Fikiria mduara ulioandikwa katika pembetatu (Mchoro 302). Kumbuka kwamba kituo chake cha O iko kwenye makutano ya bisectors ya pembe za ndani za pembetatu. Sehemu za OA, OB, OC zinazounganisha O na vipeo vya pembetatu ABC zitagawanya pembetatu katika pembetatu tatu:
AOV, VOS, SOA. Urefu wa kila pembetatu hizi ni sawa na radius, na kwa hiyo maeneo yao yataonyeshwa kama
Eneo la pembetatu nzima S ni sawa na jumla ya maeneo haya matatu:
iko wapi nusu ya mzunguko wa pembetatu. Kutoka hapa
Radi ya mduara ulioandikwa ni sawa na uwiano wa eneo la pembetatu hadi nusu ya mzunguko wake.
Ili kupata formula kwa circumradius ya pembetatu, tunathibitisha pendekezo lifuatalo.
Nadharia a: Katika pembetatu yoyote, upande ni sawa na kipenyo cha mduara wa mduara unaozidishwa na sine ya pembe kinyume.
Ushahidi. Fikiria pembetatu ya kiholela ABC na mduara unaozunguka kuzunguka, radius ambayo itaonyeshwa na R (Mchoro 303). Acha A iwe pembe ya papo hapo ya pembetatu. Wacha tuchore radii OB, OS ya duara na tushushe Sawa ya perpendicular kutoka katikati yake O hadi upande BC wa pembetatu. Kumbuka kwamba angle ya pembetatu inapimwa na nusu ya arc BC, ambayo angle ya BOC ni angle ya kati. Kutokana na hili ni wazi kuwa. Kwa hiyo, kutoka kwa pembetatu sahihi RNS tunapata , au , ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.
Mtini uliopewa. 303 na hoja inarejelea kesi ya pembe ya papo hapo ya pembetatu; Itakuwa rahisi kutekeleza uthibitisho wa kesi za pembe za kulia na za nyuma (msomaji atafanya hivi peke yake), lakini unaweza kutumia nadharia ya sines (218.3). Kwa kuwa ni lazima kutoka wapi
Nadharia ya sine pia imeandikwa ndani. fomu
na kulinganisha na fomu ya notation (218.3) inatoa kwa
Radi ya mduara uliozunguka ni sawa na uwiano wa bidhaa ya pande tatu za pembetatu kwa eneo lake la nne.
Kazi. Tafuta pande za pembetatu ya isosceles ikiwa duara na duara yake zina radii mtawalia.
Suluhisho. Wacha tuandike fomula zinazoonyesha radii ya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa ya pembetatu:
Kwa pembetatu ya isosceles yenye upande na msingi, eneo hilo linaonyeshwa na formula
au, kupunguza sehemu kwa sababu isiyo ya sifuri, tunayo
ambayo inaongoza kwa mlinganyo wa quadratic kwa heshima na
Inayo suluhisho mbili:
Kubadilisha badala ya usemi wake katika hesabu zozote za au R, hatimaye tutapata majibu mawili kwa shida yetu:
Mazoezi
1. Urefu wa pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwenye vertex ya pembe ya kulia, kugawanya hypotenuse katika uwiano Pata uwiano wa kila mguu kwa hypotenuse.
2. Misingi ya trapezoid ya isosceles iliyozunguka karibu na mduara ni sawa na a na b. Pata radius ya mduara.
3. Miduara miwili inagusa nje. Tangents zao za kawaida zinaelekea kwenye mstari wa vituo kwa pembe ya 30 °. Urefu wa sehemu ya tangent kati ya pointi za tangent ni cm 108. Pata radii ya miduara.
4. Miguu ya pembetatu ya kulia ni sawa na a na b. Pata eneo la pembetatu ambalo pande zake ni urefu na wastani wa pembetatu iliyotolewa kutoka kwa kipeo cha pembe ya kulia, na sehemu ya hypotenuse kati ya pointi za makutano yao na hypotenuse.
5. Pande za pembetatu ni 13, 14, 15. Pata makadirio ya kila mmoja wao kwenye nyingine mbili.
6. Upande na miinuko ya pembetatu hujulikana Tafuta pande b na c.
7. Pande mbili za pembetatu na wastani zinajulikana Tafuta upande wa tatu wa pembetatu.
8. Imepewa pande mbili za pembetatu na pembe a kati yao: Tafuta radii ya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa.
