Hakuna mtu atakayepinga kuwa haiwezekani kufika unakoenda bila kujua mwelekeo wa safari. Katika fizikia dhana hii inaitwa vekta. Hadi wakati huu, tumekuwa tukifanya kazi na nambari na maadili kadhaa, ambayo huitwa idadi. Vekta hutofautiana na wingi kwa kuwa ina mwelekeo.
Wakati wa kufanya kazi na vector, hufanya kazi juu yake mwelekeo Na ukubwa. Kigezo cha kimwili bila kuzingatia mwelekeo inaitwa scalar.
Kwa kuibua, vekta inaonyeshwa kama mshale. Urefu wa mshale ni ukubwa wa vector.
Katika fizikia, vekta zinaonyeshwa na herufi kubwa na mshale juu.
Vectors zinaweza kulinganishwa. Vekta mbili zitakuwa sawa ikiwa zina ukubwa sawa na mwelekeo.
Vectors zinaweza kuongezwa. Vekta inayosababisha ni jumla ya vekta zote mbili na huamua umbali na mwelekeo. Kwa mfano, unaishi Kyiv na uliamua kutembelea marafiki wa zamani huko Moscow, na kutoka huko fanya ziara ya mama mkwe wako mpendwa huko Lviv. Je, utakuwa umbali gani kutoka nyumbani kwako unapomtembelea mama wa mkeo?
Ili kujibu swali hili unahitaji kuteka vector kutoka pa kuanzia kusafiri (Kyiv) na kwa marudio ya mwisho (Lviv). Vekta mpya huamua matokeo ya safari nzima kutoka mwanzo hadi mwisho.
- Vector A - Kyiv-Moscow
- Vector B - Moscow-Lviv
- Vector C - Kyiv-Lviv
C = A+B, ambapo C- jumla ya vekta au vector inayosababisha
Vectors haziwezi kuongezwa tu, bali pia zimetolewa! Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchanganya besi za subtrahend na vekta za kutoa na kuunganisha ncha zao na mishale:
- Vekta A = C-B
- Vekta B = C-A
Wacha tuiweke kwenye vekta zetu kuratibu gridi ya taifa. Kwa vekta A tunaweza kusema kwamba inaelekezwa seli 5 juu ( thamani chanya Mhimili wa Y) na seli 3 upande wa kushoto ( maana hasi Mhimili wa X): X=-3; Y=5.
Kwa vector B: mwelekeo wa seli 4 upande wa kushoto na seli 7 chini: X = -4; Y=-7.
Kwa hivyo, ili kuongeza veta kando ya shoka za X na Y, unahitaji kuongeza kuratibu zao. Ili kupata kuratibu za vekta inayosababisha kando ya shoka za X na Y:
Hebu fikiria tatizo: mpira unasonga kwa kasi ya 10m/s pamoja ndege inayoelekea yenye urefu wa msingi X=1m, ulio kwenye 30° hadi upeo wa macho. Inahitajika kuamua wakati ambao mpira unasonga kutoka mwanzo hadi mwisho wa ndege.
Katika tatizo hili, kasi ni vector V yenye ukubwa wa 10m/s na mwelekeo α=30° kwa mlalo. Kuamua kasi ya harakati ya mpira kwenye msingi wa ndege iliyoelekezwa, tunahitaji kuamua sehemu ya X ya harakati ya mpira, ambayo ni scalar (ina thamani tu, sio mwelekeo) na imeonyeshwa. Vx. Vile vile, sehemu ya Y ya kasi pia ni scalar na inaashiria V y. Vekta ya kasi kupitia vipengele: V = (V x ;V y)
Hebu tubaini vipengele (V x ;V y). Wacha tukumbuke trigonometry:
V x = V cosα
V y = V sinα
Sehemu ya X ya kasi ya mpira:
V x = V cosα = V cos30° = 10.0 0.866 = 8.66 m/s
Kasi ya usawa ya mpira ni 8.66 m / s.
