Ufafanuzi. Locus ya pointi ni takwimu ambayo ina pointi zote kwenye ndege ambayo ina mali fulani.
Nadharia. Eneo la pointi zinazolingana kutoka kwa pointi mbili zilizotolewa ni sehemu ya pembetatu kwa sehemu inayounganisha pointi hizi, yaani, mstari wa moja kwa moja unaoelekea sehemu hii na kupita katikati yake.
Ushahidi.
Hebu pointi C iwe sawa kutoka A na B. Hebu tuweke alama M - katikati ya sehemu ya AB. Pembetatu ACM na BCM ni sawa kwa pande tatu. Angles AMC na BMC ni sawa na kuongeza hadi angle moja kwa moja. Kwa hivyo zote mbili ni sawa na 90 °.
Tumethibitisha kuwa alama zote zinazolingana kutoka kwa alama mbili zilizopewa ziko kwenye sehemu ya pembetatu.
2) Acha ncha C ilale kwenye kipenyo cha pembetatu hadi AB. Pembetatu AMC na BMC ni sawa na pande mbili, ambayo ina maana AC=BC.
Tumethibitisha kuwa sehemu zote za kipenyo cha pembetatu kwa sehemu ni sawa kutoka ncha zake.
Kwa hivyo, eneo la pointi zinazolingana kutoka pointi mbili zilizotolewa na kipenyo cha pembetatu hadi sehemu inayounganisha pointi hizi sanjari.
Nadharia imethibitishwa.
A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.
2) Mduara (ufafanuzi). Mfumo wa kuhesabu eneo la duara (bila pato). Utoaji wa formula kwa eneo la sekta ya mviringo.
Ufafanuzi. Mduara ni seti ya pointi kwenye ndege iliyo umbali wa si zaidi ya iliyotolewa kutoka kwa hatua fulani.
TIKETI 8
1) Pembetatu (ufafanuzi). Theorem juu ya jumla ya pembe za pembetatu, mstari wa moja kwa moja wa Euler (bila uthibitisho).
Ufafanuzi. Pembetatu ni takwimu inayojumuisha pointi 3 ambazo hazilala kwenye mstari huo huo, na sehemu 3 zinazowaunganisha kwa jozi.
Nadharia. Jumla ya pembe za pembetatu ni 180 °.
Ushahidi.
Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia vertex B, sambamba na AC ya upande.
uongo kama misalaba.
. Kisha.
Nadharia imethibitishwa.
Nadharia. Mzingo wa pembetatu, kitovu chake, kitovu cha mvuto, na katikati ya duara la nukta tisa ziko kwenye mstari mmoja ulionyooka, unaoitwa mstari wa moja kwa moja wa Euler. 
Umbali kati ya pointi mbili kupitia kuratibu za pointi hizi (fikiria kesi zote).
Wacha tufanye a na b, 
.
Kwa sababu pembetatu ya kulia,
TIKETI 9
Ishara za usawa wa pembetatu za kulia
Kwa kuwa katika pembetatu ya kulia pembe kati ya miguu miwili ni sawa, na pembe zote mbili za kulia ni sawa, basi kutoka kwa ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu inafuata:
1) Kwa miguu miwili (kutoka kwa ishara ya kwanza)
2) Pamoja na mguu na pembe ya papo hapo (kutoka kwa ishara ya pili ya kwanza)
(kwa kuwa pembe ya karibu imedhamiriwa wazi na pembe tofauti)
3) Kwa hypotenuse na angle ya papo hapo
Ushahidi.
Katika pembetatu kama hizo, pembe zingine mbili za papo hapo pia ni sawa, kwa hivyo pembetatu ni sawa kulingana na ishara ya pili ya usawa wa pembetatu, i.e., kando (hypotenuse) na mbili karibu.
pembe zake.
Nadharia imethibitishwa.
4) Kwa hypotenuse na mguu
Ushahidi.
Fikiria pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1, ambao pembe C na C 1 ni pembe za kulia, AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1.
Kwa kuwa ∠C=∠C 1, basi pembetatu ya ABC inaweza kuwekwa juu juu kwenye pembetatu A 1 B 1 C 1 ili kipeo C kiambatanishwe na kipeo C 1, na pande CA na CB kwa mtiririko huo zimewekwa juu juu kwenye miale C 1 A 1 na C 1. B 1 . Kwa kuwa CB=C 1 B 1, basi kipeo B kitalingana na kipeo B 1.
Lakini basi wima A na A 1 pia zitaambatana.
Kwa kweli, ikiwa tunadhani kwamba hatua A inalingana na hatua nyingine A 2 ya ray C 1 A 1, basi tunapata pembetatu ya isosceles A 1 B 1 A 2, ambayo pembe kwenye msingi A 1 A 2 si sawa. (∠A 2 - papo hapo, ∠A 1 butu iliyo karibu na pembe ya papo hapo B 1 A 1 C 1). Lakini hii haiwezekani, kwa hivyo wima A na A 1 zitaambatana.
Kwa hivyo, pembetatu ABC na A l B l C l zinaendana kabisa, i.e. ni sawa.
Nadharia imethibitishwa.
Mduara
Ufafanuzi. Mduara ni eneo la pointi zinazolingana na eneo fulani.
Kwa kuwa urefu wa mduara mzima ni 2πR, urefu wa arc ya 1 ° ni sawa na 2πR/360° = πR/180°.
Kwa hivyo, urefu l unaonyeshwa na formula:
TIKETI 10
1) Ishara za parallelogram:
1. Ikiwa pande mbili za quadrilateral ni sawa na sambamba, basi quadrilateral hii ni parallelogram.
Matatizo na mistari ya 2 ya kuagiza.
Jinsi ya kupata locus ya pointi?
Warsha hii ni mwendelezo wa kimantiki wa hotuba ya mistari ya utaratibu wa pili na wawakilishi wake maarufu - duaradufu, hyperbola na parabola. Leo tutaunganisha nyenzo zilizofunikwa na kazi nyingi, na, kwa kuongezea, tutaongeza maarifa ya kinadharia na maarifa ambayo nilificha kwa makusudi katika masomo ya kwanza, ili sio kupakia "dummies" na habari mpya. Kuwa waaminifu, ninachukia kujaribu aya za kwanza za makala zangu (hasa wakati mpango wa somo wazi uko tayari), basi hebu tumimine kahawa ndani ya vikombe, tuketi kwenye mduara na tuendelee kujadili masuala juu ya sifa.
