ఫంక్షన్ y 2 రూట్ x యొక్క ఉత్పన్నం. ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్

దాని నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఎసంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం వలె నిర్వచించబడింది aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).

ఈ సూత్రీకరణ నుండి అది గణనను అనుసరిస్తుంది x=లాగ్ ఎ బి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం a x =b.ఉదాహరణకి, లాగ్ 2 8 = 3ఎందుకంటే 8 = 2 3 . సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. సంవర్గమానాల అంశం సంఖ్య యొక్క శక్తుల అంశానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమవుతుంది.

లాగరిథమ్‌లతో, ఏదైనా సంఖ్యల మాదిరిగానే, మీరు చేయవచ్చు కూడిక, తీసివేత కార్యకలాపాలుమరియు సాధ్యమైన ప్రతి విధంగా మార్చండి. కానీ లాగరిథమ్‌లు పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, వాటి స్వంత ప్రత్యేక నియమాలు ఇక్కడ వర్తిస్తాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

తో రెండు సంవర్గమానాలను తీసుకుందాం అదే ప్రాతిపదికన: లాగ్ a xమరియు లాగ్ a y. అప్పుడు అదనంగా మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది:

లాగ్ a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

లాగ్ a(x 1 . x 2 . x 3 ... x కె) = లాగ్ a x 1 + లాగ్ a x 2 + లాగ్ a x 3 + ... + లాగ్ a x k.

నుండి సంవర్గమాన గణిత సిద్ధాంతంసంవర్గమానం యొక్క మరొక ఆస్తిని పొందవచ్చు. లాగ్ అనేది సాధారణ జ్ఞానం a 1= 0, కాబట్టి

లాగ్ a 1 /బి= చిట్టా a 1 - లాగ్ ఒక బి= - లాగ్ ఒక బి.

సమానత్వం ఉందని దీని అర్థం:

లాగ్ ఎ 1 / బి = - లాగ్ ఎ బి.

రెండు పరస్పర సంఖ్యల సంవర్గమానాలుఅదే కారణంతో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది. కాబట్టి:

లాగ్ 3 9= - లాగ్ 3 1 / 9 ; లాగ్ 5 1 / 125 = -లాగ్ 5 125.

ఈ వ్యాసం యొక్క దృష్టి సంవర్గమానం. ఇక్కడ మేము లాగరిథమ్, షో యొక్క నిర్వచనం ఇస్తాము ఆమోదించబడిన హోదా, మేము లాగరిథమ్‌ల ఉదాహరణలను ఇస్తాము మరియు సహజ మరియు దశాంశ లాగరిథమ్‌ల గురించి మాట్లాడుతాము. దీని తరువాత మేము ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపును పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం

సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క భావన పుడుతుంది ఒక నిర్దిష్ట కోణంలోవిలోమం, మీరు ఘాతాంకాన్ని కనుగొనవలసి వచ్చినప్పుడు తెలిసిన విలువడిగ్రీ మరియు తెలిసిన ఆధారం.

కానీ తగినంత ముందుమాటలు, "సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ఇది సమయం? సంబంధిత నిర్వచనాన్ని ఇద్దాం.

నిర్వచనం.

b యొక్క సంవర్గమానం a ఆధారం, ఇక్కడ a>0, a≠1 మరియు b>0 అనేది ఘాతాంకం, దీని ఫలితంగా b పొందడానికి మీరు a సంఖ్యను పెంచాలి.

ఈ దశలో, "లాగరిథమ్" అనే మాట్లాడే పదం వెంటనే రెండు తదుపరి ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతుందని మేము గమనించాము: "ఏ సంఖ్య" మరియు "ఏ ప్రాతిపదికన." మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంవర్గమానం లేదు, కానీ కొంత ఆధారానికి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మాత్రమే.

వెంటనే ప్రవేశిద్దాం సంవర్గమాన సంజ్ఞామానం: a సంఖ్యను ఆధారం చేయడానికి b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం సాధారణంగా log a bగా సూచించబడుతుంది. సంఖ్య b నుండి బేస్ eకి మరియు సంవర్గమానం 10కి చెందిన సంవర్గమానం వారి స్వంత ప్రత్యేక హోదాలను వరుసగా lnb మరియు logb కలిగి ఉంటాయి, అంటే, అవి log e b కాదు, lnb అని వ్రాస్తాయి మరియు లాగ్ 10 b కాదు, lgb.

ఇప్పుడు మనం ఇవ్వవచ్చు: .
మరియు రికార్డులు అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిదానిలో సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉంది, రెండవదానిలో బేస్‌లో ప్రతికూల సంఖ్య ఉంది మరియు మూడవదానిలో సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య మరియు ఒక యూనిట్ ఉంది మూలం.

