1. Kwa kuzingatia wima za pembetatu ABC.A(–9; –2), KATIKA(3; 7), NA(1; –7).
1) urefu wa upande AB;
2) milinganyo ya pande AB Na AC na mgawo wao wa angular;
3) pembe A katika radians;
4) usawa wa urefu NAD na urefu wake;
5) equation ya duara ambayo urefu NAD kuna kipenyo;
6) mfumo wa usawa wa mstari unaofafanua pembetatu ABC.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora.
1. Hebu tutafute urefu wa upande AB. Umbali kati ya pointi mbili imedhamiriwa na formula
2. Wacha tupate hesabu za pandeAB NaAC na mgawo wao wa angular.
Wacha tuandike mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia nukta mbili.
Huu ni mlinganyo wa jumla wa mstari. Wacha tuitatue kwa heshima na y, tunapata
, mteremko wa mstari wa moja kwa moja ni sawa na 
Vivyo hivyo kwa upande wa AC tunayo.
mteremko wa mstari wa moja kwa moja ni sawa na 
3. TutapatakonaA
katika radiani.
Hii ni pembe kati ya vekta mbili 
Na 
. Hebu tuandike kuratibu za vekta. Cosine ya pembe kati ya vectors ni sawa na
4. Tutapataequation ya urefuNA
D
na urefu wake.
, kwa hiyo, coefficients zao za angular zinahusiana na uhusiano 
.
Hebu tuandike equation ya urefu kupitia mgawo wa angular
Nukta 
ni ya CD ya mstari, kwa hivyo viwianishi vyake vinakidhi equation ya mstari, kwa hivyo tunayo 
Hatimaye 
au
Tunahesabu urefu wa urefu kama umbali kutoka kwa uhakika C hadi mstari wa moja kwa moja wa AB
5. Wacha tupate equation ya duara, kwa urefu ganiNA D kuna kipenyo.
Tunapata kuratibu za nukta D kama sehemu ya makutano ya mistari miwili ya moja kwa moja AB na CD, milinganyo ambayo inajulikana.
Wacha tupate kuratibu za hatua O - katikati ya duara. Hii ni katikati ya sehemu ya CD.
Radi ya mduara ni 
Hebu tuandike equation ya duara.
6) Hebu tufafanue pembetatuABC mfumo wa usawa wa mstari.
Wacha tupate equation ya mstari CB.
Mfumo wa usawa wa mstari utaonekana kama hii.
2. Tatua mfumo huu wa milinganyo kwa kutumia fomula za Cramer. Angalia suluhisho linalosababisha.
Suluhisho. Wacha tuhesabu kiashiria cha mfumo huu:
.
Tutafute viambuzi 
na kutatua mfumo:
Uchunguzi:
Jibu:
3. Andika mfumo wa milinganyo katika fomu ya matrix na usuluhishe kwa kutumia
matrix ya kinyume. Angalia suluhisho linalosababisha
Suluhisho.
Wacha tupate kibainishi cha matrix A
matrix sio umoja na ina kinyume. Wacha tupate nyongeza zote za aljebra na tuunde matrix ya muungano. 
Matrix inverse ina fomu: 
Hebu tufanye kuzidisha 
na upate vekta ya suluhisho.
Uchunguzi
. 
Jibu: 
Suluhisho.
N = (2, 1). Chora mstari wa ngazi perpendicular kwa vector ya kawaida na usonge kwa mwelekeo wa kawaida,
Kazi ya lengo hufikia kiwango cha chini katika hatua A, na upeo wake katika hatua B. Tunapata kuratibu za pointi hizi kwa kutatua kwa pamoja usawa wa mistari kwenye makutano ambayo iko.
5. Kampuni ya usafiri haihitaji zaidi A mabasi ya tani tatu na si zaidi V
mabasi ya tani tano. Bei ya kuuza ya mabasi ya chapa ya kwanza ni USD 20,000, ya chapa ya pili
40000 USD Kampuni ya kusafiri haiwezi kutenga zaidi ya Na c.u
Ni mabasi ngapi ya kila chapa inapaswa kununuliwa tofauti ili jumla yao
(jumla) uwezo wa kupakia ulikuwa wa juu zaidi. Tatua tatizo kwa picha.
A= 20 V= 18 Na= 1000000
Suluhisho.
Wacha tuunda mfano wa hesabu wa shida .