Kazi zifuatazo mara nyingi hukutana katika kazi ya kujitegemea na ya mtihani:
– Tafuta eneo la pointi(au andika equation kwa seti ya pointi), ambayo kila moja inakidhi hali fulani za uchambuzi. Bila shaka, uundaji huu ni wa jumla na sio ukweli kwamba matokeo lazima lazima iwe mstari, na lazima ya utaratibu wa pili. Walakini, katika muktadha wa mada inayozingatiwa, maneno haya ya uchawi karibu kila wakati huleta maisha ya equation duaradufu, duara, hyperboli au parabolas.
Jibu: mstari unaohitajika ni mduara na kituo kwenye hatua ya radius. Mlinganyo wa kanuni: 
(au 
kulingana na njia ya kupunguza).
Mfano sawa wa suluhisho la kujitegemea:
Tatizo 2
Andika equation kwa seti ya pointi, kwa kila moja ambayo jumla ya umbali wa mraba kutoka kwa pointi 
ni sawa na 20. Kuamua aina ya mstari, fanya kuchora na kuleta equation kwa fomu ya kisheria. Onyesha kuratibu za foci, andika equation ya asymptotes, ikiwa ipo. Kukokotoa usawa wa curve.
Muundo na mchoro mfupi mwishoni mwa somo.
Wacha tupange utaratibu wa kutatua shida hii:
Kwenye hatua ya kwanza ni muhimu kuzingatia hatua na kuratibu zisizojulikana ambazo ni za seti inayotakiwa ya pointi, na kuelewa hali ya shida. Kama sheria, inazungumza juu ya umbali kutoka kwa uhakika "um" hadi vidokezo vingine na / au mistari mingine, pamoja na uwiano wa urefu huu.
Kwenye hatua ya pili unapaswa kupata urefu wa sehemu zinazohitajika na, kwa mujibu wa hali ya uchambuzi wa tatizo, unda equation.
Kwenye hatua ya tatu Tunarahisisha mlinganyo unaotokana. Kwanza, tunaileta kwa fomu yake ya jumla, na kisha kwa fomu iliyo karibu na ile ya kisheria. Katika baadhi ya matatizo, equation canonical hupatikana mara moja.
Kwenye hatua ya nne- kuchora.
Siku ya tano- kupunguzwa kwa fomu ya kisheria.
Siku ya sita- foci, asymptotes, eccentricity. Acha nikukumbushe kwamba ni rahisi zaidi kuzipata kutoka kwa rekodi za kisheria.
Kwa mazoezi, mara nyingi kuna kazi chache, kwa hivyo katika hali zingine hakuna haja ya kupunguza equation kwa fomu ya kisheria, na katika toleo la kompakt zaidi, hakuna kuchora inahitajika - unahitaji tu kurahisisha equation na kutaja mstari. "Ninapakia" haswa masharti ya shida ili sampuli za suluhisho zinafaa "kwa hafla zote." Lakini, hata hivyo, hatutashughulika sana, na tutafurahi na visa kadhaa vipya:
Tatizo 3
Andika equation kwa seti ya pointi, kwa kila moja ambayo mraba wa umbali hadi hatua ni 16 kubwa kuliko mraba wa umbali wa mhimili wa kuratibu.
Suluhisho: Acha hoja iwe ya seti unayotaka. Kisha:
Kumbuka : kusema madhubuti, kwa mujibu wa uundaji wa hali hiyo, tunahitaji kuzingatia (urefu sawa), lakini katika hili na matatizo mengine tutapuuza usahihi huu wa mantiki.
Ni umbali gani kutoka kwa uhakika hadi mhimili wa kuratibu? Unaweza kutumia formula ya kawaida ya umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari, lakini ikiwa unatumia mawazo yako kidogo, unaweza kuelewa kwa urahisi kuwa umbali kutoka kwa hatua yoyote hadi mhimili ni. moduli"X" inaratibu: 
Kwa hali 16 zaidi, kuliko, kwa hivyo, usawa ufuatao ni halali: 
(au 
)
Hivyo: 
Fungua karanga: 
"X mraba" imepunguzwa, na, kwa wazi, equation inahitaji kuletwa karibu iwezekanavyo kwa fomu ya kisheria:
– parabola na kipeo kwa uhakika, kigezo cha kuzingatia.
Jibu: seti inayohitajika ya pointi ni parabola
Ikiwa inahitajika zaidi kuleta equation ya mstari kwa fomu ya kisheria, basi katika mfano huu hii inafanywa kwa urahisi:
1) Wacha tulete equation ya parabola kwa fomu ya kisheria kwa kulinganisha uhamishaji wake na kituo hadi asili ya kuratibu:
2) Hebu tuendelee kwenye mfumo mpya wa kuratibu wa mstatili na kituo kwa uhakika , basi equation ya parabola itachukua fomu:.
Sitatoa mchoro, kwa sababu parabola Tayari tumeigeuza tulivyotaka.
Tatizo 4
Andika equation kwa seti ya pointi, kwa kila ambayo umbali wa uhakika ni sawa na umbali wa abscissa. Tekeleza mchoro. Leta mlinganyo kwa fomu ya kisheria.
Katika suluhisho la sampuli, hatua ya mwisho inatekelezwa kwa njia zote mbili.
Matatizo na miduara (hasa mara nyingi) na parabolas pia hupatikana katika mtaala wa shule. Kweli, sherehe yetu ya 18+ inazidi kupamba moto - vua jumper na koti zako:
Tatizo 5
Pata equation ya locus ya pointi, kwa kila moja ambayo uwiano wa umbali hadi hatua hadi umbali wa mstari ni mara kwa mara na sawa na . Fanya mchoro. Leta mlinganyo wa mstari kwa fomu ya kisheria, tafuta foci, usawaziko, asymptotes na miongozo ya moja kwa moja (ikiwa ipo).
Suluhisho: acha uhakika uwe wa seti inayotakiwa ya pointi. Shida inazungumza juu ya umbali:
,
Matokeo yake:
– duaradufu inayozingatia asili, nusu-shoka .
Tafadhali kumbuka kuwa uundaji huu unafafanua kwa uwazi duaradufu na kuongeza chochote sio lazima.
