Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ni nini itakusaidia kuelewa pembetatu sahihi.

Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu hii ni upande \(AC\)); miguu ni pande mbili zilizobaki \(AB\) na \(BC\) (zilizo karibu na pembe ya kulia), na ikiwa tutazingatia miguu inayohusiana na pembe \(BC\), basi mguu \(AB\) ni mguu wa karibu, na mguu \(BC\) ni kinyume. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?

Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \dhambi \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) kwa karibu (karibu).

Katika pembetatu yetu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).

Katika pembetatu yetu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:

Cosine→gusa→gusa→karibu;

Cotangent→gusa→gusa→karibu.

Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:

Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe \(\beta \) . Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe \(\beta \) kutoka kwa pembetatu \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.

Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!

Kwa pembetatu \ (ABC \) iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata \(\dhambi \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\anza(safu)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\\alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\mwisho(safu) \)

Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe \(\beta \) .

Majibu: \(\dhambi \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Mduara wa kitengo (trigonometric).

Kwa kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara wenye kipenyo sawa na \(1\) . Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.

Kama unaweza kuona, mduara huu umejengwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Radi ya duara ni sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili ya kuratibu, nafasi ya awali ya vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\) (kwa mfano wetu, hii. ni radius \(AB\)).

Kila nukta kwenye duara inalingana na nambari mbili: kuratibu kando ya mhimili \(x\) na kuratibu kando ya mhimili wa \(y\). Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu \(ACG\) . Ni ya mstatili kwa sababu \(CG\) inaendana na mhimili \(x\) .

\(\cos \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Hiyo ni sawa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Kwa kuongeza, tunajua kwamba \(AC\) ni radius ya duara ya kitengo, ambayo ina maana \(AC=1\) . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\dhambi \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni sawa na nini? Naam, bila shaka, \(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Badilisha thamani ya radius \(AC\) kwenye fomula hii na upate:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kwa hivyo, unaweza kusema ni nini kinachoratibu hatua \(C\) ya mduara inayo? Naam, hakuna njia? Je, ikiwa utagundua kuwa \(\cos \ \alpha \) na \(\sin \alpha \) ni nambari tu? \(\cos \alpha \) inalingana na kuratibu gani? Kweli, kwa kweli, kuratibu \(x\)! Na \(\sin \ alpha \) inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, ratibu \(y\)! Hivyo uhakika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Je, basi \(tg \alpha \) na \(ctg \alpha \) ni sawa na nini? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi unaolingana wa tangent na cotangent na tupate hiyo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:

Ni nini kimebadilika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Zingatia pembetatu ya kulia \((A)_(1))((C)_(1))G \) : pembe (inayopakana na pembe \(\beta \) ). Ni nini thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwa pembe \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:

\(\anza(safu)(l)\sin \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\pembe ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\mwisho(safu) \)

Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu \(y\) ; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu \(x\) ; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.

Imetajwa tayari kuwa nafasi ya awali ya vekta ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\). Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.

Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius kuzunguka duara ni \(360()^\circ \) au \(2\pi \) . Je, inawezekana kuzungusha vekta ya radius na \(390()^\circ \) au kwa \(-1140()^\circ \)? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kwa hivyo, vekta ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kusimama kwenye nafasi \(30()^\circ \) au \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Katika kesi ya pili, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaani, vekta ya radius itafanya mapinduzi matatu kamili na kuacha kwenye nafasi \(-60()^\circ \) au \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na \(360()^\circ \cdot m \) au \(2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari yoyote), yanahusiana na nafasi sawa ya vector ya radius.

Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha pembe \(\beta =-60()^\circ \) . Picha sawa inalingana na kona \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) na kadhalika. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na formula ya jumla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) au \(\beta +2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari kamili)

\(\anza(safu)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\mwisho(safu) \)

Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:

\(\anza(safu)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\dhambi \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\mwisho(safu) \)

Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:

Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:

\(\anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\mwisho(safu)\)

Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: kona ndani \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) inalingana na hatua iliyo na kuratibu \(\left(0;1 \right) \) , kwa hivyo:

\(\ dhambi 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- haipo;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki hiyo hiyo, tunagundua kuwa pembe ndani \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ ) yanahusiana na pointi na kuratibu \(\kushoto(-1;0 \kulia),\text( )\kushoto(0;-1 \kulia),\text( )\left(1;0 \kulia),\text( )\left(0 ;1 \kulia) \), kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazofanana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.

