Baadhi ya sifa za pembetatu za kulia. Pembetatu ya kulia

Upande a inaweza kutambuliwa kama karibu na pembe B Na kinyume na pembe A, na upande b- Vipi karibu na pembe A Na kinyume na pembe B.

Aina za Pembetatu za Kulia

Ikiwa urefu wa pande zote tatu za pembetatu ya kulia ni nambari kamili, basi pembetatu inaitwa Pembetatu ya Pythagorean, na urefu wa pande zake huunda kinachojulikana Pythagorean mara tatu.

Mali

Urefu

Urefu wa pembetatu ya kulia.

Uwiano wa trigonometric

Hebu h Na s (h>s) pande za miraba miwili iliyoandikwa katika pembetatu ya kulia na hypotenuse c. Kisha:

Mzunguko wa pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya radii ya miduara iliyoandikwa na tatu iliyozunguka.

Vidokezo

Viungo

Weisstein, Eric W. Pembetatu ya Kulia (Kiingereza) kwenye tovuti ya Wolfram MathWorld.
Wentworth G.A. Kitabu cha maandishi cha Jiometri. - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Pembetatu ya Kulia" ni nini katika kamusi zingine:

pembetatu ya kulia- - Mada sekta ya mafuta na gesi EN pembetatu ya kulia ... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi

Na (rahisi) trigon, pembetatu, mtu. 1. Kielelezo cha kijiometri kilichofungwa na mistari mitatu inayoingiliana inayounda pembe tatu za ndani (mat.). Pembetatu iliyozuiliwa. Pembetatu ya papo hapo. Pembetatu ya kulia.…… Kamusi ya ufafanuzi ya Ushakov

MTANDAO, mstatili, mstatili (geom.). Kuwa na pembe ya kulia (au pembe ya kulia). Pembetatu ya kulia. Maumbo ya mstatili. Kamusi ya ufafanuzi ya Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Kamusi ya ufafanuzi ya Ushakov

Neno hili lina maana zingine, angalia Pembetatu (maana). Pembetatu (katika nafasi ya Euclidean) ni takwimu ya kijiometri inayoundwa na sehemu tatu zinazounganisha pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa. Nukta tatu,... ... Wikipedia

pembetatu- ▲ poligoni yenye pembe tatu, pembetatu, poligoni rahisi zaidi; inafafanuliwa na pointi 3 ambazo hazilala kwenye mstari huo huo. pembetatu. angle ya papo hapo. papo hapo-angled. pembetatu ya kulia: mguu. hypotenuse. pembetatu ya isosceles. ▼…… Kamusi ya Kiitikadi ya Lugha ya Kirusi

TRIANGLE, aha, mume. 1. Kielelezo cha kijiometri, poligoni yenye pembe tatu, pamoja na kitu chochote au kifaa cha sura hii. Mstatili t. T. ya askari (barua ya askari isiyo na bahasha, iliyokunjwa kwenye kona; inayoweza kukunjwa). 2... Kamusi ya Ufafanuzi ya Ozhegov

Pembetatu (poligoni)- Pembetatu: 1 papo hapo, mstatili na obtuse; 2 za kawaida (sawa) na isosceles; 3 bisectors; 4 medians na kituo cha mvuto; 5 urefu; 6 orthocenter; 7 mstari wa kati. TRIANGLE, poligoni yenye pande 3. Wakati mwingine chini ya ...... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Kamusi ya encyclopedic

pembetatu- A; m. 1) a) Kielelezo cha kijiometri kilichofungwa na mistari mitatu inayokatiza inayounda pembe tatu za ndani. Mstatili, pembetatu ya isosceles. Kuhesabu eneo la pembetatu. b) ot. nini au na def. Kielelezo au kitu cha umbo hili...... Kamusi ya misemo mingi

A; m. 1. Kielelezo cha kijiometri kilichofungwa na mistari mitatu inayoingiliana inayounda pembe tatu za ndani. Mstatili, isosceles t. // nini au na def. Kielelezo au kitu cha umbo hili. T. paa. T.…… Kamusi ya encyclopedic

Maagizo

Pembe zilizo kinyume na miguu a na b zitaonyeshwa na A na B, kwa mtiririko huo, hypotenuse, kwa ufafanuzi, ni upande wa pembetatu ya kulia ambayo ni kinyume na pembe ya kulia (wakati hypotenuse inaunda pembe za papo hapo na pande zingine za pembetatu. pembetatu). Tunaashiria urefu wa hypotenuse kwa c.

Utahitaji:
Kikokotoo.