Kwa sababu urefu wa msingi wa ndege iliyoelekezwa ni 1 m, basi mpira utafunika umbali huu kwa:
1.00(m)/8.66(m/s) = 0.12 s
Kwa hivyo, mpira utahitaji 0.12 s kusonga kando ya ndege iliyoelekezwa. Jibu: 0.12s
Kwa ajili ya maslahi, hebu tufafanue sehemu ya Y ya kasi:
V y = V sinα = 10 1/2 = 5.0 m/s
Kwa kuwa wakati wa "kusafiri" wa mpira ni sawa kwa vipengele vyote viwili, tunaweza kuamua urefu wa Y ambao mpira ulitoka:
5.0(m/s)·0.12(s) = 0.6 m
Umbali uliosafirishwa na mpira:
Tatizo kinyume
Wacha tuchunguze shida ya kinyume ya ile iliyotangulia:
Mpira ulihamia kando ya ndege iliyoelekezwa hadi urefu wa 0.6 m, wakati katika ndege ya usawa harakati yake ilikuwa 1.0 m. Inahitajika kupata umbali uliosafirishwa na mpira na pembe.
Tunahesabu umbali kwa kutumia nadharia ya Pythagorean:
L = √1.00 2 + 0.60 2 = √1.36 = 1.16m
Kwa trigonometry:
X = L cosα; Y = L sinα
X/L = cosα; Y/L = sinα
Sasa unaweza kupata pembe:
α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)
Wacha tubadilishe nambari:
α = arccos(1/1.16) = 30°
Hesabu ya kati ya L inaweza kuondolewa:
Y = X rangi
Vector ni kitu cha hisabati, ambayo ina sifa ya ukubwa na mwelekeo (kwa mfano, kuongeza kasi, uhamisho), ambayo hutupwa kutoka kwa scalars ambazo hazina mwelekeo (kwa mfano, umbali, nishati). Scalars zinaweza kuongezwa kwa kuongeza maadili yao (kwa mfano, 5 kJ ya kazi pamoja na 6 kJ ya kazi ni sawa na 11 kJ ya kazi), lakini vekta sio rahisi sana kuongeza na kutoa.
Hatua
Kuongeza na kutoa vekta na vipengele vinavyojulikana
- Kumbuka kwamba vekta zinaweza kuwa na sura moja, mbili-dimensional, au tatu-dimensional. Kwa hivyo, vekta zinaweza kuwa na sehemu ya "x", "x" na "y" vipengele, au "x", "y", "z" vipengele. Vekta za 3D zimejadiliwa hapa chini, lakini mchakato huo ni sawa kwa vekta za 1D na 2D.
- Tuseme umepewa mbili vector tatu dimensional- vekta A na vekta B. Andika vekta hizi ndani fomu ya vector:A =
-
Ili kuongeza vekta mbili, ongeza sehemu zao zinazolingana. Kwa maneno mengine, ongeza sehemu ya x ya vekta ya kwanza kwa sehemu ya x ya vekta ya pili (na kadhalika). Matokeo yake, utapata x, y, z vipengele vya vector kusababisha.
- A+B =
- Hebu tuongeze vectors A na B. A =<5, 9, -10>na B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, au <22, 6, -12> .
- A+B =
-
Ili kuondoa vector moja kutoka kwa nyingine, unahitaji kuondoa vipengele vinavyolingana. Kama itakavyoonyeshwa hapa chini, kutoa kunaweza kubadilishwa kwa kuongeza vekta moja na vekta kinyume ya nyingine. Ikiwa vipengele vya vectors mbili vinajulikana, toa vipengele vinavyolingana vya vector moja kutoka kwa vipengele vya nyingine.
- A-B =
- Ondoa vekta A na B. A =<18, 5, 3>na B =<-10, 9, -10>. A - B =<18--10, 5-9, 3--10>, au <28, -4, 13> .
Kuongeza na kutoa kwa picha
-
Kwa kuwa vectors wana ukubwa na mwelekeo, wana mwanzo na mwisho (hatua ya mwanzo na hatua ya mwisho, umbali kati ya ambayo ni sawa na thamani ya vector). Wakati vekta inavyoonyeshwa kwa picha, inachorwa kama mshale, ncha ambayo ni mwisho wa vekta, na hatua ya kinyume ni mwanzo wa vekta.
- Wakati wa kupanga vectors, panga pembe zote kwa usahihi sana; vinginevyo utapata jibu lisilo sahihi.
