Kuna uwezekano kuwa ni yeye. Kuna uwezekano mkubwa kwamba

Tatizo namba 1.26

Nambari ya gari ina nambari nne, ambayo kila moja inaweza kuchukua maadili kutoka 0 hadi 9 (nambari 0000 inawezekana). Tambua uwezekano kwamba tarakimu ya pili ya nambari ni nne.

Wacha tupate nambari ya mchanganyiko wote unaowezekana wa nambari ya gari:

Nambari ya 2 ya nambari ni 4 ikiwa mchanganyiko wake ni seti ya fomu: X 4 XX, ambapo X ni tarakimu yoyote kutoka 0 hadi 9.

Kwa hivyo, idadi ya nambari kama hizo ni sawa na:

Uwezekano kwamba tarakimu ya pili ya nambari ni nne.

Jibu:

Tatizo namba 2.11

Mchoro wa uunganisho wa vipengele vinavyotengeneza mzunguko na pembejeo moja na pato moja hutolewa (Mchoro 1). Inachukuliwa kuwa kushindwa kwa vipengele ni matukio huru kwa pamoja. Kushindwa kwa yoyote ya vipengele husababisha usumbufu wa ishara katika tawi la mzunguko ambapo kipengele hiki iko. Uwezekano wa kushindwa kwa vipengele 1, 2, 3, 4, 5 ni sawa na q1=0.1; q2=0.2; q3=0.3; q4=0.4; q5=0.5. Pata uwezekano kwamba ishara itapita kutoka kwa pembejeo hadi pato.

Picha 1

Kwa mujibu wa Kielelezo 1, vipengele 1, 2, 3 vimeunganishwa kwa sambamba na kwa mfululizo na kipengele cha 4.

Wacha tuingize matukio: A­ 1 - kipengele cha 1 ni sawa, A­ 2 - kipengele cha 2 ni sawa, A­ 3 - kipengele cha 3 ni sawa, A­ 4 - kipengele cha 4 ni sawa, B- ishara hupita kutoka kwa uhakika a kwa uhakika b, C- ishara hupita kutoka kwa uhakika a kwa uhakika c(kutoka mlango hadi kutoka).

Tukio B itatokea ikiwa kipengele cha 1, au kipengele cha 2, au kipengele cha 3 kitafanya kazi:

B :

Tukio C itatokea ikiwa tukio litatokea B na tukio A 4 :

Uwezekano wa tukio kutokea C :

Jibu:

Tatizo namba 3.28

Vifaa vya jina moja vinatengenezwa katika viwanda vitatu. Kiwanda cha kwanza hutoa 45% ya bidhaa zote zinazoingia kwenye uzalishaji, pili - 30% na tatu - 25%. Uwezekano wa uendeshaji usio na kushindwa wa kifaa kilichotengenezwa kwenye mmea wa kwanza ni 0.8, kwa pili - 0.85 na kwa tatu - 0.9. Kifaa kilichoingia kwenye uzalishaji kiligeuka kuwa katika utaratibu mzuri wa kufanya kazi. Amua uwezekano kwamba ilitengenezwa kwenye mmea wa pili.

Wacha tuonyeshe kwa A tukio - kifaa kilichopokelewa kwa uzalishaji kiko katika mpangilio mzuri wa kufanya kazi.

Wacha tufanye mawazo kadhaa:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 1:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 2:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 3:

Uwezekano wa masharti unaolingana kwa kila nadharia ni:

Kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunapata uwezekano wa tukio A:

Wacha tuhesabu uwezekano kwamba kifaa kinachofanya kazi kilitoka kwa mmea wa 2:

Jibu:

Tatizo namba 4.26

Sarafu inarushwa mara 100. Je, kuna uwezekano gani kwamba haitatua kamwe na nembo ya silaha ikitazama juu?

Tukio - sarafu haijawahi kutua uso kwa uso katika tosses 100.

Uwezekano kwamba sarafu haikutua usoni uk=0,5 na kwa hivyo, uwezekano kwamba sarafu ilianguka na koti ya mikono juu q=0,5 :

Wacha tubaini uwezekano wa tukio A kulingana na formula ya Bernoulli ( n = 100; k =100 )

Jibu:

Tatizo namba 5.21

Tofauti isiyo ya kawaida ya X inaweza kuchukua moja ya thamani tano zisizohamishika x1, x2, x3, x4, x5 na uwezekano p1, p2, p3, p4, p5, mtawaliwa. Kokotoa matarajio ya hisabati na tofauti ya thamani X. Kokotoa na kupanga kitendakazi cha usambazaji.

Jedwali 1 - data ya awali

    Matarajio ya hisabati na mtawanyiko wa thamani ya X:

    Wacha tuunda safu ya usambazaji wa SV X:

Jedwali la 2 - Msururu wa usambazaji SV X

Wacha tupange kazi ya usambazaji (Mchoro 2):

Kielelezo 2 - grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji F(X i)

Tatizo namba 6.3

Thamani ya nasibu X inayotolewa na msongamano wa uwezekano:

Kufafanua mara kwa mara NA, matarajio ya hisabati, mtawanyiko, utendaji wa usambazaji wa thamani X, pamoja na uwezekano wa kuanguka kwa muda.

Kwa hivyo mara kwa mara:

    Wacha tuamue matarajio ya kihesabu ya SV X:

    Wacha tuamue mtawanyiko wa SV X:

    Wacha tufafanue kazi ya usambazaji ya thamani X:

Jibu:

Tatizo namba 7.15

Thamani ya nasibu X kusambazwa kwa usawa kwa muda [ a,b]. Panga kibadilishaji nasibu Y=(X) na kuamua msongamano wa uwezekano g (y).

hakuna vitendaji kinyume

Kielelezo 3 - grafu ya kazi

Tangu kutofautiana kwa nasibu X inasambazwa kwa usawa kwa muda, basi wiani wake wa uwezekano ni sawa na:

Wacha tuamue uwezekano wa wiani wa wingi:

Tatizo namba 8.30

Vekta ya 2D nasibu ( X, Y) inasambazwa kwa usawa ndani ya eneo B iliyoangaziwa kwa mistari iliyonyooka iliyokolea kwenye Mchoro 4. Uzani wa uwezekano wa pande mbili. f(x,y) ni sawa kwa hatua yoyote katika eneo hili B:

Kokotoa mgawo wa uunganisho kati ya thamani za X na Y.

Jedwali 3 - Data ya awali

Kielelezo cha 4

    Hebu tujenge eneo B kulingana na kuratibu kutoka Jedwali 5 na Kielelezo 4.

Kielelezo cha 5

Hebu tuchambue Kielelezo 5: eneo B juu ya muda imefungwa upande wa kushoto na mstari wa moja kwa moja, upande wa kulia, juu ya muda umefungwa upande wa kushoto na mstari wa moja kwa moja, upande wa kulia -

Kwa hivyo, wiani wa uwezekano wa pamoja utachukua fomu:

Hivyo:

Wacha tuangalie matokeo yaliyopatikana kijiometri. Kiasi cha mwili kilichopunguzwa na uso wa usambazaji KATIKA na ndege xOy ni sawa na 1, yaani:

Kwa hiyo, mara kwa mara ilihesabiwa kwa usahihi.

    Wacha tuhesabu matarajio ya hisabati:

    Wacha tuhesabu tofauti:

    Wacha tuhesabu wakati wa uunganisho:

Wacha tuhesabu mgawo wa uunganisho kati ya maadili ya X na Y:

Jibu:

Tatizo namba 9

Kulingana na sampuli ya utofauti wa nasibu wenye mwelekeo mmoja:

Pata mfululizo wa tofauti;

Panga chaguo za kukokotoa za usambazaji wa majaribio F * (x) ;

Tengeneza histogram kwa kutumia njia ya muda sawa;

Tengeneza histogram kwa kutumia njia sawa ya uwezekano;

Kuhesabu makadirio ya uhakika ya matarajio na tofauti;

Kuhesabu makadirio ya muda ya matarajio ya hisabati na mtawanyiko (γ = 0.95);

Weka mbele dhana kuhusu sheria ya usambazaji ya kigezo bila mpangilio na uijaribu kwa kutumia jaribio la wema-wa-fit 2 na kigezo cha Kolmogorov ( = 0,05).

Sampuli zisizobadilika:

Saizi ya sampuli

Suluhisho

  1. Tunapata safu tofauti kutoka kwa ile ya asili:

    Hebu tujenge histogram kwa kutumia njia ya muda sawa (Mchoro 7).

