జ్ఞానం యొక్క హైపర్ మార్కెట్ >>గణితం >>గణితం 10వ తరగతి >>
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్
2x వ్యక్తీకరణను పరిశీలిద్దాం మరియు వేరియబుల్ x యొక్క వివిధ హేతుబద్ధ విలువల కోసం దాని విలువలను కనుగొనండి, ఉదాహరణకు, x = 2 కోసం;
సాధారణంగా, వేరియబుల్ xకి మనం ఏ హేతుబద్ధమైన అర్థాన్ని కేటాయించినా, 2 x వ్యక్తీకరణ యొక్క సంబంధిత సంఖ్యా విలువను మనం ఎల్లప్పుడూ లెక్కించవచ్చు. అందువలన, మేము ఘాతాంక గురించి మాట్లాడవచ్చు విధులు y=2 x, హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్ Qపై నిర్వచించబడింది:
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చూద్దాం.
ఆస్తి 1.- పనితీరును పెంచుతుంది. మేము రెండు దశల్లో రుజువును నిర్వహిస్తాము.
మొదటి దశ. r అనేది ధనాత్మక హేతుబద్ధ సంఖ్య అయితే, 2 r >1 అని నిరూపిద్దాం.
రెండు సందర్భాలు సాధ్యమే: 1) r అనేది సహజ సంఖ్య, r = n; 2) సాధారణ తగ్గించలేని భిన్నం,
మనకు ఉన్న చివరి అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున మరియు కుడి వైపున 1. అంటే చివరి అసమానతను రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు
కాబట్టి, ఏదైనా సందర్భంలో, అసమానత 2 r > 1 కలిగి ఉంది, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
రెండవ దశ. x 1 మరియు x 2 సంఖ్యలు మరియు x 1 మరియు x 2 గా ఉండనివ్వండి< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(మేము వ్యత్యాసాన్ని x 2 - x 1 అక్షరంతో సూచించాము).
r అనేది ధనాత్మక హేతుబద్ధ సంఖ్య కాబట్టి, మొదటి దశలో నిరూపించబడిన దాని ద్వారా, 2 r > 1, అనగా. 2 r -1 >0. సంఖ్య 2x" కూడా సానుకూలంగా ఉంది, అంటే ఉత్పత్తి 2 x-1 (2 Г -1) కూడా సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, మేము నిరూపించాము అసమానత 2 Xg -2x" >0.
కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
ఆస్తి 2.దిగువ నుండి పరిమితం చేయబడింది మరియు పై నుండి పరిమితం కాదు.
దిగువ నుండి ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దు అసమానత 2 x >0 నుండి అనుసరిస్తుంది, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి x యొక్క ఏదైనా విలువలకు చెల్లుతుంది. అదే సమయంలో, మీరు ఏ సానుకూల సంఖ్య M తీసుకున్నా, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఘాతాంకం xని ఎంచుకోవచ్చు, అంటే అసమానత 2 x >M సంతృప్తి చెందుతుంది - ఇది పై నుండి ఫంక్షన్ యొక్క అపరిమితతను వర్ణిస్తుంది. అనేక ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
ఆస్తి 3.చిన్నది లేదా పెద్దది కాదు.
ఈ ఫంక్షన్ చాలా ముఖ్యమైనది కాదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే, మనం ఇప్పుడు చూసినట్లుగా, ఇది పైన పరిమితం కాదు. కానీ ఇది దిగువ నుండి పరిమితం చేయబడింది, దీనికి కనీస విలువ ఎందుకు లేదు?
2 r అనేది ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ అని అనుకుందాం (r అనేది కొంత హేతుబద్ధ సూచిక). q హేతుబద్ధ సంఖ్యను తీసుకుందాం<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
ఇదంతా బాగానే ఉంది, కానీ మనం y-2 x ఫంక్షన్‌ని హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్‌లో మాత్రమే ఎందుకు పరిగణిస్తాము, మొత్తం సంఖ్య రేఖపై లేదా కొన్ని నిరంతర విరామంలో తెలిసిన ఇతర ఫంక్షన్ల వలె ఎందుకు పరిగణించకూడదు నంబర్ లైన్? మమ్మల్ని ఆపేది ఏమిటి? పరిస్థితి గురించి ఆలోచిద్దాం.
సంఖ్య రేఖలో హేతుబద్ధం మాత్రమే కాకుండా, అహేతుక సంఖ్యలు కూడా ఉంటాయి. గతంలో అధ్యయనం చేసిన ఫంక్షన్ల కోసం ఇది మాకు ఇబ్బంది కలిగించలేదు. ఉదాహరణకు, x యొక్క హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువలు రెండింటికీ సమానంగా y = x2 ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను మేము కనుగొన్నాము: ఇది x యొక్క ఇచ్చిన విలువను వర్గీకరించడానికి సరిపోతుంది.
కానీ y=2 x ఫంక్షన్‌తో పరిస్థితి మరింత క్లిష్టంగా ఉంటుంది. వాదన xకి హేతుబద్ధమైన అర్థాన్ని ఇచ్చినట్లయితే, సూత్రప్రాయంగా xని లెక్కించవచ్చు (పేరాగ్రాఫ్ యొక్క ప్రారంభానికి మళ్లీ వెళ్లండి, ఇక్కడ మేము సరిగ్గా చేసాము). ఆర్గ్యుమెంట్ xకి అహేతుకమైన అర్థం ఇస్తే? ఎలా, ఉదాహరణకు, లెక్కించేందుకు? ఇది మాకు ఇంకా తెలియదు.
గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఒక మార్గాన్ని కనుగొన్నారు; ఆ విధంగా వారు తర్కించారు.
అని తెలిసింది 
హేతుబద్ధ సంఖ్యల క్రమాన్ని పరిగణించండి - ప్రతికూలత ద్వారా సంఖ్య యొక్క దశాంశ ఉజ్జాయింపులు:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
1.732 = 1.7320, మరియు 1.732050 = 1.73205 అని స్పష్టంగా ఉంది. అటువంటి పునరావృతాలను నివారించడానికి, మేము 0 సంఖ్యతో ముగిసే క్రమంలో ఉన్న సభ్యులను విస్మరిస్తాము.