-
Ili kuongeza vekta, chora ili mwisho wa kila vekta iliyotangulia iunganishwe na mwanzo wa vekta inayofuata. Ikiwa unaongeza vekta mbili tu, basi hiyo ndiyo yote unapaswa kufanya kabla ya kupata vekta inayosababisha.
- Tafadhali kumbuka kuwa utaratibu ambao vekta zimeunganishwa sio muhimu, yaani, vector A + vector B = vector B + vector A.
-
Ili kuondoa vekta, ongeza tu vekta inverse, ambayo ni, pindua mwelekeo wa vekta iliyopunguzwa, na kisha uunganishe mwanzo wake hadi mwisho wa vekta nyingine. Kwa maneno mengine, ili kutoa vekta, izungushe 180 o (kuzunguka asili) na uiongeze kwenye vekta nyingine.
Ukiongeza au kupunguza ni vekta ngapi (zaidi ya mbili), kisha unganisha ncha na mwanzo wao kwa mfululizo. Utaratibu ambao unaunganisha vekta haijalishi. Njia hii inaweza kutumika kwa idadi yoyote ya vekta.
-
Chora vekta mpya, kuanzia mwanzo wa vekta ya kwanza na kuishia na mwisho wa vekta ya mwisho (idadi ya vekta iliyoongezwa sio muhimu). Utapata vekta inayosababisha sawa na jumla ya vekta zote zilizoongezwa. Kumbuka kwamba vekta hii ni sawa na vekta iliyopatikana kwa kuongeza vipengele vya x, y, na z vya vekta zote.
- Ikiwa umechora urefu wa vekta na pembe kati yao kwa usahihi sana, basi unaweza kupata thamani ya vector inayosababisha kwa kupima urefu wake. Zaidi ya hayo, unaweza kupima pembe (kati ya vekta ya matokeo na vekta nyingine maalum au mistari ya usawa / wima) ili kupata mwelekeo wa vekta ya matokeo.
- Ikiwa umechora urefu wa vectors na pembe kati yao kwa usahihi sana, basi unaweza kupata thamani ya vector kusababisha kutumia trigonometry, yaani theorem sine au cosine theorem. Ikiwa unaongeza vectors nyingi (zaidi ya mbili), kwanza ongeza vectors mbili, kisha ongeza vector kusababisha na vector ya tatu, na kadhalika. Tazama sehemu inayofuata kwa habari zaidi.
-
Wasilisha vector kusababisha, kuonyesha thamani yake na mwelekeo. Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, ikiwa umechora urefu wa vekta zinazoongezwa na pembe kati yao kwa usahihi, basi thamani ya vekta inayosababishwa ni sawa na urefu wake, na mwelekeo ni pembe kati yake na mstari wa wima au usawa. . Kwa thamani ya vector, usisahau kugawa vitengo vya kipimo ambavyo vekta za kuongezwa / kupunguzwa hutolewa.
- Kwa mfano, ikiwa unaongeza vekta za kasi zilizopimwa katika m/s, kisha ongeza "m/s" kwa thamani ya vekta inayosababisha, na pia uonyeshe pembe ya vekta inayosababisha katika umbizo la "o kwa mstari wa mlalo."
Kuongeza na kutoa vekta kwa kupata maadili ya vifaa vyao
-
Ili kupata maadili ya vifaa vya vekta, unahitaji kujua maadili ya vekta wenyewe na mwelekeo wao (pembe inayohusiana na mstari wa usawa au wima). Fikiria vekta mbili-dimensional. Fanya hivyo hypotenuse ya pembetatu ya kulia, basi miguu (sambamba na X na Y axes) ya pembetatu hii itakuwa vipengele vya vector. Vipengele hivi vinaweza kuzingatiwa kama vekta mbili zilizounganishwa, ambazo zikijumuishwa pamoja hutoa vekta asili.
- Urefu (maadili) wa vipengele viwili (vipengele vya x na y) vya vekta ya awali vinaweza kuhesabiwa kwa kutumia trigonometry. Ikiwa "x" ni thamani (modulus) ya vector ya awali, basi sehemu ya vector iliyo karibu na angle ya vector ya awali ni xcosθ, na sehemu ya vector kinyume na angle ya vector ya awali ni xsinθ.