ఇప్పుడు గురించి మాట్లాడుకుందాం లాగరిథమ్‌లను చదవడానికి నియమాలు. లాగ్ a b అనేది "b యొక్క సంవర్గమానం a నుండి ఆధారం"గా చదవబడుతుంది. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3 అనేది మూడు నుండి బేస్ 2 వరకు ఉన్న లాగరిథమ్, మరియు ఇది బేస్ 2 నుండి మూడింట రెండు వంతుల సంవర్గమానం. వర్గమూలంఐదు నుండి. బేస్ ఇకి సంవర్గమానం అంటారు సహజ సంవర్గమానం, మరియు lnb సంజ్ఞామానం "బి యొక్క సహజ సంవర్గమానం" అని చదువుతుంది. ఉదాహరణకు, ln7 అనేది ఏడు యొక్క సహజ సంవర్గమానం మరియు మేము దానిని pi యొక్క సహజ సంవర్గమానంగా చదువుతాము. బేస్ 10 సంవర్గమానానికి ప్రత్యేక పేరు కూడా ఉంది - దశాంశ సంవర్గమానం, మరియు lgb "b యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం"గా చదవబడుతుంది. ఉదాహరణకు, lg1 అనేది ఒకటి యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం, మరియు lg2.75 అనేది రెండు పాయింట్ల ఏడు ఐదు వందల దశాంశ సంవర్గమానం.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడిన a>0, a≠1 మరియు b>0 షరతులపై విడిగా నివసించడం విలువైనది. ఈ పరిమితులు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయో వివరిద్దాం. పైన ఇచ్చిన సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరించే ఫారమ్ యొక్క సమానత్వం దీన్ని చేయడంలో మాకు సహాయపడుతుంది.

a≠1తో ప్రారంభిద్దాం. ఏదైనా శక్తికి ఒకటి సమానం కాబట్టి, సమానత్వం b=1 అయినప్పుడు మాత్రమే నిజం అవుతుంది, కానీ లాగ్ 1 1 ఏదైనా కావచ్చు వాస్తవ సంఖ్య. ఈ అస్పష్టతను నివారించడానికి, a≠1 భావించబడుతుంది.

a>0 షరతు యొక్క ప్రయోజనాన్ని మనం సమర్థిద్దాం. a=0తో, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, మనకు సమానత్వం ఉంటుంది, ఇది b=0తో మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. కానీ లాగ్ 0 0 ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య కావచ్చు, ఎందుకంటే సున్నాకి సున్నా కాని శక్తికి సున్నా. ఈ అస్పష్టతను నివారించడానికి a≠0 షరతు అనుమతిస్తుంది. మరియు ఎప్పుడు ఎ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирహేతుబద్ధమైన సూచికనాన్-నెగటివ్ బేస్‌ల కోసం మాత్రమే నిర్వచించబడింది. కాబట్టి, షరతు a>0 అంగీకరించబడుతుంది.

చివరగా, షరతు b>0 అసమానత a>0 నుండి అనుసరిస్తుంది, నుండి , మరియు ధనాత్మక ఆధారం కలిగిన శక్తి విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

ఈ అంశాన్ని ముగించడానికి, సంవర్గమానం యొక్క పేర్కొన్న నిర్వచనం, సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద ఉన్న సంఖ్య ఆధారం యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి అయినప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క విలువను వెంటనే సూచించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది అని చెప్పండి. నిజానికి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం b=a p అయితే, b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ చేయడానికి pకి సమానం అని చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. అంటే, సమానత్వ లాగ్ a a p =p నిజం. ఉదాహరణకు, 2 3 =8, ఆపై లాగ్ 2 8=3 అని మనకు తెలుసు. మేము దీని గురించి మరింత వ్యాసంలో మాట్లాడుతాము.

మీకు తెలిసినట్లుగా, వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో గుణించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు ఎల్లప్పుడూ జోడించబడతాయి (a b *a c = a b+c). ఈ గణిత శాస్త్ర నియమం ఆర్కిమెడిస్ చేత ఉద్భవించబడింది మరియు తరువాత, 8వ శతాబ్దంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు విరాసేన్ పూర్ణాంక ఘాతాకాల పట్టికను రూపొందించాడు. వారు సేవ చేసిన వారు మరింత తెరవడంలాగరిథమ్స్. ఈ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలు దాదాపు ప్రతిచోటా చూడవచ్చు, అక్కడ మీరు సాధారణ సంకలనం ద్వారా గజిబిజిగా గుణకారం సులభతరం చేయాలి. మీరు ఈ కథనాన్ని చదవడానికి 10 నిమిషాలు గడిపినట్లయితే, లాగరిథమ్‌లు అంటే ఏమిటి మరియు వాటితో ఎలా పని చేయాలో మేము మీకు వివరిస్తాము. సరళమైన మరియు అందుబాటులో ఉన్న భాషలో.

గణితంలో నిర్వచనం

సంవర్గమానం అనేది కింది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: లాగ్ a b=c, అంటే ఏదైనా యొక్క లాగరిథమ్ ప్రతికూల సంఖ్య(అనగా, ఏదైనా పాజిటివ్) "b" దాని బేస్ "a" ద్వారా "c" యొక్క శక్తిగా పరిగణించబడుతుంది, చివరికి "b" విలువను పొందేందుకు "a" మూలాన్ని పెంచాలి. ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సంవర్గమానాన్ని విశ్లేషిద్దాం, ఎక్స్‌ప్రెషన్ లాగ్ 2 ఉందని అనుకుందాం 8. సమాధానాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఇది చాలా సులభం, మీరు 2 నుండి అవసరమైన శక్తి వరకు 8 పొందే శక్తిని కనుగొనాలి. మీ తలపై కొన్ని గణనలను చేసిన తర్వాత, మేము సంఖ్య 3ని పొందుతాము! మరియు ఇది నిజం, ఎందుకంటే 2 నుండి 3 శక్తికి 8 సమాధానం ఇస్తుంది.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

చాలా మంది విద్యార్థులు మరియు విద్యార్థులకు, ఈ అంశం సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి లాగరిథమ్‌లు అంత భయానకంగా లేవు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వాటి సాధారణ అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు వారి లక్షణాలు మరియు కొన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవడం. మూడు ఉన్నాయి వ్యక్తిగత జాతులులాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు:

సహజ సంవర్గమానం ln a, ఇక్కడ ఆధారం ఆయిలర్ సంఖ్య (e = 2.7).
దశాంశం a, ఇక్కడ ఆధారం 10.
ఏ సంఖ్య b యొక్క సంవర్గమానం a>1 ఆధారం.

వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్ణయించబడుతుంది ఒక ప్రామాణిక మార్గంలో, ఇది సరళీకరణ, తగ్గింపు మరియు సంవర్గమాన సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి ఒక లాగరిథమ్‌కు తదుపరి తగ్గింపును కలిగి ఉంటుంది. లాగరిథమ్‌ల యొక్క సరైన విలువలను పొందడానికి, వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు వాటి లక్షణాలను మరియు చర్యల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి.

నియమాలు మరియు కొన్ని పరిమితులు

గణితంలో, అనేక నియమాలు-పరిమితులు ఉన్నాయి, అవి ఒక సిద్ధాంతంగా అంగీకరించబడతాయి, అనగా అవి చర్చకు లోబడి ఉండవు మరియు నిజం. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలను సున్నాతో భాగించడం అసాధ్యం మరియు దీని నుండి సరి రూట్‌ను సంగ్రహించడం కూడా అసాధ్యం ప్రతికూల సంఖ్యలు. లాగరిథమ్‌లు కూడా వాటి స్వంత నియమాలను కలిగి ఉన్నాయి, వీటిని అనుసరించి మీరు పొడవైన మరియు కెపాసియస్ లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలతో కూడా సులభంగా పని చేయడం నేర్చుకోవచ్చు:

ఆధారం "a" ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు 1కి సమానంగా ఉండకూడదు, లేకుంటే వ్యక్తీకరణ దాని అర్ధాన్ని కోల్పోతుంది, ఎందుకంటే "1" మరియు "0" ఏ స్థాయికి అయినా ఎల్లప్పుడూ వాటి విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి;
a > 0 అయితే, a b >0 అయితే, “c” కూడా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?

ఉదాహరణకు, 10 x = 100 సమీకరణానికి సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి పని ఇవ్వబడుతుంది. ఇది చాలా సులభం, మీరు మనకు 100 వచ్చే పది సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా శక్తిని ఎంచుకోవాలి. ఇది 10 2 = 100

ఇప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను లాగరిథమిక్ రూపంలో సూచిస్తాము. మేము లాగ్ 10 100 = 2ని పొందుతాము. సంవర్గమానాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అన్ని చర్యలు ఆచరణాత్మకంగా పొందేందుకు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని పరిచయం చేయడానికి అవసరమైన శక్తిని కనుగొనడానికి కలుస్తాయి. ఇచ్చిన సంఖ్య.

విలువను ఖచ్చితంగా నిర్ణయించడానికి తెలియని డిగ్రీమీరు డిగ్రీల పట్టికతో ఎలా పని చేయాలో నేర్చుకోవాలి. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మీకు గుణకారం పట్టిక యొక్క సాంకేతిక పరిజ్ఞానం మరియు జ్ఞానం ఉంటే కొన్ని ఘాతాంకాలను అకారణంగా ఊహించవచ్చు. అయితే కోసం పెద్ద విలువలుమీకు డిగ్రీల పట్టిక అవసరం. కాంప్లెక్స్ గురించి అస్సలు తెలియని వారు కూడా దీనిని ఉపయోగించవచ్చు గణిత విషయాలు. ఎడమ నిలువు వరుస సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది (బేస్ a), సంఖ్యల ఎగువ వరుస అనేది a సంఖ్యను పెంచే శక్తి c యొక్క విలువ. ఖండన వద్ద, కణాలు సమాధానం (a c =b) అనే సంఖ్య విలువలను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, 10 వ సంఖ్యతో ఉన్న మొదటి సెల్‌ను తీసుకుందాం మరియు దానిని స్క్వేర్ చేస్తే, మనకు 100 విలువ వస్తుంది, ఇది మన రెండు కణాల ఖండన వద్ద సూచించబడుతుంది. ప్రతిదీ చాలా సులభం మరియు చాలా సులభం, నిజమైన మానవతావాది కూడా అర్థం చేసుకుంటారు!

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

కొన్ని పరిస్థితులలో ఘాతాంకం లాగరిథమ్ అని తేలింది. అందువలన, ఏదైనా గణిత సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలుసంవర్గమాన సమీకరణంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, 3 4 =81 అనేది నాలుగుకి సమానమైన 81 యొక్క బేస్ 3 సంవర్గమానంగా వ్రాయవచ్చు (లాగ్ 3 81 = 4). కోసం ప్రతికూల శక్తులునియమాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి: 2 -5 = 1/32 మేము దానిని సంవర్గమానంగా వ్రాస్తాము, మనకు లాగ్ 2 (1/32) = -5 లభిస్తుంది. గణితశాస్త్రంలోని అత్యంత ఆకర్షణీయమైన విభాగాలలో ఒకటి "లాగరిథమ్స్" అంశం. మేము వాటి లక్షణాలను అధ్యయనం చేసిన వెంటనే, దిగువ సమీకరణాల ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము. ఇప్పుడు అసమానతలు ఎలా ఉంటాయో మరియు వాటిని సమీకరణాల నుండి ఎలా వేరు చేయాలో చూద్దాం.

