ఇంటర్వెల్ డేటా సిరీస్ అంటే ఏమిటి? నిరంతర పరిమాణాత్మక డేటా కోసం విరామ వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మాణం

గణిత గణాంకాలు- శాస్త్రీయ మరియు ఆచరణాత్మక ముగింపుల కోసం గణాంక డేటాను ప్రాసెస్ చేయడం, క్రమబద్ధీకరించడం మరియు ఉపయోగించడం వంటి గణిత పద్ధతులకు అంకితమైన గణిత శాఖ.

3.1 గణిత గణాంకాల యొక్క ప్రాథమిక భావనలు

వైద్య మరియు జీవసంబంధమైన సమస్యలలో, చాలా పెద్ద సంఖ్యలో వ్యక్తుల కోసం ఒక నిర్దిష్ట లక్షణం యొక్క పంపిణీని అధ్యయనం చేయడం తరచుగా అవసరం. ఈ లక్షణం వేర్వేరు వ్యక్తులకు వేర్వేరు అర్థాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. ఉదాహరణకు, వివిధ రోగులకు వర్తించినప్పుడు ఏదైనా చికిత్సా ఔషధం వేర్వేరు ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అయితే, ఈ ఔషధం యొక్క ప్రభావం గురించి ఒక ఆలోచన పొందడానికి, దానిని దరఖాస్తు చేయవలసిన అవసరం లేదు ప్రతి ఒక్కరూజబ్బుపడిన. సాపేక్షంగా చిన్న రోగుల సమూహానికి ఔషధాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క ఫలితాలను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది మరియు పొందిన డేటా ఆధారంగా, చికిత్స ప్రక్రియ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలను (సమర్థత, వ్యతిరేకతలు) గుర్తించడం సాధ్యపడుతుంది.

జనాభా- అధ్యయనం చేయవలసిన కొన్ని లక్షణాల ద్వారా వర్గీకరించబడిన సజాతీయ మూలకాల సమితి. ఈ సంకేతం నిరంతరపంపిణీ సాంద్రతతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ f(x)

ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో వ్యాధి వ్యాప్తిపై మనకు ఆసక్తి ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ జనాభా ప్రాంతం మొత్తం జనాభా. ఈ వ్యాధికి పురుషులు మరియు స్త్రీలు విడివిడిగా గ్రహణశీలతను కనుగొనాలనుకుంటే, మేము రెండు సాధారణ జనాభాను పరిగణించాలి.

సాధారణ జనాభా యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి, దాని మూలకాలలో కొంత భాగం ఎంపిక చేయబడుతుంది.

నమూనా- పరీక్ష (చికిత్స) కోసం ఎంపిక చేయబడిన సాధారణ జనాభాలో కొంత భాగం.

ఇది గందరగోళానికి కారణం కాకపోతే, అప్పుడు ఒక నమూనా అంటారు వస్తువుల సమితి,సర్వే కోసం ఎంపిక చేయబడింది మరియు సంపూర్ణత

విలువలుపరీక్ష సమయంలో పొందిన అధ్యయనం లక్షణం. ఈ విలువలను అనేక విధాలుగా సూచించవచ్చు.

సాధారణ గణాంక శ్రేణి -అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క విలువలు, అవి పొందిన క్రమంలో నమోదు చేయబడతాయి.

20 మంది రోగులలో నుదిటి చర్మంలో ఉపరితల తరంగ వేగాన్ని (m/s) కొలవడం ద్వారా పొందిన సాధారణ గణాంక శ్రేణికి ఉదాహరణ టేబుల్‌లో ఇవ్వబడింది. 3.1

పట్టిక 3.1.సాధారణ గణాంక శ్రేణి

సాధారణ గణాంక శ్రేణి అనేది సర్వే ఫలితాలను రికార్డ్ చేయడానికి ప్రధాన మరియు పూర్తి మార్గం. ఇది వందలాది మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి టోటల్‌ని ఒక్క చూపులో పరిశీలించడం చాలా కష్టం. అందువల్ల, పెద్ద నమూనాలను సాధారణంగా సమూహాలుగా విభజించారు. దీన్ని చేయడానికి, లక్షణంలో మార్పు యొక్క ప్రాంతం అనేక (N) గా విభజించబడింది విరామాలుసమాన వెడల్పు మరియు ఈ విరామాలలోకి వచ్చే లక్షణం యొక్క సంబంధిత పౌనఃపున్యాలను (n/n) లెక్కించండి. ప్రతి విరామం యొక్క వెడల్పు:

విరామ సరిహద్దులు క్రింది అర్థాలను కలిగి ఉన్నాయి:

ఏదైనా నమూనా మూలకం రెండు ప్రక్కనే ఉన్న విరామాల మధ్య సరిహద్దు అయితే, అది వర్గీకరించబడుతుంది వదిలేశారువిరామం. ఈ విధంగా సమూహం చేయబడిన డేటా అంటారు విరామం గణాంక శ్రేణి.

లక్షణ విలువల విరామాలను మరియు ఈ విరామాలలో లక్షణం సంభవించే సాపేక్ష పౌనఃపున్యాలను చూపే పట్టిక.

మా విషయంలో, మేము ఈ క్రింది విరామ గణాంక శ్రేణిని (N = 5, డి= 4), టేబుల్. 3.2

పట్టిక 3.2.ఇంటర్వెల్ స్టాటిస్టికల్ సిరీస్

ఇక్కడ, విరామం 28-32 28 (టేబుల్ 3.1)కి సమానమైన రెండు విలువలను కలిగి ఉంటుంది మరియు విరామం 32-36 విలువలను 32, 33, 34 మరియు 35 కలిగి ఉంటుంది.

విరామ గణాంక శ్రేణిని గ్రాఫికల్‌గా వర్ణించవచ్చు. ఇది చేయుటకు, అట్రిబ్యూట్ విలువల విరామాలు అబ్సిస్సా అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడతాయి మరియు వాటిలో ప్రతిదానిపై, ఒక బేస్ వలె, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానమైన ఎత్తుతో దీర్ఘచతురస్రం నిర్మించబడింది. ఫలితంగా బార్ చార్ట్ అంటారు హిస్టోగ్రాం.

అన్నం. 3.1హిస్టోగ్రాం

హిస్టోగ్రామ్‌లో, లక్షణం యొక్క పంపిణీ యొక్క గణాంక నమూనాలు చాలా స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

పెద్ద నమూనా పరిమాణం (అనేక వేల) మరియు చిన్న నిలువు వరుస వెడల్పులతో, హిస్టోగ్రాం ఆకారం గ్రాఫ్ ఆకారానికి దగ్గరగా ఉంటుంది పంపిణీ సాంద్రతసంకేతం.

కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి హిస్టోగ్రాం నిలువు వరుసల సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు:

మాన్యువల్‌గా హిస్టోగ్రామ్‌ను నిర్మించడం అనేది సుదీర్ఘ ప్రక్రియ. అందువల్ల, వాటిని స్వయంచాలకంగా నిర్మించడానికి కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

3.2 గణాంక శ్రేణి యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు

అనేక గణాంక విధానాలు జనాభా అంచనా మరియు వైవిధ్యం (లేదా MSE) కోసం నమూనా అంచనాలను ఉపయోగిస్తాయి.

నమూనా అర్థం(X) అనేది సాధారణ గణాంక శ్రేణిలోని అన్ని మూలకాల యొక్క అంకగణిత సగటు:

మా ఉదాహరణ కోసం X= 37.05 (మీ/సె).

నమూనా సగటుఉత్తమమైనదిసాధారణ సగటు అంచనాఎం.

నమూనా వైవిధ్యం s 2నమూనా సగటు నుండి మూలకాల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తానికి సమానంగా, విభజించబడింది n- 1:

మా ఉదాహరణలో, s 2 = 25.2 (m/s) 2.

నమూనా వ్యత్యాసాన్ని గణిస్తున్నప్పుడు, సూత్రం యొక్క హారం నమూనా పరిమాణం n కాదు, కానీ n-1 అని దయచేసి గమనించండి. ఫార్ములా (3.3)లో విచలనాలను లెక్కించేటప్పుడు తెలియని గణిత నిరీక్షణకు బదులుగా, దాని అంచనా ఉపయోగించబడుతుంది - నమూనా సగటు.

నమూనా వైవిధ్యం ఉత్తమమైనదిసాధారణ వైవిధ్యం యొక్క అంచనా (σ 2).

నమూనా ప్రామాణిక విచలనం(లు) నమూనా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలం:

మా ఉదాహరణ కోసం లు= 5.02 (మీ/సె).