Wacha tuonyeshe kwa 
- idadi ya mabasi ya kila tani ambayo itanunuliwa. Madhumuni ya ununuzi ni kuwa na uwezo wa juu wa kubeba wa mashine zilizonunuliwa, zilizoelezewa na kazi ya lengo
Vikwazo vya kazi vinatambuliwa na idadi ya mabasi yaliyonunuliwa na gharama zao.
Wacha tusuluhishe shida kwa picha. . Tunaunda eneo la suluhisho zinazowezekana kwa shida na za kawaida kwa mistari ya kiwango N = (3, 5). Chora mstari wa ngazi perpendicular kwa vector ya kawaida na usonge kwa mwelekeo wa kawaida.
Kazi ya lengo hufikia upeo wake kwa uhakika 
, kipengele cha kukokotoa cha lengo kinachukua thamani .
Suluhisho. 1. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni mhimili mzima wa nambari.
2, kipengele cha kukokotoa si cha kawaida wala kisicho cha kawaida.
3. Wakati x=0, y=20
4. Tunachunguza kazi kwa monotonicity na extrema.
Wacha tupate sufuri za derivative
Vituo vya stationary vya shughuli.
Wacha tupange alama za stationary kwenye mhimili wa Ox na tuangalie ishara za derivative kwenye kila sehemu ya mhimili.
- kiwango cha juu 
; 
- kiwango cha chini 
5. Tunachunguza grafu ya kazi kwa convexity na concavity. Wacha tuchukue derivative ya 2
Sehemu ya kugeuza ya grafu ya chaguo za kukokotoa.
Katika 
- kazi ni convex; katika 
- kazi ni concave.
Grafu ya chaguo la kukokotoa inaonekana kama
6. Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda [-1; 4]
Hebu tuhesabu thamani ya chaguo za kukokotoa kwenye miisho ya sehemu 
Kwa kiwango cha chini, kazi inachukua maadili, kwa hivyo, thamani ndogo zaidi kwenye sehemu [-1; 4] kazi inachukua kwa kiwango cha chini, na kiwango cha juu kwenye mpaka wa kushoto wa muda.
7. Pata viambatanisho visivyo na kikomo na angalia matokeo ya ujumuishaji
utofautishaji.
Suluhisho.
Uchunguzi.
Hapa bidhaa ya cosine imebadilishwa na jumla, kulingana na fomula za trigonometric.
1. Equation ya pande AB na BC na coefficients yao angular.
Mgawo huo unatoa viwianishi vya alama ambazo mistari hii hupita, kwa hivyo tutatumia mlinganyo wa mstari kupita pointi mbili ulizopewa $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ mbadala na upate milinganyo
mlinganyo wa mstari AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ mteremko wa mstari ulionyooka AB ni sawa na \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
mlinganyo wa mstari BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ mteremko wa mstari BC ni sawa na \ (k_( BC) = -7\)
2. Pembe B katika radiani yenye usahihi wa tarakimu mbili
Pembe B ni pembe kati ya mistari AB na BC, ambayo inakokotolewa kwa fomula $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ badala ya thamani za migawo ya angular. kati ya mistari hii na upate $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \takriban 0.79$$
3.Urefu wa upande AB
Urefu wa upande AB unakokotolewa kama umbali kati ya pointi na ni sawa na \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Equation ya urefu wa CD na urefu wake.
Tutapata equation ya urefu kwa kutumia fomula ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu fulani C(4;13) katika mwelekeo fulani - perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja AB kwa kutumia formula \(y-y_0=k(x-x_0) \). Hebu tutafute mgawo wa angular wa urefu \(k_(CD)\) kwa kutumia sifa ya mistari ya pembeni \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) tunapata $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Tunabadilisha mstari ulionyooka kwenye mlinganyo, tunapata $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Tutatafuta urefu wa urefu kama umbali kutoka nukta C(4;13) hadi mstari ulionyooka AB kwa kutumia fomula $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ katika nambari ni mlinganyo ya mstari mnyoofu AB, wacha tuipunguze kwa fomu hii \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , badala ya matokeo mlinganyo na viwianishi vya nukta katika fomula $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Equation ya AE ya wastani na kuratibu za uhakika K, makutano ya wastani huu na CD ya urefu.
