Kazi ya maandishi. Asilimia, aloi, ufumbuzi, matatizo ya kusonga kwenye mduara na kutafuta kasi ya wastani

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Elena alifanya amana katika benki kwa kiasi cha rubles 5,500. Riba ya amana huhesabiwa mara moja kwa mwaka na kuongezwa kwa kiasi cha sasa cha amana. Mwaka mmoja baadaye, Natalya aliweka kiasi sawa katika benki hiyo hiyo na chini ya hali sawa. Mwaka mmoja baadaye, Elena na Natalya wakati huo huo walifunga amana zao na kuchukua pesa. Kama matokeo, Elena alipokea rubles 739.2 zaidi ya Natalya alipokea. Tafuta asilimia ngapi kwa mwaka benki ilipata amana?

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Wacha asilimia ya kila mwaka iwe x, kisha baada ya mwaka mchango wa Elena ulikuwa:

5500 + 0.01x\cdot 5500 = 5500(1 + 0.01x) rubles, na mwaka mmoja baadaye - 5500 (1 + 0.01x)^2 rubles. Amana ya Natalya imekuwa katika benki kwa mwaka mmoja tu, kwa hiyo ni sawa na rubles 5500 (1 + 0.01x). Na tofauti kati ya amana zilizosababishwa za Elena na Natalya zilifikia rubles 739.2.

Wacha tuunda na kutatua equation:

5500(1+ 0.01x)^2-5500(1+0.01x)= 739,2,

(1+0.01x)^2-(1+0.01x)=0.1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Benki ilitoza 12% kwa mwaka.

Jibu

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Mjasiriamali Petrov alipokea faida ya rubles 12\,000 mnamo 2005. Kila mwaka uliofuata, faida yake iliongezeka kwa 110\% ikilinganishwa na mwaka uliopita. Petrov alipata rubles ngapi mnamo 2008?

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Mnamo 2005, faida ilikuwa rubles 12 \, 000, kila mwaka uliofuata iliongezeka kwa 110 \%, yaani, ikawa 210 \% = 2.1 kutoka mwaka uliopita. Katika miaka mitatu itakuwa sawa 12\,000\cdot 2.1^3 = 111\,132 ruble

Jibu

Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2017. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Kuna aloi mbili. Aloi ya kwanza ina chuma 12%, pili - 28% ya chuma. Uzito wa aloi ya pili ni kilo 2 zaidi kuliko wingi wa kwanza. Kutoka kwa aloi hizi mbili aloi ya tatu ilifanywa na maudhui ya chuma ya 21%. Pata wingi wa aloi ya tatu. Toa jibu lako kwa kilo.

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Wacha tuonyeshe wingi wa aloi ya kwanza kwa x kg. Kisha wingi wa alloy ya pili ni (x + 2) kg. Maudhui ya chuma katika alloy ya kwanza ni 0.12x kg, katika alloy ya pili ni 0.28 (x + 2) kg. Aloi ya tatu ina wingi wa x + x + 2 = 2x + 2 (kg), na maudhui yake ya chuma ni sawa na 2(x + 1) \cdoti 0.21 = 0.42(x + 1) kilo.

Wacha tuunda na kutatua equation:

0.12x+ 0.28(x + 2) = 0.42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Aloi ya tatu ina wingi wa 2\cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Jibu

Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2017. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Bei ya TV katika duka inapunguzwa kila robo mwaka (miezi mitatu katika robo) kwa idadi sawa ya asilimia kutoka kwa bei ya awali. Inajulikana kuwa TV yenye thamani ya rubles 50,000 iliuzwa robo mbili baadaye kwa rubles 41,405. Tafuta asilimia ambayo gharama ya TV ilipungua kila robo mwaka.

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Bei ya TV hapo awali ilikuwa rubles 50,000. block baadaye akawa 50\,000-50\,000\cdot0.01x = 50\,000(1-0.01x) rubles, ambapo x ni idadi ya asilimia ambayo bei ya TV inapunguzwa kila robo mwaka. Baada ya robo mbili bei yake ikawa

50\,000(1-0.01x)(1-0.01x)=50\,000(1-0.01x)^2.

Wacha tuunda na kutatua equation:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0.01x)^2=0.8281,

1-0.01x=0.91,

x=9.

Kwa hivyo, bei ya TV ilipungua kwa asilimia 9 kila robo mwaka.

Jibu

Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2017. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Mnamo 2005, watu 55,000 waliishi katika kijiji hicho. Mnamo 2006, kama matokeo ya ujenzi wa nyumba mpya, idadi ya wakaazi iliongezeka kwa 6%, na mnamo 2007 - kwa 10% ikilinganishwa na 2006. Tafuta idadi ya wakaazi wa kijiji hicho mnamo 2007.

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Mwaka 2006, idadi ya wakazi wa kijiji iliongezeka kwa 6%, i.e. ikawa 106%, ambayo ni sawa na 55\,000 \cdot 1.06 = 58\,300 (wenyeji). Mwaka 2007, idadi ya wakazi wa kijiji iliongezeka kwa 10% (ilikua 110%) ikilinganishwa na 2006, i.e. idadi ya wakazi wa kijiji ikawa 58\,300 \cdot 1.1 = 64\,130 watu.

Jibu

Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2017. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Onyesha suluhisho

Suluhisho

Lita 3 za mmumunyo wa maji 14% una 3\cdot0.14=0.42 lita. dutu fulani. Aliongeza lita 4 za maji, kulikuwa na lita 7 za suluhisho. Hizi lita 7 za suluhisho mpya zina lita 0.42 za dutu fulani. Wacha tupate mkusanyiko wa suluhisho mpya: 0.42:7\cdot100=6%.

Jibu

Chanzo: “Hisabati. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2017. Kiwango cha wasifu." Mh. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Aina ya kazi: 11
Mada: Matatizo yanayohusisha asilimia

Hali

Makampuni ya ujenzi yalianzisha kampuni yenye mtaji ulioidhinishwa wa rubles milioni 150. Kampuni ya kwanza ilichangia 20% ya mtaji ulioidhinishwa, kampuni ya pili - rubles milioni 22.5, ya tatu - 0.3 ya mji mkuu ulioidhinishwa, kampuni ya nne ilichangia iliyobaki.

Tazama pia video "Matatizo ya maandishi kwa Mtihani wa Jimbo Umoja katika hisabati".
Tatizo la neno sio tu harakati na kazi ya kazi. Pia kuna kazi kwa asilimia, juu ya ufumbuzi, aloi na mchanganyiko, juu ya kusonga kwenye mduara na kutafuta kasi ya wastani. Tutakuambia juu yao.

Hebu tuanze na matatizo yanayohusisha asilimia. Tayari tumekutana na mada hii katika kazi ya 1. Hasa, walitunga sheria muhimu: tunachukua kama thamani ambayo tunalinganisha nayo.

Tumeunda pia fomula muhimu:

ikiwa tutaongeza thamani kwa asilimia, tunapata .
ikiwa thamani imepunguzwa kwa asilimia, tunapata .
ikiwa thamani imeongezwa kwa asilimia na kisha kupunguzwa kwa , tunapata .

ikiwa tunaongeza thamani mara mbili kwa asilimia, tunapata
ikiwa thamani imepunguzwa mara mbili kwa asilimia, tunapata

Hebu tuzitumie kutatua matatizo.

Kulikuwa na watu wanaoishi katika block ya jiji kwa mwaka. Katika mwaka, kama matokeo ya ujenzi wa nyumba mpya, idadi ya wakazi iliongezeka, na mwaka - ikilinganishwa na mwaka. Ni watu wangapi walianza kuishi katika robo kwa mwaka?

Kwa mujibu wa hali hiyo, kwa mwaka idadi ya wakazi iliongezeka kwa , yaani, ikawa sawa na watu.

Na katika mwaka idadi ya wakazi iliongezeka kwa , sasa ikilinganishwa na mwaka. Tunapata kwamba katika mwaka mmoja kulikuwa na wakazi zaidi wanaoishi katika eneo hilo.

Tatizo lifuatalo lilipendekezwa katika jaribio la Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati mwezi Desemba mwaka huu. Ni rahisi, lakini wachache wameijua.

Siku ya Jumatatu, hisa za kampuni hiyo zilipanda bei kwa kiasi fulani cha asilimia, na Jumanne zilishuka kwa bei kwa kiasi sawa cha asilimia. Matokeo yake, wakawa nafuu kuliko wakati biashara ilipofunguliwa Jumatatu. Je, hisa za kampuni zilipanda bei kwa asilimia ngapi Jumatatu?

Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba kuna hitilafu katika hali na bei ya hisa haipaswi kubadilika kabisa. Baada ya yote, wamepanda bei na kushuka kwa bei kwa asilimia sawa! Lakini tusikimbilie. Tuseme kwamba wakati wa ufunguzi wa biashara siku ya Jumatatu hisa zilikuwa na thamani ya rubles. Kufikia Jumatatu jioni walikuwa wamepanda bei na kuanza kugharimu. Sasa thamani hii inachukuliwa kama , na kufikia Jumanne jioni hisa zilishuka kwa bei kwa thamani hii. Wacha tukusanye data kwenye jedwali:

	Jumatatu asubuhi	Jumatatu usiku	Jumanne jioni
Bei ya hisa

Kulingana na hali hiyo, hatimaye hisa zilishuka kwa bei.

