LNI),Kama() = 0 Wote i 0,

yaani, LC yake ndogo tu ni sawa na sifuri.

Matokeo:

LC isiyo ya kawaida ya vekta zinazojitegemea kwa mstari ni nonzero

Mifano:

1)
- LNZ

2) Acha Na lala kwenye ndege moja, basi
- LNZ, isiyo ya colinear

3) Hebu,, si wa ndege moja, basi huunda mfumo wa LNZ wa vectors

Nadharia:

Ikiwa mfumo wa vekta ni huru kwa mstari, basi angalau mmoja wao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

Uthibitisho:

Wacha () = 0 na sio zote I ni sawa na sifuri. Bila kupoteza ujumla, basi s 0. Kisha
, na huu ni mchanganyiko wa mstari.

Hebu

Kisha, yaani, LZ.

Nadharia:

Vekta 3 zozote kwenye ndege zinategemeana.

Uthibitisho:

Wacha vekta zipewe
, kesi zinazowezekana:

1)

2) yasiyo ya collinear

Hebu tueleze kupitia na:
, wapi
- LC isiyo ya kawaida.

Nadharia:

Hebu
-LZ

Kisha mfumo wowote "mpana" ni LZ

Uthibitisho:

Tangu - LZ, basi kuna angalau moja i 0, na () = 0

Kisha na () = 0

Ufafanuzi:

Mfumo wa vekta zinazojitegemea kwa mstari huitwa maximal ikiwa, wakati vekta nyingine yoyote inapoongezwa kwake, inakuwa tegemezi kwa mstari.

Ufafanuzi:

Kipimo cha nafasi (ndege) ni idadi ya vekta katika mfumo wa juu wa kujitegemea wa mstari wa vekta.

Ufafanuzi:

Msingi ni mfumo wowote ulioamriwa wa kiwango cha juu cha vekta huru.

Ufafanuzi:

Msingi unaitwa kawaida ikiwa veta zilizojumuishwa ndani yake zina urefu sawa na moja.

Ufafanuzi:

Msingi unaitwa orthogonal ikiwa vipengele vyake vyote (vekta) ni pairwise perpendicular.

Nadharia:

Mfumo wa vekta za orthogonal daima ni huru kwa mstari (ikiwa hakuna vectors sifuri).

Uthibitisho:

Hebu iwe mfumo wa vectors orthogonal (yasiyo ya sifuri), yaani
. Tuseme, tunazidisha LC hii kwa kasi kwa vekta :

Bracket ya kwanza sio sifuri (mraba wa urefu wa vector), na mabano mengine yote ni sawa na sifuri kwa hali. Kisha 1 = 0. Vile vile kwa 2 … s

Nadharia:

Hebu M = - msingi. Kisha tunaweza kuwakilisha vekta yoyote katika fomu:

wapi coefficients 2 … s imedhamiriwa kipekee (hizi ni kuratibu za vector jamaa na msingi M).

Uthibitisho:

1)
=
- LZ (kulingana na hali ya msingi)

basi - isiyo ya kawaida

A) 0 = 0 ambayo haiwezekani, kwani inageuka kuwa M - LZ

b) 0 0

kugawanya kwa 0

hizo. kuna akaunti ya kibinafsi

2) Hebu tuthibitishe kwa kupingana. Wacha iwe uwakilishi mwingine wa vekta (yaani.angalau jozi moja
) Wacha tuondoe fomula kutoka kwa kila mmoja:

- LC sio ndogo.

Lakini kulingana na hali - msingiukinzani, yaani, mtengano huo ni wa kipekee.

Hitimisho:

Kila msingi M huamua mawasiliano ya moja kwa moja kati ya vekta na viwianishi vyao kulingana na msingi wa M.

Uteuzi:

M = - vector ya kiholela

Kisha

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

Tovuti umejaa vitabu, unaweza kupakua vitabu

Vectors kwenye ndege na katika nafasi, mbinu za kutatua matatizo, mifano, fomula

1 Vekta katika nafasi

Vekta katika nafasi ni pamoja na jiometri ya daraja la 10, jiometri ya daraja la 11 na jiometri ya uchanganuzi. Vectors hukuruhusu kutatua kwa ufanisi matatizo ya kijiometri ya sehemu ya pili ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na jiometri ya uchambuzi katika nafasi. Vectors katika nafasi hutolewa kwa njia sawa na vectors katika ndege, lakini uratibu wa tatu z unazingatiwa. Kutengwa kutoka kwa vekta katika nafasi ya tatu-dimensional hutoa vekta kwenye ndege, ambayo inaelezewa na jiometri ya 8, daraja la 9.

1.1 Vekta kwenye ndege na angani

Vekta ni sehemu iliyoelekezwa iliyo na mwanzo na mwisho, iliyoonyeshwa kwenye takwimu na mshale. Hatua ya kiholela katika nafasi inaweza kuchukuliwa kuwa vector ya sifuri. Vector ya sifuri haina mwelekeo maalum, tangu mwanzo na mwisho ni sawa, hivyo inaweza kupewa mwelekeo wowote.

Vekta iliyotafsiriwa kutoka kwa Kiingereza inamaanisha vekta, mwelekeo, kozi, mwongozo, mpangilio wa mwelekeo, kozi ya ndege.

Urefu (moduli) wa vekta isiyo ya sifuri ni urefu wa sehemu ya AB, ambayo inaashiria.
. Urefu wa Vector iliyoonyeshwa na . Vekta batili ina urefu sawa na sifuri = 0.

Vekta zisizo za sifuri zilizolala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana huitwa collinear.

Vekta null ni collinear kwa vekta yoyote.

Vekta za nonzero za Collinear ambazo zina mwelekeo sawa huitwa codirectional. Vekta za uratibu zinaonyeshwa na. Kwa mfano, ikiwa vekta ni codirectional na vector , kisha nukuu inatumiwa.

Vekta ya sifuri inaendana na vekta yoyote.

Inayoelekezwa kinyume ni vekta mbili za collinear zisizo sifuri ambazo zina mwelekeo tofauti. Vekta zilizoelekezwa kinyume zinaonyeshwa na ishara ↓. Kwa mfano, ikiwa vekta imeelekezwa kinyume na vekta, basi nukuu ↓ inatumiwa.

Vectors zilizoelekezwa kwa urefu sawa huitwa sawa.

Vipimo vingi vya kimwili ni wingi wa vector: nguvu, kasi, uwanja wa umeme.

Ikiwa hatua ya maombi (kuanza) ya vector haijainishwa, basi inachaguliwa kiholela.

Ikiwa mwanzo wa vector umewekwa kwenye hatua ya O, basi vector inachukuliwa kuwa kuchelewa kutoka kwa uhakika O. Kutoka kwa hatua yoyote unaweza kupanga vekta moja sawa na vekta fulani.

