Vekta aina ya nukuu ya fomu ya quadratic. Fomu za uhakika za quadratic

Umbo la Quadratic f(x 1, x 2,...,x n) ya vigeu vya n ni jumla, ambayo kila neno ni aidha mraba wa mojawapo ya vigeu, au bidhaa ya viambishi viwili tofauti, vinavyochukuliwa na mgawo fulani: f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Matrix A inayojumuisha coefficients hizi inaitwa matrix ya fomu ya quadratic. Ni daima ulinganifu matrix (yaani matriki yenye ulinganifu kuhusu ulalo mkuu, a ij =a ji).

Katika nukuu ya tumbo, umbo la quadratic ni f(X) = X T AX, wapi

Hakika

Kwa mfano, hebu tuandike fomu ya quadratic katika fomu ya matrix.

Ili kufanya hivyo, tunapata matrix ya fomu ya quadratic. Vipengele vyake vya diagonal ni sawa na coefficients ya vigezo vya mraba, na vipengele vilivyobaki ni sawa na nusu ya coefficients sambamba ya fomu ya quadratic. Ndiyo maana

Acha safu ya matrix ya vigeuzo X ipatikane kwa badiliko lisiloharibika la mstari wa safu wima Y ya matrix, i.e. X = CY, ambapo C ni matrix isiyo ya umoja ya mpangilio wa nth. Kisha fomu ya quadratic f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Kwa hivyo, kwa mabadiliko ya mstari usioharibika C, matrix ya fomu ya quadratic inachukua fomu: A * =C T AC.

Kwa mfano, hebu tutafute fomu ya quadratic f (y 1, y 2), iliyopatikana kutoka kwa fomu ya quadratic f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kwa mabadiliko ya mstari.

Fomu ya quadratic inaitwa kisheria(Ina mtazamo wa kisheria), ikiwa coefficientsa yake yote ij = 0 kwa i≠j, yaani f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrix yake ni ya diagonal.

Nadharia(ushahidi haujatolewa hapa). Fomu yoyote ya quadratic inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria kwa kutumia mabadiliko ya mstari usioharibika.

Kwa mfano, hebu tulete umbo la kisheria umbo la quadratic f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ili kufanya hivyo, kwanza chagua mraba kamili na kutofautisha x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sasa tunachagua mraba kamili na kutofautisha x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Kisha ubadilishaji wa mstari usioharibika y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 - (1/10)x 3 na y 3 = x 3 huleta fomu hii ya quadratic kwenye fomu ya kisheria (y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Kumbuka kwamba fomu ya kisheria ya fomu ya quadratic imedhamiriwa kwa utata (fomu ya quadratic sawa inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria kwa njia tofauti 1). Walakini, fomu za kisheria zinazopatikana kwa njia tofauti zina sifa kadhaa za kawaida. Hasa, idadi ya maneno yenye coefficients chanya (hasi) ya fomu ya quadratic haitegemei njia ya kupunguza fomu kwa fomu hii (kwa mfano, katika mfano unaozingatiwa daima kutakuwa na mgawo mbili mbaya na moja chanya). Mali hii inaitwa sheria ya inertia ya fomu za quadratic.

Hebu tuthibitishe hili kwa kuleta umbo sawa la quadratic kwa umbo la kisheria kwa njia tofauti. Wacha tuanze mabadiliko na mabadiliko x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, ambapo y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 na y 3 = x 1 . Hapa kuna mgawo chanya wa 2 kwa y 3 na coefficients mbili hasi (-3) kwa y 1 na y 2 (na kwa kutumia njia nyingine, tulipata mgawo chanya wa 2 kwa y 1 na mbili hasi - (-5) kwa y 2 na (-1/20) kwa y 3).

Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa cheo cha matrix ya fomu ya quadratic, inayoitwa cheo cha fomu ya quadratic, ni sawa na idadi ya mgawo wa nonzero wa fomu ya kisheria na haibadiliki chini ya mabadiliko ya mstari.

Fomu ya quadratic f(X) inaitwa vyema(hasi)fulani, ikiwa kwa thamani zote za vigezo ambazo si sifuri kwa wakati mmoja, ni chanya, yaani f(X) > 0 (hasi, yaani f(X)< 0).

Kwa mfano, fomu ya quadratic f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ni chanya uhakika, kwa sababu ni jumla ya miraba, na umbo la quadratic f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ni hasi dhahiri, kwa sababu inawakilisha inaweza kuwakilishwa katika formf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Katika hali nyingi za vitendo, ni ngumu zaidi kuanzisha ishara dhahiri ya fomu ya quadratic, kwa hivyo kwa hili tunatumia moja ya nadharia zifuatazo (tutaziunda bila uthibitisho).

Nadharia. Fomu ya quadratic ni chanya (hasi) dhahiri ikiwa na tu ikiwa eigenvalues zote za matrix yake ni chanya (hasi).

Theorem (kigezo cha Sylvester). Fomu ya quadratic ni chanya uhakika ikiwa na tu ikiwa watoto wote wanaoongoza wa tumbo la fomu hii ni chanya.

Kuu (kona) ndogo Matrices ya mpangilio wa k-th ya mpangilio wa An-th huitwa kibainishi cha matrix, inayojumuisha safu mlalo za kwanza za k na safu wima za matrix A ().

Kumbuka kwamba kwa fomu hasi za quadratic ishara za watoto wakuu hubadilishana, na mtoto wa kwanza lazima awe hasi.

Kwa mfano, hebu tuchunguze fomu ya quadratic f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kwa uhakika wa ishara.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni chanya uhakika.

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa mpangilio wa kwanza wa matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Mdogo mkuu wa utaratibu wa pili  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Sylvester, quadratic fomu ni chanya uhakika.

Tunachunguza fomu nyingine ya quadratic kwa uhakika wa ishara, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Njia ya 1. Hebu tujenge matrix ya fomu ya quadratic A = . Equation ya tabia itakuwa na fomu = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni hasi ya uhakika.

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa utaratibu wa kwanza wa matrix A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Sylvester, fomu ya quadratic ni hasi ya uhakika (ishara za watoto wakuu hubadilishana, kuanzia na minus).

Na kama mfano mwingine, tunachunguza fomu ya quadratic iliyobainishwa na ishara f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Njia ya 1. Hebu tujenge matrix ya fomu ya quadratic A = . Equation ya tabia itakuwa na fomu = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Moja ya nambari hizi ni hasi na nyingine ni chanya. Ishara za eigenvalues ni tofauti. Kwa hiyo, fomu ya quadratic haiwezi kuwa mbaya au ya uhakika, i.e. fomu hii ya quadratic sio ya uhakika (inaweza kuchukua maadili ya ishara yoyote).