కింది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది: లాగ్ 2 (x-1) > 3 - ఇది లాగరిథమిక్ అసమానత, తెలియని విలువ "x" సంవర్గమానం యొక్క గుర్తు క్రింద ఉన్నందున. మరియు వ్యక్తీకరణలో రెండు పరిమాణాలు పోల్చబడ్డాయి: ఆధారం రెండుకి కావలసిన సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ సంఖ్య మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతల మధ్య అత్యంత ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, లాగరిథమ్‌లతో సమీకరణాలు (ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ 2 x = √9) ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిర్దిష్ట సమాధానాలను సూచిస్తాయి. సంఖ్యా విలువలు, అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రాంతంగా నిర్వచించబడింది ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు, మరియు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క బ్రేక్ పాయింట్లు. పర్యవసానంగా, సమాధానం అనేది ఒక సమీకరణానికి సమాధానం వలె వ్యక్తిగత సంఖ్యల సాధారణ సెట్ కాదు, బదులుగా నిరంతర సిరీస్లేదా సంఖ్యల సమితి.

సంవర్గమానాల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

సంవర్గమానం యొక్క విలువలను కనుగొనే ఆదిమ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు, దాని లక్షణాలు తెలియకపోవచ్చు. అయితే, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు లేదా అసమానతల విషయానికి వస్తే, మొదటగా, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలను స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడం మరియు ఆచరణలో ఉపయోగించడం అవసరం. మేము తరువాత సమీకరణాల ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము; మొదట ప్రతి ఆస్తిని మరింత వివరంగా చూద్దాం.

ప్రధాన గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది: a logaB =B. a 0 కంటే ఎక్కువ, ఒకదానికి సమానం కానప్పుడు మరియు B సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇది వర్తిస్తుంది.
ఉత్పత్తి యొక్క లాగరిథమ్‌ని సూచించవచ్చు క్రింది సూత్రం: లాగ్ d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ఈ సందర్భంలో ముందస్తు అవసరంఉంది: d, s 1 మరియు s 2 > 0; a≠1. మీరు ఈ సంవర్గమాన సూత్రానికి ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారంతో రుజువు ఇవ్వవచ్చు. a s 1 = f 1ని లాగ్ చేసి, a s 2 = f 2ని లాగ్ చేద్దాం, ఆపై a f1 = s 1, a f2 = s 2. మేము s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (గుణాలు డిగ్రీలు ), ఆపై నిర్వచనం ప్రకారం: లాగ్ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
గుణకం యొక్క సంవర్గమానం ఇలా కనిపిస్తుంది: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
సూత్రం రూపంలో సిద్ధాంతం తీసుకుంటుంది తదుపరి వీక్షణ: log a q b n = n/q log a b.

ఈ సూత్రాన్ని "లాగరిథం డిగ్రీ యొక్క ఆస్తి" అని పిలుస్తారు. ఇది సాధారణ డిగ్రీల లక్షణాలను పోలి ఉంటుంది మరియు ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే అన్ని గణితాలు సహజమైన పోస్టులేట్‌లపై ఆధారపడి ఉంటాయి. రుజువు చూద్దాం.

a b = tని లాగ్ చేయనివ్వండి, అది t =b గా మారుతుంది. మేము రెండు భాగాలను శక్తికి పెంచినట్లయితే m: a tn = b n ;

అయితే a tn = (a q) nt/q = b n, కాబట్టి a q b n = (n*t)/tని లాగ్ చేయండి, ఆపై a q b n = n/q లాగ్ a bని లాగ్ చేయండి. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సమస్యలు మరియు అసమానతల ఉదాహరణలు

లాగరిథమ్‌లపై అత్యంత సాధారణ రకాల సమస్యలు సమీకరణాలు మరియు అసమానతలకు ఉదాహరణలు. అవి దాదాపు అన్ని సమస్య పుస్తకాలలో కనిపిస్తాయి మరియు వాటిలో కూడా చేర్చబడ్డాయి తప్పనిసరి భాగంగణితం పరీక్షలు. విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రవేశం లేదా ఉత్తీర్ణత కోసం ప్రవేశ పరీక్షలుగణితంలో అటువంటి సమస్యలను సరిగ్గా ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు తెలుసుకోవాలి.

దురదృష్టవశాత్తు, పరిష్కరించడానికి మరియు నిర్ణయించడానికి ఒకే ప్రణాళిక లేదా పథకం లేదు తెలియని విలువసంవర్గమానం వంటిది ఏదీ లేదు, కానీ మీరు దానిని ప్రతి గణిత అసమానత లేదా లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి వర్తింపజేయవచ్చు. కొన్ని నియమాలు. అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చో లేదా దారి తీయవచ్చో తెలుసుకోవాలి సాధారణ వేషము. పొడవైన వాటిని సరళీకృతం చేయండి లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలుమీరు వారి లక్షణాలను సరిగ్గా ఉపయోగిస్తే సాధ్యమవుతుంది. వాటిని త్వరగా తెలుసుకుందాం.