Wacha tuonyeshe kwenye mchoro duaradufu iliyopatikana, hatua na mstari wa moja kwa moja 
: 
Uthibitishaji wa kijiometri hapa ni vigumu, lakini kwa upande mwingine, sio kawaida. Wacha tuchukue hatua fulani ya duaradufu; njia rahisi ni kuzingatia .
Kwaajili yake: .
Kwa hali, uwiano lazima uwe sawa na .
Tunaangalia: 
, ambayo ndiyo ilihitaji kuangaliwa.
Kwa mazoezi, unaweza kuchagua hatua yoyote kwenye duaradufu, kupima umbali na mtawala, ugawanye kwa kutumia calculator na uhakikishe kuwa matokeo ni takriban .
Katika tatizo hili, equation ya mstari ilitolewa mara moja katika fomu ya kisheria, ambayo inafanya ufumbuzi rahisi. Inabakia kushughulikia umakini, usawa, asymptotes na walimu wakuu.
Ni dhahiri kwamba duaradufu haina asymptotes.
Hebu tuhesabu na kuandika ellipse foci:
.
Lengo la kwanza liliendana na hoja.
Wacha tupate usawa: . Kwa bahati mbaya nyingine ya kushangaza, eccentricity iligeuka kuwa sawa na uwiano 
.
...hata hivyo, je, hii ni sadfa?
Mwalimu mkuu, kama unavyokumbuka kutoka kwa nyenzo kuhusu parabola, - Hii moja kwa moja. Na moja kwa moja na jeshi la mashabiki wenye bidii. Sasa nilikuwa nikisoma takwimu za maswali ya Yandex - kwa mwezi kama watu 1000 walikuwa wakitafuta ponografia na mwalimu mkuu na wapenzi wa jiometri wapatao 600 walionyesha hamu ya kumtosa (hakuna kitu =) Kweli, watu wasio na huruma, kuwa na wivu wa duaradufu. mbili walimu wakuu!
duaradufu iliyo katika kanuni ina mistari miwili ya mwelekeo, ambayo hutolewa na milinganyo 
, ambapo "epsilon" ni eccentricity ya duaradufu hii.
Kwa shujaa wetu: 
Hiyo ni kweli, mkurugenzi wa kwanza aliendana kabisa na "de" ya moja kwa moja. Kwa kuongezea, taarifa ya shida inasema nadharia ifuatayo ya jiometri ya uchanganuzi:
Ellipse mtazamo 
Hiyo ni, kwa yoyote ya hatua kwenye duaradufu, uwiano wa umbali wake kutoka kwa lengo hadi umbali kutoka kwake hadi njia ya karibu ya moja kwa moja ni sawa kabisa na eccentricity: 
.
Kwa lengo la pili na mwelekeo wa pili hadithi inafanana, haijalishi ni hatua gani ya duaradufu tunayochukua, uhusiano ufuatao utakuwa wa kweli: 
Jibu: eneo linalohitajika la pointi ni duaradufu yenye foci 
na usawa. Milinganyo ya Directrix:.
Mfano sawa wa suluhisho la DIY:
Tatizo 6
Pata equation ya locus ya pointi, kwa kila moja ambayo uwiano wa umbali hadi hatua hadi umbali wa mstari ni mara kwa mara na sawa na . Kamilisha mchoro. Leta equation ya mstari kwa fomu ya kisheria, tafuta foci, usawa, asymptotes na directrixes, ikiwa zipo.
Katika suluhisho la sampuli, mwisho unatekelezwa kwa njia zote mbili; chagua toleo ambalo linafaa zaidi katika kozi yako ya juu ya hisabati.
Chama chetu kinaendelea kikamilifu, na kuna mambo mengi ya kuvutia yanayoendelea karibu nasi kwamba wakati mwingine ni aibu hata kuzungumza juu yake =) Hebu tuendelee kutikisa!
Tatizo 7
Unda equation ya mstari, kwa kila ambayo tofauti katika umbali kwa pointi na kwa thamani kamili ni 8. Lete equation kwa fomu ya kisheria na ufanye kuchora. Tafuta asymptotes, foci, eccentricities na directrixes, ikiwa zipo.
Suluhisho: acha uhakika uwe wa mstari unaotaka. Kisha: 
Kwa hali: 
Kwa njia, inakukumbusha chochote? Wasomaji makini tayari wameamua mstari ;-)
Mizizi? Moduli? Jipige risasi! Upuuzi!
Kwanza unahitaji kujiondoa radicals. Kwa kuwa kupiga mara moja ni wazo mbaya (wajaribio wanaweza kujaribu), wacha tueneze mizizi kwenye pembe za pete:
Kweli, sasa ni jambo tofauti kabisa: 
Kumekuwa na mafanikio, lakini mzizi mmoja unabaki. Wacha tuache programu hasidi na kurahisisha upande wa kushoto wa mlinganyo kadiri tuwezavyo: 
Tunaweka sehemu zote mbili tena, angalia jinsi kulipiza kisasi kwa moduli kukamilika wakati huo huo na kwa utulivu kabisa: 
Wacha tutupe kila kitu kulia na "kupanua" equation: 
Imepokelewa Mlingano wa mstari wa 2 kwa fomu ya jumla. Tunachagua mraba kamili wa kutofautisha "y"; ili kufanya hivyo, tunachukua "minus tisa" kutoka kwa mabano:
Fikiria kwa uangalifu juu ya hatua iliyofanywa - hila ya kawaida.
Tunakusanya mraba wa tofauti na kuongeza viunga: 
Sana kwako. Kwa dalili zote, opera ya sabuni inapaswa kumalizika hyperboli, lakini tuna minus "ya ziada". Hebu tuangalie na tufungue mabano (ambayo ni vyema kufanya kwa hali yoyote) ... hapana, kila kitu ni sahihi - tunapata usawa wa awali wa jumla.
Wacha tubadilishe ishara za sehemu zote mbili:
Tayari karibu na ukweli, lakini "minus" iligeuka kuwa "isiyofaa." Katika sura juu ya mzunguko na tafsiri sambamba ya hyperbola Nilisema kwamba hii ni ishara ya mzunguko wa curve hii kwa digrii 90 kuhusiana na nafasi yake ya kisheria.