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa mpangilio wa kwanza wa matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Mdogo mkuu wa utaratibu wa pili 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Njia inayozingatiwa ya kupunguza umbo la quadratic hadi umbo la kisheria ni rahisi kutumia wakati migawo isiyo ya sufuri inapokutana na miraba ya vigeu. Ikiwa hawapo, bado inawezekana kutekeleza uongofu, lakini unapaswa kutumia mbinu zingine. Kwa mfano, acha f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, ambapo y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Maumbo ya mraba.
Ishara za uhakika wa fomu. Kigezo cha Sylvester

Kivumishi "quadratic" mara moja kinapendekeza kwamba kitu hapa kimeunganishwa na mraba (shahada ya pili), na hivi karibuni tutajua "kitu" hiki na sura ni nini. Ilibadilika kuwa kizunguzungu cha ulimi :)

Karibu kwenye somo langu jipya, na kama nyongeza ya mara moja tutaangalia umbo la mistari mstari. Fomu ya mstari vigezo kuitwa zenye homogeneous Polynomial ya shahada ya 1:

- nambari fulani maalum * (tunadhani kwamba angalau moja yao sio sifuri), a ni vigeu ambavyo vinaweza kuchukua maadili kiholela.

* Ndani ya mfumo wa mada hii tutazingatia tu nambari za kweli .

Tayari tumekutana na neno "homogeneous" katika somo kuhusu mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya mstari, na katika kesi hii ina maana kwamba polynomial haina plus mara kwa mara.

Kwa mfano: - muundo wa mstari wa vigezo viwili

Sasa sura ni quadratic. Umbo la Quadratic vigezo kuitwa zenye homogeneous polynomial ya shahada ya 2, kila muhula ambao ina ama mraba wa kutofautisha au maradufu bidhaa ya vigezo. Kwa hivyo, kwa mfano, fomu ya quadratic ya anuwai mbili ina fomu ifuatayo:

Makini! Huu ni kiingilio cha kawaida na hakuna haja ya kubadilisha chochote juu yake! Licha ya mwonekano "wa kutisha", kila kitu ni rahisi hapa - usajili mara mbili wa ishara ambazo vijiti vinajumuishwa katika neno gani:
- neno hili lina bidhaa na (mraba);
- hapa ni kazi;
- na hapa kuna kazi.

- Mara moja natarajia kosa kubwa wakati wanapoteza "minus" ya mgawo, bila kuelewa kwamba inarejelea neno:

Wakati mwingine kuna chaguo la kubuni "shule" katika roho, lakini wakati mwingine tu. Kwa njia, kumbuka kuwa viboreshaji havituambii chochote hapa, na kwa hivyo ni ngumu zaidi kukumbuka "nukuu rahisi". Hasa wakati kuna vigezo zaidi.

Na aina ya quadratic ya vigezo vitatu tayari ina maneno sita:

... kwa nini mambo "mbili" yamewekwa katika maneno "mchanganyiko"? Hii ni rahisi, na hivi karibuni itakuwa wazi kwa nini.

Walakini, wacha tuandike fomula ya jumla; ni rahisi kuiandika katika "karatasi":

- tunasoma kwa uangalifu kila mstari - hakuna kitu kibaya na hilo!

Fomu ya quadratic ina masharti na miraba ya vigezo na masharti na bidhaa zao zilizooanishwa (sentimita. formula mchanganyiko wa mchanganyiko) . Hakuna zaidi - hakuna "X mpweke" na hakuna nyongeza ya mara kwa mara (basi hautapata fomu ya quadratic, lakini tofauti polynomial ya shahada ya 2).

Nukuu ya matrix ya fomu ya quadratic

Kulingana na maadili, fomu inayohusika inaweza kuchukua maadili chanya na hasi, na hiyo hiyo inatumika kwa aina yoyote ya mstari - ikiwa angalau moja ya mgawo wake ni tofauti na sifuri, basi inaweza kuwa chanya au hasi (inategemea maadili).

Fomu hii inaitwa ishara mbadala. Na ikiwa kila kitu ni wazi na fomu ya mstari, basi kwa fomu ya quadratic mambo yanavutia zaidi:

Ni wazi kabisa kwamba fomu hii inaweza kuchukua maana ya ishara yoyote, hivyo fomu ya quadratic pia inaweza kuwa mbadala.

Huenda isiwe:

- daima, isipokuwa wakati huo huo sawa na sifuri.

- kwa mtu yeyote vekta isipokuwa sifuri.

Na kwa ujumla kusema, ikiwa kwa mtu yeyote isiyo ya sifuri vector , , basi fomu ya quadratic inaitwa chanya uhakika; kama ni hivyo basi hasi uhakika.

Na kila kitu kitakuwa sawa, lakini uhakika wa fomu ya quadratic inaonekana tu katika mifano rahisi, na mwonekano huu unapotea hata kwa shida kidogo:
– ?

Mtu anaweza kudhani kwamba fomu imefafanuliwa vyema, lakini je, hii ni kweli? Ikiwa kuna maadili ambayo ni chini ya sifuri?

Kuna nadharia: Ikiwa kila mtu eigenvalues matrices ya fomu ya quadratic ni chanya * , basi ni chanya uhakika. Ikiwa zote ni hasi, basi hasi.

* Imethibitishwa katika nadharia kwamba eigenvalues zote za matrix halisi ya ulinganifu halali

Wacha tuandike matrix ya fomu hapo juu:
na kutoka kwa Eq. tumtafute eigenvalues:

Wacha tusuluhishe zamani nzuri mlinganyo wa quadratic:

, ambayo ina maana ya fomu inafafanuliwa vyema, i.e. kwa maadili yoyote yasiyo ya sifuri ni kubwa kuliko sifuri.

Njia inayozingatiwa inaonekana kufanya kazi, lakini kuna BUT moja kubwa. Tayari kwa tumbo la tatu-tatu, kutafuta nambari zinazofaa ni kazi ndefu na isiyofurahi; kwa uwezekano mkubwa utapata polynomial ya shahada ya 3 na mizizi isiyo na maana.

Nifanye nini? Kuna njia rahisi!

Kigezo cha Sylvester

Hapana, si Sylvester Stallone :) Kwanza, napenda kukukumbusha ni nini watoto wa kona matrices. Hii wahitimu ambayo "inakua" kutoka kona yake ya juu kushoto:

na ya mwisho ni sawa kabisa na kibainishi cha matrix.

Sasa, kwa kweli, kigezo:

1) Fomu ya Quadratic imefafanuliwa vyema ikiwa na ikiwa tu watoto wake WOTE wa angular ni kubwa kuliko sufuri: .

2) Fomu ya Quadratic inafafanuliwa hasi ikiwa na tu ikiwa watoto wake wa angular watapishana katika ishara, na mtoto wa 1 akiwa chini ya sifuri: , , ikiwa - hata au , ikiwa - isiyo ya kawaida.