Tunapata hilo

Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na (baada ya yote, sio sawa na sifuri) na tutumie fomula iliyofupishwa ya kuzidisha upande wa kushoto.

Kulingana na maana ya tatizo, thamani ni chanya.
Tunapata hiyo.

Bei ya jokofu katika duka hupungua kila mwaka kwa asilimia sawa kutoka kwa bei ya awali. Tambua kwa asilimia gani bei ya friji ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka miwili baadaye iliuzwa kwa rubles.

Tatizo hili pia linatatuliwa kwa kutumia moja ya fomula zilizotolewa mwanzoni mwa kifungu. Jokofu inagharimu rubles. Bei yake imepungua mara mbili kwa , na sasa ni sawa na

Mashati manne ni nafuu zaidi kuliko koti kwa. Je, ni asilimia ngapi ya shati tano ni ghali zaidi kuliko koti?

Hebu gharama ya shati iwe sawa na, gharama ya koti. Kama kawaida, tunachukua kama asilimia mia moja ya thamani ambayo tunalinganisha, ambayo ni, bei ya koti. Kisha gharama ya mashati manne ni sawa na bei ya koti, yaani
.

Gharama ya shati moja ni mara kadhaa chini:
,
na gharama ya mashati tano:

Tulichopata ni shati tano ambazo zilikuwa ghali kuliko koti.

Jibu:.

Familia ina mume, mke na binti yao mwanafunzi. Ikiwa mshahara wa mume ungeongezeka maradufu, jumla ya mapato ya familia yangeongezeka kwa . Ikiwa ufadhili wa masomo ya binti ungepunguzwa kwa nusu, jumla ya mapato ya familia yangepunguzwa kwa . Ni asilimia ngapi ya jumla ya mapato ya familia ni mshahara wa mke?

Hebu tuchore meza. Tutaita hali zilizotajwa katika tatizo ("ikiwa mshahara wa mume uliongezeka, ikiwa udhamini wa binti ulipungua ...") "hali" na "hali".

	mume	mke	binti	Jumla ya mapato
Kwa kweli
Hali
Hali

Inabakia kuandika mfumo wa equations.

Lakini tunaona nini? Equations mbili na tatu haijulikani! Hatutaweza kuzipata kando. Kweli, hatuhitaji hii. Ni bora kuchukua equation ya kwanza na kuondoa jumla kutoka pande zake zote mbili. Tunapata:

Hii ina maana kwamba mshahara wa mume ni sehemu ya jumla ya mapato ya familia.

Katika equation ya pili, sisi pia tunatoa usemi kutoka pande zote mbili, kurahisisha na kupata hiyo

Hii ina maana kwamba udhamini wa binti unategemea jumla ya mapato ya familia. Kisha mshahara wa mke ni jumla ya mapato.

Jibu:.

Aina inayofuata ya matatizo ni matatizo yanayohusisha ufumbuzi, mchanganyiko na aloi. Hazipatikani tu katika hisabati, bali pia katika kemia. Tutakuambia kuhusu njia rahisi zaidi ya kuzitatua.

Lita za maji ziliongezwa kwenye chombo kilicho na lita za asilimia ya ufumbuzi wa maji ya dutu fulani. Ni asilimia ngapi ya mkusanyiko wa suluhisho linalosababisha?

Picha husaidia kutatua shida kama hizo. Wacha tuonyeshe chombo kilicho na suluhisho kimfumo - kana kwamba dutu na maji ndani yake havikuchanganywa na kila mmoja, lakini kutengwa kutoka kwa kila mmoja, kama kwenye jogoo. Na hebu tuandike ni lita ngapi za vyombo vinavyo na asilimia gani ya dutu inayo. Hebu tuonyeshe mkusanyiko wa suluhisho linalosababisha.

Chombo cha kwanza kilikuwa na lita za dutu hii. Chombo cha pili kilikuwa na maji tu. Hii inamaanisha kuwa chombo cha tatu kina idadi sawa ya lita za dutu kama ya kwanza:

Tulichanganya kiasi fulani cha -asilimia ufumbuzi wa dutu fulani na kiasi sawa cha -asilimia ufumbuzi wa dutu hii. Ni asilimia ngapi ya mkusanyiko wa suluhisho linalosababisha?

Hebu wingi wa suluhisho la kwanza iwe sawa na . Uzito wa pili ni sawa. Matokeo yake, tulipata suluhisho na wingi wa . Hebu tuchore picha.

Tunapata:

Jibu:.

Zabibu zina unyevu, na zabibu zina unyevu. Ni kilo ngapi za zabibu zinahitajika kutoa kilo za zabibu?

Makini! Ikiwa utapata shida "kuhusu bidhaa", ambayo ni, moja ambapo zabibu hutengenezwa kutoka kwa zabibu, apricots kutoka kwa apricots, crackers kutoka mkate au jibini la Cottage kutoka kwa maziwa - ujue kwamba hii ni kweli tatizo juu ya ufumbuzi. Tunaweza pia kuonyesha takriban zabibu kama suluhisho. Ina maji na "kitu kavu". "Jambo kavu" lina muundo wa kemikali tata, na kwa ladha yake, rangi na harufu tunaweza kuelewa kuwa haya ni zabibu na sio viazi. Zabibu hutolewa wakati maji yanavukiza kutoka kwa zabibu. Wakati huo huo, kiasi cha "jambo kavu" kinabaki mara kwa mara. Zabibu zilikuwa na maji, ambayo ina maana kwamba kulikuwa na "jambo kavu". Zabibu zina maji na "kitu kavu". Hebu kilo moja ya zabibu izae kilo moja ya zabibu. Kisha

Kutoka kutoka

Wacha tufanye equation:

na tutaipata.

Jibu:.

Kuna aloi mbili. Aloi ya kwanza ina nickel, ya pili - nickel. Kutoka kwa aloi hizi mbili, aloi ya tatu yenye uzito wa kilo iliyo na nikeli ilipatikana. Uzito wa aloi ya kwanza ni kilo ngapi chini ya misa ya pili?

Hebu wingi wa aloi ya kwanza iwe x, na wingi wa alloy ya pili iwe y. Matokeo yake yalikuwa aloi yenye wingi wa .

Wacha tuandike mfumo rahisi wa hesabu:

Equation ya kwanza ni wingi wa alloy kusababisha, pili ni wingi wa nickel.

Kutatua, tunapata hiyo.

Jibu:.

Kwa kuchanganya -asilimia na -asilimia ufumbuzi wa asidi na kuongeza kilo ya maji safi, tulipata -asilimia ufumbuzi wa asidi. Ikiwa badala ya kilo ya maji ufumbuzi wa kilo -asilimia ya asidi sawa iliongezwa, tutapata ufumbuzi wa asilimia ya asidi. Ni kilo ngapi za -asilimia ya suluhisho ilitumika kupata mchanganyiko?

Hebu wingi wa suluhisho la kwanza liwe, wingi wa pili ni sawa na. Wingi wa suluhisho linalosababishwa ni sawa na . Hebu tuandike milinganyo miwili kwa kiasi cha asidi.

Tunatatua mfumo unaosababisha. Wacha tuzidishe pande zote mbili za milinganyo kwa , kwani ni rahisi zaidi kufanya kazi na mgawo kamili kuliko na zile za sehemu. Hebu tufungue mabano.

Jibu:.

Matatizo ya mwendo wa mviringo pia yaligeuka kuwa magumu kwa wanafunzi wengi. Wao hutatuliwa kwa karibu sawa na matatizo ya kawaida ya harakati. Pia hutumia fomula. Lakini kuna hila moja ambayo tutakuambia.

Mwendesha baiskeli aliacha sehemu kwenye njia ya mviringo, na dakika chache baadaye mwendesha pikipiki akamfuata. Dakika chache baada ya kuondoka, alikutana na mwendesha baiskeli kwa mara ya kwanza, na dakika baada ya hapo akamshika kwa mara ya pili. Tafuta kasi ya mwendesha pikipiki ikiwa urefu wa njia ni km. Toa jibu lako kwa km/h.

Kwanza, hebu tugeuze dakika hadi saa, kwani kasi lazima ipatikane katika km / h. Tunaashiria kasi ya washiriki kama na. Kwa mara ya kwanza, mwendesha pikipiki alimshinda mwendesha baiskeli dakika moja baadaye, yaani, saa moja baada ya kuanza. Hadi wakati huu, mwendesha baiskeli alikuwa amekaa barabarani kwa dakika, yaani, saa moja.

Wacha tuandike data hii kwenye jedwali:


mwendesha baiskeli
mwendesha pikipiki

Wote wawili walisafiri umbali sawa, yaani.

Kisha mwendesha pikipiki akampita mwendesha baiskeli kwa mara ya pili. Hii ilitokea dakika, yaani, saa moja baada ya kuvuka kwa mara ya kwanza.

Wacha tuchore meza ya pili.


mwendesha baiskeli
mwendesha pikipiki

Walisafiri umbali gani? Dereva wa pikipiki alimshinda mwendesha baiskeli. Hii ina maana aliendesha paja moja zaidi. Hii ndiyo siri ya kazi hii. Lap moja ni urefu wa wimbo, ni sawa na km. Tunapata equation ya pili:

Hebu tutatue mfumo unaosababisha.