1.2 Jumla ya Vekta

Wakati wa kuongeza vekta kulingana na sheria ya pembetatu, vekta 1 hutolewa, kutoka mwisho wa ambayo vekta 2 hutolewa, na jumla ya vekta hizi mbili ni vekta 3, inayotolewa kutoka mwanzo wa vekta 1 hadi mwisho wa vekta 2:

Kwa alama za kiholela A, B na C, unaweza kuandika jumla ya vekta:

+
=

Ikiwa vekta mbili zinatoka kwa sehemu moja

basi ni bora kuwaongeza kulingana na kanuni ya parallelogram.

Wakati wa kuongeza vekta mbili kulingana na kanuni ya parallelogram, vekta zilizoongezwa zimewekwa kutoka kwa sehemu moja, kutoka mwisho wa vekta hizi parallelogram imekamilika kwa kutumia mwanzo wa mwingine hadi mwisho wa vector moja. Vekta inayoundwa na ulalo wa parallelogram, inayotoka mahali pa asili ya vekta zinazoongezwa, itakuwa jumla ya vekta.

Kanuni ya parallelogram ina utaratibu tofauti wa kuongeza vectors kulingana na utawala wa pembetatu.

Sheria za kuongeza vekta:

1. Sheria ya uhamisho + = +.

2. Sheria ya mchanganyiko ( + ) + = + ( + ).

Ikiwa ni muhimu kuongeza vectors kadhaa, basi vekta huongezwa kwa jozi au kwa mujibu wa kanuni ya poligoni: vector 2 inatolewa kutoka mwisho wa vector 1, vector 3 inatolewa kutoka mwisho wa vector 2, vector 4 hutolewa kutoka. mwisho wa vector 3, vector 5 hutolewa kutoka mwisho wa vector 4, nk Vector ambayo ni jumla ya vectors kadhaa hutolewa kutoka mwanzo wa vector 1 hadi mwisho wa vector ya mwisho.

Kwa mujibu wa sheria za kuongeza vector, utaratibu wa kuongeza vector hauathiri vector kusababisha, ambayo ni jumla ya vectors kadhaa.

Vekta mbili zisizo za sifuri zilizoelekezwa kinyume za urefu sawa huitwa kinyume. Vector - ni kinyume cha vector

Vekta hizi zimeelekezwa kinyume na ni sawa kwa ukubwa.

1.3 Tofauti ya Vekta

Tofauti ya vekta inaweza kuandikwa kama jumla ya vekta

- = + (-),

ambapo "-" ni vekta kinyume na vekta.

Vectors na - inaweza kuongezwa kulingana na utawala wa pembetatu au parallelogram.

Hebu vectors na

Ili kupata tofauti kati ya vekta, tunaunda vekta -

Tunaongeza vectors na - kwa mujibu wa utawala wa pembetatu, kutumia mwanzo wa vector - hadi mwisho wa vector, tunapata vector + (-) = -

Tunaongeza veta na - kulingana na sheria ya parallelogram, kuweka kando mwanzo wa veta na - kutoka kwa hatua moja.

Ikiwa vekta na zinatoka kwa uhakika sawa

,

basi tofauti ya vekta hutoa vekta inayounganisha ncha zao na mshale mwishoni mwa vekta inayosababishwa huwekwa kwenye mwelekeo wa vekta ambayo vekta ya pili inatolewa.

Kielelezo hapa chini kinaonyesha tofauti ya kuongeza na vekta

Kielelezo hapa chini kinaonyesha nyongeza ya vekta na tofauti kwa njia tofauti

Kazi. vectors na wanapewa.

Chora jumla na tofauti ya vekta kwa njia zote zinazowezekana katika michanganyiko yote inayowezekana ya vekta.

1.4 Lema kwenye vekta za collinear

= k

1.5 Bidhaa ya vekta na nambari

Bidhaa ya vekta isiyo ya sifuri kwa nambari k inatoa vekta = k, collinear kwa vekta. Urefu wa Vekta:

| | = |k |·| |

Kama k > 0, basi vekta na ni za uelekezaji.

Kama k = 0, basi vector ni sifuri.

Kama k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Ikiwa | k | = 1, kisha vekta na zina urefu sawa.

Kama k = 1, basi vectors ni sawa.

Kama k = -1, kisha vectors kinyume.

Ikiwa | k | > 1, basi urefu wa vekta ni mkubwa kuliko urefu wa vekta.

Kama k > 1, basi vekta zote mbili ni za uelekezaji na urefu ni mkubwa kuliko urefu wa vekta.

Kama k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Ikiwa | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Ikiwa 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Ikiwa -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Bidhaa ya vekta ya sifuri na nambari hutoa vekta ya sifuri.

Kazi. Imepewa vekta.

Jenga vekta 2, -3, 0.5, -1.5.

Kazi. vectors na wanapewa.

Jenga vekta 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Sheria zinazoelezea kuzidisha kwa vekta kwa nambari

1. Sheria ya mchanganyiko (kn) = k (n)

2. Sheria ya kwanza ya usambazaji k ( + ) = k + k .

3. Sheria ya pili ya usambazaji (k + n) = k + n.

Kwa vekta za collinear na , ikiwa ≠ 0, kuna nambari moja k ambayo hukuruhusu kuelezea vekta kulingana na:

= k

1.6 Vekta za Coplanar

Vectors ambazo ziko kwenye ndege moja au kwenye ndege zinazofanana huitwa coplanar. Ikiwa tunachora vekta sawa na veta hizi za coplanar kutoka kwa hatua moja, basi watalala kwenye ndege moja. Kwa hiyo, tunaweza kusema kwamba vectors huitwa coplanar ikiwa kuna vectors sawa wamelala katika ndege moja.

Vekta mbili za kiholela daima ni coplanar. Vekta tatu zinaweza kuwa coplanar au zisizo za coplanar. Vekta tatu, angalau mbili ambazo ni collinear, ni coplanar. Vekta za Collinear daima ni coplanar.

1.7 Mtengano wa vekta katika vekta mbili zisizo za collinear

Vekta yoyote hutengana kwa namna ya pekee kwenye ndege katika vekta mbili zisizo za collinear zisizo na sufuri Na na mgawo mmoja wa upanuzi x na y:

= x+y

Coplanar yoyote ya vekta kwa vekta zisizo za sifuri na inaweza kupanuliwa kwa njia ya kipekee kuwa vekta mbili zisizo za collinear na kwa viambajengo vya kipekee vya upanuzi x na y:

= x+y

Wacha tupanue vekta tuliyopewa kwenye ndege kulingana na veta zisizo za collinear na:

Wacha tuchore veta za coplanar kutoka kwa hatua moja

Kutoka mwisho wa vector sisi kuchora mistari sambamba na vectors na mpaka kuingiliana na mistari inayotolewa kwa njia ya vectors na. Tunapata parallelogram

Urefu wa pande za parallelogram hupatikana kwa kuzidisha urefu wa vectors na kwa namba x na y, ambayo imedhamiriwa kwa kugawanya urefu wa pande za parallelogram kwa urefu wa vectors zao zinazofanana na. Tunapata mtengano wa vekta kulingana na vekta zisizo za collinear na:

= x+y

Katika tatizo linalotatuliwa, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, kwa hiyo upanuzi wa vekta katika vekta zisizo za collinear zinaweza kuandikwa kwa fomu.