Tumia usemi ufuatao kwa mguu: a=sqrt(c^2-b^2), ikiwa unajua maadili ya hypotenuse na mguu mwingine. Usemi huu unatokana na nadharia ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba mraba wa hypotenuse ya pembetatu ni jumla ya mraba wa miguu. Opereta wa sqrt huchota mizizi ya mraba. Ishara "^2" inamaanisha kuinua kwa nguvu ya pili.

Tumia fomula a=c*sinA ikiwa unajua hypotenuse (c) na pembe iliyo kinyume na inayotaka (tuliashiria pembe hii kama A).
Tumia usemi a=c*cosB kupata mguu ikiwa unajua hypotenuse (c) na pembe iliyo karibu na mguu unaotaka (tuliashiria pembe hii kama B).
Piga hesabu ya mguu kutoka a=b*tgA katika kesi ambapo mguu b na pembe kinyume na mguu unaotaka hutolewa (tulikubali kuashiria pembe hii kama A).

Kumbuka:
Ikiwa katika tatizo lako mguu haupatikani kwa njia yoyote iliyoelezwa, uwezekano mkubwa unaweza kupunguzwa kwa mmoja wao.

Vidokezo vya Kusaidia:
Maneno haya yote yanapatikana kutoka kwa ufafanuzi unaojulikana wa kazi za trigonometric, kwa hiyo, hata ukisahau mojawapo yao, unaweza kuipata haraka kwa kutumia shughuli rahisi. Pia ni muhimu kujua maadili ya kazi za trigonometric kwa pembe za kawaida za digrii 30, 45, 60, 90, 180.

Video kwenye mada

Vyanzo:

"Mwongozo wa hisabati kwa wale wanaoingia vyuo vikuu," ed. G.N. Yakovleva, 1982
mguu wa pembetatu ya kulia

Pembetatu ya mraba inaitwa kwa usahihi zaidi pembetatu ya kulia. Uhusiano kati ya pande na pembe za takwimu hii ya kijiometri hujadiliwa kwa undani katika taaluma ya hisabati ya trigonometry.

Utahitaji

- karatasi;
- kalamu;
- meza za Bradis;
- kikokotoo.

Maagizo

Tafuta pembetatu kwa kutumia nadharia ya Pythagorean. Kulingana na nadharia hii, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu: c2 = a2+b2, ambapo c ni hypotenuse. pembetatu, a na b ni miguu yake. Ili kuomba hili, unahitaji kujua urefu wa pande zote mbili za mstatili pembetatu.

Ikiwa hali zinataja vipimo vya miguu, pata urefu wa hypotenuse. Ili kufanya hivyo, tumia kuchimba mzizi wa mraba wa jumla wa miguu, ambayo kila mmoja lazima kwanza iwe mraba.

Kuhesabu urefu wa moja ya miguu ikiwa vipimo vya hypotenuse na mguu mwingine vinajulikana. Kwa kutumia kikokotoo, toa mzizi wa mraba wa tofauti kati ya hypotenuse na mguu unaojulikana, ambao pia ni wa mraba.

Ikiwa tatizo linabainisha hypotenuse na mojawapo ya pembe kali karibu nayo, tumia meza za Bradis. Wanatoa maadili ya kazi za trigonometric kwa idadi kubwa ya pembe. Tumia kikokotoo chenye vitendaji vya sine na kosine, pamoja na nadharia za trigonometria zinazoelezea uhusiano kati ya pande na mstatili. pembetatu.

Tafuta miguu kwa kutumia vipengele vya msingi vya trigonometriki: a = c*sin α, b = c*cos α, ambapo a ni mguu kinyume na pembe α, b ni mguu unaopakana na pembe α. Kuhesabu ukubwa wa pande kwa njia sawa pembetatu, ikiwa hypotenuse na pembe nyingine ya papo hapo hutolewa: b = c*sin β, a = c*cos β, ambapo b ni mguu kinyume na angle β, na ni mguu ulio karibu na angle β.

Katika kesi ya a na karibu na pembe ya papo hapo β, usisahau kwamba katika pembetatu ya kulia jumla ya pembe za papo hapo daima ni sawa na 90 °: α + β = 90 °. Pata thamani ya pembe kinyume na mguu a: α = 90 ° - β. Au tumia fomula za kupunguza trigonometric: sin α = sin (90° - β) = cos β; tan α = tani (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Video kwenye mada

Vyanzo:

Jinsi ya kupata pande za pembetatu ya kulia kwa mguu na pembe ya papo hapo mnamo 2019

Kidokezo cha 3: Jinsi ya kupata pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia

Moja kwa moja kaboni pembetatu labda ni moja ya maarufu zaidi, kutoka kwa mtazamo wa kihistoria, takwimu za kijiometri. "Suruali" ya Pythagorean inaweza tu kushindana na "Eureka!" Archimedes.