సెలెక్టివ్ రూట్ అంటే చతురస్రంవిచలనం అనేది సాధారణ ప్రామాణిక విచలనం (σ) యొక్క ఉత్తమ అంచనా.

నమూనా పరిమాణంలో అపరిమిత పెరుగుదలతో, అన్ని నమూనా లక్షణాలు సాధారణ జనాభా యొక్క సంబంధిత లక్షణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

నమూనా లక్షణాలను లెక్కించడానికి కంప్యూటర్ సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి. Excelలో, ఈ లెక్కలు గణాంక విధులను సగటు, వైవిధ్యం నిర్వహిస్తాయి. ప్రామాణిక విచలనం

3.3 ఇంటర్వెల్ అసెస్‌మెంట్

అన్ని నమూనా లక్షణాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్.దీని అర్థం అదే పరిమాణంలోని మరొక నమూనా కోసం, నమూనా లక్షణాల విలువలు భిన్నంగా ఉంటాయి. అందువలన, ఎంపిక

లక్షణాలు మాత్రమే అంచనాలుజనాభా యొక్క సంబంధిత లక్షణాలు.

సెలెక్టివ్ అసెస్‌మెంట్ యొక్క ప్రతికూలతలు దీని ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి విరామం అంచనా,ప్రాతినిధ్యం వహిస్తోంది సంఖ్యా విరామంఇచ్చిన సంభావ్యతతో లోపల ఆర్ డిఅంచనా వేసిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ కనుగొనబడింది.

లెట్ U r - సాధారణ జనాభా యొక్క కొంత పరామితి (సాధారణ సగటు, సాధారణ వ్యత్యాసం మొదలైనవి).

విరామం అంచనా U r పరామితిని విరామం అంటారు (U 1, U 2),పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం:

పి(యు < Ur < U2) = Рд. (3.5)

సంభావ్యత ఆర్ డిఅని పిలిచారు విశ్వాస సంభావ్యత.

విశ్వాస సంభావ్యత Pడి - అంచనా వేయబడిన పరిమాణం యొక్క నిజమైన విలువ సంభావ్యత లోపలపేర్కొన్న విరామం.

ఈ సందర్భంలో, విరామం (U 1, U 2)అని పిలిచారు విశ్వాస విరామంఅంచనా వేయబడుతున్న పరామితి కోసం.

తరచుగా, విశ్వాస సంభావ్యతకు బదులుగా, అనుబంధిత విలువ α = 1 - Р d ఉపయోగించబడుతుంది, దీనిని పిలుస్తారు ప్రాముఖ్యత స్థాయి.

ప్రాముఖ్యత స్థాయిఅంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ సంభావ్యత బయటవిశ్వాస విరామం.

కొన్నిసార్లు α మరియు P d శాతాలుగా వ్యక్తీకరించబడతాయి, ఉదాహరణకు, 0.05కి బదులుగా 5% మరియు 0.95కి బదులుగా 95%.

విరామం అంచనాలో, ముందుగా సముచితమైనదాన్ని ఎంచుకోండి విశ్వాస సంభావ్యత(సాధారణంగా 0.95 లేదా 0.99), ఆపై అంచనా వేసిన పరామితి యొక్క విలువల సంబంధిత విరామాన్ని కనుగొనండి.

విరామ అంచనాల యొక్క కొన్ని సాధారణ లక్షణాలను మనం గమనించండి.

1. ప్రాముఖ్యత స్థాయి తక్కువ (మరింత ఆర్ డి),విస్తృత విరామం అంచనా. కాబట్టి, 0.05 ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో ఉంటే సాధారణ సగటు యొక్క విరామ అంచనా 34.7.< ఎం< 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < ఎం< 40,25.

2. నమూనా పరిమాణం పెద్దది n,ఎంచుకున్న ప్రాముఖ్యత స్థాయితో విరామ అంచనా సన్నగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 5 అనేది 20 మూలకాల నమూనా నుండి పొందిన సాధారణ సగటు (β = 0.05) యొక్క శాతాన్ని అంచనా వేయండి, ఆపై 34.7< ఎం< 39,4.

నమూనా పరిమాణాన్ని 80కి పెంచడం ద్వారా, మేము అదే ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో మరింత ఖచ్చితమైన అంచనాను పొందుతాము: 35.5< ఎం< 38,6.

సాధారణంగా, నమ్మదగిన విశ్వాస అంచనాలను రూపొందించడానికి చట్టం యొక్క జ్ఞానం అవసరం, దీని ప్రకారం జనాభాలో అంచనా వేయబడిన యాదృచ్ఛిక లక్షణం పంపిణీ చేయబడుతుంది. ఇంటర్వెల్ అంచనా ఎలా నిర్మించబడుతుందో చూద్దాం సాధారణ సగటుప్రకారం జనాభాలో పంపిణీ చేయబడిన లక్షణం సాధారణచట్టం.

3.4 సాధారణ పంపిణీ చట్టం కోసం సాధారణ సగటు యొక్క విరామ అంచనా

సాధారణ పంపిణీ చట్టం ఉన్న జనాభా కోసం సాధారణ సగటు M యొక్క విరామ అంచనా నిర్మాణం క్రింది ఆస్తిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నమూనా వాల్యూమ్ కోసం nవైఖరి

స్వేచ్ఛ ν = డిగ్రీల సంఖ్యతో విద్యార్థి పంపిణీకి కట్టుబడి ఉంటుంది n- 1.

ఇక్కడ X- నమూనా సగటు, మరియు లు- ఎంపిక ప్రామాణిక విచలనం.

విద్యార్థి పంపిణీ పట్టికలు లేదా వారి కంప్యూటర్ అనలాగ్‌ని ఉపయోగించి, మీరు ఇచ్చిన విశ్వాస సంభావ్యతతో కింది అసమానతలను కలిగి ఉండే సరిహద్దు విలువను కనుగొనవచ్చు:

ఈ అసమానత M కోసం అసమానతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది:

ఎక్కడ ε - విశ్వాస విరామం యొక్క సగం వెడల్పు.

అందువలన, M కోసం విశ్వాస విరామం నిర్మాణం క్రింది క్రమంలో నిర్వహించబడుతుంది.

1. విశ్వాస సంభావ్యత Р d (సాధారణంగా 0.95 లేదా 0.99) ఎంచుకోండి మరియు దాని కోసం, విద్యార్థి పంపిణీ పట్టికను ఉపయోగించి, పారామితి tని కనుగొనండి

2. విశ్వాస విరామం ε సగం వెడల్పును లెక్కించండి:

3. ఎంచుకున్న విశ్వాస సంభావ్యతతో సాధారణ సగటు యొక్క విరామ అంచనాను పొందండి:

క్లుప్తంగా ఇలా వ్రాయబడింది:

ఇంటర్వెల్ అంచనాలను కనుగొనడానికి కంప్యూటర్ విధానాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

విద్యార్థి పంపిణీ పట్టికను ఎలా ఉపయోగించాలో వివరిస్తాము. ఈ పట్టికలో రెండు "ప్రవేశాలు" ఉన్నాయి: ఎడమ కాలమ్, స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య ν = n- 1, మరియు పై పంక్తి ప్రాముఖ్యత స్థాయి α. సంబంధిత అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుస ఖండన వద్ద, విద్యార్థి గుణకం కనుగొనండి t.

ఈ పద్ధతిని మా నమూనాకు వర్తింపజేద్దాం. విద్యార్థి పంపిణీ పట్టిక యొక్క భాగం క్రింద ప్రదర్శించబడింది.

పట్టిక 3.3. విద్యార్థి పంపిణీ పట్టిక యొక్క భాగం

20 మంది వ్యక్తుల నమూనా కోసం ఒక సాధారణ గణాంక శ్రేణి (n= 20, ν =19) పట్టికలో ప్రదర్శించబడింది. 3.1 ఈ శ్రేణి కోసం, సూత్రాలను (3.1-3.3) ఉపయోగించి లెక్కలు ఇస్తాయి: X= 37,05; లు= 5,02.

ఎంచుకుందాం α = 0.05 (Р d = 0.95). వరుస "19" మరియు కాలమ్ "0.05" ఖండన వద్ద మేము కనుగొంటాము t= 2,09.

ఫార్ములా (3.6) ఉపయోగించి అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణిద్దాం: ε = 2.09?5.02/λ /20 = 2.34.

