లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణను ఎలా పరిష్కరించాలి. సంవర్గమానం

ఆదిమ స్థాయి బీజగణితం యొక్క మూలకాలలో ఒకటి సంవర్గమానం. ఈ పేరు గ్రీకు భాష నుండి "సంఖ్య" లేదా "శక్తి" అనే పదం నుండి వచ్చింది మరియు అంతిమ సంఖ్యను కనుగొనడానికి బేస్‌లోని సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి అని అర్థం.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

• లాగ్ a b – a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ఆధారంగా b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం;
• లాగ్ బి - దశాంశ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ 10, a = 10);
• ln b – సహజ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ ఇ, a = ఇ).

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?

b నుండి a ఆధారిత సంవర్గమానం ఒక ఘాతాంకం, దీనికి bని బేస్ aకి పెంచాలి. పొందిన ఫలితం ఇలా ఉచ్ఛరిస్తారు: "b యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ a." సంవర్గమాన సమస్యలకు పరిష్కారం మీరు పేర్కొన్న సంఖ్యల నుండి సంఖ్యలలో ఇచ్చిన శక్తిని గుర్తించాలి. సంవర్గమానాన్ని గుర్తించడానికి లేదా పరిష్కరించడానికి, అలాగే సంజ్ఞామానాన్ని మార్చడానికి కొన్ని ప్రాథమిక నియమాలు ఉన్నాయి. వాటిని ఉపయోగించి, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి, ఉత్పన్నాలు కనుగొనబడతాయి, సమగ్రతలు పరిష్కరించబడతాయి మరియు అనేక ఇతర కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి. ప్రాథమికంగా, లాగరిథమ్‌కు పరిష్కారం దాని సరళీకృత సంజ్ఞామానం. క్రింద ప్రాథమిక సూత్రాలు మరియు లక్షణాలు ఉన్నాయి:

ఏదైనా ఒక కోసం; a > 0; a ≠ 1 మరియు ఏదైనా x ; y > 0.

• a log a b = b – ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు
• లాగ్ a 1 = 0
• లోగా a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• లాగ్ a 1/x = -లాగ్ a x
• log a x p = p log a x
• లాగ్ a k x = 1/k లాగ్ a x , k ≠ 0 కోసం
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రం
• లాగ్ a x = 1/లాగ్ x a

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి - పరిష్కరించడానికి దశల వారీ సూచనలు

• మొదట, అవసరమైన సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

దయచేసి గమనించండి: బేస్ సంవర్గమానం 10 అయితే, ప్రవేశం కుదించబడుతుంది, ఫలితంగా దశాంశ సంవర్గమానం వస్తుంది. సహజ సంఖ్య e ఉంటే, మేము దానిని వ్రాసి, దానిని సహజ సంవర్గమానానికి తగ్గిస్తాము. దీనర్థం అన్ని లాగరిథమ్‌ల ఫలితం b సంఖ్యను పొందేందుకు మూల సంఖ్యను పెంచిన శక్తి.

నేరుగా, ఈ డిగ్రీని లెక్కించడంలో పరిష్కారం ఉంది. సంవర్గమానంతో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించే ముందు, దానిని నియమం ప్రకారం సరళీకృతం చేయాలి, అంటే సూత్రాలను ఉపయోగించడం. మీరు వ్యాసంలో కొంచెం వెనక్కి వెళ్లడం ద్వారా ప్రధాన గుర్తింపులను కనుగొనవచ్చు.

రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలతో కానీ ఒకే బేస్‌లతో లాగరిథమ్‌లను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు, ఒక లాగరిథమ్‌తో వరుసగా b మరియు c సంఖ్యల ఉత్పత్తి లేదా విభజనతో భర్తీ చేయండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు మరొక స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు (పైన చూడండి).