Majibu:

\(\mtindo wa maonyesho \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\mtindo wa maonyesho \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\\pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- haipo

\(\dhambi \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\dhambi \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- haipo

\(\dhambi \ 450()^\circ =\sin \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\dhambi \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:

Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:

\(\kushoto. \anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\mwisho(safu) \kulia\)\ \maandishi(Lazima ukumbuke au uweze kuionyesha!! \) !}

Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) kama inavyoonyeshwa kwenye jedwali hapa chini, lazima ukumbuke:

Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja wa kukariri kwa urahisi kwa maadili yanayolingana:

Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pamoja na thamani ya tangent ya pembe katika \(30()^\circ \) . Kujua maadili haya \(4\) ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:

\(\anza(safu)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \mwisho(safu) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ukijua hili, unaweza kurejesha maadili ya \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Nambari "\(1 \)" italingana na \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) na denominata "\(\sqrt(\text(3)) \)" italingana na \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka tu \(4\) maadili kutoka kwa meza.

Kuratibu za nukta kwenye duara

Je, inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye mduara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko? Naam, bila shaka unaweza! Wacha tupate fomula ya jumla ya kupata viwianishi vya nukta. Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:

Tunapewa hatua hiyo \(K(((x)_(0)));((y)_(0)))=K(3;2) \)- katikati ya mduara. Radi ya mduara ni \(1.5\) . Ni muhimu kupata kuratibu za uhakika \(P\) zilizopatikana kwa kuzungusha uhakika \(O\) na \(\delta \) digrii.

Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu \(x\) ya nukta \(P\) inalingana na urefu wa sehemu \(TP=UQ=UK+KQ\) . Urefu wa sehemu \(UK\) inalingana na kuratibu \(x\) ya katikati ya duara, yaani, ni sawa na \(3\) . Urefu wa sehemu \(KQ\) unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Halafu tunayo hiyo kwa uhakika \(P\) kuratibu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y kuratibu kwa uhakika \(P\) . Hivyo,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Kwa hivyo, kwa ujumla, kuratibu za alama imedhamiriwa na fomula:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \mwisho(safu) \), Wapi

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - kuratibu za katikati ya duara,

\(r\) - radius ya duara,

\(\delta \) - angle ya mzunguko wa radius ya vector.

Kama unavyoona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \mwisho(safu) \)

Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!

Kiwango cha wastani

Pembetatu ya kulia. Mwongozo Kamili wenye Vielelezo (2019)

PEMBE YA KULIA. NGAZI YA KWANZA.

Katika shida, pembe ya kulia sio lazima kabisa - chini kushoto, kwa hivyo unahitaji kujifunza kutambua pembetatu ya kulia katika fomu hii,

na katika hili

na katika hili

Je, ni nini kizuri kuhusu pembetatu sahihi? Kweli ..., kwanza, kuna majina maalum mazuri kwa pande zake.

Makini na mchoro!

Kumbuka na usichanganye: kuna miguu miwili, na kuna hypotenuse moja tu(moja na pekee, ya kipekee na ndefu zaidi)!

Naam, tumejadili majina, sasa jambo muhimu zaidi: Theorem ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean.

Nadharia hii ndiyo ufunguo wa kutatua matatizo mengi yanayohusisha pembetatu ya kulia. Ilithibitishwa na Pythagoras katika nyakati za kumbukumbu kabisa, na tangu wakati huo imeleta faida nyingi kwa wale wanaoijua. Na jambo bora zaidi juu yake ni kwamba ni rahisi.

Kwa hiyo, Nadharia ya Pythagorean:

Unakumbuka utani: "Suruali ya Pythagorean ni sawa kwa pande zote!"?

Hebu tuchore suruali hizi za Pythagorean na tuziangalie.

Je, haionekani kama aina fulani ya kaptula? Kweli, ni pande gani na wapi zinalingana? Kwa nini na utani ulitoka wapi? Na utani huu umeunganishwa kwa usahihi na nadharia ya Pythagorean, au kwa usahihi zaidi na jinsi Pythagoras mwenyewe alivyounda nadharia yake. Na akaitengeneza kama hii:

"Jumla maeneo ya viwanja, iliyojengwa kwa miguu, ni sawa na eneo la mraba, iliyojengwa juu ya hypotenuse."

