Fikiria equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua na vector ya kawaida. Hebu uhakika na vector isiyo ya sifuri itolewe katika mfumo wa kuratibu (Mchoro 1).
Ufafanuzi
Kama tunavyoona, kuna mstari mmoja wa moja kwa moja ambao hupitia hatua ya perpendicular kwa mwelekeo wa vector (katika kesi hii inaitwa. vector ya kawaida moja kwa moja).
Mchele. 1
Wacha tuthibitishe kuwa equation ya mstari
huu ni mlinganyo wa mstari, yaani, viwianishi vya kila nukta ya mstari vinatosheleza mlingano (1), lakini viwianishi vya nukta ambayo haijaegemea haikidhi mlinganyo (1).
Ili kuthibitisha hili, hebu tuone kwamba bidhaa ya scalar ya vectors na = katika fomu ya kuratibu inafanana na upande wa kushoto wa equation (1).
Ifuatayo tunatumia mali ya dhahiri ya mstari: vekta na ni perpendicular ikiwa na tu ikiwa hatua iko kwenye . Na mradi vekta zote mbili ni za kawaida, bidhaa yao ya scalar (2) inabadilika kuwa kwa alama zote ambazo zimelala, na kwao tu. Hii ina maana (1) ni mlinganyo wa mstari ulionyooka.
Ufafanuzi
Equation (1) inaitwa equation ya mstari unaopita kwenye nukta fulanina vector ya kawaida = .
Wacha tubadilishe equation (1)
Kuashiria = , tunapata
Kwa hivyo, equation ya mstari wa fomu (3) inafanana na mstari wa moja kwa moja. Kinyume chake, kwa kutumia equation iliyotolewa ya fomu (3), ambapo angalau moja ya coefficients si sawa na sifuri, mstari wa moja kwa moja unaweza kujengwa.
Kwa kweli, acha jozi ya nambari ikidhi equation (3), yaani
Kuondoa mwisho kutoka (3), tunapata uhusiano ambao huamua mstari wa moja kwa moja nyuma ya vector na uhakika.
Utafiti wa mlingano wa jumla wa mstari
Ni muhimu kujua sifa za kuweka mstari katika hali fulani wakati nambari moja au mbili ni sawa na sifuri.
1. Mlinganyo wa jumla unaonekana kama hii: . Hatua hiyo inakidhi, ambayo inamaanisha kuwa mstari unapita kupitia asili. Inaweza kuandikwa: = – x (tazama Mchoro 2).
Mchele. 2
Tunaamini kwamba:
Ikiwa tunaweka, basi, tunapata hatua nyingine (tazama Mchoro 2).
2. , basi equation inaonekana kama hii, wapi = -. Vector ya kawaida iko kwenye mhimili, mstari wa moja kwa moja. Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja ni perpendicular kwa uhakika, au sambamba na mhimili (angalia Mchoro 3). Hasa, ikiwa na , basi na equation ni equation ya mhimili wa kuratibu.
Mchele. 3
3. Vile vile, wakati equation imeandikwa, wapi. Vekta ni ya mhimili. Mstari wa moja kwa moja kwenye hatua (Mchoro 4).
Ikiwa, basi equation ya mhimili ni.
Utafiti unaweza kutengenezwa kwa fomu hii: mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili wa kuratibu, mabadiliko ambayo haipo katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja.
Kwa mfano:
Wacha tujenge laini moja kwa moja kwa kutumia equation ya jumla, mradi tu - sio sawa na sifuri. Ili kufanya hivyo, inatosha kupata pointi mbili ambazo ziko kwenye mstari huu. Wakati mwingine ni rahisi zaidi kupata alama kama hizo kwenye shoka za kuratibu.
Hebu basi = -.
Wakati , kisha = –.
Wacha tuonyeshe - = , - = . Pointi na zilipatikana. Hebu tupange na kuteka mstari wa moja kwa moja kwenye axes na kupitia kwao (tazama Mchoro 5).
Mchele. 5
Kutoka kwa jumla, unaweza kuendelea na equation ambayo itajumuisha nambari na:
Na kisha inageuka:
Au, kulingana na nukuu, tunapata equation
Ambayo inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi. Nambari na, sahihi kwa ishara, ni sawa na sehemu ambazo zimekatwa na mstari wa moja kwa moja kwenye axes za kuratibu.
Equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko
Ili kujua equation ya mstari ulionyooka na mteremko ni nini, fikiria equation (1):
Kuashiria - = , tunapata
mlinganyo wa mstari ambao hupitia hatua katika mwelekeo fulani. Maudhui ya kijiometri ya mgawo ni wazi kutoka kwa Mtini. 6.
B = = , ambapo ni pembe ndogo zaidi ambayo mwelekeo mzuri wa mhimili unahitaji kuzungushwa karibu na hatua ya kawaida mpaka inafanana na mstari wa moja kwa moja. Ni wazi, ikiwa pembe ni ya papo hapo, basi title="Imetolewa na QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}
Wacha tufungue mabano katika (5) na kurahisisha:
Wapi. Uhusiano (6) - equation mstari wa moja kwa moja na mteremko. Wakati , ni sehemu inayokata mstari wa moja kwa moja kwenye mhimili (ona Mchoro 6).
Kumbuka!
Ili kuhama kutoka kwa mlinganyo wa jumla wa mstari ulionyooka hadi kwenye mlinganyo wenye mgawo wa mteremko, lazima kwanza utatue kwa .
Mchele. 6
= – x + – =
ambapo imeashiria = –, = –. Ikiwa, basi kutokana na utafiti wa equation ya jumla tayari inajulikana kuwa mstari huo wa moja kwa moja ni perpendicular kwa mhimili.
Wacha tuangalie mlingano wa kisheria wa mstari ulionyooka kwa kutumia mfano.
Hebu uhakika na vector ya nonzero ielezwe katika mfumo wa kuratibu (Mchoro 7).
Mchele. 7
Ni muhimu kuunda equation kwa mstari wa moja kwa moja unaopita kwa uhakika sambamba na vector, ambayo inaitwa mwelekeo wa vector. Sehemu ya kiholela ni ya mstari huu if and only if . Kwa kuwa vekta imepewa, na vekta ni , basi, kulingana na hali ya usawa, kuratibu za vekta hizi ni sawia, ambayo ni:
Ufafanuzi
Uhusiano (7) unaitwa mlinganyo wa mstari ambao hupitia sehemu fulani katika mwelekeo fulani au mlingano wa kisheria wa mstari.
Hebu tukumbuke kwamba tunaweza kuhamia equation ya fomu (7), kwa mfano, kutoka kwa equation ya penseli ya mistari (4)
au kutoka kwa mlinganyo wa mstari ulionyooka kupitia nukta na vekta ya kawaida (1):
Ilichukuliwa hapo juu kuwa vector ya mwelekeo sio sifuri, lakini inaweza kutokea kwamba moja ya kuratibu zake, kwa mfano,. Kisha usemi (7) utaandikwa rasmi:
ambayo haina maana hata kidogo. Hata hivyo, tunakubali na kupata equation ya mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa mhimili. Hakika, kutoka kwa equation ni wazi kwamba mstari wa moja kwa moja unaelezwa na uhakika na mwelekeo wa vector perpendicular kwa mhimili. Ikiwa tutaondoa dhehebu kutoka kwa equation hii, basi tunapata:
Au - equation ya mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa mhimili. Matokeo sawa yangepatikana kwa vekta.
Mlinganyo wa parametric wa mstari
Ili kuelewa equation ya parametric ya mstari ni nini, unahitaji kurudi kwa equation (7) na usawa kila sehemu (7) kwa parameter. Kwa kuwa angalau moja ya madhehebu katika (7) si sawa na sifuri, na nambari inayolingana inaweza kupata maadili ya kiholela, basi eneo la mabadiliko ya parameter ni mhimili mzima wa nambari.
Ufafanuzi
Equation (8) inaitwa equation ya parametric ya mstari wa moja kwa moja.
Mifano ya matatizo ya mstari wa moja kwa moja
Bila shaka, ni vigumu kutatua chochote kulingana na ufafanuzi, kwa sababu unahitaji kutatua angalau mifano michache au matatizo yako mwenyewe ambayo itasaidia kuunganisha nyenzo ulizozifunika. Kwa hiyo, hebu tuchambue kazi kuu kwa mstari wa moja kwa moja, kwa kuwa matatizo kama hayo mara nyingi huja katika mitihani na vipimo.