Tunapata hiyo. Kwa kujibu, tunaandika kasi ya mwendesha pikipiki.

Jibu:.

Saa yenye mikono inaonyesha masaa dakika. Ni kwa dakika ngapi mkono wa dakika utajipanga na mkono wa saa kwa mara ya nne?

Labda hii ndio kazi ngumu zaidi ya chaguzi za Mtihani wa Jimbo la Umoja. Kwa kweli, kuna suluhisho rahisi - chukua saa kwa mikono na uhakikishe kuwa mikono inalingana kwa mara ya nne kwa saa, haswa saa ..
Lakini vipi ikiwa una saa ya kielektroniki na hauwezi kutatua tatizo kwa majaribio?

Katika saa moja, mkono wa dakika husafiri mduara mmoja, na mkono wa saa husafiri mduara mmoja. Hebu kasi yao iwe (miduara kwa saa) na (miduara kwa saa). Anza - saa .. Wacha tupate wakati ambao mkono wa dakika utashika mkono wa saa kwa mara ya kwanza.

Mkono wa dakika utasafiri mduara mmoja zaidi, kwa hivyo equation itakuwa:

Baada ya kusuluhisha, tunapata saa hiyo. Kwa hiyo, kwa mara ya kwanza mikono itafanana kwa saa. Wacha wawe sawa mara ya pili baada ya muda. Mkono wa dakika utasafiri umbali, na mkono wa saa utasafiri mduara mmoja zaidi. Wacha tuandike equation:

Baada ya kusuluhisha, tunapata saa hiyo. Kwa hiyo, kwa saa moja mikono itafanana kwa mara ya pili, baada ya saa nyingine kwa mara ya tatu, na baada ya saa nyingine kwa mara ya nne.

Hii inamaanisha kwamba ikiwa mwanzo ulikuwa ., basi kwa mara ya nne mishale italingana
masaa.

Jibu linaendana kabisa na suluhisho la "majaribio"! :-)

Katika mtihani wako wa hesabu, unaweza pia kuulizwa kutafuta kasi ya wastani. Kumbuka kwamba kasi ya wastani si sawa na maana ya hesabu ya kasi. Inapatikana kwa kutumia formula maalum:

,
kasi ya wastani iko wapi, ni umbali wa jumla, ni wakati wa jumla.

Ikiwa kulikuwa na sehemu mbili za njia, basi

Msafiri alivuka bahari kwa yacht kwa kasi ya wastani ya km/h. Aliruka nyuma kwenye ndege ya michezo kwa kasi ya km/h. Tafuta wastani wa kasi ya msafiri katika safari nzima. Toa jibu lako kwa km/h.

Hatujui ni umbali gani ambao msafiri alisafiri. Tunajua tu kwamba umbali huu ulikuwa sawa njiani huko na kurudi. Kwa unyenyekevu, wacha tuchukue umbali huu kama (bahari moja). Kisha muda ambao msafiri alisafiri kwenye yacht ni sawa na , na muda uliotumika kwa ndege ni sawa na . Jumla ya wakati ni.
Kasi ya wastani ni km/h.

Jibu:.

Wacha tuonyeshe mbinu nyingine madhubuti inayokusaidia kutatua haraka mfumo wa milinganyo katika Tatizo la 13.

Andrey na Pasha hupaka uzio kwa saa moja. Pasha na Volodya huchora uzio huo kwa saa moja, na Volodya na Andrey - kwa saa moja. Itachukua saa ngapi wavulana kuchora uzio, wakifanya kazi pamoja?

Tayari tumetatua matatizo ya kazi na tija. Sheria ni sawa. Tofauti pekee ni kwamba kuna watu watatu wanaofanya kazi hapa, na pia kutakuwa na vigezo vitatu. Wacha kuwa tija ya Andrey, kuwa tija ya Pasha, na kuwa tija ya Volodya. Tutachukua uzio, yaani, kiasi cha kazi, kama - baada ya yote, hatuwezi kusema chochote kuhusu ukubwa wake.

	utendaji	Kazi
Andrey
Pasha
Volodya
Pamoja

Andrey na Pasha walipaka uzio kwa masaa. Tunakumbuka kwamba tunapofanya kazi pamoja, utendaji unaongezeka. Wacha tuandike equation:

Vile vile,

Kisha

.

Unaweza kutafuta, na kando, lakini ni bora kuongeza milinganyo yote matatu. Tunapata hilo

Hii ina maana kwamba, kufanya kazi pamoja, Andrey, Pasha na Volodya rangi moja ya nane ya uzio katika saa moja. Watapaka uzio mzima kwa masaa.

Uwezo wa kusuluhisha kwa usahihi na haraka shida za maneno zinazojumuisha asilimia ni muhimu sio tu kwa wanafunzi ambao wanakaribia kuchukua Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hesabu kwa kiwango cha msingi au maalum, lakini pia kwa watu wazima wote, kwani kazi kama hizo hukutana kila wakati katika maisha ya kila siku. . Kuongezeka kwa bei, kupanga bajeti ya familia, uwekezaji wa faida wa fedha na masuala mengine mengi hayawezi kutatuliwa bila ujuzi huu. Wakati wa kuandaa kufanya mtihani wa vyeti, lazima urudia jinsi ya kutatua matatizo yanayohusisha asilimia: katika Uchunguzi wa Jimbo la Umoja katika hisabati, hupatikana katika viwango vya msingi na maalum.

Haja ya kukumbuka

Asilimia ni \(\frac(1)(100)\) sehemu ya nambari. Inaashiria sehemu ya kitu kuhusiana na nzima. Alama iliyoandikwa ni \(\%\) . Wakati wa kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja juu ya mada "Asilimia," watoto wa shule huko Moscow na katika sehemu zingine za Shirikisho la Urusi wanahitaji kukumbuka fomula ifuatayo:

Jinsi ya kuitumia?

Ili kutatua kazi rahisi na asilimia katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, unahitaji:

Gawanya nambari uliyopewa na \(100\) .
Zidisha thamani inayotokana na kiasi cha \(\%\) kinachohitaji kupatikana.

Kwa mfano, ili kuhesabu \(10\%\) ya nambari \(300\) , unahitaji kupata \(1\) asilimia kwa kugawa \(300:100=3\) . Na nambari iliyopatikana kutoka kwa kitendo kilichotangulia ni \(3\cdot10=30\) . Jibu: \(30\).

Hizi ndizo kazi rahisi zaidi. Wanafunzi wa darasa la 11 katika Mtihani wa Jimbo la Umoja wanakabiliwa na hitaji la kutatua matatizo magumu yanayohusisha asilimia. Kama sheria, wanarejelea amana za benki au malipo. Unaweza kujijulisha na kanuni na sheria za matumizi yao kwa kwenda kwenye sehemu ya "Maelezo ya Kinadharia". Hapa huwezi kurudia tu ufafanuzi wa kimsingi, lakini pia kufahamiana na chaguzi za kutatua shida ngumu zinazojumuisha riba kwa mkopo wa benki, na pia mazoezi kutoka kwa sehemu zingine za algebra, kwa mfano,

Kutatua matatizo ya hisabati kwa kutumia dhana za asilimia za msingi.

Shida zinazohusisha asilimia hufundishwa kutatua kutoka kwa daraja la 5.

Kutatua shida za aina hii kunahusiana sana na algorithms tatu:

kutafuta asilimia ya nambari,
kutafuta nambari kwa asilimia yake,
kutafuta asilimia.

Wakati wa masomo na wanafunzi, wanaelewa kuwa mia ya mita ni sentimita, mia ya ruble ni senti, na mia moja ya kituo ni kilo. Watu wamegundua kwa muda mrefu kuwa mamia ya idadi ni rahisi katika mazoezi. Ndio maana jina maalum lilizuliwa kwao - asilimia.

Hii ina maana kopeck moja ni asilimia moja ya ruble moja, na sentimita moja ni asilimia moja ya mita moja.

Asilimia moja ni mia moja ya nambari. Katika alama za hisabati, asilimia moja imeandikwa kama ifuatavyo: 1%.

Ufafanuzi wa asilimia moja unaweza kuandikwa kama: 1% = 0.01. A

5%=0.05, 23%=0.23, 130%=1.3, nk.

Jinsi ya kupata 1% ya nambari?

Kwa kuwa 1% ni sehemu ya mia moja, unahitaji kugawanya nambari na 100. Mgawanyiko na 100 unaweza kubadilishwa kwa kuzidisha na 0.01. Kwa hivyo, ili kupata 1% ya nambari uliyopewa, unahitaji kuizidisha kwa 0.01. Na ikiwa unahitaji kupata 5% ya nambari, basi zidisha nambari hii kwa 0.05, nk.

Mfano. Pata: 25% ya 120.

25% = 0,25;
120 . 0,25 = 30.

Kanuni ya 1. Ili kupata asilimia fulani ya nambari, unahitaji kuandika asilimia kama sehemu ya desimali, na kisha kuzidisha nambari kwa sehemu hii ya desimali.

Mfano. Kigeuza kiligeuza sehemu 40 kwa saa moja. Akitumia kikata kilichotengenezwa kwa chuma chenye nguvu zaidi, alianza kugeuza sehemu 10 zaidi kwa saa. Je, tija ya wafanyikazi iliongezeka kwa asilimia ngapi?