మీరు లాగరిథమ్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగిస్తే, పరిగణించవలసిన కొన్ని పరిమితులు ఉన్నాయి. మరియు అది: సంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఒక సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే, కానీ ఒకదానికి సమానం కాదు. సంఖ్య b, a లాగా, తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం ద్వారా, మీరు సంవర్గమానాన్ని సంఖ్యాపరంగా లెక్కించలేని సందర్భాలు ఉన్నాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదని ఇది జరుగుతుంది, ఎందుకంటే అనేక శక్తులు అహేతుక సంఖ్యలు. ఈ పరిస్థితిలో, సంఖ్య యొక్క శక్తిని లాగరిథమ్‌గా వదిలివేయండి.

దాని నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఎసంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం వలె నిర్వచించబడింది aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).

ఈ సూత్రీకరణ నుండి అది గణనను అనుసరిస్తుంది x=లాగ్ ఎ బి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం a x =b.ఉదాహరణకి, లాగ్ 2 8 = 3ఎందుకంటే 8 = 2 3 . సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. సంవర్గమానాల అంశం సంఖ్య యొక్క శక్తుల అంశానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమవుతుంది.

లాగరిథమ్‌లతో, ఏదైనా సంఖ్యల మాదిరిగానే, మీరు చేయవచ్చు కూడిక, తీసివేత కార్యకలాపాలుమరియు సాధ్యమైన ప్రతి విధంగా మార్చండి. కానీ లాగరిథమ్‌లు పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, వాటి స్వంత ప్రత్యేక నియమాలు ఇక్కడ వర్తిస్తాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

ఒకే బేస్‌లతో రెండు లాగరిథమ్‌లను తీసుకుందాం: లాగ్ a xమరియు లాగ్ a y. అప్పుడు అదనంగా మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది:

లాగ్ a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

లాగ్ a(x 1 . x 2 . x 3 ... x కె) = లాగ్ a x 1 + లాగ్ a x 2 + లాగ్ a x 3 + ... + లాగ్ a x k.

నుండి సంవర్గమాన గణిత సిద్ధాంతంసంవర్గమానం యొక్క మరొక ఆస్తిని పొందవచ్చు. లాగ్ అని సాధారణ జ్ఞానం a 1= 0, కాబట్టి

లాగ్ a 1 /బి= చిట్టా a 1 - లాగ్ ఒక బి= -లాగ్ ఒక బి.

అంటే సమానత్వం ఉంది:

లాగ్ ఎ 1 / బి = - లాగ్ ఎ బి.

రెండు పరస్పర సంఖ్యల సంవర్గమానాలుఅదే కారణంతో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది. కాబట్టి:

లాగ్ 3 9= - లాగ్ 3 1 / 9 ; లాగ్ 5 1 / 125 = -లాగ్ 5 125.

సమస్య B7 సరళీకృతం చేయవలసిన కొన్ని వ్యక్తీకరణలను ఇస్తుంది. ఫలితం మీ జవాబు పత్రంలో వ్రాయబడే సాధారణ సంఖ్య అయి ఉండాలి. అన్ని వ్యక్తీకరణలు సాంప్రదాయకంగా మూడు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి:

1. లాగరిథమిక్,
2. సూచిక,
3. కలిపి.

వాటి స్వచ్ఛమైన రూపంలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు ఆచరణాత్మకంగా ఎప్పుడూ కనుగొనబడలేదు. అయితే, వాటిని ఎలా లెక్కించాలో తెలుసుకోవడం ఖచ్చితంగా అవసరం.

సాధారణంగా, సమస్య B7 చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది మరియు సగటు గ్రాడ్యుయేట్ యొక్క సామర్థ్యాలలో చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. స్పష్టమైన అల్గారిథమ్‌ల లేకపోవడం దాని ప్రామాణీకరణ మరియు మార్పులేని కారణంగా భర్తీ చేయబడుతుంది. మీరు చాలా శిక్షణ ద్వారా అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోవచ్చు.

లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు

B7 సమస్యలలో అధికభాగం ఒక రూపంలో లేదా మరొక రూపంలో లాగరిథమ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఈ అంశం సాంప్రదాయకంగా కష్టంగా పరిగణించబడుతుంది, ఎందుకంటే దీని అధ్యయనం సాధారణంగా 11 వ తరగతిలో జరుగుతుంది - చివరి పరీక్షలకు సామూహిక సన్నాహక యుగం. ఫలితంగా, చాలా మంది గ్రాడ్యుయేట్‌లకు లాగరిథమ్‌లపై చాలా అస్పష్టమైన అవగాహన ఉంది.

కానీ ఈ పనిలో ఎవరికీ లోతైన సైద్ధాంతిక జ్ఞానం అవసరం లేదు. సరళమైన తార్కికం అవసరమయ్యే మరియు స్వతంత్రంగా సులభంగా ప్రావీణ్యం పొందగల సరళమైన వ్యక్తీకరణలను మాత్రమే మేము ఎదుర్కొంటాము. లాగరిథమ్‌లను ఎదుర్కోవటానికి మీరు తెలుసుకోవలసిన ప్రాథమిక సూత్రాలు క్రింద ఉన్నాయి:

అదనంగా, మీరు తప్పనిసరిగా హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తులతో మూలాలు మరియు భిన్నాలను భర్తీ చేయగలగాలి, లేకుంటే కొన్ని వ్యక్తీకరణలలో లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద నుండి తీయడానికి ఏమీ ఉండదు. భర్తీ సూత్రాలు:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణల అర్థం కనుగొనండి:
లాగ్ 6 270 - లాగ్ 6 7.5
లాగ్ 5 775 - లాగ్ 5 6.2

మొదటి రెండు వ్యక్తీకరణలు లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసంగా మార్చబడతాయి:
లాగ్ 6 270 - లాగ్ 6 7.5 = లాగ్ 6 (270: 7.5) = లాగ్ 6 36 = 2;
లాగ్ 5 775 - లాగ్ 5 6.2 = లాగ్ 5 (775: 6.2) = లాగ్ 5 125 = 3.

మూడవ వ్యక్తీకరణను లెక్కించడానికి, మీరు శక్తులను వేరుచేయాలి - బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండింటిలోనూ. ముందుగా, అంతర్గత సంవర్గమానాన్ని కనుగొనండి:

అప్పుడు - బాహ్య:

ఫారమ్ లాగ్ ఎ లాగ్ బి x యొక్క నిర్మాణాలు చాలా క్లిష్టంగా మరియు తప్పుగా అర్థం చేసుకున్నట్లుగా అనిపిస్తాయి. ఇంతలో, ఇది కేవలం లాగరిథమ్ యొక్క సంవర్గమానం, అనగా. లాగ్ a (లాగ్ బి x ). మొదట, అంతర్గత సంవర్గమానం లెక్కించబడుతుంది (లాగ్ బి x = సి ఉంచండి), ఆపై బాహ్యమైనది: లాగ్ ఎ సి.

ప్రదర్శనాత్మక వ్యక్తీకరణలు

a మరియు k సంఖ్యలు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు మరియు a > 0 అనే ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా నిర్మాణాన్ని మేము ఘాతాంక వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తాము. అటువంటి వ్యక్తీకరణలతో పని చేసే పద్ధతులు చాలా సరళమైనవి మరియు 8వ తరగతి బీజగణిత పాఠాలలో చర్చించబడతాయి.

మీరు ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవలసిన ప్రాథమిక సూత్రాలు క్రింద ఉన్నాయి. ఆచరణలో ఈ సూత్రాల అప్లికేషన్, ఒక నియమం వలె, సమస్యలను కలిగించదు.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n - m ;
3. (a n) m = a n · m;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a: b) n = a n: b n.