Je, inasikika tofauti kidogo? Na kwa hivyo, wakati Pythagoras alichora taarifa ya nadharia yake, hii ndio picha iliyotoka.

Katika picha hii, jumla ya maeneo ya viwanja vidogo ni sawa na eneo la mraba mkubwa. Na ili watoto waweze kukumbuka vizuri kuwa jumla ya mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse, mtu mwenye busara alikuja na utani huu kuhusu suruali ya Pythagorean.

Kwa nini sasa tunaunda nadharia ya Pythagorean?

Je, Pythagoras aliteseka na kuzungumza kuhusu mraba?

Unaona, katika nyakati za kale hapakuwa na ... algebra! Hakukuwa na ishara na kadhalika. Hakukuwa na maandishi. Unaweza kufikiria jinsi ilivyokuwa mbaya kwa wanafunzi maskini wa kale kukumbuka kila kitu kwa maneno?! Na tunaweza kufurahi kwamba tuna uundaji rahisi wa nadharia ya Pythagorean. Wacha tuirudie tena ili kuikumbuka vyema:

Inapaswa kuwa rahisi sasa:

Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Naam, nadharia muhimu zaidi kuhusu pembetatu sahihi imejadiliwa. Ikiwa una nia ya jinsi inavyothibitishwa, soma viwango vifuatavyo vya nadharia, na sasa hebu tuende zaidi ... kwenye msitu wa giza ... wa trigonometry! Kwa maneno ya kutisha sine, kosine, tanjiti na cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia.

Kwa kweli, kila kitu sio cha kutisha hata kidogo. Bila shaka, ufafanuzi wa "halisi" wa sine, cosine, tangent na cotangent inapaswa kuangaliwa katika makala. Lakini kwa kweli sitaki, sivyo? Tunaweza kufurahiya: kutatua shida kuhusu pembetatu sahihi, unaweza kujaza mambo rahisi yafuatayo:

Kwa nini kila kitu kiko kwenye kona? Kona iko wapi? Ili kuelewa hili, unahitaji kujua jinsi taarifa 1 - 4 zimeandikwa kwa maneno. Angalia, uelewe na ukumbuke!

1.
Kwa kweli inasikika kama hii:

Vipi kuhusu pembe? Je, kuna mguu ulio kinyume na kona, yaani, kinyume (kwa pembe) mguu? Bila shaka! Huu ni mguu!

Vipi kuhusu pembe? Angalia kwa makini. Ni mguu gani ulio karibu na kona? Bila shaka, mguu. Hii ina maana kwamba kwa pembe mguu ni karibu, na

Sasa, makini! Angalia kile tulipata:

Tazama jinsi inavyopendeza:

Sasa hebu tuendelee kwenye tangent na cotangent.

Ninawezaje kuandika hii kwa maneno sasa? Je, ni mguu gani unaohusiana na pembe? Kinyume, kwa kweli - "iko" kinyume na kona. Vipi kuhusu mguu? Karibu na kona. Kwa hivyo tuna nini?

Unaona jinsi nambari na denominata zilivyobadilishana mahali?

Na sasa pembe tena na kufanya kubadilishana:

Muhtasari

Hebu tuandike kwa ufupi kila kitu ambacho tumejifunza.

Nadharia ya Pythagorean:

Nadharia kuu kuhusu pembetatu za kulia ni nadharia ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean

Kwa njia, unakumbuka vizuri miguu na hypotenuse ni nini? Ikiwa si nzuri sana, basi angalia picha - furahisha ujuzi wako

Inawezekana kwamba tayari umetumia nadharia ya Pythagorean mara nyingi, lakini umewahi kujiuliza kwa nini nadharia hiyo ni kweli? Ninawezaje kuthibitisha hilo? Wacha tufanye kama Wagiriki wa zamani. Wacha tuchore mraba na upande.

Tazama jinsi tulivyogawanya pande zake kwa urefu na kwa werevu!

Sasa hebu tuunganishe dots zilizowekwa alama

Hapa sisi, hata hivyo, tuliona kitu kingine, lakini wewe mwenyewe angalia mchoro na ufikirie kwa nini hii ni hivyo.