Tutatafuta mlinganyo wa wastani kama mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia nukta mbili zilizopewa A(-6;8) na E, ambapo nukta E ndio sehemu ya katikati kati ya nukta B na C na viwianishi vyake vinapatikana kulingana na fomula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) badala ya viwianishi vya pointi \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), kisha mlingano wa AE ya wastani itakuwa $$\frac(x+6)(5+) ifuatayo. 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Tutafute viwianishi vya sehemu ya makutano ya urefu na wastani, i.e. hebu tutafute hoja yao ya kawaida. Ili kufanya hivyo, tutaunda equation ya mfumo $$\begin(kesi)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \ frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(kesi)=>\anza(kesi)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\mwisho(kesi)=>$$ $$\anza(kesi)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\mwisho(kesi)=> \anza(kesi)25y =175\\3y = 4x+23\mwisho(kesi)=> $ $$$\anza(kesi) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\mwisho(kesi)$$ Viratibu vya sehemu ya makutano \(K(-\frac(1)(2); 7)\)
6. Mlingano wa mstari unaopita kwenye nukta K sambamba na upande wa AB.
Ikiwa mstari wa moja kwa moja ni sawa, basi coefficients yao ya angular ni sawa, i.e. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), viwianishi vya nukta \(K(-\frac(1)(2);7)\) pia vinajulikana. , yaani. kupata equation ya mstari wa moja kwa moja, tunatumia fomula ya equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu fulani katika mwelekeo fulani \(y - y_0=k(x-x_0)\), badilisha data na upate $. $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Viwianishi vya nukta M ambayo ni linganifu ili kuelekeza A kuhusiana na CD ya mstari ulionyooka.
Point M iko kwenye mstari wa AB, kwa sababu CD ni urefu wa upande huu. Wacha tupate sehemu ya makutano ya CD na AB; kwa kufanya hivyo, suluhisha mfumo wa hesabu $$\begin(kesi)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\mwisho(kesi) =>\anza(kesi)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\mwisho(kesi) => $$$\anza(kesi )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\mwisho(kesi) =>
\anza(kesi)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\mwisho(kesi) => $$$$\anza(kesi)x=-2\\y=5 \mwisho(kesi)$$ Kuratibu za uhakika D (-2;5). Kulingana na hali AD=DK, umbali huu kati ya pointi unapatikana kwa fomula ya Pythagorean \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), ambapo AD na DK ndizo hypotenuses za pembetatu sawa za kulia, na \(Δx =x_2-x_1\) na \(Δy=y_2-y_1\) ni miguu ya pembetatu hizi, i.e. hebu tutafute miguu na tupate kuratibu za uhakika M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), na \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), kisha kuratibu ya uhakika M itakuwa sawa \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), na \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), tuligundua kuwa viwianishi vya nukta \( M(2;2)\)
Mfano wa kutatua kazi kadhaa kutoka kwa kazi ya kawaida "Jiometri ya uchambuzi kwenye ndege"
Viwango vinatolewa, 
,
pembetatu ABC. Tafuta:
Equations ya pande zote za pembetatu;
Mfumo wa usawa wa mstari unaofafanua pembetatu ABC;
Milinganyo ya mwinuko, wastani na sehemu mbili ya pembetatu inayotolewa kutoka kwenye kipeo A;
Sehemu ya makutano ya urefu wa pembetatu;
Sehemu ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu;
Urefu wa urefu uliopunguzwa kwa upande AB;
Kona A;
Fanya mchoro.
Acha wima za pembetatu ziwe na kuratibu: A (1; 4), KATIKA (5; 3), NA(3; 6). Wacha tuchore mchoro mara moja:
1. Kuandika hesabu za pande zote za pembetatu, tunatumia equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizopewa na kuratibu ( x 0 , y 0 ) Na ( x 1 , y 1 ):
=
Kwa hivyo, badala ya ( x 0 , y 0 ) viwianishi vya uhakika A, na badala ya ( x 1 , y 1 ) viwianishi vya uhakika KATIKA, tunapata equation ya mstari AB:
Equation inayotokana itakuwa equation ya mstari wa moja kwa moja AB, iliyoandikwa kwa fomu ya jumla. Vile vile, tunapata equation ya mstari wa moja kwa moja AC:
Na pia equation ya mstari wa moja kwa moja Jua:
2. Kumbuka kwamba seti ya pointi za pembetatu ABC inawakilisha makutano ya nusu-ndege tatu, na kila nusu-ndege inaweza kufafanuliwa kwa kutumia usawa wa mstari. Tukichukua mlinganyo wa upande wowote ∆ ABC, Kwa mfano AB, basi ukosefu wa usawa
Na 
fafanua pointi zilizo kwenye pande tofauti za mstari AB. Tunahitaji kuchagua nusu-ndege ambapo nukta C iko. Hebu tubadilishe viwianishi vyake katika tofauti zote mbili:
Ukosefu wa pili wa usawa utakuwa sahihi, ambayo ina maana kwamba pointi zinazohitajika zinatambuliwa na kutofautiana
.