1,3 + 1,9 .

Katika tatizo linalotatuliwa, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, kwa hiyo upanuzi wa vekta katika vekta zisizo za collinear zinaweza kuandikwa kwa fomu.

1,3 - 1,9 .

1.8 Utawala wa Parallelepiped

Parallelepiped ni kielelezo chenye pande tatu ambacho nyuso zake zinazopingana zinajumuisha msambamba mbili zilizo sawa zikiwa kwenye ndege sambamba.

Sheria ya parallelepiped inakuwezesha kuongeza vectors tatu zisizo za coplanar, ambazo zimepangwa kutoka kwa hatua moja, na parallelepiped inajengwa ili vectors zilizofupishwa kuunda kingo zake, na kando iliyobaki ya parallelepiped ni mtiririko sambamba na sawa na urefu wa kingo zinazoundwa na vekta muhtasari. Ulalo wa parallelepiped huunda vector, ambayo ni jumla ya vectors tatu iliyotolewa, ambayo huanza kutoka hatua ya asili ya vectors kuongezwa.

1.9 Mtengano wa vekta katika vekta tatu zisizo za coplanar

Vekta yoyote hupanuka hadi kuwa vekta tatu zisizo za coplanar , na vipatanishi moja vya upanuzi x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi

Katika nafasi ya pande tatu, mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Oxyz hufafanuliwa na asili ya O na shoka za kuratibu zenye pande zote zinazoingiliana Ox, Oy na Oz na maelekezo chanya yaliyochaguliwa yanayoonyeshwa na mishale na kitengo cha kipimo cha makundi. Ikiwa kiwango cha sehemu ni sawa kwenye shoka zote tatu, basi mfumo kama huo unaitwa mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Kuratibu x inaitwa abscissa, y ni kuratibu, z ni applicate. Viwianishi vya nukta M vimeandikwa kwenye mabano M (x; y; z).

1.11 Vekta kuratibu katika nafasi

Katika nafasi tutafafanua mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz. Kutoka kwa asili ya kuratibu katika mwelekeo mzuri wa shoka Ox, Oy, Oz, tunachora vekta zinazolingana za kitengo. , , , ambazo huitwa vekta za kuratibu na sio coplanar. Kwa hivyo, vekta yoyote hutenganishwa katika vidhibiti vitatu visivyo vya coplanar, na kwa mgawo wa kipekee wa upanuzi x, y, z:

= x + y + z .

Migawo ya upanuzi x, y, z ni viwianishi vya vekta katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili, ambao umeandikwa katika mabano (x; y; z). Vekta ya sifuri ina kuratibu sawa na sifuri (0; 0; 0). Vectors sawa zina kuratibu zinazofanana.

Sheria za kupata kuratibu za vekta inayosababisha:

1. Wakati wa kufanya muhtasari wa vekta mbili au zaidi, kila uratibu wa vekta inayosababisha ni sawa na jumla ya kuratibu zinazofanana za vekta zilizopewa. Ikiwa vekta mbili (x 1; y 1; z 1) na (x 1; y 1; z 1) zimetolewa, basi jumla ya vekta + hutoa vekta na kuratibu (x 1 + x 1; y 1 + y). 1; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1; z 1 + z 1)

2. Tofauti ni aina ya jumla, hivyo tofauti ya kuratibu sambamba inatoa kila uratibu wa vekta iliyopatikana kwa kutoa vekta mbili zilizotolewa. Ikiwa vekta mbili zimepewa (x a; y a; z a) na (x b; y b; z b), basi tofauti ya vekta hutoa vekta na kuratibu (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a -y b; z a - z b)

3. Wakati wa kuzidisha vector kwa namba, kila uratibu wa vector kusababisha ni sawa na bidhaa ya nambari hii na kuratibu sambamba ya vector iliyotolewa. Ikiwa nambari k na vekta (x; y; z) zimetolewa, basi kuzidisha vekta kwa nambari k huipa vekta k na viwianishi.

k = (kx; ky; kz).

Kazi. Pata kuratibu za vector = 2 - 3 + 4, ikiwa kuratibu za vectors ni (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Suluhisho

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Kuratibu za vekta, vekta ya radius na uhakika

Kuratibu za vector ni kuratibu za mwisho wa vector ikiwa mwanzo wa vector umewekwa kwenye asili.

Vekta ya radius ni vekta inayotolewa kutoka asili hadi mahali fulani; kuratibu za vekta ya radius na uhakika ni sawa.

Ikiwa vector
inatolewa na pointi M 1 (x 1; y 1; z 1) na M 2 (x 2; y 2; z 2), basi kila moja ya kuratibu zake ni sawa na tofauti ya kuratibu zinazofanana za mwisho na. mwanzo wa vector

Kwa vekta za collinear = (x 1 ; y 1 ; z 1) na = (x 2 ; y 2}; z 2), ikiwa ≠ 0, kuna nambari moja k ambayo hukuruhusu kuelezea vekta kupitia:

= k

Kisha kuratibu za vector zinaonyeshwa kwa njia ya kuratibu za vector

= (kx 1; ky1; kz 1)

Uwiano wa kuratibu sambamba za vekta za collinear ni sawa na nambari ya umoja k

1.13 Urefu wa Vekta na umbali kati ya pointi mbili

Urefu wa vekta (x; y; z) ni sawa na mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya viwianishi vyake.

Urefu wa vekta uliobainishwa na sehemu za kuanzia M 1 (x 1; y 1; z 1) na mwisho M 2 (x 2; y 2; z 2) ni sawa na mzizi wa mraba wa jumla ya miraba. ya tofauti kati ya kuratibu sambamba za mwisho wa vector na mwanzo

Umbali d kati ya pointi mbili M 1 (x 1; y 1; z 1) na M 2 (x 2; y 2; z 2) ni sawa na urefu wa vekta.

Hakuna z kuratibu kwenye ndege

Umbali kati ya pointi M 1 (x 1 ; y 1) na M 2 (x 2; y 2)

1.14 Kuratibu za katikati ya sehemu

Ikiwa uhakika C ni katikati ya sehemu ya AB, kisha vekta ya radius ya uhakika C katika mfumo holela wa kuratibu wenye asili katika hatua O ni sawa na nusu ya jumla ya vekta za radius ya pointi A na B.

Ikiwa kuratibu za vekta
(x; y; z),
(x 1; y 1; z 1),
(x 2 ; y 2; z 2), basi kila kiratibu cha vekta ni sawa na nusu ya jumla ya viwianishi vya vekta husika na

,
,

= (x, y, z) =

Kila moja ya kuratibu za katikati ya sehemu ni sawa na nusu ya jumla ya kuratibu zinazofanana za mwisho wa sehemu.

1.15 Pembe kati ya vekta

Pembe kati ya vekta ni sawa na pembe kati ya miale inayotolewa kutoka kwa nukta moja na kuelekezwa na vekta hizi. Pembe kati ya vekta inaweza kuwa kutoka 0 0 hadi 180 0 pamoja. Pembe kati ya vekta za uelekezaji ni 0 0 . Ikiwa vector moja au zote mbili ni sifuri, basi angle kati ya vectors, angalau moja ambayo ni sifuri, ni sawa na 0 0 . Pembe kati ya vekta za pembeni ni 90 0. Pembe kati ya vekta zilizoelekezwa kinyume ni 180 0.