Lakini hebu tumalize mlinganyo kwanza. Gawanya pande zote mbili kwa 144: 
Na urekebishaji wa mwisho mzuri: 
- hii hapa, hyperbola iliyosubiriwa kwa muda mrefu ambayo inakidhi hali ya shida ... ambayo kwa kweli ni ufafanuzi wa hyperbola =)
Inahitajika na hali mwanzoni kuleta equation katika mfumo wa kisheria, na basi tu kukamilisha kuchora. Ili usizidi kiwango cha kuchemsha cha suala la kijivu, tutatumia mpango rahisi. Walakini, kesi bado sio rahisi zaidi. Katikati ya ulinganifu wa kata yetu iko kwenye hatua, na, kwa kuongeza, inazungushwa digrii 90 karibu na hatua hii.
Katika hatua ya kwanza, tunafanya tafsiri sambamba ya hyperbola 
SO - ili kituo chake kiwe asili ya kuratibu. Matokeo yake yatakuwa equation:.
Hatua ya pili ni kuzungusha hyperbola karibu na asili kwa digrii 90, wakati badilisha maadili ya mihimili ya nusu na uhamishe "minus" hadi "y" tofauti:
Kimsingi, shughuli ni za kubadilisha, i.e. kwanza iliwezekana kuzunguka kwa uhakika, na kisha kusonga katikati hadi asili.
Bila kusahau kuhusu asymptotes 
, wacha tufanye mchoro: 
Kwa mara nyingine tena: jinsi hyperbola ya asili iko 
? Inapatikana kwa kuzungusha haipabola ya kisheria kwa digrii 90 kuzunguka asili na kisha kuisogeza kwenye mhimili wa vitengo 5 kwenda juu kwa kituo cha ulinganifu hadi kwenye uhakika.
Lakini ni rahisi zaidi kufanya kazi na equation iliyotolewa. Wacha tupate hila: 
Katika kesi ya mabadiliko yaliyoorodheshwa hapo juu, wao "husonga" tu kwa pointi 
masharti ya tatizo.
Wacha tuhesabu usawa:
Hyperbola, kama duaradufu, mbili walimu wakuu. Katika kesi ya kisheria, ziko kati ya matawi ya hyperbola na hutolewa na equations sawa 
, ambapo "epsilon" ni eccentricity ya hyperbola hii.
Katika mfano huu: 
Kwa kuongezea, nadharia hiyo hiyo inashikilia hyperbola:
Hyperbola- ni seti ya pointi zote za ndege kama hiyo mtazamo umbali wa kila nukta kutoka kwa umakini hadi umbali kutoka kwake hadi mstari wa moja kwa moja (karibu zaidi) ni sawa na usawa: 
Hiyo ni, kwa yoyote hatua ya hyperbola, uwiano wa umbali wake kutoka kwa lengo hadi umbali kutoka kwake hadi mwelekeo wa karibu ni sawa na usawa: 
.
Kwa wanandoa na yoyote alama za hyperbola (kwa ajili ya anuwai, nilichagua sehemu ya maonyesho ya tawi la mbali) uhusiano ni sawa: 
Japo kuwa, parabolas kwa kuzingatia pekee na directrix pekee, kwa ufafanuzi, urefu huu unahusiana "moja hadi moja", kwa hiyo eccentricity ya parabola yoyote ni sawa na moja.
Jibu: mstari unaotakiwa ni hyperbola 
yenye kitovu cha ulinganifu kwa uhakika na kuzungushwa digrii 90 kuhusiana na nafasi yake ya kisheria. Aina ya kisheria ya equation: , inalenga: 
, eccentricity: , asymptotes: 
, walimu wakuu: .
Nilitaka sana kurahisisha mfano, lakini ilichukuliwa kutoka kwa kazi maalum, kwa hivyo ilibidi nipitie hila na mbinu zote kwa uchovu wa ukaidi. Nitamimina kila mtu glasi ya maziwa kwa kuwa na madhara na kuwapa kazi ya kutatua peke yao:
Tatizo 8
Pata equation ya locus ya pointi, kwa kila moja ambayo uwiano wa umbali hadi hatua hadi umbali wa mstari ni mara kwa mara na sawa na . Tengeneza mchoro sahihi.
Fikiria juu ya hatua gani hii na hali inanong'ona juu ya mstari gani ;-)
Kwa kishujaa tunapata suluhisho na mchoro, baada ya hapo, kwa roho safi na moyo mwepesi, tunalala kwenye vitanda vya kukunja karibu na wachunguzi ili kuamka kwa somo linalofuata na vichwa safi na nyuso za kupendeza.
Usiku mwema!
Suluhisho na majibu:
Mfano 2: Suluhisho: Acha hoja iwe ya seti inayohitajika ya pointi. Kisha:
Kwa hali:
Au:
Wacha turahisishe equation:
Wacha tuchague miraba kamili:
- duara na katikati kwenye eneo la radius
Wacha tufanye mchoro:
Wacha tulete equation kwa fomu ya kisheria.
1) Njia ya kwanza
. Wacha tufanye tafsiri inayofanana ya duara na kituo hadi asili ya kuratibu: 
.
2) Njia ya pili
. Kwa kutumia tafsiri sambamba, tunahamisha kutoka kwa asilia hadi mfumo mpya wa kuratibu wa mstatili wenye asili katika uhakika . Kwa hivyo, equation ya duara itaandikwa kwa fomu ya kisheria: 
.
Jibu
: mlinganyo wa seti inayohitajika ya pointi hubainisha mduara ulio na kituo katika sehemu ya kipenyo. Fomu ya kisheria ya equation: 
(au 
kulingana na mbinu). Viini vya mduara vinalingana na ziko katikati yake. Mduara hauna dalili. Eccentricity ya mduara wowote ni sifuri.
Manukuu ya slaidi:
Mada ya somo:
"Mahali pa pointi za kijiometri." Mwalimu wa darasa la 9 Gordeeva N.M.
Niambie nami nitasahau, Nionyeshe nami nitakumbuka, Nishirikishe nami nitaelewa. (Hekima ya Wachina ya Kale)
Kusudi la somo:
panga na kuongeza maarifa juu ya mada "Njia ya Kuratibu".
"Ugunduzi mkubwa wa kisayansi hutoa suluhisho kwa shida kubwa, lakini katika suluhisho la shida yoyote kuna ugunduzi." (Dyorgier Poyat)
Kazi:
pata eneo la pointi ambazo zina mali fulani (fanya ugunduzi).
Ufafanuzi:
Locus ya pointi ni takwimu ambayo ina pointi zote za ndege ambayo ina mali fulani.
Eneo la kijiometri la pointi,
equidistant kutoka kwa uhakika fulani, kuna
mduara.