Ili kuunda histogram, tutaunda mfululizo wa takwimu za muda, kwa kuzingatia kwamba urefu wa vipindi vyote lazima iwe sawa.

Idadi ya vipindi;

- upana wa muda;

Mzunguko wa SV X kupiga muda wa j-th;

Msongamano wa takwimu katika kipindi cha jth.

Jedwali la 4 - Msururu wa takwimu za muda

f * (x)

Kielelezo cha 7

    Hebu tujenge histogram kwa kutumia njia sawa ya uwezekano (Mchoro 8).

Ili kuunda histogram, tutakusanya mfululizo wa takwimu za muda, kwa kuzingatia kwamba marudio ya SV X kupiga katika kila kipindi cha j-th inapaswa kuwa sawa (Jedwali la 5).

Jedwali la 5 - Msururu wa takwimu za muda

f * (x)

Kielelezo cha 8

    Wacha tuhesabu makadirio ya uhakika ya matarajio ya kihesabu na tofauti:

    Hebu tuhesabu makadirio ya muda ya matarajio ya hisabati na mtawanyiko (γ = 0.95):

H 0 - thamani ya X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo:

H 1 - thamani ya X haijasambazwa kwa mujibu wa sheria ya kielelezo

Kwa hivyo, tunapata kitendakazi cha usambazaji dhahania kilichobainishwa kikamilifu:

Wacha tuangalie dhana kuhusu sheria ya kawaida kwa kutumia kigezo cha Pearson. Hebu tuhesabu thamani ya kigezo kulingana na mfululizo wa takwimu wa muda sawa:

Tunahesabu uwezekano wa kinadharia wa kuanguka katika vipindi kwa kutumia formula:

Jedwali 6 - Matokeo ya hesabu

Wacha tuangalie usahihi wa mahesabu:

Wacha tuhesabu kigezo cha Pearson:

Wacha tuamue idadi ya digrii za uhuru:

Tunachagua thamani muhimu ya kigezo cha Pearson kutoka kwa jedwali kwa kiwango cha uhuru na kiwango kilichotolewa cha umuhimu:

Kwa kuwa hali hiyo imefikiwa, dhana H 0 kuhusu sheria ya usambazaji wa kielelezo inakubaliwa (hakuna sababu ya kuikataa).

8) Hebu tuangalie hypothesis kwa kutumia kigezo cha Kolmogorov. Ili kufanya hivyo, tutapanga kazi ya usambazaji wa dhahania katika mfumo sawa wa kuratibu na kazi ya majaribio (Mchoro 6). Tunatumia thamani 10 kutoka kwenye Jedwali la 6 kama pointi za marejeleo. Kwa kutumia grafu, tunabainisha upeo wa juu kabisa wa kupotoka kati ya chaguo za kukokotoa na :

Wacha tuhesabu thamani ya kigezo cha Kolmogorov:

Kutoka kwa jedwali la Kolmogorov, kulingana na kiwango fulani cha umuhimu, tunachagua thamani muhimu ya kigezo:

Kwa kuwa hali imeridhika, hypothesis H 0 kuhusu sheria ya usambazaji wa kielelezo inakubaliwa (hakuna sababu ya kuikataa).

Wakati sarafu inatupwa, tunaweza kusema kwamba itatua vichwa, au uwezekano hii ni 1/2. Kwa kweli, hii haimaanishi kuwa ikiwa sarafu inatupwa mara 10, italazimika kutua kwenye vichwa mara 5. Ikiwa sarafu ni "haki" na ikiwa inatupwa mara nyingi, basi vichwa vitatua karibu sana nusu ya wakati. Kwa hivyo, kuna aina mbili za uwezekano: majaribio Na kinadharia .

Uwezekano wa majaribio na kinadharia

Ikiwa tutageuza sarafu mara nyingi - sema 1000 - na kuhesabu ni mara ngapi inatua kwenye vichwa, tunaweza kuamua uwezekano wa kutua juu ya vichwa. Ikiwa vichwa vinatupwa mara 503, tunaweza kuhesabu uwezekano wa kutua:
503/1000, au 0.503.

Hii majaribio uamuzi wa uwezekano. Ufafanuzi huu wa uwezekano unatokana na uchunguzi na utafiti wa data na ni wa kawaida na muhimu sana. Hapa, kwa mfano, kuna uwezekano ambao uliamuliwa kwa majaribio:

1. Uwezekano kwamba mwanamke atapata saratani ya matiti ni 1/11.

2. Ikiwa unambusu mtu ambaye ana baridi, basi uwezekano kwamba utapata pia baridi ni 0.07.

3. Mtu ambaye ametoka tu kutoka gerezani ana nafasi ya 80% ya kurudi gerezani.

Ikiwa tunazingatia kutupa sarafu na kuzingatia kwamba kuna uwezekano tu kwamba itakuja vichwa au mikia, tunaweza kuhesabu uwezekano wa kupata vichwa: 1/2. Hii ni ufafanuzi wa kinadharia wa uwezekano. Hapa kuna uwezekano mwingine ambao umeamuliwa kinadharia kwa kutumia hisabati:

1. Ikiwa kuna watu 30 katika chumba, uwezekano kwamba wawili kati yao wana siku moja ya kuzaliwa (bila kujumuisha mwaka) ni 0.706.

2. Wakati wa safari, unakutana na mtu, na wakati wa mazungumzo unagundua kuwa una rafiki wa pande zote. Mwitikio wa kawaida: "Hii haiwezi kuwa!" Kwa kweli, kifungu hiki haifai, kwa sababu uwezekano wa tukio kama hilo ni kubwa sana - zaidi ya 22%.

Kwa hivyo, uwezekano wa majaribio huamuliwa kupitia uchunguzi na ukusanyaji wa data. Uwezekano wa kinadharia huamuliwa kupitia hoja za hisabati. Mifano ya uwezekano wa majaribio na kinadharia, kama vile iliyojadiliwa hapo juu, na hasa ile ambayo hatutarajii, hutuongoza kwenye umuhimu wa uwezekano wa kusoma. Unaweza kuuliza, "Uwezekano wa kweli ni nini?" Kwa kweli, hakuna kitu kama hicho. Uwezekano ndani ya mipaka fulani unaweza kuamuliwa kwa majaribio. Zinaweza au zisilingane na uwezekano ambao tunapata kinadharia. Kuna hali ambayo ni rahisi sana kuamua aina moja ya uwezekano kuliko nyingine. Kwa mfano, itakuwa ya kutosha kupata uwezekano wa kupata baridi kwa kutumia uwezekano wa kinadharia.

Uhesabuji wa uwezekano wa majaribio

Hebu kwanza tuzingatie ufafanuzi wa majaribio wa uwezekano. Kanuni ya msingi tunayotumia kuhesabu uwezekano huo ni kama ifuatavyo.

Kanuni P (ya majaribio)

Ikiwa katika jaribio ambalo uchunguzi wa n unafanywa, hali au tukio E hutokea mara m katika uchunguzi wa n, basi uwezekano wa majaribio ya tukio hilo inasemekana kuwa P (E) = m / n.

Mfano 1 Uchunguzi wa kijamii. Utafiti wa majaribio ulifanyika ili kubaini idadi ya watu wanaotumia mkono wa kushoto, wanaotumia mkono wa kulia na watu ambao mikono yao yote miwili imeendelezwa kwa usawa.Matokeo yanaonyeshwa kwenye jedwali.

a) Amua uwezekano kwamba mtu huyo ana mkono wa kulia.

b) Amua uwezekano wa mtu huyo kutumia mkono wa kushoto.

c) Amua uwezekano kwamba mtu ana ufasaha sawa katika mikono yote miwili.

d) Mashindano mengi ya Chama cha Wachezaji Bowling ni wachezaji 120 pekee. Kulingana na data kutoka kwa jaribio hili, ni wachezaji wangapi wanaoweza kutumia mkono wa kushoto?