Ikiwa angalau mdogo mmoja wa angular ni wa ishara kinyume, basi fomu ishara mbadala. Ikiwa watoto wa angular ni wa ishara ya "haki", lakini kuna zero kati yao, basi hii ni kesi maalum, ambayo nitachambua baadaye kidogo, baada ya kuangalia mifano ya kawaida zaidi.

Wacha tuchambue watoto wa angular wa matrix :

Na hii mara moja inatuambia kwamba fomu haijafafanuliwa vibaya.

Hitimisho: watoto wote wa kona ni kubwa kuliko sifuri, ambayo ina maana ya fomu inafafanuliwa vyema.

Kuna tofauti na njia ya eigenvalue? ;)

Wacha tuandike matrix ya fomu kutoka Mfano 1:

ya kwanza ni ndogo yake ya angular, na ya pili , ambayo inafuata kwamba sura inabadilishana kwa ishara, i.e. kulingana na maadili, inaweza kuchukua maadili chanya na hasi. Walakini, hii tayari ni dhahiri.

Wacha tuchukue fomu na matrix yake kutoka Mfano 2:

Hakuna njia ya kujua hili bila ufahamu. Lakini kwa kigezo cha Sylvester hatujali:
, kwa hiyo, fomu ni dhahiri si mbaya.

, na hakika si chanya (kwa kuwa watoto wote wa angular lazima wawe chanya).

Hitimisho: umbo linapishana.

Mifano ya joto ya kusuluhisha peke yako:

Mfano 4

Chunguza fomu za quadratic kwa uhakika wa ishara

Katika mifano hii kila kitu ni laini (angalia mwisho wa somo), lakini kwa kweli, kukamilisha kazi hiyo Kigezo cha Sylvester kinaweza kisitoshe.

Jambo ni kwamba kuna kesi za "makali", yaani: ikiwa kwa yoyote isiyo ya sifuri vector, basi sura imedhamiriwa isiyo hasi, ikiwa - basi hasi. Fomu hizi zina isiyo ya sifuri vekta ambazo .

Hapa unaweza kunukuu "accordion" ifuatayo:

Kuangazia mraba kamili, tunaona mara moja kutokuwa hasi form: , na ni sawa na sifuri kwa vekta yoyote iliyo na kuratibu sawa, kwa mfano: .

"Mirror" mfano hasi fomu fulani:

na mfano mdogo zaidi:
- hapa fomu ni sawa na sifuri kwa vector yoyote, ambapo ni nambari ya kiholela.

Jinsi ya kutambua fomu zisizo hasi au zisizo chanya?

Kwa hili tunahitaji dhana watoto wakuu matrices. Ndogo kuu ni ndogo inayojumuisha vipengele vinavyosimama kwenye makutano ya safu na safu na nambari zinazofanana. Kwa hivyo, matrix ina watoto wawili wakuu wa agizo la 1:
(kipengele kiko kwenye makutano ya safu ya 1 na safu ya 1);
(kipengele kiko kwenye makutano ya safu ya 2 na safu ya 2),

na dogo moja kuu la agizo la 2:
- Inajumuisha vipengele vya safu ya 1, ya 2 na safu ya 1, ya 2.

Matrix ni "tatu kwa tatu" Kuna watoto saba wakuu, na hapa itabidi ubadilishe biceps zako:
- watoto watatu wa agizo la 1,
watoto watatu wa agizo la 2:
- iliyojumuishwa na vitu vya safu ya 1, ya 2 na safu ya 1, ya 2;
- inajumuisha vipengele vya safu ya 1, ya 3 na safu ya 1, ya 3;
- linajumuisha vipengele vya safu ya 2, ya 3 na safu ya 2, ya 3,
na agizo la 3 dogo:
- Inajumuisha vipengele vya safu ya 1, ya 2, ya 3 na safu ya 1, ya 2 na ya 3.
Zoezi kwa kuelewa: andika watoto wote wakuu wa tumbo .
Tunaangalia mwisho wa somo na kuendelea.

Kigezo cha Schwarzenegger:

1) Fomu ya quadratic isiyo ya sifuri* imefafanuliwa isiyo hasi ikiwa na tu ikiwa WOTE wa watoto wake wakuu isiyo hasi(kubwa kuliko au sawa na sifuri).

* Fomu ya sifuri (iliyoharibika) ya quadratic ina coefficients zote sawa na sufuri.

2) Fomu isiyo ya sifuri ya quadratic na matrix imefafanuliwa hasi ikiwa na tu ikiwa:
- watoto wakuu wa agizo la 1 zisizo chanya(chini ya au sawa na sifuri);
- watoto wakuu wa agizo la 2 isiyo hasi;
- watoto wakuu wa agizo la 3 zisizo chanya(ubadilishaji ulianza);
…
- ndogo kuu ya utaratibu zisizo chanya, ikiwa - isiyo ya kawaida au isiyo hasi, ikiwa - hata.

Ikiwa angalau mtoto mmoja ni wa ishara kinyume, basi fomu ni ya kubadilisha ishara.

Wacha tuone jinsi kigezo kinavyofanya kazi katika mifano hapo juu:

Wacha tuunda matrix ya sura, na Kwanza Hebu tuhesabu watoto wa angular - ni nini ikiwa inafafanuliwa vyema au vibaya?

Thamani zilizopatikana hazikidhi kigezo cha Sylvester, lakini cha pili kidogo si hasi, na hii inafanya kuwa muhimu kuangalia kigezo cha 2 (katika kesi ya kigezo cha 2 haitatimizwa kiatomati, i.e. hitimisho hutolewa mara moja kuhusu ubadilishaji wa ishara ya fomu).

Watoto wakuu wa agizo la 1:
- chanya,
ndogo kuu ya utaratibu wa 2:
- sio hasi.

Kwa hivyo, watoto WOTE wakuu sio hasi, ambayo inamaanisha umbo zisizo hasi.

Hebu tuandike matrix ya sura , ambayo kigezo cha Sylvester ni wazi hakijaridhika. Lakini pia hatukupokea ishara tofauti (kwani watoto wote wa angular ni sawa na sifuri). Kwa hivyo, tunaangalia utimilifu wa kigezo cha kutokuwa hasi/chanya. Watoto wakuu wa agizo la 1:
- sio chanya,
ndogo kuu ya utaratibu wa 2:
- sio hasi.

Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Schwarzenegger (kumweka 2), fomu hiyo haijafafanuliwa vyema.

Sasa hebu tuangalie kwa karibu shida ya kuvutia zaidi:

Mfano 5

Chunguza fomu ya quadratic kwa uhakika wa ishara

Fomu hii imepambwa kwa utaratibu "alpha", ambayo inaweza kuwa sawa na nambari yoyote halisi. Lakini itakuwa ya kufurahisha zaidi tu tunaamua.