Eneo la kijiometri la pointi,
equidistant kutoka mwisho wa sehemu fulani, kuna
perpendicular bisector kwa sehemu hii.
Eneo la kijiometri la pointi,
equidistant kutoka pande za pembe fulani, kuna
sehemu mbili za pembe hii.
Eneo la kijiometri la pointi,
equidistant kutoka mistari miwili sambamba, kuna
mstari sambamba nao, kupita katikati ya perpendicular yao ya kawaida (vituo vya miduara tangent kwa mistari hii uongo juu yake).
Eneo la kijiometri la pointi,
ambazo ni wima za pembetatu za kulia zilizo na hypotenuse fulani, zipo
mduara uliojengwa juu ya hypotenuse kama kipenyo (bila kujumuisha ncha za hypotenuse).
Eneo la kijiometri la pointi,
uwiano wa umbali ambao kwa pointi mbili zilizopewa ni thamani ya mara kwa mara, ni
mduara
(ambayo inaitwa mduara wa Apollonius).
Zoezi 1
Katika takwimu AD = DB = 2 cm. Je, ni eneo gani la kijiometri la pointi za mstari uliopewa ambao huondolewa kutoka kwa uhakika D kwa umbali: a) sawa na 2 cm; b) zaidi ya 2cm; c) si zaidi ya 2cm.
a
b
A
D
B
Suluhisho:
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
A
D
B
a
b
Jukumu la 2
Kutumia takwimu sawa, tambua ni nini eneo la kijiometri la pointi kwenye ndege ambayo iko mbali na hatua D kwa umbali sawa na 2 cm; b) zaidi ya 2cm; c) si zaidi ya 2cm.
A
D
B
a
b
Suluhisho:
a) Umbali kutoka D ni 2cm:
A
D
B
a
b
Suluhisho:
b) Umbali kutoka D zaidi ya 2cm:
A
D
B
a
b
Suluhisho:
c) Umbali kutoka D sio zaidi ya 2cm:
A
D
B
a
b
Jukumu la 3
Kutumia njia ya kuratibu, pata jozi ya nambari zinazokidhi hali hiyo
Jukumu la 4
Kutumia njia ya kuratibu, thibitisha kuwa mfumo wa equations una suluhisho la kipekee:
Jukumu la 5
Amua GMTs zinazokidhi mlingano: a)
Jukumu la 5
Amua GMTs zinazokidhi mlingano: b)
Jukumu la 5
Amua GMTs zinazokidhi mlingano: c)
Jukumu la 5
Amua GMTs zinazokidhi mlingano: d)
Jukumu la 5
Amua GMTs zinazokidhi mlingano: e)
Parabola kama eneo la pointi.
Parabola ni eneo la pointi zinazolingana kutoka kwa sehemu fulani na kutoka kwa mstari uliotolewa.
Ujenzi wa parabola.
Jinsi ya kupanda flowerbed?
Eneo la kijiometri la pointi,
jumla ya umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa F1, F2 ni thamani ya mara kwa mara; kubwa kuliko F1F2.
Mpango wa ujenzi wa GMT.
Ambatanisha mwisho wa thread kwa kutumia vifungo kwa pointi F1 na F2. Kutumia penseli, unyoosha thread ili hatua yake iguse karatasi. Tutasonga penseli kando ya karatasi ili thread ibaki taut. Chora mstari na penseli.
Ujenzi wa GMT
Nini kitatokea kwa duaradufu ikiwa foci: a) inakaribia kila mmoja; b) ondoka kutoka kwa kila mmoja.
Pata eneo la pointi ambazo jumla ya umbali kwa pointi mbili zilizopewa F1 na F2: a) ni chini ya thamani iliyotolewa 2a; b) zaidi ya thamani iliyotolewa 2a.
Mlinganyo wa HMT
Bainisha GMT zinazokidhi mlingano:
Mlinganyo wa HMT
, Kisha
- mlinganyo wa duaradufu
Jibu: F1, F2
Sehemu za Conic
Sehemu za Conic
Apollonius wa Perga (karne ya II-III KK) - mwanahisabati wa kale wa Kigiriki. Kazi muhimu zaidi ni "Sehemu za Conic"
Sehemu za Conic
Walichunguzwa na geometers za kale za Kigiriki. Nadharia ya sehemu za koni ilikuwa mojawapo ya kilele cha jiometri ya kale.Milinganyo ya mistari hii ilitolewa baadaye sana, wakati mbinu ya kuratibu ilianza kutumika.
Mikondo ya mpangilio wa pili
y
0
x
Mbinu ya kuratibu, pamoja na aljebra, inajumuisha tawi la jiometri inayoitwa jiometri ya uchanganuzi.
Ellipse eccentricity
inaashiria kiwango cha urefu wake.
Hata Johannes Kepler (1571 - 1630), mtaalam wa nyota wa Ujerumani, aligundua kuwa sayari za mfumo wa jua huzunguka Jua sio kwa miduara, kama ilivyodhaniwa hapo awali, lakini kwa duaradufu, na Jua liko kwenye moja ya mwelekeo wa duara hizi. .
Mizunguko ya miili ya mbinguni
Kicheshi cha VenusNeptuneEarthPlutoHalley
0,0068
0,0086
0,0167
0,253
0,967
Tulitatua tatizo kuhusu seti ya pointi, na GMT hii inahusiana na Ulimwengu (na hili lilikuwa tatizo tu!).
Kazi ya nyumbani
Unda equation kwa eneo la pointi, bidhaa ya umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa F1(-c; 0), F2(c; 0) ni thamani ya mara kwa mara a2. Eneo hili la pointi linaitwa mviringo wa Cassini.
Kazi ya nyumbani
Unda equation kwa eneo la pointi, bidhaa ya umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa F1(-a; 0), F2(a; 0) ni thamani ya mara kwa mara a2. Locus vile ya pointi inaitwa lemniscate (angalia takwimu). (Kwanza pata equation ya lemniscate moja kwa moja, kisha uzingatie kama aina maalum ya mviringo wa Cassini).
Kwa muhtasari wa somo
Eneo la kijiometri la pointi (hapa GMT) ni takwimu ya ndege inayojumuisha pointi ambazo zina mali fulani, na haina pointi moja ambayo haina mali hii.
Tutazingatia zile HMT pekee zinazoweza kutengenezwa kwa kutumia dira na rula.