Suluhisho

a)Idadi ya watu wanaotumia mkono wa kulia ni 82, idadi ya wanaotumia mkono wa kushoto ni 17, na idadi ya wanaozungumza kwa ufasaha sawa katika mikono yote miwili ni 1. Jumla ya uchunguzi ni 100. Hivyo basi, uwezekano kwamba mtu ana mkono wa kulia ni P
P = 82/100, au 0.82, au 82%.

b) Uwezekano kwamba mtu ana mkono wa kushoto ni P, wapi
P = 17/100, au 0.17, au 17%.

c) Uwezekano kwamba mtu ana ufasaha sawa katika mikono yote miwili ni P, wapi
P = 1/100, au 0.01, au 1%.

d) bakuli 120, na kutoka (b) tunaweza kutarajia kwamba 17% ni mkono wa kushoto. Kutoka hapa
17% ya 120 = 0.17.120 = 20.4,
yaani tunaweza kutarajia takriban wachezaji 20 watakuwa watu wa kushoto.

Mfano 2 Udhibiti wa ubora . Ni muhimu sana kwa mtengenezaji kuweka ubora wa bidhaa zake kwa kiwango cha juu. Kwa kweli, makampuni huajiri wakaguzi wa udhibiti wa ubora ili kuhakikisha mchakato huu. Lengo ni kuzalisha idadi ndogo iwezekanavyo ya bidhaa zenye kasoro. Lakini kwa kuwa kampuni inazalisha maelfu ya bidhaa kila siku, haiwezi kumudu kupima kila bidhaa ili kubaini kama ina kasoro au la. Ili kujua ni asilimia ngapi ya bidhaa zenye kasoro, kampuni hujaribu bidhaa chache sana.
USDA inahitaji kwamba 80% ya mbegu zinazouzwa na wakulima lazima ziote. Ili kubaini ubora wa mbegu ambazo kampuni ya kilimo inazalisha, mbegu 500 kutoka kwa zile zilizozalishwa hupandwa. Baada ya hayo, ilihesabiwa kuwa mbegu 417 ziliota.

a) Je, kuna uwezekano gani kwamba mbegu itaota?

b) Je, mbegu hizo zinakidhi viwango vya serikali?

Suluhisho a) Tunajua kwamba kati ya mbegu 500 zilizopandwa, 417 ziliota. Uwezekano wa kuota kwa mbegu P, na
P = 417/500 = 0.834, au 83.4%.

b) Kwa kuwa asilimia ya mbegu iliyoota imezidi 80% inavyotakiwa, mbegu hizo zinakidhi viwango vya serikali.

Mfano 3 Viwango vya televisheni. Kulingana na takwimu, kuna kaya 105,500,000 zenye televisheni nchini Marekani. Kila wiki, habari kuhusu programu za kutazama hukusanywa na kusindika. Katika wiki moja, kaya 7,815,000 zilisikiliza mfululizo wa vichekesho maarufu "Everybody Loves Raymond" kwenye CBS na kaya 8,302,000 walisikiliza mfululizo wa filamu maarufu "Law & Order" kwenye NBC (Chanzo: Nielsen Media Research). Kuna uwezekano gani kwamba TV ya kaya moja itaonyeshwa "Kila Mtu Anampenda Raymond" katika wiki fulani? kwa "Law & Order"?

Suluhisho Uwezekano kwamba TV katika kaya moja inaongozwa na "Kila Mtu Anampenda Raymond" ni P, na
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Nafasi ya kuwa TV ya kaya ilionyeshwa Law & Order ni P, na
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Asilimia hizi huitwa ukadiriaji.

Uwezekano wa kinadharia

Tuseme tunafanya jaribio, kama vile kurusha sarafu au mishale, kuchora kadi kutoka kwenye sitaha, au kupima bidhaa kwa ubora kwenye mstari wa kuunganisha. Kila matokeo yanayowezekana ya jaribio kama hilo inaitwa Kutoka . Seti ya matokeo yote yanayowezekana inaitwa nafasi ya matokeo . Tukio ni seti ya matokeo, yaani, sehemu ndogo ya nafasi ya matokeo.

Mfano 4 Kurusha mishale. Tuseme kwamba katika jaribio la kurusha dati, dati hugonga shabaha. Tafuta kila moja ya yafuatayo:

b) Nafasi ya matokeo

Suluhisho
a) Matokeo ni: kupiga nyeusi (B), kupiga nyekundu (R) na kupiga nyeupe (B).

b) Nafasi ya matokeo ni (kupiga nyeusi, kupiga nyekundu, kupiga nyeupe), ambayo inaweza kuandikwa kwa urahisi kama (H, K, B).

Mfano 5 Kutupa kete. Kifa ni mchemraba wenye pande sita, kila moja ikiwa na nukta moja hadi sita juu yake.


Tuseme tunatupa kifo. Tafuta
a) Matokeo
b) Nafasi ya matokeo

Suluhisho
a) Matokeo: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Nafasi ya matokeo (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tunaashiria uwezekano kwamba tukio E hutokea kama P(E). Kwa mfano, "sarafu itatua juu ya vichwa" inaweza kuonyeshwa na H. Kisha P (H) inawakilisha uwezekano kwamba sarafu itatua juu ya vichwa. Wakati matokeo yote ya jaribio yana uwezekano sawa wa kutokea, yanasemekana kuwa na uwezekano sawa. Ili kuona tofauti kati ya matukio ambayo yana uwezekano sawa na matukio ambayo hayawezekani, zingatia lengo lililoonyeshwa hapa chini.

Kwa lengo A, matukio ya kupiga nyeusi, nyekundu na nyeupe yanawezekana kwa usawa, kwani sekta nyeusi, nyekundu na nyeupe ni sawa. Hata hivyo, kwa lengo B, kanda zilizo na rangi hizi hazifanani, yaani, kuzipiga sio uwezekano sawa.

Kanuni P (Kinadharia)

Ikiwa tukio E linaweza kutokea kwa njia m nje ya n matokeo yanayowezekana kwa usawa kutoka kwa nafasi ya matokeo S, basi uwezekano wa kinadharia matukio, P (E) ni
P (E) = m/n.

Mfano 6 Kuna uwezekano gani wa kusongesha kitanzi kupata 3?

Suluhisho Kuna matokeo 6 yanayowezekana kwa usawa kwenye kete na kuna uwezekano mmoja tu wa kukunja nambari 3. Kisha uwezekano wa P utakuwa P (3) = 1/6.

Mfano 7 Kuna uwezekano gani wa kuweka nambari sawa kwenye kufa?

Suluhisho Tukio hilo ni kurusha nambari sawa. Hii inaweza kutokea kwa njia 3 (ikiwa unasonga 2, 4 au 6). Idadi ya matokeo yanayowezekana kwa usawa ni 6. Kisha uwezekano P (hata) = 3/6, au 1/2.

Tutatumia idadi ya mifano inayohusisha staha ya kawaida ya kadi 52. Dawati hili lina kadi zilizoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Mfano 8 Kuna uwezekano gani wa kuchora Ace kutoka kwa staha iliyochanganyika vizuri ya kadi?

Suluhisho Kuna matokeo 52 (idadi ya kadi kwenye staha), zina uwezekano sawa (ikiwa staha imechanganyika vizuri), na kuna njia 4 za kuchora Ace, kwa hivyo kulingana na kanuni ya P, uwezekano.
P (chora ace) = 4/52, au 1/13.

Mfano 9 Tuseme tunachagua, bila kuangalia, mpira mmoja kutoka kwa mfuko na mipira 3 nyekundu na mipira 4 ya kijani. Kuna uwezekano gani wa kuchagua mpira nyekundu?

Suluhisho Kuna matokeo 7 yanayowezekana ya kuchora mpira wowote, na kwa kuwa idadi ya njia za kuchora mpira nyekundu ni 3, tunapata.
P (uteuzi wa mpira mwekundu) = 3/7.

Taarifa zifuatazo ni matokeo kutoka Kanuni P.

Sifa za Uwezekano

a) Ikiwa tukio E haliwezi kutokea, basi P(E) = 0.
b) Ikiwa tukio E lina hakika kutokea basi P(E) = 1.
c) Uwezekano kwamba tukio E litatokea ni nambari kutoka 0 hadi 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Kwa mfano, katika sarafu ya sarafu, tukio ambalo sarafu inatua kwenye makali yake ina uwezekano wa sifuri. Uwezekano wa kuwa sarafu ni vichwa au mikia una uwezekano wa 1.

Mfano 10 Wacha tuchukue kuwa kadi 2 zimetolewa kutoka kwa staha ya kadi 52. Kuna uwezekano gani kwamba zote mbili ni vilele?