నిర్ణయించేటప్పుడు సంవర్గమాన సమీకరణాలు, మనకు ఏ రకమైన సంవర్గమానం ఉందో మనం గుర్తించాలి: ఉదాహరణ వ్యక్తీకరణలో సహజ సంవర్గమానం లేదా దశాంశం ఉండవచ్చు.

ఇక్కడ ఉదాహరణలు ln100, ln1026. బేస్ 10 వరుసగా 100 మరియు 1026కి సమానంగా ఉండే శక్తిని వారు నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉందని వారి పరిష్కారం దిమ్మదిరిగింది. పరిష్కారాల కోసం సహజ లాగరిథమ్స్దరఖాస్తు చేయాలి లాగరిథమిక్ గుర్తింపులులేదా వారి లక్షణాలు. ఉదాహరణలతో పరిష్కారాన్ని చూద్దాం లాగరిథమిక్ సమస్యలువివిధ రకములు.

లాగరిథమ్ ఫార్ములాలను ఎలా ఉపయోగించాలి: ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలతో

కాబట్టి, లాగరిథమ్‌ల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఆస్తిని విస్తరించడానికి అవసరమైన పనులలో ఉపయోగించవచ్చు గొప్ప ప్రాముఖ్యతసంఖ్యలు బి సాధారణ కారకాలుగా. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 4 + లాగ్ 2 128 = లాగ్ 2 (4*128) = లాగ్ 2 512. సమాధానం 9.
లాగ్ 4 8 = లాగ్ 2 2 2 3 = 3/2 లాగ్ 2 2 = 1.5 - మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్ పవర్ యొక్క నాల్గవ ఆస్తిని ఉపయోగించి, మేము సంక్లిష్టమైన మరియు పరిష్కరించలేని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించగలిగాము. మీరు బేస్‌ను కారకం చేసి, ఆపై లాగరిథమ్ గుర్తు నుండి ఘాతాంక విలువలను తీసుకోవాలి.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి అసైన్‌మెంట్‌లు

లాగరిథమ్‌లు తరచుగా కనిపిస్తాయి ప్రవేశ పరీక్షలు, ప్రత్యేకించి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో చాలా లాగరిథమిక్ సమస్యలు ( రాష్ట్ర పరీక్షపాఠశాల వదిలిపెట్టిన వారందరికీ). సాధారణంగా, ఈ పనులు పార్ట్ A (పరీక్షలో సులభమైన పరీక్ష భాగం)లో మాత్రమే కాకుండా, పార్ట్ C (అత్యంత సంక్లిష్టమైన మరియు భారీ పనులు) కూడా ఉంటాయి. పరీక్షకు "సహజ సంవర్గమానాలు" అనే అంశంపై ఖచ్చితమైన మరియు ఖచ్చితమైన జ్ఞానం అవసరం.

సమస్యలకు ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు అధికారిక నుండి తీసుకోబడ్డాయి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష ఎంపికలు. అటువంటి పనులను ఎలా పరిష్కరించాలో చూద్దాం.

ఇచ్చిన లాగ్ 2 (2x-1) = 4. పరిష్కారం:
వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాద్దాం, దానిని కొద్దిగా లాగ్ 2 (2x-1) = 2 2 సులభతరం చేద్దాం, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనకు 2x-1 = 2 4, కాబట్టి 2x = 17; x = 8.5.

అన్ని లాగరిథమ్‌లను ఒకే స్థావరానికి తగ్గించడం ఉత్తమం, తద్వారా పరిష్కారం గజిబిజిగా మరియు గందరగోళంగా ఉండదు.
సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలు సానుకూలంగా సూచించబడతాయి, కాబట్టి, సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క ఘాతాంకం మరియు దాని ఆధారాన్ని గుణకం వలె తీసుకున్నప్పుడు, సంవర్గమానం క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా ఉండాలి.

1.1 పూర్ణాంక ఘాతాంకం కోసం ఘాతాంకాన్ని నిర్ణయించడం

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N సార్లు

1.2 జీరో డిగ్రీ.

నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సాధారణంగా అంగీకరించబడింది సున్నా డిగ్రీఏదైనా సంఖ్య 1కి సమానం:

1.3 ప్రతికూల డిగ్రీ.

X -N = 1/X N

1.4 పాక్షిక శక్తి, మూలం.

X యొక్క X 1/N = N రూట్.

ఉదాహరణకు: X 1/2 = √X.

1.5 అధికారాలను జోడించడానికి సూత్రం.

X (N+M) = X N *X M

1.6. అధికారాలను తీసివేయడానికి ఫార్ములా.

X (N-M) = X N /X M

1.7 శక్తులను గుణించడం కోసం సూత్రం.

X N*M = (X N) M

1.8 భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచడానికి సూత్రం.

(X/Y) N = X N /Y N

2. సంఖ్య ఇ.

సంఖ్య e విలువ క్రింది పరిమితికి సమానం:

E = లిమ్(1+1/N), N → ∞ వలె.

17 అంకెల ఖచ్చితత్వంతో, సంఖ్య e 2.71828182845904512.

3. ఆయిలర్ సమానత్వం.

ఈ సమానత్వం గణితంలో ప్రత్యేక పాత్ర పోషిస్తున్న ఐదు సంఖ్యలను కలుపుతుంది: 0, 1, ఇ, పై, ఊహాత్మక యూనిట్.

E (i*pi) + 1 = 0

4. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ exp(x)

exp(x) = e x

5. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఘాతాంక ఫంక్షన్ ఉంది విశేషమైన ఆస్తి: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఘాతాంక ఫంక్షన్‌కు సమానం:

(exp(x))" = exp(x)

6. సంవర్గమానం.