Wacha tuzingatie HMT kwenye ndege, ambazo zina sifa rahisi na zinazoonyeshwa mara kwa mara:
1) GMTs ziko katika umbali fulani r kutoka sehemu fulani O ni duara na kituo katika hatua O ya radius r.
2) Mstari wa usawa wa GMT kutoka pointi mbili zilizotolewa A na B ni mstari wa moja kwa moja unaoendana na sehemu ya AB na kupita katikati yake.
3) Uwiano wa GMT kutoka kwa mistari miwili iliyopewa ya kukatiza, kuna jozi ya mistari ya kuheshimiana inayopita kwenye sehemu ya makutano na kugawanya pembe kati ya mistari iliyotolewa kwa nusu.
4) GMTs ziko katika umbali sawa h kutoka mstari wa moja kwa moja ni mistari miwili ya moja kwa moja sambamba na mstari huu wa moja kwa moja na iko kwenye pande tofauti kwa umbali fulani h.
5) Eneo la kijiometri la vituo vya miduara tangent kwa mstari uliopewa m katika hatua fulani M juu yake ni perpendicular kwa AB kwa uhakika M (isipokuwa kwa uhakika M).
6) Eneo la kijiometri la vituo vya miduara tangent kwa mduara uliopewa kwa hatua fulani M juu yake ni mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua M na katikati ya mduara uliopewa (isipokuwa kwa pointi M na O).
7) GMT, ambayo sehemu fulani inaonekana kwa pembe fulani, inajumuisha safu mbili za miduara iliyoelezewa kwenye sehemu fulani na iliyo na pembe fulani.
8) GMT, umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa A na B ziko katika uwiano m: n, ni mduara (unaoitwa mduara wa Apollonius).
9) Eneo la kijiometri la sehemu za katikati za chords zilizochorwa kutoka kwa sehemu moja ya duara ni mduara uliojengwa kwenye sehemu inayounganisha sehemu fulani na katikati ya duara fulani, kama kwenye kipenyo.
10) Eneo la kijiometri la wima za pembetatu sawa na saizi ya ile iliyotolewa na kuwa na msingi wa kawaida ni mistari miwili iliyonyooka, inayofanana na msingi na kupita kwenye kipeo cha pembetatu iliyopewa na ulinganifu nayo kuhusiana na mstari ulionyooka ulio na. msingi.
Hebu tutoe mifano ya kutafuta GMT.
MFANO 2.Tafuta GMT ambazo ni sehemu za kati za chords,inayotolewa kutoka sehemu moja ya duara fulani(GMT No. 9).
Suluhisho . Acha mduara ulio na kituo O utolewe na uelekeze A uchaguliwe kwenye mduara huu ambao chodi zimechorwa. Hebu tuonyeshe kwamba GMT inayotakiwa ni mduara uliojengwa kwa AO kama kipenyo (isipokuwa kwa uhakika A) (Mchoro 3).
Acha AB iwe gumzo na M katikati yake. Hebu tuunganishe M na O. Kisha MO ^ AB (radius inayogawanya chord katika nusu ni perpendicular kwa chord hii). Lakini basi RAMO = 90 0. Hii ina maana M ni ya mduara wenye kipenyo AO (GMT No. 7). Kwa sababu mduara huu hupitia hatua O, kisha O ni ya GMT yetu.
Kinyume chake, acha M awe wa GMT yetu. Kisha, kuchora chord AB kwa njia ya M na kuunganisha M na O, tunapata hiyo RAMO = 90 0, i.e. MO ^ AB, na, kwa hivyo, M ni katikati ya chord AB. Ikiwa M inalingana na O, basi O ni katikati ya AC.
Mara nyingi njia ya kuratibu inaruhusu mtu kupata GMT.
MFANO 3.Pata GMTs, umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa A na B ziko katika uwiano uliopewa m: n (m ≠ n).
Suluhisho . Hebu tuchague mfumo wa kuratibu wa mstatili ili pointi A na B ziko kwenye mhimili wa Ox kwa ulinganifu kuhusiana na asili, na mhimili wa Oy hupitia katikati ya AB (Mchoro 4). Acha AB = 2a. Kisha nukta A ina kuratibu A (a, 0), nukta B ina viwianishi B (-a, 0). Acha C iwe ya HMT yetu, inaratibu C(x, y) na CB/CA = m/n. Lakini 
Maana
(*)
Tubadilishe usawa wetu. Tuna
Malengo ya somo:
- Kielimu: onyesha njia mpya ya kutatua shida katika ujenzi wa eneo la kijiometri; Jifunze kuitumia katika kutatua matatizo.
- Maendeleo: maendeleo ya mawazo ya kuona na ya mfano; nia ya utambuzi.
- Kielimu: kukuza uwezo wa kupanga kazi, tafuta njia za busara za kuifanya, uwezo wa kutetea maoni ya mtu kwa sababu, na kutathmini kwa kina matokeo.
Malengo ya somo:
- Kusoma nyenzo mpya.
- Jaribu ujuzi wa wanafunzi wa kutatua matatizo.
Mpango wa somo:
- Ufafanuzi.
- Mfano 1.
- Mfano 2.
- Mfano 3.
- Sehemu ya kinadharia.
- Dhana za jumla.
Utangulizi.
Utamaduni wa kale wa Misri na Babeli katika uwanja wa hisabati uliendelea na Wagiriki. Hawakujifunza tu uzoefu wote wa jiometri yao, lakini pia walikwenda mbali zaidi. Wanasayansi wa Ugiriki ya Kale waliweza kupanga maarifa ya kijiometri yaliyokusanywa na, kwa hivyo, kuweka misingi ya jiometri kama sayansi ya kujitolea.
Wafanyabiashara Wagiriki walifahamu hisabati ya mashariki huku wakianzisha njia za biashara. Lakini watu wa Mashariki karibu hawakushiriki katika nadharia, na Wagiriki waligundua hili haraka. Waliuliza maswali: kwa nini katika pembetatu ya isosceles pembe mbili kwenye msingi ni sawa; Kwa nini eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya eneo la mstatili na besi na urefu sawa?
Kwa bahati mbaya, hakuna vyanzo vya msingi vilivyobaki vinavyoelezea kipindi cha mapema cha maendeleo ya hisabati ya Kigiriki. Shukrani tu kwa maandishi yaliyorejeshwa ya karne ya nne KK na kazi za wasomi wa Kiarabu, ambao walikuwa matajiri katika tafsiri za kazi za waandishi wa Ugiriki ya kale, tuna matoleo ya Euclid, Archimedes, Apollonius na watu wengine wakuu. Lakini katika kazi hizi sayansi ya hisabati iliyoendelezwa kikamilifu tayari imewasilishwa.