విరామం అంచనాను రూపొందిద్దాం: 95% సంభావ్యతతో, తెలియని సాధారణ సగటు అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది:

37,05 - 2,34 < ఎం< 37,05 + 2,34, или ఎం= 37.05 ± 2.34 (m/s), R d = 0.95.

3.5 గణాంక పరికల్పనలను పరీక్షించే పద్ధతులు

గణాంక పరికల్పనలు

గణాంక పరికల్పన అంటే ఏమిటో రూపొందించే ముందు, ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఒక నిర్దిష్ట వ్యాధికి చికిత్స చేసే రెండు పద్ధతులను పోల్చడానికి, 20 మంది రోగుల యొక్క రెండు సమూహాలు ఎంపిక చేయబడ్డాయి మరియు ఈ పద్ధతులను ఉపయోగించి చికిత్స చేయబడ్డాయి. ప్రతి రోగికి ఇది నమోదు చేయబడింది విధానాల సంఖ్య,దాని తర్వాత సానుకూల ప్రభావం సాధించబడింది. ఈ డేటా ఆధారంగా, నమూనా అంటే (X), ప్రతి సమూహానికి నమూనా వ్యత్యాసాలు కనుగొనబడ్డాయి (లు 2)మరియు నమూనా ప్రామాణిక విచలనాలు (లు).

ఫలితాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి. 3.4

పట్టిక 3.4

సానుకూల ప్రభావాన్ని పొందేందుకు అవసరమైన విధానాల సంఖ్య యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, దాని గురించిన మొత్తం సమాచారం ప్రస్తుతం ఇచ్చిన నమూనాలో ఉంది.

టేబుల్ నుండి 3.4 మొదటి సమూహంలోని నమూనా సగటు రెండవదాని కంటే తక్కువగా ఉందని చూపిస్తుంది.< М 2 ? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает సాధారణ సగటులకు అదే సంబంధం ఉందని దీని అర్థం: M 1

పరికల్పనల గణాంక పరీక్ష.- గణాంక పరికల్పన

ఇది జనాభా లక్షణాల గురించిన ఊహ. మేము లక్షణాల గురించి పరికల్పనలను పరిశీలిస్తామురెండు

సాధారణ జనాభా. జనాభా ఉంటేప్రసిద్ధ, ఒకేలా అంచనా వేయబడుతున్న విలువ పంపిణీ, మరియు అంచనాలు విలువలకు సంబంధించినవికొన్ని పరామితి ఈ పంపిణీ యొక్క, అప్పుడు పరికల్పనలు అంటారుపారామెట్రిక్. ఉదాహరణకు, నమూనాలు ఉన్న జనాభా నుండి తీసుకోబడ్డాయిసాధారణ చట్టం పంపిణీ మరియు సమాన వ్యత్యాసం. కనుక్కోవాలిఅవి ఒకేలా ఉన్నాయా

ఈ జనాభా యొక్క సాధారణ సగటులు. సాధారణ జనాభా పంపిణీ చట్టాల గురించి ఏమీ తెలియకపోతే, వారి లక్షణాల గురించి పరికల్పనలు అంటారునాన్‌పారామెట్రిక్. పంపిణీ మరియు సమాన వ్యత్యాసం. కనుక్కోవాలిఉదాహరణకు,

నమూనాలు తీసుకోబడిన జనాభా పంపిణీ చట్టాలు.

శూన్య మరియు ప్రత్యామ్నాయ పరికల్పనలు.

పరికల్పనలను పరీక్షించే పని. ప్రాముఖ్యత స్థాయి

పరికల్పనలను పరీక్షించేటప్పుడు ఉపయోగించే పదజాలంతో పరిచయం చేసుకుందాం. H 0 - శూన్య పరికల్పన (స్కెప్టిక్స్ హైపోథెసిస్) అనేది ఒక పరికల్పనతేడాలు లేకపోవడం గురించి

పోల్చిన నమూనాల మధ్య. పరిశోధన ఫలితాల నుండి పొందిన నమూనా అంచనాల మధ్య వ్యత్యాసాలు యాదృచ్ఛికంగా ఉన్నాయని స్కెప్టిక్ నమ్మాడు;- ప్రత్యామ్నాయ పరికల్పన (ఆశావాద పరికల్పన) అనేది పోల్చిన నమూనాల మధ్య వ్యత్యాసాల ఉనికిని గురించిన పరికల్పన. నమూనా అంచనాల మధ్య వ్యత్యాసాలు ఆబ్జెక్టివ్ కారణాల వల్ల సంభవిస్తాయని మరియు సాధారణ జనాభాలో వ్యత్యాసాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయని ఒక ఆశావాది అభిప్రాయపడ్డారు.

కొన్నింటిని నిర్మించడం సాధ్యమైనప్పుడు మాత్రమే గణాంక పరికల్పనలను పరీక్షించడం సాధ్యమవుతుంది పరిమాణం(ప్రమాణం), న్యాయమైన విషయంలో పంపిణీ చట్టం H 0తెలిసిన. అప్పుడు ఈ పరిమాణం కోసం మనం పేర్కొనవచ్చు విశ్వాస విరామం,ఇచ్చిన సంభావ్యతతో దీనిలోకి ఆర్ డిదాని విలువ పడిపోతుంది. ఈ విరామం అంటారు క్లిష్టమైన ప్రాంతం.ప్రమాణం విలువ క్లిష్టమైన ప్రాంతంలోకి వస్తే, అప్పుడు పరికల్పన అంగీకరించబడుతుంది N 0.లేకపోతే, పరికల్పన H 1 అంగీకరించబడుతుంది.

వైద్య పరిశోధనలో, P d = 0.95 లేదా P d = 0.99 ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువలు అనుగుణంగా ఉంటాయి ప్రాముఖ్యత స్థాయిలుα = 0.05 లేదా α = 0.01.

గణాంక పరికల్పనలను పరీక్షించేటప్పుడుప్రాముఖ్యత స్థాయి(α) శూన్య పరికల్పన నిజం అయినప్పుడు దానిని తిరస్కరించే సంభావ్యత.

దయచేసి గమనించండి, దాని ప్రధాన భాగంలో, పరికల్పన పరీక్ష విధానం లక్ష్యంగా ఉంది తేడాలను గుర్తించడంమరియు వారి లేకపోవడం నిర్ధారించడానికి కాదు. ప్రమాణం విలువ క్లిష్ట ప్రాంతాన్ని దాటి వెళ్ళినప్పుడు, "సంశయవాది"కి మనం స్వచ్ఛమైన హృదయంతో చెప్పగలము - సరే, మీకు ఇంకా ఏమి కావాలి?! తేడాలు లేకుంటే, 95% (లేదా 99%) సంభావ్యతతో లెక్కించిన విలువ పేర్కొన్న పరిమితుల్లోనే ఉంటుంది. కానీ కాదు!..

సరే, ప్రమాణం యొక్క విలువ క్లిష్టమైన ప్రాంతంలోకి వస్తే, అప్పుడు పరికల్పన H 0 సరైనదని నమ్మడానికి ఎటువంటి కారణం లేదు. ఇది ఎక్కువగా రెండు కారణాలలో ఒకదానిని సూచిస్తుంది.

1. నమూనా పరిమాణాలు తేడాలను గుర్తించేంత పెద్దవి కావు. నిరంతర ప్రయోగాలు విజయవంతమయ్యే అవకాశం ఉంది.

2. తేడాలు ఉన్నాయి. కానీ అవి చాలా చిన్నవి, వాటికి ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత లేదు. ఈ సందర్భంలో, ప్రయోగాలను కొనసాగించడం అర్ధవంతం కాదు.

వైద్య పరిశోధనలో ఉపయోగించే కొన్ని గణాంక పరికల్పనలను పరిశీలిద్దాం.

3.6 వ్యత్యాసాల సమానత్వం గురించి పరికల్పనలను పరీక్షించడం, ఫిషర్ యొక్క F-క్రైటీరియన్

కొన్ని క్లినికల్ అధ్యయనాలలో, సానుకూల ప్రభావం అంతగా లేదని రుజువు చేయబడింది పరిమాణంఅధ్యయనంలో ఉన్న పరామితి, అది ఎంత స్థిరీకరణ,దాని హెచ్చుతగ్గులను తగ్గించడం. ఈ సందర్భంలో, నమూనా సర్వే ఫలితాల ఆధారంగా రెండు సాధారణ వ్యత్యాసాలను పోల్చడం గురించి ప్రశ్న తలెత్తుతుంది. ఉపయోగించి ఈ సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు ఫిషర్ పరీక్ష.