Mlinganyo wa kisheria na parametric
Mfano 1
Kwenye mstari wa moja kwa moja uliotolewa na equation, pata hatua ambayo iko umbali wa vitengo 10 kutoka kwenye hatua ya mstari huu wa moja kwa moja.
Suluhisho:
Hebu inayotafutwa hatua ya mstari wa moja kwa moja, basi kwa umbali tunaandika. Kwa kuzingatia hilo. Kwa kuwa hatua hiyo ni ya mstari ambao una vekta ya kawaida, basi equation ya mstari inaweza kuandikwa: = = na kisha inageuka:
Kisha umbali. Chini ya , au . Kutoka kwa equation ya parametric:
Mfano 2
Kazi
Hatua hiyo inasonga sawasawa na kasi katika mwelekeo wa vekta kutoka mahali pa kuanzia. Pata kuratibu za uhakika kupitia tangu mwanzo wa harakati.
Suluhisho
Kwanza unahitaji kupata vector ya kitengo. Kuratibu zake ni cosine za mwelekeo:
Kisha vector ya kasi:
X = x = .
Mlinganyo wa kisheria wa mstari sasa utaandikwa:
= = , = – mlinganyo wa parametric. Baada ya hayo, unahitaji kutumia equation ya parametric ya mstari wa moja kwa moja kwenye .
Suluhisho:
Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta unapatikana kwa kutumia fomula ya penseli ya mistari, ambapo mteremko kwa mstari wa moja kwa moja na = kwa mstari wa moja kwa moja.
Kuzingatia takwimu, ambapo unaweza kuona kwamba kati ya mistari ya moja kwa moja na - kuna pembe mbili: moja ni ya papo hapo, na ya pili ni obtuse. Kulingana na fomula (9), hii ni pembe kati ya mistari iliyonyooka na ambayo unahitaji kuzungusha mstari wa moja kwa moja kinyume cha saa ukilinganisha na sehemu yao ya makutano hadi ilingane na mstari ulionyooka.
Kwa hivyo, tulikumbuka fomula, tuligundua pembe na sasa tunaweza kurudi kwa mfano wetu. Hii ina maana, kwa kuzingatia formula (9), sisi kwanza kupata equations ya mguu.
Kwa kuwa kuzungusha mstari wa moja kwa moja kwa pembe kinyume cha saa kuhusiana na uhakika husababisha upatanishi na mstari ulionyooka, kisha katika fomula (9) , a . Kutoka kwa equation:
Kutumia formula ya boriti, equation ya mstari wa moja kwa moja itaandikwa:
Vile vile tunapata, na,
Mlingano wa mstari:
Equation ya mstari - aina za equation ya mstari: kupita kwa uhakika, jumla, canonical, parametric, nk. ilisasishwa: Novemba 22, 2019 na: Makala ya kisayansi.Ru
Acha pointi mbili zitolewe M 1 (x 1,y 1) Na M 2 (x 2,y 2). Hebu tuandike equation ya mstari katika fomu (5), wapi k bado mgawo haujulikani:
Tangu uhakika M 2 ni ya mstari fulani, basi viwianishi vyake vinatosheleza mlingano (5): . Kuelezea kutoka hapa na kuibadilisha kuwa equation (5), tunapata mlinganyo unaohitajika:
Kama 
equation hii inaweza kuandikwa upya kwa namna ambayo ni rahisi zaidi kukariri:
(6)
Mfano. Andika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi M 1 (1,2) na M 2 (-2,3)
Suluhisho. 
. Kutumia mali ya uwiano na kufanya mabadiliko muhimu, tunapata equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja:
Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka
Fikiria mistari miwili iliyonyooka l 1 Na l 2:
l 1:,, na
l 2: , ,
φ ni pembe kati yao (). Kutoka kwa Mchoro wa 4 ni wazi:.
 |
Kutoka hapa 
, au
Kwa kutumia fomula (7) unaweza kuamua moja ya pembe kati ya mistari iliyonyooka. Pembe ya pili ni sawa na .