Eneo la mraba kubwa ni nini? Haki, . Vipi kuhusu eneo dogo? Hakika,. Jumla ya eneo la pembe nne linabaki. Fikiria kwamba tuliwachukua wawili kwa wakati mmoja na kuwaegemeza dhidi ya kila mmoja na hypotenuses zao. Nini kimetokea? Mistatili miwili. Hii inamaanisha kuwa eneo la "kupunguzwa" ni sawa.

Hebu tuyaweke yote pamoja sasa.

Hebu tubadilishe:

Kwa hivyo tulimtembelea Pythagoras - tulithibitisha nadharia yake kwa njia ya zamani.

Pembetatu ya kulia na trigonometry

Kwa pembetatu ya kulia, mahusiano yafuatayo yanashikilia:

Sine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse

Cosine ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangent ya angle ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.

Cotangent ya pembe ya papo hapo ni sawa na uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Na kwa mara nyingine hii yote katika mfumo wa kibao:

Ni vizuri sana!

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia

I. Kwa pande mbili

II. Kwa mguu na hypotenuse

III. Kwa hypotenuse na angle ya papo hapo

IV. Pamoja na mguu na pembe ya papo hapo

a)

b)

Tahadhari! Ni muhimu sana hapa kwamba miguu ni "sahihi". Kwa mfano, ikiwa inakwenda kama hii:

HALAFU PEMBE TEMBE SI SAWA, licha ya ukweli kwamba wana pembe moja ya papo hapo inayofanana.

Haja ya katika pembetatu zote mguu ulikuwa karibu, au katika zote mbili ulikuwa kinyume.

Umeona jinsi ishara za usawa wa pembetatu za kulia zinatofautiana na ishara za kawaida za usawa wa pembetatu? Angalia mada "na uzingatie ukweli kwamba kwa usawa wa pembetatu" za "kawaida", vitu vitatu lazima ziwe sawa: pande mbili na pembe kati yao, pembe mbili na upande kati yao, au pande tatu. Lakini kwa usawa wa pembetatu za kulia, vipengele viwili tu vinavyolingana vinatosha. Kubwa, sawa?

Hali ni takriban sawa na ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia

I. Pamoja na pembe ya papo hapo

II. Kwa pande mbili

III. Kwa mguu na hypotenuse

Wastani katika pembetatu ya kulia

Kwa nini iko hivi?

Badala ya pembetatu ya kulia, fikiria mstatili mzima.

Hebu tuchore diagonal na fikiria hatua - hatua ya makutano ya diagonals. Unajua nini kuhusu diagonal za mstatili?

Na nini kinafuata kutoka kwa hii?

Hivyo ikawa hivyo

1. - wastani:

Kumbuka ukweli huu! Inasaidia sana!

Kinachoshangaza zaidi ni kwamba kinyume chake pia ni kweli.

Ni nzuri gani inaweza kupatikana kutokana na ukweli kwamba wastani unaotolewa kwa hypotenuse ni sawa na nusu ya hypotenuse? Hebu tuangalie picha

Angalia kwa makini. Tunayo: , yaani, umbali kutoka kwa uhakika hadi wima zote tatu za pembetatu ziligeuka kuwa sawa. Lakini kuna hatua moja tu katika pembetatu, umbali ambao kutoka kwa wima zote tatu za pembetatu ni sawa, na hii ndio KITUO CHA MDUARA. Basi nini kilitokea?

Kwa hivyo wacha tuanze na hii "zaidi ...".

Hebu tuangalie na.

Lakini pembetatu zinazofanana zina pembe zote sawa!

Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu na

Sasa hebu tuchore pamoja:

Ni faida gani inayoweza kupatikana kutokana na mfanano huu wa "mara tatu"?

Kweli, kwa mfano - fomula mbili za urefu wa pembetatu ya kulia.

Wacha tuandike uhusiano wa pande zinazolingana:

Ili kupata urefu, tunatatua uwiano na kupata formula ya kwanza "Urefu katika pembetatu ya kulia":

Kwa hivyo, wacha tutumie kufanana: .

Nini kitatokea sasa?

Tena tunatatua sehemu hiyo na kupata formula ya pili:

Unahitaji kukumbuka fomula hizi zote mbili vizuri na utumie ile ambayo ni rahisi zaidi. Hebu tuandike tena

Nadharia ya Pythagorean:

Katika pembetatu ya kulia, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu: .