Ili kutatua tatizo hili, tunahitaji kujua ni asilimia ngapi ya sehemu 10 ni kutoka 40. Ili kufanya hivyo, hebu kwanza tupate sehemu gani namba 10 ni kutoka kwa namba 40. Tunajua kwamba tunahitaji kugawanya 10 kwa 40. Matokeo yake ni. 0.25. Sasa hebu tuandike kama asilimia - 25%.

Jibu: tija ya wafanyikazi iliongezeka kwa 25%.

Kanuni ya 2. Ili kupata asilimia ngapi nambari moja ni ya nyingine, unahitaji kugawanya nambari ya kwanza na ya pili na kuandika sehemu inayosababisha kama asilimia.

Mfano. Kwa lengo lililopangwa la magari 60 kwa siku, kiwanda hicho kilitoa magari 66. Je, mmea ulitimiza mpango huo kwa asilimia ngapi?

66: 60 = 1.1 - sehemu hii imeundwa na magari yaliyotengenezwa kutoka kwa idadi ya magari kulingana na mpango. Hebu tuandike kama asilimia = 110%.

Jibu: 110%.

Mfano. Shaba ni aloi ya bati na shaba. Ni asilimia ngapi ya aloi ni shaba katika kipande cha shaba kilicho na kilo 6 za bati na kilo 34 za shaba?

6+ 34 =40 (kg) - wingi wa alloy nzima.
34: 40 = 0.85 = 85 (%) - alloy ni shaba.

Jibu: 85%.

Mfano. Mtoto wa tembo alipoteza uzito wa 20% katika chemchemi, kisha akapata uzito wa 30% wakati wa kiangazi, akapoteza uzito wa 20% tena katika msimu wa joto, na akapata uzani 10% wakati wa msimu wa baridi. Je, uzito wake umebaki sawa mwaka huu? Ikiwa imebadilika, kwa asilimia ngapi na kwa mwelekeo gani?

100 - 20 = 80 (%) - baada ya spring.
80 + 80 . 0.3 = 104 (%) - baada ya majira ya joto.
104 - 104. 0.2 = 83.2 (%) - baada ya vuli.
83.2 + 83.2. 0.1 = 91.52 (%) - baada ya majira ya baridi.

Jibu: kupoteza uzito wa 8.48%.

Mfano. Tuliacha kilo 20 za gooseberries kwa ajili ya kuhifadhi, matunda ambayo yana maji 99%. Maji katika matunda yalipungua hadi 98%. Je, kama matokeo utapata jamu ngapi?

100 - 99 = 1 (%) = 0.01 - uwiano wa suala kavu katika gooseberries kwanza.
20 . 0.01 = 0.2 (kg) - jambo kavu.
100 - 98 = 2 (%) = 0.02 - uwiano wa suala kavu katika gooseberries baada ya kuhifadhi.
0.2: 0.02 = 10 (kg) - ikawa gooseberries.

Jibu: 10 kg.

Mfano. Je, itakuwaje kwa bei ya bidhaa ikiwa kwanza itaongezwa kwa 25% na kisha kupungua kwa 25%?

Hebu bei ya bidhaa iwe x rub., Kisha baada ya kuongezeka kwa bidhaa gharama 125% ya bei ya awali, i.e. 1.25x, na baada ya kupunguzwa kwa 25%, gharama yake ni 75% au 0.75 ya bei iliyoongezeka, i.e.

0.75 .1.25x= 0.9375x,

basi bei ya bidhaa ilipungua kwa 6.25%, kwa sababu

x - 0.9375x = 0.0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Jibu: Bei ya awali ya bidhaa ilipungua kwa 6.25%.

Kanuni ya 3. Ili kupata uwiano wa asilimia ya namba mbili A na B, unahitaji kuzidisha uwiano wa nambari hizi kwa 100%, yaani, kuhesabu (A: B). 100%.

Mfano. Tafuta nambari ikiwa 15% yake ni 30.

15% = 0,15;
30: 0,15 = 200.

x - nambari iliyopewa;
0.15. x = 300;
x = 200.

Jibu: 200.

Mfano. Pamba mbichi hutoa nyuzi 24%. Je, pamba mbichi inachukua kiasi gani ili kupata kilo 480 za nyuzinyuzi?

Wacha tuandike 24% kama sehemu ya desimali 0.24 na tupate shida ya kupata nambari kutoka kwa sehemu inayojulikana (sehemu).
480: 0.24= 2000 kg = 2 t

Jibu: 2 t.

Mfano. Ni kilo ngapi za uyoga wa porcini lazima zikusanywe ili kupata kilo 1 ya uyoga kavu, ikiwa wakati wa kusindika uyoga safi, 50% ya misa yao inabaki, na wakati wa kukausha, 10% ya wingi wa uyoga uliosindika hubaki?

Kilo 1 cha uyoga kavu ni 10% au sehemu 0.01 iliyosindika, i.e.
Kilo 1: 0.1 = 10 kg ya uyoga wa kusindika, ambayo ni 50% au 0.5 uyoga uliokusanywa, i.e.
Kilo 10: 0.05=20 kg.

Jibu: 20 kg.

Mfano. Uyoga safi ulikuwa na 90% ya maji kwa uzito, na uyoga kavu ulikuwa na 12%. Utapata uyoga ngapi kavu kutoka kwa kilo 22 za uyoga safi?

22. 0.1 = 2.2 (kg) - uyoga kwa wingi katika uyoga safi; (0.1 ni 10% ya dutu kavu);
2.2: 0.88 = 2.5 (kg) - uyoga kavu uliopatikana kutoka kwa safi (kiasi cha suala kavu hakijabadilika, lakini asilimia yake katika uyoga imebadilika na sasa 2.2 kg ni 88% au 0.88 uyoga kavu ).

Jibu: 2.5 kg.

Kanuni ya 4. Ili kupata nambari iliyopewa asilimia zake, lazima ueleze asilimia kama sehemu, na kisha ugawanye thamani ya asilimia kwa sehemu hii.

Katika matatizo yanayohusisha hesabu za benki, riba rahisi na ya kawaida hupatikana. Kuna tofauti gani kati ya ukuaji wa riba rahisi na mchanganyiko? Kwa ukuaji rahisi, asilimia huhesabiwa kila wakati kulingana na thamani ya awali, na kwa ukuaji tata, huhesabiwa kutoka kwa thamani ya awali. Kwa ukuaji rahisi, 100% ni kiasi cha awali, na kwa ukuaji tata, 100% ni mpya kila wakati na sawa na thamani ya awali.

Mfano. Benki hulipa mapato ya 4% kwa mwezi kutoka kwa kiasi cha amana. Rubles elfu 300 ziliwekwa kwenye akaunti, mapato yanaongezwa kila mwezi. Kuhesabu kiasi cha amana baada ya miezi 3.

100 + 4 = 104 (%) = 1.04 - sehemu ya ongezeko la amana ikilinganishwa na mwezi uliopita.
300. 1.04 = 312 (rubles elfu) - kiasi cha amana baada ya mwezi 1.
312. 1.04 = 324.48 (rubles elfu) - kiasi cha amana baada ya miezi 2.
324.48. 1.04 = 337.4592 (rubles elfu) = 337,459.2 (r) - kiasi cha amana baada ya miezi 3.

Au unaweza kuchukua nafasi ya pointi 2-4 na moja, kurudia dhana ya shahada na watoto: 300.1,043 = 337.4592 (elfu rubles) = 337,459.2 (r) - kiasi cha mchango baada ya miezi 3.

Jibu: 337,459.2 rubles

Mfano. Vasya alisoma kwenye gazeti kwamba katika kipindi cha miezi 3 iliyopita, bei za vyakula zimeongezeka kwa wastani wa 10% kila mwezi. Bei zimeongezeka kwa asilimia ngapi ndani ya miezi 3?

Mfano. Pesa iliyowekezwa katika hisa za kampuni inayojulikana huleta mapato ya 20% kila mwaka. Je, kiasi kilichowekezwa kitaongezeka kwa miaka mingapi?

Hebu tuangalie mpango wa kazi sawa kwa kutumia mifano maalum.

Mfano. (Chaguo 1 Na. 16. OGE-2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. assignments_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Duka la michezo linashikilia tangazo. Jumper yoyote inagharimu rubles 400. Unaponunua jumpers mbili, unapata punguzo la 75% kwenye jumper ya pili. Utalazimika kulipa rubles ngapi kununua jumpers mbili wakati wa kipindi cha kukuza?

Kwa mujibu wa hali ya tatizo, zinageuka kuwa jumper ya kwanza inunuliwa kwa 100% ya gharama yake ya awali, na ya pili kwa 100 - 75 = 25 (%), i.e. Kwa jumla, mnunuzi lazima alipe 100 + 25 = 125 (%) ya gharama ya awali. Suluhisho linaweza kuzingatiwa kwa njia tatu.

1 njia.

Tunakubali rubles 400 kama 100%. Kisha 1% ina 400: 100 = 4 (rub.), na 125%
4 . 125 = 500 (kusugua.)

Mbinu 2.