- Ni muhimu kutambua mwelekeo wa vipengele. Ikiwa sehemu inaelekezwa kinyume na mwelekeo wa moja ya axes, basi thamani yake itakuwa mbaya, kwa mfano, ikiwa kwenye ndege ya kuratibu ya pande mbili sehemu hiyo inaelekezwa upande wa kushoto au chini.
- Kwa mfano, kutokana na vector yenye moduli (thamani) ya 3 na mwelekeo wa 135 o (kuhusiana na usawa). Kisha sehemu ya "x" ni sawa na 3cos 135 = -2.12, na sehemu ya "y" ni sawa na 3sin135 = 2.12.
-
Mara tu unapopata vifaa vya vekta zote zinazoongezwa, ongeza tu maadili yao na upate maadili ya sehemu ya vekta inayosababisha. Kwanza, ongeza maadili ya vifaa vyote vya usawa (ambayo ni, vifaa vinavyofanana na mhimili wa X). Kisha ongeza maadili ya vifaa vyote vya wima (hiyo ni, vifaa vinavyofanana na mhimili wa Y). Ikiwa thamani ya kipengele ni hasi, inatolewa badala ya kuongezwa.
- Kwa mfano, hebu tuongeze vector<-2,12, 2,12>na vekta<5,78, -9>. Vekta inayosababisha itakuwa kama hii<-2,12 + 5,78, 2,12-9>au<3,66, -6,88>.
-
Kuhesabu urefu (thamani) ya vekta inayotokana kwa kutumia nadharia ya Pythagorean: c 2 =a 2 +b 2 (kwa kuwa pembetatu inayoundwa na vector ya awali na vipengele vyake ni mstatili). Katika kesi hiyo, miguu ni vipengele vya "x" na "y" vya vector inayosababisha, na hypotenuse ni vector yenyewe.
- Kwa mfano, ikiwa katika mfano wetu umeongeza nguvu iliyopimwa katika Newtons, basi andika jibu kama ifuatavyo: 7.79 N kwa pembe ya -61.99 o (kwa mhimili mlalo).
- Usichanganye vekta na moduli zao (maadili).
- Vekta ambazo zina mwelekeo sawa zinaweza kuongezwa au kupunguzwa kwa kuongeza au kupunguza thamani zao. Ikiwa vekta mbili zilizoelekezwa kinyume zinaongezwa, maadili yao yanatolewa badala ya kuongezwa.
- Vekta ambazo zinawakilishwa kama x i+ y j+ z k inaweza kuongezwa au kupunguzwa kwa kuongeza au kupunguza tu mgawo unaolingana. Pia andika jibu katika fomu i,j,k.
- Thamani ya vekta katika nafasi ya tatu-dimensional inaweza kupatikana kwa kutumia fomula a 2 =b 2 +c 2 +d 2, Wapi a- thamani ya vector, b, c, Na d- vipengele vya vector.
- Vekta za safu wima zinaweza kuongezwa/kutolewa kwa kuongeza/kutoa thamani zinazolingana katika kila safu mlalo.
- A-B =
Kwa kuwa vekta zina ukubwa na mwelekeo, zinaweza kugawanywa katika vipengele kulingana na vipimo vya x, y na/au z. Kawaida huteuliwa kwa njia sawa na vidokezo katika mfumo wa kuratibu (kwa mfano,<х,у,z>) Ikiwa vipengele vinajulikana, basi kuongeza/kutoa vekta ni rahisi kama kuongeza/kutoa viwianishi vya x, y, z.
Ufafanuzi wa kawaida: "Vekta ni sehemu iliyoelekezwa." Kawaida hii ni kiwango cha maarifa ya mhitimu kuhusu vekta. Nani anahitaji "sehemu za mwelekeo"?
Lakini kwa kweli, vekta ni nini na ni za nini?
Utabiri wa hali ya hewa. "Upepo wa kaskazini-magharibi, kasi ya mita 18 kwa sekunde." Kukubaliana, mwelekeo wa upepo (ambapo unavuma kutoka) na ukubwa (yaani, thamani kamili) ya suala lake la kasi.
Kiasi ambacho hakina mwelekeo huitwa scalar. Misa, kazi, malipo ya umeme hayaelekezwi popote. Wao ni sifa tu ya thamani ya nambari - "kiasi cha kilo" au "joule ngapi".
Kiasi cha kimwili ambacho sio tu thamani kamili, lakini pia mwelekeo, huitwa wingi wa vector.