మీరు శక్తులతో సంక్లిష్టమైన వ్యక్తీకరణను చూసినట్లయితే మరియు దానిని ఎలా చేరుకోవాలో స్పష్టంగా తెలియకపోతే, సార్వత్రిక సాంకేతికతను ఉపయోగించండి - సాధారణ కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం. ఫలితంగా, అధికారాల స్థావరాలలో పెద్ద సంఖ్యలు సాధారణ మరియు అర్థమయ్యే అంశాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. పై సూత్రాలను వర్తింపజేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది - మరియు సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణల విలువలను కనుగొనండి: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

పరిష్కారం. అధికారాల యొక్క అన్ని ఆధారాలను సాధారణ కారకాలుగా విడదీద్దాం:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

కంబైన్డ్ టాస్క్‌లు

మీకు సూత్రాలు తెలిస్తే, అన్ని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను అక్షరాలా ఒక లైన్‌లో పరిష్కరించవచ్చు. అయినప్పటికీ, సమస్య B7లో అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లు కలిపి చాలా బలమైన కలయికలను ఏర్పరుస్తాయి.

సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు, గ్రాఫ్, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, ప్రాథమిక సూత్రాలు, ఉత్పన్నం, సమగ్ర, పవర్ సిరీస్ విస్తరణ మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి ln x ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాతినిధ్యం ఇవ్వబడ్డాయి.

నిర్వచనం

సహజ సంవర్గమానంఫంక్షన్ y = ln x, ఘాతాంకం యొక్క విలోమం, x = e y, మరియు ఇది e సంఖ్య యొక్క ఆధారానికి సంవర్గమానం: ln x = లాగ్ ఇ x.

సహజ సంవర్గమానం గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది ఎందుకంటే దాని ఉత్పన్నం సరళమైన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: (ln x)′ = 1/ x.

ఆధారిత నిర్వచనాలు, సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం సంఖ్య ఇ:
ఇ ≅ 2.718281828459045...;
.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = ln x.

సహజ సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్ (ఫంక్షన్లు y = ln x y = x సరళ రేఖకు సంబంధించి అద్దం ప్రతిబింబం ద్వారా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రాఫ్ నుండి పొందబడుతుంది.

సహజ సంవర్గమానం వేరియబుల్ x యొక్క సానుకూల విలువల కోసం నిర్వచించబడింది. ఇది దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది.

x → వద్ద 0 సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి మైనస్ అనంతం (-∞).

x → + ∞ వలె, సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి ప్లస్ అనంతం (+ ∞). పెద్ద x కోసం, లాగరిథమ్ చాలా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంది. సానుకూల ఘాతాంకం aతో ఏదైనా పవర్ ఫంక్షన్ x a లాగరిథమ్ కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది.

సహజ సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలు

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, తీవ్రత, పెరుగుదల, తగ్గుదల

సహజ సంవర్గమానం అనేది ఒక మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతున్న ఫంక్షన్, కాబట్టి దీనికి తీవ్రత లేదు. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.

ln x విలువలు

ln 1 = 0

సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలు

విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది సూత్రాలు:

లాగరిథమ్‌ల యొక్క ప్రధాన లక్షణం మరియు దాని పరిణామాలు

బేస్ రీప్లేస్‌మెంట్ ఫార్ములా

బేస్ ప్రత్యామ్నాయ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఏదైనా లాగరిథమ్ సహజ సంవర్గమానాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఈ సూత్రాల యొక్క రుజువులు "లాగరిథమ్" విభాగంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.

విలోమ ఫంక్షన్

సహజ సంవర్గమానం యొక్క విలోమం ఘాతాంకం.

ఉంటే, అప్పుడు

ఒకవేళ, అప్పుడు.

ఉత్పన్నం ln x

సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
మాడ్యులస్ x యొక్క సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
n వ ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం:
.
సూత్రాలను పొందడం >>>

సమగ్ర

సమగ్రం భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
.
కాబట్టి,

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలు

కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ z ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:
.
కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్‌ని ఎక్స్‌ప్రెస్ చేద్దాం zమాడ్యూల్ ద్వారా ఆర్మరియు వాదన φ :
.
లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
.
లేదా
.
వాదన φ ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడలేదు. మీరు పెట్టినట్లయితే
, ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం,
ఇది వేర్వేరు n కోసం ఒకే సంఖ్యగా ఉంటుంది.