Asilimia ya nambari hupatikana kwa kuzidisha nambari kwa sehemu inayolingana na asilimia au kuzidisha nambari kwa asilimia iliyotolewa na kugawanya kwa 100.
400. 1.25 = 500 au 400. 125/100 = 500.

3 njia.

Utumiaji wa mali ya uwiano:
400 kusugua. - 100%
x kusugua. - 125%, tunapata x = 125. 400/100 = 500 (kusugua.)

Jibu: 500 rubles.

Mfano. (Chaguo 4 Na. 16. OGE-2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. assignments_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Uzito wa wastani wa wavulana wa umri sawa na Gosha ni kilo 57. Uzito wa Gosha ni 150% ya uzito wa wastani. Gosha ina uzito wa kilo ngapi?

Sawa na mfano uliojadiliwa hapo juu, unaweza kuunda sehemu:

57 kg - 100%
x kg - 150%, tunapata x = 57. 150/100 = 85.5 (kg)

Jibu: 85.5 kg.

Mfano. (Chaguo la 7 Na. 16. OGE-2016. Hisabati. Jaribio la kawaida. assignments_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Baada ya TV kuwekewa alama chini, bei yake mpya ilikuwa 0.52 ya ile ya zamani. Je, bei ilipungua kwa asilimia ngapi kutokana na kushuka daraja?

1 njia.

Hebu kwanza tupate sehemu ya kupungua kwa bei. Ikiwa bei ya awali inachukuliwa kuwa 1, basi 1 - 0.52 = 0.48 ni sehemu ya kupunguza bei. Kisha tunapata 0.48. 100% = 48%. Wale. Bei ilipungua kwa 48% kama matokeo ya kushuka.

Mbinu 2.

Ikiwa bei ya asili inachukuliwa kama A, basi baada ya kuweka bei mpya ya TV itakuwa sawa na 0.52A, i.e. itapungua kwa A - 0.52A = 0.48A.

Wacha tufanye uwiano:
A - 100%
0.48A - x%, tunapata x = 0.48A. 100/A = 48 (%).

Jibu: bei ilipungua kwa 48% kama matokeo ya kushuka.

Mfano. (Chaguo la 9 Nambari 16. OGE-2016. Hisabati. Jaribio la kawaida. assignments_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Bidhaa inayouzwa ilipunguzwa kwa 15%, na sasa inagharimu rubles 680. Bidhaa iligharimu rubles ngapi kabla ya kuuza?

Kabla ya kupunguzwa kwa bei, bidhaa hiyo ilikuwa na thamani ya 100%. Bei ya bidhaa baada ya kuuza ilipungua kwa 15%, i.e. ikawa 100 - 15 = 85 (%), katika rubles thamani hii ni sawa na 680 rubles.

1 njia.

680: 85 = 8 (rub.) - katika 1%
8 . 100 = 800 (rub.) - gharama ya bidhaa kabla ya kuuza.

Mbinu 2.

Tatizo hili la kupata nambari kwa asilimia yake hutatuliwa kwa kugawanya nambari kwa asilimia inayolingana na kwa kubadilisha sehemu inayopatikana kuwa asilimia, kuzidisha na 100, au kwa kugawanya kwa sehemu iliyopatikana wakati wa kubadilisha kutoka kwa asilimia.
680:85. 100 = 800 (rub.) au 680: 0.85 = 800 (rub.)

3 njia.

Kwa kutumia uwiano:
680 kusugua. - 85%
x kusugua. - 100%, tunapata x = 680. 100/85 = 800 (kusugua.)

Jibu: Bidhaa hiyo inagharimu rubles 800 kabla ya kuuza.

Kutatua matatizo kwenye mchanganyiko na aloi, kwa kutumia dhana ya "asilimia", "mkusanyiko", "% ufumbuzi".

Kazi rahisi zaidi za aina hii zimepewa hapa chini.

Mfano. Ni kilo ngapi za chumvi katika kilo 10 za maji ya chumvi ikiwa asilimia ya chumvi ni 15%.

10 . 0.15 = 1.5 (kg) chumvi.

Jibu: 1.5 kg.

Asilimia ya dutu katika suluhisho (kwa mfano, 15%) wakati mwingine huitwa suluhisho la% (kwa mfano, 15% ya ufumbuzi wa chumvi).

Mfano. Aloi ina kilo 10 za bati na kilo 15 za zinki. Ni asilimia ngapi ya bati na zinki kwenye aloi?

Asilimia ya dutu katika aloi ni sehemu ambayo uzito wa dutu fulani hujumuisha uzito wa aloi nzima.

10 + 15 = 25 (kg) - alloy;
10:25. 100% = 40% - asilimia ya bati katika alloy;
15:25. 100% = 60% - asilimia ya zinki katika alloy.

Jibu: 40%, 60%.

Katika kazi za aina hii, wazo kuu ni "mkusanyiko". Ni nini?

Fikiria, kwa mfano, suluhisho la asidi katika maji.

Hebu chombo kiwe na lita 10 za suluhisho, ambalo lina lita 3 za asidi na lita 7 za maji. Kisha jamaa (kuhusiana na kiasi kizima) maudhui ya asidi katika suluhisho ni sawa. Nambari hii huamua mkusanyiko wa asidi katika suluhisho. Wakati mwingine huzungumza juu ya asilimia ya asidi katika suluhisho. Katika mfano uliotolewa, asilimia itakuwa: . Kama unaweza kuona, mpito kutoka kwa mkusanyiko hadi asilimia na kinyume chake ni rahisi sana.

Kwa hivyo, acha mchanganyiko wa misa M iwe na dutu ya misa m.

mkusanyiko wa dutu fulani katika mchanganyiko (alloy) inaitwa wingi;
asilimia ya dutu fulani inaitwa thamani c×100%;

Kutoka kwa formula ya mwisho inafuata kwamba kwa maadili yanayojulikana ya mkusanyiko wa dutu na jumla ya mchanganyiko (alloy), wingi wa dutu hii imedhamiriwa na formula m = c × M.

Shida zinazojumuisha mchanganyiko (aloi) zinaweza kugawanywa katika aina mbili:

Kwa mfano, mchanganyiko mbili (aloi) na molekuli m1 na m2 na viwango vya dutu fulani ndani yao sawa na c1 na c2, mtawaliwa, hubainishwa. Mchanganyiko (aloi) hutolewa (fused). Inahitajika kuamua wingi wa dutu hii katika mchanganyiko mpya (alloy) na mkusanyiko wake mpya. Ni wazi kwamba katika mchanganyiko mpya (alloy) wingi wa dutu hii ni sawa na c1m1 + c2m2, na mkusanyiko.
Kiasi fulani cha mchanganyiko (alloy) kinatajwa na kutoka kwa kiasi hiki huanza kutupa (kuondoa) kiasi fulani cha mchanganyiko (alloy), na kisha kuongeza (kuongeza) sawa au kiasi tofauti cha mchanganyiko (alloy) na mkusanyiko sawa wa dutu fulani au kwa mkusanyiko tofauti. Operesheni hii inafanywa mara kadhaa.

Wakati wa kutatua matatizo hayo, ni muhimu kuanzisha udhibiti juu ya kiasi cha dutu hii na mkusanyiko wake katika kila wimbi la chini, pamoja na kila nyongeza ya mchanganyiko. Kama matokeo ya udhibiti kama huo, tunapata usawa wa kutatua. Hebu tuangalie kazi maalum.

Ikiwa mkusanyiko wa dutu katika kiwanja kwa wingi ni P%, basi hii ina maana kwamba wingi wa dutu hii ni P% ya wingi wa kiwanja nzima.

Mfano. Mkusanyiko wa fedha katika aloi ya 300 g ni 87%. Hii ina maana kwamba kuna 261 g ya fedha safi katika alloy.

300. 0.87 = 261 (g).

Katika mfano huu, mkusanyiko wa dutu huonyeshwa kama asilimia.

Uwiano wa kiasi cha sehemu safi katika suluhisho kwa kiasi kizima cha mchanganyiko huitwa mkusanyiko wa volumetric wa sehemu hii.

Jumla ya viwango vya vipengele vyote vinavyounda mchanganyiko ni sawa na 1.

Ikiwa asilimia ya dutu inajulikana, basi mkusanyiko wake hupatikana kwa kutumia formula:
K = P/100%,
ambapo K ni mkusanyiko wa dutu;
P ni asilimia ya dutu (katika asilimia).

Mfano. (Chaguo 8 Na. 22. OGE-2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. assignments_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Matunda mapya yana maji 75%, wakati matunda yaliyokaushwa yana 25%. Ni kiasi gani cha matunda safi kinahitajika kuandaa kilo 45 za matunda yaliyokaushwa?

Ikiwa matunda mapya yana maji 75%, basi jambo kavu litakuwa 100 - 75 = 25 (%), na matunda yaliyokaushwa yatakuwa na 25%, basi jambo kavu litakuwa 100 - 25 = 75 (%).

Wakati wa kuunda suluhisho la shida, unaweza kutumia meza:

Matunda safi x 25% = 0.25 0.25. X

Matunda yaliyokaushwa 45 75% = 0.75 0.75. 45 = 33.75

Kwa sababu wingi wa jambo kavu kwa matunda safi na kavu haibadilika, tunapata equation:

0.25. x = 33.75;
x = 33.75: 0.25;
x = 135 (kg) - matunda mapya yanahitajika.