Kwanza, hebu tuandike matrix ya fomu; watu wengi labda tayari wamezoea kufanya hivi kwa mdomo: on diagonal kuu Tunaweka mgawo wa mraba, na katika sehemu zenye ulinganifu tunaweka nusu ya mgawo wa bidhaa zinazolingana "zilizochanganywa":

Wacha tuhesabu watoto wa angular:

Nitapanua kibainishi cha tatu kwenye mstari wa 3:

Dhana ya fomu ya quadratic. Matrix ya fomu ya quadratic. Fomu ya kisheria ya fomu ya quadratic. Njia ya lagrange. Mtazamo wa kawaida wa fomu ya quadratic. Cheo, faharasa na saini ya fomu ya quadratic. Fomu ya uhakika ya quadratic. Quadrics.

Dhana ya fomu ya quadratic: kazi kwenye nafasi ya vekta iliyofafanuliwa na polynomial yenye homogeneous ya shahada ya pili katika kuratibu za vector.

Fomu ya Quadratic kutoka n haijulikani inaitwa jumla, kila neno ambalo ama ni mraba wa mojawapo ya haya yasiyojulikana, au bidhaa ya mbili tofauti zisizojulikana.

Matrix ya Quadratic: Matrix inaitwa matrix ya fomu ya quadratic kwa msingi fulani. Ikiwa tabia ya shamba si sawa na 2, tunaweza kudhani kuwa matrix ya fomu ya quadratic ni symmetric, yaani.

Andika matrix ya fomu ya quadratic:

Kwa hivyo,

Katika fomu ya matrix ya vekta, fomu ya quadratic ni:

A, wapi

Fomu ya kisheria ya fomu ya quadratic: Fomu ya quadratic inaitwa canonical ikiwa yote i.e.

Fomu yoyote ya quadratic inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria kwa kutumia mabadiliko ya mstari. Katika mazoezi, njia zifuatazo hutumiwa kawaida.

Njia ya lagrange : uteuzi wa mfululizo wa miraba kamili. Kwa mfano, ikiwa

Kisha utaratibu sawa unafanywa na fomu ya quadratic nk Ikiwa katika fomu ya quadratic kila kitu ni lakini kisha baada ya mabadiliko ya awali suala hilo linakuja kwenye utaratibu unaozingatiwa. Kwa hiyo, kama, kwa mfano, basi tunadhani

Fomu ya kawaida ya fomu ya quadratic: Fomu ya kawaida ya quadratic ni fomu ya quadratic ya kisheria ambayo coefficients zote ni sawa na +1 au -1.

Cheo, faharasa na saini ya fomu ya roboduara: Cheo cha fomu ya quadratic A inaitwa cheo cha matrix A. Cheo cha fomu ya quadratic haibadilika chini ya mabadiliko yasiyoharibika ya haijulikani.

Idadi ya mgawo hasi inaitwa fahirisi ya fomu hasi.

Idadi ya maneno mazuri katika fomu ya kisheria inaitwa index chanya ya inertia ya fomu ya quadratic, idadi ya maneno hasi inaitwa index hasi. Tofauti kati ya fahirisi chanya na hasi inaitwa saini ya fomu ya quadratic

Fomu ya uhakika ya quadratic: Fomu halisi ya quadratic inaitwa chanya uhakika (hasi dhahiri) ikiwa, kwa maadili yoyote halisi ya vigezo ambavyo sio sifuri wakati huo huo,

. (36)

Katika kesi hii, matrix pia inaitwa chanya dhahiri (hasi dhahiri).

Darasa la aina chanya dhahiri (hasi dhahiri) ni sehemu ya aina za aina zisizo hasi (resp. zisizo chanya).

Quadrics: Quadric - n-Dimensional hypersurface katika n Nafasi ya +1-dimensional, inafafanuliwa kama seti ya sufuri ya polinomia ya shahada ya pili. Ukiingiza kuratibu ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (katika nafasi ya Euclidean au affine), mlingano wa jumla wa quadric ni

Mlinganyo huu unaweza kuandikwa upya kwa ushikamanifu zaidi katika nukuu ya matriki:

wapi x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) - vekta ya safu, x T ni vekta iliyopitishwa, Q- ukubwa wa tumbo ( n+1)×( n+1) (inadhaniwa kuwa angalau moja ya vitu vyake sio sifuri), P ni vekta ya safu, na R- mara kwa mara. Quadric juu ya nambari halisi au changamano huzingatiwa mara nyingi. Ufafanuzi unaweza kupanuliwa kwa quadrics katika nafasi ya projective, tazama hapa chini.

Kwa ujumla zaidi, seti ya sufuri za mfumo wa milinganyo ya polinomia inajulikana kama aina ya aljebra. Kwa hivyo, quadric ni (affine au projective) aina ya aljebra ya shahada ya pili na codimension 1.

Mabadiliko ya ndege na nafasi.

Ufafanuzi wa mabadiliko ya ndege. Utambuzi wa mwendo. mali ya harakati. Aina mbili za harakati: harakati za aina ya kwanza na harakati za aina ya pili. Mifano ya harakati. Usemi wa uchanganuzi wa mwendo. Uainishaji wa harakati za ndege (kulingana na uwepo wa pointi za kudumu na mistari isiyobadilika). Kundi la harakati za ndege.

Ufafanuzi wa mabadiliko ya ndege: Ufafanuzi. Mabadiliko ya ndege ambayo huhifadhi umbali kati ya pointi huitwa harakati(au harakati) ya ndege. Mabadiliko ya ndege yanaitwa ushirika, ikiwa inabadilisha pointi tatu zilizo kwenye mstari huo huo katika pointi tatu pia ziko kwenye mstari huo huo na wakati huo huo kuhifadhi uhusiano rahisi wa pointi tatu.

Ufafanuzi wa Mwendo: Haya ni mabadiliko ya sura ambayo huhifadhi umbali kati ya pointi. Ikiwa takwimu mbili zimeunganishwa kwa usahihi kwa njia ya harakati, basi takwimu hizi ni sawa, sawa.

Tabia za harakati: Kila mwendo wa kuhifadhi mwelekeo wa ndege ama ni tafsiri sambamba au mzunguko; kila mwendo wa kubadilisha mwelekeo wa ndege ni ulinganifu wa axial au ulinganifu wa kuteleza. Wakati wa kusonga, pointi zilizo kwenye mstari wa moja kwa moja hubadilika kuwa pointi zilizo kwenye mstari wa moja kwa moja, na utaratibu wa nafasi zao za jamaa huhifadhiwa. Wakati wa kusonga, pembe kati ya mistari ya nusu huhifadhiwa.