అందువల్ల, సహజ సంవర్గమానం, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క విధిగా, ఒకే-విలువ గల ఫంక్షన్ కాదు.

పవర్ సిరీస్ విస్తరణ

విస్తరణ ఎప్పుడు జరుగుతుంది:

ప్రస్తావనలు:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.

పనులు ఎవరి పరిష్కారం సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో సర్వసాధారణం.

కనీస సమయంతో వాటిని విజయవంతంగా ఎదుర్కోవటానికి, ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపులతో పాటు, మీరు మరికొన్ని సూత్రాలను తెలుసుకోవాలి మరియు సరిగ్గా ఉపయోగించాలి.

ఇది: ఒక లాగ్ a b = b, ఇక్కడ a, b > 0, a ≠ 1 (ఇది లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది).

లాగ్ a బి = లాగ్ సి బి / లాగ్ సి ఎ లేదా లాగ్ ఎ బి = 1/లాగ్ బి ఎ
ఇక్కడ a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

లాగ్ a m b n = (m/n) లాగ్ |a| |బి|
ఇక్కడ a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
ఇక్కడ a, b, c > 0 మరియు a, b, c ≠ 1

నాల్గవ సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటును చూపించడానికి, ఎడమ మరియు కుడి భుజాల సంవర్గమానాన్ని a ఆధారంగా తీసుకుందాం. మేము లాగ్ a (b తో ఒక లాగ్) = లాగ్ a (b లాగ్ తో a) లేదా b తో లాగ్ = a · log a bతో లాగ్ చేస్తాము; లాగ్ సి బి = లాగ్ సి ఎ · (లాగ్ సి బి / లాగ్ సి ఎ); b తో లాగ్ = b తో లాగ్.

మేము లాగరిథమ్‌ల సమానత్వాన్ని నిరూపించాము, అంటే లాగరిథమ్‌ల క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి. ఫార్ములా 4 నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 1.

81 లాగ్ 27 5 లాగ్ 5 4ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

లాగ్ 27 5 = 1/3 లాగ్ 3 5, లాగ్ 5 4 = లాగ్ 3 4 / లాగ్ 3 5. కాబట్టి,

లాగ్ 27 5 లాగ్ 5 4 = 1/3 లాగ్ 3 5 (లాగ్ 3 4 / లాగ్ 3 5) = 1/3 లాగ్ 3 4.

అప్పుడు 81 లాగ్ 27 5 లాగ్ 5 4 = (3 4) 1/3 లాగ్ 3 4 = (3 లాగ్ 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

మీరు ఈ క్రింది పనిని మీరే పూర్తి చేయవచ్చు.

లెక్కించు (8 లాగ్ 2 3 + 3 1/ లాగ్ 2 3) - లాగ్ 0.2 5.

సూచనగా, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; లాగ్ 0.2 5 = -1.

సమాధానం: 5.

ఉదాహరణ 2.

లెక్కించు (√11) లాగ్ √3 9- లాగ్ 121 81 .

పరిష్కారం.

వ్యక్తీకరణలను మారుద్దాం: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, లాగ్ √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, లాగ్ 121 81 = 2 లాగ్ 11 3 (ఫార్ములా 3 ఉపయోగించబడింది).

అప్పుడు (√11) లాగ్ √3 9- లాగ్ 121 81 = (11 1/2) 4-2 లాగ్ 11 3 = (11) 2- లాగ్ 11 3 = 11 2 / (11) లాగ్ 11 3 = 11 2 / ( 11 లాగ్ 11 3) = 121/3.

ఉదాహరణ 3.

లాగ్ 2 24 / లాగ్ 96 2 - లాగ్ 2 192 / లాగ్ 12 2ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

మేము ఉదాహరణలో ఉన్న లాగరిథమ్‌లను బేస్ 2తో లాగరిథమ్‌లతో భర్తీ చేస్తాము.