Mfano. Mistari miwili iliyonyooka imetolewa na milinganyo y=2x+3 na y=-3x+2. pata pembe kati ya mistari hii.
Suluhisho. Kutoka kwa equations ni wazi kwamba k 1 = 2, na k 2 =-3. Kubadilisha maadili haya kuwa fomula (7), tunapata
. Kwa hivyo, pembe kati ya mistari hii ni sawa na .
Masharti ya usawa na upenyo wa mistari miwili iliyonyooka
Ikiwa moja kwa moja l 1 Na l 2 ziko sambamba, basi φ=0 Na tgφ=0. kutoka kwa formula (7) inafuata kwamba, kutoka wapi k 2 =k 1. Kwa hivyo, hali ya usawa wa mistari miwili ni usawa wa mgawo wao wa angular.
Ikiwa moja kwa moja l 1 Na l 2 ni perpendicular, basi φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Kwa hivyo, hali ya perpendicularity ya mistari miwili ya moja kwa moja ni kwamba coefficients yao ya angular ni inverse kwa ukubwa na kinyume katika ishara.
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Nadharia. Ikiwa hatua M(x 0, y 0) imetolewa, basi umbali wa mstari Ax + Bу + C = 0 imedhamiriwa kama
Ushahidi. Hebu hatua M 1 (x 1, y 1) iwe msingi wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika M hadi mstari wa moja kwa moja uliopewa. Kisha umbali kati ya alama M na M 1:
Kuratibu x 1 na y 1 zinaweza kupatikana kwa kutatua mfumo wa equations:
Equation ya pili ya mfumo ni equation ya mstari unaopitia hatua fulani M 0 perpendicular kwa mstari fulani.
Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Kwa 0 + C = 0,
basi, kutatua, tunapata:
Kubadilisha misemo hii katika equation (1), tunapata:
Nadharia imethibitishwa.
Mfano. Kuamua angle kati ya mistari: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = uk/4.
Mfano. Onyesha kwamba mistari 3x - 5y + 7 = 0 na 10x + 6y - 3 = 0 ni perpendicular.
Tunapata: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, kwa hiyo, mistari ni perpendicular.
Mfano. Imetolewa ni vipeo vya pembetatu A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tafuta mlinganyo wa urefu uliochorwa kutoka kwenye kipeo C.
Tunapata mlinganyo wa upande AB:; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Mlinganyo wa urefu unaohitajika una fomu: Ax + By + C = 0 au y = kx + b.
k= . Kisha y = . Kwa sababu urefu hupitia hatua C, basi kuratibu zake kukidhi equation hii: wapi b = 17. Jumla:.
Jibu: 3x + 2y - 34 = 0.
Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari unatambuliwa na urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari.
Ikiwa mstari unafanana na ndege ya makadirio (h | P1), basi ili kuamua umbali kutoka kwa uhakika A kwa mstari ulionyooka h ni muhimu kupunguza perpendicular kutoka kwa uhakika A kwa mlalo h.
Hebu fikiria mfano ngumu zaidi, wakati mstari wa moja kwa moja unachukua nafasi ya jumla. Hebu iwe muhimu kuamua umbali kutoka kwa uhakika M kwa mstari ulionyooka A msimamo wa jumla.
Jukumu la uamuzi umbali kati ya mistari sambamba inatatuliwa sawa na uliopita. Hatua inachukuliwa kwenye mstari mmoja na perpendicular imeshuka kutoka kwayo hadi mstari mwingine. Urefu wa perpendicular ni sawa na umbali kati ya mistari inayofanana.
Mzunguko wa utaratibu wa pili ni mstari unaofafanuliwa kwa mlingano wa shahada ya pili kuhusiana na kuratibu za Cartesian za sasa. Katika hali ya jumla, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
ambapo A, B, C, D, E, F ni nambari halisi na angalau moja ya nambari A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Mduara
Kituo cha mduara- hii ni eneo la kijiometri la pointi katika usawa wa ndege kutoka kwa uhakika katika ndege C (a,b).
Mduara hutolewa na equation ifuatayo:
Ambapo x, y ni viwianishi vya sehemu ya kiholela kwenye duara, R ni radius ya duara.