అప్పుడు మేము పెరుగుతున్న క్రమాన్ని పొందుతాము:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
దీని ప్రకారం, క్రమం పెరుగుతుంది
ఈ క్రమం యొక్క అన్ని నిబంధనలు 22 కంటే తక్కువ సానుకూల సంఖ్యలు, అనగా. ఈ క్రమం పరిమితం. వీయర్‌స్ట్రాస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం (§ 30 చూడండి), ఒక క్రమం పెరుగుతూ మరియు పరిమితమై ఉంటే, అది కలుస్తుంది. అదనంగా, § 30 నుండి ఒక క్రమం కలుస్తుంటే, అది ఒక పరిమితి వరకు మాత్రమే చేస్తుందని మాకు తెలుసు. ఈ ఒక్క పరిమితిని సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ విలువగా పరిగణించాలని అంగీకరించారు. మరియు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ 2 యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కూడా కనుగొనడం చాలా కష్టం అని పట్టింపు లేదు; ఇది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య కావడం ముఖ్యం (అన్నింటికంటే, మేము చెప్పడానికి భయపడలేదు, ఉదాహరణకు, ఇది హేతుబద్ధమైన సమీకరణం యొక్క మూలం, 
త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క మూలం, ఈ సంఖ్యలు సరిగ్గా ఏమిటో ఆలోచించకుండా: 
కాబట్టి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు 2^ అనే చిహ్నంలో ఏ అర్థాన్ని ఉంచారో మేము కనుగొన్నాము. అదేవిధంగా, మీరు ఏ మరియు సాధారణంగా a అంటే ఏమిటో నిర్ణయించవచ్చు, ఇక్కడ a అనిష్ప సంఖ్య మరియు a > 1.
కానీ 0 అయితే<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
ఇప్పుడు మనం ఏకపక్ష హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో ఉన్న అధికారాల గురించి మాత్రమే కాకుండా, ఏకపక్ష వాస్తవ ఘాతాంకాలతో ఉన్న అధికారాల గురించి కూడా మాట్లాడవచ్చు. ఏదైనా నిజమైన ఘాతాంకాలతో ఉన్న డిగ్రీలు డిగ్రీల యొక్క అన్ని సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయని నిరూపించబడింది: అదే స్థావరాలతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి, విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి, డిగ్రీని శక్తికి పెంచినప్పుడు, అవి గుణించబడతాయి, మొదలైనవి కానీ చాలా ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, ఇప్పుడు మనం అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో నిర్వచించిన ఫంక్షన్ y-ax గురించి మాట్లాడవచ్చు.
y = 2 x ఫంక్షన్‌కి తిరిగి వచ్చి దాని గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, y=2x ఫంక్షన్ విలువల పట్టికను సృష్టిద్దాం:
కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ (Fig. 194) పై పాయింట్లను గుర్తించండి, అవి ఒక నిర్దిష్ట రేఖను గుర్తించాయి, దానిని గీయండి (Fig. 195).
ఫంక్షన్ y - 2 x లక్షణాలు:
1)
2) సరి లేదా బేసి కాదు; 248
3) పెరుగుతుంది;
5) అతిపెద్ద లేదా చిన్న విలువలు లేవు;
6) నిరంతర;
7)
8) కుంభాకార క్రిందికి.
y-2 x ఫంక్షన్ యొక్క జాబితా చేయబడిన లక్షణాల యొక్క కఠినమైన రుజువులు ఉన్నత గణితంలో ఇవ్వబడ్డాయి. మేము ఈ లక్షణాలలో కొన్నింటిని ఒక డిగ్రీ లేదా మరొకటి ముందుగా చర్చించాము, వాటిలో కొన్ని నిర్మించబడిన గ్రాఫ్ ద్వారా స్పష్టంగా ప్రదర్శించబడ్డాయి (Fig. 195 చూడండి). ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సమానత్వం లేదా అసమానత లేకపోవడం అనేది గ్రాఫ్ యొక్క సమరూపత లేకపోవటానికి రేఖాగణితంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, ఇది y-అక్షానికి సంబంధించి లేదా మూలానికి సంబంధించి.
y = a x ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్, ఇక్కడ a > 1, సారూప్య లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది. అంజీర్లో. ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో 196 నిర్మించబడ్డాయి, ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y=2 x, y=3 x, y=5 x.
ఇప్పుడు ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిద్దాం మరియు దాని కోసం విలువల పట్టికను రూపొందించండి:
కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ (Fig. 197) పై పాయింట్లను గుర్తించండి, అవి ఒక నిర్దిష్ట రేఖను గుర్తించాయి, దానిని గీయండి (Fig. 198).
ఫంక్షన్ లక్షణాలు
1)
2) సరి లేదా బేసి కాదు;
3) తగ్గుతుంది;
4) పై నుండి పరిమితం కాదు, దిగువ నుండి పరిమితం;
5) పెద్దది లేదా చిన్నది కాదు;
6) నిరంతర;
7)
8) కుంభాకార క్రిందికి.
y = a x రూపం యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ ఒకే విధమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
దయచేసి గమనించండి: ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు 
ఆ. y=2 x, y-అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది (Fig. 201). ఇది సాధారణ ప్రకటన యొక్క పరిణామం (§ 13 చూడండి): y = f(x) మరియు y = f(-x) ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y-యాక్సిస్ గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి. అదేవిధంగా, ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y = 3 x మరియు
చెప్పబడినదానిని సంగ్రహించడానికి, మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కి నిర్వచనం ఇస్తాము మరియు దాని అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలను హైలైట్ చేస్తాము.
నిర్వచనం.ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అంటారు.
ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు y = a x
a> 1 కోసం y=a x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అంజీర్లో చూపబడింది. 201, మరియు 0 కోసం<а < 1 - на рис. 202.
అంజీర్లో చూపిన వక్రరేఖ. 201 లేదా 202ని ఘాతాంకం అంటారు. వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సాధారణంగా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను y = a x అని పిలుస్తారు. కాబట్టి "ఘాతాంకం" అనే పదాన్ని రెండు అర్థాలలో ఉపయోగిస్తారు: రెండూ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు పేరు పెట్టడానికి మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు పేరు పెట్టడానికి. సాధారణంగా మనం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ గురించి మాట్లాడుతున్నామా లేదా దాని గ్రాఫ్ గురించి మాట్లాడుతున్నామా అనే అర్థం స్పష్టంగా ఉంటుంది.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ y=ax యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క రేఖాగణిత లక్షణానికి శ్రద్ధ వహించండి: x-axis అనేది గ్రాఫ్ యొక్క క్షితిజ సమాంతర లక్షణం. నిజమే, ఈ ప్రకటన సాధారణంగా క్రింది విధంగా స్పష్టం చేయబడుతుంది.
x-అక్షం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క క్షితిజ సమాంతర లక్షణం
వేరే పదాల్లో
మొదటి ముఖ్యమైన గమనిక. పాఠశాల పిల్లలు తరచుగా నిబంధనలను గందరగోళానికి గురిచేస్తారు: పవర్ ఫంక్షన్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్. సరిపోల్చండి:
ఇవి పవర్ ఫంక్షన్లకు ఉదాహరణలు; 
ఇవి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్లకు ఉదాహరణలు.
సాధారణంగా, y = x r, ఇక్కడ r అనేది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, ఇది పవర్ ఫంక్షన్ (తర్కం x అనేది డిగ్రీ యొక్క ఆధారంలో ఉంటుంది);
y = a", ఇక్కడ a అనేది ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య (పాజిటివ్ మరియు 1 నుండి భిన్నమైనది), ఒక ఘాతాంక విధి (ఆర్గ్యుమెంట్ x ఘాతాంకంలో ఉంటుంది).
y = x" వంటి "అన్యదేశ" ఫంక్షన్ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ లేదా పవర్ గా పరిగణించబడదు (దీనిని కొన్నిసార్లు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ అని పిలుస్తారు).
రెండవ ముఖ్యమైన గమనిక. సాధారణంగా ఒక ఘాతాంక ఫంక్షన్‌ను బేస్ a = 1తో లేదా అసమానతను సంతృప్తిపరిచే బేస్‌తో పరిగణించరు.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 మరియు a వాస్తవం ఏమిటంటే, a = 1 అయితే, x యొక్క ఏదైనా విలువకు Ix = 1 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది. ఆ విధంగా, ఘాతాంక ఫంక్షన్ y = a" a = 1తో "క్షీణింపబడుతుంది" స్థిరమైన ఫంక్షన్ y = 1 - ఇది ఒక = 0 అయితే, x యొక్క ఏదైనా ధనాత్మక విలువ కోసం 0x = 0, అంటే x > 0 కోసం నిర్వచించబడిన y = 0 ఫంక్షన్‌ని మనం పొందుతాము - ఇది కూడా రసహీనమైనది. అయితే, చివరకు, a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి వెళ్లే ముందు, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మీరు ఇప్పటివరకు అధ్యయనం చేసిన అన్ని ఫంక్షన్ల నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉందని గమనించండి. క్రొత్త వస్తువును పూర్తిగా అధ్యయనం చేయడానికి, మీరు దానిని వివిధ కోణాల నుండి, విభిన్న పరిస్థితులలో పరిగణించాలి, కాబట్టి చాలా ఉదాహరణలు ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 1.
పరిష్కారం, a) ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో y = 2 x మరియు y = 1 ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందించిన తర్వాత, వాటికి ఒక సాధారణ పాయింట్ (0; 1) ఉందని మేము గమనించాము (Fig. 203). అంటే 2x = 1 సమీకరణం x =0 అనే ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
కాబట్టి, 2x = 2° సమీకరణం నుండి మనకు x = 0 వస్తుంది.
బి) ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో y = 2 x మరియు y = 4 ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించి, వాటికి ఒక సాధారణ పాయింట్ (2; 4) ఉందని మేము గమనించాము (Fig. 203). అంటే 2x = 4 అనే సమీకరణం x = 2 అనే ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
కాబట్టి, 2 x = 2 2 సమీకరణం నుండి మనకు x = 2 వస్తుంది.
c) మరియు d) అదే పరిశీలనల ఆధారంగా, 2 x = 8 సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉందని మేము నిర్ధారించాము మరియు దానిని కనుగొనడానికి, సంబంధిత ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు;
2 3 = 8 నుండి x = 3 అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అదేవిధంగా, మేము సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని కనుగొంటాము
కాబట్టి, 2x = 2 3 సమీకరణం నుండి మనకు x = 3 వచ్చింది మరియు 2 x = 2 x సమీకరణం నుండి మనకు x = -4 వచ్చింది.
ఇ) y = 2 x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ x > 0 కోసం y = 1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంది - ఇది అంజీర్లో స్పష్టంగా చదవబడుతుంది. 203. అసమానత 2x > 1కి పరిష్కారం విరామం అని దీని అర్థం
f) ఫంక్షన్ y = 2 x యొక్క గ్రాఫ్ x వద్ద y = 4 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ దిగువన ఉంది<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
ఉదాహరణ 1ని పరిష్కరించేటప్పుడు చేసిన అన్ని తీర్మానాలకు ఆధారం y = 2 x ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ (పెరుగుదల) యొక్క ఆస్తి అని మీరు బహుశా గమనించవచ్చు. ఇలాంటి తార్కికం కింది రెండు సిద్ధాంతాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది.