1.16 Makadirio ya Vekta

1.17 Bidhaa ya nukta ya vekta

Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni nambari (scalar) sawa na bidhaa ya urefu wa vekta na cosine ya pembe kati ya vekta.

Kama = 0 0 , basi vekta ni codirectional
Na
= cos 0 0 = 1, kwa hivyo, bidhaa ya scalar ya vekta za codirectional ni sawa na bidhaa ya urefu wao (moduli)

.

Ikiwa pembe kati ya vekta ni 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, kwa hiyo bidhaa ya scalar ni kubwa kuliko sifuri
.

Ikiwa vectors zisizo za sifuri ni perpendicular, basi bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri
, tangu cos 90 0 = 0. Bidhaa ya scalar ya vectors perpendicular ni sawa na sifuri.

Kama
, basi cosine ya pembe kati ya vectors vile ni chini ya sifuri
, kwa hiyo bidhaa ya scalar ni chini ya sifuri
.

Kadiri pembe kati ya vekta inavyoongezeka, cosine ya pembe kati yao
hupungua na kufikia thamani ya chini kabisa = 180 0 wakati vekta zimeelekezwa kinyume
. Kwa kuwa cos 180 0 = -1, basi
. Bidhaa ya scalar ya vectors iliyoelekezwa kinyume ni sawa na bidhaa hasi ya urefu wao (moduli).

Mraba wa scalar wa vekta ni sawa na moduli ya vekta ya mraba

Bidhaa ya dot ya vekta angalau moja ambayo ni sifuri ni sawa na sifuri.

1.18 Maana ya kimwili ya bidhaa ya scalar ya vekta

Kutoka kwa kozi ya fizikia inajulikana kuwa kazi iliyofanywa na A force wakati wa kusonga mwili sawa na bidhaa ya urefu wa nguvu na vekta za uhamishaji na cosine ya pembe kati yao, ambayo ni sawa na bidhaa ya scalar ya nguvu na vekta za uhamishaji.

Ikiwa vector ya nguvu ni codirectional na harakati ya mwili, basi angle kati ya vectors
= 0 0, kwa hiyo kazi iliyofanywa na nguvu juu ya uhamisho ni ya juu na sawa na A =
.

Ikiwa 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Ikiwa = 90 0, basi kazi iliyofanywa na nguvu ya uhamishaji ni sifuri A = 0.

kama 900< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Ikiwa vector ya nguvu inaelekezwa kinyume na harakati ya mwili, basi angle kati ya vectors = 180 0, kwa hiyo kazi ya nguvu juu ya harakati ni mbaya na sawa na A = -.

Kazi. Amua kazi iliyofanywa na mvuto wakati wa kuinua gari la abiria lenye uzito wa tani 1 kando ya barabara yenye urefu wa kilomita 1 na angle ya mwelekeo wa 30 0 hadi upeo wa macho. Ni lita ngapi za maji kwa joto la 20 0 zinaweza kuchemshwa kwa kutumia nishati hii?

Suluhisho

Kazi Mvuto wakati wa kusonga mwili, ni sawa na bidhaa ya urefu wa vekta na cosine ya pembe kati yao, ambayo ni sawa na bidhaa ya scalar ya veta za mvuto na uhamishaji.

Mvuto

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10,000 N.

= 1000 m.

Pembe kati ya vekta = 120 0 . Kisha

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - dhambi 30 0 = - 0.5.

Hebu tubadilishe

A = 10,000 N · 1000 m · (-0.5) = - 5,000,000 J = - 5 MJ.

1.19 Bidhaa ya nukta ya vekta katika kuratibu

Bidhaa ya dot ya vekta mbili = (x 1; y 1; z 1) na = (x 2 ; y 2; z 2) katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ni sawa na jumla ya bidhaa za kuratibu za jina moja.

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Hali ya perpendicularity ya vekta

Ikiwa vekta zisizo za sifuri = (x 1; y 1; z 1) na = (x 2; y 2}; z 2) ni za pembeni, basi bidhaa zao za scalar ni sifuri.

Ikiwa vekta moja isiyo ya sifuri = (x 1 ; y 1; z 1) imetolewa, basi viwianishi vya vekta perpendicular (kawaida) kwake = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) lazima vikidhi usawa.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Kuna idadi isiyo na kikomo ya vekta kama hizo.

Ikiwa vekta moja isiyo ya sifuri = (x 1; y 1) imetolewa kwenye ndege, basi viwianishi vya vekta perpendicular (ya kawaida) kwake = (x 2; y 2) lazima vikidhi usawa.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Ikiwa vector isiyo ya sifuri = (x 1; y 1) imetolewa kwenye ndege, basi inatosha kuweka kiholela moja ya kuratibu za vector perpendicular (kawaida) kwake = (x 2; y 2) na kutoka. hali ya perpendicularity ya vectors

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

eleza uratibu wa pili wa vector.

Kwa mfano, ikiwa utabadilisha kuratibu kiholela x 2, basi

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Kuratibu vekta ya pili

Ikiwa tunatoa x 2 = y 1, basi uratibu wa pili wa vector

Ikiwa vector isiyo ya sifuri = (x 1; y 1) inatolewa kwenye ndege, basi vector perpendicular (kawaida) kwa hiyo = (y 1; -x 1).

Ikiwa moja ya kuratibu za vector isiyo ya sifuri ni sawa na sifuri, basi vector ina uratibu sawa si sawa na sifuri, na uratibu wa pili ni sawa na sifuri. Vectors vile hulala kwenye axes za kuratibu na kwa hiyo ni perpendicular.

Wacha tufafanue vekta ya pili inayoendana na vekta = (x 1; y 1), lakini kinyume na vekta. , yaani, vector -. Kisha inatosha kubadilisha ishara za kuratibu za vector

- = (-y 1; x 1)

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Kazi.

Suluhisho

Kuratibu za vekta mbili perpendicular kwa vekta = (x 1; y 1) kwenye ndege

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Viwianishi vya vekta mbadala = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

haki!

3 · 5 + (-5) · 3 = 15 - 15 = 0

haki!

Jibu: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Ikiwa tutaweka x 2 = 1, mbadala

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Tunapata kuratibu y 2 ya vector perpendicular kwa vector = (x 1; y 1)

Ili kupata vekta ya pili perpendicular kwa vector = (x 1; y 1), lakini kinyume na vector. . Hebu

Kisha inatosha kubadilisha ishara za kuratibu za vector.

Kuratibu za vekta mbili perpendicular kwa vekta = (x 1; y 1) kwenye ndege

Kazi. Vekta iliyotolewa = (3; -5). Pata vekta mbili za kawaida zilizo na mwelekeo tofauti.