Ishara ya equation ya duara
1. Neno lenye x, y halipo
2. Migawo ya x 2 na y 2 ni sawa
Ellipse
Ellipse inaitwa locus ya kijiometri ya pointi katika ndege, jumla ya umbali wa kila mmoja ambayo kutoka kwa pointi mbili zilizopewa za ndege hii inaitwa foci (thamani ya mara kwa mara).
Mlinganyo wa kisheria wa duaradufu:
X na y ni mali ya duaradufu.
a - mhimili nusu kuu ya duaradufu
b - mhimili wa nusu ndogo ya duaradufu
Duaradufu ina shoka 2 za ulinganifu OX na OU. Axes ya ulinganifu wa duaradufu ni shoka zake, hatua ya makutano yao ni katikati ya duaradufu. Mhimili ambao foci ziko huitwa mhimili wa kuzingatia. Sehemu ya makutano ya duaradufu na shoka ni kipeo cha duaradufu.
Uwiano wa mgandamizo (mvutano): ε = s/a- eccentricity (inaashiria umbo la duaradufu), ndogo ni, duaradufu kidogo hupanuliwa kando ya mhimili wa msingi.
Ikiwa vituo vya duaradufu haviko katikati C(α, β)
Hyperbola
Hyperbole inaitwa locus ya kijiometri ya pointi katika ndege, thamani kamili ya tofauti katika umbali, ambayo kila mmoja kutoka kwa pointi mbili zilizopewa za ndege hii, inayoitwa foci, ni thamani ya mara kwa mara tofauti na sifuri.
Canonical hyperbola equation
Hyperbola ina shoka 2 za ulinganifu:
a – nusu mhimili halisi wa ulinganifu
b – nusu mhimili wa kufikirika wa ulinganifu
Dalili za hyperbola:
Parabola
Parabola ni eneo la pointi katika usawa wa ndege kutoka sehemu fulani F, inayoitwa lengo, na mstari uliotolewa, unaoitwa directrix.
Mlinganyo wa kisheria wa parabola:
У 2 =2рх, ambapo р ni umbali kutoka kwa lengo hadi mstari wa moja kwa moja (parabola parameter)
Ikiwa kipeo cha parabola ni C (α, β), basi mlinganyo wa parabola (y-β) 2 = 2р(x-α)
Ikiwa mhimili wa kuzingatia utachukuliwa kama mhimili wa kuratibu, basi equation ya parabola itachukua fomu: x 2 =2qу
Makala haya ni sehemu ya mlinganyo wa mada ya mstari katika ndege. Hapa tutaiangalia kutoka pande zote: tutaanza na uthibitisho wa nadharia ambayo inabainisha aina ya equation ya jumla ya mstari, kisha tutazingatia equation ya jumla isiyo kamili ya mstari, tutatoa mifano ya equation zisizo kamili. ya mstari na vielelezo vya picha, na kwa kumalizia tutakaa juu ya mpito kutoka kwa equation ya jumla ya mstari hadi aina nyingine za equation za mstari huu na kutoa ufumbuzi wa kina kwa matatizo ya kawaida ya kutunga equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja.
Urambazaji wa ukurasa.
Equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja - maelezo ya msingi.
Hebu tuchambue algorithm hii wakati wa kutatua mfano.
Mfano.
Andika milinganyo ya parametric ya mstari ambayo hutolewa na mlingano wa jumla wa mstari 
.
Suluhisho.
Kwanza, tunapunguza equation ya jumla ya asili ya mstari hadi equation ya kisheria ya mstari:
Sasa tunachukua pande za kushoto na za kulia za equation inayosababisha kuwa sawa na parameter. Tuna 
Jibu:
Kutoka kwa equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, inawezekana kupata usawa wa mstari wa moja kwa moja na mgawo wa pembe tu wakati. Unahitaji kufanya nini ili kufanya mabadiliko? Kwanza, upande wa kushoto wa equation ya mstari wa moja kwa moja wa jumla, acha neno tu , masharti yaliyobaki lazima yahamishwe kwa upande wa kulia na ishara tofauti: 
. Pili, gawanya pande zote mbili za usawa unaosababishwa na nambari B, ambayo sio sifuri, 
. Ni hayo tu.