Utahitaji

- kuchora ya pembetatu;
- mtawala;
- protractor

Maagizo

Jumla ya pembe za pembetatu ni digrii 180. Katika mstatili pembetatu pembe moja (moja kwa moja) itakuwa daima digrii 90, na wengine ni papo hapo, i.e. chini ya digrii 90 kila moja. Kuamua ni angle gani iliyo katika mstatili pembetatu ni sawa, tumia rula kupima pande za pembetatu na kuamua kubwa zaidi. Ni hypotenuse (AB) na iko kinyume na pembe ya kulia (C). Pande mbili zilizobaki huunda pembe ya kulia na miguu (AC, BC).

Mara tu unapoamua ni pembe gani iliyo kali, unaweza kutumia protractor kuhesabu pembe kwa kutumia fomula za hisabati.

Kuamua pembe kwa kutumia protractor, unganisha juu yake (hebu tuonyeshe na barua A) na alama maalum kwenye mtawala katikati ya protractor AC inapaswa sanjari na makali yake ya juu. Weka alama kwenye sehemu ya nusu duara ya protractor mahali ambapo hypotenuse AB. Thamani katika hatua hii inalingana na pembe katika digrii. Ikiwa kuna maadili 2 yaliyoonyeshwa kwenye protractor, basi kwa pembe ya papo hapo unahitaji kuchagua ndogo, kwa pembe ya obtuse - kubwa zaidi.

Pata thamani inayotokana na vitabu vya marejeleo vya Bradis na ubaini ni pembe gani thamani ya nambari inayotokana inalingana. Bibi zetu walitumia njia hii.

Katika yetu ni ya kutosha kuchukua na kazi ya kuhesabu formula za trigonometric. Kwa mfano, kikokotoo cha Windows kilichojengwa. Fungua programu ya "Calculator", katika kipengee cha menyu ya "Tazama", chagua "Uhandisi". Piga hesabu ya sine ya pembe inayotaka, kwa mfano, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Badili kikokotoo hadi modi ya utendakazi ya kinyume kwa kubofya kitufe cha INV kwenye onyesho la kikokotoo, kisha ubofye kitufe cha utendakazi cha arcsine (kilichoonyeshwa kwenye onyesho kama sin minus ya nguvu ya kwanza). Ujumbe unaofuata utaonekana kwenye dirisha la hesabu: asind (0.5) = 30. I.e. thamani ya pembe inayotaka ni digrii 30.

Kiwango cha wastani

Pembetatu ya kulia. Mwongozo Kamili wenye Vielelezo (2019)

PEMBE YA KULIA. NGAZI YA KWANZA.

Katika shida, pembe ya kulia sio lazima kabisa - chini kushoto, kwa hivyo unahitaji kujifunza kutambua pembetatu ya kulia katika fomu hii,

na katika hili

na katika hili

Je, ni nini kizuri kuhusu pembetatu sahihi? Kweli ..., kwanza, kuna majina maalum mazuri kwa pande zake.

Makini na mchoro!

Kumbuka na usichanganye: kuna miguu miwili, na kuna hypotenuse moja tu(moja na pekee, ya kipekee na ndefu zaidi)!

Naam, tumejadili majina, sasa jambo muhimu zaidi: Theorem ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean.

Nadharia hii ndiyo ufunguo wa kutatua matatizo mengi yanayohusisha pembetatu ya kulia. Ilithibitishwa na Pythagoras katika nyakati za kumbukumbu kabisa, na tangu wakati huo imeleta faida nyingi kwa wale wanaoijua. Na jambo bora zaidi juu yake ni kwamba ni rahisi.

Kwa hiyo, Nadharia ya Pythagorean:

Unakumbuka utani: "Suruali ya Pythagorean ni sawa kwa pande zote!"?

Hebu tuchore suruali hizi za Pythagorean na tuziangalie.

Je, haionekani kama aina fulani ya kaptula? Kweli, ni pande gani na wapi zinalingana? Kwa nini na utani ulitoka wapi? Na utani huu umeunganishwa kwa usahihi na nadharia ya Pythagorean, au kwa usahihi zaidi na jinsi Pythagoras mwenyewe alivyounda nadharia yake. Na akaitengeneza kama hii:

"Jumla maeneo ya viwanja, iliyojengwa kwa miguu, ni sawa na eneo la mraba, iliyojengwa juu ya hypotenuse."