Suluhisho Nambari n ya njia za kuteka kadi 2 kutoka kwenye staha iliyopigwa vizuri ya kadi 52 ni 52 C 2. Kwa kuwa kadi 13 kati ya 52 ni jembe, idadi ya njia m kuchora jembe 2 ni 13 C 2 . Kisha,
P (kuvuta vilele 2) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Mfano 11 Tuseme watu 3 wamechaguliwa bila mpangilio kutoka kwa kundi la wanaume 6 na wanawake 4. Je, kuna uwezekano gani kwamba mwanamume 1 na wanawake 2 watachaguliwa?

Suluhisho Idadi ya njia za kuchagua watu watatu kutoka kwa kikundi cha watu 10 ni 10 C 3. Mwanamume mmoja anaweza kuchaguliwa kwa njia 6 C 1, na wanawake 2 wanaweza kuchaguliwa kwa njia 4 C 2. Kulingana na kanuni ya msingi ya kuhesabu, idadi ya njia za kuchagua mwanamume 1 na wanawake 2 ni 6 C 1. 4 C 2 . Kisha, uwezekano kwamba mwanamume 1 na wanawake 2 watachaguliwa ni
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Mfano 12 Kutupa kete. Kuna uwezekano gani wa kuzungusha jumla ya 8 kwenye kete mbili?

Suluhisho Kila kete ina matokeo 6 yanayowezekana. Matokeo yanaongezeka maradufu, ikimaanisha kuwa kuna njia 6.6 au 36 ambazo nambari kwenye kete mbili zinaweza kuonekana. (Ni bora ikiwa cubes ni tofauti, sema moja ni nyekundu na nyingine ni bluu - hii itasaidia kuibua matokeo.)

Jozi za nambari zinazoongeza hadi 8 zinaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Kuna njia 5 zinazowezekana za kupata jumla sawa na 8, kwa hivyo uwezekano ni 5/36.

Hebu matukio ya n, huru katika jumla, au baadhi yao (hasa, moja tu au hakuna) yanaonekana kama matokeo ya mtihani, na uwezekano wa kutokea kwa kila moja ya matukio yanajulikana.

Jinsi ya kupata uwezekano kwamba angalau moja ya matukio haya yatatokea? Kwa mfano, ikiwa matukio matatu yanaweza kutokea kama matokeo ya mtihani, basi kutokea kwa angalau moja ya matukio haya kunamaanisha kutokea kwa tukio moja, mbili, au tatu. Jibu la swali hili linatolewa na theorem ifuatayo.

Nadharia. Uwezekano wa kutokea kwa angalau moja ya matukio A 1, A 2, A p, huru katika jumla, ni sawa na tofauti kati ya umoja na bidhaa ya uwezekano wa matukio tofauti A 1 A 2, A p:

P(A) = 1 - q 1 , q n

Kesi maalum. Ikiwa matukio A 1 A 2, A„ yana uwezekano sawa na p, basi uwezekano wa kutokea kwa angalau moja ya matukio haya P (L) = 1 - q p (**)

Mfano 1. Uwezekano wa kupiga lengo wakati wa kurusha kutoka kwa bunduki tatu ni kama ifuatavyo: p 1 = 0.8; p 2 = 0.7;

p 3 = 0.9. Tafuta uwezekano wa kugonga angalau mara moja (tukio A) kwa salvo moja kutoka kwa bunduki zote.

Suluhisho. Uwezekano wa kila bunduki kugonga shabaha hautegemei matokeo ya kurusha kutoka kwa bunduki zingine, kwa hivyo matukio yanayozingatiwa A 1 (iliyopigwa na bunduki ya kwanza), A 2 (iliyopigwa na bunduki ya pili) na A 3 (iliyopigwa na bunduki. bunduki ya tatu) wanajitegemea kwa jumla.

Uwezekano wa matukio kinyume na matukio A 1 A 2 na A 3 (yaani, uwezekano wa makosa) ni sawa mtawalia:

q 1 = 1 - p 1 = 1-0.8 = 0.2; q 2 = 1 - p 2 == 1-0.7 = 0.3; , q 3 = 1 - p 3 = 1-0.9 = 0.1.

Uwezekano unaohitajika

P (A) = 1 - q 1 q 2 q 3 = 1 -0.2 * 0.3 * 0.1 = 0.994.

Mfano 2. Nyumba ya uchapishaji ina mashine 4 za uchapishaji za flatbed. Kwa kila mashine, uwezekano kwamba inafanya kazi kwa sasa ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba angalau mashine moja inafanya kazi kwa sasa (tukio A).

Suluhisho. Matukio "mashine inafanya kazi" na "mashine haifanyi kazi" (kwa sasa) ni kinyume, kwa hivyo jumla ya uwezekano wao ni sawa na moja: p + q = 1

Kwa hivyo uwezekano kwamba mashine haifanyi kazi kwa sasa ni q = 1-p = 1-0.9 = 0.1.

Uwezekano unaohitajika

P (A) = 1 - q 4 = 1 - 0.1 4 = 0.9999.

Kwa kuwa uwezekano uliopatikana ni karibu sana na moja, kwa kuzingatia msingi wa kanuni ya kutowezekana kwa vitendo kwa matukio yasiyowezekana, tuna haki ya kuhitimisha kwamba angalau moja ya mashine inafanya kazi kwa sasa.

Mfano 3. Uwezekano kwamba tukio litatokea angalau mara moja katika majaribio matatu huru kwa pamoja ni 0.936. Tafuta uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio moja (inadhaniwa kuwa katika majaribio yote uwezekano wa tukio kutokea ni sawa).

Suluhisho. Kwa kuwa matukio yanayozingatiwa yanajitegemea katika jumla, fomula (**) inatumika

Kwa mujibu wa hali, P (A) = 0.936; n = 3. Kwa hiyo,

0.936=1 - q 3 au q 3 = 1-0.936 = 0.064.

Kwa hivyo q = = 0.4.

Uwezekano unaohitajika ni p = 1 - q = 1 - 0.4 = 0.6.

Dmitry Zhitomirsky*

Murphy alikuwa na matumaini. Kuna nyakati katika maisha ya kila mtu ambapo kila kitu hufanya kazi. Lakini usijali - itapita hivi karibuni! Baada ya yote, kulingana na sheria ya Murphy, malezi ya matokeo hasi kwa njia yoyote inategemea matarajio yetu, kwa hivyo, bado tutalazimika kuyatatua. Vipi? Katika kesi hii, unaweza kuchagua hali ya kazi mwenyewe.

Ikiwa tunachukulia tatizo kama hilo kama kawaida, mfumo mzima lazima ubadilishwe; uzembe wa wafanyikazi - tafuta wafanyikazi wapya; fumbo maana yake ni kwenda kwa shaman. Hebu tuchukue mfano kutoka kwa siku za hivi karibuni: satelaiti zote zilizorushwa angani kwa madhumuni ya utafiti zilirudi duniani. Lakini katika matukio hayo magumu, maandalizi huchukua miaka. Ni busara kwamba ilikuwa inafaa kufikiria juu ya hili wakati satelaiti tatu za kwanza hazikuruka popote. Lakini bila kufanya chochote, tulipata msiba mwingine.

Tunapaswa kuhisije kuhusu hili? Je, unatafuta matatizo ya kiufundi au uongeze ufadhili wa vifaa vya angani? Hiyo ni kweli: suluhisha shida kwa undani. Hii inamaanisha kutafuta dosari za kiufundi, kutenga pesa zaidi, kuwafuta kazi wafanyikazi wasio waaminifu, na kuweka kazi ngumu zaidi - zote mara moja. Walakini, tena kulingana na sheria ya Murphy, hata hii haiwezi kutoa matokeo ya 100%.