Suluhisho

Kuratibu za vekta mbili perpendicular kwa vekta = (x 1; y 1) kwenye ndege

Kuratibu za vector moja

Kuratibu za vector ya pili

Kuangalia perpendicularity ya vectors, tunabadilisha kuratibu zao katika hali ya perpendicularity ya vectors.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

haki!

3·(-1) + (-5)·(-0.6) = -3 + 3 = 0

haki!

Jibu: na.

Ukikabidhi x 2 = - x 1 , mbadala

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Tunapata uratibu wa vector perpendicular kwa vector

Ukikabidhi x 2 = x 1 , badilisha

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Tunapata uratibu wa y wa vector ya pili perpendicular kwa vector

Viwianishi vya vekta moja inayoendana na vekta kwenye ndege = (x 1; y 1)

Kuratibu za vekta ya pili perpendicular kwa vekta kwenye ndege = (x 1; y 1)

Kuratibu za vekta mbili perpendicular kwa vekta = (x 1; y 1) kwenye ndege

1.21 Kosini ya pembe kati ya vekta

Kosine ya pembe kati ya vekta mbili zisizo za sifuri = (x 1; y 1; z 1) na = (x 2; y 2; z 2) ni sawa na bidhaa ya scalar ya vekta iliyogawanywa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi

Kama
= 1, basi angle kati ya vectors ni 0 0, vectors ni ushirikiano wa mwelekeo.

Ikiwa 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Ikiwa = 0, basi angle kati ya vectors ni 90 0, vectors ni perpendicular.

Ikiwa -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Ikiwa = -1, basi angle kati ya vectors ni 180 0, vectors ni kinyume chake.

Ikiwa vector inatolewa na kuratibu za mwanzo na mwisho, kisha kuondoa kuratibu za mwanzo kutoka kwa kuratibu zinazofanana za mwisho wa vector, tunapata kuratibu za vector hii.

Kazi. Pata pembe kati ya vekta (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Suluhisho

Bidhaa ya dot ya vekta

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

kwa hivyo pembe kati ya veta ni sawa na = 90 0 .

1.22 Sifa za bidhaa ya scalar ya vekta

Mali ya bidhaa ya scalar ni halali kwa yoyote , , , k :

1.
, Kama
, Hiyo
, Kama =, Hiyo
= 0.

2. Sheria ya kusafiri

3. Sheria ya usambazaji

4. Sheria ya mchanganyiko
.

1.23 Vekta ya moja kwa moja

Vector ya mwelekeo wa mstari ni vector isiyo ya sifuri iliyolala kwenye mstari au kwenye mstari unaofanana na mstari uliopewa.

Ikiwa mstari wa moja kwa moja unafafanuliwa na pointi mbili M 1 (x 1; y 1; z 1) na M 2 (x 2; y 2; z 2), basi mwongozo ni vector.
au vector yake kinyume
= - , ambaye anaratibu

Inashauriwa kuweka mfumo wa kuratibu ili mstari upite kupitia asili ya kuratibu, basi kuratibu za hatua pekee kwenye mstari zitakuwa kuratibu za vector ya mwelekeo.

Kazi. Kuamua kuratibu za vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Suluhisho

Vekta ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) imeonyeshwa.
. Kila moja ya kuratibu zake ni sawa na tofauti kati ya kuratibu zinazofanana za mwisho na mwanzo wa vector

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Wacha tuonyeshe vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu na mwanzo kwa uhakika M 1, na mwisho kwa uhakika M 2 na vector sawa.
kutoka asili na mwisho kwa uhakika M (-1; 1; 0)

1.24 Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka

Chaguzi zinazowezekana kwa nafasi ya jamaa ya mistari 2 iliyonyooka kwenye ndege na pembe kati ya mistari iliyonyooka:

1. Mistari ya moja kwa moja huingiliana kwa hatua moja, na kutengeneza pembe 4, jozi 2 za pembe za wima ni sawa kwa jozi. Pembe φ kati ya mistari miwili inayoingiliana ni pembe isiyozidi pembe nyingine tatu kati ya mistari hii. Kwa hivyo, pembe kati ya mistari ni φ ≤ 90 0.

Mistari inayokatiza inaweza kuwa, haswa, perpendicular kwa φ = 90 0.

Chaguzi zinazowezekana kwa nafasi ya jamaa ya mistari 2 moja kwa moja kwenye nafasi na pembe kati ya mistari iliyonyooka:

1. Mistari ya moja kwa moja huingiliana kwa hatua moja, na kutengeneza pembe 4, jozi 2 za pembe za wima ni sawa kwa jozi. Pembe φ kati ya mistari miwili inayoingiliana ni pembe isiyozidi pembe nyingine tatu kati ya mistari hii.

2. Mistari ni sambamba, yaani, hazifanani na haziingiliani, φ=0 0 .

3. Mistari sanjari, φ = 0 0 .

4. Mistari huingiliana, yaani, haiingii katika nafasi na sio sambamba. Pembe φ kati ya mistari inayokatiza ni pembe kati ya mistari iliyochorwa sambamba na mistari hii ili iweze kukatiza. Kwa hivyo, pembe kati ya mistari ni φ ≤ 90 0.

Pembe kati ya mistari 2 iliyonyooka ni sawa na pembe kati ya mistari iliyonyooka inayochorwa sambamba na mistari hii iliyonyooka kwenye ndege moja. Kwa hivyo, pembe kati ya mistari ni 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Pembe θ (theta) kati ya vekta na 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Ikiwa pembe φ kati ya mistari α na β ni sawa na pembe θ kati ya vekta za mwelekeo wa mistari hii φ = θ, basi

cos φ = cos θ.

Ikiwa pembe kati ya mistari ya moja kwa moja ni φ = 180 0 - θ, basi

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Kwa hivyo, cosine ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni sawa na moduli ya cosine ya pembe kati ya vekta.

cos φ = |cos θ|.

Ikiwa kuratibu za vekta zisizo za sifuri = (x 1; y 1; z 1) na = (x 2; y 2; z 2) zimetolewa, basi cosine ya pembe θ kati yao.

Kosine ya pembe kati ya mistari ni sawa na moduli ya cosine ya pembe kati ya vekta za mwelekeo wa mistari hii.

cos φ = |cos θ| =

Mistari ni vitu sawa vya kijiometri, kwa hivyo kazi sawa za trigonometric cos zipo kwenye fomula.

Ikiwa kila moja ya mistari miwili inatolewa na pointi mbili, basi inawezekana kuamua vectors ya mwelekeo wa mistari hii na cosine ya angle kati ya mistari.

Kama cos φ = 1, basi angle φ kati ya mistari ni sawa na 0 0, tunaweza kuchukua kwa mistari hii moja ya vectors mwelekeo wa mistari hii, mistari ni sambamba au sanjari. Ikiwa mistari hailingani, basi ni sawa. Ikiwa mistari inalingana, basi hatua yoyote kwenye mstari mmoja ni ya mstari mwingine.

Ikiwa 0< cos φ ≤ 1, kisha pembe kati ya mistari ni 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Kama cos φ = 0, basi angle φ kati ya mistari ni 90 0 (mistari ni perpendicular), mistari inapita au kuvuka.