సమస్య యొక్క ప్రకటన

ఉదాహరణకు, నమూనాలు ఉన్న జనాభా నుండి తీసుకోబడ్డాయిపంపిణీలు. నమూనా పరిమాణాలు -

n 1మరియు n2,ఎ నమూనా వ్యత్యాసాలుసమానం s 1 మరియు s 2 2 సాధారణ వ్యత్యాసాలు.

పరీక్షించదగిన పరికల్పనలు:

H 0- సాధారణ వ్యత్యాసాలు ఒకటే;

H 1- సాధారణ వ్యత్యాసాలు భిన్నంగా ఉంటాయి.

జనాభా నుండి నమూనాలు తీసుకోబడినట్లయితే చూపబడింది ఉదాహరణకు, నమూనాలు ఉన్న జనాభా నుండి తీసుకోబడ్డాయిపంపిణీ, అప్పుడు పరికల్పన నిజమైతే H 0నమూనా వ్యత్యాసాల నిష్పత్తి ఫిషర్ పంపిణీని అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల, న్యాయాన్ని తనిఖీ చేయడానికి ఒక ప్రమాణంగా H 0విలువ తీసుకోబడుతుంది F,సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

ఎక్కడ s 1 మరియు s 2 నమూనా వ్యత్యాసాలు.

ఈ నిష్పత్తి ν 1 = న్యూమరేటర్ యొక్క స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యతో ఫిషర్ పంపిణీకి కట్టుబడి ఉంటుంది. n 1- 1 మరియు హారం యొక్క స్వేచ్ఛా డిగ్రీల సంఖ్య ν 2 = n 2 - 1. క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు ఫిషర్ పంపిణీ పట్టికలను ఉపయోగించి లేదా కంప్యూటర్ ఫంక్షన్ BRASPOBRని ఉపయోగించి కనుగొనబడతాయి.

పట్టికలో సమర్పించబడిన ఉదాహరణ కోసం. 3.4, మనకు లభిస్తుంది: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; ఎఫ్= 2.16/4.05 = 0.53. α = 0.05 వద్ద, క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు వరుసగా: = 0.40, = 2.53.

ప్రమాణం విలువ క్లిష్టమైన ప్రాంతంలోకి వస్తుంది, కాబట్టి పరికల్పన అంగీకరించబడుతుంది H 0:సాధారణ నమూనా వ్యత్యాసాలు ఒకటే.

3.7 మీన్స్ యొక్క సమానత్వానికి సంబంధించిన పరికల్పనలను పరీక్షించడం, విద్యార్థి t- ప్రమాణం

పోలిక పని సగటుఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత ఖచ్చితంగా ఉన్నప్పుడు రెండు సాధారణ జనాభా ఏర్పడుతుంది పరిమాణంఅధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం. ఉదాహరణకు, చికిత్స యొక్క వ్యవధిని రెండు వేర్వేరు పద్ధతులతో పోల్చినప్పుడు లేదా వాటి ఉపయోగం నుండి ఉత్పన్నమయ్యే సమస్యల సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, మీరు విద్యార్థి యొక్క t-పరీక్షను ఉపయోగించవచ్చు.

సమస్య యొక్క ప్రకటన

సాధారణ జనాభా నుండి సంగ్రహించబడిన రెండు నమూనాలు (X 1) మరియు (X 2) పొందబడ్డాయి ఉదాహరణకు, నమూనాలు ఉన్న జనాభా నుండి తీసుకోబడ్డాయిపంపిణీ మరియు అదే వ్యత్యాసాలు.నమూనా పరిమాణాలు - n 1 మరియు n 2, నమూనా అంటే X 1 మరియు X 2కి సమానంగా ఉంటాయి మరియు నమూనా వ్యత్యాసాలు- s 1 2 మరియు s 2 2వరుసగా. పోల్చుకోవాలి సాధారణ సగటులు.

పరీక్షించదగిన పరికల్పనలు:

H 0- సాధారణ సగటులు ఒకటే;

H 1- సాధారణ సగటులు భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఊహ నిజమైతే చూపబడింది H 0 t విలువ ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

స్వేచ్ఛా డిగ్రీల సంఖ్యతో విద్యార్థి చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది ν = ν 1 + + ν2 - 2.

ఇక్కడ ν 1 = n 1 - 1 - మొదటి నమూనా కోసం స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య; ν 2 = n 2 - 1 - రెండవ నమూనా కోసం స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య.

క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు t-డిస్ట్రిబ్యూషన్ పట్టికలను ఉపయోగించి లేదా కంప్యూటర్ ఫంక్షన్ STUDRISTని ఉపయోగించి కనుగొనబడ్డాయి. విద్యార్థి పంపిణీ సున్నాకి సుష్టంగా ఉంటుంది, కాబట్టి క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి సరిహద్దులు పరిమాణంలో ఒకేలా ఉంటాయి మరియు సంకేతంలో విరుద్ధంగా ఉంటాయి: -మరియు

పట్టికలో సమర్పించబడిన ఉదాహరణ కోసం. 3.4, మనకు లభిస్తుంది:

ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; ν = 38, t= -2.51. α = 0.05 = 2.02 వద్ద.

ప్రమాణం విలువ క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క ఎడమ సరిహద్దును దాటి ఉంటుంది, కాబట్టి మేము పరికల్పనను అంగీకరిస్తాము H 1:సాధారణ సగటులు భిన్నంగా ఉంటాయి.అదే సమయంలో, జనాభా సగటు మొదటి నమూనాతక్కువ.

విద్యార్థుల t-పరీక్ష యొక్క వర్తింపు

విద్యార్థుల t పరీక్ష కేవలం నమూనాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది సాధారణతో కలుపుతుంది ఒకేలా సాధారణ వ్యత్యాసాలు.కనీసం ఒక షరతు ఉల్లంఘించినట్లయితే, అప్పుడు ప్రమాణం యొక్క వర్తింపు సందేహాస్పదంగా ఉంటుంది. సాధారణ జనాభా యొక్క సాధారణ అవసరం సాధారణంగా విస్మరించబడుతుంది, ఉదహరించారుకేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం.

నిజానికి, న్యూమరేటర్ (3.10)లో నమూనా మార్గాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని సాధారణంగా ν > 30కి పంపిణీ చేసినట్లు పరిగణించవచ్చు. కానీ వ్యత్యాసాల సమానత్వం యొక్క ప్రశ్న ధృవీకరించబడదు మరియు ఫిషర్ పరీక్ష తేడాలను గుర్తించలేదనే వాస్తవాన్ని సూచించడం సాధ్యం కాదు. ఖాతాలోకి. అయినప్పటికీ, తగినంత సాక్ష్యాలు లేకపోయినా, జనాభా మార్గాల్లో తేడాలను గుర్తించడానికి t-పరీక్ష విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. క్రింద చర్చించబడిందినాన్‌పారామెట్రిక్ ప్రమాణం, అదే ప్రయోజనాల కోసం విజయవంతంగా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు ఏదీ అవసరం లేదుసాధారణత, కాదు

వ్యత్యాసాల సమానత్వం.

3.8 రెండు నమూనాల నాన్‌పారామెట్రిక్ పోలిక: మాన్-విట్నీ ప్రమాణం నాన్‌పారామెట్రిక్ పరీక్షలు రెండు జనాభా యొక్క పంపిణీ చట్టాలలో తేడాలను గుర్తించడానికి రూపొందించబడ్డాయి. సాధారణంగా తేడాలకు సున్నితంగా ఉండే ప్రమాణాలుసగటు, ప్రమాణాలు అంటారుషిఫ్ట్ సాధారణంగా తేడాలకు సున్నితంగా ఉండే ప్రమాణాలుసగటు, చెదరగొట్టడం,స్థాయి. మన్-విట్నీ పరీక్ష ప్రమాణాలను సూచిస్తుందిషిఫ్ట్ మరియు రెండు పాపులేషన్‌లలోని వ్యత్యాసాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, వీటిలో నమూనాలు ప్రదర్శించబడతాయిర్యాంకింగ్ స్కేల్. కొలవబడిన లక్షణాలు ఈ స్కేల్‌పై ఆరోహణ క్రమంలో ఉన్నాయి, ఆపై పూర్ణాంకాలతో 1, 2 సంఖ్యలు ఉంటాయి... ఈ సంఖ్యలను అంటారుర్యాంకులు. సమాన పరిమాణాలకు సమాన ర్యాంకులు కేటాయించబడతాయి. ఇది ముఖ్యమైనది లక్షణం యొక్క విలువ కాదు, కానీ మాత్రమేసాధారణ స్థానం

ఇది ఇతర పరిమాణాలలో ర్యాంక్‌లో ఉంది.