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia:

• kwa pande mbili:
• kwa mguu na hypotenuse: au
• kando ya mguu na pembe ya karibu ya papo hapo: au
• kando ya mguu na pembe ya papo hapo kinyume: au
• kwa hypotenuse na angle ya papo hapo: au.

Ishara za kufanana kwa pembetatu za kulia:

• kona moja ya papo hapo: au
• kutoka kwa usawa wa miguu miwili:
• kutoka kwa uwiano wa mguu na hypotenuse: au.

Sine, cosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia

• Sini ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse:
• Cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:
• Tangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu:
• Cotangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume:.

Urefu wa pembetatu ya kulia: au.

Katika pembetatu ya kulia, wastani unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse: .

Eneo la pembetatu ya kulia:

• kupitia miguu:

Katika maisha, mara nyingi tutalazimika kushughulika na shida za hesabu: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wetu na kazi za nyumbani. Watu katika taaluma fulani watakutana na hisabati kila siku. Kwa hivyo, ni muhimu kukariri au kukumbuka sheria za hisabati. Katika makala hii tutaangalia mmoja wao: kutafuta upande wa pembetatu sahihi.

Pembetatu ya kulia ni nini

Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia ni takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu, na upande ulio kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse.

Kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia

Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu. Ningependa kuzizingatia kwa undani zaidi.

Nadharia ya Pythagorean kupata upande wa pembetatu ya kulia

Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu wa mguu usiojulikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Inasikika kama hii: "Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu." Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu. Tunabadilisha fomula na kupata: a²=c²-b².

Mfano. Hypotenuse ni sentimita 5, na mguu ni sentimita 3. Tunabadilisha fomula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ifuatayo tunatatua: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Uwiano wa trigonometric kupata mguu wa pembetatu ya kulia

Unaweza pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inajulikana. Kuna chaguzi nne za kutafuta mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent. Jedwali hapa chini litatusaidia kutatua matatizo. Hebu fikiria chaguzi hizi.

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia sine

Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Mfumo: sin=a/c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c.

Mfano. Hypotenuse ni 10 cm, angle A ni digrii 30. Kutumia meza, tunahesabu sine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, kwa kutumia fomula iliyobadilishwa, tunatatua: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cosine

Cosine ya pembe (cos) ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Mfumo: cos=b/c, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe fulani, na c ni hypotenuse. Wacha tubadilishe fomula na tupate: b=cos*c.

Mfano. Angle A ni sawa na digrii 60, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu cosine ya angle A, ni sawa na 1/2. Ifuatayo tunatatua: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia tangent

Tangenti ya pembe (tg) ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Fomula: tg=a/b, ambapo a ni upande ulio kinyume na pembe, na b ni upande wa karibu. Wacha tubadilishe fomula na tupate: a=tg*b.

Mfano. Angle A ni sawa na digrii 45, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu tangent ya angle A, ni sawa na Tatua: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cotangent

Angle cotangent (ctg) ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume. Mfumo: ctg=b/a, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe, na ni mguu wa kinyume. Kwa maneno mengine, kotangenti ni "tangent iliyogeuzwa." Tunapata: b=ctg*a.

Mfano. Angle A ni digrii 30, mguu wa kinyume ni cm 5. Kulingana na meza, tangent ya angle A ni √3. Tunakokotoa: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Kwa hiyo sasa unajua jinsi ya kupata mguu katika pembetatu ya kulia. Kama unaweza kuona, sio ngumu sana, jambo kuu ni kukumbuka kanuni.

Trigonometry ni tawi la sayansi ya hisabati ambayo inasoma kazi za trigonometric na matumizi yao katika jiometri. Maendeleo ya trigonometry ilianza katika Ugiriki ya kale. Katika Zama za Kati, wanasayansi kutoka Mashariki ya Kati na India walitoa mchango muhimu katika maendeleo ya sayansi hii.

Nakala hii imejitolea kwa dhana za msingi na ufafanuzi wa trigonometry. Inajadili ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric: sine, cosine, tangent na cotangent. Maana yao inaelezewa na kuonyeshwa katika muktadha wa jiometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hapo awali, ufafanuzi wa kazi za trigonometric ambazo hoja yake ni pembe ilionyeshwa kwa uwiano wa pande za pembetatu ya kulia.