Mfano.
Mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxy hutolewa na equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja. Pata equation ya mstari huu na mteremko.
Suluhisho.
Wacha tufanye vitendo muhimu:.
Jibu:
Wakati mstari unatolewa na equation kamili ya jumla ya mstari, ni rahisi kupata usawa wa mstari katika makundi ya fomu. Ili kufanya hivyo, tunahamisha nambari C hadi upande wa kulia wa usawa na ishara iliyo kinyume, tugawanye pande zote mbili za usawa unaosababishwa na -C, na hatimaye kuhamisha coefficients kwa vigezo x na y kwa denominators: 
Hebu mstari upite kupitia pointi M 1 (x 1; y 1) na M 2 (x 2; y 2). Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaopita kwa uhakika M 1 una fomu y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)
Wapi k - bado mgawo haujulikani.
Kwa kuwa mstari wa moja kwa moja hupitia hatua ya M 2 (x 2 y 2), viwianishi vya hatua hii lazima vikidhi equation (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Kuanzia hapa tunapata Kubadilisha thamani iliyopatikana k
katika equation (10.6), tunapata equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi M 1 na M 2: 
Inachukuliwa kuwa katika mlingano huu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ikiwa x 1 = x 2, basi mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia pointi M 1 (x 1,y I) na M 2 (x 2, y 2) ni sawa na mhimili wa kuratibu. Equation yake ni x = x 1 .
Ikiwa y 2 = y I, basi usawa wa mstari unaweza kuandikwa kama y = y 1, mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 ni sawa na mhimili wa abscissa.
Mlinganyo wa mstari katika sehemu
Acha mstari wa moja kwa moja ukute mhimili wa Ox kwa uhakika M 1 (a;0), na mhimili wa Oy kwenye hatua ya M 2 (0;b). Equation itachukua fomu: 
hizo. 
. Equation hii inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi, kwa sababu nambari a na b zinaonyesha ni sehemu gani ambazo mstari unakata kwenye shoka za kuratibu.
Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta fulani inayoendana na vekta fulani
Hebu tupate equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye hatua fulani Mo (x O; y o) perpendicular kwa vector isiyo ya sifuri iliyotolewa n = (A; B).
Hebu tuchukue hatua ya kiholela M (x; y) kwenye mstari na fikiria vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (angalia Mchoro 1). Kwa kuwa vekta n na M o M ni za pembeni, bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri: hiyo ni.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Equation (10.8) inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwa uhakika fulani perpendicular kwa vector iliyotolewa .
Vector n = (A; B), perpendicular kwa mstari, inaitwa kawaida vector ya kawaida ya mstari huu .
Equation (10.8) inaweza kuandikwa upya kama Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
ambapo A na B ni viwianishi vya vekta ya kawaida, C = -Ax o - Vu o ni neno huru. Mlinganyo (10.9) ni mlinganyo wa jumla wa mstari(tazama Mchoro 2).
Mtini.1 Mtini.2
Milinganyo ya kisheria ya mstari
,
Wapi 
- kuratibu za hatua ambayo mstari hupita, na 
- vector ya mwelekeo.
Mviringo wa mpangilio wa pili Mduara
Mduara ni seti ya pointi zote za usawa wa ndege kutoka kwa uhakika fulani, unaoitwa katikati.
Mlingano wa kisheria wa mduara wa radius
R inayozingatia hatua 
:
Hasa, ikiwa katikati ya dau inaambatana na asili ya kuratibu, basi equation itaonekana kama: 
Ellipse
Mduara duaradufu ni seti ya pointi kwenye ndege, jumla ya umbali kutoka kwa kila moja hadi pointi mbili zilizotolewa.
Na 
, ambayo huitwa foci, ni wingi wa mara kwa mara 
, kubwa kuliko umbali kati ya foci 
.
Mlinganyo wa kisheria wa duaradufu ambayo foci iko kwenye mhimili wa Ox, na asili ya kuratibu katikati kati ya foci ina fomu. 
G 
de a urefu wa mhimili wa nusu; b - urefu wa mhimili wa nusu ndogo (Mchoro 2).