Je, inasikika tofauti kidogo? Na kwa hivyo, wakati Pythagoras alichora taarifa ya nadharia yake, hii ndio picha iliyotoka.

Katika picha hii, jumla ya maeneo ya viwanja vidogo ni sawa na eneo la mraba mkubwa. Na ili watoto waweze kukumbuka vizuri kwamba jumla ya mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse, mtu mwenye busara alikuja na utani huu kuhusu suruali ya Pythagorean.

Kwa nini sasa tunaunda nadharia ya Pythagorean?

Je, Pythagoras aliteseka na kuzungumza kuhusu mraba?

Unaona, katika nyakati za kale hapakuwa na ... algebra! Hakukuwa na ishara na kadhalika. Hakukuwa na maandishi. Unaweza kufikiria jinsi ilivyokuwa mbaya kwa wanafunzi maskini wa kale kukumbuka kila kitu kwa maneno?! Na tunaweza kufurahi kwamba tuna uundaji rahisi wa nadharia ya Pythagorean. Wacha tuirudie tena ili kuikumbuka vyema:

Inapaswa kuwa rahisi sasa:

Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Naam, nadharia muhimu zaidi kuhusu pembetatu sahihi imejadiliwa. Ikiwa una nia ya jinsi inavyothibitishwa, soma viwango vifuatavyo vya nadharia, na sasa hebu tuende zaidi ... kwenye msitu wa giza ... wa trigonometry! Kwa maneno ya kutisha sine, kosine, tanjiti na cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia.

Kwa kweli, kila kitu sio cha kutisha hata kidogo. Bila shaka, ufafanuzi wa "halisi" wa sine, cosine, tangent na cotangent inapaswa kuangaliwa katika makala. Lakini kwa kweli sitaki, sivyo? Tunaweza kufurahiya: kutatua shida kuhusu pembetatu sahihi, unaweza kujaza mambo rahisi yafuatayo:

Kwa nini kila kitu kiko kwenye kona? Kona iko wapi? Ili kuelewa hili, unahitaji kujua jinsi taarifa 1 - 4 zimeandikwa kwa maneno. Angalia, uelewe na ukumbuke!

1.
Kwa kweli inasikika kama hii:

Vipi kuhusu pembe? Je, kuna mguu ulio kinyume na kona, yaani, kinyume (kwa pembe) mguu? Bila shaka! Huu ni mguu!

Vipi kuhusu pembe? Angalia kwa makini. Ni mguu gani ulio karibu na kona? Bila shaka, mguu. Hii ina maana kwamba kwa pembe mguu ni karibu, na

Sasa, makini! Angalia kile tulipata:

Tazama jinsi inavyopendeza:

Sasa hebu tuendelee kwenye tangent na cotangent.

Ninawezaje kuandika hii kwa maneno sasa? Je, ni mguu gani unaohusiana na pembe? Kinyume, kwa kweli - "iko" kinyume na kona. Vipi kuhusu mguu? Karibu na kona. Kwa hivyo tuna nini?

Unaona jinsi nambari na denominata zilivyobadilishana mahali?

Na sasa pembe tena na kufanya kubadilishana:

Muhtasari

Hebu tuandike kwa ufupi kila kitu ambacho tumejifunza.

Nadharia ya Pythagorean:

Nadharia kuu kuhusu pembetatu za kulia ni nadharia ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean

Kwa njia, unakumbuka vizuri miguu na hypotenuse ni nini? Ikiwa si nzuri sana, basi angalia picha - furahisha ujuzi wako

Inawezekana kwamba tayari umetumia nadharia ya Pythagorean mara nyingi, lakini umewahi kujiuliza kwa nini nadharia hiyo ni kweli? Ninawezaje kuthibitisha hilo? Wacha tufanye kama Wagiriki wa zamani. Wacha tuchore mraba na upande.

Tazama jinsi tulivyogawanya pande zake kwa urefu na kwa werevu!

Sasa hebu tuunganishe dots zilizowekwa alama

Hapa sisi, hata hivyo, tuliona kitu kingine, lakini wewe mwenyewe angalia mchoro na ufikirie kwa nini hii ni hivyo.

Eneo la mraba kubwa ni nini? Haki, . Vipi kuhusu eneo dogo zaidi? Hakika,. Jumla ya eneo la pembe nne linabaki. Fikiria kwamba tuliwachukua wawili kwa wakati mmoja na kuwaegemeza dhidi ya kila mmoja na hypotenuses zao. Nini kimetokea? Mistatili miwili. Hii inamaanisha kuwa eneo la "kupunguzwa" ni sawa.