Kasi, nguvu, kuongeza kasi - vectors. Kwao, "ni kiasi gani" ni muhimu na "wapi" ni muhimu. Kwa mfano, kuongeza kasi kutokana na mvuto 
imeelekezwa kwenye uso wa Dunia, na ukubwa wake ni 9.8 m/s 2. Msukumo, nguvu ya shamba la umeme, induction ya shamba la magnetic pia ni wingi wa vector.
Unakumbuka kwamba kiasi cha kimwili kinaonyeshwa na barua, Kilatini au Kigiriki. Mshale ulio juu ya barua unaonyesha kuwa wingi ni vekta:
Hapa kuna mfano mwingine.
Gari huhama kutoka A hadi B. Matokeo ya mwisho ni harakati zake kutoka kwa uhakika A hadi B, yaani, harakati na vector.
Sasa ni wazi kwa nini vector ni sehemu iliyoelekezwa. Tafadhali kumbuka kuwa mwisho wa vector ni mahali ambapo mshale ulipo. Urefu wa Vector inaitwa urefu wa sehemu hii. Imeonyeshwa na: au
Hadi sasa, tumefanya kazi na idadi ya scalar, kulingana na sheria za hesabu na algebra ya msingi. Vekta ni dhana mpya. Hili ni darasa lingine la vitu vya hisabati. Wana sheria zao wenyewe.
Hapo zamani za kale hatukujua chochote kuhusu nambari. Urafiki wangu nao ulianza nikiwa shule ya msingi. Ilibadilika kuwa nambari zinaweza kulinganishwa na kila mmoja, kuongezwa, kupunguzwa, kuzidishwa na kugawanywa. Tulijifunza kuwa kuna nambari moja na nambari sifuri.
Sasa tunaletwa kwa vectors.
Dhana za "zaidi" na "chini" kwa vekta hazipo - baada ya yote, mwelekeo wao unaweza kuwa tofauti. Urefu wa vekta pekee ndio unaweza kulinganishwa.
Lakini kuna dhana ya usawa kwa vekta.
Sawa vekta ambazo zina urefu sawa na mwelekeo sawa huitwa. Hii ina maana kwamba vekta inaweza kuhamishwa sambamba na yenyewe kwa hatua yoyote katika ndege.
Mtu mmoja ni vekta ambayo urefu wake ni 1. Zero ni vector ambayo urefu wake ni sifuri, yaani, mwanzo wake unafanana na mwisho.
Ni rahisi zaidi kufanya kazi na veta katika mfumo wa kuratibu wa mstatili - ile ile ambayo tunachora grafu za kazi. Kila hatua katika mfumo wa kuratibu inalingana na nambari mbili - x na y kuratibu, abscissa na kuratibu.
Vekta pia imeainishwa na kuratibu mbili:
Hapa kuratibu za vector zimeandikwa katika mabano - katika x na y.
Zinapatikana kwa urahisi: uratibu wa mwisho wa vekta ukiondoa uratibu wa mwanzo wake.
Ikiwa kuratibu za vector hutolewa, urefu wake unapatikana kwa formula
Ongezeko la Vector
Kuna njia mbili za kuongeza vekta.
1 . Kanuni ya parallelogram. Kuongeza veta na , tunaweka asili ya zote mbili kwa hatua moja. Tunajenga kwa parallelogram na kutoka kwa hatua sawa tunatoa diagonal ya parallelogram. Hii itakuwa jumla ya veta na .
Je! unakumbuka hadithi kuhusu swan, crayfish na pike? Walijaribu sana, lakini hawakuwahi kuhamisha mkokoteni. Baada ya yote, jumla ya vector ya majeshi waliyotumia kwenye gari ilikuwa sawa na sifuri.
2. Njia ya pili ya kuongeza veta ni kanuni ya pembetatu. Wacha tuchukue vekta sawa na . Tutaongeza mwanzo wa pili hadi mwisho wa vector ya kwanza. Sasa hebu tuunganishe mwanzo wa kwanza na mwisho wa pili. Hii ni jumla ya vekta na .
Kutumia sheria hiyo hiyo, unaweza kuongeza vekta kadhaa. Tunawapanga moja baada ya nyingine, na kisha kuunganisha mwanzo wa kwanza hadi mwisho wa mwisho.