Tunafanya vivyo hivyo na mstari wa moja kwa moja BC, equation yake 
. Tunatumia nukta A (1, 1) kama sehemu ya mtihani:
Hii ina maana kwamba ukosefu wa usawa unaohitajika una fomu:
.
Ikiwa tutaangalia mstari wa moja kwa moja AC (hatua ya mtihani B), tunapata:
Hii ina maana kwamba ukosefu wa usawa unaohitajika utakuwa na fomu
Hatimaye tunapata mfumo wa kukosekana kwa usawa:
Ishara "≤", "≥" inamaanisha kuwa vidokezo vilivyowekwa kwenye pande za pembetatu pia vinajumuishwa katika seti ya alama zinazounda pembetatu. ABC.
3. a) Ili kupata mlinganyo wa urefu ulioshuka kutoka kwenye kipeo A kwa upande Jua, fikiria equation ya upande Jua:
. Vector yenye kuratibu 
perpendicular kwa upande Jua na kwa hiyo sambamba na urefu. Hebu tuandike mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita kwenye nukta A sambamba na vector 
:
Huu ni mlinganyo wa urefu ulioachwa kutoka t. A kwa upande Jua.
b) Tafuta kuratibu za katikati ya upande Jua kulingana na formula: 
Hapa 
- hivi ndivyo viwianishi vya t. KATIKA, A 
- kuratibu t. NA. Wacha tubadilishe na tupate:
Mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua hii na uhakika A ni wastani unaohitajika:
c) Tutatafuta equation ya bisector kulingana na ukweli kwamba katika pembetatu ya isosceles urefu, wastani na bisector iliyoshuka kutoka vertex moja hadi msingi wa pembetatu ni sawa. Wacha tupate vekta mbili 
Na 
na urefu wao:
Kisha vector 
ina mwelekeo sawa na vector 
, na urefu wake 
Vivyo hivyo, vekta ya kitengo 
sanjari katika mwelekeo na vector 
Jumla ya Vekta
kuna vector ambayo inafanana katika mwelekeo na bisector ya angle A. Kwa hivyo, equation ya bisector inayotaka inaweza kuandikwa kama:
4) Tayari tumeunda equation kwa moja ya urefu. Wacha tuunda equation kwa urefu mwingine, kwa mfano, kutoka kwa vertex KATIKA. Upande AC iliyotolewa na equation 
Kwa hivyo vector 
perpendicular AC, na hivyo sambamba na urefu uliotaka. Kisha equation ya mstari unaopita kwenye vertex KATIKA katika mwelekeo wa vector 
(yaani. perpendicular AC), ina fomu:
Inajulikana kuwa urefu wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja. Hasa, hatua hii ni makutano ya urefu uliopatikana, i.e. kutatua mfumo wa equations:
- kuratibu za hatua hii.
5. Kati AB ina kuratibu 
. Hebu tuandike equation ya wastani kwa upande AB. Mstari huu hupitia pointi na kuratibu (3, 2) na (3, 6), ambayo ina maana kwamba equation yake ina fomu:
Kumbuka kwamba sifuri katika denominator ya sehemu katika equation ya mstari wa moja kwa moja ina maana kwamba mstari huu wa moja kwa moja unaenda sambamba na mhimili wa kuratibu.
Ili kupata sehemu ya makutano ya wapatanishi, inatosha kutatua mfumo wa equations:
Sehemu ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu ina viwianishi 
.
6. Urefu wa urefu uliopungua kwa upande AB, sawa na umbali kutoka kwa uhakika NA kwa mstari ulionyooka AB na mlinganyo 
na hupatikana kwa formula:
7. Cosine ya angle A inaweza kupatikana kwa kutumia formula ya cosine ya pembe kati ya vekta 
Na 
, ambayo ni sawa na uwiano wa bidhaa ya scalar ya vekta hizi kwa bidhaa ya urefu wao:
.