పట్టికలో 3.5 టేబుల్ 3.4 నుండి మొదటి సమూహం విస్తరించిన రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది (లైన్ 1), ర్యాంక్ చేయబడింది (లైన్ 2), ఆపై ఒకే విలువల ర్యాంక్‌లు అంకగణిత సగటులతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి వరుసలోని 4 మరియు 4 అంశాలకు 2 మరియు 3 ర్యాంక్‌లు ఇవ్వబడ్డాయి, అవి 2.5 యొక్క అదే విలువలతో భర్తీ చేయబడ్డాయి.

సమస్య యొక్క ప్రకటన

పట్టిక 3.5 స్వతంత్ర నమూనాలుమరియు (X 1)(X 2) n 1మరియు తెలియని పంపిణీ చట్టాలతో సాధారణ జనాభా నుండి సంగ్రహించబడింది. నమూనా పరిమాణాలు n 2 మరియు రెండు పాపులేషన్‌లలోని వ్యత్యాసాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, వీటిలో నమూనాలు ప్రదర్శించబడతాయివరుసగా. నమూనా మూలకాల విలువలు ప్రదర్శించబడతాయి

పరీక్షించదగిన పరికల్పనలు:

H 0ఈ సాధారణ జనాభా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడం అవసరం? H 1- నమూనాలు వివిధ సాధారణ జనాభాకు చెందినవి.

అటువంటి పరికల్పనలను పరీక్షించడానికి, (/-మాన్-విట్నీ పరీక్ష ఉపయోగించబడుతుంది.

మొదట, రెండు నమూనాల నుండి సంయుక్త నమూనా (X) సంకలనం చేయబడింది, వీటిలో మూలకాలు ర్యాంక్ చేయబడ్డాయి. అప్పుడు మొదటి నమూనాలోని మూలకాలకు సంబంధించిన ర్యాంకుల మొత్తం కనుగొనబడుతుంది. పరికల్పనలను పరీక్షించడానికి ఈ మొత్తం ప్రమాణం.

యు= మొదటి నమూనా యొక్క ర్యాంకుల మొత్తం. (3.11)

వాల్యూమ్‌లు 20 కంటే ఎక్కువ ఉన్న స్వతంత్ర నమూనాల కోసం, విలువ యుసాధారణ పంపిణీకి కట్టుబడి ఉంటుంది, గణిత అంచనా మరియు ప్రామాణిక విచలనం సమానంగా ఉంటాయి:

అందువల్ల, క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు సాధారణ పంపిణీ పట్టికల ప్రకారం కనుగొనబడతాయి.

పట్టికలో సమర్పించబడిన ఉదాహరణ కోసం. 3.4, మనకు లభిస్తుంది: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19, యు= 339, μ = 410, σ = 37. α = 0.05 కోసం మనకు లభిస్తుంది: ఎడమ = 338 మరియు కుడి = 482.

ప్రమాణం యొక్క విలువ క్లిష్టమైన ప్రాంతం యొక్క ఎడమ సరిహద్దుకు మించి ఉంటుంది, కాబట్టి పరికల్పన H 1 ఆమోదించబడింది: సాధారణ జనాభాకు వేర్వేరు పంపిణీ చట్టాలు ఉన్నాయి. అదే సమయంలో, జనాభా సగటు మొదటి నమూనాతక్కువ.

విరామ పంపిణీ శ్రేణిని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, మూడు ప్రశ్నలు పరిష్కరించబడతాయి:

• 1. నేను ఎన్ని విరామాలు తీసుకోవాలి?
• 2. విరామాల పొడవు ఎంత?
• 3. విరామాల సరిహద్దుల్లో జనాభా యూనిట్లను చేర్చే విధానం ఏమిటి?
• 1. విరామాల సంఖ్యద్వారా నిర్ణయించవచ్చు స్టర్జెస్ ఫార్ములా:

2. విరామం పొడవు, లేదా విరామం దశ, సాధారణంగా సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎక్కడ R-వైవిధ్యం యొక్క పరిధి.

3. విరామం యొక్క సరిహద్దులలో జనాభా యూనిట్లను చేర్చే క్రమం

భిన్నంగా ఉండవచ్చు, కానీ విరామ శ్రేణిని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, పంపిణీ ఖచ్చితంగా నిర్వచించబడాలి.

ఉదాహరణకు, ఇది: [), దీనిలో జనాభా యూనిట్లు దిగువ సరిహద్దులలో చేర్చబడ్డాయి, కానీ ఎగువ సరిహద్దులలో చేర్చబడవు, కానీ తదుపరి విరామానికి బదిలీ చేయబడతాయి. ఈ నియమానికి మినహాయింపు చివరి విరామం, దీని ఎగువ పరిమితి ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్ యొక్క చివరి సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది.

విరామ సరిహద్దులు:

• మూసివేయబడింది - లక్షణం యొక్క రెండు తీవ్ర విలువలతో;
• ఓపెన్ - లక్షణం యొక్క ఒక విపరీతమైన విలువతో (కుఅటువంటి మరియు అటువంటి సంఖ్య లేదా పైగాఅటువంటి మరియు అటువంటి సంఖ్య).

సైద్ధాంతిక పదార్థాన్ని సమీకరించడానికి, మేము పరిచయం చేస్తాము నేపథ్య సమాచారంపరిష్కరించడానికి ఎండ్-టు-ఎండ్ టాస్క్.

సేల్స్ మేనేజర్ల సగటు సంఖ్య, వారు విక్రయించే సారూప్య వస్తువుల పరిమాణం, ఈ ఉత్పత్తికి వ్యక్తిగత మార్కెట్ ధర, అలాగే రష్యన్ ఫెడరేషన్‌లోని ఒక ప్రాంతంలోని 30 కంపెనీల అమ్మకాల పరిమాణంపై షరతులతో కూడిన డేటా ఉన్నాయి. రిపోర్టింగ్ సంవత్సరంలో త్రైమాసికం (టేబుల్ 2.1).

పట్టిక 2.1

క్రాస్-కటింగ్ టాస్క్ కోసం ప్రారంభ సమాచారం

	సంఖ్య నిర్వాహకులు,		ధర, వెయ్యి రూబిళ్లు	అమ్మకాల పరిమాణం, మిలియన్ రూబిళ్లు.

	సంఖ్య నిర్వాహకులు,	విక్రయించిన వస్తువుల పరిమాణం, pcs.	ధర, వెయ్యి రూబిళ్లు	అమ్మకాల పరిమాణం, మిలియన్ రూబిళ్లు.

ప్రాథమిక సమాచారం, అలాగే అదనపు సమాచారం ఆధారంగా, మేము వ్యక్తిగత పనులను సెటప్ చేస్తాము. అప్పుడు మేము వాటిని పరిష్కరించే పద్దతిని మరియు పరిష్కారాలను స్వయంగా ప్రదర్శిస్తాము.

క్రాస్ కటింగ్ టాస్క్. విధి 2.1

పట్టిక నుండి ప్రారంభ డేటాను ఉపయోగించడం. 2.1 అవసరంవిక్రయించబడిన వస్తువుల పరిమాణం ద్వారా సంస్థల పంపిణీ యొక్క వివిక్త శ్రేణిని నిర్మించండి (టేబుల్ 2.2).

పరిష్కారం:

పట్టిక 2.2

రిపోర్టింగ్ సంవత్సరం మొదటి త్రైమాసికంలో రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క ఒక ప్రాంతంలో విక్రయించబడిన వస్తువుల పరిమాణం ద్వారా సంస్థల పంపిణీ యొక్క వివిక్త సిరీస్

క్రాస్ కటింగ్ టాస్క్. టాస్క్ 2.2

అవసరంమేనేజర్ల సగటు సంఖ్య ప్రకారం 30 సంస్థల ర్యాంక్ సిరీస్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

క్రాస్ కటింగ్ టాస్క్. టాస్క్ 2.3

పట్టిక నుండి ప్రారంభ డేటాను ఉపయోగించడం. 2.1, అవసరం:

• 1. నిర్వాహకుల సంఖ్య ద్వారా సంస్థల పంపిణీ యొక్క విరామ శ్రేణిని నిర్మించండి.
• 2. సంస్థల పంపిణీ శ్రేణి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలను లెక్కించండి.
• 3. ముగింపులు గీయండి.