లాగ్ 96 2 = 1/లాగ్ 2 96 = 1/లాగ్ 2 (2 5 3) = 1/(లాగ్ 2 2 5 + లాగ్ 2 3) = 1/(5 + లాగ్ 2 3);

లాగ్ 2 192 = లాగ్ 2 (2 6 3) = (లాగ్ 2 2 6 + లాగ్ 2 3) = (6 + లాగ్ 2 3);

లాగ్ 2 24 = లాగ్ 2 (2 3 3) = (లాగ్ 2 2 3 + లాగ్ 2 3) = (3 + లాగ్ 2 3);

లాగ్ 12 2 = 1/లాగ్ 2 12 = 1/లాగ్ 2 (2 2 3) = 1/(లాగ్ 2 2 2 + లాగ్ 2 3) = 1/(2 + లాగ్ 2 3).

ఆపై లాగ్ 2 24 / లాగ్ 96 2 – లాగ్ 2 192 / లాగ్ 12 2 = (3 + లాగ్ 2 3) / (1/(5 + లాగ్ 2 3)) – ((6 + లాగ్ 2 3) / (1/( 2 + లాగ్ 2 3)) =

= (3 + లాగ్ 2 3) · (5 + లాగ్ 2 3) - (6 + లాగ్ 2 3)(2 + లాగ్ 2 3).

కుండలీకరణాలను తెరిచి, సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, మనకు సంఖ్య 3 వస్తుంది. (వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు, మేము లాగ్ 2 3ని n ద్వారా సూచించవచ్చు మరియు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చు

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

సమాధానం: 3.

మీరు ఈ క్రింది పనిని మీరే పూర్తి చేయవచ్చు:

లెక్కించు (లాగ్ 3 4 + లాగ్ 4 3 + 2) లాగ్ 3 16 లాగ్ 2 144 3.

ఇక్కడ బేస్ 3 లాగరిథమ్‌లకు పరివర్తన మరియు పెద్ద సంఖ్యల కారకాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం అవసరం.

సమాధానం: 1/2

ఉదాహరణ 4.

ఇచ్చిన మూడు సంఖ్యలు A = 1/(లాగ్ 3 0.5), B = 1/(లాగ్ 0.5 3), C = లాగ్ 0.5 12 – లాగ్ 0.5 3. వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చండి.

పరిష్కారం.

A = 1/(లాగ్ 3 0.5) = లాగ్ 0.5 3 సంఖ్యలను రూపాంతరం చేద్దాం; C = లాగ్ 0.5 12 – లాగ్ 0.5 3 = లాగ్ 0.5 12/3 = లాగ్ 0.5 4 = -2.

వాటిని పోల్చి చూద్దాం

లాగ్ 0.5 3 > లాగ్ 0.5 4 = -2 మరియు లాగ్ 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

లేదా 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

సమాధానం. కాబట్టి, సంఖ్యలను ఉంచే క్రమం: C; A; IN.

ఉదాహరణ 5.

విరామంలో ఎన్ని పూర్ణాంకాలు ఉన్నాయి (లాగ్ 3 1 / 16 ; లాగ్ 2 6 48).

పరిష్కారం.

సంఖ్య 3 యొక్క ఏ శక్తుల మధ్య 1/16 సంఖ్య ఉందో మనం నిర్ధారిద్దాం. మనకు 1/27 వస్తుంది< 1 / 16 < 1 / 9 .

ఫంక్షన్ y = log 3 x పెరుగుతున్నందున, లాగ్ 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

లాగ్ 6 48 = లాగ్ 6 (36 4 / 3) = లాగ్ 6 36 + లాగ్ 6 (4 / 3) = 2 + లాగ్ 6 (4 / 3). లాగ్ 6 (4/3) మరియు 1/5 పోల్చి చూద్దాం. మరియు దీని కోసం మేము 4/3 మరియు 6 1/5 సంఖ్యలను పోల్చాము. రెండు సంఖ్యలను 5వ శక్తికి పెంచుదాం. మనకు (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

లాగ్ 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

కాబట్టి, విరామం (లాగ్ 3 1 / 16 ; లాగ్ 6 48) విరామం [-2; 4] మరియు పూర్ణాంకాలు -2 దానిపై ఉంచబడ్డాయి; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

సమాధానం: 7 పూర్ణాంకాలు.