Hebu tuyaweke yote pamoja sasa.

Wacha tubadilishe:

Kwa hivyo tulimtembelea Pythagoras - tulithibitisha nadharia yake kwa njia ya zamani.

Pembetatu ya kulia na trigonometry

Kwa pembetatu ya kulia, mahusiano yafuatayo yanashikilia:

Sine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse

Cosine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangent ya angle ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.

Cotangent ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Na kwa mara nyingine hii yote katika mfumo wa kibao:

Ni vizuri sana!

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia

I. Kwa pande mbili

II. Kwa mguu na hypotenuse

III. Kwa hypotenuse na angle ya papo hapo

IV. Pamoja na mguu na pembe ya papo hapo

Makini! Ni muhimu sana hapa kwamba miguu ni "sahihi". Kwa mfano, ikiwa inakwenda kama hii:

HALAFU PEMBE TEMBE SI SAWA, licha ya ukweli kwamba wana pembe moja ya papo hapo inayofanana.

Haja ya katika pembetatu zote mguu ulikuwa karibu, au katika zote mbili ulikuwa kinyume.

Umeona jinsi ishara za usawa wa pembetatu za kulia zinatofautiana na ishara za kawaida za usawa wa pembetatu? Angalia mada "na uzingatie ukweli kwamba kwa usawa wa pembetatu" za "kawaida", vitu vitatu lazima ziwe sawa: pande mbili na pembe kati yao, pembe mbili na upande kati yao, au pande tatu. Lakini kwa usawa wa pembetatu za kulia, vipengele viwili tu vinavyolingana vinatosha. Kubwa, sawa?

Hali ni takriban sawa na ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia

I. Pamoja na pembe ya papo hapo

II. Kwa pande mbili

III. Kwa mguu na hypotenuse

Wastani katika pembetatu ya kulia

Kwa nini iko hivi?

Badala ya pembetatu ya kulia, fikiria mstatili mzima.

Hebu tuchore diagonal na fikiria hatua - hatua ya makutano ya diagonals. Unajua nini kuhusu diagonal za mstatili?

Na nini kinafuata kutoka kwa hii?

Hivyo ikawa hivyo

- wastani:

Kumbuka ukweli huu! Inasaidia sana!

Kinachoshangaza zaidi ni kwamba kinyume chake pia ni kweli.

Ni nzuri gani inaweza kupatikana kutokana na ukweli kwamba wastani unaotolewa kwa hypotenuse ni sawa na nusu ya hypotenuse? Hebu tuangalie picha

Angalia kwa makini. Tunayo: , yaani, umbali kutoka kwa uhakika hadi wima zote tatu za pembetatu ziligeuka kuwa sawa. Lakini kuna hatua moja tu katika pembetatu, umbali ambao kutoka kwa wima zote tatu za pembetatu ni sawa, na hii ndio KITUO CHA MDUARA. Basi nini kilitokea?

Kwa hivyo wacha tuanze na hii "zaidi ...".

Hebu tuangalie na.

Lakini pembetatu zinazofanana zina pembe zote sawa!

Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu na

Sasa hebu tuchore pamoja:

Ni faida gani inayoweza kupatikana kutokana na mfanano huu wa "mara tatu"?

Kweli, kwa mfano - fomula mbili za urefu wa pembetatu ya kulia.

Wacha tuandike uhusiano wa pande zinazolingana:

Ili kupata urefu, tunatatua uwiano na kupata formula ya kwanza "Urefu katika pembetatu ya kulia":

Kwa hivyo, wacha tutumie kufanana: .

Nini kitatokea sasa?

Tena tunatatua sehemu hiyo na kupata formula ya pili:

Unahitaji kukumbuka fomula hizi zote mbili vizuri na utumie ile ambayo ni rahisi zaidi. Hebu tuandike tena

Nadharia ya Pythagorean:

Katika pembetatu ya kulia, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu: .

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia:

kwa pande mbili:
kwa mguu na hypotenuse: au
kando ya mguu na pembe ya karibu ya papo hapo: au
kando ya mguu na pembe ya papo hapo kinyume: au
kwa hypotenuse na angle ya papo hapo: au.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia:

kona moja ya papo hapo: au
kutoka kwa usawa wa miguu miwili:
kutoka kwa uwiano wa mguu na hypotenuse: au.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia

Sini ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse:
Cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:
Tangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu:
Cotangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume:.