Aina mbili za harakati: harakati za aina ya kwanza na harakati za aina ya pili: Harakati za aina ya kwanza ni zile harakati zinazohifadhi mwelekeo wa besi za takwimu fulani. Wanaweza kupatikana kwa harakati zinazoendelea.

Harakati za aina ya pili ni zile harakati zinazobadilisha mwelekeo wa besi kwenda kinyume. Haziwezi kutambulika kwa harakati zinazoendelea.

Mifano ya harakati za aina ya kwanza ni tafsiri na mzunguko kuzunguka mstari ulionyooka, na harakati za aina ya pili ni ulinganifu wa kati na wa kioo.

Muundo wa idadi yoyote ya harakati za aina ya kwanza ni harakati ya aina ya kwanza.

Muundo wa idadi hata ya harakati za aina ya pili ni harakati ya aina ya 1, na muundo wa idadi isiyo ya kawaida ya harakati za aina ya 2 ni harakati ya aina ya 2.

Mifano ya harakati:Uhamisho sambamba. Wacha iwe vekta uliyopewa. Uhamisho sambamba kwa vekta a ni uchoraji wa ramani ya ndege kwenye yenyewe, ambapo kila sehemu M imechorwa ili kuelekeza M 1, ili vekta MM 1 iwe sawa na vekta a.

Tafsiri sambamba ni harakati kwa sababu ni ramani ya ndege kwenye yenyewe, kuhifadhi umbali. Harakati hii inaweza kuwakilishwa kwa macho kama mabadiliko ya ndege nzima katika mwelekeo wa vekta fulani kwa urefu wake.

Zungusha. Wacha tuonyeshe hoja O kwenye ndege ( kituo cha kugeuza) na weka pembe α ( angle ya mzunguko) Mzunguko wa ndege kuzunguka sehemu O kwa pembe α ni uchoraji wa ramani ya ndege kuelekea yenyewe, ambapo kila nukta M imechorwa kwa uhakika M 1, kiasi kwamba OM = OM 1 na angle MOM 1 ni sawa na α. Katika kesi hii, hatua O inabakia mahali pake, yaani, imepangwa kwenye yenyewe, na pointi nyingine zote zinazunguka karibu na hatua O kwa mwelekeo sawa - saa ya saa au kinyume chake (takwimu inaonyesha mzunguko wa kinyume).

Mzunguko ni harakati kwa sababu inawakilisha ramani ya ndege kwenye yenyewe, ambayo umbali huhifadhiwa.

Udhihirisho wa uchambuzi wa harakati: uhusiano wa uchambuzi kati ya kuratibu za preimage na picha ya uhakika ina fomu (1).

Uainishaji wa miondoko ya ndege (kulingana na kuwepo kwa pointi zisizobadilika na mistari isiyobadilika): Ufafanuzi:

Hoja kwenye ndege haibadiliki (imewekwa) ikiwa, chini ya mabadiliko fulani, inabadilika kuwa yenyewe.

Mfano: Kwa ulinganifu wa kati, sehemu ya katikati ya ulinganifu haibadiliki. Wakati wa kugeuka, hatua ya katikati ya mzunguko ni kutofautiana. Kwa ulinganifu wa axial, mstari usiobadilika ni mstari wa moja kwa moja - mhimili wa ulinganifu ni mstari wa moja kwa moja wa pointi zisizobadilika.

Nadharia: Ikiwa harakati haina nukta moja isiyobadilika, basi ina angalau mwelekeo mmoja usiobadilika.

Mfano: Uhamisho sambamba. Hakika, mistari iliyonyooka sambamba na mwelekeo huu haibadiliki kwa ujumla wake, ingawa haijumuishi alama zisizobadilika.

Nadharia: Ikiwa mionzi inasonga, mionzi hujitafsiri yenyewe, basi harakati hii ni mabadiliko sawa au ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja ulio na ray iliyotolewa.

Kwa hiyo, kwa kuzingatia kuwepo kwa pointi zisizobadilika au takwimu, inawezekana kuainisha harakati.

Jina la harakati	Pointi zisizobadilika	Mistari isiyobadilika
Mwendo wa aina ya kwanza.
1. - kugeuka	(katikati) - 0	Hapana
2. Mabadiliko ya utambulisho	pointi zote za ndege	zote sawa
3. Ulinganifu wa kati	uhakika 0 - katikati	mistari yote inayopitia nukta 0
4. Uhamisho wa sambamba	Hapana	zote sawa
Mwendo wa aina ya pili.
5. Ulinganifu wa axial.	seti ya pointi	mhimili wa ulinganifu (mstari ulionyooka) mistari yote iliyonyooka

Kikundi cha mwendo wa ndege: Katika jiometri, vikundi vya utunzi wa kibinafsi wa takwimu vina jukumu muhimu. Ikiwa ni takwimu fulani kwenye ndege (au katika nafasi), basi tunaweza kuzingatia seti ya harakati hizo zote za ndege (au nafasi) wakati ambao takwimu inageuka yenyewe.

Seti hii ni kikundi. Kwa mfano, kwa pembetatu ya equilateral, kikundi cha harakati za ndege ambazo hubadilisha pembetatu yenyewe ina vipengele 6: mzunguko kupitia pembe karibu na uhakika na ulinganifu kuhusu mistari mitatu ya moja kwa moja.

Zinaonyeshwa kwenye Mtini. 1 yenye mistari nyekundu. Vipengele vya kikundi cha kujipanga kwa pembetatu ya kawaida vinaweza kutajwa tofauti. Ili kuelezea hili, hebu tufanye nambari ya wima ya pembetatu ya kawaida na namba 1, 2, 3. Upatanisho wowote wa kujitegemea wa pembetatu huchukua pointi 1, 2, 3 kwa pointi sawa, lakini kuchukuliwa kwa utaratibu tofauti, i.e. inaweza kuandikwa kwa masharti katika mfumo wa mojawapo ya mabano haya:

na kadhalika.

ambapo nambari 1, 2, 3 zinaonyesha nambari za wima ambazo wima 1, 2, 3 huenda kama matokeo ya harakati inayozingatiwa.

Nafasi za mradi na mifano yao.

dhana ya nafasi projective na mfano wa nafasi projective. Ukweli wa kimsingi wa jiometri inayotarajiwa. Kundi la mistari inayozingatia hatua O ni mfano wa ndege inayoonyesha. Pointi za mradi. Ndege iliyopanuliwa ni mfano wa ndege inayotarajiwa. Uhusiano uliopanuliwa wa pande tatu au nafasi ya Euclidean ni kielelezo cha nafasi inayotarajiwa. Picha za takwimu za gorofa na za anga katika kubuni sambamba.