6.1 లాగరిథమ్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం

x = b y అయితే, సంవర్గమానం ఫంక్షన్

Y = లాగ్ బి(x).

సంవర్గమానం సంఖ్యను ఏ శక్తికి పెంచాలి అని చూపుతుంది - ఇచ్చిన సంఖ్యను (X) పొందేందుకు సంవర్గమానం (బి) యొక్క ఆధారం. సంవర్గమానం ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువ X కోసం నిర్వచించబడింది.

ఉదాహరణకు: లాగ్ 10 (100) = 2.

6.2 దశాంశ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ 10కి సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ 10 (x) .

లాగ్(x) ద్వారా సూచించబడుతుంది: లాగ్(x) = లాగ్ 10 (x).

వినియోగ ఉదాహరణ దశాంశ సంవర్గమానం- డెసిబెల్.

6.3 డెసిబెల్

అంశం ప్రత్యేక పేజీ డెసిబెల్‌లో హైలైట్ చేయబడింది

6.4 బైనరీ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ 2 సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ 2 (x).

Lg(x)తో సూచించబడింది: Lg(x) = లాగ్ 2 (X)

6.5 సహజ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ ఇకి సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ ఇ (x) .

Ln(x) ద్వారా సూచించబడుతుంది: Ln(x) = లాగ్ ఇ (X)
సహజ సంవర్గమానం - విలోమ ఫంక్షన్ఘాతాంకానికి విధులు ఎక్స్(X).

6.6 లక్షణ పాయింట్లు

లోగా(1) = 0
లాగ్ a (a) = 1

6.7 ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ ఫార్ములా

లాగ్ a (x*y) = లాగ్ ఎ (x)+లాగ్ ఎ (y)

6.8 గుణగణం యొక్క సంవర్గమానం కోసం ఫార్ములా

లాగ్ a (x/y) = లాగ్ ఎ (x)-లాగ్ ఎ (y)

6.9 శక్తి సూత్రం యొక్క సంవర్గమానం

లాగ్ a (x y) = y*Log a (x)

6.10 వేరే బేస్‌తో లాగరిథమ్‌కి మార్చడానికి ఫార్ములా

లాగ్ బి (x) = (లాగ్ ఎ (x))/లాగ్ ఎ (బి)

ఉదాహరణ:

లాగ్ 2 (8) = లాగ్ 10 (8)/లాగ్ 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. జీవితంలో ఉపయోగకరమైన సూత్రాలు

తరచుగా వాల్యూమ్‌ను ప్రాంతం లేదా పొడవుగా మార్చడంలో సమస్యలు ఉన్నాయి విలోమ సమస్య-- ప్రాంతాన్ని వాల్యూమ్‌గా మార్చడం. ఉదాహరణకు, బోర్డులు క్యూబ్స్ (క్యూబిక్ మీటర్లు)లో అమ్ముడవుతాయి మరియు దీనిలో ఉన్న బోర్డులతో ఎంత గోడ విస్తీర్ణం కవర్ చేయబడుతుందో మనం లెక్కించాలి. ఒక నిర్దిష్ట వాల్యూమ్, బోర్డుల గణన చూడండి, ఒక క్యూబ్‌లో ఎన్ని బోర్డులు ఉన్నాయి. లేదా, గోడ యొక్క కొలతలు తెలిసినట్లయితే, మీరు ఇటుకల సంఖ్యను లెక్కించాలి, ఇటుక లెక్కింపు చూడండి.

మూలానికి సక్రియ లింక్ ఇన్‌స్టాల్ చేయబడితే సైట్ మెటీరియల్‌లను ఉపయోగించడానికి ఇది అనుమతించబడుతుంది.

సంబంధించి

ఇచ్చిన ఇతర రెండు వాటి నుండి మూడు సంఖ్యలలో దేనినైనా కనుగొనే పనిని సెట్ చేయవచ్చు. a మరియు N ఇచ్చినట్లయితే, అవి ఘాతాంకం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. డిగ్రీ x (లేదా శక్తికి పెంచడం) యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా N మరియు ఆపై a ఇవ్వబడినట్లయితే. ఇప్పుడు a మరియు N ఇచ్చిన సందర్భాన్ని పరిగణించండి, మనం xని కనుగొనాలి.

సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి: a సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఒకదానికి సమానం కాదు: .

నిర్వచనం. సంఖ్య N యొక్క సంవర్గమానం ఆధారం aకి సంఖ్య N ను పొందేందుకు తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం; సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది

అందువలన, సమానత్వంలో (26.1) ఘాతాంకం a బేస్ కు N యొక్క సంవర్గమానంగా కనుగొనబడింది. పోస్ట్‌లు

కలిగి ఉంటాయి అదే అర్థం. సమానత్వం (26.1) కొన్నిసార్లు లాగరిథమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన గుర్తింపుగా పిలువబడుతుంది; వాస్తవానికి ఇది లాగరిథమ్ భావన యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. ద్వారా ఈ నిర్వచనంసంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఐక్యతకు భిన్నంగా ఉంటుంది; సంవర్గమాన సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి లాగరిథమ్‌లు లేవు. ఇచ్చిన ఆధారంతో ఏదైనా సంఖ్య బాగా నిర్వచించబడిన సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించవచ్చు. కాబట్టి సమానత్వం ఉంటుంది. ఇక్కడ ముఖ్యమైన పరిస్థితి అని గమనించండి లేకుంటే x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానత్వం సరైనది కనుక ముగింపు సమర్థించబడదు.

ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి

పరిష్కారం. సంఖ్యను పొందేందుకు, మీరు తప్పనిసరిగా బేస్ 2ని పవర్‌కి పెంచాలి.

అటువంటి ఉదాహరణలను క్రింది రూపంలో పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు గమనికలు చేయవచ్చు:

ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది

ఉదాహరణ 1 మరియు 2లో, సంవర్గమాన సంఖ్యను హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో బేస్ యొక్క శక్తిగా సూచించడం ద్వారా మేము కావలసిన లాగరిథమ్‌ను సులభంగా కనుగొన్నాము. IN సాధారణ కేసు, ఉదాహరణకు, మొదలైన వాటి కోసం, లాగరిథమ్ ఉన్నందున ఇది చేయలేము అహేతుక అర్థం. ఈ ప్రకటనకు సంబంధించిన ఒక సమస్యపై దృష్టి పెడతాము. పేరా 12లో మేము ఇచ్చిన ఏదైనా నిజమైన డిగ్రీని నిర్ణయించే అవకాశం యొక్క భావనను అందించాము సానుకూల సంఖ్య. లాగరిథమ్‌ల పరిచయం కోసం ఇది అవసరం, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, అహేతుక సంఖ్యలు కావచ్చు.

లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చూద్దాం.

లక్షణం 1. సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటే, సంవర్గమానం ఒకరికి సమానం, మరియు, దానికి విరుద్ధంగా, సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం అయితే, సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ద్వారా మనకు మరియు ఎక్కడి నుండి ఉందా

దీనికి విరుద్ధంగా, నిర్వచనం ప్రకారం తెన్

ప్రాపర్టీ 2. ఒకదాని నుండి ఏదైనా బేస్ యొక్క సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం.

రుజువు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం (ఏదైనా సానుకూల ఆధారం యొక్క సున్నా శక్తి ఒకదానికి సమానం, చూడండి (10.1)). ఇక్కడనుంచి

Q.E.D.

సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం: ఒకవేళ , అప్పుడు N = 1. నిజానికి, మనకు .

లాగరిథమ్‌ల యొక్క తదుపరి లక్షణాన్ని రూపొందించే ముందు, a మరియు b అనే రెండు సంఖ్యలు c కంటే ఎక్కువ లేదా c కంటే తక్కువగా ఉంటే మూడవ సంఖ్య cకి ఒకే వైపున ఉన్నాయని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము. ఈ సంఖ్యలలో ఒకటి c కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు మరొకటి c కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మేము అవి వెంట పడతాయని చెబుతాము వివిధ వైపులాగ్రామం నుండి

ఆస్తి 3. సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానిపై ఒకే వైపు ఉంటే, సంవర్గమానం సానుకూలంగా ఉంటుంది; సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానికి వ్యతిరేక వైపులా ఉంటే, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా లేదా ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే a యొక్క శక్తి ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది అనే వాస్తవం ఆధారంగా ఆస్తి 3 యొక్క రుజువు ఆధారపడి ఉంటుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే లేదా బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే శక్తి ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

పరిగణించవలసిన నాలుగు కేసులు ఉన్నాయి:

వాటిలో మొదటిదాన్ని విశ్లేషించడానికి మనం పరిమితం చేస్తాము; పాఠకుడు మిగిలిన వాటిని స్వయంగా పరిశీలిస్తాడు.

అప్పుడు సమానత్వంలో ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ 3. దిగువన ఉన్న లాగరిథమ్‌లలో ఏది ధనాత్మకమో మరియు ఏది ప్రతికూలమో కనుగొనండి:

పరిష్కారం, ఎ) సంఖ్య 15 మరియు బేస్ 12 ఒకదానిలో ఒకే వైపున ఉన్నందున;

బి) 1000 మరియు 2 యూనిట్ యొక్క ఒక వైపున ఉన్నందున; ఈ సందర్భంలో, సంవర్గమాన సంఖ్య కంటే బేస్ ఎక్కువగా ఉండటం ముఖ్యం కాదు;

సి) 3.1 మరియు 0.8 ఐక్యత యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి;

జి) ; ఎందుకు?

d) ; ఎందుకు?

కింది లక్షణాలు 4-6 తరచుగా సంవర్గమాన నియమాలు అని పిలుస్తారు: అవి కొన్ని సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లను తెలుసుకోవడం, వాటి ఉత్పత్తి, గుణకం మరియు వాటిలో ప్రతి డిగ్రీ యొక్క లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తాయి.

ఆస్తి 4 (ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ నియమం). ద్వారా అనేక ధనాత్మక సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ఈ ఆధారంగా మొత్తానికి సమానంఈ సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లు ఒకే స్థావరానికి ఉంటాయి.

రుజువు. ఇచ్చిన సంఖ్యలు సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి.

వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కోసం, మేము లాగరిథమ్‌ను నిర్వచించే సమానత్వం (26.1) వ్రాస్తాము:

ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము

మొదటి మరియు ఘాతాంకాలను పోల్చడం చివరి వ్యక్తీకరణలు, మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:

పరిస్థితి తప్పనిసరి అని గమనించండి; రెండు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం అర్ధమే, కానీ ఈ సందర్భంలో మనం పొందుతాము

సాధారణంగా, అనేక కారకాల ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటే, దాని సంవర్గమానం ఈ కారకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.