పరిష్కారం:

స్టర్జెస్ ఫార్ములా (2.5) ఉపయోగించి లెక్కిద్దాం విరామాల సంఖ్య:

అందువలన, మేము 6 విరామాలు (సమూహాలు) తీసుకుంటాము.

విరామం పొడవు, లేదా విరామం దశ, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించండి

గమనిక.విరామం యొక్క సరిహద్దులలో జనాభా యూనిట్లను చేర్చే క్రమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: I), దీనిలో జనాభా యూనిట్లు దిగువ సరిహద్దులలో చేర్చబడ్డాయి, కానీ ఎగువ సరిహద్దులలో చేర్చబడలేదు, కానీ తదుపరి విరామానికి బదిలీ చేయబడతాయి. ఈ నియమానికి మినహాయింపు చివరి విరామం I ], దీని ఎగువ పరిమితి ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్ యొక్క చివరి సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది.

మేము విరామ శ్రేణిని నిర్మిస్తాము (టేబుల్ 2.3).

రిపోర్టింగ్ సంవత్సరం మొదటి త్రైమాసికంలో రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క ఒక ప్రాంతంలోని సంస్థల పంపిణీ మరియు మేనేజర్ల సగటు సంఖ్య యొక్క విరామ శ్రేణి

తీర్మానం. 8 సంస్థలు (27%) కలిగి ఉన్న 25-30 మంది వ్యక్తుల సగటు మేనేజర్‌లతో కూడిన సమూహం అతిపెద్ద సంస్థల సమూహం; సగటున 40-45 మంది నిర్వాహకులు ఉన్న అతి చిన్న సమూహంలో ఒక కంపెనీ మాత్రమే (3%) ఉంటుంది.

పట్టిక నుండి ప్రారంభ డేటాను ఉపయోగించడం. 2.1, అలాగే నిర్వాహకుల సంఖ్య ద్వారా సంస్థల పంపిణీ యొక్క విరామ శ్రేణి (టేబుల్ 2.3), అవసరంనిర్వాహకుల సంఖ్య మరియు సంస్థల అమ్మకాల పరిమాణం మధ్య సంబంధం యొక్క విశ్లేషణాత్మక సమూహాన్ని రూపొందించండి మరియు దాని ఆధారంగా, ఈ లక్షణాల మధ్య సంబంధం యొక్క ఉనికి (లేదా లేకపోవడం) గురించి ఒక తీర్మానాన్ని రూపొందించండి.

పరిష్కారం:

విశ్లేషణాత్మక సమూహం అనేది కారకాల లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మా సమస్యలో, కారకం లక్షణం (x) అనేది నిర్వాహకుల సంఖ్య, మరియు ఫలిత లక్షణం (y) అమ్మకాల పరిమాణం (టేబుల్ 2.4).

ఇప్పుడు నిర్మించుకుందాం విశ్లేషణాత్మక సమూహం(టేబుల్ 2.5).

తీర్మానం.నిర్మించిన విశ్లేషణాత్మక సమూహం యొక్క డేటా ఆధారంగా, సేల్స్ మేనేజర్ల సంఖ్య పెరుగుదలతో, సమూహంలోని సంస్థ యొక్క సగటు అమ్మకాల పరిమాణం కూడా పెరుగుతుందని మేము చెప్పగలం, ఇది ఈ లక్షణాల మధ్య ప్రత్యక్ష కనెక్షన్ ఉనికిని సూచిస్తుంది.

పట్టిక 2.4

విశ్లేషణాత్మక సమూహాన్ని నిర్మించడానికి సహాయక పట్టిక

	నిర్వాహకుల సంఖ్య, వ్యక్తులు,	కంపెనీ సంఖ్య	విక్రయాల పరిమాణం, మిలియన్ రూబిళ్లు, y
			" = 59 f = 9.97
			I-™ 4 -యు.22
			74 '25 1PY1 U4 = 7 = 10,61

			వద్ద = ’ =10,31 30

పట్టిక 2.5

రిపోర్టింగ్ సంవత్సరం మొదటి త్రైమాసికంలో రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క ఒక ప్రాంతంలో కంపెనీ నిర్వాహకుల సంఖ్యపై అమ్మకాల వాల్యూమ్‌ల ఆధారపడటం

పరీక్ష ప్రశ్నలు

• 1. గణాంక పరిశీలన యొక్క సారాంశం ఏమిటి?
• 2. గణాంక పరిశీలన యొక్క దశలను పేర్కొనండి.
• 3. గణాంక పరిశీలన యొక్క సంస్థాగత రూపాలు ఏమిటి?
• 4. గణాంక పరిశీలన రకాలను పేర్కొనండి.
• 5. గణాంక సారాంశం అంటే ఏమిటి?
• 6. గణాంక నివేదికల రకాలను పేర్కొనండి.
• 7. స్టాటిస్టికల్ గ్రూపింగ్ అంటే ఏమిటి?
• 8. గణాంక సమూహాల రకాలను పేర్కొనండి.
• 9. డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ అంటే ఏమిటి?
• 10. పంపిణీ వరుస యొక్క నిర్మాణ మూలకాలకు పేరు పెట్టండి.
• 11. పంపిణీ శ్రేణిని నిర్మించే విధానం ఏమిటి?

ఒక నిర్దిష్ట దృగ్విషయాన్ని వర్గీకరించే గణాంక పరిశీలన డేటా అందుబాటులో ఉన్నందున, మొదట వాటిని నిర్వహించడం అవసరం, అనగా. క్రమబద్ధమైన పాత్రను ఇస్తాయి

ఆంగ్ల గణాంకవేత్త. UJReichman అస్తవ్యస్తమైన సేకరణల గురించి అలంకారికంగా, సాధారణీకరించని డేటా యొక్క సమూహాన్ని ఎదుర్కోవడం అనేది ఒక వ్యక్తిని దిక్సూచి లేకుండా గుబురుగా విసిరే పరిస్థితికి సమానం. పంపిణీ శ్రేణి రూపంలో గణాంక డేటా యొక్క క్రమబద్ధీకరణ ఏమిటి?

పంపిణీల యొక్క గణాంక శ్రేణి గణాంక సంకలనాలు (టేబుల్ 17) క్రమబద్ధీకరించబడ్డాయి. గణాంక పంపిణీ శ్రేణి యొక్క సరళమైన రకం ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్, అనగా. ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో సంఖ్యల శ్రేణి, లక్షణాలు మారుతూ ఉంటాయి. పంపిణీ చేయబడిన డేటాలో అంతర్లీనంగా ఉన్న నమూనాలను నిర్ధారించడానికి అటువంటి శ్రేణి అనుమతించదు: ఏ విలువలో ఎక్కువ సూచికలు సమూహం చేయబడ్డాయి, ఈ విలువ నుండి ఏ విచలనాలు ఉన్నాయి; అలాగే సాధారణ పంపిణీ చిత్రం. ఈ ప్రయోజనం కోసం, డేటా సమూహం చేయబడుతుంది, వారి మొత్తం సంఖ్యలో వ్యక్తిగత పరిశీలనలు ఎంత తరచుగా జరుగుతాయో చూపిస్తుంది (స్కీమ్ 1a 1).

. పట్టిక 17

. గణాంక పంపిణీ శ్రేణి యొక్క సాధారణ వీక్షణ

. పథకం 1. గణాంక పథకంపంపిణీ సిరీస్

పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణ లేని లక్షణాల ప్రకారం జనాభా యూనిట్ల పంపిణీని అంటారు లక్షణ శ్రేణి(ఉదాహరణకు, వారి ఉత్పత్తి ప్రాంతం ద్వారా సంస్థల పంపిణీ)

లక్షణాల ప్రకారం జనాభా యూనిట్ల పంపిణీ శ్రేణి, పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంటుంది, అంటారు వైవిధ్యం సిరీస్. అటువంటి శ్రేణిలో, లక్షణం యొక్క విలువ (ఐచ్ఛికాలు) ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో ఉంటాయి

వైవిధ్య పంపిణీ శ్రేణిలో, రెండు అంశాలు ప్రత్యేకించబడ్డాయి: వైవిధ్యాలు మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ . ఎంపిక- ఇది సమూహ లక్షణాల యొక్క ప్రత్యేక అర్థం ఫ్రీక్వెన్సీ- ప్రతి ఎంపిక ఎన్ని సార్లు జరుగుతుందో చూపే సంఖ్య

గణిత గణాంకాలలో, వైవిధ్య శ్రేణిలోని మరో మూలకం లెక్కించబడుతుంది - పాక్షికంగా. రెండోది మొత్తం పౌనఃపున్యాల మొత్తానికి ఇచ్చిన విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క నిష్పత్తిగా నిర్వచించబడింది, ppm (%o)లో భాగం యూనిట్ యొక్క భిన్నాలలో నిర్ణయించబడుతుంది;

అందువలన, వైవిధ్య పంపిణీ శ్రేణి అనేది ఎంపికలు ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడిన శ్రేణి, మరియు వాటి పౌనఃపున్యాలు లేదా పౌనఃపున్యాలు సూచించబడతాయి. వైవిధ్య శ్రేణులు వివిక్త (విరామాలు) మరియు ఇతర విరామాలు (నిరంతర).