Ufafanuzi wa kazi za trigonometric

Sini ya pembe (sin α) ni uwiano wa mguu kinyume na pembe hii kwa hypotenuse.

Cosine ya pembe (cos α) - uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Angle tangent (t g α) - uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu.

Angle cotangent (c t g α) - uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Ufafanuzi huu umetolewa kwa pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia!

Hebu tutoe kielelezo.

Katika pembetatu ABC yenye pembe ya kulia C, sine ya pembe A ni sawa na uwiano wa mguu BC na hypotenuse AB.

Ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent hukuruhusu kuhesabu maadili ya kazi hizi kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu.

Muhimu kukumbuka!

Aina mbalimbali za thamani za sine na kosine ni kutoka -1 hadi 1. Kwa maneno mengine, sine na kosine huchukua maadili kutoka -1 hadi 1. Aina mbalimbali za thamani za tangent na cotangent ni mstari mzima wa nambari, yaani, kazi hizi zinaweza kuchukua maadili yoyote.

Ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatumika kwa pembe kali. Katika trigonometry, dhana ya angle ya mzunguko imeanzishwa, thamani ambayo, tofauti na angle ya papo hapo, sio mdogo kwa digrii 0 hadi 90. Pembe ya mzunguko katika digrii au radians inaonyeshwa na nambari yoyote halisi kutoka - ∞ hadi + ∞ .

Katika muktadha huu, tunaweza kufafanua sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya ukubwa wa kiholela. Wacha tufikirie mduara wa kitengo na kituo chake katika asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Sehemu ya mwanzo A iliyo na viwianishi (1, 0) huzunguka katikati ya duara la kitengo kupitia pembe fulani α na kwenda hadi A1. Ufafanuzi hutolewa kwa mujibu wa kuratibu za uhakika A 1 (x, y).

Sine (dhambi) ya pembe ya mzunguko

Sini ya pembe ya mzunguko α ni mratibu wa hatua A 1 (x, y). dhambi α = y

Cosine (cos) ya pembe ya mzunguko

Cosine ya pembe ya mzunguko α ni abscissa ya uhakika A 1 (x, y). maana α = x

Tanji (tg) ya pembe ya mzunguko

Tangent ya angle ya mzunguko α ni uwiano wa kuratibu wa uhakika A 1 (x, y) kwa abscissa yake. t g α = y x

Kotanjenti (ctg) ya pembe ya mzunguko

Cotangent ya pembe ya mzunguko α ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 (x, y) kwa kuratibu kwake. c t g α = x y

Sine na cosine hufafanuliwa kwa pembe yoyote ya mzunguko. Hii ni mantiki, kwa sababu abscissa na kuratibu ya hatua baada ya mzunguko inaweza kuamua kwa pembe yoyote. Hali ni tofauti na tangent na cotangent. Tangent haijafafanuliwa wakati hatua baada ya kuzunguka inaenda kwa uhakika na sifuri abscissa (0, 1) na (0, - 1). Katika hali kama hizi, usemi wa tangent t g α = y x hauna maana, kwani una mgawanyiko kwa sifuri. Hali ni sawa na cotangent. Tofauti ni kwamba kotanjiti haijafafanuliwa katika hali ambapo mpangilio wa nukta huenda hadi sifuri.

Muhimu kukumbuka!

Sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote α.

Tanji hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotanjiti hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Wakati wa kutatua mifano ya vitendo, usiseme "sine ya pembe ya mzunguko α". Maneno "pembe ya mzunguko" yameachwa tu, ikimaanisha kwamba tayari iko wazi kutoka kwa muktadha kile kinachojadiliwa.

Nambari

Vipi kuhusu ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari, na si pembe ya mzunguko?

Sine, kosine, tanjiti, cotangent ya nambari

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari ambayo mtawalia ni sawa na sine, kosine, tanjiti na cotangent ndani t radian.

Kwa mfano, sine ya nambari 10 π ni sawa na sine ya pembe ya mzunguko ya 10 π rad.

Kuna mbinu nyingine ya kubainisha sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi.

Nambari yoyote halisi t hatua kwenye mduara wa kitengo inahusishwa na kituo kwenye asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian ya mstatili. Sine, cosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii.