Kumbuka tu nakala ya kwanza ya Sheria ya Murphy: "Hakuna kitu rahisi kama inavyoonekana" au "Kila kazi inachukua muda mrefu kuliko unavyofikiria." Kuzaliwa kwa wazo jipya, kama sheria, daima huambatana na ushahidi wa kufikiria wa utekelezaji wake. Unahitaji tu kutoa msukumo - pata meneja, ongeza pesa kwa kuchukua mkopo au kukuza tovuti kwenye mtandao. Hata hivyo, mara tu unapojaribu kila kitu, inageuka kuwa hakuna kitu kinachofanya kazi. Katika furaha yetu, tunakosa jambo muhimu zaidi. Kwa upande mwingine, mara tu tunapoanza kufikiria juu ya shida za siku zijazo, mara moja tunapoteza "hisia ya kukimbia", msukumo wetu - na kila kitu kinasimama kwa kasi moja. Kwa hivyo, unapaswa kufikia lengo lako kila wakati - kuzingatiwa na wazo la mafanikio yako mwenyewe yasiyoweza kuepukika, kutatua shida zinapotokea. Kukumbuka kuwa koleo moja inaweza kuwa haitoshi hata kwa shimo ndogo ikiwa kuna jiwe la mawe mahali hapo. Baada ya yote, kulingana na mfululizo wa pili, "Kati ya shida zote zinazowezekana, moja ambayo husababisha uharibifu zaidi itatokea." Kwa hiyo, unapaswa daima kujiandaa kwa mbaya zaidi. Bila shaka, wakati wa kuanzisha biashara, unahitaji kujiamini, lakini kuelewa kuwa hii ni hatari kubwa. Na kila kesi ya 20 karibu daima huisha kwa kushindwa, kwa sababu unapopata kitu, daima hupoteza kitu. Ni muhimu si kupoteza kila kitu. Kwa hivyo, huna haja ya kuanza biashara na pesa zako za mwisho. Ni hatari sana. Kwa hali yoyote, unahitaji kuokoa kwa bili za chakula na matumizi. Ili kwamba wakati wote umekwisha, unaweza siagi mkate wako. Misiba hutokea kila mahali, na kwa kiwango kikubwa zaidi kuliko biashara iliyoshindwa. Jinsi ya kuepuka hili? Usitulie! Amka kwa wakati asubuhi na mara moja uingie kazini. Bado hautaweza kuzuia shida za moja kwa moja, lakini unaweza kupunguza kiwango cha udhihirisho wao.

Fanya chochote unachotaka - usikae tu! Kwani, upatanisho wa tatu wa Sheria ya Murphy unasema: “Matukio yaliyoachwa yanaelekea kutoka kuwa mabaya hadi mabaya zaidi.” Ikiwa umeacha kusimamia matukio ambayo unaweza kuathiri, tabia ya kuzorota haitachukua muda mrefu kutokea. Ulipanga biashara, na yeyote unayemwajiri ni biashara yako, wazo lako. Ukienda mbali naye, kila kitu kitapeperushwa kwa kasi ya umeme. Kwa upande mwingine, "Kila suluhu hutokeza matatizo mapya." Mara tu tunapoanza kufanya kitu, tunaunda kitu cha nyenzo ambacho kina uwezo wa kuishi maisha yake mwenyewe. Hii ina maana kwamba, kama mtoto mdogo, hakika atakuwa mtu mzima ghafla na kuanza kuvuta sigara. Ingawa katika utoto wako ulijaribu kumweleza kuwa kuvuta sigara ni hatari. Suluhisho hapa ni kulingana na Taras Bulba: "Nilikuzaa, nitakuua." Wakati mwingine kifo cha biashara ni bora kuliko majaribio yote ya kuiokoa. Na jambo hilo linaweza kuwa sio tu ndani yako, lakini kwa ukweli kwamba washindani wako waligeuka kuwa mbaya zaidi na wa haraka zaidi. Sasa tunashuhudia kuanguka kabisa kwa Nokia, kitu kama hicho tayari kimetokea kwa kampuni zingine zinazohusika na vifaa vya mawasiliano. Wakati fulani, walikosa jinsi makampuni ya Kikorea walichukua hili kwa uzito, waliwekeza pesa nyingi na mara moja walizindua uzalishaji wa bidhaa mpya. Na walifikiri kwamba wangeendesha chapa yao wenyewe maisha yao yote. Hili halifanyiki. Walijivuna na kupata haki yao. Sasa Nokia hatimaye imetoa simu mpya za rununu, lakini wataalam wanasema kuwa imechelewa. Na hata bei ya chini pamoja na chapa haitaokoa kampuni. Ilikuwa hatua nyuma, si mbele. Kuna mifano mingi inayofanana.

Uliokithiri mwingine pia unapaswa kuzingatiwa - Toyota ya Kijapani na falsafa ya Kaizen, ambayo inamaanisha uboreshaji unaoendelea wa michakato ya uzalishaji na usimamizi. Je, mazoezi haya ni tiba? Uwezekano mkubwa zaidi sio. Baada ya yote, kama unavyojua, bora ni adui wa mzuri. Kila sehemu mpya ya gari inahitaji usakinishaji wa vipuri viwili zaidi ambavyo vitadhibiti. Ni sawa katika biashara. Kuboresha mfumo kunamaanisha ukuaji wake usio na mwisho na kuongeza kiasi cha fedha kwa ajili ya matengenezo. Kadiri shirika linavyokuwa kubwa, ndivyo nafasi zake za kushindwa zinavyoongezeka. Ndio maana, wakati wa msukosuko, tuliona kwamba Titanics kubwa zaidi ndio ilikuwa ya kwanza kwenda chini. Wale ambao walizingatiwa kuwa hawawezi kuharibika. Hii ni kwa sababu kilicho na nguvu zaidi na kamilifu si kamili tena kwa sababu kina nguvu.

Sisi sote bado tuna mashine za kusaga nyama za bibi yetu zimelala na zinaendelea kufanya kazi. Ingawa, tukienzi maendeleo ya kiteknolojia, kwa sababu ya kuharibika kwao mara kwa mara, tunapaswa kubadilisha vivunaji vya umeme kila wakati. Inabadilika kuwa utaratibu mdogo, uwezekano mdogo wa udhihirisho wa sheria za Murphy huwa. Baada ya yote, ikiwa conveyor nzima ina Wauzbeki wawili wanaovuta mchanga kutoka mwisho mmoja wa yadi hadi nyingine, uwezekano wa kuvunjika kwake hupunguzwa mara mamia kuliko ikiwa wachimbaji kadhaa walifanya kazi sawa.

Sheria za Murphy zinaonekana kila mahali. Boliti na kogi za ziada wakati wa kuunganisha chombo cha anga? Bila shaka! Swali lingine kutoka wapi. Ni dhahiri kwamba uumbaji wako ulianguka mikononi mwa Kulibin au kwenye mikono ya slob. Lakini hebu tuwe na lengo: chaguo la pili ni la kawaida zaidi. Walakini, wote wawili bado wana vipuri vya ziada. Na huu ndio msingi wa sheria ya Murphy. Kwa kuhamisha mpango kwa kila mtu anayefuata, unapoteza sehemu ya mtaji uliokusanywa kila wakati. Baada ya yote, mtu mpya hawezi kuchukua mawazo yako kwa namna ambayo iko katika kichwa chako, bila kujali jinsi unavyojaribu sana. Huu sio ujuzi wake tena, lakini wako - kuhamishiwa kwake. Bado aliwasikia kwa njia yake mwenyewe, na pia atatekeleza kile alichosikia kwa njia yake mwenyewe - kwa hiyo maelezo yasiyo ya lazima. Chaguo la pili ni Kulibiny.

Kuvunja sheria kwa makusudi kwa hiari yao wenyewe. Kutoka kwa kitengo: "Sitafanya nisichotaka." Sababu ya kibinadamu kabisa. Baada ya yote, sheria, kama unavyojua, zipo ili zivunjwe. Na ikiwa kuna fursa, basi hii itatokea. Kwa hali yoyote, vitendo vile vinafanywa kwa kupinga. Na hata ikiwa unaelewa kuwa kuna uwezekano wa 300% kwamba baada ya hatua yako utafukuzwa kazi, bado utafanya hivyo, kupata buzz ya ajabu. Kashfa hiyo haitakuwa bure. Na kupata kazi daima ni furaha kubwa. Hata ikiwa roketi yako ilianguka, lakini jinsi ilivyoruka ... nzuri jinsi gani ... jinsi mpya ... Ikiwa tunazingatia biashara, ni dhahiri kwamba hii ni mgogoro kati ya shirika rigid na ujenzi. Baada ya yote, watu hawawezi kufanya kazi kama mashine. Watu ni watu. Na kadiri unavyokuwa na wafanyikazi wengi, ndivyo hii itatokea mara nyingi zaidi. Omba ili usiitambue, lakini mapema au baadaye mtu bado atakuja ofisini kwako na kukuambia jinsi mfumo ulivyompata. Kusema ukweli, haina maana hata kuwaadhibu watu kama hao, lakini ni muhimu. Kwao, adhabu yoyote kamwe haitafunika raha waliyoipata wakati wa tendo lenyewe. Walakini, kwa kukuza mbinu kwa ujanja kwa PR yake kama mfano mbaya, unaweza kuifanya isipendeze kwa wengine. Lakini tu hadi mpinzani aonekane kwenye mfumo tena. Na hii hakika itatokea, kwa mara nyingine tena ikitumika kama uthibitisho wa sheria ya Murphy. Kwa hiyo, wafanyakazi wanaoshikilia nafasi za uongozi lazima wawe na slobs za msukumo, lakini wakati huo huo kuwajibika na nidhamu. Baada ya yote, ni nafasi za uongozi ambazo mara nyingi hukutana na athari za sheria za Murphy, ambapo bila uwezo wa "kupanda juu ya hali" na kuonyesha mbinu ya ubunifu, haitawezekana kutoka bila dhabihu. Mtu lazima awe mbunifu sana. Kuwa na uwezo wa kupata suluhisho lisilo la kawaida na utekeleze mara moja, bila kujisumbua au kuzama katika ugumu wa hali hiyo, tupa masuluhisho ya kawaida mara moja na utoe mbinu yako ya ubunifu na yenye ufanisi zaidi. Mara nyingi mpangilio unamaanisha nidhamu, lakini mtu mwenye nidhamu kabisa ni mbuzi tu. Kwa hiyo, wakati wa kuchagua mtu kwa nafasi ya uongozi, usiangalie tu wale wagombea ambao wamepitisha vipimo vyako vyote kikamilifu, lakini pia kwa wale ambao hawajafaulu, lakini fikiria asili zaidi kuliko wengi. Baada ya yote, hii haifundishwi katika shule ya usimamizi; imetolewa kutoka kwa Mungu.