. వివిక్త వైవిధ్యం సిరీస్- ఇవి డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్, దీనిలో పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క విలువగా ఉండే రూపాంతరం నిర్దిష్ట విలువను మాత్రమే తీసుకోగలదు. ఎంపికలు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ యూనిట్ల ద్వారా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి

అందువలన, ఒక నిర్దిష్ట కార్మికుడు ఒక షిఫ్ట్‌కు ఉత్పత్తి చేయబడిన భాగాల సంఖ్యను ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య (6, 10, 12, మొదలైనవి) ద్వారా మాత్రమే వ్యక్తీకరించవచ్చు. వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణికి ఉదాహరణగా ఉత్పత్తి చేయబడిన భాగాల సంఖ్య ద్వారా కార్మికుల పంపిణీ కావచ్చు (టేబుల్ 18 18).

. పట్టిక 18

. వివిక్త సిరీస్ పంపిణీ _

. విరామం (నిరంతర) వైవిధ్య శ్రేణి- అటువంటి పంపిణీ శ్రేణిలో ఎంపికల విలువ విరామాల రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది, అనగా. లక్షణాల విలువలు ఏకపక్షంగా చిన్న మొత్తంలో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండవచ్చు. NEP పెరి-వేరియంట్ లక్షణాల యొక్క వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, వేరియంట్ యొక్క ప్రతి విలువను సూచించడం అసాధ్యం, కాబట్టి జనాభా విరామాలలో పంపిణీ చేయబడుతుంది. రెండోది సమానంగా లేదా అసమానంగా ఉండవచ్చు. వాటిలో ప్రతిదానికి, ఫ్రీక్వెన్సీలు లేదా ఫ్రీక్వెన్సీలు సూచించబడతాయి (టేబుల్ 1 9 19).

అసమాన విరామాలతో విరామ పంపిణీ శ్రేణిలో, ఇచ్చిన విరామంపై పంపిణీ సాంద్రత మరియు సాపేక్ష పంపిణీ సాంద్రత వంటి గణిత లక్షణాలు లెక్కించబడతాయి. మొదటి లక్షణం అదే విరామం యొక్క విలువకు ఫ్రీక్వెన్సీ నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, రెండవది - అదే విరామం యొక్క విలువకు ఫ్రీక్వెన్సీ నిష్పత్తి ద్వారా. ఎగువ ఉదాహరణ కోసం, మొదటి విరామంలో పంపిణీ సాంద్రత 3: 5 = 0.6, మరియు ఈ విరామంలో సాపేక్ష సాంద్రత 7.5: 5 = 1.55%.

. పట్టిక 19

. విరామం పంపిణీ సిరీస్ _

వివిక్త లక్షణాల కోసం వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మించబడింది.

వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించడానికి, మీరు ఈ క్రింది దశలను నిర్వహించాలి: 1) లక్షణం యొక్క అధ్యయనం విలువను పెంచే క్రమంలో పరిశీలన యూనిట్లను అమర్చండి,

2) x i లక్షణం యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను నిర్ణయించండి, వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో ఆర్డర్ చేయండి,

లక్షణం యొక్క విలువ, i .

లక్షణం విలువ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సూచిస్తాయి f i . శ్రేణిలోని అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తం అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలోని మూలకాల సంఖ్యకు సమానం.

ఉదాహరణ 1 .

పరీక్షల్లో విద్యార్థులు అందుకున్న గ్రేడ్‌ల జాబితా: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

ఇక్కడ సంఖ్య ఉంది X - గ్రేడ్అనేది వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు ఫలితంగా అంచనాల జాబితాగణాంక (గమనింపదగిన) డేటా .

అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణ విలువ యొక్క ఆరోహణ క్రమంలో పరిశీలన యూనిట్లను అమర్చండి:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) x i లక్షణం యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను నిర్ణయించండి, వాటిని ఆరోహణ క్రమంలో ఆర్డర్ చేయండి:

ఈ ఉదాహరణలో, అన్ని అంచనాలను క్రింది విలువలతో నాలుగు సమూహాలుగా విభజించవచ్చు: 2; 3; 4; 5.

గమనించిన డేటా యొక్క నిర్దిష్ట సమూహానికి సంబంధించిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువ అంటారు లక్షణం యొక్క విలువ, ఎంపిక (ఎంపిక) మరియు xని నియమించండి i .

అనేక పరిశీలనలలో లక్షణం యొక్క సంబంధిత విలువ ఎన్నిసార్లు సంభవిస్తుందో చూపించే సంఖ్యను అంటారు లక్షణం విలువ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సూచిస్తాయి f i .

మా ఉదాహరణ కోసం

స్కోరు 2 వస్తుంది - 8 సార్లు,

స్కోరు 3 సంభవిస్తుంది - 12 సార్లు,

స్కోరు 4 సంభవిస్తుంది - 23 సార్లు,

స్కోరు 5 సంభవిస్తుంది - 17 సార్లు.

మొత్తం 60 రేటింగ్‌లు ఉన్నాయి.

4) అందుకున్న డేటాను రెండు వరుసల (నిలువు వరుసల) పట్టికలో వ్రాయండి - x i మరియు f i.

ఈ డేటా ఆధారంగా, వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది

వివిక్త వైవిధ్యం సిరీస్ - ఇది ఒక పట్టిక, దీనిలో అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సంభవించే విలువలు ఆరోహణ క్రమంలో మరియు వాటి పౌనఃపున్యాలలో వ్యక్తిగత విలువలుగా సూచించబడతాయి

1. విరామ వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మాణం

వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణికి అదనంగా, విరామ వైవిధ్య శ్రేణి వంటి డేటాను సమూహపరిచే పద్ధతి తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది.

ఒక విరామ శ్రేణిని నిర్మించినట్లయితే:

సంకేతం మార్పు యొక్క నిరంతర స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది;

వివిక్త విలువలు చాలా ఉన్నాయి (10 కంటే ఎక్కువ)

వివిక్త విలువల పౌనఃపున్యాలు చాలా చిన్నవి (సాపేక్షంగా పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలన యూనిట్లతో 1-3 మించకూడదు);

ఒకే పౌనఃపున్యాలతో ఫీచర్ యొక్క అనేక వివిక్త విలువలు.

విరామ వైవిధ్య శ్రేణి అనేది రెండు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉన్న పట్టిక రూపంలో డేటాను సమూహపరచడానికి ఒక మార్గం (విలువల విరామం రూపంలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువలు మరియు ప్రతి విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ).

వివిక్త శ్రేణి వలె కాకుండా, విరామ శ్రేణి యొక్క లక్షణం యొక్క విలువలు వ్యక్తిగత విలువల ద్వారా కాకుండా, విలువల విరామం ("నుండి - వరకు") ద్వారా సూచించబడతాయి.

ఎంచుకున్న ప్రతి విరామంలో ఎన్ని పరిశీలన యూనిట్లు వచ్చాయో చూపించే సంఖ్యను అంటారు లక్షణం విలువ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సూచిస్తాయి f i . శ్రేణిలోని అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తం అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలోని మూలకాల సంఖ్యకు (పరిశీలన యూనిట్లు) సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక యూనిట్ విరామం యొక్క ఎగువ పరిమితికి సమానమైన లక్షణ విలువను కలిగి ఉంటే, అది తదుపరి విరామానికి కేటాయించబడాలి.

ఉదాహరణకు, 100 సెం.మీ ఎత్తు ఉన్న పిల్లవాడు 2 వ విరామంలోకి వస్తాయి, మరియు మొదటిది కాదు; మరియు 130 సెం.మీ ఎత్తు ఉన్న పిల్లవాడు చివరి విరామంలోకి వస్తాయి, మరియు మూడవది కాదు.

ఈ డేటా ఆధారంగా, విరామ వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించవచ్చు.