పరిష్కారం.మీరు ఇలా కొనసాగించవచ్చు: y-3 x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి, ఆపై దానిని x అక్షం నుండి 3 కారకం ద్వారా విస్తరించండి, ఆపై ఫలిత గ్రాఫ్‌ను 2 స్కేల్ యూనిట్‌ల ద్వారా పెంచండి. కానీ 3- 3* = 3 * + 1 అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది మరియు అందువలన, y = 3 x * 1 + 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.
అటువంటి సందర్భాలలో మనం చాలాసార్లు చేసినట్లుగా, అంజీర్లో చుక్కల పంక్తులు x = - 1 మరియు 1x = 2 పాయింట్ (-1; 2) వద్ద మూలం ఉన్న సహాయక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కి వెళ్దాం. 207. y=3* ఫంక్షన్‌ని కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కి “లింక్” చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్ కోసం కంట్రోల్ పాయింట్లను ఎంచుకోండి 
, కానీ మేము వాటిని పాతది కాదు, కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్మిస్తాము (ఈ పాయింట్లు అంజీర్ 207 లో గుర్తించబడ్డాయి). అప్పుడు మేము పాయింట్ల నుండి ఒక ఘాతాంకాన్ని నిర్మిస్తాము - ఇది అవసరమైన గ్రాఫ్ (Fig. 207 చూడండి).
సెగ్మెంట్ [-2, 2]లో ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ పెరుగుతోందనే వాస్తవాన్ని మేము సద్వినియోగం చేసుకుంటాము మరియు అందువల్ల ఇది వరుసగా దాని చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను తీసుకుంటుంది సెగ్మెంట్ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి చివరలు.
కాబట్టి:
ఉదాహరణ 4.సమీకరణం మరియు అసమానతలను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం, a) ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో y=5* మరియు y=6-x ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము (Fig. 208). అవి ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి; డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించడం, ఇది పాయింట్ (1; 5). వాస్తవానికి పాయింట్ (1; 5) సమీకరణం y = 5* మరియు సమీకరణం y = 6-x రెండింటినీ సంతృప్తిపరుస్తుందని చెక్ చూపిస్తుంది. ఈ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలంగా పనిచేస్తుంది.
కాబట్టి, 5 x = 6 - x సమీకరణం x = 1 అనే ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
b) మరియు c) ఘాతాంకం y-5x సరళ రేఖ y=6-x పైన ఉంటుంది, x>1 అయితే, ఇది అంజీర్లో స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. 208. అంటే అసమానత 5*>6 యొక్క పరిష్కారాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: x>1. మరియు అసమానత 5x కు పరిష్కారం<6 - х можно записать так: х < 1.
సమాధానం: a)x = 1; బి)x>1; c)x<1.
ఉదాహరణ 5.ఒక ఫంక్షన్ ఇచ్చారు 
నిరూపించు 
పరిష్కారం.మనకున్న షరతు ప్రకారం.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్
y = a రూపం యొక్క విధి x , ఒక సున్నా కంటే ఎక్కువ మరియు a ఒకదానికి సమానం కానప్పుడు ఘాతాంక ఫంక్షన్ అంటారు. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు:
1. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితిగా ఉంటుంది.
2. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధి అన్ని సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యల సమితిగా ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు ఈ సెట్ సంక్షిప్తత కోసం R+గా సూచించబడుతుంది.
3. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లో బేస్ a ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, ఆ ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ మొత్తం డొమైన్‌లో పెరుగుతుంది. బేస్ కోసం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లో ఉంటే, కింది షరతు 0 సంతృప్తి చెందుతుంది
4. డిగ్రీల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి. డిగ్రీల యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు క్రింది సమానత్వం ద్వారా సూచించబడతాయి:
a x * a వై = ఎ (x+y) ;
(ఎ x )/(ఎ వై ) = ఎ (x-y) ;
(a*b) x = (ఎ x )*(ఎ వై );
(a/b) x = ఎ x /బి x ;
(ఎ x ) వై = ఎ (x * y) .
ఈ సమానతలు x మరియు y యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువలకు చెల్లుబాటు అవుతాయి.
5. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎల్లప్పుడూ కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ గుండా వెళుతుంది (0;1)
6. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా అనేదానిపై ఆధారపడి, దాని గ్రాఫ్ రెండు రూపాల్లో ఒకటి ఉంటుంది.
కింది బొమ్మ పెరుగుతున్న ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది: a>0.
కింది బొమ్మ తగ్గుతున్న ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది: 0
ఐదవ పేరాలో వివరించిన ఆస్తి ప్రకారం, పెరుగుతున్న ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు తగ్గుతున్న ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ రెండూ పాయింట్ (0;1) గుండా వెళతాయి.
7. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు ఉండవు, అంటే, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్లను కలిగి ఉండదు. మేము ఏదైనా నిర్దిష్ట విభాగంలో ఫంక్షన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఈ విరామం చివరలో ఫంక్షన్ కనిష్ట మరియు గరిష్ట విలువలను తీసుకుంటుంది.
8. ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అనేది సాధారణ రూపం యొక్క ఫంక్షన్. ఇది గ్రాఫ్‌ల నుండి చూడవచ్చు; వాటిలో ఏదీ Oy అక్షానికి సంబంధించి లేదా కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉండదు.
సంవర్గమానం
పాఠశాల గణిత కోర్సులలో లాగరిథమ్‌లు ఎల్లప్పుడూ కష్టమైన అంశంగా పరిగణించబడతాయి. సంవర్గమానం యొక్క అనేక విభిన్న నిర్వచనాలు ఉన్నాయి, కానీ కొన్ని కారణాల వలన చాలా పాఠ్యపుస్తకాలు వాటిలో అత్యంత సంక్లిష్టమైన మరియు విజయవంతం కాని వాటిని ఉపయోగిస్తాయి.