Sehemu ya kuanzia kwenye duara ni hatua A iliyo na viwianishi (1, 0).

Nambari chanya t

Nambari hasi t inalingana na hatua ambayo hatua ya kuanzia itaenda ikiwa inazunguka mduara kinyume na saa na kupitisha njia t.

Sasa kwa kuwa uhusiano kati ya nambari na hatua kwenye mduara umeanzishwa, tunaendelea kwenye ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent.

Sine (dhambi) ya t

Sine ya nambari t- mpangilio wa nukta kwenye duara ya kitengo inayolingana na nambari t. dhambi t = y

Cosine (cos) ya t

Cosine ya nambari t- abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na nambari t. gharama t = x

Tangenti (tg) ya t

Tanji ya nambari t- uwiano wa kuratibu kwa abscissa ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na nambari t. t g t = y x = dhambi t cos t

Ufafanuzi wa hivi karibuni ni kwa mujibu wa na haupingani na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya hii. Onyesha kwenye duara inayolingana na nambari t, inafanana na hatua ambayo hatua ya kuanzia huenda baada ya kugeuka kwa pembe t radian.

Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari

Kila thamani ya pembe α inalingana na thamani fulani ya sine na kosini ya pembe hii. Kama vile pembe zote α zaidi ya α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zinalingana na thamani fulani ya tanjiti. Kotanjiti, kama ilivyoelezwa hapo juu, imefafanuliwa kwa α zote isipokuwa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Tunaweza kusema kwamba dhambi α, cos α, t g α, c t g α ni kazi za alfa ya pembe, au kazi za hoja ya angular.

Vile vile, tunaweza kuzungumza kuhusu sine, kosine, tanjiti na kotanji kama kazi za hoja ya nambari. Kila nambari halisi t inalingana na thamani fulani ya sine au kosine ya nambari t. Nambari zote isipokuwa π 2 + π · k, k ∈ Z, zinalingana na thamani ya tanjiti. Cotangent, vile vile, imefafanuliwa kwa nambari zote isipokuwa π · k, k ∈ Z.

Kazi za msingi za trigonometry

Sine, kosine, tangent na cotangent ni kazi za msingi za trigonometric.

Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha ni hoja gani ya kitendakazi cha trigonometriki (hoja ya angular au hoja ya nambari) tunayoshughulikia.

Wacha turudi kwenye ufafanuzi uliotolewa mwanzoni kabisa na pembe ya alfa, ambayo iko katika safu kutoka digrii 0 hadi 90. Ufafanuzi wa trigonometriki wa sine, kosine, tanjiti na kotanjenti unalingana kabisa na ufafanuzi wa kijiometri unaotolewa na uwiano wa kipengele cha pembetatu ya kulia. Hebu tuonyeshe.

Wacha tuchukue mduara wa kitengo na kituo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. Hebu tuzungushe hatua ya kuanzia A (1, 0) kwa pembe ya hadi digrii 90 na kuteka perpendicular kwa mhimili wa abscissa kutoka kwa matokeo ya A 1 (x, y). Katika pembetatu ya kulia inayosababisha, angle A 1 O H ni sawa na angle ya mzunguko α, urefu wa mguu O H ni sawa na abscissa ya uhakika A 1 (x, y). Urefu wa mguu kinyume na pembe ni sawa na kuratibu ya hatua A 1 (x, y), na urefu wa hypotenuse ni sawa na moja, kwa kuwa ni radius ya mzunguko wa kitengo.

Kwa mujibu wa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya angle α ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse.

dhambi α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Hii inamaanisha kuwa kubainisha sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia kupitia uwiano wa kipengele ni sawa na kubainisha sine ya pembe ya mzunguko α, huku alfa ikiwa katika safu kutoka digrii 0 hadi 90.

Vile vile, mawasiliano ya ufafanuzi yanaweza kuonyeshwa kwa cosine, tangent na cotangent.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Tutaanza somo letu la trigonometry na pembetatu sahihi. Hebu tufafanue sine na kosine ni nini, pamoja na tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo. Hii ndio misingi ya trigonometry.

Hebu tuwakumbushe hilo pembe ya kulia ni pembe sawa na digrii 90. Kwa maneno mengine, nusu ya pembe iliyogeuka.

Kona kali- chini ya digrii 90.