Kazi. Tambua pembe kati ya mistari ya moja kwa moja M 1 M 3 na M 2 M 3 na kuratibu za pointi M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) na M 3 (0; 0; 1).

Suluhisho

Wacha tutengeneze vidokezo na mistari katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz.

Tunaelekeza vectors ya mwelekeo wa mistari ili angle θ kati ya vectors inafanana na angle φ kati ya mistari iliyotolewa. Wacha tuwakilishe vekta =
na =
, pamoja na pembe θ na φ:

Hebu tuamue kuratibu za vectors na

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 na shoka + kwa + cz = 0;

Ndege ni sambamba na mhimili wa kuratibu, jina ambalo halipo katika equation ya ndege na, kwa hiyo, mgawo unaofanana ni sifuri, kwa mfano, saa c = 0, ndege ni sambamba na mhimili wa Oz na haifanyi. vyenye z katika shoka ya equation + kwa + d = 0;

Ndege ina mhimili huo wa kuratibu, jina ambalo halipo, kwa hivyo, mgawo unaolingana ni sifuri na d = 0, kwa mfano, na c = d = 0, ndege ni sambamba na mhimili wa Oz na haina z in. shoka ya equation + kwa = 0;

Ndege ni sawa na ndege ya kuratibu, alama ambazo hazipo katika equation ya ndege na, kwa hiyo, coefficients sambamba ni sifuri, kwa mfano, kwa b = c = 0, ndege ni sawa na ndege ya kuratibu Oyz. na haina y, z katika shoka ya equation + d = 0.

Ikiwa ndege inaambatana na ndege ya kuratibu, basi equation ya ndege kama hiyo ni sawa na sifuri ya uteuzi wa mhimili wa kuratibu kwa ndege ya kuratibu iliyopewa, kwa mfano, wakati x = 0, ndege iliyopewa ni ndege ya kuratibu. Oyz.

Kazi. Vector ya kawaida hutolewa na equation

Wasilisha equation ya ndege katika fomu ya kawaida.

Suluhisho

Kuratibu za vector za kawaida

A; b; c), basi unaweza kubadilisha viwianishi vya nukta M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) na kuratibu a, b, c ya vekta ya kawaida kwenye equation ya jumla ya ndege.

shoka + kwa + cz + d = 0 (1)

Tunapata equation na d moja isiyojulikana

shoka 0 + kwa 0 + cz 0 + d = 0

Kutoka hapa

d = -(shoka 0 + kwa 0 + cz 0)

Mlinganyo wa ndege (1) baada ya kubadilisha d

shoka + kwa + cz - (shoka 0 + kwa 0 + cz 0) = 0

Tunapata equation ya ndege inayopitia hatua M 0 (x 0; y 0; z 0) perpendicular kwa vector isiyo ya sifuri. (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Hebu tufungue mabano

shoka - shoka 0 + kwa - kwa 0 + cz - cz 0 = 0

shoka + kwa + cz - shoka 0 - kwa 0 - cz 0 = 0

Hebu kuashiria

d = - shoka 0 - kwa 0 - cz 0

Tunapata equation ya jumla ya ndege

shoka + kwa + cz + d = 0.

1.29 Mlinganyo wa ndege inayopita pointi mbili na asili

shoka + kwa + cz + d = 0.

Inashauriwa kuweka mfumo wa kuratibu ili ndege ipite kupitia asili ya mfumo huu wa kuratibu. Pointi M 1 (x 1; y 1; z 1) na M 2 (x 2; y 2}; z 2) ziko kwenye ndege hii lazima zibainishwe ili mstari wa moja kwa moja unaounganisha nukta hizi usipitie asili.

Ndege itapitia asili, hivyo d = 0. Kisha equation ya jumla ya ndege inachukua fomu.

shoka + kwa + cz = 0.

Kuna coefficients 3 zisizojulikana a, b, c. Kubadilisha viwianishi vya pointi mbili katika equation ya jumla ya ndege inatoa mfumo wa 2 equations. Ikiwa tutachukua mgawo fulani katika usawa wa jumla wa ndege sawa na moja, basi mfumo wa equations 2 utatuwezesha kuamua coefficients 2 zisizojulikana.

Ikiwa moja ya kuratibu za nukta ni sifuri, basi mgawo unaolingana na uratibu huu unachukuliwa kama moja.

Ikiwa hatua fulani ina viwianishi viwili vya sifuri, basi mgawo unaolingana na mojawapo ya viwianishi hivi vya sifuri huchukuliwa kama moja.

Iwapo a = 1 inakubaliwa, basi mfumo wa milinganyo 2 utaturuhusu kubaini mgawo 2 usiojulikana b na c:

Ni rahisi kusuluhisha mfumo wa milinganyo hii kwa kuzidisha mlinganyo kwa nambari kiasi kwamba mgawo wa baadhi isiyojulikana huwa sawa. Kisha tofauti ya equations itatuwezesha kuondokana na hii haijulikani na kuamua mwingine haijulikani. Kubadilisha kupatikana haijulikani katika equation yoyote itakuruhusu kuamua pili haijulikani.

1.30 Mlinganyo wa ndege inayopita pointi tatu

Hebu tujue coefficients ya equation ya jumla ya ndege

shoka + kwa + cz + d = 0,

kupitia pointi M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2) na M 3 (x 3; y 3; z 3). Pointi zisiwe na viwianishi viwili vinavyofanana.

Kuna viambajengo 4 visivyojulikana a, b, c na d. Kubadilisha viwianishi vya pointi tatu katika equation ya jumla ya ndege inatoa mfumo wa 3 equations. Chukua mgawo fulani katika usawa wa jumla wa ndege sawa na umoja, basi mfumo wa equations 3 utakuwezesha kuamua coefficients 3 zisizojulikana. Kawaida a = 1 inakubaliwa, basi mfumo wa equations 3 utaturuhusu kuamua coefficients 3 zisizojulikana b, c na d:

Ni bora kutatua mfumo wa equations kwa kuondoa haijulikani (njia ya Gauss). Unaweza kupanga upya milinganyo kwenye mfumo. Mlinganyo wowote unaweza kuzidishwa au kugawanywa na mgawo wowote usio sawa na sifuri. Milinganyo yoyote miwili inaweza kuongezwa na mlinganyo unaotokana unaweza kuandikwa badala ya mojawapo ya milinganyo miwili iliyoongezwa. Wasiojulikana hawajumuishwi kwenye milinganyo kwa kupata mgawo wa sifuri mbele yao. Katika equation moja, kawaida ya chini kabisa, kuna kigezo kimoja kilichosalia ambacho kimedhamiriwa. Tofauti iliyopatikana inabadilishwa kuwa equation ya pili kutoka chini, ambayo kwa kawaida huacha 2 haijulikani. Milinganyo hutatuliwa kutoka chini hadi juu na coefficients zote zisizojulikana zimedhamiriwa.

Coefficients huwekwa mbele ya zisizojulikana, na masharti yasiyo na haijulikani huhamishiwa upande wa kulia wa milinganyo.