మేము లాగరిథమ్‌ను సరళంగా మరియు స్పష్టంగా నిర్వచిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, పట్టికను సృష్టించండి:
కాబట్టి, మనకు రెండు అధికారాలు ఉన్నాయి. మీరు దిగువ రేఖ నుండి సంఖ్యను తీసుకుంటే, ఈ సంఖ్యను పొందడానికి మీరు రెండు పెంచాల్సిన శక్తిని మీరు సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, 16 పొందడానికి, మీరు నాల్గవ శక్తికి రెండు పెంచాలి. మరియు 64 పొందడానికి, మీరు రెండు ఆరవ శక్తికి పెంచాలి. ఇది టేబుల్ నుండి చూడవచ్చు.
మరియు ఇప్పుడు - వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం:
నిర్వచనం
సంవర్గమానంవాదన x యొక్క ఆధారం సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి a సంఖ్యను పొందడానికి x.
హోదా
లాగ్ a x = b
ఇక్కడ a అనేది ఆధారం, x అనేది వాదన, b - వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ దేనికి సమానం.
ఉదాహరణకు, 2 3 = 8 ⇒ లాగ్ 2 8 = 3 (8 యొక్క బేస్ 2 సంవర్గమానం మూడు ఎందుకంటే 2 3 = 8). అదే విజయంతో, 2 6 = 64 నుండి 2 64 = 6ని లాగ్ చేయండి.
ఇచ్చిన స్థావరానికి సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్‌ను కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారుసంవర్గమానం . కాబట్టి, మన పట్టికకు కొత్త పంక్తిని చేర్చుదాము:
దురదృష్టవశాత్తు, అన్ని లాగరిథమ్‌లు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 5ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. సంఖ్య 5 పట్టికలో లేదు, కానీ లాజిక్ విరామంలో ఎక్కడో లాగరిథమ్ ఉంటుందని నిర్దేశిస్తుంది. ఎందుకంటే 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
అటువంటి సంఖ్యలను అహేతుకం అంటారు: దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలను అనంతంగా వ్రాయవచ్చు మరియు అవి ఎప్పుడూ పునరావృతం కావు. సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, దానిని ఆ విధంగా వదిలివేయడం మంచిది: లాగ్ 2 5, లాగ్ 3 8, లాగ్ 5 100.
సంవర్గమానం అనేది రెండు వేరియబుల్స్ (బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్)తో కూడిన వ్యక్తీకరణ అని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మొదట్లో, చాలా మంది ఆధారం ఎక్కడ మరియు వాదన ఎక్కడ అని గందరగోళానికి గురవుతారు. బాధించే అపార్థాలను నివారించడానికి, చిత్రాన్ని చూడండి:
మన ముందు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ లేదు. గుర్తుంచుకోండి: సంవర్గమానం ఒక శక్తి , వాదనను పొందేందుకు బేస్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి.ఇది శక్తికి పెంచబడిన బేస్ - ఇది చిత్రంలో ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడింది. ఇది బేస్ ఎల్లప్పుడూ దిగువన ఉంటుంది! నేను నా విద్యార్థులకు ఈ అద్భుతమైన నియమాన్ని మొదటి పాఠంలో చెబుతాను - మరియు గందరగోళం తలెత్తదు.
మేము నిర్వచనాన్ని కనుగొన్నాము - లాగరిథమ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో నేర్చుకోవడమే మిగిలి ఉంది, అనగా. "లాగ్" గుర్తును వదిలించుకోండి. ప్రారంభించడానికి, మేము దానిని గమనించాము నిర్వచనం నుండి రెండు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు అనుసరిస్తాయి:
ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్ ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఇది హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ద్వారా డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది, దీనికి సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం తగ్గించబడుతుంది.
ఆధారం తప్పనిసరిగా ఒకదానికి భిన్నంగా ఉండాలి, ఎందుకంటే ఒకటి ఏ స్థాయికి అయినా ఇప్పటికీ ఒకటిగానే ఉంటుంది.దీని కారణంగా, "రెండు పొందడానికి ఒకరిని ఏ శక్తికి పెంచాలి" అనే ప్రశ్న అర్థరహితం. అలాంటి డిగ్రీ లేదు!
అలాంటి ఆంక్షలుఅంటారు ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి(ODZ). లాగరిథమ్ యొక్క ODZ ఇలా కనిపిస్తుంది: లాగ్ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
దయచేసి గమనించండి సంఖ్యపై పరిమితులు లేవుబి (లాగరిథమ్ విలువ) అతివ్యాప్తి చెందదు. ఉదాహరణకు, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు: లాగ్ 2 0.5 = −1, ఎందుకంటే 0.5 = 2 -1.
అయితే, ఇప్పుడు మేము సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను మాత్రమే పరిశీలిస్తున్నాము, ఇక్కడ లాగరిథమ్ యొక్క VA తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు. సమస్యల రచయితలచే అన్ని పరిమితులు ఇప్పటికే పరిగణనలోకి తీసుకోబడ్డాయి. కానీ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు అమలులోకి వచ్చినప్పుడు, DL అవసరాలు తప్పనిసరి అవుతుంది. అన్నింటికంటే, ఆధారం మరియు వాదన చాలా బలమైన నిర్మాణాలను కలిగి ఉండవచ్చు, అవి పైన పేర్కొన్న పరిమితులకు అనుగుణంగా ఉండవు.
ఇప్పుడు సాధారణ పరిగణించండి లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడానికి పథకం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:
ఒక కారణం అందించండి a మరియు వాదన x ఒకటి కంటే ఎక్కువ కనీస సాధ్యం బేస్‌తో శక్తి రూపంలో. అలాగే, దశాంశాలను వదిలించుకోవడం మంచిది;
వేరియబుల్‌కు సంబంధించి పరిష్కరించండి b సమీకరణం: x = a b ;
ఫలిత సంఖ్య b సమాధానంగా ఉంటుంది.