Hisabati ya Ugiriki ya kale ilipitia njia ndefu na ngumu ya maendeleo, kuanzia karne ya 6 KK. na hadi karne ya 6. Wanahistoria wa sayansi hutofautisha vipindi vitatu vya ukuaji wake kulingana na asili ya maarifa:
- Mkusanyiko wa mambo ya kibinafsi ya hisabati na matatizo (6 - 5B.B. BC).
- Utaratibu wa maarifa yaliyopatikana (karne ya 4 - 3 KK).
- Kipindi cha hisabati ya hesabu (karne ya 3 KK - karne ya 6).
Locus ya kijiometri ya pointi (GLP).
Ufafanuzi.
Mahali pa kijiometri- neno linalotumika katika fasihi ya zamani juu ya jiometri na bado linatumika katika fasihi ya kielimu kumaanisha seti ya pointi zinazokidhi hali fulani, kama sheria, ya asili ya kijiometri. Kwa mfano: eneo la pointi zinazolingana kutoka pointi mbili zilizotolewa A na B ni sehemu ya pembetatu ya sehemu ya AB. Wakati mwingine huzungumza juu ya eneo la kijiometri la mistari ya moja kwa moja na takwimu zingine.
Jina linahusishwa na wazo la mstari kama "mahali" ambayo pointi ziko.
Katika jiometri, trajectory ya hatua inayosonga kwa mujibu wa fomula au hali fulani. Kwa mfano, mduara ni eneo la hatua inayohamia kwenye ndege ili umbali kutoka eneo lake hadi katikati ubaki bila kubadilika.
Eneo la kijiometri la pointi (GMT) ni seti ya pointi zinazojumuisha pointi zote zinazokidhi hali fulani, na wao tu.
Eneo la kijiometri la pointi (GMT)- kielelezo cha hotuba katika hisabati, kinachotumiwa kufafanua takwimu ya kijiometri kama seti ya pointi ambazo zina mali fulani.
Mifano.
- Sehemu ya pembetatu ya sehemu ni eneo la pointi zinazolingana kutoka mwisho wa sehemu.
- Mduara ni eneo la pointi zinazolingana na sehemu fulani, inayoitwa katikati ya duara.
- Parabola ni eneo la pointi zinazolingana kutoka kwa uhakika (inayoitwa lengo) na mstari (unaoitwa directrix).
Mfano 1.
Wastani wa perpendicular wa sehemu yoyote ni eneo la pointi (yaani, seti ya pointi zote) zinazolingana kutoka mwisho wa sehemu hii. Acha PO iwe sawa kwa AB na AO = OB:
Kisha, umbali kutoka kwa sehemu yoyote ya P iliyo kwenye PO ya wastani ya perpendicular hadi ncha A na B ya sehemu ya AB ni sawa na sawa na d.
Kwa hivyo, kila hatua ya wastani wa sehemu ya sehemu ina mali ifuatayo: ni sawa kutoka mwisho wa sehemu.
Mfano 2.
Sehemu mbili za pembe ni eneo la pointi zinazolingana kutoka pande zake.
Mfano 3.
Mduara ni eneo la pointi (yaani seti ya pointi zote) sawa kutoka katikati yake (takwimu inaonyesha moja ya pointi hizi - A).
Chord, kupita katikati ya mduara (kwa mfano, BC, Kielelezo 1) inaitwa kipenyo na inaashiria d au D. Kipenyo ni chord kubwa zaidi sawa na radii mbili (d = 2 r).
Tangenti. Tuseme PQ ya secant (Kielelezo 2) inapita kupitia pointi K na M ya mduara. Hebu pia tuchukulie kwamba hatua M inasogea kwenye mduara, inakaribia hatua ya K. Kisha PQ ya secant itabadilisha msimamo wake, ikizunguka karibu na hatua K. Nukta M inapokaribia hatua ya K, PQ ya secant itaelekea kwenye nafasi fulani ya kuzuia AB. Mstari wa AB unaitwa tangent kwa duara katika hatua ya K. Pointi K inaitwa hatua ya tangency. Tangent na mduara zina hatua moja tu ya kawaida - hatua ya kuwasiliana.
Tabia za tangent.
- Tangent kwa mduara ni perpendicular kwa radius inayotolewa kwa hatua ya kuwasiliana (AB ni perpendicular kwa OK, Mchoro 2).
- Kutoka hatua ya nje ya mduara, tangents mbili zinaweza kuvutwa kwenye mduara huo; makundi yao ni sawa na AB = AC (Mchoro 3).
Sehemu- hii ni sehemu ya mduara iliyofungwa na arc ACB na chord inayofanana AB (Mchoro 4). Urefu wa CD perpendicular inayotolewa kutoka katikati ya chord AB hadi makutano na arc ACB inaitwa urefu wa sehemu.
Pembe kwenye mduara.
Pembe ya kati ni pembe inayoundwa na radii mbili (∠AOB, Mchoro 5). Pembe iliyoandikwa ni pembe inayoundwa na chodi mbili AB na AC inayotolewa kutoka kwa sehemu yao ya kawaida (∠BAC, Kielelezo 4). Pembe iliyozingirwa ni pembe inayoundwa na tanjenti mbili AB na AC inayotolewa kutoka kwa sehemu moja ya kawaida (∠BAC, Kielelezo 3).
Uhusiano kati ya vipengele vya mduara.
Pembe iliyoandikwa(∠ABC, Fig.7) ni sawa na nusu ya pembe ya kati kulingana na safu sawa ya AmC (∠AOC, Fig.7). Kwa hiyo, pembe zote zilizoandikwa (Mchoro 7) kulingana na arc sawa (AmC, Mchoro 7) ni sawa. Na kwa kuwa pembe ya kati ina idadi sawa ya digrii na arc yake (AmC, Mchoro 7), basi angle yoyote iliyoandikwa inapimwa na nusu ya arc ambayo inakaa (kwa upande wetu, AmC).
Pembe zote zilizoandikwa kulingana na nusu duara (∠APB, ∠AQB, ..., Kielelezo 8) ni pembe za kulia.