Fikiria kuwa unatoka hatua A hadi hatua B, kutoka B hadi C, kutoka C hadi D, kisha kwenda E na F. Matokeo ya mwisho ya vitendo hivi ni harakati kutoka A hadi F.
Wakati wa kuongeza veta na tunapata:
Utoaji wa vekta
Vector inaelekezwa kinyume na vector. Urefu wa vekta na ni sawa.
Sasa ni wazi ni nini kuondoa vector. Tofauti ya vekta na ni jumla ya vekta na vekta.
Kuzidisha vekta kwa nambari
Vekta inapozidishwa na nambari k, vekta hupatikana ambayo urefu wake ni mara k tofauti na urefu . Inaelekezwa kwa vekta ikiwa k ni kubwa kuliko sifuri, na kinyume ikiwa k ni chini ya sifuri.
Bidhaa ya dot ya vekta
Vectors zinaweza kuzidishwa sio tu kwa nambari, bali pia kwa kila mmoja.
Bidhaa ya scalar ya vectors ni bidhaa ya urefu wa vectors na cosine ya angle kati yao.
Tafadhali kumbuka kuwa tulizidisha vekta mbili, na matokeo yalikuwa scalar, ambayo ni, nambari. Kwa mfano, katika fizikia, kazi ya mitambo ni sawa na bidhaa ya scalar ya vekta mbili - nguvu na uhamisho:
Ikiwa vectors ni perpendicular, bidhaa zao za scalar ni sifuri.
Na hivi ndivyo bidhaa ya scalar inavyoonyeshwa kupitia kuratibu za veta na:
Kutoka kwa formula ya bidhaa ya scalar unaweza kupata pembe kati ya vekta:
Njia hii ni rahisi sana katika stereometry. Kwa mfano, katika Tatizo la 14 la Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Wasifu katika Hisabati, unahitaji kupata pembe kati ya mistari inayoingiliana au kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege. Tatizo la 14 mara nyingi hutatuliwa mara kadhaa kwa kasi kwa kutumia njia ya vector kuliko kutumia njia ya classical.
KATIKA mtaala wa shule wanasoma hisabati tu bidhaa ya scalar vekta.
Inatokea kwamba, pamoja na scalar, kuna pia bidhaa ya vector, wakati wa kuzidisha vekta mbili husababisha vekta. Mtu yeyote anayefanya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika fizikia anajua nguvu ya Lorentz na nguvu ya Ampere ni nini. Njia za kupata nguvu hizi ni pamoja na bidhaa za vekta.
Vekta ni zana muhimu sana ya hisabati. Utaona hii katika mwaka wako wa kwanza.
ov, kwanza unahitaji kuelewa wazo kama vile kuahirisha vekta kutoka kwa hatua fulani.
Ufafanuzi 1
Ikiwa hatua $A$ ni mwanzo wa vector yoyote $\overrightarrow(a)$, basi vekta $\overrightarrow(a)$ inasemekana kuchelewa kutoka kwa uhakika $A$ (Mchoro 1).
Kielelezo 1. $\overrightarrow(a)$ iliyopangwa kutoka kwa uhakika $A $
Wacha tuanzishe nadharia ifuatayo:
Nadharia 1
Kutoka kwa hatua yoyote $K$ mtu anaweza kupanga vekta $\overrightarrow(a)$ na, zaidi ya hayo, moja tu.
Ushahidi.
Kuwepo: Kuna kesi mbili za kuzingatia hapa:
Vekta $\overrightarrow(a)$ ni sifuri.
Katika kesi hii, ni dhahiri kwamba vekta inayotaka ni vekta $\overrightarrow(KK)$.
Vekta $\overrightarrow(a)$ sio sifuri.
Wacha tuonyeshe kwa uhakika $A$ mwanzo wa vekta $\overrightarrow(a)$, na kwa uhakika $B$ mwisho wa vector $\overrightarrow(a)$. Hebu tuchore mstari wa moja kwa moja $b$ kupitia uhakika $K$ sambamba na vekta $\overrightarrow(a)$. Wacha tupange sehemu $\left|KL\right|=|AB|$ na $\left|KM\right|=|AB|$ kwenye mstari huu. Zingatia vekta $\overrightarrow(KL)$ na $\overrightarrow(KM)$. Kati ya vekta hizi mbili, inayotaka itakuwa ile ambayo itaelekezwa pamoja na vekta $\overrightarrow(a)$ (Mchoro 2)
Kielelezo cha 2. Mchoro wa Nadharia 1
Upekee: upekee mara moja hufuata kutoka kwa ujenzi uliofanywa katika hatua ya "kuwepo".