ప్రాపర్టీ 5 (కోటియంట్స్ యొక్క లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడానికి నియమం). ధనాత్మక సంఖ్యల గుణకం యొక్క సంవర్గమానం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది, అదే స్థావరానికి తీసుకోబడుతుంది. రుజువు. మేము స్థిరంగా కనుగొంటాము

Q.E.D.

ప్రాపర్టీ 6 (పవర్ లాగరిథమ్ రూల్). కొంత సానుకూల సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానానికి సమానంఈ సంఖ్య ఘాతాంకంతో గుణించబడుతుంది.

రుజువు. సంఖ్యకు ప్రధాన గుర్తింపు (26.1)ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

Q.E.D.

పర్యవసానం. ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మూలం యొక్క ఘాతాంకంతో విభజించబడిన రాడికల్ యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం:

ఆస్తి 6ని ఎలా ఉపయోగించాలో మరియు ఎలా ఉపయోగించాలో ఊహించడం ద్వారా ఈ పరిణామం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించవచ్చు.

ఉదాహరణ 4. a బేస్ చేయడానికి లాగరిథమ్ తీసుకోండి:

a) (అన్ని విలువలు b, c, d, e సానుకూలంగా ఉన్నాయని భావించబడుతుంది);

బి) (అని భావించబడుతుంది).

పరిష్కారం, a) ఇది వెళ్ళడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ఈ వ్యక్తీకరణపాక్షిక శక్తులకు:

సమానత్వం (26.5)-(26.7) ఆధారంగా మనం ఇప్పుడు వ్రాయవచ్చు:

సంఖ్యల కంటే సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లపై సరళమైన కార్యకలాపాలు జరుగుతాయని మేము గమనించాము: సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, వాటి లాగరిథమ్‌లు జోడించబడతాయి, విభజించేటప్పుడు అవి తీసివేయబడతాయి మొదలైనవి.

అందుకే కంప్యూటింగ్ ప్రాక్టీస్‌లో లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి (పేరా 29 చూడండి).

సంవర్గమానం యొక్క విలోమ చర్యను పొటెన్షియేషన్ అంటారు, అవి: పొటెన్షియేషన్ అనేది ఒక సంఖ్య యొక్క ఇచ్చిన లాగరిథమ్ నుండి సంఖ్యను కనుగొనే చర్య. ముఖ్యంగా, పొటెన్షియేషన్ అనేది ఏ ప్రత్యేక చర్య కాదు: ఇది ఒక స్థావరాన్ని శక్తికి పెంచడానికి వస్తుంది ( సంవర్గమానానికి సమానంసంఖ్యలు). "పొటెన్షియేషన్" అనే పదాన్ని "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" అనే పదానికి పర్యాయపదంగా పరిగణించవచ్చు.

పొటెన్షియేటింగ్ చేసినప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా సంవర్గమాన నియమాలకు విలోమ నియమాలను ఉపయోగించాలి: సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానంతో భర్తీ చేయండి, సంవర్గమానాల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయండి. ముఖ్యంగా, ముందు కారకం ఉంటే సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం, అప్పుడు పొటెన్షియేషన్ సమయంలో అది సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద ఘాతాంక డిగ్రీలకు బదిలీ చేయబడాలి.

ఉదాహరణ 5. N అని తెలిసినట్లయితే కనుగొనండి

పరిష్కారం. పొటెన్షియేషన్ యొక్క ఇప్పుడే పేర్కొన్న నియమానికి సంబంధించి, మేము ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్‌ల చిహ్నాల ముందు నిలబడి ఉన్న 2/3 మరియు 1/3 కారకాలను ఈ లాగరిథమ్‌ల సంకేతాల క్రింద ఘాతాంకాల్లోకి బదిలీ చేస్తాము; మాకు దొరికింది

ఇప్పుడు మనం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథంతో భర్తీ చేస్తాము:

ఈ సమానత్వాల గొలుసులోని చివరి భిన్నాన్ని పొందడానికి, మేము హారంలోని అహేతుకత నుండి మునుపటి భాగాన్ని విడిపించాము (నిబంధన 25).

ఆస్తి 7. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పెద్ద సంఖ్యపెద్ద సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు చిన్నది ఉంటుంది), ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే, పెద్ద సంఖ్యకు చిన్న సంవర్గమానం ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు పెద్దది ఉంటుంది).

ఈ ఆస్తి అసమానతల సంవర్గమానాలను తీసుకోవడానికి నియమం వలె రూపొందించబడింది, వీటిలో రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటాయి:

అసమానతల లాగరిథమ్‌లను బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది మరియు ఒక సంవర్గమానాన్ని ఒకటి కంటే తక్కువ బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది (పేరా 80 కూడా చూడండి).

రుజువు లక్షణాలు 5 మరియు 3పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకవేళ , ఆపై మరియు, లాగరిథమ్‌లను తీసుకుంటే, మేము పొందినప్పుడు కేసును పరిగణించండి

(a మరియు N/M ఏకత్వం యొక్క ఒకే వైపున ఉంటాయి). ఇక్కడనుంచి

కింది సందర్భం, పాఠకుడు దానిని స్వయంగా గుర్తించగలడు.