Kona(∠AOD, Fig.9), iliyoundwa na chodi mbili (AB na CD), hupimwa kwa nusu-jumla ya safu zilizofungwa kati ya pande zake: (AnD + CmB) / 2.
Pembe (∠AOD, Kielelezo 10) iliyoundwa na sekanti mbili (AO na OD) inapimwa kwa nusu ya tofauti ya arcs iliyofungwa kati ya pande zake: (AnD - BmC) / 2.
Pembe (∠DCB, Kielelezo 11) iliyoundwa na tanjiti na chord (AB na CD) hupimwa kwa nusu ya safu iliyo ndani yake: CmD / 2.
Pembe (∠BOC, Kielelezo 12) iliyoundwa na tangent na secant (CO na BO) inapimwa kwa nusu ya tofauti ya arcs kati ya pande zake: (BmC - CnD) / 2.
Pembe iliyozunguka (∠AOC, Mchoro 12), iliyoundwa na tangents mbili (CO na AO), inapimwa na nusu ya tofauti ya arcs kati ya pande zake: (ABC - CDA) / 2.
Bidhaa za makundi ya chords (AB na CD, Kielelezo 13 au Kielelezo 14), ambacho hugawanywa na hatua ya makutano, ni sawa na: AO · BO = CO · DO.
Mraba wa tangent ni sawa na bidhaa ya secant na sehemu yake ya nje (Mchoro 12): OA 2 = OB · OD. Mali hii inaweza kuzingatiwa kama kesi maalum ya Mtini. 14.
Chord(AB , Kielelezo 15) , perpendicular kwa kipenyo( CD) , O kwa nusu: AO = OB.
Mchele. 15
Ukweli wa kuvutia:
Hongera kwa Pi-likizo.
Kwa maneno ya kisayansi, nambari "Pi" ni uwiano wa mzunguko wa duara kwa kipenyo chake. Inaonekana kama jambo rahisi, lakini imekuwa na wasiwasi akili za wanahisabati tangu nyakati za kale. Na inaendelea kuwa na wasiwasi. Kwa kiasi kwamba wanasayansi - karibu miaka 20 iliyopita - walikubali kusherehekea likizo ya tarehe hii. Na walitoa wito kwa jumuiya nzima ya kimaendeleo kujumuika katika maadhimisho hayo. Anajiunga: anakula Pi-rogs mviringo, unakojoa, Pi-vo kila wakati, na hutoa sauti za Pi wanapokutana.
Mashabiki watashindana kukumbuka ishara za Pi. Na watajaribu kupita rekodi ya mwanafunzi wa Kichina mwenye umri wa miaka 24 Liu Chao, ambaye alitaja herufi 68,890 kutoka kwa kumbukumbu bila makosa. Ilimchukua saa 24 na dakika 4.
Kuondoka kwa sherehe hizo kumepangwa Machi 14 - tarehe ambayo kwa maandishi ya Amerika inaonekana kama 3.14 - ambayo ni, nambari tatu za kwanza za Pi.
Kulingana na hadithi, makuhani wa Babeli walijua juu ya nambari "Pi". Inatumika katika ujenzi wa Mnara wa Babeli. Lakini hawakuweza kukokotoa thamani yake kwa usahihi na hivyo kushindwa kukamilisha mradi. Alama ya nambari "Pi" ilitumiwa kwanza katika maandishi yake mnamo 1706 na mwanahisabati William Jones. Lakini ilichukua mizizi baada ya 1737 shukrani kwa juhudi za mwanahisabati wa Uswidi Leonhard Euler.
Mwanafizikia wa Marekani Larry Shaw alikuja na wazo la kusherehekea likizo hiyo.
Hakuna jibu kamili kwa swali la ni sehemu ngapi za decimal katika nambari "Pi". Uwezekano mkubwa zaidi kuna idadi isiyo na kikomo yao. Na sifa kuu ni kwamba mlolongo wa ishara hizi haurudiwi. Leo kuna trilioni 12,411 zinazojulikana. bilioni 500 zilizofanyiwa utafiti. Na hakuna marudio yaliyopatikana.
Kulingana na baadhi ya wanafizikia mashuhuri na wanahisabati, kwa mfano David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe, hakuna mtu atakayewapata - marudio. Angalau andika Ulimwengu wote kwa ishara. Ndio, angalau Ulimwengu ngapi ... Na wanasayansi wanaona aina fulani ya siri iliyofichwa katika hili. Inaaminika kuwa nambari "Pi" husimba machafuko ya asili yasiyoisha, ambayo baadaye yakawa maelewano. Au habari fulani isiyoeleweka.
Maswali:
- Je, ungependa kuunda ufafanuzi wa duara na duara?
- Je, ni dhana gani mpya ulizozifahamu?
- Eneo la pointi linaitwaje?
- Ni tofauti gani kati ya kipenyo na radius?
- Jinsi ya kupata radius ya duara iliyozungukwa na pembetatu?
Orodha ya vyanzo vilivyotumika:
- Somo juu ya mada "Jiometri ya Visual"
- Savin A.P. Mbinu ya nafasi za kijiometri /Kozi ya hiari katika hisabati: Kitabu cha kiada kwa darasa la 7-9 la shule ya upili. Comp. I.L. Nikolskaya. – M.: Mwangaza, uk. 74.
- Smirnova I.M., Smirnov V.A. Jiometri: Kitabu cha maandishi kwa darasa la 7-9 la taasisi za elimu ya jumla. – M.: Mnemosyne, 2005, p. 84.
- Sharygin I.F. Jiometri. Madarasa ya 7-9: Kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu ya jumla. - M.: Bustard, p. 76.
- Mazur K. I. "Kutatua shida kuu za ushindani katika hisabati ya mkusanyiko uliohaririwa na M. I. Skanavi"
Ilifanya kazi kwenye somo:
Samylina M.V.
Poturnak S.A.
Vladimir LAGOVSKY
Unaweza kuuliza swali kuhusu elimu ya kisasa, kueleza wazo au kutatua tatizo kubwa Jukwaa la elimu, ambapo baraza la elimu la mawazo mapya na vitendo hukutana kimataifa. Baada ya kuunda blogu, Hautaboresha tu hadhi yako kama mwalimu anayefaa, lakini pia utatoa mchango mkubwa katika maendeleo ya shule ya siku zijazo. Chama cha Viongozi wa Elimu hufungua milango kwa wataalamu wa ngazi za juu na kuwaalika kushirikiana katika kuunda shule bora zaidi duniani.