Mstari wa juu kwa kawaida huwa na mlinganyo ambao una mgawo wa 1 kabla ya wa kwanza au usiojulikana wowote, au mlinganyo wote wa kwanza umegawanywa na mgawo kabla ya ile ya kwanza isiyojulikana. Katika mfumo huu wa milinganyo, gawanya mlinganyo wa kwanza na y 1

Kabla ya haijulikani ya kwanza tulipata mgawo wa 1:

Ili kuweka upya mgawo mbele ya kigezo cha kwanza cha mlingano wa pili, zidisha mlinganyo wa kwanza kwa -y 2, uongeze kwenye mlinganyo wa pili, na uandike mlinganyo unaotokana badala ya mlinganyo wa pili. Ya kwanza isiyojulikana katika equation ya pili itaondolewa kwa sababu

y 2 b - y 2 b = 0.

Vile vile, tunaondoa ile ya kwanza isiyojulikana katika mlinganyo wa tatu kwa kuzidisha equation ya kwanza kwa -y 3, kuiongeza kwenye equation ya tatu na kuandika equation inayosababisha badala ya equation ya tatu. Ya kwanza isiyojulikana katika equation ya tatu pia itaondolewa kwa sababu

y 3 b - y 3 b = 0.

Vile vile, tunaondoa pili isiyojulikana katika equation ya tatu. Tunatatua mfumo kutoka chini kwenda juu.

Kazi.

shoka + kwa + cz + d = 0,

kupita pointi M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) na y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Ndege iliyoainishwa ni ndege ya kuratibu Oyz.

Kazi. Amua equation ya jumla ya ndege

shoka + kwa + cz + d = 0,

kupitia pointi M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) na M 3 (0; 0; 1). Tafuta umbali kutoka kwa ndege hii hadi kumweka M 0 (10; -3; -7).

Suluhisho

Wacha tujenge alama zilizopewa katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz.

Tukubali a= 1. Kubadilisha viwianishi vya pointi tatu katika equation ya jumla ya ndege inatoa mfumo wa milinganyo 3.

ℓ =

Kurasa za wavuti: 1 2 Vekta kwenye ndege na angani (inaendelea)

Mashauriano na Andrey Georgievich Olshevsky juu Skype da.hasira.ru

    Maandalizi ya wanafunzi na watoto wa shule katika hisabati, fizikia, sayansi ya kompyuta, watoto wa shule ambao wanataka kupata pointi nyingi (Sehemu C) na wanafunzi dhaifu kwa Mtihani wa Jimbo (GIA) na Mtihani wa Jimbo la Umoja. Uboreshaji wa wakati mmoja wa utendaji wa sasa wa kitaaluma kwa kuendeleza kumbukumbu, kufikiri, na maelezo ya wazi ya uwasilishaji tata, wa kuona wa vitu. Mbinu maalum kwa kila mwanafunzi. Maandalizi ya Olympiads ambayo hutoa faida kwa kiingilio. Miaka 15 ya uzoefu kuboresha ufaulu wa wanafunzi.

    Hisabati ya juu, aljebra, jiometri, nadharia ya uwezekano, takwimu za hisabati, programu linear.

    Ufafanuzi wazi wa nadharia, kufunga mapengo katika uelewa, mbinu za kufundisha za kutatua matatizo, kushauriana wakati wa kuandika kozi na diploma.

    Anga, roketi na injini za magari. Hypersonic, ramjet, roketi, mlipuko wa mapigo, msukumo, turbine ya gesi, injini za mwako za ndani za pistoni - nadharia, muundo, hesabu, nguvu, muundo, teknolojia ya utengenezaji. Thermodynamics, uhandisi wa joto, mienendo ya gesi, majimaji.

    Anga, aeromechanics, aerodynamics, mienendo ya ndege, nadharia, kubuni, aerohydromechanics. Ndege za Ultralight, ekranoplanes, ndege, helikopta, roketi, makombora ya kusafiri, hovercraft, ndege, propela - nadharia, muundo, hesabu, nguvu, muundo, teknolojia ya utengenezaji.

    Uzalishaji na utekelezaji wa mawazo. Misingi ya utafiti wa kisayansi, njia za kizazi, utekelezaji wa mawazo ya kisayansi, uvumbuzi, biashara. Mbinu za kufundisha za kutatua shida za kisayansi na shida za uvumbuzi. Kisayansi, uvumbuzi, uandishi, ubunifu wa uhandisi. Taarifa, uteuzi, suluhisho la shida muhimu zaidi za kisayansi, uvumbuzi na maoni.

    Uchapishaji wa matokeo ya ubunifu. Jinsi ya kuandika na kuchapisha makala ya kisayansi, kuomba uvumbuzi, kuandika, kuchapisha kitabu. Nadharia ya uandishi, kutetea tasnifu. Kupata pesa kutoka kwa mawazo na uvumbuzi. Kushauriana katika uundaji wa uvumbuzi, kuandika maombi ya uvumbuzi, nakala za kisayansi, matumizi ya uvumbuzi, vitabu, monographs, tasnifu. Uandishi mwenza wa uvumbuzi, nakala za kisayansi, monographs.

    Mechanics ya kinadharia (teormekh), nguvu ya vifaa (nguvu ya vifaa), sehemu za mashine, nadharia ya mitambo na mashine (TMM), teknolojia ya uhandisi wa mitambo, taaluma za kiufundi.

    Misingi ya kinadharia ya uhandisi wa umeme (TOE), vifaa vya elektroniki, misingi ya umeme wa dijiti na analog.

    Jiometri ya uchambuzi, jiometri ya maelezo, michoro ya uhandisi, kuchora. Picha za kompyuta, programu ya michoro, michoro katika AutoCAD, NanoCAD, photomontage.

    Mantiki, grafu, miti, hisabati tupu.

    OpenOffice na LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, macros, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Uundaji wa programu, michezo kwa Kompyuta, kompyuta za mkononi, vifaa vya rununu. Matumizi ya programu za bure zilizotengenezwa tayari, injini za chanzo wazi.

    Uundaji, uwekaji, ukuzaji, upangaji wa tovuti, duka za mkondoni, kupata pesa kwenye wavuti, muundo wa wavuti.

    Sayansi ya kompyuta, mtumiaji wa Kompyuta: maandishi, majedwali, mawasilisho, mafunzo ya kuandika kwa kasi katika saa 2, hifadhidata, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, mitandao, barua pepe.

    Ufungaji na ukarabati wa kompyuta za stationary na laptops.

    Bloga ya video, kuunda, kuhariri, kuchapisha video, kuhariri video, kutengeneza pesa kutoka kwa blogi za video.

    Uchaguzi, kufikia malengo, kupanga.

    Mafunzo ya kupata pesa kwenye mtandao: blogger, blogger video, programu, tovuti, duka la mtandaoni, makala, vitabu, nk.

Unaweza kusaidia maendeleo ya tovuti, kulipa huduma za ushauri wa Andrey Georgievich Olshevsky

10.15.17 Olshevsky Andrey Georgievichbarua pepe:[barua pepe imelindwa]

Upekee wa coefficients ya mchanganyiko wa mstari unathibitishwa kwa njia sawa na katika corollary ya awali.