Wazo la nafasi ya makadirio na mfano wa nafasi ya makadirio:

Nafasi ya mradi juu ya shamba ni nafasi inayojumuisha mistari (nafasi ndogo ya mwelekeo mmoja) ya nafasi fulani ya mstari juu ya uwanja fulani. Nafasi za moja kwa moja zinaitwa nukta nafasi ya mradi. Ufafanuzi huu unaweza kuwa wa jumla kwa mwili wa kiholela

Ikiwa ina dimension , basi mwelekeo wa nafasi ya projective inaitwa namba , na nafasi ya projective yenyewe inaashiria na inaitwa kuhusishwa na (ili kuonyesha hili, notation inapitishwa).

Mpito kutoka kwa nafasi ya vector ya mwelekeo hadi nafasi inayofanana ya makadirio inaitwa ukadiriaji nafasi.

Pointi zinaweza kuelezewa kwa kutumia viwianishi vya homogeneous.

Ukweli wa kimsingi wa jiometri inayotarajiwa: Jiometri ya mradi ni tawi la jiometri ambayo inasoma ndege na nafasi zinazotarajiwa. Kipengele kikuu cha jiometri ya projective ni kanuni ya duality, ambayo inaongeza ulinganifu wa kifahari kwa miundo mingi. Jiometri ya mradi inaweza kuchunguzwa kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, na kutoka kwa uchanganuzi (kwa kutumia viwianishi vya homogeneous) na mtazamo wa salgebraic, kwa kuzingatia ndege inayoonyesha kama muundo juu ya shamba. Mara nyingi, na kihistoria, ndege halisi ya projective inachukuliwa kuwa ndege ya Euclidean na kuongeza ya "line at infinity".

Ambapo sifa za takwimu ambazo jiometri ya Euclidean inashughulikia ni kipimo(thamani maalum za pembe, sehemu, maeneo), na usawa wa takwimu ni sawa na mshikamano(yaani, wakati takwimu zinaweza kutafsiriwa kwa moja kwa njia ya mwendo wakati wa kuhifadhi sifa za metri), kuna sifa zaidi za "uongo" wa takwimu za kijiometri ambazo zimehifadhiwa chini ya mabadiliko ya aina ya jumla zaidi kuliko mwendo. Jiometri ya mradi inahusika na uchunguzi wa sifa za takwimu ambazo hazibadiliki chini ya darasa mabadiliko ya makadirio, pamoja na mabadiliko haya yenyewe.

Jiometri ya mradi inakamilisha jiometri ya Euclidean kwa kutoa suluhisho nzuri na rahisi kwa shida nyingi zinazochanganyikiwa na uwepo wa mistari inayofanana. Nadharia ya makadirio ya sehemu za conic ni rahisi sana na kifahari.

Kuna mbinu tatu kuu za jiometri ya kukadiria: axiomatization huru, ukamilishaji wa jiometri ya Euclidean, na muundo juu ya uwanja.

Axiomatization

Nafasi ya mradi inaweza kufafanuliwa kwa kutumia seti tofauti za axioms.

Coxeter hutoa yafuatayo:

1. Kuna mstari wa moja kwa moja na hatua sio juu yake.

2. Kila mstari una angalau pointi tatu.

3. Kupitia pointi mbili unaweza kuchora mstari mmoja sawa.

4. Ikiwa A, B, C, Na D- pointi mbalimbali na AB Na CD vuka, basi A.C. Na BD vuka.

5. Ikiwa ABC ni ndege, basi kuna angalau pointi moja si katika ndege ABC.

6. Ndege mbili tofauti huvuka angalau pointi mbili.

7. Pointi tatu za ulalo za pembe nne kamili sio koloni.

8. Ikiwa pointi tatu ziko kwenye mstari X X

Ndege inayoonyesha (bila mwelekeo wa tatu) inafafanuliwa na axioms tofauti kidogo:

1. Kupitia pointi mbili unaweza kuchora mstari mmoja sawa.

2. Mistari yoyote miwili inakatiza.

3. Kuna pointi nne, ambazo tatu sio colinear.

4. Pointi tatu za diagonal za quadrilaterals kamili sio collinear.

5. Ikiwa pointi tatu ziko kwenye mstari X ni za kutofautiana kuhusiana na mradi wa φ, kisha pointi zote zimewashwa X kutofautiana kwa heshima na φ.

6. Nadharia ya Desargues: Ikiwa pembetatu mbili ni mtazamo kupitia nukta, basi ni mtazamo kupitia mstari.

Katika uwepo wa mwelekeo wa tatu, nadharia ya Desargues inaweza kuthibitishwa bila kutambulisha nukta na mstari bora.

Ndege iliyopanuliwa - mfano wa ndege inayotarajiwa: Katika nafasi ya kuunganisha A3 tunachukua kifungu cha mistari S (O) na kituo kwenye hatua O na ndege Π ambayo haipiti katikati ya kifungu: O 6∈ Π. Kifungu cha mistari katika nafasi ya affine ni mfano wa ndege ya projective. Wacha tufafanue upangaji wa seti ya alama za ndege Π kwenye seti ya mistari iliyonyooka ya kiunganishi S (Fuck, omba ikiwa una swali hili, nisamehe)

Uhusiano uliopanuliwa wa pande tatu au nafasi ya Euclidean—mfano wa nafasi inayotarajiwa:

Ili kufanya udhanaishi wa uchoraji ramani, tunarudia mchakato wa kupanua rasmi ndege ya ushirika Π kwa ndege inayotarajiwa, Π, kuongezea ndege Π na seti ya pointi zisizofaa (M∞) kama vile: ((M∞)) = P0(O). Kwa kuwa kwenye ramani picha ya kinyume ya kila ndege ya kifungu cha ndege S(O) ni mstari kwenye ndege d, ni dhahiri kwamba seti ya pointi zote zisizofaa za ndege iliyopanuliwa: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), inawakilisha mstari usiofaa d∞ wa ndege iliyopanuliwa, ambayo ni picha ya kinyume ya ndege ya umoja Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Hebu tukubaliane kwamba hapa na sasa tutaelewa usawa wa mwisho P0(O) = Π0 kwa maana ya usawa wa seti za pointi, lakini ukiwa na muundo tofauti. Kwa kuongezea mstari wa mstari usiofaa, tulihakikisha kwamba uchoraji wa ramani (I.21) ulikuwa wa msingi kwenye seti ya pointi zote za ndege iliyopanuliwa:

Picha za takwimu za gorofa na anga wakati wa kubuni sambamba:

Katika stereometry, takwimu za anga zinasomwa, lakini katika mchoro zinaonyeshwa kama takwimu za gorofa. Je, takwimu ya anga inapaswa kuonyeshwaje kwenye ndege? Kawaida katika jiometri, kubuni sambamba hutumiwa kwa hili. Wacha tuwe ndege, l- mstari wa moja kwa moja unaoukata (Mchoro 1). Kupitia hatua ya kiholela A, si mali ya mstari l, chora mstari sambamba na mstari l. Hatua ya makutano ya mstari huu na p ndege inaitwa makadirio ya sambamba ya uhakika A kwa ndege p katika mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja l. Hebu tuashirie A". Kama uhakika A ni ya mstari l, kisha kwa makadirio sambamba A hatua ya makutano ya mstari inachukuliwa kuwa kwenye ndege p l na ndege uk.