Usichukue hali hiyo kwa upuuzi; ikiwa unahisi kuwa injini imeanza kufanya kazi vibaya, basi "ibaka" kwa wiki nyingine, lakini bado utajitokeza kwa fundi. Usijaribu kuweka gari mbele ya locomotive. Ikiwa hali tayari imeanza kukuza kwa mwelekeo usiofaa kwako, fikiria sio jinsi ya kusimamisha gari moshi ghafla, lakini jinsi ya kupunguza kasi ya kasi ili kuacha iwe laini iwezekanavyo. Baada ya yote, kuacha ghafla, kama sheria, daima husababisha kuanguka na kuanguka. Na hatimaye, ikiwa "dhoruba" imefikia kiwango cha ajabu, kuwa na ujasiri wa kuacha biashara. Pata nguvu ya kuuza si kwa nusu, au hata robo, lakini kwa sehemu ya kumi ya gharama ya jumla, ili uwe na fursa ya kufanya kitu kingine ikiwa hufanikiwa hapa. Wewe ni mtu wa ubunifu - una pesa mikononi mwako. Na pesa sio pie angani, au hata titi, ni pesa. Kuchukua na kuwekeza katika kitu kingine! Ukiburuta miguu yako kwa muda usiojulikana, utaachwa bila kitu chochote. Sheria za Murphy zinasisitiza tu kwamba hali ngumu zimekuwa, ziko na zitakuwa. Na uwezo wa mtu kutoka katika hali ngumu sio mafunzo katika shule ya biashara, lakini tu ubunifu wa akili yake mwenyewe. Kutana na dhoruba inayotabasamu!

* Dmitry Zhitomirsky, mkurugenzi mkuu na mwanzilishi wa Artkom SPB.

Hapo awali, ikiwa ni mkusanyiko tu wa habari na uchunguzi wa kijaribio kuhusu mchezo wa kete, nadharia ya uwezekano ikawa sayansi kamili. Wa kwanza kuipa mfumo wa hisabati walikuwa Fermat na Pascal.

Kutoka kwa kufikiria juu ya milele hadi nadharia ya uwezekano

Watu wawili ambao nadharia ya uwezekano inadaiwa na kanuni zake nyingi za kimsingi, Blaise Pascal na Thomas Bayes, wanajulikana kama watu wa kidini sana, wa pili wakiwa mhudumu wa Presbyterian. Inavyoonekana, hamu ya wanasayansi hawa wawili kuthibitisha uwongo wa maoni juu ya Bahati fulani kutoa bahati nzuri kwa vipendwa vyake ilitoa msukumo wa utafiti katika eneo hili. Baada ya yote, kwa kweli, mchezo wowote wa kamari na ushindi na hasara zake ni symphony ya kanuni za hisabati.

Shukrani kwa shauku ya Chevalier de Mere, ambaye pia alikuwa mcheza kamari na mtu asiyejali sayansi, Pascal alilazimika kutafuta njia ya kuhesabu uwezekano. De Mere alipendezwa na swali lifuatalo: "Je, ni mara ngapi unahitaji kurusha kete mbili kwa jozi ili uwezekano wa kupata pointi 12 uzidi 50%?" Swali la pili, ambalo lilikuwa la kupendeza sana kwa muungwana: "Jinsi ya kugawa bet kati ya washiriki kwenye mchezo ambao haujakamilika?" Kwa kweli, Pascal alijibu kwa mafanikio maswali yote mawili ya de Mere, ambaye alikua mwanzilishi asiyejua wa ukuzaji wa nadharia ya uwezekano. Inafurahisha kwamba mtu wa de Mere alibaki anajulikana katika eneo hili, na sio katika fasihi.

Hapo awali, hakuna mwanahisabati aliyewahi kujaribu kuhesabu uwezekano wa matukio, kwani iliaminika kuwa hii ilikuwa suluhisho la kubahatisha tu. Blaise Pascal alitoa ufafanuzi wa kwanza wa uwezekano wa tukio na alionyesha kuwa ni takwimu maalum ambayo inaweza kuhesabiwa haki hisabati. Nadharia ya uwezekano imekuwa msingi wa takwimu na inatumika sana katika sayansi ya kisasa.

Nasibu ni nini

Ikiwa tutazingatia jaribio ambalo linaweza kurudiwa kwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati, basi tunaweza kufafanua tukio la nasibu. Hii ni moja ya matokeo yanayowezekana ya jaribio.

Uzoefu ni utekelezaji wa vitendo maalum chini ya hali ya mara kwa mara.

Ili kuweza kufanya kazi na matokeo ya jaribio, matukio kawaida huteuliwa na herufi A, B, C, D, E...

Uwezekano wa tukio la nasibu

Ili kuanza sehemu ya hisabati ya uwezekano, ni muhimu kufafanua vipengele vyake vyote.

Uwezekano wa tukio ni kipimo cha nambari cha uwezekano wa tukio fulani (A au B) kutokea kama matokeo ya uzoefu. Uwezekano huo unaonyeshwa kama P (A) au P (B).

Katika nadharia ya uwezekano wanatofautisha:

  • kuaminika tukio limehakikishiwa kutokea kama matokeo ya uzoefu P (Ω) = 1;
  • haiwezekani tukio haliwezi kutokea P(Ø) = 0;
  • nasibu tukio liko kati ya kuaminika na haiwezekani, yaani, uwezekano wa tukio lake inawezekana, lakini si uhakika (uwezekano wa tukio random ni daima ndani ya mbalimbali 0≤Р(А)≤ 1).

Uhusiano kati ya matukio

Zote moja na jumla ya matukio A+B huzingatiwa, tukio linapohesabiwa wakati angalau moja ya vipengele, A au B, au vyote viwili, A na B, vinatimizwa.

Kuhusiana na kila mmoja, matukio yanaweza kuwa:

  • Sawa inawezekana.
  • Sambamba.
  • Haioani.
  • Kinyume (kipekee).
  • Mtegemezi.

Ikiwa matukio mawili yanaweza kutokea kwa uwezekano sawa, basi wao kwa usawa iwezekanavyo.

Ikiwa tukio la tukio A halipunguzi hadi sifuri uwezekano wa kutokea kwa tukio B, basi wao. sambamba.

Ikiwa matukio A na B hayatokea wakati huo huo katika uzoefu sawa, basi huitwa haziendani. Kupiga sarafu ni mfano mzuri: kuonekana kwa vichwa ni moja kwa moja kutoonekana kwa vichwa.

Uwezekano wa jumla ya matukio kama haya yasiokubaliana ni pamoja na jumla ya uwezekano wa kila moja ya matukio:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ikiwa tukio la tukio moja hufanya tukio la mwingine kuwa haiwezekani, basi wanaitwa kinyume. Kisha mmoja wao ameteuliwa kama A, na mwingine - Ā (soma kama "sio A"). Kutokea kwa tukio A kunamaanisha kuwa Ā haikutokea. Matukio haya mawili huunda kundi kamili lenye jumla ya uwezekano sawa na 1.