Urefu wa pembetatu ya kulia: au.

Katika pembetatu ya kulia, wastani unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse: .

Eneo la pembetatu ya kulia:

kupitia miguu:

Kiwango cha wastani

Pembetatu ya kulia. Mwongozo Kamili wenye Vielelezo (2019)

PEMBE YA KULIA. NGAZI YA KWANZA.

Katika shida, pembe ya kulia sio lazima kabisa - chini kushoto, kwa hivyo unahitaji kujifunza kutambua pembetatu ya kulia katika fomu hii,

na katika hili

na katika hili

Je, ni nini kizuri kuhusu pembetatu sahihi? Kweli ..., kwanza, kuna majina maalum mazuri kwa pande zake.

Makini na mchoro!

Kumbuka na usichanganye: kuna miguu miwili, na kuna hypotenuse moja tu(moja na pekee, ya kipekee na ndefu zaidi)!

Naam, tumejadili majina, sasa jambo muhimu zaidi: Theorem ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean.

Kwa hiyo, Nadharia ya Pythagorean:

Unakumbuka utani: "Suruali ya Pythagorean ni sawa kwa pande zote!"?

"Jumla maeneo ya viwanja, iliyojengwa kwa miguu, ni sawa na eneo la mraba, iliyojengwa juu ya hypotenuse."

Je, inasikika tofauti kidogo? Na kwa hivyo, wakati Pythagoras alichora taarifa ya nadharia yake, hii ndio picha iliyotoka.

Kwa nini sasa tunaunda nadharia ya Pythagorean?

Je, Pythagoras aliteseka na kuzungumza kuhusu mraba?

Inapaswa kuwa rahisi sasa:

Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia.

Kwa nini kila kitu kiko kwenye kona? Kona iko wapi? Ili kuelewa hili, unahitaji kujua jinsi taarifa 1 - 4 zimeandikwa kwa maneno. Angalia, uelewe na ukumbuke!

1.
Kwa kweli inasikika kama hii:

Vipi kuhusu pembe? Je, kuna mguu ulio kinyume na kona, yaani, kinyume (kwa pembe) mguu? Bila shaka! Huu ni mguu!

Vipi kuhusu pembe? Angalia kwa makini. Ni mguu gani ulio karibu na kona? Bila shaka, mguu. Hii ina maana kwamba kwa pembe mguu ni karibu, na

Sasa, makini! Angalia kile tulipata:

Tazama jinsi inavyopendeza:

Sasa hebu tuendelee kwenye tangent na cotangent.

Ninawezaje kuandika hii kwa maneno sasa? Je, ni mguu gani unaohusiana na pembe? Kinyume, kwa kweli - "iko" kinyume na kona. Vipi kuhusu mguu? Karibu na kona. Kwa hivyo tuna nini?

Unaona jinsi nambari na denominata zilivyobadilishana mahali?

Na sasa pembe tena na kufanya kubadilishana:

Muhtasari

Hebu tuandike kwa ufupi kila kitu ambacho tumejifunza.

Nadharia ya Pythagorean:

Nadharia kuu kuhusu pembetatu za kulia ni nadharia ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean

Kwa njia, unakumbuka vizuri miguu na hypotenuse ni nini? Ikiwa si nzuri sana, basi angalia picha - furahisha ujuzi wako

Tazama jinsi tulivyogawanya pande zake kwa urefu na kwa werevu!

Sasa hebu tuunganishe dots zilizowekwa alama

Hapa sisi, hata hivyo, tuliona kitu kingine, lakini wewe mwenyewe angalia mchoro na ufikirie kwa nini hii ni hivyo.

Hebu tuyaweke yote pamoja sasa.

Wacha tubadilishe:

Kwa hivyo tulimtembelea Pythagoras - tulithibitisha nadharia yake kwa njia ya zamani.

Pembetatu ya kulia na trigonometry

Kwa pembetatu ya kulia, mahusiano yafuatayo yanashikilia:

Sine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse

Cosine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangent ya angle ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.

Cotangent ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Na kwa mara nyingine hii yote katika mfumo wa kibao:

Ni vizuri sana!

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia

I. Kwa pande mbili

II. Kwa mguu na hypotenuse

III. Kwa hypotenuse na angle ya papo hapo

IV. Pamoja na mguu na pembe ya papo hapo

Makini! Ni muhimu sana hapa kwamba miguu ni "sahihi". Kwa mfano, ikiwa inakwenda kama hii:

HALAFU PEMBE TEMBE SI SAWA, licha ya ukweli kwamba wana pembe moja ya papo hapo inayofanana.