Hivyo, kila pointi A nafasi makadirio yake yanalinganishwa A" kwenye ndege uk. Barua hii inaitwa makadirio sambamba kwenye ndege p katika mwelekeo wa mstari ulionyooka. l.

Kundi la mabadiliko yanayotarajiwa. Maombi ya kutatua shida.

Wazo la mabadiliko ya makadirio ya ndege. Mifano ya mabadiliko ya makadirio ya ndege. Tabia za mabadiliko ya makadirio. Homolojia, mali ya homolojia. Kundi la mabadiliko yanayotarajiwa.

Wazo la mabadiliko ya makadirio ya ndege: Wazo la mabadiliko ya makadirio hujumlisha dhana ya makadirio kuu. Ikiwa tutafanya makadirio ya kati ya ndege α kwenye ndege fulani α 1, basi makadirio ya α 1 kwenye α 2, α 2 kwenye α 3, ... na, hatimaye, ndege fulani α n tena kwenye α 1, basi muundo wa makadirio haya yote ni mabadiliko ya makadirio ya ndege α; Makadirio sambamba yanaweza pia kujumuishwa katika mnyororo kama huo.

Mifano ya mabadiliko ya makadirio ya ndege: Mabadiliko ya makadirio ya ndege iliyokamilishwa ni uchoraji wake wa moja kwa moja kwenye yenyewe, ambayo collinearity ya pointi huhifadhiwa, au, kwa maneno mengine, picha ya mstari wowote ni mstari wa moja kwa moja. Mabadiliko yoyote ya makadirio ni muundo wa mlolongo wa makadirio ya kati na sambamba. Mabadiliko ya ushirika ni kesi maalum ya mabadiliko ya makadirio, ambayo mstari wa infinity hugeuka kuwa yenyewe.

Sifa za mabadiliko yanayotarajiwa:

Wakati wa mabadiliko ya makadirio, alama tatu ambazo hazijalala kwenye mstari hubadilishwa kuwa alama tatu ambazo haziko kwenye mstari.

Wakati wa mabadiliko ya mradi, sura inageuka kuwa sura.

Wakati wa mabadiliko ya mradi, mstari huenda kwenye mstari wa moja kwa moja, na penseli huenda kwenye penseli.

Homolojia, sifa za homolojia:

Mabadiliko ya makadirio ya ndege ambayo ina mstari wa pointi zisizobadilika, na kwa hiyo penseli ya mistari isiyobadilika, inaitwa homolojia.

1. Mstari unaopita kwenye pointi za homolojia zisizo sanjari ni mstari usiobadilika;

2. Mistari inayopita kwenye pointi za homolojia zisizolingana ni ya penseli sawa, katikati ambayo ni hatua isiyobadilika.

3. Hatua, picha yake na katikati ya homolojia iko kwenye mstari sawa sawa.

Kundi la mabadiliko yanayotarajiwa: fikiria upangaji wa ramani ya mradi wa ndege P 2 kwenye yenyewe, yaani, mabadiliko ya mradi wa ndege hii (P 2 ' = P 2).

Kama hapo awali, muundo f wa mabadiliko ya makadirio f 1 na f 2 ya ndege inayotarajiwa P 2 ni matokeo ya utekelezaji wa mlolongo wa mabadiliko f 1 na f 2: f = f 2 ° f 1 .

Nadharia ya 1: seti H ya mabadiliko yote ya makadirio ya ndege inayotarajiwa P 2 ni kikundi kwa heshima na muundo wa mabadiliko ya makadirio.

Maumbo ya Quadratic

Matrix A inayojumuisha coefficients hizi inaitwa matrix ya fomu ya quadratic. Ni daima ulinganifu matrix (yaani matriki yenye ulinganifu kuhusu ulalo mkuu, a ij = a ji).

Katika nukuu ya tumbo, umbo la quadratic ni f(X) = X T AX, wapi

Hakika

Kwa mfano, hebu tuandike fomu ya quadratic katika fomu ya matrix.

Acha safu ya matrix ya vigeuzo X ipatikane kwa badiliko lisiloharibika la mstari wa safu wima Y ya matrix, i.e. X = CY, ambapo C ni matrix isiyo ya umoja ya mpangilio wa nth. Kisha fomu ya quadratic
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kwa hivyo, kwa mabadiliko ya mstari usioharibika C, matrix ya fomu ya quadratic inachukua fomu: A * = C T AC.

Kwa mfano, hebu tutafute fomu ya quadratic f (y 1, y 2), iliyopatikana kutoka kwa fomu ya quadratic f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kwa mabadiliko ya mstari.

Fomu ya quadratic inaitwa kisheria(Ina mtazamo wa kisheria), ikiwa mgawo wake wote a ij = 0 kwa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrix yake ni ya diagonal.

Nadharia(ushahidi haujatolewa hapa). Fomu yoyote ya quadratic inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria kwa kutumia mabadiliko ya mstari usioharibika.

Kwa mfano, hebu tupunguze fomu ya quadratic kwa fomu ya kisheria
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ili kufanya hivyo, kwanza chagua mraba kamili na kutofautisha x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sasa tunachagua mraba kamili na kutofautisha x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Kisha ubadilishaji wa mstari usioharibika y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 na y 3 = x 3 huleta fomu hii ya quadratic kwa fomu ya kisheria f (y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Kumbuka kwamba fomu ya kisheria ya fomu ya quadratic imedhamiriwa kwa utata (fomu ya quadratic sawa inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria kwa njia tofauti). Walakini, fomu za kisheria zinazopatikana kwa njia tofauti zina sifa kadhaa za kawaida. Hasa, idadi ya maneno yenye coefficients chanya (hasi) ya fomu ya quadratic haitegemei njia ya kupunguza fomu kwa fomu hii (kwa mfano, katika mfano unaozingatiwa daima kutakuwa na mgawo mbili mbaya na moja chanya). Mali hii inaitwa sheria ya inertia ya fomu za quadratic.

Hebu tuthibitishe hili kwa kuleta umbo sawa la quadratic kwa umbo la kisheria kwa njia tofauti. Wacha tuanze mabadiliko na kutofautisha x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) - 3(1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, ambapo y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 na y 3 = x 1 . Hapa kuna mgawo chanya wa 2 kwa y 3 na coefficients mbili hasi (-3) kwa y 1 na y 2 (na kwa kutumia njia nyingine tulipata mgawo chanya wa 2 kwa y 1 na coefficients mbili hasi - (-5) saa y 2 na (-1 /20) saa y 3).