Matukio tegemezi yana ushawishi wa pande zote, kupunguza au kuongeza uwezekano wa kila mmoja.

Uhusiano kati ya matukio. Mifano

Kwa kutumia mifano ni rahisi zaidi kuelewa kanuni za nadharia ya uwezekano na mchanganyiko wa matukio.

Jaribio litakalofanywa linajumuisha kuchukua mipira nje ya kisanduku, na matokeo ya kila jaribio ni matokeo ya kimsingi.

Tukio ni moja ya matokeo yanayowezekana ya jaribio - mpira nyekundu, mpira wa bluu, mpira na nambari sita, nk.

Mtihani nambari 1. Kuna mipira 6 inayohusika, mitatu kati yao ni ya buluu na nambari zisizo za kawaida juu yake, na nyingine tatu ni nyekundu na nambari sawa.

Mtihani nambari 2. Kuna mipira 6 ya bluu yenye nambari kutoka moja hadi sita.

Kulingana na mfano huu, tunaweza kutaja mchanganyiko:

  • Tukio la kuaminika. Kwa Kihispania Nambari ya 2 tukio la "kupata mpira wa bluu" linaaminika, kwani uwezekano wa tukio lake ni sawa na 1, kwani mipira yote ni ya bluu na haiwezi kukosa. Ambapo tukio la "pata mpira na nambari 1" ni la nasibu.
  • Tukio lisilowezekana. Kwa Kihispania Nambari 1 na mipira ya bluu na nyekundu, tukio la "kupata mpira wa zambarau" haliwezekani, kwani uwezekano wa kutokea kwake ni 0.
  • Matukio yanayowezekana sawa. Kwa Kihispania Nambari ya 1, matukio "pata mpira na nambari 2" na "pata mpira na nambari 3" yanawezekana kwa usawa, na matukio "pata mpira na nambari sawa" na "pata mpira na nambari 2." ” kuwa na uwezekano tofauti.
  • Matukio Sambamba. Kupata sita mara mbili mfululizo wakati wa kutupa kufa ni tukio linalolingana.
  • Matukio yasiyolingana. Katika Kihispania sawa Nambari ya 1, matukio "kupata mpira nyekundu" na "kupata mpira na nambari isiyo ya kawaida" haiwezi kuunganishwa katika uzoefu sawa.
  • Matukio kinyume. Mfano wa kushangaza zaidi wa hii ni sarafu ya sarafu, ambapo vichwa vya kuchora ni sawa na si kuchora mikia, na jumla ya uwezekano wao daima ni 1 (kikundi kamili).
  • Matukio Tegemezi. Kwa hivyo, kwa Kihispania Nambari 1, unaweza kuweka lengo la kuchora mpira nyekundu mara mbili mfululizo. Iwapo itarejeshwa au la mara ya kwanza huathiri uwezekano wa kurejeshwa mara ya pili.

Inaweza kuonekana kuwa tukio la kwanza linaathiri sana uwezekano wa pili (40% na 60%).

Fomula ya uwezekano wa tukio

Mpito kutoka kwa kusema bahati hadi data sahihi hutokea kupitia tafsiri ya mada kwenye ndege ya hisabati. Hiyo ni, hukumu kuhusu tukio la nasibu kama vile "uwezekano mkubwa" au "uwezekano mdogo" zinaweza kutafsiriwa katika data maalum ya nambari. Tayari inaruhusiwa kutathmini, kulinganisha na kuingiza nyenzo hizo katika hesabu ngumu zaidi.

Kwa mtazamo wa hesabu, kubainisha uwezekano wa tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo chanya ya kimsingi kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya uzoefu kuhusu tukio fulani. Uwezekano unaonyeshwa na P(A), ambapo P inasimamia neno "uwezekano", ambalo limetafsiriwa kutoka Kifaransa kama "uwezekano".

Kwa hivyo, formula ya uwezekano wa tukio ni:

Ambapo m ni idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A, n ni jumla ya matokeo yote yanayowezekana kwa tukio hili. Katika kesi hii, uwezekano wa tukio huwa kati ya 0 na 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Uhesabuji wa uwezekano wa tukio. Mfano

Hebu tuchukue Kihispania. Nambari 1 na mipira, ambayo ilielezwa hapo awali: mipira 3 ya bluu yenye namba 1/3/5 na mipira 3 nyekundu yenye namba 2/4/6.

Kulingana na mtihani huu, shida kadhaa zinaweza kuzingatiwa:

  • A - mpira nyekundu kuanguka nje. Kuna mipira 3 nyekundu, na kuna chaguo 6 kwa jumla. Huu ni mfano rahisi zaidi ambao uwezekano wa tukio ni P(A)=3/6=0.5.
  • B - kusonga nambari sawa. Kuna nambari 3 sawa (2,4,6), na idadi ya jumla ya chaguzi za nambari zinazowezekana ni 6. Uwezekano wa tukio hili ni P (B) = 3/6 = 0.5.
  • C - kutokea kwa nambari kubwa kuliko 2. Kuna chaguzi 4 kama hizo (3,4,5,6) kati ya jumla ya matokeo yanayowezekana ya 6. Uwezekano wa tukio C ni sawa na P(C)=4 /6=0.67.

Kama inavyoonekana kutoka kwa hesabu, tukio C lina uwezekano mkubwa zaidi, kwani idadi ya matokeo chanya ni kubwa kuliko A na B.

Matukio yasiyolingana

Matukio kama haya hayawezi kuonekana wakati huo huo katika uzoefu sawa. Kama kwa Kihispania Nambari 1 haiwezekani kupata mpira wa bluu na nyekundu kwa wakati mmoja. Hiyo ni, unaweza kupata mpira wa bluu au nyekundu. Kwa njia hiyo hiyo, nambari ya usawa na isiyo ya kawaida haiwezi kuonekana kwenye kete kwa wakati mmoja.

Uwezekano wa matukio mawili unazingatiwa kama uwezekano wa jumla au bidhaa zao. Jumla ya matukio kama haya A+B inachukuliwa kuwa ni tukio linalojumuisha utokeaji wa tukio A au B, na matokeo yake AB ni kutokea kwa yote mawili. Kwa mfano, kuonekana kwa sita mbili mara moja kwenye nyuso za kete mbili katika kutupa moja.

Jumla ya matukio kadhaa ni tukio ambalo linaonyesha kutokea kwa angalau moja yao. Uzalishaji wa matukio kadhaa ni tukio la pamoja la yote.

Katika nadharia ya uwezekano, kama sheria, matumizi ya kiunganishi "na" inaashiria jumla, na kiunganishi "au" - kuzidisha. Fomula zilizo na mifano zitakusaidia kuelewa mantiki ya kujumlisha na kuzidisha katika nadharia ya uwezekano.

Uwezekano wa jumla ya matukio yasiyolingana

Ikiwa uwezekano wa matukio yasiyolingana unazingatiwa, basi uwezekano wa jumla ya matukio ni sawa na nyongeza ya uwezekano wao:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Kwa mfano: hebu tuhesabu uwezekano huo kwa Kihispania. Nambari 1 yenye mipira ya bluu na nyekundu, nambari kati ya 1 na 4 itaonekana. Hatutahesabu kwa hatua moja, lakini kwa jumla ya uwezekano wa vipengele vya msingi. Kwa hivyo, katika jaribio kama hilo kuna mipira 6 tu au 6 ya matokeo yote yanayowezekana. Nambari zinazokidhi hali hiyo ni 2 na 3. Uwezekano wa kupata namba 2 ni 1/6, uwezekano wa kupata namba 3 pia ni 1/6. Uwezekano wa kupata nambari kati ya 1 na 4 ni:

Uwezekano wa jumla ya matukio yasiyolingana ya kikundi kamili ni 1.

Kwa hivyo, ikiwa katika majaribio na mchemraba tunaongeza uwezekano wa nambari zote zinazoonekana, matokeo yatakuwa moja.