9. Pande za pembetatu a, b, c zinajulikana. Je, ni sehemu gani ambazo zinagawanywa na pointi za mawasiliano ya mduara ulioandikwa na pande za pembetatu?
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mashirika ya serikali katika Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Jinsi ya kupata radius ya mduara? Swali hili daima ni muhimu kwa watoto wa shule wanaosoma planimetry. Hapa chini tutaangalia mifano kadhaa ya jinsi unaweza kukabiliana na kazi hii.
Kulingana na hali ya shida, unaweza kupata radius ya duara kama hii.
Mfumo wa 1: R = L / 2π, ambapo L iko na π ni sawa na 3.141...
Mfumo wa 2: R = √(S / π), ambapo S ni eneo la duara.
Mfumo 1: R = B/2, ambapo B ni hypotenuse.
Mfumo wa 2: R = M*B, ambapo B ni hypotenuse, na M ni wastani inayotolewa kwayo.
Jinsi ya kupata radius ya duara ikiwa imezingirwa karibu na poligoni ya kawaida
Mfumo: R = A / (2 * dhambi (360/(2*n))), ambapo A ni urefu wa moja ya pande za takwimu, na n ni idadi ya pande katika takwimu hii ya kijiometri.
Jinsi ya kupata radius ya duara iliyoandikwa
Mduara ulioandikwa unaitwa wakati unagusa pande zote za poligoni. Hebu tuangalie mifano michache.
Mfumo 1: R = S / (P/2), ambapo - S na P ni eneo na mzunguko wa takwimu, kwa mtiririko huo.
Mfumo 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), ambapo P ni mzunguko, A ni urefu wa moja ya pande, na ni pembe kinyume upande huu.
Jinsi ya kupata radius ya duara ikiwa imeandikwa katika pembetatu ya kulia
Mfumo wa 1:
Radi ya duara ambayo imeandikwa kwenye rhombus
Mduara unaweza kuandikwa kwenye rhombus yoyote, sawa na isiyo sawa.
Mfumo 1: R = 2 * H, ambapo H ni urefu wa takwimu ya kijiometri.
Mfumo 2: R = S / (A*2), ambapo S ni na A ni urefu wa upande wake.
Mfumo wa 3: R = √((S * sin A)/4), ambapo S ni eneo la rhombus, na sin A ni sine ya pembe kali ya takwimu hii ya kijiometri.
Mfumo wa 4: R = B*G/(√(B² + G²), ambapo B na G ni urefu wa mishororo ya takwimu ya kijiometri.
Mfumo wa 5: R = B* dhambi (A/2), ambapo B ni ulalo wa rhombus, na A ni pembe kwenye vipeo vinavyounganisha ulalo.
Radi ya duara ambayo imeandikwa katika pembetatu
Ikiwa katika taarifa ya shida umepewa urefu wa pande zote za takwimu, basi kwanza uhesabu (P), na kisha mzunguko wa nusu (p):
P = A + B + C, ambapo A, B, C ni urefu wa pande za takwimu ya kijiometri.
Mfumo wa 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Na ikiwa, ukijua pande zote tatu sawa, umepewa pia moja, basi unaweza kuhesabu radius inayohitajika kama ifuatavyo.
Mfumo wa 2: R = S * 2(A + B + C)
Mfumo wa 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), ambapo - n ni nusu ya mzunguko wa takwimu ya kijiometri.
Mfumo wa 4: R = (n - A) * tan (A/2), ambapo n ni nusu ya mzunguko wa pembetatu, A ni moja ya pande zake, na tg (A/2) ni tanjiti ya nusu ya pembe. kinyume upande huu.
Na formula hapa chini itakusaidia kupata radius ya duara ambayo imeandikwa ndani
Mfumo wa 5: R = A * √3/6.
Radi ya duara ambayo imeandikwa katika pembetatu ya kulia
Ikiwa tatizo linatoa urefu wa miguu, pamoja na hypotenuse, basi radius ya mduara ulioandikwa imedhamiriwa kama ifuatavyo.