Fomu ya quadratic f(X) inaitwa vyema (hasi) fulani, ikiwa kwa maadili yote ya vigezo ambavyo si sawa na sifuri wakati huo huo, ni chanya, i.e. f(X) > 0 (hasi, i.e.
f(X)< 0).

Katika hali nyingi za vitendo, ni ngumu zaidi kuanzisha ishara dhahiri ya fomu ya quadratic, kwa hivyo kwa hili tunatumia moja ya nadharia zifuatazo (tutaziunda bila uthibitisho).

Nadharia. Fomu ya quadratic ni chanya (hasi) dhahiri ikiwa na tu ikiwa eigenvalues zote za matrix yake ni chanya (hasi).

Theorem (kigezo cha Sylvester). Fomu ya quadratic ni chanya uhakika ikiwa na tu ikiwa watoto wote wanaoongoza wa tumbo la fomu hii ni chanya.

Kuu (kona) ndogo Matrix ya mpangilio wa kth A ya mpangilio wa nth inaitwa kibainishi cha matrix, inayoundwa na safu mlalo za kwanza za k na safu wima za matrix A ().

Kumbuka kwamba kwa fomu hasi za quadratic ishara za watoto wakuu hubadilishana, na mtoto wa kwanza lazima awe hasi.

Kwa mfano, hebu tuchunguze fomu ya quadratic f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kwa uhakika wa ishara.

= (2 - l)*
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni chanya uhakika.

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa utaratibu wa kwanza wa matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Mdogo mkuu wa utaratibu wa pili D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Sylvester, fomu ya quadratic ni. chanya uhakika.

Tunachunguza fomu nyingine ya quadratic kwa uhakika wa ishara, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Njia ya 1. Hebu tujenge matrix ya fomu ya quadratic A = . Equation ya tabia itakuwa na fomu = (-2 - l)*
* (-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni hasi ya uhakika.

Ufafanuzi. Fomu ya quadratic inaitwa chanya uhakika ikiwa maadili yake yote kwa maadili halisi ya vigezo ambayo si wakati huo huo sifuri ni chanya. Ni wazi, fomu ya quadratic ni chanya uhakika.

Ufafanuzi. Fomu ya quadratic inaitwa hasi dhahiri ikiwa maadili yake yote ni hasi, isipokuwa thamani isiyo ya sifuri kwa maadili yasiyo ya sifuri ya vigezo.

Ufafanuzi. Fomu ya quadratic inasemekana kuwa chanya (hasi) semidefinite ikiwa haichukui maadili hasi (chanya).

Aina za quadratic ambazo huchukua maadili chanya na hasi huitwa kwa muda usiojulikana.

Katika n=1 umbo la quadratic ama ni chanya uhakika (saa ), au hasi dhahiri (saa ). Fomu zisizo na kikomo zinaonekana wakati.

Nadharia(Mtihani wa Sylvester kwa uhakika chanya wa fomu ya quadratic). Ili kuunda fomu ya quadratic

ilifafanuliwa vyema, ni muhimu na inatosha kutimiza masharti yafuatayo:

Ushahidi. Tunatumia introduktionsutbildning juu ya idadi ya vigezo pamoja na katika. Kwa fomu ya quadratic kulingana na tofauti moja, na kauli ya nadharia ni dhahiri. Wacha tufikirie kuwa nadharia ni kweli kwa fomu ya quadratic kulingana na n-1 vigeu .

1. Uthibitisho wa umuhimu. Hebu

chanya uhakika. Kisha fomu ya quadratic

itakuwa chanya dhahiri, kwani if , basi saa .

Kwa hypothesis ya induction, watoto wote wakuu wa fomu ni chanya, i.e.

Inabakia kuthibitisha hilo.

Umbo la uhakika la quadratic kwa ubadilishaji wa mstari usioharibika X=KWA kupunguzwa kwa fomu ya kisheria

Fomu ya quadratic inafanana na tumbo la diagonal

yenye kibainishi.

Ubadilishaji wa mstari unaofafanuliwa na matriki isiyo ya umoja KATIKA, inabadilisha matrix NA fomu ya quadratic ndani ya tumbo. Lakini tangu Hiyo.

2. Uthibitisho wa kutosha. Tuseme kwamba watoto wote wanaoongoza wa fomu ya quadratic ni chanya:.

Hebu tuthibitishe kwamba fomu ya quadratic ni chanya uhakika. Dhana ya introduktionsutbildning ina maana ya uhakika chanya ya fomu quadratic . Ndiyo maana kwa mabadiliko ya mstari usioharibika hupunguzwa hadi fomu ya kawaida. Kufanya mabadiliko yanayofaa ya vigeu na kuweka , tunapata

Wapi - baadhi ya coefficients mpya.

Kufanya mabadiliko ya vigezo, tunapata

Kiamuzi cha matrix ya fomu hii ya quadratic ni sawa na , na kwa kuwa ishara yake inaambatana na ishara ya , basi, na, kwa hiyo, fomu ya quadratic. - chanya uhakika. Nadharia imethibitishwa.

Ili fomu ya quadratic kuwa hasi ya uhakika, ni muhimu na ya kutosha hiyo

ilikuwa chanya uhakika, ambayo ina maana kwamba watoto wote kuu ya tumbo

walikuwa chanya. Lakini hii ina maana kwamba

hizo. kwamba ishara za watoto wakuu wa tumbo C mbadala, kuanzia na ishara ya kutoa.

Mfano. Hesabu ikiwa fomu ya quadratic ni chanya (hasi) dhahiri au isiyojulikana.

Suluhisho. Matrix ya fomu ya quadratic ina fomu:

Wacha tuhesabu watoto kuu wa tumbo NA:

Fomu ya quadratic ni chanya uhakika.

Suluhisho. Wacha tuhesabu watoto kuu wa tumbo

Fomu ya quadratic haipatikani.

Kwa kumalizia, tunaunda nadharia ifuatayo.

Nadharia(sheria ya inertia ya fomu za quadratic). Idadi ya chanya na idadi ya mraba hasi katika fomu ya kawaida, ambayo fomu ya quadratic inapunguzwa na mabadiliko ya mstari usioharibika, haitegemei uchaguzi wa mabadiliko haya.

7.5. Kazi za kazi ya kujitegemea katika Sura ya 7

7.1. Thibitisha kwamba ikiwa ni fomu ya quadratic na matrix A ni chanya dhahiri, basi umbo la quadratic na matrix yake inverse ni chanya dhahiri.

7.2. Pata fomu ya kawaida katika kikoa cha nambari halisi

7.3. Pata fomu ya kawaida katika kikoa cha nambari halisi