Hii pia ni kweli kwa matukio tofauti, kwa mfano katika jaribio la sarafu, ambapo upande mmoja ni tukio A, na pili ni tukio kinyume Ā, kama inavyojulikana,

P(A) + P(Ā) = 1

Uwezekano wa matukio yasiokubaliana kutokea

Kuzidisha kwa uwezekano hutumiwa wakati wa kuzingatia tukio la matukio mawili au zaidi yasiokubaliana katika uchunguzi mmoja. Uwezekano kwamba matukio A na B yatatokea ndani yake wakati huo huo ni sawa na bidhaa ya uwezekano wao, au:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Kwa mfano, uwezekano kwamba katika Kihispania Nambari 1, kama matokeo ya majaribio mawili, mpira wa bluu utaonekana mara mbili, sawa na

Hiyo ni, uwezekano wa tukio kutokea wakati, kama matokeo ya majaribio mawili ya kutoa mipira, mipira ya bluu tu hutolewa ni 25%. Ni rahisi sana kufanya majaribio ya vitendo juu ya tatizo hili na kuona kama hii ni kweli kesi.

Matukio ya pamoja

Matukio yanazingatiwa wakati tukio la mmoja wao linaweza sanjari na tukio la mwingine. Licha ya ukweli kwamba wao ni pamoja, uwezekano wa matukio ya kujitegemea huzingatiwa. Kwa mfano, kurusha kete mbili kunaweza kutoa matokeo pale nambari 6 inapoonekana kwenye pande zote mbili.Ingawa matukio yaliendana na kuonekana kwa wakati mmoja, yanajitegemea - ni sita tu ndio inaweza kuanguka, kufa kwa pili hakuna. ushawishi juu yake.

Uwezekano wa matukio ya pamoja huzingatiwa kama uwezekano wa jumla yao.

Uwezekano wa jumla ya matukio ya pamoja. Mfano

Uwezekano wa jumla ya matukio A na B, ambayo yameunganishwa kwa uhusiano wa kila mmoja, ni sawa na jumla ya uwezekano wa tukio hilo ukiondoa uwezekano wa kutokea kwao (ambayo ni, tukio lao la pamoja):

R pamoja (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Wacha tufikirie kuwa uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja ni 0.4. Kisha tukio A linagonga lengo katika jaribio la kwanza, B - kwa pili. Matukio haya ni ya pamoja, kwani inawezekana kwamba unaweza kugonga lengo na risasi za kwanza na za pili. Lakini matukio hayategemei. Kuna uwezekano gani wa tukio la kugonga shabaha kwa risasi mbili (angalau na moja)? Kulingana na formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jibu la swali ni: "Uwezekano wa kugonga shabaha kwa risasi mbili ni 64%.

Fomula hii ya uwezekano wa tukio pia inaweza kutumika kwa matukio yasiyolingana, ambapo uwezekano wa tukio la pamoja la tukio P(AB) = 0. Hii ina maana kwamba uwezekano wa jumla ya matukio yasiokubaliana unaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum. ya fomula iliyopendekezwa.

Jiometri ya uwezekano wa uwazi

Kwa kupendeza, uwezekano wa jumla wa matukio ya pamoja unaweza kuwakilishwa kama maeneo mawili A na B, ambayo yanaingiliana. Kama inavyoonekana kutoka kwenye picha, eneo la umoja wao ni sawa na eneo la jumla la eneo la makutano yao. Maelezo haya ya kijiometri hufanya fomula inayoonekana kutokuwa na mantiki kueleweka zaidi. Kumbuka kuwa suluhisho za kijiometri sio kawaida katika nadharia ya uwezekano.

Kuamua uwezekano wa jumla ya matukio mengi (zaidi ya mawili) ya pamoja ni ngumu sana. Ili kuhesabu, unahitaji kutumia fomula ambazo hutolewa kwa kesi hizi.

Matukio Tegemezi

Matukio huitwa tegemezi ikiwa tukio la moja (A) kati yao huathiri uwezekano wa tukio la mwingine (B). Aidha, ushawishi wa matukio yote mawili ya tukio A na kutotokea kwake huzingatiwa. Ingawa matukio huitwa tegemezi kwa ufafanuzi, ni moja tu kati yao tegemezi (B). Uwezekano wa kawaida ulibainishwa kama P(B) au uwezekano wa matukio huru. Katika kesi ya matukio tegemezi, dhana mpya huletwa - uwezekano wa masharti P A (B), ambayo ni uwezekano wa tukio tegemezi B, kulingana na tukio la tukio A (hypothesis), ambayo inategemea.

Lakini tukio A pia ni la nasibu, kwa hivyo pia lina uwezekano ambao unahitaji na unaweza kuzingatiwa katika mahesabu yaliyofanywa. Mfano ufuatao utaonyesha jinsi ya kufanya kazi na matukio tegemezi na hypothesis.

Mfano wa kuhesabu uwezekano wa matukio tegemezi

Mfano mzuri wa kuhesabu matukio tegemezi itakuwa staha ya kawaida ya kadi.

Kwa kutumia staha ya kadi 36 kama mfano, hebu tuangalie matukio tegemezi. Tunahitaji kuamua uwezekano kwamba kadi ya pili inayotolewa kutoka kwa staha itakuwa ya almasi ikiwa kadi ya kwanza inayotolewa ni:

  1. Bubnovaya.
  2. Rangi tofauti.

Kwa wazi, uwezekano wa tukio la pili B inategemea A. Kwa hivyo, ikiwa chaguo la kwanza ni kweli, kuna kadi 1 (35) na almasi 1 (8) chini kwenye sitaha, uwezekano wa tukio B:

R A (B) =8/35=0.23

Ikiwa chaguo la pili ni kweli, basi staha ina kadi 35, na idadi kamili ya almasi (9) bado imehifadhiwa, basi uwezekano wa tukio lifuatalo B:

R A (B) =9/35=0.26.

Inaweza kuonekana kuwa ikiwa tukio A limewekwa kwa ukweli kwamba kadi ya kwanza ni almasi, basi uwezekano wa tukio B hupungua, na kinyume chake.

Kuzidisha matukio tegemezi

Tukiongozwa na sura iliyotangulia, tunakubali tukio la kwanza (A) kama ukweli, lakini kimsingi, ni la asili ya nasibu. Uwezekano wa tukio hili, ambalo ni kuchora almasi kutoka kwa staha ya kadi, ni sawa na:

P(A) = 9/36=1/4

Kwa kuwa nadharia haipo yenyewe, lakini imekusudiwa kutumika kwa madhumuni ya vitendo, ni sawa kutambua kwamba kile kinachohitajika mara nyingi ni uwezekano wa kutoa matukio tegemezi.

Kulingana na nadharia juu ya bidhaa ya uwezekano wa matukio tegemezi, uwezekano wa kutokea kwa matukio tegemezi ya pamoja A na B ni sawa na uwezekano wa tukio moja A, lililozidishwa na uwezekano wa masharti wa tukio B (inategemea A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Halafu, katika mfano wa staha, uwezekano wa kuchora kadi mbili na suti ya almasi ni:

9/36*8/35=0.0571, au 5.7%

Na uwezekano wa kuchimba sio almasi kwanza, na kisha almasi, ni sawa na:

27/36*9/35=0.19, au 19%

Inaweza kuonekana kuwa uwezekano wa tukio B kutokea ni mkubwa mradi kadi ya kwanza inayochorwa ni ya suti tofauti na almasi. Matokeo haya ni ya kimantiki na yanaeleweka.

Jumla ya uwezekano wa tukio

Wakati shida na uwezekano wa masharti inakuwa nyingi, haiwezi kuhesabiwa kwa kutumia njia za kawaida. Wakati kuna dhana zaidi ya mbili, ambazo ni A1, A2,…, A n, ..huunda kundi kamili la matukio yaliyotolewa:

  • P(A i)>0, i=1,2,...
  • A i ∩ A j =Ø,i≠j.
  • Σ k A k =Ω.

Kwa hivyo, fomula ya uwezekano wa jumla wa tukio B na kundi kamili la matukio ya nasibu A1, A2,..., A n ni sawa na:

Mtazamo wa siku zijazo

Uwezekano wa tukio la nasibu ni muhimu sana katika maeneo mengi ya sayansi: uchumi, takwimu, fizikia, n.k. Kwa kuwa baadhi ya michakato haiwezi kuelezewa kimaamuzi, kwa kuwa yenyewe ni ya uwezekano wa asili, mbinu maalum za kufanya kazi zinahitajika. Nadharia ya uwezekano wa tukio inaweza kutumika katika uwanja wowote wa kiteknolojia kama njia ya kuamua uwezekano wa hitilafu au utendakazi.

Tunaweza kusema kwamba kwa kutambua uwezekano, sisi kwa namna fulani tunachukua hatua ya kinadharia katika siku zijazo, tukiiangalia kupitia prism ya fomula.