Nadharia imethibitishwa.
Utoaji wa vectors. Kanuni moja
Wacha tupewe vekta $\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(b)$.
Ufafanuzi 2
Tofauti ya vekta mbili $\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(b)$ ni vekta $\overrightarrow(c)$ ambayo, inapoongezwa kwa vekta $\overrightarrow(b)$, huipa vekta $\ overrightarrow(a)$ , yaani
\[\mshale uliopitiliza(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]
Uteuzi:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.
Wacha tufikirie kuunda tofauti kati ya vekta mbili kwa kutumia shida.
Mfano 1
Acha vekta $\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(b)$ zipewe. Tengeneza vekta $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.
Suluhisho.
Wacha tutengeneze sehemu ya kiholela $O$ na kupanga vekta $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ kutoka kwayo. Kwa kuunganisha uhakika $ B $ na uhakika $ A $, tunapata vector $\overrightarrow(BA)$ (Mchoro 3).
Kielelezo 3. Tofauti ya vectors mbili
Kutumia kanuni ya pembetatu kwa ajili ya kujenga jumla ya vekta mbili, tunaona hivyo
\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]
\[\mshale uliopitiliza(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]
Kutoka kwa Ufafanuzi wa 2, tunapata hiyo
\[\mshale uliopitiliza(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]
Jibu:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.
Kutoka kwa shida hii tunapata kanuni inayofuata kupata tofauti ya vekta mbili. Ili kupata tofauti $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ unahitaji kutoka hatua ya kiholela$O$ kuweka kando vectors $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ na kuunganisha mwisho wa vector ya pili hadi mwisho wa vector ya kwanza.
Utoaji wa vectors. Kanuni ya pili
Hebu tukumbuke dhana ifuatayo tunayohitaji.
Ufafanuzi 3
Vekta $\overrightarrow(a_1)$ inaitwa kiholela kwa vekta $\overrightarrow(a)$ ikiwa vekta hizi ziko kinyume katika mwelekeo na zina urefu sawa.
Uteuzi: Vekta $(-\overrightarrow(a))$ ni kinyume cha vekta $\overrightarrow(a)$.
Ili kuanzisha sheria ya pili kwa tofauti ya vekta mbili, tunahitaji kwanza kuanzisha na kuthibitisha theorem ifuatayo.
Nadharia 2
Kwa vekta zozote mbili $\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(b)$ usawa ufuatao unashikilia:
\[\mshale uliopitiliza(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]
Ushahidi.
Kwa ufafanuzi 2, tunayo
Tunaongeza vekta $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ kwa sehemu zote mbili, tunapata
Kwa kuwa vekta $\overrightarrow(b)$ na $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ ni kinyume, basi $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ mshale uliopitiliza (0)$. Tuna
Nadharia imethibitishwa.
Kutoka kwa nadharia hii tunapata sheria ifuatayo ya tofauti kati ya vekta mbili: Ili kupata tofauti $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, tunahitaji kupanga vekta $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a) )$ kutoka kwa sehemu ya kiholela $O$, basi, kutoka kwa hatua inayosababisha $A$, panga vekta $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ na unganisha mwanzo wa vekta ya kwanza na mwisho wa vekta ya pili.
Mfano wa shida kwenye dhana ya tofauti ya vekta
Mfano 2
Acha sambamba $ADCD$ itolewe ambayo diagonal zake hupishana kwa uhakika $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Mchoro 4). Onyesha vekta zifuatazo kupitia vekta $\overrightarrow(a)$ na $\overrightarrow(b)$:
a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$
b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$
Kielelezo 4. Parallelogram
Suluhisho.
a) Tunafanya nyongeza kulingana na sheria ya pembetatu, tunapata
\[\arrowoverrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]
Kutoka kwa utawala wa kwanza kwa tofauti ya vectors mbili, tunapata
\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]
b) Kwa kuwa $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, tunapata
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]
Kwa Theorem 2, tunayo
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]
Kutumia kanuni ya pembetatu, hatimaye tunayo
\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]
Katika masomo ya jiometri, tayari umefahamiana na shughuli rahisi zaidi kwenye vekta: kupata jumla na tofauti zao. Hebu tukumbuke hili.