అంతే! సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, ఇది మొదటి దశలో ఇప్పటికే కనిపిస్తుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉండాలనే అవసరం చాలా ముఖ్యమైనది: ఇది లోపం యొక్క సంభావ్యతను తగ్గిస్తుంది మరియు గణనలను బాగా సులభతరం చేస్తుంది. ఇది దశాంశ భిన్నాలతో సమానంగా ఉంటుంది: మీరు వెంటనే వాటిని సాధారణమైనవిగా మార్చినట్లయితే, చాలా తక్కువ లోపాలు ఉంటాయి.
నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ పథకం ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం:
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 5 25
ఆధారం మరియు వాదనను ఐదు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 2.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి:
బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మూడు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4 ;
సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
మేము సమాధానం అందుకున్నాము: −4.
−4
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 4 64
బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 3.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 16 1
బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 0.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 7 14
బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని ఏడు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 7 = 7 1 ; 7 1 నుండి 14 ఏడు శక్తిగా సూచించబడదు< 14 < 7 2 ;
మునుపటి పేరా నుండి లాగరిథమ్ లెక్కించబడదని అనుసరిస్తుంది;
సమాధానం మార్పు లేదు: లాగ్ 7 14.
లాగ్ 7 14
చివరి ఉదాహరణపై చిన్న గమనిక. ఒక సంఖ్య మరొక సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన శక్తి కాదని మీరు ఎలా నిర్ధారించగలరు? ఇది చాలా సులభం - దానిని ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించండి. విస్తరణకు కనీసం రెండు వేర్వేరు కారకాలు ఉంటే, సంఖ్య ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు.
సంఖ్యలు ఖచ్చితమైన శక్తులు కాదా అని కనుగొనండి: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ, ఎందుకంటే ఒకే ఒక గుణకం ఉంది;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు, ఎందుకంటే రెండు కారకాలు ఉన్నాయి: 3 మరియు 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ;
35 = 7 · 5 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు;
14 = 7 · 2 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన డిగ్రీ కాదు;
8, 81 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ; 48, 35, 14 - నం.
ప్రధాన సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ వాటి యొక్క ఖచ్చితమైన శక్తులు అని కూడా గమనించండి.
దశాంశ సంవర్గమానం
కొన్ని లాగరిథమ్‌లు చాలా సాధారణం కాబట్టి వాటికి ప్రత్యేక పేరు మరియు చిహ్నాలు ఉంటాయి.
నిర్వచనం
దశాంశ సంవర్గమానంవాదన x నుండి అనేది బేస్ 10కి సంవర్గమానం, అనగా. సంఖ్యను పొందడానికి 10 సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి x.
హోదా
lg x
ఉదాహరణకు, లాగ్ 10 = 1; లాగ్ 100 = 2; lg 1000 = 3 - మొదలైనవి.
ఇప్పటి నుండి, పాఠ్యపుస్తకంలో “Find lg 0.01” వంటి పదబంధం కనిపించినప్పుడు, ఇది అక్షర దోషం కాదని తెలుసుకోండి. ఇది దశాంశ సంవర్గమానం. అయితే, మీకు ఈ సంజ్ఞామానం తెలియకపోతే, మీరు దీన్ని ఎప్పుడైనా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
లాగ్ x = లాగ్ 10 x
సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన ప్రతిదీ దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు కూడా నిజం.
సహజ సంవర్గమానం
దాని స్వంత హోదాను కలిగి ఉన్న మరొక సంవర్గమానం ఉంది. కొన్ని మార్గాల్లో, ఇది దశాంశం కంటే చాలా ముఖ్యమైనది. మేము సహజ సంవర్గమానం గురించి మాట్లాడుతున్నాము.
నిర్వచనం
సహజ సంవర్గమానంవాదన x నుండి అనేది ఆధారానికి సంవర్గమానంఇ , అనగా సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తిఇ సంఖ్యను పొందడానికి x.
హోదా
ln x
చాలా మంది అడుగుతారు: సంఖ్య ఇ అంటే ఏమిటి? ఇది అకరణీయ సంఖ్య; దీని ఖచ్చితమైన విలువ కనుగొనబడదు మరియు వ్రాయబడదు. నేను మొదటి గణాంకాలను మాత్రమే ఇస్తాను:
ఇ = 2.718281828459...
ఈ సంఖ్య ఏమిటి మరియు అది ఎందుకు అవసరం అనే దాని గురించి మేము వివరంగా చెప్పము. ఇ అని గుర్తుంచుకోండి - సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం:
ln x = లాగ్ ఇ x
అందువలన ln e = 1; ln e 2 = 2; ఇ 16 = 16 - మొదలైనవి. మరోవైపు, ln 2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య. సాధారణంగా, ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క సహజ సంవర్గమానం అహేతుకం. తప్ప, ఒకదానికి: ln 1 = 0.
సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం, సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సరైన అన్ని నియమాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి.
లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు ఖచ్చితంగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, వాటికి వాటి స్వంత నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని ప్రాథమిక లక్షణాలు అంటారు.
మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా ఒక్క తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం
ఒకే బేస్‌లతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లాగ్ a x మరియు లాగ్ a y . అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:
లాగ్ఒక x + లాగ్ఒక వై = చిట్టా a ( x · వై );
లాగ్ఒక x - లాగ్ఒక వై = చిట్టా a ( x : వై ).
కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం.దయచేసి గమనించండి: ఇక్కడ ప్రధాన విషయం అదే మైదానం. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!
ఈ సూత్రాలు సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణను దాని వ్యక్తిగత భాగాలు పరిగణించబడనప్పుడు కూడా లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడతాయి (పాఠం చూడండి " "). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9.
లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9 = లాగ్ 6 (4 9) = లాగ్ 6 36 = 2.
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3.
స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3 = లాగ్ 2 (48: 3) = లాగ్ 2 16 = 4.
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5.
మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5 = లాగ్ 3 (135: 5) = లాగ్ 3 27 = 3.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ రూపాంతరాల తర్వాత, పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు పొందబడతాయి. అనేక పరీక్షలు ఈ వాస్తవం ఆధారంగా ఉంటాయి. అవును, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) పరీక్ష లాంటి వ్యక్తీకరణలు అందించబడతాయి.
సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం
ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంకం క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
చివరి నియమం మొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుందని చూడటం సులభం. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.
అయితే లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x > 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి, అనగా. మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు. ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 7 49 6 .
మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్ 7 49 6 = 6 లాగ్ 7 49 = 6 2 = 12
వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దాని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. మాకు ఉన్నాయి:
చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.
ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: లాగ్ 2 7. లాగ్ 2 7 ≠ 0 కాబట్టి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలో ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.
కొత్త పునాదికి మార్పు
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?
కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:
సిద్ధాంతం
సంవర్గమానం లాగ్ ఇవ్వబడనివ్వండిఒక x . అప్పుడు ఏదైనా సంఖ్య కోసం c అంటే c > 0 మరియు c ≠ 1, సమానత్వం నిజం:
ముఖ్యంగా, మేము ఉంచినట్లయితే c = x, మనకు లభిస్తుంది:
రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.
ఈ సూత్రాలు సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తాయి. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.
అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 5 16 లాగ్ 2 25.
రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: లాగ్ 5 16 = లాగ్ 5 2 4 = 4లాగ్ 5 2; లాగ్ 2 25 = లాగ్ 2 5 2 = 2లాగ్ 2 5;
ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:
కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.
వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 9 100 lg 3.
మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:
ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:
మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య n వాదనలో ఉన్న స్థాయికి సూచిక అవుతుంది. సంఖ్య n ఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ మాత్రమే.
రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దీనినే అంటారు:ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు.
నిజానికి, b సంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచినట్లయితే, ఈ శక్తికి b సంఖ్య a సంఖ్యను ఇస్తుంది? అది నిజం: ఫలితం అదే సంఖ్య a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.
కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.
టాస్క్
వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
పరిష్కారం
లాగ్ 25 64 = లాగ్ 5 అని గమనించండి 8 - కేవలం బేస్ నుండి చతురస్రాన్ని మరియు లాగరిథమ్ యొక్క వాదనను తీసుకున్నాము. ఒకే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:
200
ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)
లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా
ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.
లాగ్ a a = 1 లాగరిథమిక్ యూనిట్. ఒకసారి మరియు అన్నింటికీ గుర్తుంచుకోండి: ఏదైనా స్థావరానికి లాగరిథమ్ a దీని నుండి చాలా బేస్ ఒకదానికి సమానం.
లాగ్ a 1 = 0 సంవర్గమాన సున్నా. బేస్ ఎ ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, లాగరిథమ్ సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటేఒక 0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.
ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి!
శ్రద్ధ ఏకాగ్రత:
నిర్వచనం. ఫంక్షన్ జాతులు అంటారు ఘాతాంక విధి .
వ్యాఖ్య. మూల విలువల నుండి మినహాయింపు aసంఖ్యలు 0; 1 మరియు ప్రతికూల విలువలు aకింది పరిస్థితుల ద్వారా వివరించబడింది:
విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణ కూడా ఒక xఈ సందర్భాలలో, ఇది దాని అర్ధాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ కోసం x వైచుక్క x = 1; వై = 1 ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిలో ఉంది.
ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి: మరియు.
 |
 |
| ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు
| ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. ఫంక్షన్ పరిధి | ||
| 3. యూనిట్తో పోలిక యొక్క విరామాలు | వద్ద x> 0, a x > 1 | వద్ద x > 0, 0< a x < 1 |
| వద్ద x < 0, 0< a x < 1 | వద్ద x < 0, a x > 1 | |
| 4. సరి, బేసి. | ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు (సాధారణ రూపం యొక్క ఫంక్షన్). | |
| 5.మోనోటోనీ. | ద్వారా మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది ఆర్ | ద్వారా మార్పు లేకుండా తగ్గుతుంది ఆర్ |
| 6. విపరీతాలు. | ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు ఎక్స్‌ట్రీమా లేదు. | |
| 7.అసింప్టోట్ | O-అక్షం xక్షితిజ సమాంతర లక్షణము. | |
| 8. ఏదైనా నిజమైన విలువల కోసం xమరియు వై; |  |
|
పట్టిక నిండినప్పుడు, పనులు పూరించడంతో సమాంతరంగా పరిష్కరించబడతాయి.
పని సంఖ్య 1. (ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడానికి).
ఫంక్షన్లకు ఏ ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు చెల్లుబాటు అవుతాయి:
టాస్క్ నం. 2. (ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధిని కనుగొనడానికి).
ఫిగర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధిని పేర్కొనండి:
 |
 |
 |
 |
పని సంఖ్య 3. (ఒకదానితో పోలిక యొక్క విరామాలను సూచించడానికి).
కింది ప్రతి అధికారాన్ని ఒకదానితో పోల్చండి:
టాస్క్ నంబర్ 4. (మోనోటోనిసిటీ కోసం ఫంక్షన్ అధ్యయనం చేయడానికి).
పరిమాణం ద్వారా వాస్తవ సంఖ్యలను సరిపోల్చండి mమరియు nఒకవేళ:
టాస్క్ నంబర్ 5. (మోనోటోనిసిటీ కోసం ఫంక్షన్ అధ్యయనం చేయడానికి).
ఆధారం గురించి తీర్మానం చేయండి a, ఒకవేళ:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
x > 0, x = 0, x కోసం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు ఒకదానికొకటి ఎలా ఉంటాయి< 0?
కింది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు ఒక కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో రూపొందించబడ్డాయి:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .
x > 0, x = 0, x కోసం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు ఒకదానికొకటి ఎలా ఉంటాయి< 0?
| సంఖ్య
గణితంలో అత్యంత ముఖ్యమైన స్థిరాంకాలలో ఒకటి. నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది క్రమం యొక్క పరిమితికి సమానం
అపరిమిత తో
పెరుగుతున్న n
. హోదా ఇప్రవేశించింది లియోనార్డ్ ఆయిలర్
1736లో. అతను ఈ సంఖ్య యొక్క మొదటి 23 అంకెలను దశాంశ సంజ్ఞామానంలో లెక్కించాడు మరియు ఆ సంఖ్యకు నేపియర్ గౌరవార్థం "నాన్-పియర్ నంబర్" అని పేరు పెట్టారు.