Jibu: 135 kg.

Mfano. (Chaguo la 8 Nambari 11. Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Kwa kuchanganya ufumbuzi wa asidi 70% na 60% na kuongeza kilo 2 cha maji safi, tulipata ufumbuzi wa asidi 50%. Ikiwa badala ya kilo 2 za maji tuliongeza kilo 2 cha suluhisho la 90% ya asidi sawa, tutapata suluhisho la asidi 70%. Ni kilo ngapi za suluhisho la 70% zilitumika kupata mchanganyiko?

Jumla ya uzito, kilo | Mkusanyiko wa jambo kavu | Uzito kavu
Mimi x 70% = 0.7 0.7. X
II kwa 60% = 0.6 0.6. katika
maji 2 -
I + II + maji x + y + 2 50% = 0.5 0.5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0.9 0.9. 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70% = 0.7 0.7. (x + y + 2)

Kutumia safu ya mwisho kutoka kwa jedwali, tunaunda hesabu 2:

0.7. x + 0.6. y = 0.5. (x + y + 2) na 0.7. x + 0.6. y + 1.8 = 0.7. (x + y + 2).

Kuwachanganya katika mfumo na kutatua, tunapata kwamba x = 3 kg.

Jibu: Kilo 3 za suluhisho la 70% zilitumiwa kupata mchanganyiko.

Mfano. (Chaguo la 2 Nambari 11. Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Kilo tatu za cherries zina gharama sawa na kilo tano za cherries, na kilo tatu za cherries zina gharama sawa na kilo mbili za jordgubbar. Ni kwa asilimia ngapi kilo ya jordgubbar ni nafuu kuliko kilo ya cherries?

Kutoka kwa sentensi ya kwanza ya shida tunapata usawa ufuatao:

Saa 3 = 5v,
3v = 2k.
Kutoka ambayo tunaweza kueleza: h = 5v/3, k = 3v/2.

Kwa njia hii unaweza kuunda sehemu:
5v/3 - 100%
3v/2 - x%, tunapata x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% ni gharama ya kilo ya jordgubbar kutoka kwa gharama ya kilo ya cherries.

Hii ina maana kwamba 100 - 90 = 10 (%) - kilo ya jordgubbar ni nafuu zaidi kuliko kilo ya cherries.

Jibu: kilo ya jordgubbar ni asilimia 10 ya bei nafuu kuliko kilo ya cherries.

Kutatua matatizo yanayohusisha riba ya "kiwanja", kwa kutumia dhana ya ongezeko (kupungua).

Ili kuongeza nambari nzuri A kwa asilimia p, unapaswa kuzidisha nambari A kwa sababu ya ongezeko K = (1 + 0.01p).

Ili kupunguza nambari nzuri A kwa asilimia p, unapaswa kuzidisha nambari A kwa sababu ya kupunguza K = (1 - 0.01p).

Mfano. (Chaguo 29 Na. 22. OGE-2015. Hisabati. Chaguzi za kawaida za mtihani: chaguzi 36 / zimehaririwa na Yashchenko, 2015 - 224s)

Bei ya bidhaa ilipunguzwa mara mbili kwa asilimia sawa. Kwa asilimia ngapi bei ya bidhaa ilipungua kila wakati ikiwa gharama yake ya awali ilikuwa rubles 5,000 na gharama ya mwisho ilikuwa rubles 4,050?

1 njia.

Kwa sababu bei ya bidhaa ilipungua kwa idadi sawa ya %, hebu tuonyeshe idadi ya % kama x. Hebu bei ya bidhaa ipunguzwe kwa x% kwa mara ya kwanza na ya pili, kisha baada ya kupunguzwa kwa kwanza bei ya bidhaa ikawa (100 - x)%.

Hebu tufanye uwiano
5000 kusugua. - 100%
katika rubles - (100 - x)%, tunapata y = 5000. (100 - x) / 100 = 50. (100 - x) rubles - gharama ya bidhaa baada ya kupunguzwa kwa kwanza.

Wacha tuunde sehemu mpya kwa bei mpya:
50 . (100 - x) kusugua. - 100%
z kusugua. - (100 - x)%, tunapata z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0.5. (100 - x) 2 rubles - gharama ya bidhaa baada ya kupunguzwa kwa pili.

Tunapata equation 0.5. (100 - x)2 = 4050. Baada ya kuitatua, tunapata kwamba x = 10%.

Mbinu 2.

Kwa sababu bei ya bidhaa ilipungua kwa idadi sawa ya%, hebu tuonyeshe idadi ya% kama x, x % = 0.01 x.

Kutumia wazo la sababu ya kupunguza, mara moja tunapata equation:
5000. (1 - 0.01x)2 = 4050.

Jibu: bei ya bidhaa ilipungua kwa 10% kila wakati.

Mfano. (Chaguo 30 Na. 22. OGE-2015. Hisabati. Chaguzi za kawaida za mtihani: chaguzi 36 / zimehaririwa na Yashchenko, 2015 - 224s)

Bei ya bidhaa iliongezwa mara mbili kwa asilimia sawa. Bei ya bidhaa iliongezeka kwa asilimia ngapi kila wakati ikiwa gharama yake ya awali ilikuwa rubles 3,000 na gharama ya mwisho ilikuwa rubles 3,630?

Kwa sababu bei ya bidhaa iliongezeka kwa idadi sawa ya%, hebu tuonyeshe idadi ya% kama x, x % = 0.01 x.

Kutumia wazo la sababu ya ukuzaji, tunapata equation mara moja:
3000. (1 + 0.01x)2 = 3630.

Baada ya kuitatua, tunapata kwamba x = 10%.

Jibu: bei ya bidhaa iliongezeka kwa 10% kila wakati.

Mfano. (Chaguo la 4 Nambari 11. Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016. Hisabati. Mtihani wa kawaida. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Siku ya Alhamisi, hisa za kampuni hiyo zilipanda bei kwa idadi fulani ya asilimia, na Ijumaa zilishuka kwa bei kwa idadi sawa ya asilimia. Kama matokeo, walianza kugharimu 9% ya bei rahisi kuliko wakati wa ufunguzi wa biashara siku ya Alhamisi. Hisa za kampuni zilipanda bei kwa asilimia ngapi Alhamisi?

Acha hisa za kampuni zipande bei na kushuka bei kwa x%, x% = 0.01 x, na bei ya awali ya hisa ilikuwa A. Kwa kutumia masharti yote ya tatizo, tunapata equation:

(1 + 0.01 x)(1 - 0.01 x)A = (1 - 0.09)A,
1 - (0.01 x)2 = 0.91,
(0.01 x)2 = (0.3)2,
0.01 x = 0.3,
x = 30%.

Jibu: Hisa za kampuni hiyo zilipanda kwa asilimia 30 siku ya Alhamisi.

Kutatua matatizo ya "benki" katika toleo jipya la Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2016 katika hisabati.

Mfano. (Chaguo 2 Nambari 17. Mtihani wa Jimbo la Umoja-2016. Hisabati. Aina 50. toleo la ed. Yashchenko 2016)

Mnamo Januari 15 imepangwa kuchukua mkopo wa benki kwa miezi 15. Masharti ya kurudi kwake ni kama ifuatavyo:

Inajulikana kuwa malipo ya nane yalifikia rubles 108,000. Ni kiasi gani kinapaswa kurejeshwa kwa benki wakati wote wa mkopo?

Kuanzia tarehe 2 hadi 14 malipo yanafanywa A/15 +0.01A.

Baada ya hapo kiasi cha deni kitakuwa 1.01A - A/15 - 0.01A = 14A/15.

Baada ya miezi 2 tunapata: 1.01. 14A/15.

Malipo ya pili A/15 + 0.01. 14A/15.

Kisha deni baada ya malipo ya pili ni 13A/15.

Vile vile, tunaona kwamba malipo ya nane yataonekana kama:

A/15 + 0.01. 8A/15 = A/15. (1 + 0.08) = 1.08A/15.

Na kulingana na hali hiyo, ni sawa na rubles 108,000. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kuunda na kutatua equation:

1.08A/15 = 108,

A=1500 (rubles elfu) - kiasi cha awali cha deni.

2) Ili kupata kiasi kinachohitajika kurejeshwa kwa benki kwa muda wote wa mkopo, lazima tupate jumla ya malipo yote kwenye mkopo.

Kiasi cha malipo yote ya mkopo kitakuwa kama ifuatavyo:

(A/15 + 0.01A) + (A/15 + 0.01. 14A/15) + (A/15 + 0.01. 13A/15) + … + (A/15 + 0.01. A /15) = A + 0.01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0.01. 120A)/15 = 1.08A.

Kwa hivyo 1.08. 1500 = 1620 (rubles elfu) = rubles 1,620,000 lazima zirejeshwe kwa benki wakati wa muda wote wa mkopo.

Jibu: rubles 1,620,000.

Mfano. (Chaguo 6 Nambari 17. Mtihani wa Jimbo la Umoja-2016. Hisabati. Aina 50. toleo la ed. Yashchenko 2016)

Mnamo Januari 15 imepangwa kuchukua mkopo wa benki kwa miezi 24. Masharti ya kurudi kwake ni kama ifuatavyo:

Tarehe 1 ya kila mwezi, deni huongezeka kwa 1% ikilinganishwa na mwisho wa mwezi uliopita;
kutoka 2 hadi 14 ya kila mwezi ni muhimu kulipa sehemu ya deni;
Tarehe 15 ya kila mwezi, deni lazima liwe kiasi sawa chini ya deni la tarehe 15 ya mwezi uliopita.