ప్రతి విరామంలో తక్కువ పరిమితి (xn), ఎగువ పరిమితి (xv) మరియు విరామం వెడల్పు ( i).

విరామ సరిహద్దు అనేది రెండు విరామాల సరిహద్దులో ఉన్న లక్షణం యొక్క విలువ.

పిల్లల ఎత్తు (సెం.మీ.)	పిల్లల ఎత్తు (సెం.మీ.)			పిల్లల సంఖ్య
130 కంటే ఎక్కువ

ఒక విరామానికి ఎగువ మరియు దిగువ సరిహద్దు ఉంటే, దానిని అంటారు క్లోజ్డ్ విరామం. ఒక విరామానికి తక్కువ లేదా ఎగువ సరిహద్దు మాత్రమే ఉంటే, అది - ఓపెన్ విరామం.మొదటి లేదా చివరి విరామం మాత్రమే తెరవబడుతుంది. పై ఉదాహరణలో, చివరి విరామం తెరవబడింది.

విరామం వెడల్పు (i) - ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల మధ్య వ్యత్యాసం.

i = x n - x in

ఓపెన్ విరామం యొక్క వెడల్పు ప్రక్కనే ఉన్న క్లోజ్డ్ విరామం యొక్క వెడల్పు వలె భావించబడుతుంది.

పిల్లల ఎత్తు (సెం.మీ.)		పిల్లల సంఖ్య	విరామం వెడల్పు (i)
	లెక్కల కోసం 130+20=150		20 (ఎందుకంటే ప్రక్కనే ఉన్న క్లోజ్డ్ ఇంటర్వెల్ వెడల్పు 20)

అన్ని విరామ శ్రేణులు సమాన విరామాలు మరియు విరామ శ్రేణులు అసమాన విరామాలతో విరామ శ్రేణులుగా విభజించబడ్డాయి . సమాన విరామాలతో ఖాళీ వరుసలలో, అన్ని విరామాల వెడల్పు ఒకే విధంగా ఉంటుంది. అసమాన విరామాలతో విరామ శ్రేణిలో, విరామాల వెడల్పు భిన్నంగా ఉంటుంది.

పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో - అసమాన విరామాలతో విరామ శ్రేణి.

ప్రయోగశాల పని నం. 1

గణిత గణాంకాల ప్రకారం

అంశం: ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ప్రాథమిక ప్రాసెసింగ్

3. పాయింట్లలో స్కోర్. 1

5. పరీక్ష ప్రశ్నలు.. 2

6. ప్రయోగశాల పనిని నిర్వహించడానికి పద్దతి.. 3

పని యొక్క ఉద్దేశ్యం

గణిత గణాంకాల పద్ధతులను ఉపయోగించి అనుభావిక డేటా యొక్క ప్రాధమిక ప్రాసెసింగ్‌లో నైపుణ్యాలను పొందడం.

ప్రయోగాత్మక డేటా మొత్తం ఆధారంగా, కింది పనులను పూర్తి చేయండి:

టాస్క్ 1.విరామ వైవిధ్య పంపిణీ శ్రేణిని రూపొందించండి.

టాస్క్ 2.విరామ వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ హిస్టోగ్రామ్‌ను రూపొందించండి.

టాస్క్ 3.అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను సృష్టించండి మరియు గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయండి.

a) మోడ్ మరియు మధ్యస్థ;

బి) షరతులతో కూడిన ప్రారంభ క్షణాలు;

సి) నమూనా సగటు;

d) నమూనా వ్యత్యాసం, సరిదిద్దబడిన జనాభా వ్యత్యాసం, సరిదిద్దబడిన ప్రామాణిక విచలనం;

ఇ) వైవిధ్యం యొక్క గుణకం;

f) అసమానత;

g) కుర్టోసిస్;

టాస్క్ 5.ఇచ్చిన విశ్వసనీయతతో అధ్యయనం చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాల యొక్క నిజమైన విలువల సరిహద్దులను నిర్ణయించండి.

టాస్క్ 6.టాస్క్ యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ప్రాథమిక ప్రాసెసింగ్ ఫలితాల యొక్క కంటెంట్-ఆధారిత వివరణ.

పాయింట్లలో స్కోర్ చేయండి

పనులు 1-5 – 6 పాయింట్లు

టాస్క్ 6 – 2 పాయింట్లు

ప్రయోగశాల పని యొక్క రక్షణ(పరీక్ష ప్రశ్నలు మరియు ప్రయోగశాల పనిపై మౌఖిక ఇంటర్వ్యూ) - 2 పాయింట్లు

పని తప్పనిసరిగా A4 షీట్‌లలో వ్రాత రూపంలో సమర్పించబడాలి మరియు వీటిని కలిగి ఉంటుంది:

1) శీర్షిక పేజీ (అనుబంధం 1)

2) ప్రారంభ డేటా.

3) పేర్కొన్న నమూనా ప్రకారం పని యొక్క సమర్పణ.

4) గణన ఫలితాలు (మాన్యువల్‌గా మరియు/లేదా MS Excelని ఉపయోగించి) పేర్కొన్న క్రమంలో.

5) ముగింపులు - పని యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం ప్రాథమిక ప్రాసెసింగ్ ఫలితాల యొక్క అర్ధవంతమైన వివరణ.

6) పని మరియు నియంత్రణ ప్రశ్నలపై మౌఖిక ఇంటర్వ్యూ.

5. భద్రతా ప్రశ్నలు

ప్రయోగశాల పనిని నిర్వహించడానికి మెథడాలజీ

విధి 1. విరామ వైవిధ్య పంపిణీ శ్రేణిని నిర్మించండి

గణాంక డేటాను సమాన అంతరాల ఎంపికలతో వైవిధ్య శ్రేణి రూపంలో ప్రదర్శించడానికి, ఇది అవసరం:

1.ఒరిజినల్ డేటా టేబుల్‌లో, చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనండి.

2. నిర్వచించండి వైవిధ్యం యొక్క పరిధి :

3. విరామం h యొక్క పొడవును నిర్ణయించండి, నమూనా గరిష్టంగా 1000 డేటాను కలిగి ఉంటే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి: , ఇక్కడ n – నమూనా పరిమాణం – నమూనాలోని డేటా మొత్తం; లెక్కల కోసం lgn తీసుకోండి).

లెక్కించిన నిష్పత్తికి గుండ్రంగా ఉంటుంది అనుకూలమైన పూర్ణాంకం విలువ .

4. సరి సంఖ్యలో విరామాల కోసం మొదటి విరామం ప్రారంభాన్ని నిర్ణయించడానికి, విలువను తీసుకోవాలని సిఫార్సు చేయబడింది; మరియు బేసి సంఖ్యల విరామాలకు .

5. సమూహ విరామాలను వ్రాసి, సరిహద్దుల ఆరోహణ క్రమంలో వాటిని అమర్చండి

, ,………., ,

మొదటి విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి ఎక్కడ ఉంది. కంటే ఎక్కువ లేని అనుకూలమైన సంఖ్య తీసుకోబడుతుంది, చివరి విరామం యొక్క ఎగువ పరిమితి కంటే తక్కువ ఉండకూడదు. విరామాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రారంభ విలువలను కలిగి ఉండాలని మరియు వాటి నుండి వేరు చేయబడాలని సిఫార్సు చేయబడింది 5 నుండి 20విరామాలు.

6. సమూహ విరామాలపై ప్రారంభ డేటాను వ్రాయండి, అనగా. పేర్కొన్న వ్యవధిలో వచ్చే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువల సంఖ్యను మూల పట్టిక నుండి లెక్కించండి. కొన్ని విలువలు విరామాల సరిహద్దులతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు అవి మునుపటి వాటికి మాత్రమే లేదా తదుపరి విరామానికి మాత్రమే ఆపాదించబడతాయి.

గమనిక 1.విరామాలు పొడవులో సమానంగా ఉండవలసిన అవసరం లేదు. విలువలు దట్టంగా ఉన్న ప్రాంతాల్లో, చిన్న, చిన్న విరామాలు తీసుకోవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది మరియు తక్కువ తరచుగా ఉండే విరామాలు పెద్దవిగా ఉంటాయి.

గమనిక 2.కొన్ని విలువలకు “సున్నా” లేదా చిన్న ఫ్రీక్వెన్సీ విలువలు లభిస్తే, డేటాను తిరిగి సమూహపరచడం, విరామాలను విస్తరించడం (దశను పెంచడం) అవసరం.