Utegemezi kati ya vigezo vya duaradufu
Na 
inaonyeshwa na uwiano:
(4)
Ellipse eccentricityinayoitwa uwiano wa umbali wa kuingiliana2skwa mhimili mkuu2a:
Wakuu wa shule
duaradufu ni mistari iliyonyooka sambamba na mhimili wa Oy, ambayo iko katika umbali kutoka kwa mhimili huu. Milinganyo ya Directrix: 
.
Ikiwa katika equation ya duaradufu 
, basi foci ya duaradufu iko kwenye mhimili wa Oy.
Kwa hiyo, 
Makala hii imepokelewa mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili ulizopewa katika mfumo wa uratibu wa Cartesian wa mstatili kwenye ndege, na pia ilipata milinganyo ya mstari wa moja kwa moja ambayo hupitia pointi mbili zilizotolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi ya tatu-dimensional. Baada ya kuwasilisha nadharia, ufumbuzi wa mifano ya kawaida na matatizo yanaonyeshwa ambayo ni muhimu kuunda equations ya mstari wa aina mbalimbali wakati kuratibu za pointi mbili kwenye mstari huu zinajulikana.
Urambazaji wa ukurasa.
Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili zilizotolewa kwenye ndege.
Kabla ya kupata equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili zilizotolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege, hebu tukumbuke ukweli fulani.
Moja ya axioms ya jiometri inasema kwamba kwa njia ya pointi mbili tofauti kwenye ndege mstari mmoja wa moja kwa moja unaweza kuchora. Kwa maneno mengine, kwa kutaja pointi mbili kwenye ndege, tunafafanua kwa pekee mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi hizi mbili (ikiwa ni lazima, rejea sehemu ya mbinu za kutaja mstari wa moja kwa moja kwenye ndege).
Acha Oxy iwekwe kwenye ndege. Katika mfumo huu wa kuratibu, mstari wowote wa moja kwa moja unafanana na equation fulani ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Vekta inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja imeunganishwa bila usawa na mstari huu sawa. Maarifa haya yanatosha kabisa kuunda mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi mbili ulizopewa.
Hebu tuunda hali ya tatizo: tengeneza equation kwa mstari wa moja kwa moja a, ambayo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian ya mstatili Oxy hupitia pointi mbili tofauti na.
Tutakuonyesha suluhisho rahisi na la ulimwengu kwa shida hii.
Tunajua kwamba mlinganyo wa kisheria wa mstari kwenye ndege ni wa umbo 
hufafanua katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oksi mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye uhakika na kuwa na vekta ya mwelekeo.
Wacha tuandike mlingano wa kisheria wa mstari ulionyooka kupita pointi mbili zilizotolewa na .
Kwa wazi, vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja a, ambayo hupitia pointi M 1 na M 2, ni vector, ina kuratibu. 
(tazama makala ikiwa ni lazima). Kwa hivyo, tunayo data zote muhimu za kuandika equation ya kisheria ya mstari wa moja kwa moja a - kuratibu za vector yake ya mwelekeo. 
na kuratibu za uhakika uliolala juu yake (na ). Inaonekana kama 
(au 
).
Tunaweza pia kuandika milinganyo ya parametric ya mstari kwenye ndege inayopitia pointi mbili na. Wanaonekana kama 
au 
.
Wacha tuangalie suluhisho la mfano.
Mfano.
Andika mlinganyo wa mstari unaopitia pointi mbili ulizopewa 
.
Suluhisho.
Tuligundua kuwa mlinganyo wa kisheria wa mstari unaopita pointi mbili na viwianishi na una fomu .
Kutoka kwa hali ya shida tuliyo nayo 
. Wacha tubadilishe data hii kwenye equation . Tunapata 
.
Jibu:
.
Iwapo hatuhitaji mlingano wa kisheria wa mstari na wala si milinganyo ya parametric ya mstari unaopita pointi mbili zilizotolewa, lakini mlinganyo wa mstari wa aina tofauti, basi tunaweza kuufikia kila wakati kutoka kwa mlingano wa kisheria wa mstari.
Mfano.
Andika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, ambayo katika mfumo wa kuratibu mstatili Oxy kwenye ndege hupitia pointi mbili na.
Suluhisho.