Ongezeko la Vector. Ili kupata jumla ya vekta mbili, lazima: a) uhamisho sambamba kuchanganya mwanzo wa vectors; b) ongeza mchoro na sehemu mbili ili iweze kutokea parallelogram; c) kutekeleza vekta ya jumla kutoka kwa hatua ya asili ya vectors hadi hatua ya uunganisho wa makundi ya ziada (pamoja na diagonal ya parallelogram).
Hebu tuonyeshe sheria hii kwa mfano kutoka § 12-c, wakati gari linaposonga kwanza kwenye vekta AB1 na kisha kwenye vekta B1B2 kabla ya kugeuka kwenye daraja (angalia mchoro upande wa kushoto). Kwa maneno mengine, tunatafuta vekta ya jumla au, ni nini sawa, jumla ya vekta AB1 na B1B2.
Wacha tufanye michoro mpya ya vekta zilizojadiliwa (tazama hapa chini). Katika kuchora "a" tunaomba uhamisho sambamba na uhamishe vector B1B2 na mwanzo wake kwa uhakika A (yaani, tunafanana na mwanzo wa vectors). Tutaongeza kuchora "b" na sehemu mbili za CB2 na B1B2 kuunda parallelogram. Katika kuchora "c" tutachora vekta ya jumla kutoka hatua A ya mwanzo wa vectors kwa uhakika B2 ya uunganisho wa makundi ya ziada (pamoja na diagonal ya parallelogram).
Kwa hivyo tulipata vekta ya jumla au jumla ya vekta:
Hebu tuangalie usahihi wa matokeo: gari, baada ya kuhamia kutoka kwa uhakika A hadi hatua ya B1, kisha ikahamia kutoka kwa uhakika B1 hadi B2. Kwa maneno mengine, alihamia "pamoja" vekta AB2, ambayo tumeunda tu kwa kutumia kanuni ya parallelogram.
Utoaji wa vectors. Ili kupata tofauti ya vekta mbili, unahitaji: a) uhamisho sambamba kuchanganya mwanzo wa vectors; b) ongeza mchoro na sehemu ili iweze kugeuka pembetatu; c) toa sehemu mwelekeo kutoka kwa subtrahend hadi minuend, kuunda tofauti vector.
Hebu tuonyeshe sheria hii kwa mfano sawa kutoka kwa § 12-c, wakati gari linakaribia katikati ya daraja. Ili kufanya hivyo, kutoka kwa vekta ya jumla ya uhamishaji AB3, tunaondoa uhamishaji katika hatua ya tatu, vekta B2B3.
Kwa maneno mengine, sasa tunaangalia tofauti vector:
Katika kuchora "a" tunaomba uhamisho sambamba na uhamishe vector B2B3 na mwanzo wake kwa uhakika A (yaani, tunafanana na mwanzo wa vectors). Hebu tuongeze kuchora "b" na sehemu ya DB3 kuunda pembetatu. Katika kuchora "c" tutatoa mwelekeo kutoka kwa iliyopunguzwa (vekta ya bluu) hadi minuend (vector nyekundu), na kuunda. tofauti vector DВ3.
Mshale wa kontua unaonyesha uhamishaji sambamba wa vekta ya tofauti iliyopatikana hadi kumweka A. Muhimu: vekta iliyojengwa DB3 ni sawa na vekta ya tofauti inayotakiwa AB2. Hii ni, kwa kweli, hundi ya usahihi wa matokeo, kwa kuwa tayari tumepata vector hii kwa kutumia utawala wa parallelogram.
Kumbuka kwamba vekta zinaweza kuongezwa kwa "pembetatu" na kupunguzwa na "parallelogram". Lakini tunapendekeza kwamba ukumbuke haswa kanuni ya parallelogram kwa jumla ya vekta Na sheria ya pembetatu kwa tofauti ya vekta, kwa kuwa katika siku zijazo tutahitaji sheria hizi katika fomu hii.