Haja ya katika pembetatu zote mguu ulikuwa karibu, au katika zote mbili ulikuwa kinyume.

Hali ni takriban sawa na ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia

I. Pamoja na pembe ya papo hapo

II. Kwa pande mbili

III. Kwa mguu na hypotenuse

Wastani katika pembetatu ya kulia

Kwa nini iko hivi?

Badala ya pembetatu ya kulia, fikiria mstatili mzima.

Hebu tuchore diagonal na fikiria hatua - hatua ya makutano ya diagonals. Unajua nini kuhusu diagonal za mstatili?

Na nini kinafuata kutoka kwa hii?

Hivyo ikawa hivyo

- wastani:

Kumbuka ukweli huu! Inasaidia sana!

Kinachoshangaza zaidi ni kwamba kinyume chake pia ni kweli.

Ni nzuri gani inaweza kupatikana kutokana na ukweli kwamba wastani unaotolewa kwa hypotenuse ni sawa na nusu ya hypotenuse? Hebu tuangalie picha

Kwa hivyo wacha tuanze na hii "zaidi ...".

Hebu tuangalie na.

Lakini pembetatu zinazofanana zina pembe zote sawa!

Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu na

Sasa hebu tuchore pamoja:

Ni faida gani inayoweza kupatikana kutokana na mfanano huu wa "mara tatu"?

Kweli, kwa mfano - fomula mbili za urefu wa pembetatu ya kulia.

Wacha tuandike uhusiano wa pande zinazolingana:

Ili kupata urefu, tunatatua uwiano na kupata formula ya kwanza "Urefu katika pembetatu ya kulia":

Kwa hivyo, wacha tutumie kufanana: .

Nini kitatokea sasa?

Tena tunatatua sehemu hiyo na kupata formula ya pili:

Unahitaji kukumbuka fomula hizi zote mbili vizuri na utumie ile ambayo ni rahisi zaidi. Hebu tuandike tena

Nadharia ya Pythagorean:

Katika pembetatu ya kulia, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu: .

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia:

kwa pande mbili:
kwa mguu na hypotenuse: au
kando ya mguu na pembe ya karibu ya papo hapo: au
kando ya mguu na pembe ya papo hapo kinyume: au
kwa hypotenuse na angle ya papo hapo: au.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia:

kona moja ya papo hapo: au
kutoka kwa usawa wa miguu miwili:
kutoka kwa uwiano wa mguu na hypotenuse: au.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia

Sini ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse:
Cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:
Tangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu:
Cotangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume:.

Urefu wa pembetatu ya kulia: au.

Katika pembetatu ya kulia, wastani unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse: .

Eneo la pembetatu ya kulia:

kupitia miguu:

Tabia za pembetatu ya kulia

Wapenzi wa darasa la saba, tayari unajua ni takwimu gani za kijiometri zinazoitwa pembetatu, unajua jinsi ya kuthibitisha ishara za usawa wao. Pia unajua kuhusu kesi maalum za pembetatu: isosceles na pembe za kulia. Unafahamu vyema sifa za pembetatu za isosceles.

Lakini pembetatu za kulia pia zina mali nyingi. Moja dhahiri inahusiana na nadharia ya jumla ya pembetatu ya mambo ya ndani: katika pembetatu ya kulia, jumla ya pembe za papo hapo ni 90 °. Utajifunza mali ya kushangaza zaidi ya pembetatu ya kulia katika daraja la 8, unaposoma nadharia maarufu ya Pythagorean.

Sasa tutazungumzia kuhusu mali mbili muhimu zaidi. Moja ni ya pembetatu za kulia za 30° na nyingine ni ya pembetatu za kulia bila mpangilio. Hebu tuunda na kuthibitisha sifa hizi.

Unajua vizuri kwamba katika jiometri ni desturi ya kuunda taarifa zinazozungumza na zilizothibitishwa, wakati hali na hitimisho katika taarifa hubadilisha maeneo. Kauli za mazungumzo sio kweli kila wakati. Kwa upande wetu, taarifa zote mbili za mazungumzo ni kweli.

Mali 1.1 Katika pembetatu ya kulia, mguu ulio kinyume na pembe ya 30 ° ni sawa na nusu ya hypotenuse.

Uthibitisho: Fikiria mstatili ∆ ABC, ambapo ÐA=90°, ÐB=30°, kisha ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, kwa hivyo, ni nini kilihitaji kuthibitishwa.