Kwanza, hebu tuandike mlinganyo wa kisheria wa mstari unaopita pointi mbili zilizotolewa. Inaonekana kama . Sasa hebu tulete equation inayosababisha kwa fomu inayohitajika:.
Jibu:
.
Katika hatua hii tunaweza kumaliza na equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia pointi mbili zilizotolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege. Lakini ningependa kukukumbusha jinsi tulivyotatua tatizo kama hilo katika shule ya upili katika masomo ya aljebra.
Shuleni tulijua tu mlinganyo wa mstari ulionyooka na mgawo wa angular wa fomu. Hebu tupate thamani ya mgawo wa angular k na namba b ambayo equation inafafanua katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxy kwenye ndege mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi na saa. (Ikiwa x 1 = x 2, basi mgawo wa angular wa mstari hauna mwisho, na mstari wa M 1 M 2 unatambuliwa na equation ya jumla isiyo kamili ya mstari wa fomu x-x 1 = 0).
Kwa kuwa pointi M 1 na M 2 ziko kwenye mstari, kuratibu za pointi hizi zinakidhi equation ya mstari, yaani, usawa na ni halali. Kutatua mfumo wa equations ya fomu 
kuhusu vigezo visivyojulikana k na b, tunapata 
au 
. Kwa maadili haya ya k na b, equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili na kuchukua fomu 
au 
.
Hakuna maana katika kukariri fomula hizi; wakati wa kutatua mifano, ni rahisi kurudia vitendo vilivyoonyeshwa.
Mfano.
Andika mlinganyo wa mstari na mteremko ikiwa mstari huu unapita kwenye pointi na .
Suluhisho.
Katika hali ya jumla, equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa pembe ina fomu. Wacha tupate k na b ambayo equation inalingana na mstari unaopita kupitia nukta mbili na .
Kwa kuwa pointi M 1 na M 2 ziko kwenye mstari ulionyooka, viwianishi vyao vinakidhi equation ya mstari ulionyooka, yaani, usawa ni kweli. 
Na. Thamani za k na b zinapatikana kwa kutatua mfumo wa equations 
(ikiwa ni lazima, rejelea kifungu): 
Inabakia kuchukua nafasi ya maadili yaliyopatikana kwenye equation. Kwa hivyo, equation inayohitajika ya mstari unaopita pointi mbili na ina fomu.
Kazi kubwa sana, sivyo?
Ni rahisi zaidi kuandika equation ya kisheria ya mstari unaopitia pointi mbili na, ina fomu. 
, na kutoka kwake kwenda kwa usawa wa mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular:.
Jibu:
Milinganyo ya mstari unaopitia pointi mbili zilizotolewa katika nafasi ya pande tatu.
Acha mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Oxyz urekebishwe katika nafasi ya pande tatu, na pointi mbili zinazotofautiana zipewe. 
Na 
, ambayo mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 hupita. Wacha tupate milinganyo ya mstari huu.
Tunajua kwamba milinganyo ya kisheria ya mstari ulionyooka katika nafasi ni ya umbo 
na equations parametric ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi ya fomu 
fafanua mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz, ambao hupitia hatua na kuratibu na ina vector ya mwelekeo. 
.
Vector ya mwelekeo wa mstari M 1 M 2 ni vector, na mstari huu unapita kwa uhakika (Na ), basi milinganyo ya kisheria ya mstari huu ina fomu (au 
), na milinganyo ya parametric ni 
(au 
).
.
Ikiwa unahitaji kufafanua mstari wa moja kwa moja M 1 M 2 kwa kutumia milinganyo ya ndege mbili zinazoingiliana, basi lazima kwanza utengeneze milinganyo ya kisheria ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili. Na , na kutoka kwa milinganyo hii pata milinganyo inayohitajika ya ndege.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Jiometri. Madarasa ya 7 - 9: kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu ya jumla.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Jiometri. Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10-11 la shule ya sekondari.
- Pogorelov A.V., Jiometri. Kitabu cha maandishi kwa darasa la 7-11 katika taasisi za elimu ya jumla.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Hisabati ya juu. Juzuu ya kwanza: vipengele vya algebra ya mstari na jiometri ya uchambuzi.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Jiometri ya uchambuzi.