సంఖ్య ఇగణిత విశ్లేషణలో ప్రత్యేక పాత్ర పోషిస్తుంది. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ బేస్ తో ఇ, ఘాతాంకం అంటారు మరియు నియమించబడినది y = ఇ x. మొదటి సంకేతాలు సంఖ్యలు ఇగుర్తుంచుకోవడం సులభం: రెండు, కామా, ఏడు, లియో టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన సంవత్సరం - రెండు సార్లు, నలభై ఐదు, తొంభై, నలభై ఐదు. |
 |
ఇంటి పని:
కోల్మోగోరోవ్ పేరా 35; నం. 445-447; 451; 453.
మాడ్యులస్ గుర్తు కింద వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడానికి అల్గారిథమ్‌ను పునరావృతం చేయండి.
1. ఘాతాంక ఫంక్షన్ అనేది y(x) = a x, ఘాతాంకం xపై ఆధారపడి, డిగ్రీ a యొక్క బేస్ యొక్క స్థిరమైన విలువతో, ఇక్కడ a > 0, a ≠ 0, xϵR (R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి).
పరిగణలోకి తీసుకుందాం బేస్ షరతును సంతృప్తిపరచకపోతే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్: a>0
ఎ) ఎ< 0
ఒకవేళ ఎ< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
a = 0 అయితే, ఫంక్షన్ y = నిర్వచించబడుతుంది మరియు 0 యొక్క స్థిరమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది
c) a =1
a = 1 అయితే, ఫంక్షన్ y = నిర్వచించబడుతుంది మరియు 1 యొక్క స్థిరమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది
ఫంక్షన్ డొమైన్ (DOF) అనుమతించదగిన ఫంక్షన్ విలువల పరిధి (APV) 3. ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు (y = 0) 4. ఆర్డినేట్ యాక్సిస్ ఓయ్ (x = 0)తో ఖండన పాయింట్లు 5. ఫంక్షన్లను పెంచడం, తగ్గించడం అయితే, f(x) ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది 6. సరి, బేసి ఫంక్షన్ y = ఫంక్షన్ 0y అక్షానికి సంబంధించి మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉండదు, కాబట్టి ఇది సరి లేదా బేసి కాదు. (సాధారణ విధి) 7. ఫంక్షన్ y = ఎటువంటి ఎక్స్‌ట్రీమా లేదు 8. నిజమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు: a > 0; a≠1 అప్పుడు xϵR కోసం; yϵR: డిగ్రీ మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాలు: ఉంటే, అప్పుడు a> 0 అయితే, . 9. ఫంక్షన్ యొక్క సాపేక్ష స్థానం పెద్ద బేస్ a, x మరియు oy అక్షాలకు దగ్గరగా ఉంటుంది a > 1, a = 20 ఉదాహరణ 1. ముందుగా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ $f\left(x\right)=a^x$, ఇక్కడ $a >1$. $a >1$ కోసం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను పరిచయం చేద్దాం. \ \[మూలాలు లేవు\] \ కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన. ఫంక్షన్ $Ox$ అక్షాన్ని కలుస్తుంది, కానీ $(0,1)$ బిందువు వద్ద $Oy$ అక్షాన్ని కలుస్తుంది. $f""\left(x\ right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[మూలాలు లేవు\] \ గ్రాఫ్ (Fig. 1). మూర్తి 1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$. $0 వద్ద ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను పరిచయం చేద్దాం నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. $f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది. విలువల పరిధి విరామం $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[మూలాలు లేవు\] \ \[మూలాలు లేవు\] \ ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ యొక్క మొత్తం డొమైన్‌పై కుంభాకారంగా ఉంటుంది. డొమైన్ చివరిలో ప్రవర్తన: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] గ్రాఫ్ (Fig. 2). $y=2^x+3$ ఫంక్షన్‌ను అన్వేషించండి మరియు ప్లాట్ చేయండి. పరిష్కారం. పై ఉదాహరణ రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి ఒక అధ్యయనాన్ని చేద్దాం: నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. $f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది. విలువల పరిధి విరామం $(3,+\infty)$. $f"\left(x\ right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో $f(x)\ge 0$. కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన. ఫంక్షన్ $Ox$ అక్షాన్ని కలుస్తుంది, కానీ పాయింట్ ($0,4)$ వద్ద $Oy$ అక్షాన్ని కలుస్తుంది $f""\left(x\ right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ యొక్క మొత్తం డొమైన్‌పై కుంభాకారంగా ఉంటుంది. డొమైన్ చివరిలో ప్రవర్తన: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] గ్రాఫ్ (Fig. 3). మూర్తి 3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\ఎడమ(x\కుడి)=2^x+3$
2. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం:
0
అయితే, f(x) ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది
ఫంక్షన్ y= , 0 వద్ద
ఇది నిజమైన ఘాతాంకం ఉన్న శక్తి యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాల నుండి అనుసరిస్తుంది.
b> 0; b≠1
ఉదాహరణకి:
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఏదైనా పాయింట్ ϵ R వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.
a0 అయితే, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ y = 0కి దగ్గరగా ఉంటుంది.
a1 అయితే, ox మరియు oy గొడ్డలి నుండి మరింత ముందుకు వెళ్లి గ్రాఫ్ y = 1 ఫంక్షన్‌కు దగ్గరగా ఉంటుంది.
y = యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించండి
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ $f\left(x\right)=a^x$, ఇక్కడ $0
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను నిర్మించడానికి సమస్య యొక్క ఉదాహరణ