Mali 1.2 (nyuma ya mali 1.1) Ikiwa katika pembetatu ya kulia mguu ni sawa na nusu ya hypotenuse, basi angle kinyume ni 30 °.

Mali 2.1 Katika pembetatu ya kulia, wastani unaotolewa kwa hypotenuse ni sawa na nusu ya hypotenuse.

Hebu fikiria mstatili ∆ ABC, ambayo РВ=90 °.

BD-median, yaani, AD=DC. Hebu thibitisha hilo.

Ili kuthibitisha hili, tutafanya ujenzi wa ziada: tutaendelea BD zaidi ya uhakika D ili BD=DN na kuunganisha N na A na C..gif" width="616" height="372 src=">

Imetolewa: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, kwa kuwa katika ∆BCE ya mstatili jumla ya pembe kali ni 90o

2. BE=14cm(mali 1)

3. ÐABE=30o, kwa kuwa ÐA+ÐABE=ÐBEC (sifa ya pembe ya nje ya pembetatu) kwa hivyo ∆AEB ni isosceles AE=EB=14cm.

3. (mali 1).

BC=2AN=20 cm (mali 2).

Jukumu la 3. Thibitisha kwamba mwinuko na wastani wa pembetatu ya kulia inayopelekwa kwenye hypotenuse huunda pembe sawa na tofauti kati ya pembe kali za pembetatu.

Imetolewa: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-wastani, urefu wa AH.

Thibitisha: RMAN=RS-RV.

Uthibitisho:

1)РМАС=РС (kwa sifa 2 ∆ AMC-isosceles, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Inabakia kuthibitisha kwamba РНАС=РВ. Hii inafuatia ukweli kwamba ÐB+ÐC=90° (katika ∆ ABC) na ÐNAS+ÐC=90° (kutoka ∆ ANS).

Kwa hiyo, RMAN = RС-РВ, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Imetolewa: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-urefu, .

Tafuta: РВ, РС.

Suluhisho: Wacha tuchukue AM ya wastani. Acha AN=x, kisha BC=4x na

VM=MS=AM=2x.

Katika ∆AMN ya mstatili, hypotenuse AM ni kubwa mara 2 kuliko mguu AN, kwa hiyo ÐAMN=30°. Tangu VM=AM,

РВ=РВAM100%">

Hati: Ingiza ∆ABC ÐA=900 na AC=1/2BC

Wacha tupanue AC zaidi ya nukta A ili AD=AC. Kisha ∆ABC=∆ABD (kwenye miguu 2). BD=BC=2AC=CD, hivyo basi ∆DBC-sawa, ÐC=60o na ÐABC=30o.

Tatizo 5

Katika pembetatu ya isosceles, moja ya pembe ni 120 °, msingi ni 10 cm Pata urefu unaotolewa kwa upande.

Suluhisho: kwa kuanzia, tunaona kwamba angle ya 120 ° inaweza tu kuwa kwenye vertex ya pembetatu na kwamba urefu unaotolewa kwa upande utaanguka juu ya kuendelea kwake.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">Ngazi iliegemezwa kwenye ukuta wima.Paka alikuwa amekaa katikati ya ngazi.Ghafla ngazi ilianza. Kuteleza chini ya ukuta itaelezea njia gani?

AB - staircase, K - kitten.

Katika nafasi yoyote ya ngazi, mpaka hatimaye inaanguka chini, ∆ABC ni mstatili. MC - wastani ∆ABC.

Kulingana na mali 2 SK = 1/2AB. Hiyo ni, wakati wowote kwa muda urefu wa sehemu ya SK ni mara kwa mara.

Jibu: nukta K itasogea kwenye safu ya mduara iliyo na kituo C na radius SC=1/2AB.

Matatizo kwa ajili ya ufumbuzi wa kujitegemea.

Moja ya pembe za pembetatu ya kulia ni 60 °, na tofauti kati ya hypotenuse na mguu mfupi ni 4 cm. tafuta urefu wa hypotenuse. Katika mstatili ∆ ABC yenye hypotenuse BC na angle B sawa na 60 °, urefu wa AD huchorwa. Tafuta DC ikiwa DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - urefu, BC=2ВD. Thibitisha kuwa AD=3ВD. Urefu wa pembetatu ya kulia hugawanya hypotenuse katika sehemu 3 cm na 9 cm. Pata pembe za pembetatu na umbali kutoka katikati ya hypotenuse hadi mguu mrefu. Kipenyo kinagawanya pembetatu katika pembetatu mbili za isosceles. Pata pembe za pembetatu ya asili. Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za isosceles. Je, inawezekana kupata pembe

Pembetatu asili?