Mfumo 1: R = (A+B-C)/2, ambapo A, B ni miguu, C ni hypotenuse.
Katika tukio ambalo unapewa miguu miwili tu, ni wakati wa kukumbuka nadharia ya Pythagorean ili kupata hypotenuse na kutumia formula hapo juu.
C = √(A²+B²).
Radi ya duara ambayo imeandikwa katika mraba
Mduara ambao umeandikwa katika mraba hugawanya pande zake zote 4 kwa nusu katika sehemu za mawasiliano.
Mfumo wa 1: R = A/2, ambapo A ni urefu wa upande wa mraba.
Mfumo 2: R = S / (P/2), ambapo S na P ni eneo na mzunguko wa mraba, kwa mtiririko huo.
Kwanza, hebu tuelewe tofauti kati ya duara na duara. Ili kuona tofauti hii, inatosha kuzingatia takwimu zote mbili ni nini. Hizi ni idadi isiyo na kipimo ya pointi kwenye ndege, iko katika umbali sawa kutoka kwa hatua moja ya kati. Lakini, ikiwa mduara pia una nafasi ya ndani, basi sio ya mduara. Inabadilika kuwa duara ni duara ambalo huweka mipaka (mduara (r)), na idadi isiyohesabika ya alama ambazo ziko ndani ya duara.
Kwa nukta yoyote L iliyo kwenye duara, usawa wa OL=R unatumika. (Urefu wa sehemu OL ni sawa na radius ya duara).
Sehemu inayounganisha pointi mbili kwenye duara ni yake sauti.
Chord inayopita moja kwa moja katikati ya duara ni kipenyo mduara huu (D). Kipenyo kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: D = 2R
Mduara imekokotolewa kwa fomula: C=2\pi R
Eneo la mduara: S=\pi R^(2)
Safu ya duara inaitwa sehemu hiyo ambayo iko kati ya nukta zake mbili. Pointi hizi mbili zinafafanua safu mbili za duara. CD ya chord inapunguza safu mbili: CMD na CLD. Nyimbo zinazofanana hupunguza safu sawa.
Pembe ya kati Pembe ambayo iko kati ya radii mbili inaitwa.
Urefu wa safu inaweza kupatikana kwa kutumia formula:
- Kutumia kipimo cha digrii: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Kwa kutumia kipimo cha radian: CD = \alpha R
Kipenyo, ambacho ni perpendicular kwa chord, hugawanya kamba na arcs iliyopunguzwa nayo kwa nusu.
Ikiwa chords AB na CD ya mduara huingiliana kwenye hatua N, basi bidhaa za makundi ya chords zilizotengwa na uhakika N ni sawa kwa kila mmoja.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tanji kwa mduara
Tanji kwa mduara Ni desturi kuita mstari wa moja kwa moja ambao una hatua moja ya kawaida na mduara.
Ikiwa mstari una pointi mbili za kawaida, inaitwa secant.
Ikiwa unatoa radius kwa hatua ya tangent, itakuwa perpendicular kwa tangent kwa mduara.
Wacha tuchore tanjenti mbili kutoka hatua hii hadi kwenye mduara wetu. Inabadilika kuwa sehemu za tangent zitakuwa sawa kwa kila mmoja, na katikati ya duara itakuwa iko kwenye bisector ya pembe na vertex katika hatua hii.
AC = CB
Sasa hebu tuchore tangent na secant kwa mduara kutoka kwa hatua yetu. Tunapata kwamba mraba wa urefu wa sehemu ya tangent itakuwa sawa na bidhaa ya sehemu nzima ya secant na sehemu yake ya nje.
AC^(2) = CD \cdot BC
Tunaweza kuhitimisha: bidhaa ya sehemu nzima ya secant ya kwanza na sehemu yake ya nje ni sawa na bidhaa ya sehemu nzima ya secant ya pili na sehemu yake ya nje.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Pembe kwenye mduara
Vipimo vya digrii za pembe ya kati na arc ambayo inakaa ni sawa.
\pembe COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Pembe iliyoandikwa ni pembe ambayo kipeo chake kiko kwenye duara na pande zake huwa na chords.
Unaweza kuhesabu kwa kujua ukubwa wa arc, kwa kuwa ni sawa na nusu ya arc hii.