Inajulikana kuwa katika miezi 12 ya kwanza unahitaji kulipa benki 177.75,000 rubles. Je, umepanga kukopa kiasi gani?

1) Acha A iwe kiasi cha mkopo, 1% = 0.01.

Kisha deni 1.01A baada ya mwezi wa kwanza.

Kuanzia tarehe 2 hadi 14 malipo yanafanywa A/24 +0.01A.

Baada ya hapo kiasi cha deni kitakuwa 1.01A - A/24 - 0.01A = A - A/24 = 23A/24.

Kwa mpango huu, deni inakuwa kiasi sawa chini ya deni siku ya 15 ya mwezi uliopita.

Baada ya miezi 2 tunapata: 1.01. 23A/24.

Malipo ya pili A/24 + 0.01. 23A/24.

Kisha deni baada ya malipo ya pili ni 1.01. 23A/24 - A/24 - 0.01. 23A/24 = 23A/24 (1.01 - 0.01) - A/24 = 23A/24 - A/24 = 22A/24.

Kwa hivyo, tunapata kwamba kwa miezi 12 ya kwanza unahitaji kulipa benki kiasi kifuatacho:
A/24 +0.01A. 24/24 + A/24 + 0.01. 23A/24 + A/24 + 0.01. 22A/24 + ... + A/24 + 0.01. 13A/24 =12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200.

Na kulingana na hali hiyo, ni sawa na rubles 177.375,000. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kuunda na kutatua equation:
711A/1200 = 177.75,
A = 300 (rubles elfu) = rubles 300,000 - imepangwa kuchukua mkopo.

Jibu: rubles 300,000.

Wacha tuzungumze juu ya kazi Nambari 19 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja

Kwa miaka miwili sasa, kazi imeongezwa kwa sehemu ya pili c maudhui ya kiuchumi, yaani matatizo kwenye riba changamano ya benki.

Wanasema kwamba tunashughulika na "maslahi ya pamoja" katika kesi wakati thamani fulani inaweza kubadilika polepole. Aidha, kila wakati mabadiliko yake ni idadi fulani ya asilimia ya thamani ambayo thamani hii ilikuwa nayo katika hatua ya awali.

Mwisho wa kila hatua, thamani hubadilika kwa asilimia sawa ya mara kwa mara -R%. Kisha mwishonin th hatua ya thamani ya kiasi fulaniA , thamani ya awali ambayo ilikuwa sawa naA 0 , imedhamiriwa na formula:

Kwa kuongezeka na

Wakati wa kupungua

Kujua kwamba kiwango cha riba cha kila mwaka cha amana ni 12%, pata

kiwango chake cha riba cha kila mwezi kinacholingana.

Suluhisho:

Ikiwa utaweka rubles kwenye benki, basi baada ya mwaka tunapata:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Ikiwa riba ilihesabiwa kila mwezi kwa kiwango cha ribaX , basi kulingana na fomula ya riba ya kiwanja baada ya mwaka (miezi 12)A n = A 0 (1 + 0.01x) 12

Tukilinganisha thamani hizi, tunapata mlinganyo ambao suluhu yake itaturuhusu kubainisha kiwango cha riba cha kila mweziA(1 +0.12) = A(1 +0.01x) 12

1.12 = (1 + 0.01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0.9488792934583046%

Jibu: Kiwango cha riba cha mwezi ni0.9488792934583046%.

Kutoka kwa suluhisho la tatizo hili unaweza kuona kwamba kiwango cha riba cha kila mwezi si sawa na kiwango cha mwaka kilichogawanywa na 12.

Mnamo Desemba 31, 2013, Sergey alichukua rubles 9,930,000 kwa mkopo kutoka benki kwa 10% kwa mwaka. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: mnamo Desemba 31 ya kila mwaka ujao, benki inatoza riba kwa kiasi kilichobaki cha deni (yaani, huongeza deni kwa 10%), kisha Sergey huhamisha kiasi fulani cha malipo ya kila mwaka kwa benki. Je, ni kiasi gani cha malipo ya kila mwaka kwa Sergei kulipa deni katika malipo matatu sawa ya kila mwaka?

Suluhisho:

Acha kiasi cha mkopo kiweA , malipo ya kila mwaka ni sawa naX rubles, na kiasi cha kila mwaka ni k % . Kisha tarehe 31 Desemba ya kila mwaka kiasi cha deni kilichobaki kinazidishwa na mgawo m =1+ 0,01 k . Baada ya malipo ya kwanza, kiasi cha deni kitakuwa: A 1 = asubuhi - X. Baada ya malipo ya pili, kiasi cha deni

itakuwa:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=saa 2 -(1+t)x

Kwa mujibu wa hali hiyo, Sergey lazima alipe mkopo kwa ukamilifu katika malipo matatu, kwa hiyo

wapi

Katikaa = 9930000 Nak =10 , tunapataT =1.1 na

Jibu : 3,993,000 rubles.

Sasa kwa kuwa tumeshughulikia suluhisho hili lililopendekezwa katika visuluhishi vyote, wacha tuangalie suluhisho lingine.

HebuF = 9,930,000 - kiasi cha mkopo,x - kiasi kinachohitajika cha malipo ya kila mwaka.

Mwaka wa kwanza:

Wajibu:1.1F ;

Malipo:X ;

Salio:1.1F-x .

Mwaka wa pili:

Wajibu:1.1(1.1F-x) ;

Malipo:X ;

Salio:1.1(1.1F-x)-x .

Mwaka wa tatu:

Wajibu:1.1(1.1F-x)-x );

Malipo:X ;

Mizani: 0, kwa sababu kulingana na hali kulikuwa na malipo matatu tu.

Equation pekee

1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F =3.31x, x=3993000

Jibu: rubles 3,993,000.

Hata hivyo-1 ! Ikiwa tunadhania kwamba kiwango cha riba sio 10% nzuri, lakini 13.66613% ya kutisha. Nafasi za kufa mahali fulani wakati wa kuzidisha au kwenda wazimu wakati wa kuelezea kizidishi kwa kiasi cha deni kwa kila mwaka imeongezeka sana. Hebu tuongeze kwa hili si tu miaka 3 ndogo, lakini miaka 25. Suluhisho hili halitatumika.

Mnamo Desemba 31, 2014, Andrey alichukua kiasi fulani kwa mkopo kutoka benki kwa 10% kwa mwaka. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: mnamo Desemba 31 ya kila mwaka ujao, benki inatoza riba kwa kiasi kilichobaki cha deni (ambayo ni, huongeza deni kwa 10%), na kisha Andrey huhamisha rubles 3,460,600 kwa benki. Andrei alichukua kiasi gani kutoka kwa benki ikiwa alilipa deni katika malipo matatu sawa (yaani, zaidi ya miaka 3)?

Suluhisho.

HebuA - kiasi kinachohitajika,k% - kiwango cha riba kwa mkopo,X - malipo ya kila mwaka. Kisha tarehe 31 Desemba ya kila mwaka kiasi cha deni kilichobaki kitazidishwa na mgawom = 1 + 0.01k . Baada ya malipo ya kwanza, kiasi cha deni kitakuwa:A 1 = asubuhi - x . Baada ya malipo ya pili, kiasi cha deni kitakuwa:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=saa 2 -(1+t)x

Baada ya malipo ya tatu, kiasi cha deni iliyobaki:

Kulingana na masharti, Andrey alilipa deni hilo katika miaka mitatu,

hiyo niA 3 = 0 , wapi.

Katikax = 3,460,600, k% = 10% , tunapata:m = 1.1 Na=8 606 000 (rubles).

Jibu: rubles 8,606,000.

Mnamo Desemba 31, 2013, Igor alichukua rubles 100,000 kwa mkopo kutoka benki. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: mnamo Desemba 31 ya kila mwaka ujao, benki inatoza riba kwa kiasi kilichobaki cha deni (ambayo ni, huongeza deni kwa kiasi fulani cha riba), kisha Igor huhamisha tranche inayofuata. Igor alilipa mkopo huo kwa awamu mbili, kuhamisha rubles 51,000 mara ya kwanza na rubles 66,600 kwa pili. Je, benki ilitoa mkopo kwa Igor kwa asilimia ngapi?

Suluhisho

Hebuk % - kiwango cha mkopo kinachohitajika;m = (1 + 0.01 k ) - kuzidisha deni lililobaki;a = 100,000 - kiasi kilichokopwa kutoka benki;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - vipimo vya mitaro ya kwanza na ya mwisho.

Baada ya malipo ya kwanza, kiasi cha deni kitakuwa:a 1 = ma - x 1 .

Baada ya malipo ya pili, kiasi cha deni kitakuwa:a 2 = ma 1 – x 2 = m 2 - m x 1 – x 2 . Kwa sharti,a 2 = 0 . Equation itahitaji kutatuliwa kwanza kwa heshima nam , bila shaka kuchukua mizizi chanya tu:

100 000m 2 – 51,000m – 66,600 = 0; 500m 2 - 255m - 333 = 0.