Pembe ya kupindukia- zaidi ya digrii 90. Kuhusiana na pembe kama hiyo, "obtuse" sio tusi, lakini neno la kihesabu :-)

Wacha tuchore pembetatu ya kulia. Pembe ya kulia kawaida huonyeshwa na . Tafadhali kumbuka kuwa upande ulio kinyume na kona unaonyeshwa kwa barua sawa, ndogo tu. Kwa hivyo, pembe ya upande A imeteuliwa.

Pembe inaonyeshwa na herufi ya Kigiriki inayolingana.

Hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia.

Miguu- pande zimelala kinyume na pembe za papo hapo.

Mguu uliolala kinyume na pembe unaitwa kinyume(kuhusiana na angle). Mguu mwingine, ulio kwenye moja ya pande za pembe, unaitwa karibu.

Sinus Pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse:

Cosine pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:

Tangenti pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa upande kinyume na karibu:

Ufafanuzi mwingine (sawa): tangent ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa sine ya pembe kwa kosine yake:

Cotangent pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia - uwiano wa upande wa karibu na kinyume (au, ambayo ni sawa, uwiano wa cosine na sine):

Kumbuka uhusiano wa kimsingi wa sine, kosine, tangent na kotangent hapa chini. Watakuwa na manufaa kwetu wakati wa kutatua matatizo.

Hebu tuthibitishe baadhi yao.

Sawa, tumetoa ufafanuzi na kanuni zilizoandikwa. Lakini kwa nini bado tunahitaji sine, cosine, tangent na cotangent?

Tunajua hilo jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni sawa na.

Tunajua uhusiano kati ya vyama pembetatu ya kulia. Hii ndio nadharia ya Pythagorean:.

Inatokea kwamba kujua pembe mbili katika pembetatu, unaweza kupata ya tatu. Kujua pande mbili za pembetatu ya kulia, unaweza kupata ya tatu. Hii ina maana kwamba pembe zina uwiano wao wenyewe, na pande zote zina wenyewe. Lakini unapaswa kufanya nini ikiwa katika pembetatu sahihi unajua pembe moja (isipokuwa pembe ya kulia) na upande mmoja, lakini unahitaji kupata pande nyingine?

Hivi ndivyo watu wa siku za nyuma walikutana nazo wakati wa kutengeneza ramani za eneo na anga yenye nyota. Baada ya yote, si mara zote inawezekana kupima moja kwa moja pande zote za pembetatu.

Sine, cosine na tangent - pia huitwa kazi za pembe ya trigonometric- kutoa mahusiano kati ya vyama Na pembe pembetatu. Kujua angle, unaweza kupata kazi zake zote za trigonometric kwa kutumia meza maalum. Na kujua sines, cosines na tangents ya pembe ya pembetatu na moja ya pande zake, unaweza kupata wengine.

Pia tutachora jedwali la maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe "nzuri" kutoka kwa.

Tafadhali kumbuka dashi mbili nyekundu kwenye jedwali. Kwa thamani zinazofaa za pembe, tanjiti na cotangent hazipo.

Hebu tuangalie matatizo kadhaa ya trigonometry kutoka Benki ya Task ya FIPI.

1. Katika pembetatu, pembe ni,. Tafuta .

Tatizo linatatuliwa kwa sekunde nne.

Kwa sababu ya , .

2. Katika pembetatu, pembe ni , , . Tafuta .

Wacha tuipate kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.

Tatizo linatatuliwa.

Mara nyingi katika matatizo kuna pembetatu na pembe na au kwa pembe na. Kumbuka uwiano wa kimsingi kwao kwa moyo!

Kwa pembetatu yenye pembe na mguu ulio kinyume na pembe ni sawa na nusu ya hypotenuse.

Pembetatu yenye pembe na ni isosceles. Ndani yake, hypotenuse ni mara kubwa zaidi kuliko mguu.

Tuliangalia matatizo ya kutatua pembetatu za kulia - yaani, kutafuta pande zisizojulikana au pembe. Lakini si hivyo tu! Kuna matatizo mengi katika Mtihani wa Hali Iliyounganishwa katika hisabati ambayo yanahusisha sine, kosine, tanjiti au cotangent ya pembe ya nje ya pembetatu. Zaidi juu ya hili katika makala inayofuata.