\pembe AOB = 2 \pembe ADB
Kulingana na kipenyo, pembe iliyoandikwa, pembe ya kulia.
\pembe CBD = \pembe CED = \pembe CAD = 90^ (\circ)
Pembe zilizoandikwa ambazo hupunguza safu sawa zinafanana.
Pembe zilizoandikwa zikiwa kwenye chodi moja zinafanana au jumla yake ni sawa na 180^ (\circ) .
\pembe ADB + \pembe AKB = 180^ (\circ)
\pembe ADB = \pembe AEB = \pembe AFB
Kwenye mduara huo huo kuna wima za pembetatu zilizo na pembe zinazofanana na msingi uliopewa.
Pembe iliyo na kipeo ndani ya duara na iko kati ya chodi mbili ni sawa na nusu ya jumla ya maadili ya angular ya arcs ya duara ambayo iko ndani ya pembe zilizopewa na wima.
\pembe DMC = \pembe ADM + \pembe DAM = \frac(1)(2) \kushoto (\cup DmC + \cup AlB \kulia)
Pembe iliyo na vertex nje ya duara na iko kati ya secti mbili ni sawa na nusu ya tofauti katika maadili ya angular ya arcs ya duara ambayo iko ndani ya pembe.
\pembe M = \pembe CBD - \pembe ACB = \frac(1)(2) \kushoto (\cup DmC - \cup AlB \kulia)
Mduara ulioandikwa
Mduara ulioandikwa ni tanjiti ya duara kwa pande za poligoni.
Katika mahali ambapo sehemu mbili za pembe za poligoni zinaingiliana, katikati yake iko.
Mduara hauwezi kuandikwa katika kila poligoni.
Eneo la poligoni iliyo na mduara ulioandikwa hupatikana na formula:
S = pr,
p ni nusu ya mzunguko wa poligoni,
r ni radius ya duara iliyoandikwa.
Inafuata kwamba radius ya duara iliyoandikwa ni sawa na:
r = \frac(S)(p)
Jumla ya urefu wa pande tofauti zitafanana ikiwa mduara umeandikwa katika pembe nne iliyobonyea. Na kinyume chake: duara hutoshea ndani ya pembe nne ya mbonyeo ikiwa jumla ya urefu wa pande tofauti zinafanana.
AB + DC = AD + BC
Inawezekana kuandika mduara katika pembetatu yoyote. Moja tu moja. Katika hatua ambapo bisectors ya pembe za ndani za takwimu huingiliana, katikati ya mduara huu ulioandikwa utalala.
Radi ya mduara ulioandikwa huhesabiwa na formula:
r = \frac(S)(p) ,
ambapo p = \frac(a + b + c)(2)
Mduara
Ikiwa mduara unapitia kila vertex ya poligoni, basi mduara kama huo kawaida huitwa ilivyoelezwa kuhusu poligoni.
Katika hatua ya makutano ya bisectors perpendicular ya pande za takwimu hii itakuwa katikati ya mduara circumscribed.
Radi inaweza kupatikana kwa kuihesabu kama kipenyo cha duara ambacho kimezingirwa kuhusu pembetatu iliyofafanuliwa na vipeo 3 vyovyote vya poligoni.
Kuna hali ifuatayo: mduara unaweza kuelezewa karibu na quadrilateral tu ikiwa jumla ya pembe zake kinyume ni sawa na 180^( \circ) .
\pembe A + \pembe C = \pembe B + \pembe D = 180^ (\circ)
Karibu na pembetatu yoyote unaweza kuelezea mduara, na moja tu. Katikati ya mduara kama huo itakuwa iko mahali ambapo bisectors za perpendicular za pande za pembetatu zinaingiliana.
Radi ya duara iliyozungushwa inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
R = \frac(a)(2 \dhambi A) = \frac(b)(2 \dhambi B) = \frac(c)(2 \dhambi C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c ni urefu wa pande za pembetatu,
S ni eneo la pembetatu.
Nadharia ya Ptolemy
Hatimaye, fikiria nadharia ya Ptolemy.
Nadharia ya Ptolemy inasema kwamba bidhaa ya diagonals ni sawa na jumla ya bidhaa za pande tofauti za cyclic quadrilateral.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)