Hapa ndipo matatizo yanapoanzia.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Kisha.

Jibu: 11%.

Mnamo Desemba 31, 2013, Masha alichukua kiasi fulani kwa mkopo kutoka kwa benki kwa asilimia fulani kwa mwaka. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: mnamo Desemba 31 ya kila mwaka ujao, benki inatoza riba kwa kiasi kilichobaki cha deni (ambayo ni, huongeza deni kwa kiasi fulani cha riba), kisha Masha huhamisha tranche inayofuata. Ikiwa atalipa rubles 2,788,425 kila mwaka, atalipa deni hilo katika miaka 4. Ikiwa 4,991,625 kila moja, basi katika miaka 2. Masha alichukua pesa benki kwa asilimia ngapi?

Suluhisho

Baada ya miaka miwili ya ulipaji, kiasi cha mkopo kilichochukuliwa kinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Baada ya miaka minne ya ulipaji, kiasi cha mkopo kilichochukuliwa kinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Wapi

Kisha.

Jibu: 12.5%.

Mnamo Desemba 31, 2013, Vanya alichukua rubles 9,009,000 kwa mkopo kutoka benki kwa 20% kwa mwaka. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: mnamo Desemba 31 ya kila mwaka ujao, benki inatoza riba kwa kiasi kilichobaki cha deni (hiyo ni, huongeza deni kwa 20%), kisha Vanya huhamisha malipo kwa benki. Vanya alilipa deni lote kwa malipo 3 sawa. Ni rubles ngapi chini angeweza kutoa kwa benki ikiwa angeweza kulipa deni katika malipo 2 sawa?

Suluhisho

Wacha tutumie matokeo kutoka kwa shida 2.

Tofauti inayohitajikaX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubles

Jibu: rubles 1,036,00.

Mnamo Juni 1, 2013, Vsevolod Yaroslavovich alichukua rubles 900,000 kwa mkopo kutoka benki. Mpango wa ulipaji wa mkopo ni kama ifuatavyo: tarehe 1 ya kila mwezi ujao, benki inatoza asilimia 1 kwa kiasi kilichobaki cha deni (yaani, huongeza deni kwa 1%), kisha Vsevolod Yaroslavovich huhamisha malipo kwa benki. Kwa idadi gani ya chini ya miezi Vsevolod Yaroslavovich anaweza kuchukua mkopo ili malipo ya kila mwezi sio zaidi ya rubles 300,000?

Unahitaji kuelewa ukweli rahisi - malipo ya mkopo ni makubwa, deni litakuwa kidogo. Kadiri ulivyo na deni pungufu, ndivyo utakavyolipa haraka. Upeo wa malipo ya kila mwezi ambayo mkopeshaji anaweza kumudu ni rubles 300,000 kulingana na hali hiyo. Ikiwa Vsevolod Yaroslavovich atalipa malipo ya juu, atalipa deni haraka sana. Kwa maneno mengine, atakuwa na uwezo wa kuchukua mkopo kwa muda mfupi zaidi, ambayo inahitajika kwa hali hiyo.

Hebu jaribu kutatua tatizo moja kwa moja.

Mwezi umepita. Julai 1, 2013: deni (1 + 0.01) 900,000 - 300,000 = 609,000.

Mwezi umepita. Agosti 1, 2013: deni (1+ 0.01) 609,000 - 300,000 = 315,090.

Mwezi umepita. Septemba 1, 2013: deni (1 +0.01)315,090 - 300,000= 18,240.9. Mwezi umepita. Oktoba 1, 2013: deni (1 0.01)1,240.9 = 18,423.309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Jibu: miezi 4.

Wacha tusuluhishe shida kwa kutumia njia ya kawaida.

Nitatumia matokeo ya Tatizo la 3 kwa kuzingatia hoja ifuatayo: usawa wa sehemu iliyobaki ya deni ina fomu.a x ≤ 0 .

Hebux - kiasi kinachohitajika,a = 900,000 - kiasi kilichokopwa kutoka benki,k% = 1% - kiwango cha mkopo,y = 300,000 - malipo ya kila mwezi,m = (1 + 0.01k) - kizidishi cha kila mwezi cha deni iliyobaki. Halafu, kulingana na fomula inayojulikana tayari, tunapata usawa: ≤0 ;

Tulipata usawa usiopendeza, lakini wa kweli.

Tunachukua sehemu kamili ya nambari kwa sababu idadi ya malipo haiwezi kuwa nambari isiyo kamili. Tunachukua nambari kubwa ya karibu zaidi, hatuwezi kuchukua ndogo (kwa sababu basi kutakuwa na deni) na ni wazi kwamba logarithm inayotokana sio nambari kamili. Inageuka malipo 4, miezi 4.

Mkulima alipokea mkopo kutoka benki kwa asilimia fulani kwa mwaka. Mwaka mmoja baadaye, ili kurejesha mkopo huo, mkulima alirudisha benki kiasi chote alichokuwa anadaiwa benki wakati huo, na mwaka mmoja baadaye, ili kurejesha mkopo huo kikamilifu, aliweka benki kiasi ambacho ilikuwa 21% kubwa kuliko kiasi cha mkopo kilichopokelewa. Je! ni riba gani ya kila mwaka ya mkopo kutoka benki hii?

Suluhisho:

Kiasi cha mkopo hakiathiri hali hiyo. Wacha tuchukue rubles 4 kutoka benki (kugawanywa na 4).

Katika mwaka, deni kwa benki itaongezeka kwa hasaX nyakati na zitakuwa sawa4x rubles

Wacha tugawanye katika sehemu 4 na turudishe3x rubles na tunapaswa kukaaX rubles

Inajulikana kuwa mwishoni mwa mwaka ujao tutalazimika kulipa4 1.21 rubles

Inajulikana kuwa kiasi cha deni kwa mwaka kiligeuka kutoka kwa nambariX kwa idadiX 2 .

Kwa kuwa mkulima alilipa deni kikamilifu baada ya miaka miwili, basi

X 2 = 4 1.21 x = 2 1.1 x = 2.2

MgawoX inamaanisha kuwa 100% inabadilika kuwa 220% kwa mwaka.

Hii ina maana kwamba asilimia ya benki kwa mwaka ni: 220% - 100%

Jibu: 120%

Kiasi cha rubles elfu 3,900 kiliwekwa kwenye benki kwa 50% kwa mwaka. Mwishoni mwa kila moja ya miaka minne ya kwanza ya uhifadhi, baada ya kukokotoa riba, mwekaji aliweka amana ya ziada ya kiasi sawa kilichowekwa kwenye akaunti. Mwishoni mwa mwaka wa tano, baada ya kuongezeka kwa riba, ikawa kwamba ukubwa wa amana iliongezeka kwa 725% ikilinganishwa na awali. Je, mwekezaji aliongeza kiasi gani kwenye amana kila mwaka?

Suluhisho:

Acha kiasi kilichowekwa kirekebishweX rubles

Kisha, baada ya shughuli zote kufanyika, baada ya mwaka wa kwanza, kiasi cha amana kilikuwa

Baada ya miaka 2

Baada ya3 ya mwaka

Baada ya4 ya mwaka

Baada ya5 ya mwaka

Kwa kuwa mwisho wa mwaka wa tano baada ya kuongezeka kwa riba iliibuka kuwa saizi ya amana iliongezeka kwa 725% ikilinganishwa na ile ya awali, tutaunda equation:

3900 ·8.25=3900·1.5 5 +x·(1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5.5=3900 · 1.5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Jibu: 210 rubles.

Benki ilikubali kiasi fulani kwa asilimia fulani. Mwaka mmoja baadaye, robo ya kiasi kilichokusanywa kilitolewa kutoka kwa akaunti. Lakini benki iliongeza kiwango cha riba kwa 40%. Kufikia mwisho wa mwaka uliofuata, kiasi kilichokusanywa kilikuwa mara 1.44 ya mchango wa awali. Ni asilimia ngapi ya APR mpya?

Suluhisho:

Hali haitabadilika kulingana na kiasi cha amana. Hebu tuweke rubles 4 katika benki (kugawanywa na 4).

Kwa mwaka, kiasi katika akaunti kitaongezeka kwa usahihiuk nyakati na zitakuwa sawa4p rubles

Wacha tugawanye katika sehemu 4 na tupeleke nyumbaniuk rubles, tutaiacha kwenye benki3p rubles

Inajulikana kuwa mwishoni mwa mwaka ujao kulikuwa na 4 · 1.44 = 5.76 rubles katika benki.

Kwa hivyo nambari3p iligeuka kuwa nambari 5.76. Iliongezeka mara ngapi?

Kwa hivyo, mgawo wa pili unaoongezeka umepatikanax jar.

Inafurahisha, bidhaa ya coefficients zote mbili ni 1.92:

Inafuata kutoka kwa hali kwamba mgawo wa pili ni 0.4 zaidi kuliko wa kwanza.

uk · x = uk ·( uk +0,4)=1,92

Tayari sasa coefficients inaweza kuchaguliwa: 1.2 na 1.6.

Lakini wacha tuendelee, hata hivyo, kutatua equation:

10p ·(10p+4)=192 basi 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, yaani. p=1.2; na x=1.6

Jibu: 60%