Matokeo: Vekta zote nne zinategemea mstari

Sura ya 4. Dhana ya msingi. Mali ya vector katika msingi fulani

Ufafanuzi:Msingi katika nafasi ni mara tatu ya vekta zisizo za coplanar zilizoagizwa.

Ufafanuzi:Msingi kwenye ndege ni jozi yoyote iliyoagizwa ya vekta zisizo za mstari.

Msingi katika nafasi huruhusu kila vekta kuhusishwa kipekee na nambari tatu zilizoamriwa - mgawo wa kuwakilisha vekta hii katika mfumo wa mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi. Kinyume chake, tunahusisha vekta na kila nambari tatu zilizoamriwa kwa kutumia msingi ikiwa tutafanya mchanganyiko wa mstari.

Nambari zinaitwa vipengele (au kuratibu ) vekta kwa misingi fulani (iliyoandikwa).

Nadharia: Wakati wa kuongeza vectors mbili, kuratibu zao huongezwa. Wakati vekta inapozidishwa na nambari, kuratibu zote za vekta huzidishwa na nambari hiyo.

Kweli, ikiwa , Hiyo

Ufafanuzi na mali ya kuratibu za vector kwenye ndege ni sawa. Unaweza kuziunda kwa urahisi mwenyewe.

Sura ya 5. Makadirio ya Vector

Chini ya pembe kati ya vekta inarejelea pembe kati ya vekta sawa na data na kuwa na asili ya kawaida. Ikiwa mwelekeo wa kumbukumbu ya pembe haujainishwa, basi angle kati ya vectors inachukuliwa kuwa angle ambayo haizidi π. Ikiwa moja ya vectors ni sifuri, basi angle inachukuliwa kuwa sawa na sifuri. Ikiwa pembe kati ya vectors ni sawa, basi vectors huitwa ya orthogonal .

Ufafanuzi:Makadirio ya Orthogonal vekta kwa mwelekeo wa vector inayoitwa scalar quantity , φ - angle kati ya vectors (Mchoro 9).

Moduli ya kiasi hiki cha scalar ni sawa na urefu wa sehemu O.A. 0 .

Ikiwa pembe φ ni ya papo hapo, makadirio ni chanya; ikiwa pembe φ ni butu, makadirio ni hasi; ikiwa pembe φ ni sawa, makadirio ni sifuri.

Kwa makadirio ya orthogonal, pembe kati ya makundi O.A. 0 Na A.A. 0 moja kwa moja. Kuna makadirio ambayo angle hii ni tofauti na pembe ya kulia.

Makadirio ya vekta yana sifa zifuatazo:

Msingi unaitwa ya orthogonal , ikiwa vekta zake ni za orthogonal za pande mbili.

Msingi wa orthogonal unaitwa ya kawaida , ikiwa vekta zake ni sawa kwa urefu na moja. Kwa msingi wa kawaida katika nafasi, nukuu hutumiwa mara nyingi.

Nadharia: Kwa msingi wa kawaida, kuratibu za vekta ni makadirio ya orthogonal ya vector hii kwenye maelekezo ya vectors ya kuratibu.

Mfano: Acha vekta ya urefu wa kitengo kuunda pembe φ na vekta ya msingi wa kawaida kwenye ndege, kisha .

Mfano: Hebu vector ya urefu wa kitengo kuunda pembe α, β, γ na vectors, na ya msingi wa kawaida katika nafasi, kwa mtiririko huo (Mchoro 11), kisha. Aidha. Kiasi cha cosα, cosβ, cosγ huitwa cosine za mwelekeo wa vekta

Sura ya 6. Bidhaa ya nukta

Ufafanuzi: Bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni nambari sawa na bidhaa ya urefu wa vectors hizi na cosine ya angle kati yao. Ikiwa moja ya vectors ni sifuri, bidhaa ya scalar inachukuliwa kuwa sawa na sifuri.

Bidhaa ya scalar ya vekta na inaonyeshwa na [au ; au]. Ikiwa φ ni pembe kati ya vekta na , basi .

Bidhaa ya scalar ina mali zifuatazo:

Nadharia: Kwa msingi wa orthogonal, vifaa vya vekta yoyote hupatikana kulingana na fomula:

Kwa kweli, let , na kila neno ni collinear kwa vekta ya msingi inayolingana. Kutoka kwa nadharia ya sehemu ya pili inafuata kwamba , ambapo ishara ya kuongeza au minus imechaguliwa kulingana na ikiwa vectors , na inaelekezwa kwa njia sawa au kinyume. Lakini, , wapi φ ni pembe kati ya vekta, na. Kwa hiyo, . Vipengele vilivyobaki vinahesabiwa sawa.

Bidhaa ya dot hutumiwa kutatua matatizo ya msingi yafuatayo:

1. ; 2. ; 3. .

Wacha veta zipewe kwa msingi fulani, na kisha, kwa kutumia mali ya bidhaa ya scalar, tunaweza kuandika:

Kiasi huitwa mgawo wa metriki wa msingi fulani. Kwa hiyo .

Nadharia: Katika msingi wa kawaida

;
;
;
.

Maoni: Hoja zote katika sehemu hii zimetolewa kwa kesi ya eneo la vekta kwenye nafasi. Kesi ya vectors iko kwenye ndege hupatikana kwa kuondoa vipengele visivyohitajika. Mwandishi anapendekeza ufanye hivi mwenyewe.

Sura ya 7. Bidhaa ya Vector

Mara tatu iliyoagizwa ya vekta zisizo za coplanar inaitwa yenye mwelekeo wa kulia (haki ), ikiwa baada ya maombi kwa asili ya kawaida kutoka mwisho wa vector ya tatu, zamu fupi kutoka kwa vector ya kwanza hadi ya pili inaonekana kinyume cha saa. Vinginevyo, mara tatu iliyoagizwa ya vectors zisizo za coplanar inaitwa mwenye mwelekeo wa kushoto (kushoto ).

Ufafanuzi: Bidhaa ya msalaba ya vekta na vekta ni vekta ambayo inakidhi masharti:

Ikiwa moja ya vectors ni sifuri, basi bidhaa ya msalaba ni vector sifuri.

Bidhaa ya msalaba ya vector na vector inaashiria (au).

Nadharia: Hali ya lazima na ya kutosha kwa collinearity ya vekta mbili ni kwamba bidhaa zao za vekta ni sawa na sifuri.

Nadharia: Urefu (moduli) wa bidhaa ya vekta ya vekta mbili ni sawa na eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta hizi kama pande.

Mfano: Ikiwa ni msingi sahihi wa kawaida, basi , , .

Mfano: Ikiwa ni msingi wa kushoto wa kawaida, basi , , .

Mfano: Wacha iwe orthogonal kwa . Kisha hupatikana kutoka kwa vector kwa kuzunguka kwa saa karibu na vector (kama inavyoonekana kutoka mwisho wa vector).