ఉదాహరణ 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

అప్పుడు 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.

సమాధానం: -1.

ఉదాహరణ 7.

లాగ్ 2 (√3 + 1) + లాగ్ 2 (√6 – 2) = A. లాగ్ 2 (√3 –1) + లాగ్ 2 (√6 + 2)ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

సంఖ్యలు (√3 + 1) మరియు (√3 - 1); (√6 – 2) మరియు (√6 + 2) సంయోగం.

వ్యక్తీకరణల యొక్క క్రింది పరివర్తనను చేద్దాం

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

ఆపై లాగ్ 2 (√3 – 1) + లాగ్ 2 (√6 + 2) = లాగ్ 2 (2/(√3 + 1)) + లాగ్ 2 (2/(√6 – 2)) =

లాగ్ 2 2 – లాగ్ 2 (√3 + 1) + లాగ్ 2 2 – లాగ్ 2 (√6 – 2) = 1 – లాగ్ 2 (√3 + 1) + 1 – లాగ్ 2 (√6 – 2) =

2 – లాగ్ 2 (√3 + 1) – లాగ్ 2 (√6 – 2) = 2 – A.

సమాధానం: 2 - ఎ.

ఉదాహరణ 8.

వ్యక్తీకరణ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను సరళీకరించండి మరియు కనుగొనండి (లాగ్ 3 2 లాగ్ 4 3 లాగ్ 5 4 లాగ్ 6 5... లాగ్ 10 9.

పరిష్కారం.

మనం అన్ని లాగరిథమ్‌లను సాధారణ బేస్ 10కి తగ్గిద్దాం.

(లాగ్ 3 2 లాగ్ 4 3 లాగ్ 5 4 లాగ్ 6 5 ... లాగ్ 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (lg 2 యొక్క సుమారు విలువను టేబుల్, స్లయిడ్ నియమం లేదా కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు).

సమాధానం: 0.3010.

ఉదాహరణ 9.

లాగ్ √ a b 3 = 1 అయితే లాగ్ a 2 b 3 √(a 11 b -3)ని లెక్కించండి. (ఈ ఉదాహరణలో, a 2 b 3 అనేది లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారం).

పరిష్కారం.

లాగ్ √ a b 3 = 1 అయితే, 3/(0.5 log a b = 1. మరియు లాగ్ a b = 1/6.

ఆపై a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ఆ లాగ్ a b = 1/ 6 మనకు (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.

సమాధానం: 2.1.

మీరు ఈ క్రింది పనిని మీరే పూర్తి చేయవచ్చు:

లాగ్ 0.7 27 = a అయితే లాగ్ √3 6 √2.1ని లెక్కించండి.

సమాధానం: (3 + ఎ) / (3 ఎ).

ఉదాహరణ 10.

6.5 4/ లాగ్ 3 169 · 3 1/ లాగ్ 4 13 + లాగ్125ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

6.5 4/ లాగ్ 3 169 · 3 1/ లాగ్ 4 13 + లాగ్ 125 = (13/2) 4/2 లాగ్ 3 13 · 3 2/ లాగ్ 2 13 + 2లాగ్ 5 5 3 = (13/2) 2 లాగ్ 13 3 3 2 లాగ్ 13 2 + 6 = (13 లాగ్ 13 3 / 2 లాగ్ 13 3) 2 (3 లాగ్ 13 2) 2 + 6 = (3/2 లాగ్ 13 3) 2 (3 లాగ్ 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 లాగ్ 13 3) 2) · (2 ​​లాగ్ 13 3) 2 + 6.

(2 లాగ్ 13 3 = 3 లాగ్ 13 2 (ఫార్ములా 4))

మనకు 9 + 6 = 15 వస్తుంది.

సమాధానం: 15.

ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణ విలువను ఎలా కనుగొనాలో తెలియదా?
ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి -.
మొదటి పాఠం ఉచితం!

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.